matemática

PROPORCIONALIDAD1) RAZN.- Es la diferencia o cociente de dos cantidades.a. RAZN ARITMTICA.- Es la diferencia de dos cantidades. Dadas dos cantidades a y b, la razn aritmtica es a-b, donde a es el antecedente y b es el consecuente.Identifica el antecedente, consecuente y la razn aritmtica160 excede en 20 a 140-20 es mayor en 50 que -70La diferencia entre -120 y -40 es -80

antecedente160-20-120

consecuente140-70-40

razn aritmtica250-80

20 es el exceso entre 45 y 2560 es mayor que 15 en 45 unidades35 es la diferencia entre -20 y -50

antecedente

consecuente

razn aritmtica

b. RAZN GEOMTRICA.- Es el cociente de dos cantidades. Dadas dos cantidades a y b, la razn geomtrica es , donde a es el antecedente y b es el consecuente.Identifica el antecedente, consecuente y la razn aritmticaEl cociente de -20 y 5 es -4El doble de 145 es 290-9 es la tercera parte de -27

antecedente-20145-9

consecuente5290-27

razn geomtrica-4

Al dividir -36 y 12 el cociente es -3El triple de 24 es 726 es los 2/3 de 9

antecedente

consecuente

razn geomtrica

2) PROPORCIN.- Es la igualdad de dos de razones.a. PROPORCIN ARITMTICA (PA).- Es la igualdad de dos razones aritmticas. Al resultado de la diferencia indicada se le llama constante de proporcionalidad aritmtica

Dnde:Trminos de la 1 razn: a y bTrminos de la 2 razn: c y dTrminos extremos: a y dTrminos medios: b y cConstante de proporcionalidad aritmtica (CPA):

Dada la proporcin aritmtica: 50-10=60-20 identifica sus partesTrminos de la 1 razn: 50 y 10Trminos de la 2 razn: 60 y 20Trminos extremos: 50 y 20Trminos medios: 10 y 60CPA: 40

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE UN PA.- En toda proporcin aritmtica la suma de los trminos extremos es igual a la suma de los trminos medios

Ejemplo: Hallar x aplicando la propiedad fundamental en cada PA

Hallar el VN de en:

b. PROPORCIN ARITMTICA CONTINUA (PAC).- Es aquella cuyos trminos extremos o medios son iguales

Ejemplos:Hallar los valores de las variables en cada PAC:

c. PROPORCIN ARITMTICA DISCRETA.- Es aquella cuyos trminos extremos o medios son diferentesEjemplo: Hallar el VN de en:

Hallar el VN de en:

Hallar el VN de en:

d. PROPORCIN GEOMTRICA (PG).-Es la igualdad de dos razones geomtricas. Al resultado del cociente indicado se le llama constante de proporcionalidad geomtrica Dnde:Trminos de la 1 razn: a y bTrminos de la 2 razn: c y dTrminos extremos: a y dTrminos medios: b y cConstante de proporcionalidad geomtrica (CPG):

Dada la proporcin geomtrica: identifica sus partesTrminos de la 1 razn: Trminos de la 2 razn: Trminos extremos: -125 y -3Trminos medios: 75 y 5CPG: -25

PROPIEDAD FUNDAMENTAL DE UN PG.- En toda proporcin geomtrica el producto de los trminos extremos es igual al producto de los trminos medios

Ejemplo: Hallar x aplicando la propiedad fundamental en cada PG

e. PROPORCIN GEOMTRICA CONTINUA (PGC).- Es aquella cuyos trminos extremos o medios son iguales

Ejemplos:

f. PROPORCIN GEOMTRICA DISCRETA (PGD).- Es aquella cuyos trminos extremos o medios son diferentesEjemplos: Hallar x aplicando la propiedad fundamental en cada PG

MTODO PRCTICO: Para desarrollar ejercicios de la forma es igualar a k la constante de proporcionalidad, es decir:

Ejemplo: Si y Hallar los valores de a y b

Rpta: Los valores son 60 y 100

Hallar los valores de x e y

Hallar los valores de a y b

3) FORMAS DE ESCRIBIR PROPORCIONES: Considerando la propiedad conmutativa de la multiplicacin y la propiedad fundamental de las proporciones geomtricas, una proporcin se puede escribir de las siguientes formas equivalentes:

Ejemplo:

4) MEDIA ARITMTICA.- Es la proporcin aritmtica con que tiene un trmino comn

Dnde:

Dnde:

Ejemplos:Halla la media aritmtica en cada caso:

5) MEDIA GEOMTRICA.- Es la proporcin geomtrica con que tiene un trmino comnDnde:

Dnde:

Ejemplos:Halla la media aritmtica en cada caso:

