matemÁtica 3

MATEMÁTICA III

ifna

Instituto Federal Nicolás Avellaneda

EDITORIAL DEL CENTRO EDUCATIVO ARGENTINO

BUENOS AIRES - ARGENTINA

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Todos los derechos reservados. Hecho el depósito que marca la Ley 11.723 El derecho de propiedad de esta obra comprende para su autor la facultad exclusiva de disponer de ella, publicarla, traducirla, adaptarla o autorizar su traducción y reproducirla en cualquier forma, total o parcial, por medios electrónicos o mecánicos, incluyendo fotocopia, copia xerográfica, grabación magnetofónica y cualquier sistema de almacenamiento de información. Por consiguiente ninguna persona física o jurídica está facultada para ejercer los derechos precitados sin permiso escrito del autor y del editor. I.S.B.N.: 987 – 9464 – 12 – 5



ÍNDICE Introducción y orientación para el estudio del espacio curricular.......................................... 7 Contenidos………………………………………………………………………………….. 9 Cómo trabajar con este libro................................................................................................... 11 Algunas convenciones........................................................................................................... 12 UNIDAD 1: NÚMEROS REALES Objetivos................................................................................................................................. 15 1. El número real..................................................................................................................... 15 1.1. Propiedad de los números reales................................................................................... 15 1.2. Interpretación de la recta numérica............................................................................... 16 1.3. Operaciones posibles con R.......................................................................................... 16 1.4. Aproximación decimal de un número real................................................................... 17 2. Radicales............................................................................................................................. 17 2.1. Raíz aritmética o valor aritmético de un radical........................................................... 17 2.2. Propiedades.................................................................................................................. 18 2.2.1. La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación............................. 18 2.2.2. La radicación es distributiva con respecto a la división....................................... 18 2.2.3. Raíz de índice mn de un número.......................................................................... 19 2.2.4. Simplificación de radicales.................................................................................. 21 3. Potencia de exponente racional.......................................................................................... 22 3.1. Propiedades................................................................................................................... 22 Cuestionario de autoevaluación.............................................................................................. 24 Soluciones sugeridas............................................................................................................... 26 UNIDAD 2: EL NÚMERO COMPLEJO Objetivos................................................................................................................................. 31 1. Concepto de número complejo........................................................................................... 31 1.1. Definición de número complejo.................................................................................... 32 1.1.1. Adición de números complejos............................................................................ 32 1.1.2. Multiplicación de números complejos................................................................. 32 1.1.3. Propiedades de la adición..................................................................................... 32 1.1.4. Propiedades de la multiplicación......................................................................... 33 1.1.5. Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición................. 34 1.2. Forma binómica de un número complejo..................................................................... 35 1.3. Complejos conjugados.................................................................................................. 36 1.4. División en C................................................................................................................ 36 1.5. Potenciación.................................................................................................................. 37 1.5.1. Potencias de i........................................................................................................ 37 1.5.2. Potencias de números complejos………………………………………………. 38 1.6. Representación gráfica de los números complejos....................................................... 39 Cuestionario de autoevaluación.............................................................................................. 41



Soluciones sugeridas............................................................................................................... 43 UNIDAD 3: POLINOMIOS Objetivos................................................................................................................................. 47 1. Expresiones algebraicas enteras.......................................................................................... 47 1.1. Monomios..................................................................................................................... 47 1.2. Polinomios..................................................................................................................... 48 1.2.1. Polinomio nulo..................................................................................................... 49 1.2.2. Grado de un polinomio......................................................................................... 49 1.2.3. Polinomios ordenados.......................................................................................... 49 1.2.4. Polinomios completos.......................................................................................... 50 1.2.5. Función polinómica.............................................................................................. 51 2. Operaciones......................................................................................................................... 53 2.1. Adición de polinomios.................................................................................................. 53 2.2. Sustracción de polinomios............................................................................................ 54 2.3. Multiplicación de expresiones algebraicas.................................................................... 54 2.3.1. Multiplicación de un polinomio por un monomio............................................... 54 2.3.2. Multiplicación de polinomios.............................................................................. 55 2.4. Anillo de polinomios..................................................................................................... 56 2.5. División de expresiones algebraicas............................................................................. 57 2.5.1. División de un polinomio por un monomio......................................................... 57 2.5.2. División de polinomios........................................................................................ 58 2.6. Regla de Ruffini............................................................................................................ 59 2.7. Teorema del resto......................................................................................................... 61 Cuestionario de autoevaluación.............................................................................................. 63 Soluciones sugeridas............................................................................................................... 65 UNIDAD 4: FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS Objetivos................................................................................................................................. 69 1. Factoreo............................................................................................................................... 69 1.1. Primer caso - Factor común.......................................................................................... 69 1.2. Segundo caso - Descomposición en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo..........................................................................................

70

1.3. Tercer caso – Trinomio cuadrado perfecto................................................................... 72 1.4. Cuarto caso – Cuatrinomio cubo perfecto..................................................................... 73 1.5. Quinto caso – Diferencia de cuadrados......................................................................... 73 1.6. Sexto caso – Suma o diferencia de potencias de igual grado........................................ 74 1.6.1. Suma de potencia de igual grado.......................................................................... 74 1.6.2. Diferencia de potencias de igual grado................................................................ 74 2. MCD y mcm de expresiones algebraicas............................................................................ 75 2.1. Máximo común divisor de expresiones algebraicas...................................................... 75 2.2. Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas.................................................... 76 Cuestionario de autoevaluación.............................................................................................. 78 Soluciones sugeridas............................................................................................................... 79



UNIDAD 5: EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

Objetivos................................................................................................................................. 83 1. Expresión algebraica fraccionaria....................................................................................... 83 1.1. Simplificación de expresiones fraccionarias................................................................ 83 2. Operaciones......................................................................................................................... 86 2.1. Adición de expresiones algebraicas fraccionarias........................................................ 86 2.1.1. Adición de fracciones algebraicas de igual denominador.................................... 86 2.1.2. Adición de fracciones algebraicas de distinto denominador................................ 86 2.1.3. Propiedades de la adición de expresiones algebraicas fraccionarias.................... 87 2.2. Sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias.................................................. 88 2.3. Multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias............................................. 88 2.3.1. Propiedades de la multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias....... 88 2.4. División de expresiones algebraicas fraccionarias....................................................... 89 2.5. Potenciación y radicación............................................................................................. 89 Cuestionario de autoevaluación.............................................................................................. 91 Soluciones sugeridas............................................................................................................... 93 UNIDAD 6: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Objetivos................................................................................................................................. 97 1. Trigonometría..................................................................................................................... 97 1.1. Funciones trigonométricas............................................................................................ 98 1.2. Valor de las funciones trigonométricas para amplitudes de 0º y de 90º....................... 100 1.2.1. Ángulo B = 0º....................................................................................................... 100 1.2.2. Ángulo B = 90º..................................................................................................... 101 1.3. Relaciones entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo........................... 102 1.4. Signo de las funciones trigonométricas......................................................................... 104 1.5. Cálculo de las funciones trigonométricas...................................................................... 107 1.5.1. Uso de tablas de valores naturales........................................................................ 107 1.5.2. Uso de calculadoras científicas............................................................................ 108 Algunas actividades………………………………………………………………………… 111 Cuestionario de autoevaluación.............................................................................................. 114 Soluciones sugeridas............................................................................................................... 117 UNIDAD 7: GEOMETRÍA DEL ESPACIO Objetivos................................................................................................................................. 122 1. Ángulos............................................................................................................................... 122 1.1. Ángulos diedros............................................................................................................ 122 1.1.1. Clasificación de los ángulos diedros.................................................................... 123 1.1.2. Ángulo plano de un diedro................................................................................... 123 1.1.3. Medida de un diedro............................................................................................. 123 1.2. Ángulo poliedro............................................................................................................ 123 1.2.1. Poliedros............................................................................................................. 124



2. Cuerpos............................................................................................................................... 124 2.1. Pirámide........................................................................................................................ 124 2.2. Tetraedro....................................................................................................................... 125 2.3. Prisma............................................................................................................................ 125 2.4. Paralelepípedo............................................................................................................... 126 3. Cuerpos redondos................................................................................................................ 127 3.1. Cilindro......................................................................................................................... 127 3.2. Cono.............................................................................................................................. 128 3.3. Esfera............................................................................................................................ 129 4. Volúmenes.......................................................................................................................... 129 4.1. Volúmenes de prismas, paralelepípedos y cilindro....................................................... 129 4.2. Volumen de pirámides y conos..................................................................................... 130 4.3. Volumen de la esfera..................................................................................................... 130 Algunas actividades………………………………………………………………………… 131 Cuestionario de autoevaluación.............................................................................................. 132 Soluciones sugeridas............................................................................................................... 133 Glosario…………………………………………………………………………………….. 134 Bibliografía…………………………………………………………………………………. 136

*



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Introducción y orientaciones para el estudio de este espacio curricular

Estimado alumno:

La idea de este espacio curricular, es la de facilitarle a Ud. la comprensión de la importancia que tiene Matemática III.

Los temas abordados le permitirán determinar criterios y opciones, definir estructuras y seleccionar y actualizar contenidos en el desarrollo de las distintas unidades componentes de este espacio curricular.

Así usted, en cada unidad, podrá conocer los conceptos específicos para luego aplicarlos en distintas prácticas.

En otro orden de ideas no se olvide que usted está estudiando bajo la modalidad...

A DISTANCIA Lo cual le permitirá:

- organizar su aprendizaje de acuerdo con sus horarios; - enfrentar los materiales de aprendizaje en forma independiente; - aunque no descarte contactarse con sus compañeros y... ¡por supuesto!, con su tutor. - en este camino, le solicitamos no olvidar las técnicas de trabajo intelectual que le permiten un aprendizaje acorde con las exigencias de la carrera.

Es nuestro deseo que este recorrido le resulte agradable y cumpla con sus expectativas.

¿Empezamos?



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CCoonntteenniiddooss UUnniiddaadd 11 Números reales: propiedades. Radicales. Simplificación. Potencia de exponente racional. UUnniiddaadd 22 El nº complejo. Forma binómica. Operaciones: propiedades. Potencias de i. Representación gráfica. UUnniiddaadd 33 Polinomios. Monomios. Grado de un polinomio. Polinomios ordenados y completos. Función polinómica. Operaciones. Regla de Ruffini. Teorema del resto. UUnniiddaadd 44 Factoreo: distintos casos. MCD y mcm de expresiones algebraicas. UUnniiddaadd 55 Expresiones algebraicas fraccionarias. Simplificación. Operaciones. UUnniiddaadd 66 Funciones trigonométricas. Valor de las funciones para 0º y 90 º. Relaciones entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo. Signo de las funciones. Cálculo de las funciones trigonométricas. UUnniiddaadd 77 Geometría del espacio. Ángulos diedros, poliedros. Cuerpos: pirámide, prisma, cilindro, cono, esfera. Volúmenes



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Cómo trabajar con este libro

Le pedimos que trate de respetar la secuencia planteada, dado que supone un estudio

teórico, marco de las actividades que se le proponen.

Las mismas le permitirán retroalimentar los contenidos.

Si duda, busque a su tutor: él lo orientará de acuerdo con sus necesidades.



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Algunas convenciones

Indicamos a continuación los íconos que utilizaremos a lo largo de este texto:

ÍCONOS DESCRIPCIÓN Y USO

Pregunto......¿Qué opina Ud. de tal tema? ¿Cómo le parece que puede encararse tal situación?

Actividades

CUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN

Señala que determinado tema es importante y debe ser tenido presente.

SOLUCIONES A CUESTIONARIO DE

AUTOEVALUACIÓN

A B C GLOSARIO

LECTURA / BIBLIOGRAFÍA

Remite a leer un tema tratado anteriormente en el libro.

Indica que lo expresado en un párrafo es importante y debe ser tenido en cuenta.

No olvide que…



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UNIDAD 1

NÚMEROS REALES



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UNIDAD 1

NÚMEROS REALES

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: - Definir raíz aritmética de un radical. - Identificar propiedades. - Resolver potencias de exponente racional.

11 EL NÚMERO REAL

El conjunto de los números racionales y el de los irracionales constituye el conjunto de los Números Reales.

Se designa con la letra R y, como según se sabe, el conjunto de los números racionales se designa Q y el de los irracionales, I, se tiene que:

Q ∪ I = R

Luego, en el conjunto de los números reales se puede hacer una partición de dos clases: la de los números racionales y la de los números irracionales.

1.1 Propiedades de los números reales El conjunto de los números reales cumple todas las propiedades del conjunto de los números

irracionales:

1. Es infinito

2. No tiene primero ni último elemento.

3. Entre dos números reales existe siempre un número infinito de números reales.

El conjunto de números reales es denso.

4. Ningún número real tiene antecesor ni sucesor.

5. El conjunto R de los números reales es un conjunto totalmente ordenado por la relación ≤.



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1.2 Interpretación en la recta numérica El conjunto de números racionales presenta en la recta numérica “agujeros” o “lagunas”, es

decir, hay puntos de la recta a los cuales no corresponde ningún número racional. A estos puntos les corresponde un número irracional.

Decimos que:

El conjunto de números reales es continuo.

El conjunto de números reales completa la recta numérica.

En consecuencia:

A todo número real corresponde un punto de la recta. A todo punto de la recta corresponde un número real.

1.3 Operaciones posibles en R

Con los números reales es siempre posible la radicación de radicando positivo.

También son siempre posibles en R: la adición, la sustracción, la multiplicación, la división (con divisor distinto de cero) y la potenciación de base racional y exponente entero (excepto cero a la cero).

No son siempre posibles en R: las raíces de radicando negativo.

Por ejemplo:

No es posible en R pues no existe ningún número real que elevado a la cuarta sea igual a – 16.

No es posible en R pues no existe ningún número real que elevado al cuadrado sea igual a – 2.



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1.4 Aproximación decimal de un número real En el cálculo con números reales, reemplazamos a éstos por números racionales

aproximados:

Para + 3 = + 1,732..., las aproximaciones enteras son: 1, por defecto ( es el entero inmediatamente menor ) y 2, por exceso ( es el entero inmediatamente mayor ).

Ya que 1 < + 3 < 2 que se lee: + 3 mayor que 1 y menor que 2.

