matemática i - relaciones y funciones

Mag. Jube Portalatino Z Relaciones y funciones 48


II RELACIONES Y FUNCIONES 2.1 PAR ORDENADO. Es (a, b) donde a es la primera componente y b la

segunda componente. 2.2 PRODUCTO CARTESIANO. A × B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B} Ejemplo 1. El producto cartesiano de A = {π, -2, 1/3}, B = {e, 0.2}

es A×B = {(π; e), (π; 0.2), (-2; e), (-2; 0.2), (1/3; e), (1/3; 0.2)}

Ejemplo 2. Si A = ℝ, B = ℝ, entonces A×B = ℝ×ℝ = ℝ2

2.3 DEFINICIÓN DE RELACIÓN R es una relación de A en B ⇔ R ⊂ A×B Esto es: R = {(a, b) ∈ A×B / a R b} Ejemplo 1. El conjunto R = {(π; 0.2), (-2; e), (-2; 0.2)} es una relación de A en B, según definido A y B como en el ejemplo 1 del tema anterior.

Ejemplo 2. El conjunto R = {(x, y)∈ℝ2 / x – y < 1} es una relación de ℝ en ℝ.

2.4 CASO PARTICULAR. R es una relación en A ⇔ R ⊂ A×A 2.5 DOMINIO Y RANGO DE UNA RELACIÓN El conjunto: DR = { a∈A / (a, b) ∈R } se llama dominio de R. El conjunto: RR = { b∈B / (a, b) ∈ R } se llama rango de R. Ejemplo 1. Si A = {π, -2, 1/3}, B = {e, 0.2}y la relación está definida por R = {(π; 0.2), (-2; 0.2)} entonces su dominio y rango son, respectivamente,

DR = {π, -2}, RR = {0.2}

Ejemplo 2. Para la relación R = {(x, y)∈ℝ2 / x2– y = 1}

Dominio = ℝ, Rango = [-1, +∞>

2.6 RELACIÓN INVERSA Si R = {(a,b) ∈ A×B / aR b } ⇒ R

-1 = { (b,a) ∈ B×A / aR b } Dominio de R

-1 = Rango de R Rango de R

-1 = Dominio de R Ejemplo. La inversa de la relación R = {(π; 0.2), (-2; 0.2)}

es R -1= {(0.2; π), (0.2; -2)}

2.7 CRITERIOS PARA GRAFICAR UNA ECUACIÓN i. Intersecciones con los ejes.

a) Eje x: se hace y = 0 en la ecuación y se despeja x. b) Eje y: se hace x = 0 en la ecuación y se despeja y.

ii. Extensión. Hallar el dominio y rango. iii. Simetrías.


a) Existe simetría con el eje x, si la ecuación no cambia al reemplazar y por -y.

b) Existe simetría con el eje y si la ecuación no varía al cambiar x por -x. c) Existe simetría con el origen si la ecuación no varía al cambiar x por -x e y

por -y. iv. Asíntotas.

a) Se obtienen asíntotas horizontales, si existe, después de despejar x en términos de y e igualar a cero el denominador.

b) Se obtienen asíntotas verticales, si existe, al igualar a cero el denominador después de despejar y en términos de x.

v. Tabulación y gráfica. Ejemplo1. Graficar y2(x2 - 4) = x2 Solución Intersecciones: Si x = 0 ⇒ y = 0 Si y = 0 ⇒ x = 0 Luego, (0, 0) es el único punto de intersección. Extensión:

Dominio. Despejamos "y": x

yx

2

2 4= ±

− (1)

22

R 2

xD : 0 x 4 0

x 4≥ ⇔ − >

−

DR = <-∞, -2> ∪ <2, +∞>

Rango. Despejamos "x": 2

2

4yx

y 1= ±

− (2)

2

R 2

4yR : 0

y 1≥

− ⇔ y2 – 1 > 0

RR = <-∞, -1> ∪ <1, +∞> Asíntotas. De (1) y (2) se tiene que x = -2, x = 2 son asíntotas verticales y y = -1, y = 1 son asíntotas horizontales. Tabulación y gráfica.


III.

2x , x , 0g(x) 1

, x 0,x

− ∈< −∞ >= ∈< ∞ >

tiene inversa.

32. Dada la función 2f (x) x x 9= + + con x∈[-4, 4]. Halle f -1, si existe.

33. Sea

2x 8x 12, x 6, 4

f (x) x 2, x [ 2,1

x 5, x [1, 4]

3 3

+ + ∈< − − >

= + ∈ − > + ∈

Determine f -1, si existe 34. Si

f (x) 1 x, 1 x 2= + − ≤ ≤

� �2

x , x 0g(x)

x 1, x 0

<= − ≥

Grafique f g�

35. Un empresario organiza un tour a Huaraz. El costo por persona es de 300 soles, si participan hasta 25 personas. Por cada persona adicional hace una rebaja de 10 soles a cada una. Si x representa el número de personas y C(x) el ingreso total, el modelo matemático que describe la situación planteada es

a) 300x, 0 x 25

c(x)300 x, x 25

< ≤= − >

b) 300x, 0 x 25

c(x)x 300, x 25

< ≤= − >

c) 2

300x, 0 x 25c(x)

300x x , x 25

< ≤= − >

d) 300x, 0 x 25

c(x)500 x, x 25

< ≤= − >

e) 300x, 0 x 25

c(x)(550 10x)x, x 25

< ≤= − >


22. Hallar el rango de la función: x 4

f (x) , x [5,29]x 2

−= ∈+

23. Dada la función definida por 2f (x) x 2x 4= − + . Hallar el conjunto formado

por todos los valores x tal que f (x) 5,12]∈ − .

24. En el conjunto de los números reales, definimos:

2

x 1, x 2f (x)

x 1, x 2

− ≥= − <

Si a<0, calcular af (3 a) f (2a)− +

25. ¿Cuál es el valor de la suma de las imágenes según 2P(x) x 2x 1= − + de los

números que son raíces de 2Q(x) x x 1= + − ?

26. Si el mínimo valor de f(x)=x2+bx+5 es 1, hallar el valor de b. 27. La resistencia de un material del aluminio está dado por la función:

10f (x) x(12 x)

9= − . Siendo x el peso ejercido sobre el material. ¿Para qué

peso la resistencia es máxima?

28. Halle el rango de la función: 2f (x) 8x 2x 3= − +

29. Dadas las funciones

f

g

1f (x) x , D [ 1,1]

2

1g(x) x , D [ 1,1]

2

= + = −

= + = −

� ��

� ��

Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. f es par. II. g es impar. f y g son pares

30. Dada la función 2

x 3 1f (x) , x 1, 2

x 1 (x 1)

−= + ∈< >− −

Es cierto que: I. Es inyectiva. II. Es creciente. III. Posee inversa

31. Indique el valor de cada una de las proposiciones:

I. x 1x 1

f : [ 1,1 , 0]

x f (x) +−

− > → < −∞→ =

es sobreyectiva

II. 2f (x) 5 5 x 2x, x 1, 0= − − + ∈< − > es inyectiva.


Ejemplo 2. Graficar 2 2 2x y 2+ = Solución

Ejemplo 3. Graficar 2 2 2x y 2− = Solución

Ejemplo 4. Graficar 2 24x 25y 100+ = ⇔ 2 2x y

125 4

+ =

Solución

-2 2 X

Y

-2 2

-2

2

X

Y

-1

-2

1

2 X

Y

x y

1.1 ± 3. 3 5 ± 1 . 1 10 ± 1 . 02


Ejemplo 5. Graficar 2 24x 25y 100− = ⇔ 2 2x y

125 4

− =

Solución

Ejemplo 6. Graficar 2 2(x 2) (y 1)

125 4

+ −+ =

Solución

Ejemplo 7. Graficar 2 2(x 2) (y 1)

125 4

+ −− =

Solución

-7 3

-1

3

X

Y

-2

1 (-2, 1)

-5 5 X

Y

-5 5

-2

2

X

Y


5. Hallar la suma de las abscisas de los puntos de intersección de la función

definida por: 2f (x) x 4x 5= − + + con el eje X.