6) MAGNITUD.-Es toda propiedad fsica que experimenta una variacin y puede ser medida. Las relaciones entre dos magnitudes pueden ser de dos clases:a. RELACIN DIRECTA.- Si aumenta una magnitud, la otra magnitud tambin aumenta o viceversa. Ejemplo:Una secretaria que escriba con rapidez lograr tipear mayor cantidad de pginasb. RELACIN INVERSA.- Si aumenta una magnitud, la otra magnitud disminuye o viceversa.Ejemplo:Si aumenta el nmero de trabajadores para terminar una obra, se demorarn menos tiempo en terminarla

7) MAGNITUDES PROPORCIONALESa. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES (MDP) O PROPORCIONALIDAD DIRECTA (PD).- Es la relacin directa en la que al aumentar el valor de una magnitud, el valor de la otra tambin aumenta en la misma proporcin. Por lo tanto las razones geomtricas o cocientes de los valores respectivos, son iguales. A esta constante se le llama constante de proporcionalidad directa (CPD)Ejemplo:Un automvil va a de la ciudad A hacia la ciudad B. Cunto tiempo habr transcurrido al recorrer 1200 kilmetros?Distancia recorrida (km)801602403201200Aumenta la distancia

Tiempo (h)123415Aumenta el tiempo

Distancia (km) Tiempo (h)

PD


PD


PD


PD


PD


PD

b. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES (MIP) O PROPORCIONALIDAD INVERSA (PI).- Es la relacin inversa en la que al aumentar el valor de una magnitud, el valor de la otra disminuye en la misma proporcin. Por lo tanto los productos de los valores respectivos, son iguales. A esta constante se le llama constante de proporcionalidad inversa (CPI)Ejemplo:Para construir una pista 5 hombres tardaron 48 das. Cuntos das tardaran 20 hombres en construir dicha pista?

N de hombres5101520Aumenta el nmero de hombres

Das48241612Disminuye los das

N Hombres Das

PI

N Hombres Das

PI

N Hombres Das

PI

N Hombres Das

PI

N Hombres Das

PI

N Hombres Das

PI

8) GRFICA DE MAGNITUDES PROPORCIONALESa. REPRESENTACIN GRFICA DE MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES O PROPORCIONALIDAD DIRECTAUn mvil recorre 10 metros en cada segundo transcurridoDistancia(m)10203040Aumenta la distancia recorrida

Tiempo (s)1234Aumenta el tiempo transcurrido

Distancia (m)330121020404Tiempo (s)

b. REPRESENTACIN GRFICA DE MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES O PROPORCIONALIDAD INVERSAPara construir una carretera en 2310 horas, son necesarias 6 tractores. Cuntas horas se tardarn en construir dicha carretera si disponemos de 12 tractores?Tiempo (das)231019801732,51540138612601155Disminuyen las horas de construccin

N Mquinas6789101112Aumenta el N Mquinas

Tiempo (das)121110987Tiempo (das)19801732,51386115512601540

40

9) REGLA DE TRES SIMPLE Es simple cuando intervienen dos pares de cantidades proporcionales formando una Proporcin Geomtrica Intervienen tres cantidades conocidas o datos Interviene una cantidad desconocida o incgnita Es directa si las cantidades que intervienen son directamente proporcionales Es inversa si las cantidades que intervienen son inversamente proporcionales Hay dos filas de trminos o nmeros El supuesto, formado por los trminos conocidos van horizontalmente en la parte superior La pregunta, formada por los trminos que contienen a la incgnita del problema y van horizontalmente en la parte inferior

a. REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA.- Las cantidades que intervienen son directamente proporcionales

Si 25 paltas cuestan 75 nuevos soles, cunto se pagar por 14 paltas?Se sabe que 4 sillas cuestan S/.480, cunto costarn 6 sillas?

N de paltasCosto S/.

-2575-

14x

DP

Rpta: Se pagar 42 nuevos soles

N de sillasCosto S/.

-4480-

6x

DP

Rpta: Se pagar 720 nuevos soles

b. REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA.- Las cantidades que intervienen son inversamente proporcionalesSi trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros demora 18 das en terminar una obra, si trabajan 6 horas diarias, en cuntos das terminarn la obra?Si 21 obreros tardan 10 das para hacer una obra, cuntos obreros se necesitarn para hacer la misma obra en 15 das?

Tiempo(horas)Demora(das)

-1018+

6x

IP

Rpta: Terminarn en 30 das

N de obrerosDemora(das)

-2110+

x15

IP

Rpta: Se necesitarn 14 obreros

TALLER DE PROBLEMAS

1. Si 15 metros de cable cuestan 80 soles- Cunto costarn 9 metros?

2. 8 obreros pueden hacer una obra en 24 das. Cuntos das se demorarn 12 obreros en hacer la misma obra?