Se puede escribir + 3 ≅ 1 ó + 3 ≅ 2, en ambos casos cometemos un error menor que 1. El error es la diferencia entre el valor real y el valor adoptado.

1ro. Ξ = 1,732 – 1 = 0,732 < 1 ( Ξ = error menor que 1 )

2do. Ξ = 1,732 – 2 = - 0,268 Valor absoluto menor que 1.

22 RADICALES Un radical es una raíz indicada, siempre que esa operación sea posible en el conjunto de los

números reales. Así, por ejemplo, son radicales:

36 ; 3271

; 5 32− ; nm22 ; 2

De acuerdo con la definición, no se consideran radicales las raíces de índice par de radicandos negativos, pues, como se ha visto, la operación no es posible en el conjunto de los números reales.

2.1 Raíz aritmética o valor aritmético de un radical Los radicales de índice par y radicando positivo tienen dos raíces opuestas, un positiva y una

negativa. En ese caso, la raíz positiva se llama raíz aritmética o valor aritmético del radical. Por ejemplo, la raíz aritmética de 64 es 8.

En el caso de índice impar, como la raíz es única, no se presenta esta ambigüedad.

Valor Real

Valor aproximado



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Así:

a) índice impar y radicando positivo, resultado positivo.

3 729 tiene resultado único que es: 9 b) Índice impar y radicando negativo, resultado negativo.

532

1− tiene resultado único que es - 21

En general, al escribir un radical de índice par se considera que representa su raíz aritmética.

Así, 16 representa el número 4; cuando se quiere indicar las dos raíces, se utiliza la notación ± 16 , que es igual a ± 4.

2.2 Propiedades 2.2.1 La radicación es distributiva con respecto a la multiplicación

La raíz enésima de un producto es igual al producto de las raíces enésimas de cada uno de los factores, siempre que las operaciones sean posibles.

Simbólicamente:

nnnn cbaabc ..= siendo n un nº natural mayor que 1

RECÍPROCAMENTE El producto de radicales de igual índice es igual a la raíz del mismo

índice, cuyo radicando es el producto de los radicandos de los radicales dados. (Propiedad asociativa).

Simbólicamente:

nnnn abccba =.. siendo n un nº natural mayor que 1

2.2.2 La radicación es distributiva con respecto a la división

La raíz enésima de un cociente es igual a la raíz enésima del dividendo, dividida por la raíz enésima del divisor.

Simbólicamente: nnn baba :: =



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RECÍPROCAMENTE El cociente de dos radicales de igual índice es igual a la raíz del

mismo índice, cuyo radicando es el cociente de los radicandos de los radicales dados.

Simbólicamente:

2.2.3 Raíz de índice mn de un número

La raíz de índice mn de un número es igual a la raíz emésima de la raíz enésima de dicho

número.

Simbólicamente:

m nmn aa = siendo m y n, números naturales mayores que 1

Esta propiedad facilita la resolución de algunos ejercicios que a simple vista resultan complejos.

Por ejemplo:

La raíz cuarta puede considerarse la raíz cuadrada de la raíz cuadrada, o sea:

Se tiene:

1214420736207364 ===

quedando resuelto el ejercicio.

RECÍPROCAMENTE La raíz emésima de la raíz enésima de un número es igual a la raíz de

índice mn de dicho número.



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Simbólicamente:

mnm n aa = siendo m y n, números naturales mayores que 1

Ejemplo:

El valor de un radical no se altera si se multiplican o dividen exactamente por un mismo número el índice y el exponente.

Por ej: a) si se multiplica el índice y el exponente por el número 2 se tiene:

o sea, que el radical conserva el mismo valor después de haberse multiplicado el índice y el

exponente por el número 2.

b) Si se divide el índice 4 y el exponente 8 por el número 2 se tiene:

o sea, que el radical conserva el mismo valor después de haberse dividido el índice y el exponente por el número 2.

El valor de un radical no se altera si se multiplican o dividen exactamente el índice y el exponente por un mismo número distinto de cero.

En símbolos:

1°

a yan yn aa =

2°

x ynx ny aa =: :



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2.2.4 Simplificación de radicales

Simplificar un radical es encontrar otro radical de igual valor, pero de menor índice.

Ejemplo n° 1

Simplificar:

Como el índice 15 y el exponente 12 admiten el divisor 3, se puede simplificar así:

Ejemplo n° 2

Simplificar el radical:

Se observa que los exponentes de todos los factores del radicando y el índice tienen el divisor común 2. Luego, aplicando las propiedades estudiadas, se puede escribir:

Es evidente que la mayor simplificación de un radical se obtiene dividendo índice y exponente por su máximo común divisor. En este caso se dice que el radical se ha reducido a su más simple expresión.

Para simplificar un radical, se divide el índice y el exponente por un mismo número.(≠0)



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33 POTENCIA DE EXPONENTE RACIONAL Se acepta que:

n mnm

aa =

es decir, el índice de la raíz es el denominador de la fracción (exponente de la potencia); y

el exponente del radicando es el numerador de la fracción (exponente de la potencia)

Quedan excluidas en la definición todas las potencias de base negativa y exponente fraccionario irreducible (positivo o negativo) cuyo denominador sea par.

En los ejemplos siguientes, donde el exponente racional es negativo, se procede a invertir la base y obtener así el exponente positivo.

a) 7 3

73

73

11aa

a =

= b)

35

95

95

59 2

121

==

=

3.1 Propiedades a) La potenciación de exponente racional es distributiva con respecto a la multiplicación y a

la división.

b) El producto de potenciación de igual base y exponente racional, es otra potencia de la misma base y exponente igual a la suma de los exponentes de los factores, siempre que las potencias dadas sean posibles.



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c) El cociente de dos potencias de igual base con exponentes racionales es igual a otra

potencia de la misma base, cuyo exponente es la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor, siempre que las potencias dadas sean posibles.

d) La potencia de una potencia de un número real, siendo los exponentes racionales, es igual

a otra potencia de la misma base, cuyo exponente es el producto de los exponentes dados, siempre que todas las potencias sean posibles.

* Ha finalizado Ud. la Unidad 1 ¿Continuamos con la Unidad 2?

Si tiene dudas, comuníquese con su tutor



- Matemática III -

24


1. Calcular las siguientes potencias:

a) =

2

45

e) =

−2

31

b) =

3

32

f) =

−1

72

c) =

4

52

g) =

−3

34

d) =

2

21

h) =

−2

25

2. Calcular las siguientes raíces:

3. Determinar si el resultado es positivo ó negativo.

a) =2516

b) =−3 125

c) =49



- Matemática III -

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4. Aplicar propiedades y resolver:

5. Simplificar:

6. Convertir las siguientes expresiones:

a) =41

9

b) =

3

1

410

7. Aplicar propiedades y resolver:

=

51

32

213

1

56

4:4.4



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SOLUCIONES A CUESTIONARIO DE AUTOEVALUACIÓN

1.

a) 1625

e) 9

b) 278

f) 27

c) 62516

g) 6427

d) 41

h) 254

2.

2)

41)

32)

21)

d

c

b

a

3.

a) positivo ó negativo.

b) negativo.

c) positivo ó negativo.



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4.

5.

a) 4 22:8 2:4 xx =

b) cc =5:10 5:5

c) 32:6 2:2 mm =

d) 46:12 6:246:6 33 bb =

6.

331

4

104

104)

9)

=

b

a

7.

30 233023

44 =

*



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UNIDAD 2

EL NÚMERO COMPLEJO



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UNIDAD 2

EL NÚMERO COMPLEJO

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: - Definir números complejos. - Identificar las distintas propiedades. - Resolver operaciones.

11 EL CONCEPTO DE NÚMERO COMPLEJO

Hemos visto que toda ecuación del tipo

xn – a = 0 con a ≥ 0

tiene solución en ℜ .

Así por ejemplo los números irracionales cuyo cuadrado es 5, es decir x = 5+− son solución

de la ecuación x2 – 5 = 0

También tiene solución, en el conjunto de los números reales, cualquier ecuación

xn - a = 0 con a< 0

si n es un número impar.

Pero si n es par, el hecho de que toda potencia de exponente par de un número real sea no-negativa, hace imposible que exista solución en ℜ de la ecuación.

xn - a = 0 si a< 0

Así, la ecuación x2 + 4 = 0 no tiene solución en ℜ , pues no existe ningún número real que verifique:

x2 = -4

La imposibilidad de resolver ecuaciones como éstas, crea nuevamente la necesidad de extender el concepto de número, dando origen a la ampliación del conjunto de los números reales, mediante la introducción de los números complejos.



- Matemática III -

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1.1 Definición de número complejo Un número complejo está dado por un par ordenado (a ; b) de números reales para los

cuales se establece la siguiente relación de igualdad: (a; b) = (c; d) ⇔ a = c ∧ b = d

Entre estos pares ordenados que llamaremos números complejos, se definen las operaciones de adición y multiplicación.

Simbolizamos con la letra C, al conjunto de los números complejos. Si ( ) Cbaz ∈= ; llamamos parte real de z a la primera componente de z y parte imaginaria a la segunda componente

1.1.1 Adición de números complejos

Por definición es:

(a; b) + (c; d) = (a + c; b + d)

Así por ejemplo:

(2; 1) + (3; 9) = (5; 10)

1.1.2 Multiplicación de números complejos

Por definición es:

(a; b) . (c; d) = (a c – b d; a d + b c )

Ejemplo:

(3; 5 ) . (2; 21 ) = (3 . 2 – 5 .

21 ; 3 .

21 + 5 . 2) =

223;

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1.1.3 Propiedades de la adición

• Ley de cierre

La adición en C es cerrada, pues la suma de dos números complejos es otro número complejo, es decir: Si CzzCzyCz ∈+⇒∈∈ 2121

• Ley uniforme

La adición en C cumple la ley uniforme, pues dados dos números complejos su suma es única.

Es decir:

Si wzwzzzyCwCzCz +=+⇒=∈∈∈ 212121 ,,



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Observemos que el cumplimiento en C de las dos leyes enunciadas es consecuencia del cumplimiento de las mismas leyes en R.

Es decir:

Si a, b, c y d son números reales, existe un único número real igual a a + c y existe un único número real igual a b + d.

Luego existe un único número complejo

(a + c ; b + d) = (a; b) + (c; d)

Esta observación se extiende a las demás leyes de la adición.

• Ley asociativa

Si 321 ,, zyzz son números complejos, entonces:

( ) ( )321321 zzzzzz ++=++

• Ley conmutativa

Si 21 zyz son números complejos entonces:

1221 zzzz +=+

• Elemento neutro

El elemento neutro de la adición en C es el número complejo (0; 0).

Es decir:

Si (a; b) ∈ C entonces

(a; b) + (0; 0) = (0; 0) + (a; b) = (a; b)

• Inverso aditivo

Para cada número complejo (a; b) existe el número complejo (-a; -b) que verifica

(a; b) + (-a; -b) = (-a; -b) + (a; b) = (0; 0)

(-a; -b) es el inverso aditivo de (a; b)

Ejemplo: el inverso aditivo de (3 ; -2) es (-3 ; 2)

1.1.4 Propiedades de la multiplicación

Las propiedades de la multiplicación en C son consecuencia de las propiedades de la adición y de la multiplicación en R.



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• Ley de cierre

CzzCzyCz ∈⋅⇒∈∈ 2121

• Ley uniforme

wzwzzzyCwCzCz ⋅=⋅⇒=∈∈∈ 212121 ,,

• Ley asociativa

Si CzyCzCz ∈∈∈ 321 , entonces

( ) ( )321321 zzzzzz ⋅⋅=⋅⋅

• Ley conmutativa

Si CzCz ∈∈ 21 , entonces

1221 zzzz ⋅=⋅

• Elemento neutro

El número complejo (1; 0) es el elemento neutro de la multiplicación en C. Es decir si (a; b) ∈C entonces:

(a; b) . (1; 0) = (1; 0) . (a; b) = (a; b)

• Inverso multiplicativo

Para cada número complejo z = (a; b) ≠ (0; 0) ∃ un número complejo 1−z

que verifica

z . z-1 = z-1 . z = (1; 0)

1.1.5 Propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición

Si 321 ,, zzz son números complejos, entonces

( ) 3121321 zzzzzzz ⋅+⋅=+⋅

Las propiedades enunciadas confieren a C una estructura de cuerpo conmutativo.

(C, +, .) es un cuerpo conmutativo

Observemos que...



- Matemática III -

35

1.2 Forma binómica de un número complejo

Se llama unidad imaginaria al número complejo (0; 1) y se lo designa con la letra i

i = (0; 1)

Teniendo en cuenta la definición de número complejo, resulta

i2 = -1

pues:

i2 = (0; 1) . (0; 1) = (0 – 1; 0 + 0) = -1

Por otra parte

(b; 0) (0; 1) = (0; b)

y como (b; 0) = b

(0; 1) = i

es (0; b) = bi

Un número complejo de parte real igual a cero y parte imaginaria distinta de cero se llama número complejo imaginario puro.

(0; b) es un número complejo imaginario puro y según se ha demostrado puede expresarse

como producto de la parte imaginaria por la unidad imaginaria. Teniendo en cuenta que:

(a; 0) = a

(0; b) = bi

y (a; b) = (a; 0) . (0; b)

resulta

(a; b) = a + bi

donde a + bi es la forma binómica del número complejo (a; b)

Ejemplo:

Expresar en forma binómica

a) (5; -4) = 5 - 4i

b)

3,0;

21 = i3,0

21

+



- Matemática III -

36

Para operar con números complejos dados en forma binómica se siguen las mismas reglas de las operaciones que en el campo real, teniendo en cuenta que i2 = -1

Ejemplo:

Efectuar las siguientes operaciones

a) (2 + 9i) + (0,4 + i) = 2,4 + 10i

b) ( ) iiiiiii31

37

132

231

32

231

2131 2 −=

−++=−+−=+⋅

−

1.3 Complejos conjugados

Dado el número complejo z = a + bi, se llama conjugado de z al número complejo z = a – bi

z : se lee conjugado de z.