6. Dada la función definida por 2f (x) (x a) 6a= + −

Hallar el mínimo valor de f(x) para que 8a 21− sea la imagen de 2.

7. Sea la función 2f (x) x 1= − cuyo dominio es fD [ 4; 2] [ 1;1]= − − ∪ −

Determinar su rango.

8. Dada la función 2f (x) 6x x= − , cuyo dominio es el intervalo [0;8]. Halle su

rango.

9. Dadas las funciones 2f (x) x 3x 1= − + + , 2g(x) 3x 2x 1= + + . Hallar f gR R∩

10. Si 2f (x 3) x 7x a− = − + y f(6) = 8. Hallar el mínimo valor de f.

11. Hallar el dominio de la función 2

4 1 xf (x) x 2

x

−= + −

12. Dada la función 5x 2, x 2

f (x)x 3, x 2

+ <= + ≥

Calcular: 2 25 5f (a 2) f (1 a ); a+ + − ∀ ∈ℝ

13. Hallar a+b si la función 2f (x) 4x x , x [0;7]= − ∈ tiene como rango [a; b]

14. Hallar el dominio de la función: 2

2x 1f (x)

2 x

−=−

15. Hallar el rango de la función: 5x 3

f (x)x 6

+=+

16. Hallar el rango de la función: 2

2

xf (x)

5x 64=

+

17. Si f es una función cuadrática tal que {(0;3), (1;2), (2;3)} f⊂ . Hallar f(5)

18. Si f {(2;a 1), (3;5), (2;7), (a;4)}= − 2 2g {(4;b 6), (4;b), (b;5), (3;b ), (3;c 5)}= − + son funciones. Hallar a+b+c

19. Dadas las funciones:f (x) 7x 5, x 3;12= + ∈< − > ;

g(x) 3x 20, x 1;8= − ∈< − > Hallar f gR R∩

20. Determinar las gráficas de:

1) 2f (x) 2(x 1) 3= − + 2) 2f (x) 3x 1= −

3) 2f (x) 2(x 3)= − + 4) 2f (x) 2(x 1) 3= − − −

5) 2y 4y 2x 8− = − 6) 22y y 4x 1− + = −

21. Calcular el dominio de la función: x 1

f (x)2 x

−=−


1.3) 2 24y x 4x= − 1.4) 2yx 4y 1 0+ − =

1.5) 2 2xy 3y 1 0− − = 1.6) 2 2y (x 4) x 2− = +

1.7) 2 2 2y (x 4) x− = 1.8) 25yx yx 7 0− − =

1.9) 2

2 xy

3 x=

− 1.10) 2yx 2x 3x 5= − −

1.11) 2 2 2 2x y x y 1− + = − 1.12) 2 2 2 2x y 4x 4y+ =

1.13) 2 2 2 2y x 4x y− = 1.14) xy 2x y 2− − =

1.15) 2y (x 1) 4+ = 1.16) 2xy xy 6x 3+ − =

1.17) 2

22

4xy

x 4=

− 1.18)

2

2

3x 8x 4y

x

− +=

1.19) 2

2

x 1y

2x 5x 2

+=− +

1.20) 3 2 2x xy y 0+ − =

1.21) x(x 3)

y(x 2)(x 2)

+=+ −

1.22) 2yx 25y x 0− − =

1.23) 2 2 2xy 4x 3y 12x 0− − + = 1.24) 3 4 3 2 5y x y x x 0− − =

1.25) 2 2xy 2y 4x 0− − = 1.26) 2 2 2x y 2y x− =

1.27) 3y x< 1.28) 2

2xy 1

4− >

1.29) 2

2xy 1

4+ < 1.30) 2(y x )(x y ) 0− − <

1.31) y = sen2x 1.32) y = 3senx 1.33) 3f (x) cos(2x )π= − 1.34) 6f (x) sen(3x )π= +

1.35) y = ln(x-2) 1.36) f(x) = ln(3 - x) 1.37) y = ln(x + 1) 1.38) y = (x+1)2

1.39) y = (2-x)3 1.40) xe

yx

=

1.41) sen x

f (x)x

= 1.42) 1

f (x) xsenx

=

2. Dada la función definida por: 2f (x) 3x 12x 5= + − . Hallar su rango

3. Las funciones: f (x) 3x 5a= + , 2g(x) ax 5x 7= + +

tienen como uno de sus puntos de intersección (2;b), hallar el valor de "b". 4. Calcular el valor absoluto de la diferencia entre los ceros de la función

2f (x) x bx c= − + + , si esta toma como valor máximo 9.


Ejemplo 8. Graficar 2(y 1) 4(x 2)− = + Solución

2.8 GRÁFICAS DE INECUACIONES 1. Primero se grafica la ecuación. Después, en el caso que la curva divida al

plano cartesiano en dos regiones, se elige un punto que pertenece a una de ellas. Si el punto satisface la inecuación, la región solución, a sombrearse será donde pertenece el punto; caso contrario, será la otra región.

2. Si la curva no divide al plano cartesiano en dos partes, se aplica propiedades de desigualdades.

3. Si la inecuación es < ó >, a la región solución no corresponde los puntos de la curva. En este caso la curva se dibuja punteada. Si fuera ≤ o ≥ los puntos de la curva pertenecen a la región solución.

Ejemplo 1. Graficar la solución de la inecuación: x2 + 4y2 < 4. Solución Primero graficamos la ecuación x2 + 4y2 = 4.

Ahora graficamos la inecuación. Elegimos un punto de una de las dos regiones que divide la curva y reemplazamos en la inecuación, obtenemos que la gráfica solución de la inecuación es

-2 X

Y

1 (-2, 1)

-7 -2 X

Y

3

1

-2 2

-1

1


Ejemplo 2. Graficar 2(y 1) 4(x 2)− > + Solución Primero graficamos la ecuación 2(y 1) 4(x 2)− = +

Ahora graficamos la inecuación. Elegimos un punto de una de las dos regiones que divide la curva y reemplazamos en la inecuación, obtenemos que la gráfica solución de la inecuación es

2.9 DEFINICIÓN DE FUNCIÓN Una función es una relación especial. f es una función de A en B ⇔ i) f es una relación de A en B. ii) Para x∈A, existe un único y∈B tal que (x, y) ∈ f. o también se define como un conjunto de pares ordenados cuyas primeras componentes todas son diferentes. Ejemplos: 1) {( -3; 0), (2; 1), (-3; 7)} no es función 2) {(2; 5), (-4; 5), (-3; 1)} si es función

