D-1

DERIVADAS PARCIALES

DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

Si z = f(x,y), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x y y

son las funciones fx y fy definidas por

Para hallar fx se considera y constante y se deriva con respecto a x. De manera similar, para calcular fy, se considera x constante y se deriva con respecto a y.

DEFINICIÓN DE DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES

Si w = f(x,y,z), las primeras derivadas parciales de f con respecto a x, y y z

son las funciones fx, fy y fz definidas por

D-2

Para hallar la derivada parcial con respecto a una de las variables, se mantienen constantes las otras variables y se deriva con respecto a la variable dada.

Es importante tener presente que las derivadas parciales de una función de dos variables, z =f(x,y) tienen una interpretación geométrica útil. Informalmente,

los valores y en un punto (x0,y0,z0) denotan las pendientes de la

superficie en las direcciones de x y y, respectivamente. Ver las siguientes figuras:

z

D-3

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Como sucede en las derivadas ordinarias, es posible hallar las segundas, terceras, etc. Derivadas parciales de una función de varias variables. Por ejemplo:

1) Derivar dos veces con respecto a x:

2) Derivar dos veces con respecto a y:

3) Derivar primero con respecto a x y luego con respecto a y:

4) Derivar primero con respecto a y y luego con respecto a x:

Los casos tercero y cuarto se llaman derivadas parciales mixtas.

IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES MIXTAS

Si f es una función de x y y y tal que fxy y fyx son continuas, entonces, para todo (x,y)

D-4

fxy(x,y) = fyx(x,y)

Ejemplo 1

Aplique la definición de derivada parcial para calcular fx(x,y) y fy(x,y) si:

f(x,y) = 3x2 – 2xy + y2

Solución

=

=

Ejemplo 2

Hallar las derivadas parciales fx y fy de la función f(x,y) = 3x - x2y2 + 2x3y.

Solución

D-5

f(x,y) = 3x - x2y2 + 2x3y

fx(x,y) = 3 - 2xy2 + 6x2y

f(x,y) = 3x - x2y2 + 2x3y

fy(x,y) = -2x2y + 2x3

Ejemplo 3

Dada f(x,y) = hallar fx y fy, y evaluar cada una en el punto (1,ln2).

Solución

f(x,y) =

fx(x,y) =

fx(1,ln2) =

f(x,y) =

fy(x,y) =

fy(1,ln2) =

D-6

Ejemplo 4

Hallar las pendientes en las direcciones de x y de y de la superficie dada por

f(x,y) = - en el punto (1/2,1,2).

Solución

f(x,y) = -

fx(x,y) = -x

Pendiente en la dirección de x es:

fx(1/2,1) = -

f(x,y) = -

fy(x,y) = -2y

Pendiente en la dirección de y es:

fy(1/2,1) = -2(1) = -2

Ejemplo 5

Hallar la derivada parcial de f(x,y,z) = xy + yz2 + xz con respecto a z.

Solución

fz(x,y,z) = 2yz +x

D-7

Ejemplo 6

Dada f(x,y,z) = z.sen(xy2 + 2z), hallar fz(x,y,z).

Solución

fz(x,y,z) = z.cos(xy2 + 2z) + sen(xy2 + 2z) = 2z. cos(xy2 + 2z) + sen(xy2 + 2z)

Ejemplo 7

Dada f(x,y,z,w) = , hallar fw(x,y,z,w).

Solución

fw(x,y,z,w) =

Ejemplo 8

Dada f(x,y) = 3xy2 – 2y + 5x2y2, hallar fxx(x,y), fyy(x,y), fxy(x,y) y fyx(x,y).

Solución

fx(x,y) = 3y2 + 10xy2

D-8

fxx = 10y2

fy(x,y) = 6xy – 2 + 10x2y

fyy= 6x + 10x2

fxy(x,y) = 6y + 20xy

fyx(x,y) = 6y + 20xy

Ejemplo 9

Demostrar que fxz = fzx y fxzz = fzxz = fzzx para la función dada por:

f(x,y,z) = y

Solución

fx(x,y,z) = y.

fz(x,y,z) =

fxz(x,y,z) =

D-9

fxz(x,y,z) = fzx(x,y,z)

fzx(x,y,z) =

fxzz(x,y,z) =

fzxz(x,y,z) = fxzz(x,y,z) = fzxz(x,y,z) = fzzx(x,y,z)

fzzx(x,y,z) =

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Encuentre fx(x,y) y fy(x,y) dadas:

a) z =

b) z =

c) z =

d) z =

e) z = sen(3x).cos(3y)