1.4 División en C

Sean ( )0221 ≠+=+= zdiczybiaz

Para calcular el cociente 2

1

zz multiplicamos el numerador y el denominador por el conjugado

del denominador:

( ) ( )( ) ( )

( )22

2

1

dcibcadbdac

dicdicdicbia

dicbia

zz

++−++

=−⋅+−⋅+

=++

=

Luego:

( )2222

2

1

dcibcad

dcbdac

zz

++−

+++

=

Ejemplo:

Efectuar i

i32

1+−



- Matemática III -

37

De acuerdo a lo visto, será:

( )( )( )( )

( )( )

=−−

=+

−−

=−−

−+−−=

−+−−

=−+

−−=

+−

1351

94352

1.941.3232

943232

32.3232.1

321

2

2

ii

iii

iiiii

iii

i

1.5 Potenciación 1.5.1 Potencias de i

Teniendo en cuenta que i2 = -1 calculamos las sucesivas potencias de i, conviniendo en

definir que i0 = 1

i0 = 1

i1 = i

i2 = -1

i3 = i2 . i = -i

A partir de la cuarta potencia los números se repiten periódicamente, así:

i4 = 1

i5 = i

i6 = -1

i7 = -i

En general, para calcular una potencia cualquiera de i, por ejemplo in, debemos hallar el resto de la división de n por 4.

135

131 i



- Matemática III -

38

De esta manera si n 4 entonces n = 4 . q + r r q

El resto será siempre una potencia de i.

Por ejemplo:

Calcular: i23

Como 23 4

3 5

es i23 = i3 = -i

1.5.2 Potencias de números complejos: cuadrado y cubo de números complejos.

( )( )

( )9124

1.9124966432.32

2

−+=−++=

+++=

++=

ii

iiiii

Otra forma de resolución

( )

91249124

33.2.222

22

−+=++=

++=

iii

ii

( ) ( ) ( )

( )iiiii

iii

−−−−=−+−=

−+−+−+=

124864124864

.4.3.4.3432

3223

( )232) ia +

i125 +−=

i125 +−=

( )232 i+

( )34) ib −

i4752 −=



- Matemática III -

39

1.6 Representación gráfica de los números complejos

Fijado en el plano un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales los números complejos pueden representarse mediante puntos de ese plano haciendo corresponder a cada número complejo z = a + bi el punto de coordenadas (a, b).

y

b biaz +=

a x

Hemos asociado entonces a cada número complejo un punto del plano

a + bi → (a; b) Pero por otra parte también podemos hacer corresponder a cada punto del plano de

coordenadas (a; b) el número complejo a + bi

(a; b) → a + bi

Luego, existe una correspondencia uno a uno entre el conjunto de los números complejos y los puntos del plano, de manera análoga a la establecida entre los números reales y los puntos de una recta.

Los números reales identificados con los números complejos de la forma a + 0i se

representan sobre el eje horizontal, porque a estos números les corresponden los puntos del plano de segunda coordenada igual a cero.

a + 0i ↔ (a; 0)

por esta razón al eje horizontal se lo llama EJE REAL.

A los números complejos de la forma 0 + bi o sea, imaginarios puros se los representa sobre el eje vertical porque a estos números les corresponden los puntos del plano de primera componente igual a cero.

0 + bi ↔ (0; b)



- Matemática III -

40

Por esta razón se llama EJE IMAGINARIO al eje vertical

Ejemplo:

Representar el siguiente número complejo.

( )3;23232

−↔+−=+−=

iziz

y

iz 32 +−= 3

-2 x

*

Ha finalizado Ud. la Unidad 2

Ante cualquier duda, por favor, comuníquese con su tutor



- Matemática III -

41


1. Calcular las siguientes sumas

a) ( ) =+

4,3

21;2

b) ( ) =

+−

21

;01;3

2. Calcular los siguientes productos

a) ( ) =⋅

2;11;

31

b) ( ) =⋅

− 2;2

21;1

3. Calcular las siguientes diferencias

a) ( ) ( ) =− 2,49,5

b) =

−

2,

31

53;0

4. Expresar en forma binómica los siguientes números complejos

a) (7; 2) =

b) =

− 1;

61



- Matemática III -

42

5. Expresar como pares ordenados los siguientes números complejos:

a) -1 =− i52

b) =+− i3

6. Efectuar las siguientes operaciones:

a) ( ) =

++

−−− iii

21

221

22

b) ( ) ( ) =

−⋅−++ iii

2125

c) ( ) ( ) ( ) =+−⋅−−⋅+ iii 313

d) ( ) =

−−− ii 3

211 2

7 . Dados:

iz 231 −= 5331 432 ==+= ziziz

Hallar:

a) =1z b) =2z c) =3z d) =4z e) =+ 31 zz

8 . Efectuar las siguientes divisiones

a) =−+

ii

12

b) =−+

ii

6666

*



- Matemática III -

43


1.

a)

29;5

b)

−

21

,3

2.

a)

−

35

;35

b) (3; 1)

3.

a) (1; 7)

b)

−−

57;

31

4.

a) ( 7 + 2i)

b)

+− i

61



- Matemática III -

44

5.

a)

−−

52;1

b) ( )1;3−

6.

a) i21

27

−

b) 3

c) 10 + 10i

d) i+21

7.

a) iz 231 +=

b) iz 312 −=

c) iz 33 −=

d) 54 −=z

e) izz −=+ 331

8.

a) i23

21

+

b) i



- Matemática III -

45

UNIDAD 3

POLINOMIOS



46



- Matemática III -

47

UNIDAD 3

POLINOMIOS

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: - Definir polinomios. - Identificar monomios, binomios, trinomios y cuatrinomios. - Resolver operaciones.

A las expresiones que son combinaciones de operaciones entre números expresados en letras

y cifras se las llama expresiones algebraicas.

11 EXPRESIONES ALGEBRAICAS ENTERAS

Se llaman así las expresiones algebraicas en que las letras están sometidas únicamente a las

operaciones de suma, resta y multiplicación ( en la multiplicación queda incluida la potenciación con exponente natural ).

1.1 Monomios

Las expresiones algebraicas enteras en las que no intervienen la suma ni la resta, se llaman monomios.

Como se observa en el siguiente ejemplo, un monomio consta de tres partes, que son: el signo, el coeficiente y la parte literal:

3

52 mn

En este monomio el signo es (-), el coeficiente es 52 y la parte literal es mn³.



- Matemática III -

48

En el monomio 5 a² b³ z el signo es (+), el coeficiente es 5 y la parte literal a² b³ z.

Cuando el coeficiente es 1, por convención no se escribe.

Monomios semejantes: Si dos o más monomios tienen la misma parte literal, se dice que son semejantes.

Los monomios semejantes pueden diferir únicamente en el signo y el coeficiente.

Ejemplo: 22a− ; 2

41 a ; 2a son monomios semejantes

1.2 Polinomios

Las expresiones algebraicas enteras en las que intervienen la suma y la resta, o una de ellas solamente, se llaman polinomios.

Ejemplo:

5x3y2 – 2 a2 +21 b es un polinomio

Es decir que este polinomio puede interpretarse como la suma algebraica de los monomios: 235 yx ; 22a− ; b

21 , cada uno de los cuales se llama término del polinomio.

Un polinomio puede tener dos, tres, cuatro o más términos. Si tiene dos términos se llama binomio; si tiene tres términos, trinomio; si tiene cuatro

términos, cuatrinomio y, en general, cuando tiene n términos, se llama polinomio de n términos. Ejemplos:

1923;191

525:

2;21:

25;32:

;5;3;5,0:

3223

2223

32

2322

−+−−+−

++−+

+−+

−−

aaaxxxosCuatrinomi

babaxxxTrinomios

xabaxBinomios

banxmyxaMonomios



- Matemática III -

49

1.2.1 Polinomio nulo

Aquel polinomio cuyos coeficientes son iguales a cero se denomina nulo.

Se anota: P (x) = 0

1.2.2 Grado de un polinomio: es el del término de más alto grado.

Así el polinomio:

21 x² + 3 a² x – 0,2 a³ + ax

es de tercer grado, pues el término de mayor grado, - 0,2 a³, es de tercer grado.

El polinomio nulo carece de grado.

Si se trata de un polinomio en x, el grado está dado por el mayor exponente de x. Ejemplo 152 63 −++ xxx es un polinomio de sexto grado.

1.2.3 Polinomios ordenados

Un polinomio se dice ordenado con respecto a las potencias decrecientes de una de sus letras, cuando ésta figura en cada término elevada a una potencia menor o igual que en el término anterior.

Así, por ejemplo, el polinomio:

azaaza −+− 5234

325

21

está ordenado con respecto a las potencias decrecientes de a. Un polinomio se dice ordenado con respecto a las potencias crecientes de una de sus letras,

cuando ésta figura en cada término elevada a una potencia mayor o igual que en el término anterior. Así, el polinomio:



- Matemática III -

50

a + 1 z - 0,5 z² - az³

está ordenado con respecto a las potencias crecientes de z.

La letra con respecto a la cual el polinomio está ordenado se llama letra ordenatriz. En el primer ejemplo, la letra ordenatriz es a y en el segundo ejemplo la letra ordenatriz es z.

1.2.4 Polinomios completos

Un polinomio en x o en una indeterminada cualquiera se dice completo cuando figuran todas las potencias de esa letra, menores que la del más alto grado con que esa letra figura en el polinomio.

En caso contrario el polinomio se dice incompleto. Ejemplos: a) El polinomio:

3x2 – x + 2x4 – 9 + 5x3

es un polinomio completo, pues el término de más alto grado en x que figura es

2 x4

y luego en los otros términos figura x³; x²; x; x°.

b) El polinomio:

2x5 + 7x – 3x3 + 2

es un polinomio incompleto, pues faltan los términos en

x4 y x2

Completar un polinomio es hacer que aparezcan en él las potencias que faltan para que sea completo. Para ello se agregan los términos correspondientes a esas potencias que faltan, pero sin que altere el polinomio dado. Por lo tanto, los términos que se agregan deben ser nulos; esto se logra afectándolos del coeficiente cero.

Por ejemplo, para completar el polinomio:

21 x4 – 2x + 1



- Matemática III -

51

Es necesario agregar los términos: 0x3 y 0x2 Luego, el polinomio completo es:

21 x4 + 0x3 + 0x2 – 2x + 1 (polinomio ordenado y completo)

Si tuviera este polinomio 234432 25141 yxxyyxyx −++− ¿Sabría como ordenarlo?

Si tiene dudas recuerde que su tutor lo puede ayudar.

1.2.5 Función polinómica

Consideremos el polinomio formal en la indeterminada x.

nn xaxaxaaxP ++++= .....)( 2

210

Sus coeficientes naaaa .....;; 210 pertenecen al conjunto R de los números reales.

Si damos una interpretación de la indeterminada x, reemplazándola por un número real, la expresión P (x) deja de ser un polinomio formal y se convierte en un elemento de R.

Por ejemplo: P (x) = 2 x² - 3 x + 5 Si hacemos: x = 2

Entonces: P (2) = 2 . 2² - 3 . 2 + 5

P (2) = 8 – 6 + 5

P (2) = 7 7 ∈ R

Se dice que “7 es el valor de P para x = 2”. Podemos definir entonces una función:

( ) nn xaxaxaaxPxf ++++== .....)( 2

210

Cuando la relación que expresa la función es un polinomio, la función se llama polinómica.

x es ahora una variable que toma valores en R. La función f hace corresponder a cada

elemento x ∈ R un valor f (x) ∈ R, llamado valor de la función en x.



- Matemática III -

52

x ∈ R f (x) ∈ R ( función de R en R )

Anotamos:

Rx ∈ f(x) = nn xaxaxaa ++++ .....2

210

ó y = nn xaxaxaa ++++ ....2

210

Así, son funciones polinómicas:

y = 2x2 – 3x + 1

y = 3x4 – 2x3 + x2 - 51 x + 4

y = x3 – 8

Cada valor que se atribuye a x determina el valor de y. Ejemplo:

En la primera función polinómica dada:

y = 2 x² - 3 x + 1 para x = 3 es P (3) = 2 . 9 – 3 . 3 + 1 = 10 o sea, para x = 3 y = 10

para x = - 1 es P (- 1) = 2 . (- 1)² – 3 . (- 1) + 1 = 2 . 1 + 3 + 1 = 6

o sea, para x = - 1 y = 6

Observemos que 10 es el valor numérico del polinomio cuando a x se le atribuye el valor 3 y que 6 es el valor numérico del polinomio cuando a x se le atribuye el valor (– 1).

Si en el polinomio figuran dos letras cada par de valores que se atribuye a cada una de ellas

da un valor numérico del polinomio que es el correspondiente valor de y, mediante esa función.

Ejemplo: Para el polinomio: y = x³ - 3 xz + 4 z² x = 2 y z = 5 Se tiene: y = 2³ - 3 . 2 . 5 + 4 . 5² = 8 – 30 + 100 = 78



- Matemática III -

53

22 OPERACIONES

2.1 Adición de polinomios

Definición: Se llama suma de dos polinomios P y Q al polinomio cuyos términos se obtienen sumando los términos del mismo grado de P y Q.

Para sumar los siguientes polinomios:

2 m³ - 5 mn + 3 ; 21 mn + 5 m³ + 2

La operación se expresa:

( 2 m³ - 5 mn + 3 ) + ( 21 mn + 5 m³ + 2 ) = 2 m³ - 5 mn + 3 +

21 mn + 5 m³ + 2

Reduciendo en esta expresión los términos semejantes, es decir:

2 m³ + 5 m³ = 7 m³

- 5 mn + 21 mn =

29− mn

3 + 2 = 5

se tiene:

( 2 m³ - 5 mn + 3 ) + ( 21 mn + 5 m³ + 2 ) = 7 m³ -

29 mn + 5

Prácticamente, para obtener la suma con los términos semejantes ya reducidos la operación

se dispone así:

2 m³ - 5 mn + 3 Cálculos auxiliares:

5 m³ + 21 mn + 2 - 5 +

21 =

29

2110

−=+−

7 m³ - 29 mn + 5



- Matemática III -

54

REGLA: Para sumar varios polinomios entre sí, o polinomios y monomios, se coloca uno debajo del otro, de manera que los términos semejantes queden en columna. Se hace la suma parcial de cada columna y se escriben estos resultados parciales uno a continuación de otro, con sus respectivos signos.