3) {(x, y) ∈ℝ×ℝ / y = x3} si es función

4) {(x, y) ∈ℝ2 / y2 = 3x – 1} no es función

-2 X

Y

1 (-2, 1)


iii) Determinaremos 1f g−� . Sean

1

2

21 f

22 f

f (x) x 1, x 1: Df (x)

f (x) x 1, x 1: D

= − < −= = + ≥ −

1

2

x 11 h21

22 h

h (x) , x , 1 Dg (x)

h (x) x , x [0, D

+−

= ∈< −∞ − >== = ∈ + ∞ >=

iii-1) { }1 1

x 1f h 2D x / x , 1 , 1+= ∈< −∞ − > ∧ ∈< −∞ − >�

⇔ x ∈ <-∞, -3>

1 1f hD , 1 , 3 , 3=< −∞ − > ∩ < −∞ − >=< −∞ − >�

2x 11 1 1 1 2(f h )(x) (f (h (x)) ( ) 1+= = −�

iii-2) { }1 2

2f hD x / x [0, x , 1= ∈ + ∞ > ∧ ∈< −∞ − > = ∅�

iii-3) { }2 1

x 1f h 2D x / x , 1 [ 1,+= ∈< −∞ − > ∧ ∈ − + ∞ >�

⇔ x∈ [-3, +∞>

2 1f hD , 1 [ 3, [ 3, 1=< −∞ − > ∩ − + ∞ >= − − >�

(f2�h1)(x) = ((x+1)/2)2 + 1

iii-4) { }2 2

2f hD x / x [0, x [ 1, [0,= ∈ + ∞ > ∧ ∈ − + ∞ > = + ∞ >�

(f2�h2)(x) = x4 + 1

Luego,

x 12

1 x 12

4

( ) 1, x , 3

(f g )(x) ( ) 1, x 3, 1

x 1, x [0,

+

− +

− ∈< −∞ − >= + ∈< − − >

+ ∈ + ∞ >

�

EJERCICIOS PROPUESTOS 1. Graficar

1.1) 2yx y 1− = 1.2) 3xy x 1+ =

-3 -1

2

1


ii) 2 2 2y 5x x 4 24x ( 10y)x (y 4) 0= − − ⇔ + − + + =

25y y 96x

24

± −⇔ = (4)

De la función original, para x = 2 ⇒ y = 10 Luego, reemplazando en (4)

5(10) 100 962

24

± −=

La igualdad se cumple con el signo "-". Luego, la regla de correspondencia de la función inversa es

21 5y y 96

f (y)24

− − −=

∴ 2

1 5x x 96f (x)

24− − −=

32. Dadas las funciones

2

2

x 1, x 1f (x)

x 1, x 1

− < −= + ≥ −

2x, x 0

g(x)x , x 0

<= ≥

Hallar, si existe 1f g−� y graficarlo

Solución i) Primero demostraremos que existe g -1. Para ello, probaremos que g es inyectiva.

En efecto, Sean g1(x) = 2x – 1, 2g (x) x=

Si g1(a) = g1(b) ⇒ 2a – 1 = 2b – 1 ⇔ a = b

Si 2 2g (a) g (b) a b a b= ⇒ = ⇔ =

Si x < 0 ⇒ 2x – 1 < -1 ⇔ g1(x) < -1 ⇔

1gR , 1=< −∞ − >

Si x ≥ 0 ⇒ x 0≥ ⇔ g2(x) ≥ 0 2gR [0,⇔ = + ∞ >

Luego, 1 2g gR R∩ = ∅

Por lo tanto, g es inyectiva. Así que ∃ g -1

ii) Hallaremos g -1

Sea y = 2x – 1 ⇔ x = (y+1)/2 ⇔ y 111 2g (y) +− =

Sea y x= ⇔ x = y2 ⇔ 1 22g (y) y− =

Luego, x 121

2

, x , 1g (x)

x , x [0,

+−

∈< −∞ − >= ∈ + ∞ >


Cuando el conjunto es escrito por comprensión, nos damos cuenta que la parte (x,

y) ∈ℝ2 se repite, por consiguiente, solamente se escribe la fórmula

5) y = sen(x-1) 6) x2 + y2 = 4 7) y = log3 (x

2 - 1) 8) y = tan(2x)

9) y = �x-2�

10) y = |x+1| NOTACIONES

1) Si f es una función de A en B, se denota por f A B→: . 2) (x, y) ∈ f, se denota por y = f(x)

y = f(x) se llama regla de correspondencia. x se denomina variable independiente. y se denomina variable dependiente.

2.10 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCIÓN

El conjunto: Df = {x∈A / y = f(x)} se llama dominio de la función f.

El conjunto: Rf = {y∈B / y = f(x)} se llama rango de la función f. 2.11 GRÁFICAS CON EL SOFTWARE DERIVE

1. Graficar con el software DERIVE la función 2

2

x 1y

x 4

−=−

Solución La pantalla principal del Derive es

La función se ingresa de la siguiente manera, pero antes hay que presionar el icono

de grafica bidimensional


Después se presiona enter ( ↵ ) y el icono de la gráfica, se obtiene

2. Con el Derive, graficar y = sin2x – log(3x2 + 1) + ex – 1 Solución


∴ 1 1 12 2 4f (y) y− = − + +

v – 3) Si 3 3y x 1 x y 1= − ⇔ = +

∴ 1 33f (y) y 1− = +

Por lo tanto, 1 1 12 4

3

x 4, x [0, 4]

f (x) x , x 20 2 5, 30]

x 1, x 9, 1]

−

+ ∈= − + + ∈< −

+ ∈< − −

31. Demostrar que existe la inversa de la función, y hallarla, si

2f (x) 5x x 4= − − , x∈[9, 11]

Solución i) Demostraremos la existencia de f -1, para ello demostraremos que f es inyectiva. En efecto:

Si 2 2f (a) f (b) 5a a 4 5b b 4= ⇒ − − = − −

2 25(a b) a 4 b 4⇔ − = − − − 2 2

2 2

a b

a 4 b 4

−=− + −

2 2

a b(a b) 5 0

a 4 b 4

+⇔ − − = − + −

(1)

Como a, b∈[9, 11] ⇒ 18 ≤ a+b ≤ 22 (2)

a, b∈[9, 11] 2 2

1 1 1

2 177 2 77a 4 b 4⇔ ≤ ≤

− + −

2 2

1 1 1

2 77 177a 4 b 4⇔ − ≤ − ≤ −

− + − (3)

De (2) y (3), se tiene

2 2

22 a b 9

2 77 177a 4 b 4

+− ≤ − ≤ −− + −

2 2

22 a b 93.7 5 5 5 4.3

2 77 177a 4 b 4

+≈ − ≤ − ≤ − ≈− + −

Luego, 2 2

a b5 0

a 4 b 4

+− ≠− + −

∀ a, b ∈ [9, 11]

Por consiguiente, tomando en cuenta este resultado en (1), resulta a – b = 0 ⇔ a = b


i) Demostraremos que 21f (x) x 4= − es inyectiva. En efecto:

Si 2 21 2f (a) f (b) a 4 b 4= ⇒ − = −

⇔ a2 = b2

⇔ a = b, pues a y b son positivos en [2, 2 2]

ii) Demostraremos que f2(x) = x + x2 es inyectiva. En efecto Si f2(a) = f2(b) ⇒ a + a2 = b + b2

⇔ (a-b)(1+a+b) = 0 (1)

Como a, b 2 5, 5] 1 4 5 1 a b 11∈< ⇒ + < + + ≤ . Luego, 1+a+b ≠ 0.

Luego, de (1), se tiene a = b iii) Demostraremos que f3(x) = x3 -1 es inyectiva. En efecto Si f2(a) = f2(b) ⇒ a3 – 1 = b3 – 1 ⇔ a = b iv) Ahora, hallaremos su rango.

