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1 FUNDACIÓN CHILE – MEJOR LICEO

Matemática 1° Medio UNIDAD 5. Transformaciones isométricas (Segunda parte)

GUÍA N° 5 ROTACIONES Y SIMETRÍA ROTACIONAL

La cuarta transformación isométrica que estudiaremos es la rotación en torno a un punto. Observemos nuevamente el estudio de los ángeles y demonios de Escher (figura 1). Algunos ángeles presentan simetría axial, como vimos al estudiar la reflexión. Pero en la figura 2 hemos destacado cuatro de estos ángeles. Presentan simetría pero no axial.

Lo que sucede es que cada ángel está rotado en 90º con respecto al anterior. El punto donde se tocan las cuatro alas es el centro de esta rotación. Una rotación es una transformación isométrica que cambia la orientación de la figura original. Para lograr una rotación se requiere de: 1. Un punto en torno al cual se giran todos los puntos de la figura. Este punto se denomina

centro de rotación. 2. Un ángulo en el cual rotarán los puntos de la figura. 3. Un sentido en el cual se efectuará la rotación. Si el sentido de la rotación es en contra de las manecillas del reloj (como mostramos en la figura 2), hablamos de sentido positivo; sentido negativo, en caso contrario.

Fig. 1 Fig. 2


ACTIVIDADES

1. La siguiente secuencia te muestra como rotar un punto P en torno a un centro O en un ángulo α dado. Rota análogamente los puntos en torno a O en el ángulo indicado.

2. a) Rota el triángulo ABC en torno a O en 180º. b) ¿Mediante qué otra transformación isométrica se hubiera logrado la misma imagen? Formula una oración: Una rotación en torno a O en 180º equivale a …

3. a) El punto A = (2, 4) rota en 90º, 180º y 270º en torno al origen, obteniendo los puntos A’, A’’ y A’’’. Construye los cuatro puntos A, A’, A’’ y A’’’. ¿Cuáles son las coordenadas de A’, A’’ y A’’’? b) Si un punto (x, y) se rota en torno al origen en 90º, 180º y 270º, ¿cuáles son las coordenadas de las respectivas imágenes?

P

O

P

O

P

O

P

O

P’

α

P O

α = 80º

P O

α = 150º

B A

O

C


ACTIVIDADES

Una figura presenta simetría rotacional, si al rotarla en un ángulo entre 0º y 180º (incluyendo el ángulo de 180º) en torno a un punto O, la imagen coincide con la original. El centro de rotación se llama centro de simetría. Una figura tiene simetría de orden n, si tiene n ángulos distintos que generan simetría rotacional. Por ejemplo, la estrella de mar de la figura tiene simetría de orden 5. 1. Señala qué imágenes presentan simetría rotacional. En caso de haber simetría rotacional, marca el centro de simetría y señala el orden de la simetría.

2. En las figuras ves algunos polígonos regulares: un triángulo equilátero, un cuadrado, un pentágono regular y un hexágono regular. ¿Cuál es el orden de simetría de cada figura? Conjetura: ¿Cuál es el orden de simetría de un polígono regular de n lados?

Considera sólo la forma, no en qué dirección queda el número 50.


GUÍA N° 2

COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES ISOMÉTRICAS Si observas la obra de Escher, verás que muchas veces mezcla diferentes transformaciones para lograr su propósito. Por ejemplo, a la derecha te mostramos un estudio realizado por el artista, en que utiliza lagartijas blancas y negras. Si comparas dos de las lagartijas negras, verás que en algunos casos hay una rotación pero también una traslación. Ahora analizaremos qué sucede cuando combinamos dos transformaciones isométricas. ¿Se puede saber de antemano el resultado? ¿Da lo mismo en qué orden se efectúen las transformaciones?


ACTIVIDADES

1. Responde las siguientes preguntas. Para eso analiza algunos ejemplos (prueba con puntos, segmentos, triángulos, etc.) y compara con tus compañeros. a) ¿Qué sucede si un objeto se refleja dos veces respecto del mismo eje? b) ¿Qué sucede si un objeto se refleja dos veces respecto de un mismo punto? c) ¿A qué transformación equivale rotar un objeto dos veces en torno a un centro O, primero en un ángulo α y luego en un ángulo β?