2) Empleando la definición de derivadas, calcule fx(x,y) y fy(x,y) dada:

D-10

f(x,y) =

3) Encuentre fx(x,y,z), fy(x,y,z) y fz(x,y,z), dada:

a)

b) w =

4) Calcule las cuatro derivadas parciales de segundo orden. Observe que las derivadas parciales mixtas de segundo orden son iguales

a) z = arctg

b) z =

D-11

REGLA DE LA CADENA

REGLA DE LA CADENA: UNA VARIABLE INDEPENDIENTE

Sea w = f(x,y), donde f es una función derivable de x y y. Si x = g(t) y y = h(t), donde g y h son funciones derivables de t, entonces w es una función diferenciable de t, y

w

x y

t t

D-12

Regla de la cadena: una variable dependiente w, es función de x y y, lasque a su vez son funciones de t. Este diagrama representa la derivada de w con respecto a t.

Ejemplo 1

Hallar dw/dt cuando t = 0, aplicando la regla de la cadena, dada w = x2y – y2, donde x = sent y y = et.

Solución

w

x y

t t

=

=

Cuando t = 0

REGLA DE LA CADENA: DOS VARIABLES INDEPENDIENTES

D-13

Sea w = f(x,y), f es una función diferenciable de x y y. Si x = g(s,t) y

y = h(s,t), son tales que las derivadas parciales de primer orden

y , existen, entonces y existen y están dadas por:

w

x y

t s t s

Regla de la cadena: una variable dependiente w, es función de x y y las que a su vez son funciones de s y t. Este diagrama representa la derivada de w con respecto a t y s.

Ejemplo 2

Encuentre , dada w = 2xy, x = s2 + t2 y y = s/t

Solución

w

D-14

x y

t s t s

=

La regla de la cadena puede extenderse a cualquier numero de variables.

Ejemplo 3

Dada w = xy + yz + xz, x = s.cost, y = s.sent y z = t, para s=1 y t=2 . Hallar

Solución

D-15

w

x y z

s t s t t

Entonces, para s=1 y t=2π, tenemos que:

=

= 2 + 2

REGLA DE LA CADENA: DERIVACIÓN IMPLICITA

Si la ecuación F(x,y) = 0 define a y implícitamente como función derivable

de x, entonces:

D-16

Si la ecuación F(x,y,z) = 0 define a z implícitamente como una función dife-

renciable de x y y, entonces:

Ejemplo 4

Dada y3 + y2 – 5y – x2 + 4 = 0, hallar

Solución

Definiendo: F(x,y) = y3 + y2 – 5y – x2 + 4

Fx(x,y) = -2x

Fy(x,y) = 3y2 + 2y – 5

Luego:

Ejemplo 5

Dada la ecuación: 3x2z – x2y2 + 2z3 + 3yz – 5 = 0, hallar .

Solución

Definiendo: F(x,y,z) = 3x2z – x2y2 + 2z3 + 3yz – 5

D-17

EJERCICIOS PROPUESTOS

1) Sean u = x2 + y3, x = r.es y y = r.e-s, aplicar la regla de la cadena para

calcular . Resp.

2) Sean y = 2wz + z2, w = ex y z = cosx, calcule la derivada total ,

aplicando la regla de la cadena. Resp.

3) Sean u = x2+ yz, x = r.sent, y = r.cost y z = r.sen2t; calcule

Resp. .

4) Calcule , si x.cosy + y.cosx – 1 = 0. Resp. .

5) Calcule si 4z3 + 3xz2 – xy2 – 2x2y + 7= 0.

Resp.

D-18

6) Calcule si u = ey/r, x = 2r.cost y y = 4r.sent.

Resp.

7) Calcule si u = arcsen(3x+y), x = r2.ex, y = sen(rs).

Resp.

8) Calcule si u = x2 + y2 + z2, x = r.sen .cos , y = r. sen .sen y

Z = r.cos . Resp. cos + 2ysen sen + 2zcos

cos + 2y.rcos sen - 2z.rsen

sen .sen + 2y.rsen cos

9) Calcule si w = sen(2x+3y), x = s + t y y = s – t; evalue para

s=0, t=

10) Calcule aplicando la regla de la cadena la dada w = ln(x2+y2+z2),

X = u.ev.senu, y = u.ev.cosu, z = u.ev. Evaluar para (u,v) = (-2,0). (PARA EL TRABAJO)

D-19