Si 1

2fx [2, 2 5] 0 x 4 4 R [0, 4]∈ ⇒ ≤ − ≤ ⇔ =

Si 2

21 1f2 4x 2 5, 5] 20 2 5 (x ) 30 R 20 2 5, 30]∈< ⇒ − < + − ≤ ⇔ =< −

Si x ∈ <-2, 0] ⇒ -9 < x3 -1 ≤ -1 ⇔ 3f

R 9, 1]=< − −

Luego,

1 2 1 3 3 2f f f f f fR R , R R , R R∩ = ∅ ∩ = ∅ ∩ = ∅

Por lo tanto, de i) – iv), se concluye que existe la inversa de la función f. v) Ahora, hallaremos la regla de correspondencia de la función inversa.

v -1) Si 2 2y x 4 x y 4= − ⇒ = ± + (1)

Si x = 2 ⇒ y = 0 De (1)

Si y = 0 ⇒ 422 = ±

2 = 2 (la igualdad, se obtiene con el signo +)

∴ 1 21f (y) y 4− = +

v – 2) Si 2 21 1 1 12 4 2 4y x x y (x ) x y= + ⇔ = + − ⇔ = − ± + (2)

Si x = 5 ⇒ y = 30 De (2)

Si y = 30 ⇒ 1 12 45 30= − ± +

5 = 5 (la igualdad, se obtiene con el signo +)


2.12 FUNCIONES ESPECIALES 1. FUNCION IDENTIDAD

x f (x) x

f :

→ =

→ℝ ℝ f

f

D

R

==ℝ

ℝ

2. FUNCIÓN CONSTANTE

x f (x) c, c

f :

→ = ∈

→ℝ

ℝ ℝ f

f

D

R {c}

==ℝ

3. FUNCIÓN LINEAL O AFÍN

x f (x) a x b, a, b

f :

→ = + ∈

→ℝ

ℝ ℝ f

f

D

R

==ℝ

ℝ

Primer caso: Cuando a > 0

y = c

X

Y

y = x

X

Y


Segundo caso: Cuando a < 0

4. FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

xx f (x)

f :

→ =

→ℝ ℝ

f

f

D

R [0,

== ∞ℝ

5. FUNCIÓN SIGNO

x f (x) sign(x)

f :

→ =

→ℝ ℝ f

f

D

R {-1, 0,1}

==ℝ

6. FUNCIÓN MÁXIMO ENTERO

xx f (x)

f :

→ =

→� ��

ℝ ℝ f

f

D

R

==ℝ

ℤ

x

y y=sign(x) 1

- 1

X

Y

y=|x|

y=ax+b

X

Y

a < 0

y=ax+b

x

a > 0

y


4(b a) 1 0

b a

⇔ − − = + (1)

Como a, b ∈ <0, 1] ⇒ 0 < a ≤ 1, 0 < b ≤ 1

⇔

0 a 1

0 b 1

0 a b 2

< ≤

< ≤

< + ≤

⇔ 1 1

2a b≥

+

⇔ 4

1 1a b

− ≤ −+

Luego, 4

1 0, a,b 0,1]a b

− ≠ ∈<+

De (1), se obtiene que a = b Lqqd. ∴∃ f -1 Por otro lado, sea

2y 4 x x 16x (y x)= − ⇔ = + 2 2x (2y 16)x y 0⇔ + − + =

2 216 2y (2y 16) 4yx

2

− ± − −⇔ =

x 8 y 64 16y⇔ = − ± −

En la función original, si x = 1 ⇒ y = 3 Al reemplazar en al última expresión, se tiene

1 5 16= ± 1 = 5 ± 4 La igualdad se cumple con el signo menos. Luego, la función inversa es

1f (y) 8 y 64 16y− = − − − o 1f (x) 8 x 64 16x− = − − −

30. Demostrar que existe la inversa de la función, y hallarla, si

2

2

3

x 4, x [2, 2 5]

f (x) x x , x 2 5, 5]

x 1, x 2, 0]

− ∈= + ∈< − ∈< −

Solución


Luego, 2 1

3 3f g 2 2D [0, 2 [1, [1,= > ∩ >= >�

(f2�g1) = f2(g1(x)) = 3

iv) { }2 2

2f gD x / x [2, 3] x 2 1,2]= ∈ ∧ + ∈<�

-1 < x2 ≤ 0 x = 0

Luego, 2 2f gD [2, 3] {0}= ∩ = ∅�

Por lo tanto, 32(f g)(x) 3, x [1,= ∈ >�

28. Hallar, si existe la inversa de 2f (x) x 4= − , x∈[4, 10]

Solución i) Demostraremos la existencia de f -1, para ello demostraremos que f es inyectiva. En efecto:

Si 2 2f (a) f (b) a 4 b 4= ⇒ − = −

⇔ a2 = b2 ⇔ a = b Por ser a, b ∈[4, 10]

ii) Sea 2 2y x 4 x y 4= − ⇔ = ± + (1)

Para determinar la regla de correspondencia de la función inversa en este caso, elegimos un punto de la función, tal como:

Si x 5 y f (5) 21= ⇒ = =

Ahora, sustituimos en (1)

5 21 4= ± + 5 5= ± La igualdad se cumple con el signo +. Luego, la regla de correspondencia de la función inversa es con el signo +:

1 2f (y) y 4− = +

1 2f (x) x 4−∴ = +

29. Demostrar que f (x) 4 x x= − , x ∈ <0, 1] posee inversa y hallarla.

Solución Sabemos que si f es inyectiva, entonces posee inversa. En efecto:

Si f (a) = f(b) ⇒ 4 a a 4 b b− = −

b a 4( b a )⇔ − = −

4(b a)b a

b a

−⇔ − =+


7. FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA

xx f (x)

f :

→ =

→ℝ ℝ

f

f

0,

0,

D

R

∞

∞

=

=

y

x

8. FUNCIÓN CUADRÁTICA

2bx c, a 0

f :

x f (x) ax + + ≠

→

→ =

ℝ ℝ

Completando cuadrados el segundo miembro se obtiene:

2 2

2

b 4ac bf (x) a x

2a 4a

− = + +

Luego,

Si a > 0, ⇒ 2

f

4ac bf 4a

D

R ,−

=

= ∞

ℝ

2b 4ac b,

2a 4a

−−

X

Y

O O

O O

O O

1

-1

-2

2 3

0


Si a < 0, ⇒ 2

f

4ac bf 4a

D

R , −

=

= −∞

ℝ

9. FUNCIÓN CÚBICA

3x f (x) x

f :

→ =

→ℝ ℝ f

f

D

R

==ℝ

ℝ

10. FUNCIÓN POLINÓMICA

n 1n n 1 1 0

nx a x a x ax f (x) a

f :−

−+ + + +→ =

→

⋯

ℝ ℝ

fD = ℝ

Su rango no se puede determinar para el caso general, pues depende del grado del polinomio y de sus coeficientes.

11. FUNCIÓN RACIONAL

P(x)Q(x)

x f (x)

f :

→ =

→ℝ ℝ

donde P(x) y Q(x) son polinomios.

X

y = x3 Y

2b 4ac b,

2a 4a

−−

X

Y


⇔

1 12 2

312 2

32

2, x [ ,

0, x [ ,(g f )(x)

2, x [ , 2]

2 x 4, x 2, 4]

− ∈ − >

∈ >= ∈

− + ∈<

�

27. Si

x , x [ 5, 1]f (x)

3, x 1, 2]

∈ − −= ∈<

� �

2

2x , x [0, 2g(x)

x 2, x [2, 3]

∈ >= + ∈

Hallar f � g, si existe.