3. Si 25 pollos cuestan S/. 112,50. Cunto se pagar por 11 pollos menos?

4. Si trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros demoran 18 das para terminar una obra, trabajando 6 horas diarias en cuntos das terminarn la misma obra?

5. 48 litros de agua de mar contienen 400 gramos de sal, cuntos gramos de sal contienen 36 litros de agua de mar?

6. Si 45 kg de nueces cuestan S/. 405, cunto se pagar por 75 kg?

7. Si por 18 botellas de vino se paga S/. 121,50. Cunto se pagar por 27 botellas?

8. 24 obreros construyen una casa en 30 das. El triple de obreros qu tiempo tomarn para construir la misma casa?

9. Un tejedor necesita trabajar 12 horas diarias para hacer los de una chompa. cunto tiempo emplear en tejer toda la chompa?

10. Un auto a 60 km/h, cubre la distancia Lima a Piura en 16 horas. A qu velocidad debe recorrer para cubrir dicha distancia en la mitad del tiempo?

11. Un obrero gana S/. 50 por los 5/9 de su labor diaria. Cunto gana por su labor diaria completa?

12. En un cuartel 200 soldados tienen vveres para 40 das, si se cuadruplica en nmero de soldados. Para cunto tiempo durarn los vveres?

13. Se compra 2,95 metros de casimir ingls por S/. 186. Cunto se pagarn por 4,65 metros del mismo casimir?

14. Dos nmeros estn en la relacin de 18 a 12. Si el menor es 204. Cul es el mayor?

15. Cuntos soles se necesitan para hacer un giro de 960 dlares, estando el tipo de cambio a S/. 2,16 por dlar?

16. Si 135 obreros construyen 30 metros de pista, 63 obreros, cuntos metros construirn en igual tiempo?

17. Por dos docenas de miel de abeja se pag S/. 276. Cunto se pagar por 9 botellas menos?

18. Una cuadrilla de trabajadores laborando 9 horas diarias terminan una obra en 21 das, hacindolos trabajar 2 horas diarias menos. En cuntos das terminarn la misma obra?

19. Para terminar una obra en 9 das se necesitan 32 obreros. En cuntos das terminarn la misma obra 8 obreros menos?

20. El salario de dos obreros est en la relacin de 2 a 3. El segundo recibe 840 soles. Cunto recibe el primero?

21. Un grifo que da 18 litros por minuto emplea 28 horas para llenar un depsito. Qu tiempo empleara si su caudal fuera de 42 litros por minuto?

22. Haba comprado 12 kg de caf por 74,4 soles pero, por error, me envan 4,5 kg menos. Cunto debo pagar?

23. Las ruedas traseras y delanteras de un tractor tienen de dimetro 1,3 m y 1 m, respectivamente. Cuando las traseras han dado 259 revoluciones. Cuntas han dado las delanteras?

24. Dos ruedas engranadas tienen, respectivamente, 30 y 20 dientes. Cuntas vueltas dar la segunda al mismo tiempo de dar 200 vueltas la primera?

25. Quera comprar 5 docenas de pares de medias que importaban S/. 780, pero me falt S/. 91 para el pago. Cuntos pares compr con el dinero que tena?

26. Si 27 hombres terminan una obra en 16 das. Cuntos hombres menos se necesitaran para terminar la obra en 24 das?

27. Una caja de tres docenas de naranjas cuestan S/. 27. Cunto se pagarn por 5 cajas de 16 naranjas cada una?

28. Si por cada S/. 100 de venta un comisionista gana S/. 8,50. Cunto ganar si vende por un valor de S/3500?

29. Para recorrer un trayecto un excursionista que camina 4,25 km por hora ha empleado 6 horas. Cunto tiempo habra empleado si hubiera andado 850 metros ms por hora?

30. Un motociclista corriendo 12 horas diarias necesit 3 das para recorres de Tumbes a Tacna. Cuntos das emplear para cubrir la misma distancia a igual velocidad, corriendo solamente 8 horas diarias?

10) REGLA DE TRES COMPUESTA Es compuesta cuando intervienen ms de dos pares de cantidades proporcionales Intervienen ms de tres cantidades conocidas o datos Interviene una cantidad desconocida o incgnita Las cantidades que intervienen pueden ser directamente o inversamente proporcionales Hay dos filas de trminos o nmeros El supuesto, formado por los trminos conocidos van horizontalmente en la parte superior La pregunta, formada por los trminos que contienen a la incgnita del problema y van horizontalmente en la parte inferior Los trminos de la razn geomtrica, que contiene la incgnita, se igualan al producto de las otras razones, invirtiendo aquellas que son inversamente proporcionalesPara pavimentar 180 metros de pista, 18 obreros tardan 21 das cuntos das se necesitarn para pavimentar 120 metros de la misma pista con 4 obreros menos?Si 16 obreros trabajando 9 horas diarias en 12 das hacen 60 sillas. Cuntos das necesitarn 40 obreros trabajando 1 hora diaria menos para hacer un ciento de las mismas sillas?