2.2 Sustracción de polinomios

Definición: La diferencia entre un polinomio P y un polinomio Q es el polinomio que se obtiene sumando a P el opuesto de Q. P – Q = P + ( - Q )

REGLA: Para restar dos expresiones algebraicas enteras se suma al minuendo el opuesto del sustraendo

Ejemplos:

De 52 a3b2 – 5 ab3 + 7b4 restamos -a3b2 +

25 ab3 + 2 b4 - 2

Aplicando la regla, se dispone prácticamente como se indicó para la suma, escribiendo

directamente el sustraendo con sus términos cambiados de signo:

252

1557

2225

7552

4323

4323

4323

++−

+−−

+−

babba

babba

babba

2.3 Multiplicación de expresiones algebraicas 2.3.1 Multiplicación de un polinomio por un monomio

Cálculos auxiliares

57

5521

52

=+

=+

-5 - 2

152

51025

−=−−

=

Opuesto del sustraendo



- Matemática III -

55

Sea multiplicar: ( 2 a² - 23 ab + 5 b² ) (

21 ab )

Aplicando la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la suma algebraica:

( 2 a² - 23 ab + 5 b² ) (

21 ab ) = 2 a² .

21 ab –

23 ab .

21 ab + 5 b² .

21 ab

REGLA: Para multiplicar un polinomio por un monomio se forma el polinomio que se obtiene multiplicando cada término del polinomio por el monomio y sumando los productos parciales.

Prácticamente la operación se dispone así:

3223

22

25

43

21.

5232

abbaba

ab

baba

+−

+−

Cálculos auxiliares:

25

215

43

21

23

1212

=⋅

=⋅

=⋅

Recordar: 322 ; aaaaaa =⋅=⋅ (Producto de potencias

de igual base)

2.3.2 Multiplicación de polinomios

Definición: Para multiplicar dos polinomios se aplica la ley distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, es decir, se multiplica cada término del primero por cada término del segundo y luego se suman los términos semejantes.

Hallar el producto: ( 2 a² - 5 ab + b² ) ( 21 a – b )

Multiplicamos aplicando la propiedad distributiva:



- Matemática III -

56

(2 a² - 5 ab + b²) ( 21 a – b) = 2 a² .

21 a – 5 ab .

21 a + b² .

21 a - 2 a². b + 5 ab . b - b². b

Efectuando las operaciones indicadas en cada término del segundo miembro, se tiene:

(2 a² - 5 ab + b²) ( 21 a – b) = a³ -

25 a² b +

21 ab² - 2 a² b + 5 ab² - b³

Y reduciendo los términos semejantes resulta:

(2 a² - 5 ab + b²) (21 a – b) = a³ -

29 a² b +

211 ab² - b³

REGLA: Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada término del primero por cada

término del segundo y se suman los productos parciales.

Recordar: - . - = + - . + = - + . + = +

Así, para el ejemplo anterior, se tiene:

2 a² - 5 ab + b² Cálculos auxiliares:

. 21 a - b 2 .

21 = 1

a³ - 25 a² b +

21 ab² 5 .

25

21

=

- 2 a² b + 5 ab² - b³ 29

2452

25

−=−−

=−

a³ - 29 a² b +

211 ab² - b³

211

21015

21

=+

=+

2.4 Anillo de polinomios El conjunto de los polinomios con las operaciones de adición y multiplicación tiene

estructura de anillo. En efecto: • La suma de polinomios es asociativa. • Existe elemento inverso con respecto a la adición, que es el polinomio cuyos términos son

los opuestos del dado.



- Matemática III -

57

• La suma de polinomios es conmutativa. • La multiplicación de polinomios es asociativa. • La multiplicación de polinomios es conmutativa. • La multiplicación es distributiva con respecto a la adición de polinomios.

2.5 División de expresiones algebraicas

2.5.1 División de un polinomio por un monomio

Por ejemplo: Efectuamos la siguiente división:

(5 m4nx4 + 32 m3n2x – 4 m3 xy) : (2 m3 x)

Aplicando la propiedad distributiva de la división con respecto a la suma algebraica es:

(5 m4nx4 + 32 m3 n2 x – 4 m3 xy) : (2 m3 x) =

(5 m4 nx4 : 2m3 x) + (32 m3 n2 x : 2 m3 x) – ( 4m3 xy : 2m3 x)

Efectuando las divisiones de monomios indicadas en cada paréntesis se tiene:

Cálculos auxiliares:

(5m4nx4 + 32 m3n2x – 4m3xy) : (2m3 x) =

25 mnx3 +

31 n2 – 2y m4 : m3 = m4-3 = m

x4 : x = x3

5 : 2 = 25

312:

32

=

4 : 2 = 2

REGLA: Para dividir un polinomio por un monomio, se divide cada término del polinomio dividendo por el monomio divisor y se suman los cocientes parciales.



- Matemática III -

58

2.5.2 División de polinomios

Definición: Dados dos polinomios A y B, dividir A por B significa encontrar otros dos polinomios C y R llamados cociente y resto.

REGLA: Para dividir un polinomio por otro, ordenados según las potencias decrecientes de una misma letra, se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose así, el primer término del cociente. Se multiplica este término por todo el divisor y este producto se resta del dividendo, obteniéndose el primer resto parcial. Se repiten las operaciones anteriores comenzando por dividir el primer término del resto por el primer término del divisor. Y así se sigue hasta llegar a un resto de grado menor que el divisor.

Aplicamos en el siguiente ejemplo la regla enunciada:

( 4 x - x² + 6 x³ - 1 ) : ( 2 x² - x + 2 )

Prácticamente se disponen como se indica a continuación, ya ordenados los polinomios, de acuerdo con las potencias decrecientes de x:

6 x³ - x² + 4 x – 1 2 x² - x + 2

- 6 x³ + 3 x² - 6 x 3 x + 1

2 x² - 2 x – 1

- 2 x² + x – 2

- x – 3

De acuerdo con la regla, se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, es decir, 6 x³ : 2 x² = 3 x, que es el primer término del cociente. Se multiplica ese término 3x por el divisor, y como este producto debe restarse del dividendo, se transforma la resta en suma, escribiendo cada producto parcial cambiado de signo debajo de su semejante del dividendo. Esto se expresa así: 1° Al multiplicar 3 x por 2 x² se dice: + por + = +; para restar -; 3x por 2 x² = 6 x³ ;

luego, se escribe - 6 x³ debajo de su semejante 6 x³ del dividendo. 2° Al multiplicar 3 x por ( - x ) se dice: + por - = -; para restar +; 3 x por x = 3 x² ;

luego, se escribe + 3 x² debajo de ( - x² ).

3° Al multiplicar 3 x por 2 se dice: + por + = +; para restar -; 3 x por 2 = 6 x ;

luego, se escribe – 6x debajo de 4 x.



- Matemática III -

59

Reduciendo términos semejantes se obtiene el primer resto parcial 2 x² - 2 x – 1. Como el grado de este resto es igual al grado del divisor, se debe continuar la división.

Para obtener el segundo término del cociente se efectúa la división 2 x² : 2 x² = 1.

Se multiplica 1 por todo el divisor, y estos productos parciales cambiados de signo dan el polinomio - 2 x² + x – 2 , que se escribe debajo del primer resto, de modo que los términos semejantes queden en columna.

Reduciendo términos semejantes, se obtiene el segundo resto – x – 3. Como el grado de

este polinomio es inferior al del divisor, la división está terminada. El cociente es: 3 x + 1 y el resto es: - x – 3. Cuando el polinomio dividendo es incompleto, en la disposición práctica conviene dejar el

espacio correspondiente a los términos que faltan o bien completar el polinomio agregando esos términos con coeficiente cero.

Recordar: los polinomios deben estar ordenados en forma decreciente, y el polinomio del dividendo debe estar completo. El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el grado del polinomio divisor.

2.6 Regla de Ruffini

El cociente de un polinomio completo por un binomio de la forma ( x ± a ) es un polinomio cuyo grado es inferior en una unidad al del dividendo y cuyos coeficientes, una vez ordenado el dividendo de acuerdo con las potencias decrecientes de x, se obtienen así:

El primer coeficiente del cociente es igual al primer coeficiente del dividendo; el segundo coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por el número “a” cambiado de signo y sumando a este producto el coeficiente del segundo término del dividendo; el tercer coeficiente se obtiene multiplicando el coeficiente anterior por el número “a” cambiado de signo y sumando a este producto el coeficiente del tercer término del dividendo, y así siguiendo para los restantes.

El resto se obtiene multiplicando el último coeficiente del cociente por “a” cambiado de

signo y sumando a este producto el término independiente del dividendo. Ejemplo: (5 x3 – 4 x2 + x – 8) : ( x – 2)=



- Matemática III -

60

El procedimiento a seguir es el siguiente:

5 -4 1 -8

+ (suma)

El número “a”

cambiado de signo

2 10 12 26

Multiplicación ● 5 6 13 18

Coeficientes del dividendo ordenado en forma decreciente y completo Resto

Se baja el 1º coeficiente

El grado del polinomio cociente se obtiene restando una unidad al grado del dividendo. En

el caso anterior, el cociente es de segundo grado y sus coeficientes son: 5, 6, 13. Por lo tanto: C = 5x2 + 6x + 13 (cociente) y resto = 18 Recordemos que si el polinomio dividendo está incompleto, deben agregarse los términos

faltantes con coeficientes cero.

Ejemplo: (x3 - 8) : (x – 2)= Siguiendo el procedimiento indicado más arriba será:

1 0 0 -8

+2 +2 +4 +8

1 2 4 0

Luego, el resultado será: cociente: x2 + 2x + 4 y resto = 0



- Matemática III -

61

2.7 Teorema del resto Como se ha visto, la regla de Ruffini permite calcular el resto de la división de un polinomio

en x por un binomio de la forma ax −+ , conociendo el último coeficiente del cociente. Pero este

resto puede calcularse directamente así: El resto de la división de un polinomio en x por otro de la forma x ± a es igual al valor

numérico del polinomio dividendo para x igual al valor “a” cambiado de signo. En el primero de los ejemplos realizados, dividimos 5x3 – 4x2 + x – 8 por x – 2, y

obtuvimos un resto de 18. A ése mismo resultado llegamos aplicando el teorema del resto, de la siguiente manera,

donde, x = 2. El procedimiento será: 5 . 23 – 4 . 22 + 2 – 8 = 5 . 8 – 4 . 4 + 2 – 8 = 40 – 16 + 2 – 8 = 18 La observación hecha en este ejemplo es general y se enuncia en un teorema que se llama:

TEOREMA DEL RESTO: El Resto de la división de un polinomio en x por un binomio de la forma ( ax −

+ ) es el valor numérico del polinomio dividendo para x igual a a cambiado de signo.

Ejemplo: ( x³ - 23 x – 28 ) : ( x + 4 ) • Calcular el polinomio cociente por la regla de Ruffini y el Teorema del Resto. “a” cambiado de signo = - 4. Se completa el polinomio dividendo: x³ + 0 x² - 23 x – 28.

1 0 -23 -28

-4 -4 +16 +28

1 -4 -7 0

Por lo tanto, el polinomio cociente será: 1x2 –4 x – 7 Resto = 0



- Matemática III -

62

Aplicando el Teorema del Resto:

x = - 4

( - 4 )³ - 23 . ( - 4 ) – 28 = 0

- 64 + 92 – 28 = 0

*


Le recuerdo que su tutor puede ayudarlo.



- Matemática III -

63


1. Decir si es verdadero o falso, según corresponda:

1) 4 a - 281 ( monomio )

2) 4 – 7 + 8 ( polinomio )

3) 5 b m + 341 ( binomio )

2. Ordenar y completar en forma decreciente los exponentes de x:

a) ax5 + 21 bx2 b)

415 542 +−+− xxx

3. Calcular el valor correspondiente a “y” en las siguientes expresiones:

a) y = 2 x3 + 4x – 2 para x = - 1

b) y = x4 – 2x2 + 3 para x = 2

4. Sumar los siguientes polinomios:

a) 32 x³ - x² y + 2 xy² ; - y² +

21 x y² +

61 x³

b) ( ) ( )=++−+−+− 5,022553 2342 xxxxx

5. Restar los siguientes polinomios:

a) 65 a - 3 b +

51 c – 2 ;

51 b -

32 c -

91 a - 0,2

b) ( ) ( )=−+−−−+− 3452593 4343 xxxxx



- Matemática III -

64

6. Efectuar el siguiente producto entre polinomio y monomio:

−⋅

−+

− yxmmnyxmx 24323

715

301

2542

57

=

7. Realizar los productos entre polinomios:

a) ( m³ + m² n + mn² + n³ ) . ( m – n )= b) ( ) ( )=+−⋅−+− 123352 223 xxxxx

8. Realizar la siguiente división:

( )bcacbacbacba 222224334 5:1592

51

−

−− =

9. Efectuar la siguiente división entre polinomios:

( a³ + 3 a² b + 3 ab² + b³ ) : ( a + b )=

10. Aplicar la regla de Ruffini para obtener cociente y resto:

a) ( 5 x³ + 43 x² - x + 3 ) : ( x +

21 ) = b) ( ) ( ) =−+−+− 2:2342 xxxx

11. Aplicar el Teorema del Resto:

( 9 x² - 6 x – 5 ) : ( x – 1 )=

12. Efectuar las siguientes operaciones combinadas entre polinomios.

a) ( ) ( )=++−−−+

−−− 3232

2152 3434 xxxxxxx

b) ( ) ( ) ( )=+−−−⋅−+−− 3253152 4223 xxxxxxx

*



- Matemática III -

65


1. 1) Falso.

2) Falso.

3) Verdadero.

2. a) ax5 + 0x4 + 0x3 + 21 bx2 + 0x + c b)

41005 2345 ++−++− xxxxx

3. a) y = - 8

b) y = 11

4. a) 65 x³ - x² y +

25 xy² - y²

b) 5,1555 234 −++−− xxxx

5. a) a1817 -

516 b +

1513 c – 1,8

b) 2555 34 −+− xxx

6. 3m5x3y - 5

18 m4x5y3 + 141 m5n3x2y

7. a) m4 – n4 b) 371615196 2345 −+−+− xxxxx

8. 251

− a2 b2 + 452 ab3 c + 3 bc

9. cociente: a² + 2 ab + b²

resto: 0



- Matemática III -

66

10. a) cociente: 5 x² - 47 x -

81 b)

8:332: 23

restoxxxcociente +++

resto: 1649

11. R = -2

12. a) 510213 34 −−+ xxx

b) 3516114 2345 −+−+−− xxxxx

*



- Matemática III -

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UNIDAD 4

FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS



68



- Matemática III -

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UNIDAD 4

FACTOREO DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: - Aplicar los distintos casos de factoreo. - Factorear poliomios. - Obtener el MCD y el mcm de expresiones algebraicas enteras.