Solución Sean

1

2

1 f

2 f

f (x) x , x [ 5, 1] Df (x)

f (x) 3, x 1, 2] D

= ∈ − − == = ∈< =

� � 1

2

1 g

22 g

g (x) 2x , x [0, 2 Dg(x)

g (x) x 2, x [2, 3] D

= ∈ >== = + ∈ =

1 1 1 2 2 1 2 2f g f g f g f g f gD D D D D= ∪ ∪ ∪� � � � �

i) � �{ }1 1f gD x / x [0, 2 2x [ 5, 1]= ∈ > ∧ ∈ − −�

-5 ≤ �2x� ≤ 0

-5 ≤ 2x < 0 -5/2 ≤ x < 0

Luego, 1 1

5f g 2D [0, 2 [ , 0= > ∩ − >= ∅�

ii) { }1 2

2f gD x / x [2, 3] x 2 [ 5, 1]= ∈ ∧ + ∈ − −�

-5 ≤ x2 +2 ≤ -1 -7 ≤ x2 ≤ -3

∅ Luego,

1 2f gD [2, 3]= ∩ ∅ = ∅�

iii) � �{ }2 1f gD x / x [0, 2 2x 1, 2]= ∈ > ∧ ∈<�

1 < �2x� < 2

2 ≤ 2x < 3 1 ≤ x <3/2


Luego, ( )1 1

17 171 1 1g f 2 2 2 2 2D [0, 2] , ] [ , [ , 2]= ∩ < − − ∪ > =�

2 11 1 1 1 1 2(g f )(x) g (f (x)) 2f (x) 2 x= = = −� ��

ii) { }1 2g fD x / x 2, 4] x 2 1, 3]= ∈< ∧ − ∈< −�

1 x 2 3− < − ≤

0 x 2 3≤ − ≤

0 x 2 3 3 x 2 0≤ − ≤ ∨ − ≤ − ≤

0 ≤ x ≤ 25 ∨ 0 ≤ x ≤ 4 x ∈ [0, 25]

Luego,1 2g fD 2, 4] [0, 25] 2, 4]=< ∩ =<�

1 2 1 2 2(g f )(x) (g (f (x)) 2f (x) 2 x 2= = = −�

iii) { }2 1

2 1g f 4D x / x [0, 2] x 3, 5]= ∈ ∧ − ∈<�

� ��

2 143 x 5< − ≤� �

� ��

2 144 x 6≤ − <

17 175 52 2 2 2x , ] [ ,∈< − − ∪ >

Luego, ( )2 1

17 175 5g f 2 2 2 2D [0, 2] , ] [ ,= ∩ < − − ∪ > = ∅�

iv) { }2 2g fD x / x 2, 4] x 2 3, 5]= ∈< ∧ − ∈<�

3 x 2 5< − ≤

3 x 2 5 5 x 2 3< − ≤ ∨ − ≤ − < −

x ∈ <25, 49] Luego,

2 2g fD 2, 4] 25, 49]=< ∩ < = ∅�

Por lo tanto, en resumen, la función compuesta es 1 12 22 x , x [ , 2]

(g f )(x)2 x 2 , x 2, 4]

− ∈ −=

− ∈<

� ��

�


{ }fxD Q(x) 0= − =ℝ

12. FUNCIÓN SENO

x f (x) sen(x)

f :

→ =

→ℝ ℝ f

f

D

R [ 1,1]

== −ℝ

13. FUNCIÓN COSENO

x f (x) cos(x)

f :

→ =

→ℝ ℝ f

f

D

R [ 1,1]

== −ℝ

2.13 CLASES DE FUNCIONES 1. FUNCIÓN PAR

f : →ℝ ℝ es par en fD ⇔ f ( x) f (x), x Df− = ∀ ∈

Ejemplos 1) f(x) = x2 x ∈ <-3, 3> es par. 2) f(x) = x2 x ∈ <-2, 3> no es par.

3) f(x) = cos x, x∈ℝ es par.

4) f(x) = |x| x∈ [-5, 5] es par.

2. FUNCIÓN IMPAR

f : →ℝ ℝ es impar en Df ⇔ f ( x) f (x), x Df− = − ∀ ∈

Ejemplos 1) f(x) = x3 x ∈ <-3, 3> es impar. 2) f(x) = x3 x ∈ <-2, 3> no es impar.

π 2π

-π

-2π 2π

32π

2π−

32π−

-1

1

X

Y

π

2π -π

-2π

2π

32π 2

π−

32π−

-1

1

X

Y


3) f(x) = sen x, x∈ℝ es impar.

3. FUNCIÓN PERIÓDICA

f : →ℝ ℝ es periódica en ℝ ⇔ 0 p / f(x+p) = f(x)∃ ≠ ∈ℝ

El menor valor positivo p se llama período. Ejemplos

1) f(x) = sen x, x∈ℝ es periódica de periodo 2π.

2) f(x) = cos x, x∈ℝ es periódica de periodo 2π.

3) f(x) = tan x, x∈ℝ es periódica de periodo π.

4) f(x) = sen 2x, x∈ℝ es periódica de periodo π.

5) f(x) = cos 3x, x∈ℝ es periódica de periodo 2π/3.

4. FUNCIÓN CRECIENTE

f : →ℝ ℝ es creciente en Df ⇔ 1 2 1 2 1 2 fx x f (x ) f (x ), x , x D< ⇒ ≤ ∀ ∈

Ejemplos 1) f(x) = sen x es creciente en [0, π/2> 2) f(x) = cos x es creciente en [-π/2, 0]

3) f(x) = x3 es creciente en ℝ

5. FUNCIÓN DECRECIENTE

f : →ℝ ℝ es decreciente en Df ⇔

1 2 1 2 1 2 fx x f (x ) f (x ), x , x D< ⇒ ≥ ∀ ∈

Ejemplos 1) f(x) = sen x es decreciente en [π/2, π] 2) f(x) = cos x es decreciente en [0, π] 3) f(x) = x2 es decreciente en <-∞, 0>

6. FUNCIÓN INYECTIVA

f : →ℝ ℝ es inyectiva en Df ⇔

1 2 1 2 1 2 ff (x ) f (x ) x x , x , x D= ⇒ = ∀ ∈

Ejemplos

1) f(x) = x3 es inyectiva en ℝ

2) f(x) = x2 no es inyectiva en ℝ, pero si es inyectiva en <-∞, 0>.

7. FUNCIÓN SOBREYECTIVA

f : →ℝ ℝ es sobreyectiva en Df ⇔ Ran(f )= ℝ


Hallar f+g y graficarlo Solución

� �

� �

2

2

1 x x 3, x [ 2, 1 , 0

1 x 3, x [ 2, 1 [0, ](f g)(x)

3 senx x 3, x 0, , 0

3 senx 3, x 0, [0, ]

− + − ∈ − − > ∩ < −∞ >

− − ∈ − − > ∩ π+ = + + − ∈< + ∞ > ∩ < −∞ > + − ∈< + ∞ > ∩ π

� �

2x x 2, x [ 2, 1(f g)(x)

senx , x 0, ]

− − ∈ − − >+ = ∈< π

26. Hallar f�g, si

2 14x , x [0, 2]

f (x)x 2 , x 2, 4]

− ∈=

− ∈<

� ��

, 2x, x 1, 3]

g(x)4, x 3, 5]