Pista(metros)N obrerosDemora(das)

1801821

12018-4=14x

DPIP

Rpta: Se necesitarn 18 das

N obrerosTrabajo.(horas)Demora(das)N sillas

1691260

409-1=8x100

IPIPDP

Rpta: Se necesitarn 9 das

TALLER DE PROBLEMAS

PORCENTAJEPORCENTAJE.- Es una expresin que representa la razn de una cantidad con 100 de sus unidades1) EL TANTO POR CIENTO COMO FRACCIN.- El tanto por ciento puede ser expresado como un nmero fraccionario cuyo denominador es el nmero 100De 100 partes se tom 10

De 100 partes se tom 25

De 100 partes se tom 80

2) ELEMENTOS DEL TANTO POR CIENTODado el ejemplo El 8% de 200 es 16a. LA BASE O NMERO (b).- Es la cantidad que representa al TODO o totalidad de unidades, generalmente se ubica despus de las palabras de, del, de los.En el ejemplo anterior 200 es la base b. EL TANTO POR CIENTO (%).- Es el nmero de unidades que se toman del todo, es decir, de cada 100, se ubica junto al smbolo %.En el ejemplo anterior 8 es el tanto por cientoc. EL PORCENTAJE (P).- Es una parte de la base hallada con el tanto por ciento, generalmente se ubica despus de las palabras es, son, representa.d. En el ejemplo anterior 16 es el porcentaje.3) CASOS1. Hallar el porcentaje de un nmero, conociendo la base y el tanto por ciento. Ejemplo: Halla el 15% de 8402. Hallar la base, conociendo el porcentaje y el tanto por ciento. Ejemplo: De qu nmero es 340 el 50%3. Hallar el tanto por ciento, conociendo la base y el porcentaje. Ejemplo: Qu porcentaje de 300 representa 2254) HALLAR EL PORCENTAJE DE UN NMEROHalla el 35% de 650Planteo:Base(b)Tanto(%)

650100

x35

Regla de Tres Simple:

1. Halla el 40% de 1202. Halla el 30% de 803. Halla el 75% de 6004. Halla el 150% de 405. Halla el 32% de 15006. Halla el 1% de 8507. Halla el 15% de 8408. Halla el 76% de 8509. Halla el 16% de 32510. Halla el 36% de 27511. Halla el 48% de 62512. Halla el 28% de 12513. Halla el 18% de 45014. Halla el 84% de 54515. Halla el 2,5% de 18016. Halla el de 40017. Halla el de 120018. Halla el 20% de 0,419. Halla el 300% de 1520. Halla el 0,6% de 3200021. Halla el 0,02% de 8000022. Halla el 0,5% de 0,723. Halla el 40% del 50% de 16524. Halla el 60% del 75% del 10% de 800025. Halla el 30% del 80% del 200% de 500026. Halla el 8% de 280 + 17% de 28027. Halla el 20% de N + 60% de N 30% de N28. Halla el 68% de N - 35% de N 20% de N

5) HALLAR LA BASE, CONOCIENDO EL PORCENTAJE Y EL TANTO POR CIENTODe qu nmero es 340 el 50%Planteo:Porcentaje(P)Tanto(%)

35050

x100


1. De qu cantidad es S/ 330 el 75%?2. De qu nmero es 150 el 12%?3. De qu nmero es 576 el 12%?

4. De qu nmero es 36 el 5%?5. De qu nmero es 90 el 4%?6. De qu nmero es 4,5 el 2,5%?

7. De qu nmero es 165 el 20%?8. De qu nmero es 28 el 25%?9. De qu cantidad es 45 el 95%?

6) HALLAR EL TANTO POR CIENTO, CONOCIENDO LA BASE Y EL PORCENTAJEQu porcentaje de 300 representa 225Planteo:Base(b)Porcentaje (%)

300100

225x


1. Qu porcentaje de 1250 es 525?2. Qu porcentaje de 72 es 18?3. Qu porcentaje de 40 es 6?

4. Qu porcentaje de 2000 es 80?5. Qu porcentaje de 235 es 18,8?6. Qu porcentaje de 850 es 646?

7. Qu porcentaje de 1725 es 345?8. Qu porcentaje de 32 es 25,6?9. Qu porcentaje de 3600 es 1400?

7) PROBLEMAS8)

matemática

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