11 FACTOREO

Definición: Factorear un polinomio es transformarlo en un producto de expresiones algebraicas.

No todos los polinomios se pueden factorear. Los polinomios que se pueden factorear se clasifican en diferentes grupos, según las características particulares que presentan, y para los polinomios pertenecientes a cada uno de esos grupos se da la regla correspondiente para su factoreo.

Los diferentes grupos en que se reúnen los polinomios para factorear dan lugar a los

siguientes casos de factoreo:

1.1 Primer caso – Factor común

Un número es factor común en una suma algebraica cuando figura en cada término como factor.

Así, en la suma algebraica:

18 + 12 – 9 + 15

figura el factor común 3; por lo tanto, se puede sacar ese factor y se tiene:

18 + 12 – 9 + 15 = 3 ( 6 + 4 – 3 + 5 )



- Matemática III -

70

Análogamente, una expresión algebraica es factor común de todos los términos de un polinomio cuando figura en todos ellos como factor.

Ejemplos:

þ En el polinomio 2 a + ab – 53 ac el factor común es a, y de acuerdo con la regla conocida para

sacar factor común, se puede escribir:

2 a + ab – 53 ac = a ( 2 + b –

53 c )

þ En el polinomio

4 x3y2 – 2 x2y + 98 x6y5z

el factor común es 2 x² y. Dicha expresión figura como factor en todos los términos.

Por consiguiente, sacando 2 x² y, factor común, resulta:

4 x3y2 – 2 x2y + 98 x6y5z= 2 x2y (2 xy – 1 +

94 x4y4z)

Como se puede ver en los dos ejemplos dados, al sacar factor común, el polinomio se transforma en producto, por lo tanto, queda factoreado.

Este procedimiento da lugar a la siguiente:

REGLA: Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor por el polinomio que resulta al dividir cada término por ese factor.

Observar que el polinomio que resulta al sacar factor común debe tener igual número de términos que el polinomio dado.

1.2 Segundo caso – Descomposición en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo.

Por ejemplo, el polinomio:

3 x – 2 ab + nx – 2 bx + an + 3 a



- Matemática III -

71

Se observa que no existe un factor común a todos los términos, pero que el primero, el tercero y el cuarto término tienen un factor común x, mientras que el segundo, el quinto y el último tienen el factor común a.

Agrupando los términos que admiten un factor común, el polinomio dado puede escribirse: 3 x – 2 ab + nx – 2 bx + an + 3 a = ( 3 x + nx – 2 bx ) + ( - 2 ab + an + 3 a ) Sacando factor común en cada una grupo, se tiene: 3 x – 2 ab + nx – 2 bx + an + 3 a = x ( 3 + n – 2 b ) + a ( - 2b + n + 3 ) El segundo miembro de esta expresión es un binomio en el que el primer término es el

producto de x por la expresión encerrada entre paréntesis ( 3 + n – 2 b ), y el segundo término es el producto de a por la expresión encerrada entre paréntesis ( 2 b + n + 3 ).

Como estas expresiones encerradas entre paréntesis son iguales y son factores de cada uno

de los dos términos, dicha expresión puede sacarse como factor común en el segundo miembro. Luego:

x ( 3 + n – 2 b ) + a ( - 2 b + n + 3 ) = ( 3 + n – 2 b ) ( x + a )

Por carácter transitivo resulta:

3 x – 2 ab + nx – 2 bx + an + 3 a = ( 3 + n – 2 b ) ( x + a )

igualdad que expresa como producto el polinomio dado.

REGLA: Si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igual número de términos con un factor común en cada grupo, se saca en cada uno de ellos el factor común. Si queda la misma expresión en cada uno de los paréntesis, se la saca, a su vez, como factor común, quedando así factoreado el polinomio dado.

¿Qué le parece si desarrollamos otro ejemplo?

( ) ( )( ) ( )353

15531553

−+−=−+−==−+−

xxaxaxa

xaxa

= ( ) ( )35 −⋅+ xa



- Matemática III -

72

1.3 Tercer caso – Trinomio cuadrado perfecto

Definición: Se llama trinomio cuadrado perfecto al trinomio tal que dos de sus términos son cuadrados perfectos y el otro término es el doble producto de las bases de esos cuadrados.

Por ejemplo:

es un trinomio cuadrado perfecto.

En efecto, el primer término es el cuadrado de 5 x, pues ( 5 x )² = 25 x²; el último es el cuadrado de y², pues:

y el segundo término es el doble producto de las bases de esos cuadrados, es decir de 5 x por y², pues 2 . 5 x . y² = 10 xy².

Este nombre de trinomio cuadrado perfecto se debe a que dicho trinomio proviene del cuadrado de un binomio. En este ejemplo, el trinomio cuadrado perfecto proviene del cuadrado de ( 5 x + y² ).

En efecto:

En el trinomio cuadrado perfecto los términos cuadrados son siempre positivos, en cambio,

el término doble producto puede ser negativo; en este caso debe ser negativo uno de los términos del binomio cuyo cuadrado es el trinomio dado. ¿Le sería útil otro ejemplo? Aquí vamos…

=−+ aa 692 ( )23−a

REGLA: Todo trinomio cuadrado perfecto es igual al cuadrado de binomio formado por la suma o diferencia de las bases de los cuadrados perfectos según que el producto sea positivo o negativo.



- Matemática III -

73

1.4 Cuarto caso – Cuatrinomio cubo perfecto

Definición: Todo cuatrinomio de la forma a³ + 3 a² b + 3 ab² + b³ , en el que los dos términos a³ y b³, son cubos perfectos; un tercer término: 3 a² b, es el triplo del cuadrado de la base del primer cubo por la base del segundo, y el cuarto término 3 ab², es el triplo de la base del primer cubo por el cuadrado de la base del segundo, se llama cuatrinomio cubo perfecto.

Por ejemplo: x³ + 6 x² y + 12 x y² + 8 y³

es un cuatrinomio cubo perfecto, pues:

x³ = ( x )³ 6 x² y = 3 ( x )² 2 y 8 y³ = ( 2 y )³ 12 x y³ = 3 x ( 2 y )²

Este nombre de cuatrinomio cubo perfecto se debe a que dicho cuatrinomio proviene del cubo de un binomio. En el ejemplo dado el cuatrinomio cubo perfecto proviene del cubo de (x + 2 y).

En efecto:

( x + 2 y )³ = x³ + 6 x² y + 12 x y² + 8 y³

1.5 Quinto caso – Diferencia de cuadrados

El producto de la suma por la diferencia de dos términos es igual al cuadrado del primer número menos el cuadrado del segundo, es decir:

( a + b ) ( a – b ) = a² - b²

Recíprocamente: a² - b² = ( a + b ) ( a – b )

donde se ve que la diferencia de los cuadrados de dos números es igual al producto de la suma por la diferencia de los mismos. Esta observación se extiende a las expresiones algebraicas y se enuncia en la siguiente :



- Matemática III -

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REGLA: Toda diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las bases de dichos cuadrados. Ejemplos:

=− 25) 2xa ( ) ( )55 −⋅+ xx

=− 4) 6xb ( ) ( )22 33 −⋅+ xx 1.6 Sexto caso – Suma o diferencia de potencias de igual grado 1.6.1 Suma de potencias de igual grado. a) Sea, por ejemplo, factorear la expresión x³ + a³. Como el exponente es 3, es decir, un número

impar, la suma de potencias de igual grado de exponente impar es divisible únicamente por la suma de sus bases, la división ( x³ + a³ ) : ( x + a ) debe dar un cociente exacto, que se obtiene aplicando la regla de Ruffini.

Así:

( x³ + a³ ) : ( x + a ) = x² - ax + a²

Como se trata de una división exacta, el dividendo es igual al producto del divisor por el cociente. Luego: ( x³ + a³ ) = ( x + a ) ( x² - ax + a² ) La suma de dos potencias de igual grado, de exponente impar, es igual al producto de las bases por el cociente que resulta de dividir la primera suma por la segunda. b) Como la suma de potencias de igual grado de exponente par no es divisible por la suma ni por la

diferencia de sus bases, dicha suma no se puede factorear. Ej: 22 ax +

1.6.2 Diferencia de potencias de igual grado.

Para factorear la expresión: x6 – y6

Como en este caso el exponente es par, la diferencia de igual grado de exponente par es

divisible por la suma y por la diferencia de sus bases, puede factorearse en las dos formas siguientes:



- Matemática III -

75

1° Haciendo figurar la suma de las bases.

( ) ( )

( ) ( ) ( )5423324566

5423324566 ::

yxyxyxyyxxyxyx

esyxyxyxyyxxyxyx

−+−+−⋅+=−

−+−+−=+−

2° Haciendo figurar la diferencia de las bases.

( ) ( ) ( )5423324566 yxyxyxyyxxyxyx +++++⋅−=−

La diferencia de dos potencias de igual grado de exponente par, es igual al producto de la suma o de la diferencia de sus bases por el respectivo cociente que resulta de la primera diferencia dividida por la suma o diferencia de las bases o bien el producto de la suma por la diferencia de las expresiones de las que estas potencias son cuadrados.

22 MCD Y mcm DE EXPRESIONES ALGEBRAICAS

2.1 Máximo común divisor de expresiones algebraicas

El máximo común divisor de dos o más expresiones algebraicas enteras es la mayor expresión algebraica con respecto a los coeficientes y a los exponentes, que es divisor de cada una de las expresiones dadas.

Así, el M.C.D. de a³ + a² b - ab² - b³ y 5 a² x + 10 abx + 5 b² x

es ( a + b )²

En efecto: el primer polinomio se puede factorear así:

a³ + a² b - ab² - b³ = a² ( a + b ) - b² ( a + b ) = ( a + b ) ( a² - b² ) =

= ( a + b ) ( a + b ) ( a – b ) = ( a + b )² ( a – b )



- Matemática III -

76

Luego a³ + a² b - ab² - b³ = ( a + b )² ( a – b )

El segundo polinomio se puede factorear así:

5 a² x + 10 abx + 5 b² x = 5 x ( a² + 2 ab + b² ) = 5 x ( a + b )²

Luego, 5 a² x + 10 abx + 5 b² x = 5 x ( a + b )²

Por lo tanto, el M.C.D. es ( a + b )². Para hallar el M.C.D. de expresiones algebraicas enteras se forma el producto de los factores

primos comunes a todas ellas, con el menor exponente.

2.2 Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas

El mínimo común múltiplo de dos o más expresiones algebraicas enteras es la menor expresión algebraica, con respecto a los coeficientes y a los exponentes, que es múltiplo de todas las expresiones dadas.

Para hallar el mínimo común múltiplo de dos ó más expresiones algebraicas enteras se forma el producto de los factores primos comunes y no comunes, con su mayor exponente.

Ejemplo: Hallar el m.c.m. de : 9 a² - x² ; 9 a² - 6 ax + x² ; 3 az – xz Factoreando, se tiene:

9 a² - x² = ( 3 a + x ) ( 3 a – x ) 9 a² - 6 ax + x² = ( 3 a – x )² 3 az – xz = z. ( 3 a – x )



- Matemática III -

77

El único factor común es ( 3 a – x ), y el mayor exponente con el que figura es 2; es decir que al formar el m.c.m., el factor ( 3 a – x ) debe considerarse al cuadrado. Los factores no comunes son z y ( 3 a + x ).

Luego, el m.c.m. de las expresiones dadas es : z (3 a – x )² ( 3 a + x )

*


Si tiene dudas, no continúe con la siguiente unidad, hable con su tutor



- Matemática III -

78


1. Indicar cuáles de los siguientes trinomios son cuadrados perfectos:

a) (x2 + 6x + 9) =

b) =

++ 236 4

512

259 yyxx

b) =

++ 24236 96

41 nmnmaa

2. Factorear:

a) x³ + 3 x² y + 3 xy² + y³ = d) =− 4335 13169 cabcba

b) =− 4941 2b e) =−+− bmamabba 6432 22

c) 1 – 3 a + 3 a² - a³ =

3. Factorear combinando los distintos casos:

=−−+

=−

=+−

22

9779

234

2222)123)

2)

axaxzxyzyxcyxyxb

xxxa

4. Hallar el M.C.D. y el m.c.m. de las siguientes expresiones:

a) x² - 25 ; x² - 10 x + 25 ; x³ - 125

b) 3 a – 6 m ; a² + 4 m² - 4 am ; a² - 4 m²

*



- Matemática III -

79


1. a) Sí, es cuadrado perfecto porque es ( x + 3 ) ²

b) Sí, es cuadrado perfecto porque es ( 53 x³ + 2 y ) ²

c) No es cuadrado perfecto.

2.

a) ( )3yx + d) ( )343 1313 cacab −⋅

b)

−⋅

+ 7

217

21 bb e) ( ) ( )mabba 232 +⋅−

c) ( )31 a−

3.

( )( ) ( )

( ) ( )ayzxxcyxyxyxb

xxa

−⋅+⋅−⋅+⋅

−⋅

2)223)

1)77

22

4. a) M.C.D. = x – 5

m.c.m. = ( x – 5 ) ² ( x + 5 ) ( x² + 5 x + 25 )

b) M.C.D. = ( a – 2 m )

m.c.m. = 3 ( a – 2 m ) ² ( a + 2 m )

*



- Matemática III -

80



81

UNIDAD 5

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

FRACCIONARIAS



82



- Matemática III -

83

UNIDAD 5

EXPRESIONES ALGEBRAICAS FRACCIONARIAS

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: - Definir propiedades fundamentales. - Resolver operaciones.

11 EXPRESIÓN ALGEBRAICA FRACCIONARIA

En general, una expresión algebraica fraccionaria se anota:

0≠BsiendoBA

e indica el cociente entre dos expresiones algebraicas enteras

Toda expresión algebraica fraccionaria tal que el numerador es múltiplo del denominador representa una expresión algebraica entera, es decir, es equivalente a un polinomio. Ejemplo:

Pxxx

=+≈−− 2

242

pues x2 – 4 es múltiplo de x – 2

ya que ( ) ( )2242 −⋅+=− xxx

En consecuencia, estas expresiones son equivalentes, pero no iguales.