2. En un sistema de coordenadas dibuja el triángulo ABC, con A = (1,1), B = (3, 2) y C = (2, 4). a) Rota el triángulo en 90º en torno al origen y traslada posteriormente la imagen según el vector (3, 5). b) Traslada primero el triángulo ABC según el vector (3, 5) y rota luego la imagen en 90º en torno al origen. c) ¿Es lo mismo rotar y luego trasladar que trasladar y luego rotar?

3. Se desea trasladar un objeto según un vector y luego reflejar la imagen respecto de un eje. ¿Da lo mismo en qué orden se efectúen estas transformaciones? Analiza algunos ejemplos, discute con tus compañeros y formula tu conjetura.

4. El triángulo ABC se refleja respecto del eje L y luego su imagen respecto del eje L’. ¿Qué transformación isométrica permite lograr la imagen final directamente?

B A

C

L’ L


GUÍA N° 7

CONGRUENCIA DE FIGURAS Si se realiza una o varias transformaciones isométricas sobre una figura, se obtienen figuras que son idénticamente iguales unas a otras. Para no tener que decir “idénticamente unos a otros” se usa el concepto matemático de “congruente”. Dos figuras F y F’ son congruentes, si existe una transformación isométrica o una composición de transformaciones isométricas, tales que F’ sea la imagen de F. Para denotar que F y F’ son congruentes, utilizamos el símbolo ≅, es decir escribimos F ≅ F’. Por ejemplo, en la figura los paralelogramos ABCD y A’B’C’D’ son congruentes, ya que existe una composición de transformaciones de manera que A’B’C’D’ es la imagen de ABCD. Nosotros descubrimos que esta composición de transformaciones consta de: 1. una rotación en 90º en torno a C, 2. una traslación según el vector indicado y 3. finalmente de una reflexión respecto del eje mostrado.

Esta no es la única manera de lograr que A’B’C’D’ sea la imagen de ABCD, pero el objetivo no es encontrar todas las maneras posibles ni de encontrar la más “rápida”, sino de encontrar una que funcione. Con eso basta para saber que dos figuras son congruentes.

A

D

C

B

A’

C’ D’

B’


ACTIVIDADES

1. Analiza en cada caso si las congruencias señaladas son correctas. En caso que sean correctas, justifica usando transformaciones isométricas.

Demostrar que dos figuras son congruentes determinando una transformación isométrica o una composición de transformaciones es un método laborioso y a veces difícil. Por lo mismo se intenta explicar que dos figuras son congruentes mediante características más simples. 2. Analiza las siguientes preguntas. (Haz algunos ejemplos, compara o comenta con tus compañeros, etc.) a) Si dos segmentos miden lo mismo, ¿son congruentes? b) Si dos ángulos tienen la misma medida, ¿son congruentes? c) Si los radios de dos circunferencias son congruentes, ¿son congruentes las circunferencias? d) Si los lados de dos cuadrados son congruentes, ¿son congruentes los cuadrados? e) Si dos circunferencias tienen el mismo centro, ¿son congruentes? f) Si dos rectángulos tienen igual área, ¿son congruentes? g) Si los ángulos de un triángulo son congruentes con los de otro triángulo, ¿son congruentes los triángulos?

B A

C

D

¿∆ABC ≅ ∆ABD?

B A

C D

¿∆ABC ≅ ∆DCB?

B A

C D

¿ABCD ≅ EFGH? F E

G H


GUÍA N° 8 CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS

Analicemos ahora solamente la congruencia de dos triángulos. Si tenemos dos triángulos congruentes, entonces debe existir una transformación isómetrica entre ambos triángulos. Esto significa que sus lados correspondientes (también se puede decir “sus lados homólogos”) son congruentes, así como sus ángulos correspondientes. En la figura, ∆ABC ≅ ∆A’B’C’. Por lo tanto: 1. Los lados homólogos deben ser congruentes: a ≅ a’; b ≅ b’; c ≅ c’.

2. Los ángulos correspondientes deben ser congruentes: α ≅ α’; β ≅ β’; γ ≅ γ’.

Esto significa que para verificar que dos triángulos son congruentes, es necesario verificar 6 congruencias: tres para los lados y tres para los ángulos. La pregunta es: ¿es necesario verificar las 6 congruencias? ¿No puede ser menos? Otra forma de plantear este problema es el siguiente: Si deseo construir un triángulo exactamente igual a otro, ¿qué datos debo saber como mínimo?

