clase 12 logica matemática-3
TRANSCRIPT
![Page 1: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/1.jpg)
Introducción a la LOGICA Matemática Matemáticas II
![Page 2: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/2.jpg)
Introducción• La lógica estudia la forma del razonamiento, es una disciplina
que por medio de reglas y técnicas determina si un argumento es válido.
• La lógica matemática es la disciplina que trata de métodos de razonamiento. En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no valido un argumento dado. El razonamiento lógico se emplea en matemáticas para demostrar teoremas; en ciencias de la computación para verificar si son o no correctos los programas; en las ciencias física y naturales, para sacar conclusiones de experimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver una multitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lógico para realizar cualquier actividad.
![Page 3: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/3.jpg)
Proposiciones y operaciones lógicas.
• Una proposición o enunciado es una oración que puede ser falsa o verdadera pero no ambas a la vez. La proposición es un elemento fundamental de la lógica matemática.
• Ejemplos:▫p: La tierra es plana.▫q: -17 + 38 = 21▫r: x > y-9▫s: El Morelia será campeón en la presente temporada de Fut-Bol.
▫ t: Hola ¿como estas?▫w: Lava el coche por favor.
![Page 4: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/4.jpg)
Conectivos lógicos y proposiciones compuestas.•Existen conectores u operadores lógicas
que permiten formar proposiciones compuestas (formadas por varias proposiciones). Los operadores o conectores básicos son:▫Operador AND (y)▫Se utiliza para conectar dos proposiciones
que se deben cumplir para que se pueda obtener un resultado verdadero. Si símbolo es: { ó (.)}. Se le conoce como la multiplicación lógica.
![Page 5: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/5.jpg)
Ejemplo de AND• Sea el siguiente enunciado “El coche enciende
cuando tiene gasolina en el tanque y tiene corriente la batería”
• Sean:▫p: El coche enciende.▫q: Tiene gasolina el tanque.▫r: Tiene corriente la batería.
• De tal manera que la representación del enunciado anterior usando simbología lógica es como sigue:
• p = q r
![Page 6: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/6.jpg)
Tabla de verdad del AND, p=q Λ rQ R P
V V V
V F F
F V F
F F F
1 = Verdadero0= Falso
En la tabla anterior el valor de q=1 significa que el tanque tiene gasolina, r=1 significa que la batería tiene corriente y p = q r=1 significa que el coche puede encender. Se puede notar que si q ó r valen cero implica que el auto no tiene gasolina y que por lo tanto no puede encender.
![Page 7: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/7.jpg)
Operador OR (ó)• Con este operador se obtiene un resultado
verdadero cuando alguna de las proposiciones es verdadera. Se indica por medio de los siguientes símbolos: {,+}. Se conoce como la suma lógica.
• Ejemplo: ▫Sea el siguiente enunciado “Una persona puede
entrar al cine si compra su boleto u obtiene un pase”.
▫Donde: p: Entra al cine. q: Compra su boleto. r: Obtiene un pase.
![Page 8: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/8.jpg)
Tabla de verdad del OR, p=q V rQ R P
V V V
V F V
F V V
F F F
1 = Verdadero0= Falso
La única manera en la que no puede ingresar al cine (p=0), es que no compre su boleto (q=0) y que no obtenga un pase (r=0).
![Page 9: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/9.jpg)
Operador Not (no)
•Su función es negar la proposición. Esto significa que sí alguna proposición es verdadera y se le aplica el operador not se obtendrá su complemento o negación (falso). Este operador se indica por medio de los siguientes símbolos: {‘, ,,˜}.
![Page 10: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/10.jpg)
Ejemplo
P -P
V F
F V
Tabla del NOT
La negación de está lloviendo en este momento (p=1), es no está lloviendo en este momento (p’=0)
![Page 11: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/11.jpg)
Ejemplo
•Sean las proposiciones:▫p: Hoy es domingo.▫q: Tengo que estudiar teorías del
aprendizaje.▫r: Ir al cine con mi novia.
•Como expresaría el enunciado:▫“Hoy es domingo y tengo que estudiar
teorías de aprendizaje o ir al cine con mi novia”.
•p q r
![Page 12: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/12.jpg)
Ejercicios, Cuales de las siguientes frases son proposiciones?a) El pasto es amarillob) Hermosas Rosas blancasc) ¿Es 5 un numero primo?d) Si los perros pueden ladrar, entonces
ninguna casa cuidada por un perro necesita temerle a los intrusos.
e) Dame el libro.
![Page 13: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/13.jpg)
Sea p la proposición “Las Matemáticas son fáciles”, y sea q la proposición “2 es menor que 3” escriba en español las proposiciones representadas por:
a) pqb) p+qc) (pq)’d) (p+q)’e) p’+q’f) pq’+p’q
![Page 14: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/14.jpg)
Sea p la proposición “x es un numero par” y sea q la proposición “x es el producto de 2 enteros”. Traduzca a símbolos cada una de las siguientes proposiciones:
a) O x es un numero par o x es un producto de 2 enteros.
b) x es un numero impar y x es un producto de 2 enteros
c) O x es un numero par y un producto de enteros o x es un numero impar y no un producto de enteros.
d) x no es un numero par ni un producto de enteros.