Pues: 2242

+=−− x

xx si y solo si x ≠ 2

1.1 Simplificación de expresiones fraccionarias Existen infinitas expresiones algebraicas equivalentes a una dada. Para obtener una

expresión algebraica fraccionaria equivalente a una dada se aplica la siguiente:



- Matemática III -

84

PROPIEDAD FUNDAMENTAL: Si ambos términos de una expresión algebraica fraccionaria se multiplican o dividen por un mismo polinomio, se obtiene otra expresión algebraica equivalente a la dada.

Ejemplo:

( ) ( )( ) ( ) 3

33:9

3:969

962

2

2

2

−+

≈+−

+++≈

−++

xx

xxxxx

xxx

Cuando se dividen ambos términos de una fracción algebraica por un mismo polinomio se dice que la fracción se ha simplificado.

Para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias se procede de la misma forma que

para simplificar números. Por ejemplo:

Sea: 1232

Se divide el numerador y el denominador por un mismo número distinto de cero.

a) Podemos dividir ambos términos por el divisor común mayor de 32 y 12.

M.C.D. ( 32, 12 ) = 4 ≠ 0

38

1232

38

4:124:32

=⇒=

b) También podemos descomponer cada número en sus factores primos y cancelar los factores comunes.

0238

32222222

1232

≠=⋅⋅

⋅⋅⋅⋅=

Para simplificar fracciones algebraicas se procede en forma análoga.

a) Se divide el numerador y el denominador por el M.C.D. de ambos, o bien b ) Se factorizan ambos términos y se cancelan los factores comunes.

El segundo procedimiento resulta más conveniente y es el que usaremos comúnmente.

El primer procedimiento se utiliza cuando no se conoce la forma de factorizar el numerador y el denominador.



- Matemática III -

85

Ejemplo:

4 x² + 16 x + 16

2 x² - 8

Factorizamos el numerador y el denominador:

4 x² + 16 x + 16 = 4 ( x² + 4 x + 4 ) = 4 ( x + 2 ) ( x + 2 )= ( )224 +x

2 x² - 8 = 2 ( x² - 4 ) = 2 ( x + 2 ) ( x – 2 )

Entonces sustituimos y cancelamos los factores comunes del numerador y del denominador. 2

( ) ( )( ) ( )

( )222

222224

8216164

2

2

−+

=−⋅++⋅+

=−

++xx

xxxx

xxx

1

Sabemos que existen elementos no cancelables. Por ejemplo, no se puede cancelar cero, porque la división por cero no tiene sentido.

En consecuencia, para poder simplificar por x + 2 ( del ejemplo anterior ), debe ser: x + 2 ≠ 0 ⇒ x ≠ - 2

La simplificación por x + 2 solo es posible si y sólo si x ≠ - 2.

Habíamos visto que estas expresiones son equivalentes pero no iguales.

La igualdad se cumple para x ≠ 2. Entonces escribimos:

( )

2222

8216164

2

2

−≠⇔−+

=−

++ xxx

xxx

Si reemplazamos x por – 2

( )22222

8421621644

−−+−

≠−⋅

+⋅−⋅

4

000

−≠

la igualdad no se verifica pues la primera expresión es indeterminada y la segunda cero.



- Matemática III -

86

22 OPERACIONES

2.1 Adición de expresiones algebraicas fraccionarias

La adición de expresiones algebraicas fraccionarias se define de la misma manera que la adición de números racionales.

2.1.1 Adición de fracciones algebraicas de igual denominador

=−

−+

−+

12

14

22 xx

xx Las fracciones tienen el mismo denominador

= ( ) ( )=

−−++

124

2xxx Se suman los numeradores. Se escribe el mismo denominador

=−+

=122

2xx Se factorizan el numerador y denominador

( )

( )( ) =−+

+=

1112

xxx

Se simplifica.

Si y solo si x ≠ -1

Recordar: Cada vez que se realiza una operación debe verificarse:

1° Si cada término se puede simplificar. 2° Si el resultado se puede simplificar.

2.1.2 Adición de fracciones algebraicas de distinto denominador

Por ejemplo:

44

24 22 ++

+− xxxx

Números racionales

db

cbdadc

ba

⋅⋅+⋅

=+

Expresiones algebraicas fraccionarias

DB

CBDADC

BA

⋅⋅+⋅

=+

=1

2−x



- Matemática III -

87

La suma de dos fracciones algebraicas de distinto denominador es igual a la suma de dos fracciones equivalentes a las dadas, y del mismo denominador.

=++

+− 44

24 22 xxx

x Las fracciones tienen distinto denominador

( )( ) ( )=

++

−+ 222

22 xxxx Factorizamos los denominadores

x² - 4 = ( x + 2 ) ( x – 2 ) Se calcula el múltiplo común de menor

x² + 4 x + 4 = ( x + 2 )² grado de los denominadores. ( denominador

m.c.m.gr = ( x + 2 )² ( x – 2 ) común de menor grado ).

( )( ) ( )

( )( ) ( )

=−+

−+

−++

2222

222

22 xxx

xxxx Se escriben dos fracciones equivalentes a las dadas

con el denominador común de menor grado (x + 2)2 (x – 2).

( ) ( )=

−+−++22

4222

2

xxxxx ( ) ( )22

442

2

−+−+

xxxx

2.1.3 Propiedades de la adición de expresiones algebraicas fraccionarias.

1. Ley de cierre. 2. Ley asociativa. 3. Existencia de elemento neutro: ( polinomio nulo ). 4. Cada elemento tiene inverso.

El inverso aditivo de R es el opuesto – R tal que:

R + ( - R ) = 0

Ejemplo

4

12412

++−

=−⇒+−

=x

xRxxR

5. Ley conmutativa.



- Matemática III -

88

2.2 Sustracción de expresiones algebraicas fraccionarias.

Para sustraer dos expresiones algebraicas fraccionarias, se suma a la primera, la opuesta de la segunda.

( )2121 RRRR −+=−

Ejemplo:

( )( )( )( )11

121212

112

12

112

22 −+−+−+−

=++−

+−−

=+−

−−−

xxxxx

xx

xx

xx

xx

=

( )( ) =−+

−++−−11

2212 2

xxxxxx

( )( )11352

−+−+−

xxxx

2.3 Multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias.

La multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias se define en forma análoga a la multiplicación de números racionales.

Ejemplo:

( )( )( )( )14

2112

41

22 −−+−

=−+

⋅−−

xxxx

xx

xx

Factorizamos y simplificamos:

1≠x

( )( )

( )( )( ) 21

12221

−=

−−++−

xxxxxx

⇒

2−≠x

Como hemos simplificado por ( x – 1 ) y ( x + 2 ), resulta:

=−+

⋅−−

12

41

2 xx

xx

21−x 21 −≠≠⇒ xyx

2.3.1 Propiedades de la multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias

La multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias cumple con las siguientes propiedades:

Números racionales

dbca

dc

ba

⋅⋅

=⋅

Expresiones algebraicas fraccionarias

DBCA

DC

BA

⋅⋅

=⋅



- Matemática III -

89

1. Ley de cierre. 2. Ley asociativa. 3. Existencia de elemento neutro: R = 1. 4. Para toda expresión racional A/B ≠ 0 existe inverso multiplicativo 5. Ley conmutativa. 6. Ley distributiva de la multiplicación con respecto a la adición.

DC

NM

BA

NM

DC

BA

NMY

NM

DC

NM

BA

NM

DC

BA

⋅+⋅=

+⋅⋅+⋅=⋅

+

2.4 División de expresiones algebraicas fraccionarias

Para dividir una expresión algebraica fraccionaria por otra, se multiplica la primera por la inversa de la segunda.

CD

BA

DC

BA

⋅=÷

Ejemplo:

( ) ( )( ) ( ) ( )122

2112

41

21

41

22 +⋅−⋅++⋅−

=++

⋅−−

=++

÷−−

xxxxx

xx

xx

xx

xx

41

2 −−

xx

=++

÷21

xx

( )( )121

+−−

xxx

2−≠⇔ x

2.5 Potenciación y radicación

La potenciación y la radicación de expresiones algebraicas fraccionarias se resuelven aplicando la propiedad distributiva con respecto a la división.



- Matemática III -

90

Ejemplos:

1. ( )( )2

22

13

13

−+=

−+

xx

xx

*


Le recuerdo que su tutor puede ayudarlo



- Matemática III -

91


1. Simplificar las siguientes expresiones fraccionarias indicando en cada caso la condición que debe cumplir x para que la simplificación tenga sentido.

=+

−+−

=−

+−

=+−

2233)

15596)

24)

2

23

2

23

3

xxxxc

xxxb

xxxxa

2. Resolver las siguientes operaciones:

a) 2

13x

xx

−+

b) 42

14

142

12 −

−−

++ xxx

c) 11

11

+−

−−+

xx

xx

d) xxx 2

1432 −+

e) 11

11 2

+−

⋅−+

xx

xx

f) 21

1 +−

÷− x

xx

x

g) =+

⋅−

++ x

xx

xxxx 2

164:

2 2

232

h) =+−

−+

− 441:

245

22 xxxx

x



- Matemática III -

92

3. Resolver las siguientes potenciaciones y radicaciones:

a) 31

−

xx

b) 2

23

−x

c) 96

12 +− xx

d) ( )( )

2242

+−−

xxx

*



- Matemática III -

93


1.

a) 202−≠≠⇔

− xyxx

x

b) 35

3≠⇔

− xx

c) 2

3−x para todo x.

2.

a) 2

14xx −

b) 4

12 −−

x

c) ( )( )114

−+ xxx

d) 2285

xx +

e) x + 1 ⇔ x ≠ 1 y x ≠ -1

f) ( )( )21

2−+

xxx

g) 2404−≠−≠≠

− xxxx

x

h) ( ) ( ) 22

225 2

≠+

−⋅++ xx

xxx



- Matemática III -

94

3.

a) 3

23 133x

xxx −+−

b) 44

92 +− xx

c) 3

1−x

d) x – 2 ⇔ x ≠ -2

*



- Matemática III -

95

UNIDAD 6

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS



96



- Matemática III -

97

UNIDAD 6

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: - Definir relaciones entre las funciones trigonométricas. - Realizar cálculos. - Resolver problemas.

Recordemos:

1. La suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos (2R)

B

A C

2. El Teorema de Pitágoras relaciona entre sí los lados de un triángulo rectángulo.

En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

C

b a

A c B

11 TRIGONOMETRÍA

La disciplina de la Matemática que trata la relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo es la TRIGONOMETRÍA.

0180=++∧∧∧

CBA

222 cba +=



- Matemática III -

98

1.1 Funciones trigonométricas

Consideremos un triángulo rectángulo. Con a designamos a la hipotenusa. Con ∧

A designamos al ángulo recto.

Si vemos cuántas razones podemos formar con las longitudes de los tres lados, tendremos lo siguiente: C

a

b

B c A

1) ab 2)

ac 3)

cb 4)

bc 5)

ca 6)

ba

En total son seis razones trigonométricas.

Las razones entre pares de lados se mantienen constantes mientras el ángulo sea constante, y varían al variar el ángulo. Es decir, estas razones dependen del ángulo y no de los lados. Cada una de las seis razones consideradas es un número que recibe un nombre especial.

Por ejemplo:

C

a

b

B c A

∆

En ABC consideramos el ángulo ∧

B

a = hipotenusa b = cateto opuesto a ∧

B c = cateto adyacente a ∧

B

β



- Matemática III -

99

SE ANOTA

1. ==hipotenusa

opuestocatetoab seno de

∧

B sen ∧

B

2. ==hipotenusa

adyacentecatetoac coseno de

∧

B cos ∧

B

3. ==adyacentecatetoopuestocateto

cb tangente de

∧

B tg ∧

B

4. ==opuestocateto

adyacentecatetobc cotangente de

∧

B cotg ∧

B

5. ==adyacentecateto

hipotenusaca secante de

∧

B sec ∧

B

6. ==opuestocateto

hipotenusaba cosecante de

∧

B cosec ∧

B

Veamos como pueden calcularse aproximadamente estas razones para un ángulo de 30°.

Primero, se construye un triángulo con un ángulo de 30° y se mide la longitud de sus lados

∧ B = 30° a = 6 cm b = 3 cm c = 5,2 cm



- Matemática III -

100

Calculamos las razones correspondientes:

sen 30° = ==cmcm

ab

63 0,5

cos 30° = cmcm

ac

62,5

= = 0,86

tg 30° = ==cm

cmcb

2,53 0,577

cotg 30° = ==cmcm

bc

32,5 1,73

sec 30° = ==cm

cmca

2,56 1,15

cosec 30° = ==cmcm

ba

36 2

1.2 Valor de las funciones trigonométricas para amplitudes de 0° y de 90° 1.2.1 Ángulo B = 0°

∧ Imaginemos que gira el lado a, de modo que B disminuye hasta anularse.

Entonces el cateto c coincide con la hipotenusa y el cateto b se anula.

∧ B = 0° ⇒ 0== byac

a; b , c lados del triángulo



- Matemática III -

101

Las funciones trigonométricas toman entonces los siguientes valores:

sen 0° = 00==

aab

cos 0° = 1==aa

ac

tg 0° = 00==

ccb

cotg 0° = ∞==0c

bc no está definida

sec 0° = 1==aa

ca

cosec 0° = ∞==0a

ba no está definida

1.2.2 Ángulo B = 90°

∧ Imaginemos que gira el lado a, de modo que B aumenta hasta hacerse igual a 1R. (recto) Entonces el cateto b coincide con la hipotenusa y el cateto c se anula.

∧ B = 90° ⇒ ab = y 0=c



- Matemática III -

102

Las funciones trigonométricas toman entonces los siguientes valores:

sen 90° = 1==aa

ab

cos 90° = 00==

aac

tg 90° = ∞==0b

cb no está definida

cotg 90° = 00==

bbc

sec 90° = ∞==0a

ca no está definida

cosec 90° = 1==aa

ba

Como la división por cero no está definida, en consecuencia tampoco están definidas las

funciones trigonométricas cuando el denominador es cero.