B A

C

a

γ

β α

c

b

B’ A’

C’

c’

b’ a'

γ'

β' α'


ACTIVIDADES

1. Juan y Marcos son primos que viven en distintas ciudades pero siempre hablan por teléfono. Juan cuenta que construyó una rampa con su papá para andar en skate. Marcos se entusiasma y decide construir una rampa idéntica a la de Juan y le pide los datos. Juan piensa en su rampa (ver figura 1) y le dice que usó una tabla de 30 cm y otra de 40 cm de ancho. Dos semanas después vuelven a hablar. Juan cuenta maravillas de su rampa, pero Marcos le dice que la encuentra muy fome. “¡Qué raro!”, le dice Juan y le pide a Marcos que le mande un dibujo de la rampa por mail. Recibe lo siguiente: (ver figura 2) Discute con tus compañeros: a) ¿Son congruentes ambos triángulos? ¿Qué hicieron mal? b) Supón que Juan le dice a Marcos cuánto mide el lado AB. ¿Construiría Marcos una rampa igual a la de Juan? c) Supón que Juan le dice a Marcos cuánto mide el ángulo ACB. ¿Construiría Marcos una rampa igual a la de Juan?

2. Justo cuando Marcos va a construir su rampa, lee en Internet que la mejor rampa debe tener un ángulo de 34º a un lado y uno de 20º al otro. Se lo comenta a Juan para que ambos construyan una rampa igual. Juan le dice que si sólo se guían por esos dos datos van a tener el mismo problema de antes. Discute con tus compañeros: a) ¿Tiene razón Juan? b) ¿Qué dato adicional deberían acordar?

30 cm 40 cm

A

C

B

30 cm 40 cm

A

C

B


Es posible comprobar la congruencia de dos triángulos verificando sólo 3 de las 6 congruencias. Pero no puede ser tres cualesquiera. Por ejemplo, si dos triángulos tienen los mismos ángulos, entonces no necesariamente son congruentes. Esto implica que siempre se debe verificar por lo menos una de las congruencias de los lados. Las comprobaciones que se deben realizar como mínimo y que garantizan que dos triángulos son congruentes se conocen como criterios de congruencia. Propiedad importante: Una vez que se comprueba que dos triángulos son congruentes, usando alguno de los criterios, se puede saber con certeza la medida de los lados y de los ángulos de uno de ellos, si se conoce lo correspondiente del otro. Existen cuatro criterios de congruencia: 1. Criterio LLL:

Teorema: Si los tres pares de lados son congruentes, entonces los triángulos son congruentes. Simbólicamente: Si a ≅ a’; b ≅ b’; c ≅ c’, entonces ∆ABC ≅ ∆A’B’C’. En particular, esto significa que los ángulos correspondientes también son congruentes.

2. Criterio LAL:

Teorema: Si dos de los tres pares de lados son congruentes, y los ángulos comprendidos entre estos lados también, entonces los triángulos son congruentes. (La figura muestra dos lados y su ángulo comprendido). Ejemplo: Si a ≅ a’; b ≅ b’ y γ ≅ γ’ , entonces ∆ABC ≅ ∆A’B’C’. En particular, esto significa además que los lados que no se conocen en ambos triángulos también son congruentes, así como los ángulos que faltan.

3. Criterio ALA:

Teorema: Si dos de los tres pares de ángulos son congruentes, y los lados comprendidos entre estos ángulos también, entonces los triángulos son congruentes. Ejemplo: Si α ≅ α’; γ ≅ γ’ y b ≅ b’, entonces ∆ABC ≅ ∆A’B’C’. Importante: Si el lado no está comprendido entre los ángulos, entonces no es posible

ángulo comprendido


garantizar que los triángulos sean congruentes. En particular, este criterio implica que los dos lados que no se conocen en ambos triángulos también deben ser congruentes. Lo mismo con el ángulo que falta, lo cual en realidad por añadidura pues los tres ángulos deben sumar 180º.

4. Criterio LLA:

Teorema: Si dos triángulos tienen dos lados congruentes, así como los ángulos opuestos al lado mayor, entonces los triángulos son congruentes. Importante: Si el ángulo no está opuesto al lado mayor, entonces no es posible garantizar que los triángulos sean congruentes. En particular, este criterio implica que los lados que no se conocen en ambos triángulos también son congruentes, así como los ángulos que faltan.