![Page 15: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/15.jpg)
Si p=1, q=0 y r=0, evalué las siguiente proposiciones:
i) (pq+p’q’)+(p’q+pq’)
j) (p’+q’)[(p+r’)(q+r)]
a) p’b) pqc) p+qd) (p+q)+re) p’+(q+r)f) p’+(q+r)’g) pq+qrh) pq+p’q’
![Page 16: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/16.jpg)
Leyes de De Morgan:
•(p+q)’=p’q’•(pq)’=p’+q’
p q (p+q) (p+q)’
p’ q’ p’q’
0 0
0 1
1 0
1 1
![Page 17: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/17.jpg)
Escriba la negación de las siguientes proposiciones:
a) El hielo es frio y estoy cansadob) O es deseable la buena salud o he sido
mal informado.c) Las naranjas no son adecuadas para
usarse en ensaladas verdes.d) Hay un numero que sumado a 6 da una
suma de 13
![Page 18: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/18.jpg)
La tautología y la contradicción
•Aquella proposición cuya tabla de verdad siempre da verdadero es una tautología.
•Aquella que siempre da falso es una contradicción.
•Ejemplo:▫p+p’=1▫pp’=0
P P’ P+P’ PP’
0 1 1 0
1 0 1 0
![Page 19: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/19.jpg)
Analice si las siguientes proposiciones son siempre verdaderas, siempre falsas o a veces verdaderas y falsas.
a) (p+p’)(q+r)b) (pq+pq’)+(p’q+p’q’)c) [p+(q+r’)][p’+(q+r)]d) [(p+q)(p+q’)][(p’+q)(p’+q’)]
![Page 20: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/20.jpg)
Ejercicio tarea:• Un persona fue secuestrada por una pandilla. El líder
de la pandilla para divertirse lo encerró en un cuarto que tenia 2 cajas y le dio las siguientes instrucciones: Una caja contiene la llave del cuarto y la otra una víbora venenosa, debe introducir la mano en la caja que escoja y si consigue la llave puede irse. Para ayudarse puede preguntarle a mi ayudante una sola pregunta a la que le contestara “si” o “no”. Sin embargo el no tiene porque decirle la verdad, pudiéndole mentir. Después de un rato, la persona hizo la pregunta, saco la llave de la caja correcta y se fue. Que pregunto?
![Page 21: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/21.jpg)
Proposiciones condicionales• Una proposición condicional, es aquella que está
formada por dos proposiciones simples (o compuestas) p y q. La cual se indica de la siguiente manera:
•p q Se lee “Si p entonces q”
▫p es el antecedente y q es el consecuente.
![Page 22: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/22.jpg)
ejemploEl candidato del PRI dice “Si salgo electo presidente de la República
recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año”. Una declaración como esta se conoce como condicional. Su tabla de verdad es la siguiente: Sean p: Salió electo Presidente de la República.q: Recibirán un 50% de aumento en su sueldo el próximo año.
De tal manera que el enunciado se puede expresar de las siguiente manera. p q Su tabla de verdad queda de la siguiente manera:
p q p q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
![Page 23: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/23.jpg)
Condicional…
La interpretación de los resultados de la tabla es la siguiente:▫Considere que se desea analizar si el candidato
presidencial mintió con la afirmación del enunciado anterior. Cuando p=1; significa que salió electo, q=1 y recibieron un aumento de 50% en su sueldo, por lo tanto p q =1; significa que el candidato dijo la verdad en su campaña. Cuando p=1 y q=0 significa que p q =0; el candidato mintió, ya que salió electo y no se incrementaron los salarios. Cuando p=0 y q=1 significa que aunque no salió electo hubo un aumento del 50% en su salario, que posiblemente fue ajeno al candidato presidencial y por lo tanto; tampoco mintió de tal forma que p q =1.
![Page 24: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/24.jpg)
Proposición bicondicional
Sean p y q dos proposiciones entonces se puede indicar la proposición bicondicional de la siguiente manera:
p q Se lee “p si solo si q”
Esto significa que p es verdadera si y solo
si q es también verdadera. O bien p es falsa si y solo si q también lo es.
![Page 25: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/25.jpg)
EjemploEl enunciado siguiente es una proposición bicondicional “Es buen estudiante, si y solo si; tiene promedio de diez” Donde:
p: Es buen estudiante.q: Tiene promedio de diez.
por lo tanto su tabla de verdad es.
p q p q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
![Page 26: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/26.jpg)
EjemploSea el siguiente enunciado “Si no pago la luz, entonces me
cortarán la corriente eléctrica. Y Si pago la luz, entonces me quedaré sin dinero o pediré prestado. Y Si me quedo sin dinero y pido prestado, entonces no podré pagar la
deuda, si solo si soy desorganizado”Donde:p: Pago la luz.q: Me cortarán la corriente eléctrica.r: Me quedaré sin dinero.s: Pediré prestado.t: Pagar la deuda.w: soy desorganizado.