1.3 Relaciones entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo

Definimos las funciones trigonométricas del ángulo B

C

a b

B A c



- Matemática III -

103

sen ∧

B = ab

cos ∧

B = ac

tg ∧

B = cb

Los pares de razones marcadas por las

cotg ∧

B = bc flechas son inversos multiplicativos

sec ∧

B = ca

cosec ∧

B = ba

Entonces:

sen ∧

B = ∧

Bcos

1

ec

1=⋅ba

ab ó sen

∧

B . cos ∧

B = 1 ⇒

cosec ∧

B = ∧

B

1

sen

cos ∧

B = ∧

Bsec

1

1=⋅ca

ac ó cos

∧

B . sec ∧

B = 1 ⇒

sec ∧

B = ∧

Bcos

1



- Matemática III -

104

tg ∧

B = ∧

Bcot

1

g

1=⋅bc

cb ó tg

∧

B . cotg ∧

B = 1 ⇒

cotg ∧

B = ∧

B

1

tg

Es decir: 1. La cosecante de un ángulo es igual a la inversa del seno de dicho ángulo y recíprocamente. 2. La secante de un ángulo es igual a la inversa del coseno de dicho ángulo y recíprocamente. 3. La cotangente de un ángulo es igual a la inversa de la tangente de dicho ángulo y

recíprocamente.

Observación:

Teniendo en cuenta estas relaciones es suficiente saber calcular el seno, el coseno y la tangente, pues las otras tres razones son inversas de las tres primeras.

1.4 Signo de las funciones trigonométricas Teniendo presente el signo de las coordenadas x e y en los cuatro cuadrantes del plano

cartesiano, se puede determinar el signo de cada una de las funciones trigonométricas de un ángulo,

cualquiera sea el valor de éste.

A continuación veremos el signo de las funciones en los cuatro cuadrantes:

1. El valor del ángulo está comprendido entre 0° y 90°. Los signos de las coordenadas son: x positiva; y positiva.



- Matemática III -

105

Por lo tanto:

)(ˆ

)(ˆcos

)(ˆ

positivaxytg

positivox

positivoysen

++

=

+=

+=

α

ρα

ρα

)(ˆcos

)(ˆsec

)(ˆcot

positivay

ec

positivax

positivayxg

+=

+=

++

=

ρα

ρα

α

Todas las funciones trigonométricas de un ángulo comprendido entre 0° y 90° son positivas.

2. El valor de un ángulo está comprendido entre 90° y 180°. Los signos de las coordenadas son: x negativa, y positiva.

Luego:

)(ˆ

)(ˆcos

)(ˆ

negativaxytg

negativox

positivoysen

−+

=

−=

+=

α

ρα

ρα

)(ˆcos

)(ˆsec

)(ˆcot

positivay

ec

negativax

negativayxg

+=

−=

+−

=

ρα

ρα

α

Todo ángulo cuyo lado móvil pertenece al segundo cuadrante tiene: funciones seno y

cosecante positivas; y las funciones coseno, tangente, cotangente y secante negativas.



- Matemática III -

106

3. El valor del ángulo está comprendido entre 180° y 270°. Los signos de las coordenadas son: x negativa, y negativa

En consecuencia:

)(ˆ

)(ˆcos

)(ˆ

positivaxytg

negativox

negativoysen

−−

=

−=

−=

α

ρα

ρα

)(ˆcos

)(ˆsec

)(ˆcot

negativay

ec

negativax

positivayxg

−=

−=

−−=

ρα

ρα

α

Todo ángulo cuyo lado móvil pertenece al tercer cuadrante tiene: funciones seno, coseno, secante y cosecante negativas; y las funciones tangente y cotangente positivas. 4. El valor del ángulo está comprendido entre 270° y 360°. Los signos de las coordenadas son: x positiva, y negativa.

Por lo tanto:

)(ˆ

)(ˆcos

)(ˆ

negativaxytg

positivox

negativoysen

+−

=

+=

−=

α

ρα

ρα

)(ˆcos

)(ˆsec

)(ˆcot

negativay

ec

positivax

negativayxg

−=

+=

−+=

ρα

ρα

α



- Matemática III -

107

1.5 Cálculo de las funciones trigonométricas En la práctica los valores de las funciones trigonométricas se buscan en tablas o se obtienen por

medio de una calculadora.

1.5.1 Uso de tablas de valores naturales

Los valores de las funciones seno, coseno, tangente y cotangente de los ángulos comprendidos entre 0° y 90° han sido calculados y registrados en tablas denominadas “Tablas de valores naturales de las funciones trigonométricas”. Estas tablas contienen los valores de las funciones de grado en grado.

Cabe destacar que las funciones secante y cosecante no figuran en la tabla porque no son

indispensables, debido a que la secante es la inversa del coseno y la cosecante es la inversa del seno, en consecuencia es fácil calcularlas con los datos de la tabla.

En el cálculo de funciones trigonométricas pueden presentarse dos problemas:

a) PROBLEMA DIRECTO: Conocido el ángulo, calcular las funciones trigonométricas. 1. Si el ángulo está comprendido entre 0° y 45°, se lee el valor del ángulo en la columna de la

izquierda de la tabla y el nombre de la función en la parte superior de la columna correspondiente.

2. Si el ángulo está comprendido entre 45° y 90°, se lee el ángulo en la columna de la derecha de la

tabla y el nombre de la función en la parte inferior de la columna correspondiente.

En ambos casos, el valor buscado se encuentra en la intersección de la fila encabezada por el valor del ángulo y la columna encabezada por el nombre de la función.

Por ejemplo:

ℵ Calcular: sen 28° (28° < 45°)

Leemos 28° en la columna de la izquierda y la función seno en la parte superior. En la intersección de la fila con la columna correspondiente leemos: 0,4695. Este es el valor del ángulo. Entonces sen 28º=0,4695

ℑ Calcular: cos 39° (39° < 45°)

Leemos 39° en la columna de la izquierda y la función coseno en la parte superior. Entonces: cos 39° = 0,7771.

ℜ Calcular: tg 5° (5° < 45°)

Leemos 5° en la columna de la izquierda y la función tangente en la parte superior. Entonces: tg 5° = 0,0875.



- Matemática III -

108

℘ Calcular: cos 72° (72° > 45°)

Leemos 72° en la columna de la izquierda y la función coseno en la fila inferior.

Entonces: cos 72° = 0,3090.

⊗ Calcular: cotg 50° (50° > 45°) Leemos 50° en la columna de la izquierda y la función cotangente en la fila inferior.

Entonces: cotg 50° = 0,8391.

b) PROBLEMA INVERSO: Conocido el valor de una función trigonométrica, determinar la amplitud del ángulo.

ℵ Por ejemplo: tg α̂ = 0,3443

Se busca el número dado en la columna encabezada por “tangente α̂ ”. Si existe el número dado, se lee la amplitud del ángulo correspondiente, sobre la misma fila, en la columna de la izquierda. Como 0,3443 = tg 19° ⇒ α̂ =19º

Decimos que α̂ es el ángulo cuya tg es 0,3443 y escribimos:

α̂ = áng. tg 0,3443

ℑ Por ejemplo: α̂ = áng. sen 0,9877

Se busca el número dado en la columna en cuya parte superior se lee: sen α̂ . Este número no figura en la columna ni está comprendido entre otros dos.

Entonces, se busca en la columna en cuya parte inferior se lee: sen α̂ . Si existe el número, se lee sobre la misma fila, en la columna de la derecha, la amplitud del ángulo correspondiente.

0,9877 = sen 81° ⇒ α̂ =81º

O bien:

81° = áng. sen 0,9877

1.5.2 Uso de calculadoras científicas

En la actualidad, las tablas trigonométricas fueron reemplazadas por las calculadoras científicas que tienen las teclas

SIN

COS

TAN



- Matemática III -

109

Se deberá consultar el manual de la calculadora y practicar cómo se hallan los valores del seno, el coseno y la tangente de distintos ángulos.

En general, las calculadoras tienen distintos modos de medir los ángulos. Conviene utilizar

el modo DEG (degree = grados). Por ejemplo: Queremos hallar el sen 70°. En algunas calculadoras, basta apretar las teclas:

7 0 SIN

En el visor se lee: 0.93969262

Por lo tanto, sen 70° ≅ 0.9397 si redondeamos a cuatro decimales.

En otras calculadoras se aprietan las teclas:

SIN

7 0 =

Es el mismo procedimiento, el que se utiliza para el cálculo de las otras funciones trigonométricas.

Si por el contrario, lo que tenemos es el valor del seno de un ángulo α̂ , y lo que buscamos es saber cuanto vale α̂ , el procedimiento inverso que se sigue, es el siguiente:

Por ejemplo:

sen α̂ = 0,93969262 y buscamos saber cuanto vale el ángulo α̂ .

1er. paso: marcar en el visor de la calculadora el número del seno:

0,93969262

2do. Paso: apretar las teclas, siguiendo la secuencia que se indica a continuación:

INV SIN INV ° ‘ “ =

El el visor de la calculadora, se leerá el valor de 70, que es el del ángulo buscado.

En algunas calculadoras, en lugar de la tecla INV, se utiliza la tecla 2ND (second function).



- Matemática III -

110

TABLA DE VALORES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0° a 90°

GRADOS Seno α Tangente α Cotangente α Coseno α 0 0,0000 0,0000 ------------- 1,0000 90 1 0,0175 0,0175 57,2900 0,9998 89 2 0,0349 0,0349 28,6363 0,9994 88 3 0,0523 0,0524 19,0811 0,9986 87 4 0,0698 0,0699 14,3007 0,9976 86 5 0,0872 0,0875 11,4301 0,9962 85 6 0,1045 0,1051 9,5144 0,9945 84 7 0,1219 0,1228 8,1443 0,9925 83 8 0,1392 0,1405 7,1154 0,9903 82 9 0,1564 0,1584 6,3138 0,9877 81 10 0,1736 0,1763 5,6713 0,9848 80

11 0,1908 0,1944 5,1446 0,9816 79 12 0,2079 0,2126 4,7046 0,9781 78 13 0,2250 0,2309 4,3315 0,9744 77 14 0,2419 0,2493 4,0108 0,9703 76 15 0,2588 0,2679 3,7321 0,9659 75

16 0,2756 0,2867 3,4874 0,9613 74 17 0,2924 0,3057 3,2709 0,9563 73 18 0,3090 0,3249 3,0777 0,9511 72 19 0,3256 0,3443 2,9042 0,9455 71 20 0,3420 0,3640 2,7475 0,9397 70

21 0,3584 0,3839 2,6051 0,9336 69 22 0,3746 0,4040 2,4751 0,9272 68 23 0,3907 0,4245 2,3559 0,9205 67 24 0,4067 0,4452 2,2460 0,9135 66 25 0,4226 0,4663 2,1445 0,9063 65

26 0,4384 0,4877 2,0503 0,8988 64 27 0,4540 0,5095 1,9626 0,8910 63 28 0,4695 0,5317 1,8807 0,8829 62 29 0,4848 0,5543 1,8040 0,8746 61 30 0,5000 0,5774 1,7321 0,8660 60

31 0,5150 0,6009 1,6643 0,8572 59 32 0,5299 0,6249 1,6003 0,8480 58 33 0,5446 0,6494 1,5399 0,8387 57 34 0,5592 0,6745 1,4826 0,8290 56 35 0,5736 0,7002 1,4281 0,8192 55

36 0,5878 0,7265 1,3764 0,8090 54 37 0,6018 0,7536 1,3270 0,7986 53 38 0,6157 0,7813 1,2799 0,7880 52 39 0,6293 0,8090 1,2349 0,7771 51 40 0,6428 0,8391 1,1918 0,7660 50

41 0,6561 0,8693 1,1504 0,7547 49 42 0,6691 0,9004 1,1106 0,7431 48 43 0,6820 0,9325 1,0724 0,7314 47 44 0,6947 0,9657 1,0355 0,7193 46 45 0,7071 1,0000 1,0000 0,7071 45 Coseno α Cotangente α Tangente α Seno α GRADOS

*



- Matemática III -

111

Actividades

1. En el ∧

BAC ; ∧

A es recto.

C

b

A c B

baIncógnitascmDatos ;;B:;4AB;º40C:∧∧

==

0

000

0

50C

4090180C

CA180C

=

−−=

−−=

∧

∧

∧∧∧

cmasen

cma

acmsen

acsen

221,6º40

4

4º40

º40

=

=

=

=

768,4º40

4

4º40

º40

=

=

=

=

btg

cmb

bcmtg

bctg

2. En el ∧

BAC ; ∧

A es recto.

C

b

A c B

a

a



- Matemática III -

112

bIncógnitascmccmaDatos ;C;B:;5;13:∧∧

==

"'

"'

1237º22C

º904822º67º180C

CAº180C

=

−−=

−−=

∧

∧

∧∧∧

( )

bcmbcm

bcmcmcmbcm

cba

==

=−

+=

+=

12144

251692513

2

222

222

222

"4822º67B

385,0Bcos

135Bcos

Bcos

′=

=

=

=

∧

∧

∧

∧

ac

3. Calcular la longitud de una escalera que apoyada sobre la pared alcanza una altura de

2,20 m y forma con el piso un ángulo de 57º.

2,20 m x

57º mx

senx

xsen

62,2º57

20,2

20,2º57

=

=

=



- Matemática III -

113



- Matemática III -

114


1. En el siguiente dibujo, hallar las funciones de α̂ :

y

M

4

ρ

α

y=4

O

x = 8 2

M’ x

2. Hallar los valores de las funciones siguientes:

a) sen 32°=

b) sen 64°=

c) sen 15°=

d) sen 81°=

e) sen 90°=


a) cos 10°=

b) cos 67°=

c) cos 26°=

d) cos 80°=

e) cos 90°=



- Matemática III -

115


a) tg 0°=

b) tg 45°=

c) tg 73°=

d) tg 38°=

e) tg 54°=

5. Hallar los ángulos, tales que:

a) sen α̂ = 0,391

b) sen β̂ = 0,719

c) sen γ̂ = 0,777

6. Hallar los ángulos tales que:

a) cos α̂ = 0,990

b) cos β̂ = 0,242

c) cos γ̂ = 0,500

7. Hallar los ángulos tales que:

a) tg δ̂ = 0,839

b) tg ε̂ = 0

c) tg γ̂ = 0,510

∆ ∧ 8. En el BAC con A recto, y los datos dados, calcular las incógnitas:

C

a = 15 cm b

DATOS: b a INCÓGNITAS c

∧ ∧ B = 61° C A c B



- Matemática III -

116

9. Martín remontó un barrilete. Cuando había soltado 150 m de hilo, el mismo formaba un ángulo de 35° con la horizontal. ¿A

qué altura estaba el barrilete?