Nota: El orden en que se nombran los vértices de los triángulos es importante. ∆ABC ≅ ∆DEF, significa que el ángulo en A es el correspondiente al ángulo en D, el ángulo en B es correspondiente al de E, y el ángulo en C al de F. En este caso estaría equivocado decir por ejemplo ∆ABC ≅ ∆EDF.


ACTIVIDADES

1. En los siguientes pares de triángulos se han marcado lados o ángulos congruentes. Determina si es posible garantizar la congruencia de los triángulos, con la información dada, señalando en dicho caso el criterio de congruencia utilizado. (No te fijes en los dibujos, en el sentido de no midas los lados ni los ángulos. Sólo guíate por la información dada.)

2. ¿Cuáles de los siguientes triángulos son congruentes entre sí? ¿Qué criterio(s) de congruencia te permite aseverar eso?

b a c

d e f

5 cm

5 cm

70º 68º

70º 68º

8 cm

40º 4 cm

8 cm

40º 4 cm

4 cm

8 cm 4 cm

8 cm 4 cm

8 cm 30º

4 cm

8 cm

30º

4 cm

60º 30º

60º

8 cm

60º

8 cm 30º

60º


3. ¿Son congruentes los siguientes triángulos? (Se han marcado lados o ángulos congruentes). En caso de serlo, establece el criterio de congruencia que lo garantiza y determina el valor de las incógnitas.


GUÍA N° 9 DEMOSTRACIONES DE CONGRUENCIAS

Muchas veces se necesita comprobar que dos segmentos en un dibujo son congruentes, o que dos ángulos en una figura son congruentes. Utilizando triángulos y criterios de congruencia es posible comprobar eso, ya que al comprobar que dos triángulos son congruentes, los lados y los ángulos homólogos deben ser congruentes. Para eso, una forma de proceder es la siguiente: 1. Determina dos triángulos que tengan que ver con los lados o ángulos que desees comprobar. Esta es la parte normalmente más difícil del problema, aunque no lo parezca.

2. Comprueba que se cumpla algunos de los criterios de congruencia. 3. Si se cumple algún criterio de congruencia, entonces los dos triángulos deben ser congruentes, lo cual implica que todos los lados correspondientes son congruentes, así como los ángulos.

4. Repite lo anterior hasta comprobar lo pedido. Veamos un par de ejemplos: Ejemplo 1.

Supongamos que ∠DAC ≅ ∠BAC, que ∠DCA ≅ ∠ACB y que AD = 5 cm. (Ver figura). Preguntas: 1. ¿Es cierto que ∆ACD ≅ ∆ACB? 2. ¿Es posible saber la medida de algún lado?

Solución: Comparemos los triángulos ACD y ACB: 1. ∠DAC ≅ ∠BAC, por hipótesis. (“Por hipótesis” significa que es un dato que me dieron en el enunciado del problema).

2. ∠DCA ≅ ∠ACB, por hipótesis. 3. El lado AC pertenece a ambos triángulos. Decimos que es “un lado común a ambos triángulos”.

Conclusión: Se cumple el criterio de congruencia ALA, por lo tanto los triángulos ACD y ACB son congruentes. El lado correspondiente a AD del triángulo ACD, es AB. Como los lados correspondientes deben ser congruentes, es posible afirmar que AB mide 5 cm. De los otros lados no disponemos información.

En este ejemplo aplicamos un criterio de congruencia para garantizar que dos triángulos son congruentes, pero también para poder determinar una medida desconocida. No siempre tendremos un dibujo tan simple. En el siguiente ejemplo veremos un caso un poco más complejo.

A

D

C

B

5 cm


Ejemplo 2. Supongamos que P es un punto que está a la misma distancia de las rectas L1 y L2. (Nota: Para medir la distancia de un punto a una recta se traza un segmento perpendicular a la recta.) Pregunta: ¿Es cierto que la recta OP debe ser la bisectriz del ángulo que forman estas dos rectas?