∈< −= − ∈<

Solución Sean

1

2

2 11 f4

2 f

f (x) x , x [0, 2] Df (x)

f (x) x 2 , x 2, 4] D

= − ∈ ==

= − ∈< =

� ��

1

2

1 g

2 g

g (x) 2x, x 1, 3] Dg(x)

g (x) 4, x 3, 5] D

= ∈< − == = − ∈< =

1 1 1 2 2 1 2 2f g f g f g f g f gD D D D D= ∪ ∪ ∪� � � � �

i) { }1 1

2 1g f 4D x / x [0, 2] x 1, 3]= ∈ ∧ − ∈< −�

� ��

2 141 x 3− < − ≤� �

� ��

2 21 14 41 x x 3− < − ∧ − ≤� � � �

� � � ��

2 21 14 40 x x 4≤ − ∧ − <

17 171 12 2 2 2x , ] [ ,∈< − − ∪ >

-2 -1 π π/2

1


Luego, el rango es Rf = {-2} ∪ <-2, 2> ∪ {2} = [-2, 2]

22. Dadas las funciones 2f (x) 3x 6x 2= + + , 24 x

g(x)x 2

−=−

Hallar el complemento de Rf – Dg Solución Sea y = 3x2 + 6x + 2 ⇔ 3x2 + 6x + 2 - y = 0

Despejando x: 6 36 12(2 y)

x6

− ± − −=

Rf : 36 – 12(2 - y) ≥ 0 ⇔ 2 – y ≤ 3 ⇔ y ≥ -1 Rf = [-1, +∞> Por otro lado, Dg : 4 – x2 ≥ 0 ∧ x ≠ 2 ⇔ x2 – 4 ≤ 0 ∧ x ≠ 2 Dg = [-2, 2] – {2} = [-2, 2> Luego, Rf – Dg = [-1, +∞> - [-2, 2> = [2, +∞> (Rf – Dg)

c = <-∞, 2> 23. Dadas las funciones f(x) = - x2 + 3x + 1, g(x) = 3x2 + 2x + 1 Hallar Rf ∩ Rg Solución Completando cuadrados

2 2 23 32 2f (x) [x 3x ( ) ] 1 ( )= − − + + + 23 13 13

2 4 4(x )= − − + ≤ 13

g4f (x) , ] R∈< −∞ =

2 2 22 1 1

3 3 3g(x) 3(x x ( ) ) 1 3( )= + + + − 21 2 23 3 33(x )= + + ≥

2g3g(x) [ , R∈ + ∞ >=

Luego, 13 132 2

f g 4 3 3 4R R , ] [ , [ , ]∩ =< −∞ ∪ + ∞ >=

24. ¿La función f(x) = ln[sen2(3x)] es par en su dominio? Solución

Df = ℝ - {0}

f(-x) = ln[sen2(-3x)] = ln[(-sen3x)2] = ln[sen2(3x)] = f(x) ∴ la función es par. 25. Si

� �

1 x, x [ 2, 1f (x)

3 senx , x 0

− ∈ − − >= + ≥

2x 3, x 0g(x)

3, x [0, ]

− <= − ∈ π


8. FUNCIÓN BIYECTIVA f : →ℝ ℝ es biyectiva en Df ⇔ f es inyectiva y sobreyectiva

2.14 ALGEBRA DE FUNCIONES Sean ff : D ⊂ →ℝ ℝ y gg : D ⊂ →ℝ ℝ ⇒

1. f+g f g(f g)(x) f (x) g(x), x D D D+ = + ∈ = ∩

2. f-g f g(f g)(x) f (x) g(x), x D D D− = − ∈ = ∩

3. fg f g(fg)(x) f (x)g(x), x D D D= ∈ = ∩

4. f/g f g(f / g)(x) f (x) / g(x), x D D D {x / g(x)=0}= ∈ = −∩

5. f g g f(f g)(x) f[g(x)], x D {x / x D g(x) D }= ∈ = ∈ ∧ ∈��

A esta última operación se le llama composición de funciones. 2.15 FUNCIÓN INVERSA

Si f : →ℝ ℝ es inyectiva en Df ⇒ 1f −∃

Método para hallar 1f −−−− : De y = f(x) se despeja “x” en términos de “y”. Esto es 1y f (x) x f (x)−= ⇔ =

2.16 FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA 1. FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE a

x

f :

x f (x) a

→

→ =

ℝ ℝ

f

f

D

R 0,

== ∞ℝ

2. FUNCIÓN EXPONENCIAL CON BASE e

x

f :

x f (x) e

→

→ =

ℝ ℝ

f

f

D

R 0,

== ∞ℝ

y

x 1

a > 1

y

x 1

0 < a < 1

y

x 1


3. FUNCIÓN LOGARÍTMICA CON BASE a

a x

f :

x f (x) log

→

→ =

ℝ ℝ f

f

D 0,

R

= ∞= ℝ

y

x

a > 1

x

y

0 < a < 1

Propiedades

1) xay a x = log y= ⇔

2) a a alog MN log M log N( ) = +

3) a a a

Mlog log M log N

N= −

4) ra alog (M ) r log M=

4. FUNCIÓN LOGARÍTMICA CON BASE e

x ln xex f (x) log

f :

=→ =

→ℝ ℝ f

f

D 0,

R

= ∞= ℝ

x

y

2.17 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1. FUNCIÓN TANGENTE

sen xcos x

f :

x f (x) tan x

ℝ ℝ→→→→

→ = =→ = =→ = =→ = = f 2

f

D { +n / n }

R

π= − π ∈

=

ℝ ℤ

ℝ


18. Hallar el dominio de 2

2

x 5x 6f (x)

7x x 12

− +=− −

Solución 2

f 2

x 5x 6D : 0

7x x 12

− + ≥− −

2

2

x 5x 60

x 7x 12

− +⇔ ≤− +

( x 3−⇔ )(x 2)

( x 3

−−

0)(x 4)

≤−

x 2

0, x 3x 4

−⇔ ≤ ≠−

∴ Df = [2, 4> - {3}

19. Hallar el dominio de f (x) x 2 3= − −

Solución

fD : x 2 3 0− − ≥ x 2 3⇔ − ≥

x 2 3 x 2 3⇔ − ≥ ∨ − ≤ − x 5 x 1⇔ ≥ ∨ ≤ −

∴ Df = <-∞, -1] ∪[5, +∞> 20. Si el rango de f(x) = x2 / (x2 + 1) es [a, b>, hallar a+b Solución

Sea 2

2

xy

x 1=

+

Despejando x, se tiene y

x1 y

= ±−

Luego, el rango es fy

R : 01 y

≥−

⇔ y

0y 1

≤−

Rf = [0, 1> = [a, b> Luego, a+b = 0+1 = 1 21. Calcular el rango de la función

2, x 1

f (x) x 1, 1 x 3

2, x 3

− ≤ −= − − < < ≥

Solución Si x ≤ -1 ⇒ f(x) = -2 Si -1< x <3 ⇒ -2 < x – 2 < 2 ⇒ -2 < f(x) < 2 Si x ≥ 3 ⇒ f(x) = 2

0 1

+ - +

+∞ -∞


Luego, si x∈[-1, 0> ⇒ f(x) = sen(πx/2) - 1 ∈ [-2, -1> Por lo tanto, en resumen de i) y ii), se tiene que Rango(f) = [-2, -1> ∪ [-1, 0> = [-2, 0>

2

2

sen x, x [ 1, 0f (x)

sen x 1, x [ 2, 1

π

π

∈ − >= − ∈ − − >

Su gráfica es

15. Hallar el dominio de

2

4 x 3f (x) 49

x 1(x 1)

−= + −++

Solución

f 2

4 x 3D : 49 0

x 1(x 1)