∆ ∧ 10. Completar el cuadro siguiente, para BAC, con A recto

∧ B

∧ C

a

b

c

63° 12

32° 5,3

20° 4,7

16 5

41 20

*



- Matemática III -

117


1. Por el teorema de Pitágoras, se obtiene el valor de ρ = 12.

( )

ρρ

ρ

ρ

ρ

==

=+

=+⋅

=+

12144

16128

1628428

22

222

Luego: sen α̂ = 31 sen α̂ =

1

3124

cos α̂ = 3

22 cos α̂ = 3

2

1228

tg α̂ = 22

1 tg α̂ = 2

1

284

sec α̂ = 22

3 sec α̂ = 2

3

2812

cosec α̂ = 3 cosec α̂ =1

3

412

cotg α̂ = 2 2 cotg α̂ = 1

2

428



- Matemática III -

118

2.

a) 0,530

b) 0,899

c) 0,259

d) 0,988

e) 1

3.

a) 0,985

b) 0,391

c) 0,899

d) 0,174

e) 0

4.

a) 0

b) 1

c) 3,271

d) 0,781

e) 1,376

5.

a) α̂ = 23°

b) β̂ = 46°

c) γ̂ = 51°

6.

a) α̂ = 8°

b) β̂ = 76°

c) γ̂ = 60°



- Matemática III -

119

7.

a) δ̂ = 40°

b) ε̂ = 0°

c) γ̂ = 27°

8. ∧ cmccmb 275,7125,13 == C = 29°

9.

sen 35° =lh

hilodellongitudbarriletedelaltura

=

h = l sen 35° = 150 m . 0,5736 = 86,04 m

l

35° h

10.

∧ B

∧ C

a

b

c

63° 27° 12 10,692 5,448

58° 32° 10 8,48 5,3

70° 20° 5 4,7 1,71

18° 72° 16 5 15,2

64° 26° 45,6 41 20



- Matemática III -

120

UNIDAD 7

GEOMETRÍA DEL ESPACIO



121



- Matemática III -

122

UNIDAD 7

GEOMETRÍA DEL ESPACIO

OBJETIVOS:

Al finalizar el estudio de la presente unidad, Ud. estará en condiciones de: . - Reconocer prismas, paralelepípedos y cilindros. - Calcular volúmenes de cuerpos.

11 ÁNGULOS

1.1 Ángulos diedros

Recibe el nombre de semiplano la porción de plano situada a un mismo lado de la recta AB de dicho plano.

Se llama diedro AB a una de las dos porciones del espacio comprendidas entre dos semiplanos limitados por una misma recta AB . La recta AB se llama arista del diedro, esta recta es común a los dos semiplanos. Los semiplanos que limitan el diedro se llaman caras del diedro.



- Matemática III -

123

1.1.1 Clasificación de los ángulos diedros

∆ Diedros adyacentes: cuando poseen una cara común y las otras son opuestas entre sí.

Ejemplo: un libro abierto con una de sus hojas elevada.

∆ Diedros opuestos por la arista: cuando sus caras son semiplanos opuestos entre sí.

Ejemplo: una puerta giratoria.

∆ Diedro llano: cuando sus caras son semiplanos opuestos. Ejemplo: un libro bien abierto.

∆ Diedro cóncavo: el conjunto de los puntos exteriores a un diedro convexo más el conjunto de las caras, se llama diedro cóncavo.

Ejemplo: en un libro semiabierto, el ángulo interior es un diedro convexo y el ángulo exterior un diedro cóncavo.

1.1.2 Ángulo plano de un diedro

Sea AB la arista de un diedro formado por dos semiplanos α y β; el plano perpendicular en el punto A a la arista corta a los semiplanos α y β según las semirrectas AC y AE que son, a su vez, perpendiculares en A a la arista AB . Estas dos semirrectas determinan en dicho plano dos ángulos. Los puntos de uno de estos dos ángulos, y sólo uno de ellos, están situados en el diedro AB. A este ángulo se lo llama ángulo plano del diedro en el punto A. TEOREMA:

Los ángulos planos de un diedro en los diferentes puntos de su arista son iguales.

1.1.3 Medida de un diedro

La medida de un diedro es la misma que la de su ángulo plano.

1.2 Ángulo poliedro

Ángulo poliedro es la figura formada por tres o más semirrectas concurrentes enunciadas en un cierto orden OA, OB, OC, .... El punto común O es el vértice; las semirrectas OA, OB, OC, ... son las aristas. Los ángulos AOB, AOC, ... formados por dos aristas consecutivas son las caras. Los diedros formados por los semiplanos que se cortan según una arista son los diedros del ángulo poliedro.



- Matemática III -

124

Decimos que un ángulo poliedro es convexo si la figura que forma está situada en un mismo lado del plano de cada una de las caras. 1.2.1 Poliedros

Es la superficie o el volumen determinados por planos que se cortan. Las porciones de plano que limitan el volumen son las caras, las rectas que limitan las caras son las aristas, y los puntos que limitan las aristas son los vértices del poliedros.

Los poliedros son los cuerpos limitados por caras poligonales.

22 CUERPOS

2.1 Pirámide

Sea ABCD un polígono situado en un plano P. Sea S un punto exterior a P. Se llama pirámide al poliedro cuyas aristas son, por una parte, las rectas SA , SB , SC , SD ( los lados del polígono ABCD).

El punto S es el vértice de la pirámide. El polígono ABCD su base. SA , SB , SC , SD las

aristas laterales. Las caras, como la BSC limitadas por dos aristas laterales consecutivas, son las caras laterales. La altura (h) de la pirámide es la perpendicular trazada desde el vértice S al plano de la base.

Las pirámides se clasifican por la forma de sus bases:

h



- Matemática III -

125

2.2 Tetraedro

Un tetraedro es una pirámide cuya base es un triángulo, o sea una pirámide triangular. Si el triángulo es equilátero y todas las aristas son iguales entre sí, el tetraedro se llama regular.

En un tetraedro, las aristas no concurrentes se llaman opuestas.

2.3 Prisma

Un prisma es un poliedro que tiene dos caras que son polígonos paralelos y congruentes y cuyas otras caras son paralelogramos determinados por segmentos que unen vértices correspondientes de las bases.

Las caras que son polígonos paralelos y congruentes se llaman bases. Las otras caras se

llaman caras laterales. La altura (h) de un prisma es un segmento perpendicular trazado desde una base hasta el plano de la otra.

∴ Un prisma cuyas caras laterales son rectángulos (las aristas laterales son perpendiculares a las

bases) se llama prisma recto.

h



- Matemática III -

126

∴ Un prisma que no es recto se llama prisma oblicuo. Los prismas también se clasifican por la forma de sus bases

2.4 Paralelepípedo

El paralelepípedo es un prisma cuya base es un paralelogramo. Es un poliedro que tiene

ocho vértices, doce aristas y seis caras. Las cuatro caras laterales son paralelogramos como en todos los prismas, por consiguiente, todas las caras de un paralelepípedo son paralelogramos.

Dos caras cuyos planos son paralelos, se dice que son opuestas; las aristas comunes a caras

opuestas se llaman aristas opuestas; los vértices comunes a las aristas opuestas se llaman vértices opuestos y las rectas que unen dos vértices opuestos son las diagonales. TEOREMA:

Todas las diagonales de un paralelepípedo se cortan en su punto medio.



- Matemática III -

127

∴ Paralelepípedo recto es aquel cuyas aristas laterales son perpendiculares al plano de una de las caras elegida como base.

∴ Paralelepípedo rectángulo es aquel que, siendo recto, tiene como base un rectángulo. ∴ Cubo es un paralelepípedo rectángulo cuyos lados son iguales. En consecuencia, todas las caras

del cubo son cuadrados y todos los diedros son rectos, siendo sus aristas perpendiculares o paralelas.

33 CUERPOS REDONDOS

3.1 Cilindro

El cilindro es un cuerpo redondo. Cilindro o superficie cilíndrica es la superficie engendrada por una recta variable llamada

generatriz, que se mueve paralelamente a una dirección fija y apoyándose en una curva llamada directriz. La generatriz es el eje del cilindro.

La base del cilindro es la curva cerrada que hemos llamado directriz. El cilindro tiene dos

bases circulares paralelas y congruentes. El radio (r) del cilindro es el radio de una base. La altura (h) de un cilindro es un segmento perpendicular trazado desde el plano de una base hasta el plano de la otra.

∴ Un cilindro cuyo eje es perpendicular a las bases se llama cilindro recto. ∴ Un cilindro que no es recto es oblicuo.

h

r



- Matemática III -

128

3.2 Cono

El cono es un cuerpo redondo. Cono o Superficie cónica es la superficie engendrada por una recta llamada generatriz (g), que se mueve pasando por un punto fijo, el vértice, apoyándose en una curva fija o directriz. La directriz es una curva plana (un círculo) que es la base del cono. El radio (r) del cono es el radio de la base. La altura (h) de un cono es el segmento perpendicular trazado desde el vértice hasta el plano de la base.

∴ Un cono en el cual el pie de la altura pasa por el centro de la base se llama cono recto.

∴ Un cono que no es recto es oblicuo.

3.3 Esfera

La esfera es un cuerpo redondo. Se llama Esfera o superficie esférica al lugar geométrico de los puntos del espacio que están a una distancia dada R, llamada radio, de un punto fijo O, llamado centro. La esfera es el volumen limitado por una superficie esférica. Se llama diámetro toda recta que pasa por el centro O de la esfera y plano diametral todo plano que pase por dicho centro.

h

r

g



- Matemática III -

129

∴ Una semiesfera es la mitad de una esfera. ∴ El círculo que es base de una semiesfera se dice que es un círculo máximo de la esfera.

44 VOLÚMENES

Al calcular el volumen se mide la cantidad de espacio contenido en un sólido. Para medir volúmenes se emplean unidades cúbicas: centímetros cúbicos (cm3), decímetros cúbicos (dm3), metros cúbicos (m3), etc.

El volumen de un objeto es el número de unidades cúbicas que se necesitan para llenar

completamente el espacio dentro del objeto. Para poder calcular el volumen de los poliedros y cuerpos redondos tenemos que tener en

cuenta la superficie o área de polígonos y figuras circulares.

4.1 Volúmenes de prismas, paralelepípedos y cilindros

El volumen de cualquier prisma o cilindro de base B y altura de longitud h, sea recto u

oblicuo es la siguiente:

V = Área de B . h del cuerpo

cuerpodelhBdeÁreaV ⋅=

3

2

4201528

1542

86

2

cmVcmcmV

cmcmcmcmV

cuerpodelhhbBV

=

⋅=

⋅

⋅

+=

⋅

⋅

+=



- Matemática III -

130

Si calculamos el volumen de un cilindro oblicuo que tiene 6 cm de radio y 10 cm de altura,

tendríamos lo siguiente:

4.2 Volumen de pirámides y conos.

El volumen de una pirámide o un cono de base B y altura de longitud h, sea recto u oblicuo,

es el siguiente:

cuerpodelhBdeáreaV ⋅=31

r o

del cuerpo



- Matemática III -

131

4.3 Volumen de la esfera El volumen de una esfera de radio r es el siguiente:

¡Lo felicito! Ha finalizado Ud. la materia

Si le quedaron dudas, comuníquese con su tutor

Actividades

1. ¿Cuántos m3 contendrá un globo aerostático de 6 m de diámetro?

( )

3

3

3

3

04,113

2714,334

314,33434

36

mV

mV

mV

rV

mrmdiámetro

=

⋅⋅=

⋅⋅=

⋅⋅=

=⇒=

π

2. Un molde cónico de helados mide 63 mm de altura y 9 cm de diámetro. Calcular el volumen en mm3.

( )3

2

2

5,133528

634514,33131

459063

mmV

mmmmV

hrV

mmrmmdiámetrommh

=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅=

=⇒==

π

3. Dos hermanos duermen en una habitación de 3,40 m por 3,10 m por 2,5 m y desean saber de cuántos m3 dispone cada uno.



- Matemática III -

132

33

3

175,132:35,26

35,26

5,210,340,3

mmmV

mmmV

=

=

⋅⋅=


1. Calcular el volumen total de un cilindro de 50 cm de altura si la superficie de su base es de 36 cm2. 2. Hallar los siguientes volúmenes:

a) una esfera de 5 cm de radio b) un cono de 2,5 cm de radio y 10 cm de altura c) un prisma de 20 cm2 de superficie de la base y 15 cm de altura d) un cilindro de 3,5 m de radio y 10 m de altura e) una pirámide de base rectangular de 5 cm de largo por 7 cm de ancho, que tiene una altura

de 0,1 m. 3. Calcular la longitud de la arista de un cubo cuyo volumen es igual a 216 cm3

*



- Matemática III -

133


1. 1800 cm3 2. a) 523,3 cm3 b) 65,4 cm3

c) 300 cm3 d) 384,6 cm3

e) 116,67cm3 3. 6 cm

*



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134

A B C GLOSARIO

Ø Números irracionales: números de infinitas cifras decimales no periódicas.

5;2;: πEj Ø Monomio: expresiones algebraicas enteras en las que no intervienen la suma ni la resta.

;43;2: 2 yxaEj −

Ø Factorear: transformar un polinomio en producto de expresiones algebraicas. Ø Secante de un ángulo: es igual al valor inverso multiplicativo del coseno del mismo ángulo.

αα

ˆcos1

ˆsec =

Ø Generatriz del cono: es un segmento que tiene por extremos al vértice y a un punto de la circunferencia de la base. Ø Cuerpo redondo: es aquel que tiene alguna cara no plana. Ø Prisma recto: es aquel en el cual las caras laterales son perpendiculares a las bases.



- Matemática III -

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- Matemática III -

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LECTURA / BIBLIOGRAFÍA

ü SCHAUM – Álgebra, aprueba tu examen – Mc. Graw Hill 2004 ü SMITH, Stanley A. – Álgebra en secundaria y trigonometría – Mc. Graw Hill 1992 ü KACZOR, FRANCO, CICALA – Matemática 1 – Santillana Polimodal 2000



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matemÁtica 3

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