Solución

¿Cómo podemos responder esta pregunta? Primero trazamos la recta OP y las distancias de P a cada recta. Nombramos los puntos de intersección como A y B y los dos ángulos los llamamos α y β. Queremos comprobar que estos dos ángulos miden lo mismo, es decir que son congruentes. 1. Analizamos dos triángulos: Fijémonos en los triángulos OPA y OPB. a) Ambos tienen un ángulo recto, puesto que las distancias siempre se trazan mediante alturas. Nos fijamos además que este es el mayor de los ángulos en cada triángulo. b) Ambos triángulos tienen como lado al segmento OP, que es el lado mayor de cada triángulo. ¿Cómo sabemos que es el mayor? Pues porque es la hipotenusa de cada triángulo. c) Las distancias PA y PB miden lo mismo, porque dicen que “P está a la misma distancia de las rectas”.

2. Se cumple el criterio de congruencia LLA, por lo tanto ∆OPA ≅ ∆OPB.

3. Como los triángulos son congruentes, los ángulos α y β también deben ser congruentes, lo cual implica que OP debe ser la bisectriz de las rectas L1 y L2.

El segundo ejemplo no es fácil. Pero este ejemplo, así como el primero te puede permitir extraer conclusiones importantes, por ejemplo en cómo organizar tus ideas, cómo redactar, etc. Por ejemplo, te puede ser de mucha utilidad ir numerando tus ideas. También puedes usar colores para destacar segmentos congruentes o ángulos congruentes.

P

L1

L2

O

B

A

α β

P

L1

L2

O P


ACTIVIDADES

1. En el cuadrilátero ABCD se dibujó una de sus diagonales. Al medir los ángulos, se verificó que casualmente ∠ABD ≅ ∠BDC y que ∠CBD ≅ ∠ADB. a) ¿Es cierto que AB ≅ DC? b) ¿Es cierto que AD ≅ BC? c) ¿Es cierto que ABCD es un rectángulo?

2. En la figura de la derecha, DA ⊥ AB, CB ⊥ AB y BD ≅ AC. a) ¿Es cierto que ∆ABD ≅ ∆BAC? b) ¿Es cierto que los puntos A y C están a la misma distancia respecto de AB?

3. En la figura de la derecha se sabe que el ángulo DAB es congruente con el ángulo BCE. Además el segmento BC mide lo mismo que el segmento AB. a) ¿Es cierto que BE ≅ BD? b) ¿Es cierto que EC ≅ DA?

4. Desde el punto medio M de un segmento AB se levanta una perpendicular. Sea P un punto cualquiera sobre esta perpendicular. ¿Es cierto que P está a la misma distancia de A que de B?

5. Dibuja un triángulo ABC cualquiera y sea M el punto medio del lado AB. ¿Es cierto que A y B están a la misma distancia de MC?

E

B

D

A

C

B

D

A

C

M B

P

A

A

B D

C


ACTIVIDADES

Los criterios de congruencias permiten también demostrar características de ciertas figuras geométricas especiales. Veremos tres de ellas: el triángulo isósceles, el paralelogramo y el rombo. 1. Triángulo isósceles El triángulo ABC de la figura es isósceles de base AB. M es el punto medio del lado AB. a) Demuestra que los dos ángulos basales BAC y CBA son congruentes. b) Demuestra que la transversal CM es también una bisectriz del ángulo en C. c) Demuestra que CM, además de transversal y bisectriz, es altura de AB.

2. Paralelogramo En la figura vemos un paralelogramo ABCD. a) Demuestra que ∠BAD ≅ ∠DCB. Esto significa que los ángulos opuestos en un paralelogramo son congruentes. b) Demuestra que ∠DBA ≅ ∠BDC y que ∠BAD ≅ ∠DCB. c) Traza la diagonal AC. Sea M el punto de intersección de ambas diagonales. Demuestra que AM ≅ MC y que DM ≅ MB. Esto significa que las diagonales de un paralelogramo se dimidian.

3. Rombo Sea ABCD un rombo en el que se han trazado sus dos diagonales (ver figura). a) Demuestra que los cuatro triángulos pequeños que se forman son todos congruentes. b) Demuestra que las diagonales son perpendiculares. c) Demuestra que las diagonales son a su vez bisectrices de los respectivos ángulos.

A M

C

B

B

D

A

C

B

D

A C

matemática 1° medioww2.educarchile.cl/userfiles/p0032/file/pdf_esencial/1romedio/... · dos...

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