−+ − ≥−+

⇔ 2

2

4 (x 3)(x 1) 49(x 1)0

(x 1)

+ − + − + ≥+

⇔ 12x2 +25x +12 ≤ 0, x ≠ -1 ⇔ (4x + 3)(3x + 4) ≤ 0, x ≠ -1

Luego, { }34f 3 4D , 1 = − − − −

16. Si f (x) 2x x 1= + + , x∈[3, 99>, hallar su rango.

Solución Como la función es creciente, entonces Rf = [f(3), f(99)> = [8, 209>

17. Hallar el dominio de 2f (x) 1 1 x= − −

Solución 2 2

fD : 1 1 x 0 1 x 0− − ≥ ∧ − ≥ 2 21 x 1 x 1 0⇔ − ≤ ∧ − ≤ 2

2 21 x 1 (x 1)(x 1) 0⇔ − ≤ ∧ − + ≤ 2x 0 x [ 1,1]⇔ ≥ ∧ ∈ −

x x [ 1,1]⇔ ∈ ∧ ∈ −ℝ

∴ Df = ℝ ∩ [-1, 1] = [-1, 1]

-1

-2

-2 -1


2. FUNCIÓN COTANGENTE

cos xsen x

f :

x f (x) c tg x

→

→ = =

ℝ ℝ

f

f

D {n / n }

R

πℝ ℤ

ℝ

= − ∈= − ∈= − ∈= − ∈====

3. FUNCIÓN SECANTE

1cos x

f :

x f (x) sec x

→

→ = =

ℝ ℝ

f 2

f

D { +n / n }

R , 1] [1,

π= − π ∈

=< −∞ − ∪ + ∞ >

ℝ ℤ

- π / 2 π / 2 -3π / 2 3π / 2 X

Y

1

-1

π -π 2π X

Y

0

- π / 2 π / 2 -3π / 2 3π / 2 X

Y


4. FUNCIÓN COSECANTE

1sen x

f :

x f (x) csc x

→

→ = =

ℝ ℝ

f

f

D {n / n }

R , 1] [1,

= − π ∈=< −∞ − ∪ + ∞ >ℝ ℤ

2.18 FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS

1. FUNCIÓN ARCOSENO 1f (x) arcsen x− = , 1f

D [ 1,1]− = − , f

R ,−π π = − 1 2 2

2. FUNCIÓN ARCOCOSENO 1f (x) arccos x− = , 1f

D [ 1,1]− = − , [ ]1fR 0,− = π

3. FUNCIÓN ARCOTANGENTE 1f (x) arctan x− = , 1f

D − = ℝ , 1 2 2fR ,−

π π= −

- π / 2

π / 2

-π 3π / 2

X

Y

1

-1

π 2π

-1

π /2

1

y

x

arcSenx

- π /2

-1

π

1

arcCosx

0


La solución general es

14. Hallar el rango y la grafica de la función

� �( ) ( )2 2f (x) sen x sen xπ π= + , x∈[-2, 0>

Solución

Para x∈[-2, 0>, � x �= -2, -1

i) Si � x � = -2 ⇒ -2 ≤ x < -1 ⇔ -π ≤ πx/2 < -π/2

Por ser la función "seno" decreciente en este intervalo, se obtiene sen(-π) ≥ sen(πx/2) > sen(-π/2) ⇔ -1 ≤ sen(πx/2) < 0 ⇔ sen(πx/2) ∈ [-1, 0>

Por otro lado, sen(π�x�/2) = sen(π(-2)/2) = 0

Luego, si x∈[-2, -1> ⇒ f(x) = sen(πx/2) ∈ [-1, 0>

ii) Si � x �=-1 ⇒ -1 ≤ x < 0 ⇔ -π/2 ≤ πx/2 < 0

Por ser la función "seno" creciente en este intervalo, se obtiene sen(-π/2) ≤ sen(πx/2) < sen(0) ⇔ -1 ≤ sen(πx/2) < 0 ⇔ sen(πx/2) ∈ [-1, 0>

Por otro lado, sen(π�x�/2) =sen(-π/2) = -1


Luego, la solución general es

13. Graficar la solución de 2 2 2 2x4( y 1)(x y 1) 0+ − − − ≤

Solución La inecuación es equivalente a

2

2

2 2 2x4

2 2 2x4

y 1 0 x y 1 0

y 1 0 x y 1 0

+ − ≤ ∧ − − ≥ ∨

+ − ≥ ∧ − − ≤

Las gráficas de las ecuaciones son


4. FUNCIÓN ARCOCOTANGENTE 1f (x) arcctg x− = , 1f

D − = ℝ , f

R ,1 0− = π

5. FUNCIÓN ARCOSECANTE 1f (x) arcsec x− =

]1fD , 1 1,− = −∞ − +∞∪ , ]1f

R 0, ,2 2−π π= π

∪

6. FUNCIÓN ARCOCOSECANTE 1f (x) arccsc x− = , ]1f

D , 1 1,− = −∞ − +∞∪ ,

1fR ,0 0,2 2−

π π = − ∪

π

X

Y

π / 2

- π / 2

π / 2

X

Y

X

Y π

π / 2

-1 1


2.19 FUNCIONES HIPERBÓLICAS 1. FUNCIÓN SENO HIPERBÓLICO

x xe e2

x f (x) senh x

f :−−→ = =

→ℝ ℝ

f

f

D

R

==ℝ

ℝ

2. FUNCIÓN COSENO HIPERBÓLICO

x x

f :

e ex f (x) cosh x

2

−

→

+→ = =

ℝ ℝ

f

f

D

R 1,

=

= ∞

ℝ

y

x1

3. FUNCIÓN TANGENTE HIPERBÓLICO

senh xf (x) tanh x cosh x

f :

x =

→

→ =

ℝ ℝ

f

f

D

R 1,1

== −ℝ

X

Y

X

Y

-π / 2

π / 2

-1 1


12. Graficar la solución de (|x - 2| - y)(y – x2 - 1) >0 Solución La inecuación es equivalente a

2

2

x 2 y 0 y x 1 0

x 2 y 0 y x 1 0

− − > ∧ − − > ∨ − − < ∧ − − <

y – x2 - 1 = 0

1

|x-2| - y = 0

2


Luego, la solución general es

x2 - 4y – 8 = 0 y + |x| = 0


4. FUNCIÓN COTANGENTE HIPERBÓLICO f :

cosh xx f (x) co t g h x

senh x

→

→ = =

ℝ ℝ

{ }f

f

D 0

R , 1 1,

= −

= −∞ − ∞

ℝ

∪

5. FUNCIÓN SECANTE HIPERBÓLICO

cosh x

f :

x f (x) sech x 1

→→ = =ℝ ℝ

, ]f

f

D

R 0,1

=

=

ℝ

6. FUNCIÓN COSECANTE HIPERBÓLICO

sen h x

f :

x f (x) csch x 1

→→ = =ℝ ℝ

{ }{ }

f

f

D

R

0

0

= −

= −

ℝ

ℝ

X

Y

1

X

Y

-1

1

X

Y

-1

1


y

x

7. FUNCIÓN SENO INVERSO HIPERBÓLICO

1

f :

x f (x) arcsen h x

−

→

→ =

ℝ ℝ

1

1

f

f

D

R

ℝ

ℝ

−−−−

−−−−

====

====

8. FUNCIÓN COSENO INVERSO HIPERBÓLICO

1

f :

x f (x) arccosh x−

→

→ =

ℝ ℝ

1

1

f

f

D 1,

R 0,

−

−

= ∞

= ∞

9. FUNCIÓN TANGENTE INVERSO HIPERBÓLICO f :

x f (x) arctanh x1

−

→

→ =

ℝ ℝ

1

1

f

f

D 1,1

R

−

−

= −

= ℝ

- 1 1 X

X

Y

1

1

X

Y


i) Intersecciones. Si x=0 ⇒ y=0; si y=0 ⇒ x=0. Luego, (0, 0) es el único punto de intersección ii) Extensión.