(p’ q) p (rs) (r s) t’ w
![Page 27: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/27.jpg)
Ejercicios (haga las tablas)
1. -p+q2. (pq) p3. -[(pq) p]4. p -p5. (-p+q) (p q)
![Page 28: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/28.jpg)
Algebra de Boole
En 1854 George Boole introdujo una notación simbólica para el tratamiento de variables cuyo valor podría ser verdadero o falso (variables binarias) Así el álgebra de Boole nos permite manipular relaciones proposicionales y cantidades binarias. Aplicada a las técnicas digitales se utiliza para la descripción y diseño de circuitos mas económicos. Las expresiones booleanas serán una representación de la función que realiza un circuito digital. En estas expresiones booleanas se utilizarán las tres operaciones básicas ( AND, OR NOT ) para construir expresiones matemáticas en las cuales estos operadores manejan variables booleanas (lo que quiere decir variables binarias).
![Page 29: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/29.jpg)
Funciones booleanas a partir de tablas de verdad.
A B F1
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
A B F2
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Utilizando min términos:Tomamos los valores que dan “1” y formamos una ecuación en forma de SUMA (OR) con las variables multiplicándose (AND):
F1=AB
F2=AB+AB’+A’B
Utilizando max términos:Tomamos los valores que dan “0” y formamos una ecuación en forma de AND con las variables sumándose (OR):
F1=(A’+B)(A+B’)(A+B)
F2=(A+B)
![Page 30: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/30.jpg)
Continuación…p q p q
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 1
Con Min-términos
F=p’q’+pq
p q p → q
0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
Con Min-términos
F=p’q’+p’q+pq
![Page 31: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/31.jpg)
Simplificando• F = A’C’ + ABC + BC’ + A’B’C + A’BC
▫Observando cada uno de los sumando podemos ver que hay factores comunes en los sumandos 2º con 5º y 4º con 5º que conllevan simplificación:
• F = A’C’ + BC’ + BC(A + A’) + A’C(B + B’)▫Note que el término 5º se ha tomado dos veces, de
acuerdo con la propiedad que dice que A + A´ = 1. Aplicando las propiedades del álgebra de Boole, queda
• F = A’C’ + BC’ + BC + A’C ▫Repitiendo nuevamente el proceso,
• F = A’( C’ + C) + B( C’ + C) = A’ + B
![Page 32: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/32.jpg)
Simplificando…
•D =A’B’C+BC’+A’BC+ ABC
![Page 33: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/33.jpg)
problemas
•Un marido le dijo a su esposa: “Nos llevaremos muy bien si observas las siguientes reglas en la mesa:”
a) En toda comida en que no sirvas pan, debes servir helado.
b) Si sirves pan y helado, entonces no debes servir pepinillos.
c) Si se sirven pepinillos o no se sirve pan, entonces no se debe servir helado.
![Page 34: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/34.jpg)
Solución• b:debe servirse pan• i:debe servirse helado• p:deben servirse pepinillos
Las reglas quedarían:• (b i)(bi p’)(p+b’ i’) y haciendo las equivalencias:
• (b+i)(b’+i’+p’)(p’b+i’)• Simplifique la expresión: b(ip)’• Y hay una sola regla: “Siempre sirve pan y
nunca sirvas helado y pepinillos juntos.”
![Page 35: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/35.jpg)
Problema•En un baile se establecieron las siguientes reglas:a) Si un muchacho baila con una pelirroja u omite
bailar con la chaperona, entonces debe bailar con la cocinera y no debe bailar con una rubia.
b) Un muchacho no debe bailar con la chaperona debe bailar con una rubia si no baila con la cocinera o si no baila con una pelirroja.
c) Un muchacho debe bailar con la chaperona pero no con la cocinera, a menos que baile con una pelirroja y no con una rubia.
![Page 36: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/36.jpg)
Acertijos1. En una prisión de la que debemos salir, existen dos
puertas. Una lleva a la salida. La otra, a la muerte segura. Cada puerta está custodiada por un guardián. Sabemos que uno de ellos dice siempre la verdad y que el otro miente siempre, pero no sabemos cuál es cada uno. La cuestión es: si pudieras hacer sólo una pregunta a uno de los dos, ¿qué pregunta le harías para saber qué puerta es la buena?
La pregunta que le haría es: "¿Cuál es la puerta que diría tu compañero que es la correcta?". En todo caso, la respuesta será la falsa.
•pq+p’q’
![Page 37: Clase 12 LOGICA Matemática-3](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081511/5571f75f49795991698b4c79/html5/thumbnails/37.jpg)
Acertijos…1. Tenemos 4 cofres y dentro de uno hay un tesoro. Cada
cofre contiene una inscripción y sabemos que 2 dicen la verdad y 2 mienten. ¿Dónde está el tesoro?
Cofre 1: El tesoro no está aquí.Cofre 2: El cofre 1 dice la verdad.Cofre 3: El tesoro no está en el cofre 2.Cofre 4: El cofre 3 está vacío
Para que se cumpla que dos digan la verdad y dos mientan, el tesoro debe estar en el cofre 1