Dominio:2

2

4xy

x 1= ±

− (1)

2

f 2

4xD : 0

x 1≥

− ⇔ x2 – 1 >0

Df = <-∞, -1> ∪ <1, +∞>

Rango:2

2

yx

y 4= ±

− (2)

2

f 2

yR : 0

y 4≥

− ⇔ y2 – 4 >0

Rf = <-∞, -2> ∪ <2, +∞> iii) Simetría. Existen con los ejes X e Y y con el origen. iv) Asíntotas. De (1) y (2), se tiene que x = 1, x = -1 son asíntotas verticales; y = 2, y = -2 son asíntotas horizontales. v) Tabulación y gráfica

11. Graficar (x2 – 4y -8)(y + |x|) ≥ 0 Solución La inecuación es equivalente a x2 – 4y – 8 ≥ 0 ∧ y + |x| ≥ 0 ∨ x2 – 4y – 8 ≤ 0 ∧ y + |x| ≤ 0 Para graficar esto, primero se grafican las ecuaciones: x2 – 4y – 8 = 0, y + |x| = 0

-2

-1

2

1 X

Y

x y

1.2 ± 4. 8 2 ± 2 . 3 5 ± 2 . 1 10 ± 2 . 01


9. Graficar 2 2 2 2y x 2xy y x 0− + − =

Solución i) Intersecciones. En la ecuación: Si x=0 y=0⇒ ; Si y=0 x=0⇒⇒⇒⇒

Luego, (0,0) es un punto de intersección. ii) Extensión.

Dominio. Despejando “y”: 2

xy

x 1( )= ±

−

f 2

xD 0

(x-1): ≥ x 0⇔ ≥ , x ≠ 1

fD 0,= ∞ - {1}

Rango. Despejando “x”: 2 2

2

2y 1 4y 1x

2y

+ ± +=

Analizando ésta fórmula y la expresión original, se obtiene fR =ℝ

iii) Simetría. Analizando mentalmente en la ecuación original, obtenemos que existe simetría con el eje X. iv) Asíntotas. y = 0 es una asíntota horizontal y x =1 es una asíntota vertical. v) Tabulación y gráfica

10. Graficar y2x2 – 4x2 = y2 Solución

y=0

x=1

X

Y

x=0

x=4

y=0

X

Y

x=0


10. FUNCIÓN COTANGENTE INVERSO HIPERBÓLICO

1

f :

x f (x) ar ccot g h x−

→

→ =

ℝ ℝ

{ }1

1

f

f

D , 1 1,

R 0

−

−

= −∞ − ∞

= −

∪

ℝ

y

x1-1

11. FUNCIÓN SECANTE INVERSO HIPERBÓLICO

1

f :

x f (x) arcsech x−

→

→ =

ℝ ℝ

1

1

f

f

D 0,1]

R [0,

−

−

=<

= + ∞ >

12. FUNCIÓN COSECANTE INVERSO HIPERBÓLICO

1

f :

x f (x) ar ccsch x−

→

→ =

ℝ ℝ

1

1

f

f

D {0}

R {0}

−

−

= −

= −

ℝ

ℝ

EJERCICIOS RESUELTOS 1. ¿Cuál de los siguientes conjuntos de pares ordenados son funciones?

X

Y

1

X

Y


I. { }(2,1), (1,5), (0, 0), (6, 2)

II. { }( 3,1), ( 3, 0), (4, 2), (7,5)− −

III. { }( 5, 2), (1, 2), (3, 2), (5, 2), (7, 2)−

IV. { }20 0 6 1 5 5 2 7 2 0 5 0 5( , ),( . , . ),( , ),( , ),( . , . )

Solución I. Si es II. No es, por 31 , (-3,0)−( , )

III. Si es IV. Si es

2. Indique el rango de la función f, si f tiene como dominio { }1 3 6 7, , ,− y como

regla de correspondencia 2f x x 2x( ) = −

Solución

{ }3, 24, 35

3. Si f es la función { }1 5 2 6 2 2 3 7−( , ), ( , ), ( , ), ( , ) , calcular f 1 f 2 f 3( ) ( ) ( )+ +

Solución f 1 f 2 f 3 5 6 7 18( ) ( ) ( )+ + = + + =

4. ¿Para qué valores de “a” y “b” la relación

{ }2 5 1 3 2 2a b 1 b a a b a( , ),( , ),( , ),( , ),( , )− − − − − + es una función?

Solución 2a b 5− =

b a 3− = −

Resolviendo este sistema, se obtiene que a 2, b 1= = −

5. Si el conjunto { }21 5 a 6 3 a 3 2a 3( , ),( , ),( , ),( , )+ representa una función, dar su

rango Solución Para que el conjunto sea una función debe cumplir:

2a 2a 3= + a 3 a 1 0( )( )⇔ − + =

a 3 a 1,= = −

Si a=3 ⇒ { }1 5 3 6 3 9( , ),( , ),( , ) no es una función

Si a= -1 ⇒ { }1 5 1 6 5 1( , ),( , ),( , )− si es una función

Luego, su rango es { }5 6 1, ,


6. Si 3 2f x 1 x 2 7 x 2 17 x 2 15( ) ( ) ( ) ( )− = − + − + − + . Hallar f(x)

Solución Sea x-1 = w ⇒ x = w+1 Reemplazando

3 2f w 1 w 2 7 1 w 2 17 1 w 2 15( ) ( ) ( ) ( )= + − + + − + + − +

3 2f w w 1 7 w 1 17 w 1 15( ) ( ) ( ) ( )= − + − + − +

3 2f x x 1 7 x 1 17 x 1 15⇔ = − + − + − +( ) ( ) ( ) ( )

7. Si 2f x x 2x 2( ) = + + , hallar g(x) tal que 2f g x x 4x 5[ ( )] = − + ...(1)

Solución

Si 2f x x 2x 2( ) = + + ⇒ 2f g x g x 2g x 2[ ( )] [ ( )] ( )= + + ...(2)

Luego, de (1) y (2), se tiene 2 2g x 1 x 4x 4[ ( ) ]+ = − + 2x 2( )= −

g x 1 x 2( ) ( )⇔ + = ± −

g x x 3 g x x 1( ) ( )⇔ = − ∨ = − +

8. Graficar 2yx 4yx 1 0− + =

Solución i) Intersecciones. En la ecuación: Si x= 0 1= 0⇒ ; Si y= 0 1=0⇒

Luego, no existen intersecciones con los ejes. ii) Extensión.

Dominio. Despejando “y”: 2

1y

x 4x

−=−

{ }fD 0 4,= −ℝ

Rango. Despejando “x”: 24y 16y 4y

x2y

± −=

2fR 16y 4y 0: − ≥ y 4y 1 0( )⇔ − ≥ , y ≠ 0

Aplicando el método de los signos se tiene

] 1f 4R = - , 0 0∞ ∪ ∞ − , { }

iii) Simetría: No existe iv) Asíntotas: De las fórmulas despejadas se obtiene que: x 0, x=4= son asíntotas verticales y y = 0 es una asíntota horizontal v) Tabulación y gráfica

matemática i - relaciones y funciones

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