matem atica recreativa de kaprekar na educac˘ao b~ asica

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE

CENTRO DE CIENCIA EXATAS E DA TERRA

DEPARTAMENTO DE MATEMATICA

PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMATICA

EM REDE NACIONAL - PROFMAT

Arthur Henrique da Silva

Matematica Recreativa deKaprekar Na Educacao Basica

Orientadora:

Profa. Dra. GABRIELA LUCHEZE DE OLIVEIRA LOPES

Natal - RN

Marco de 2020



Dissertacao de mestrado profissional apre-

sentada ao PROFMAT, Programa de Mes-

trado Profissional em Matematica em Rede

Nacional da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte, como parte dos requisitos

para obtencao do tıtulo de Mestre em Ma-

tematica.

Orientadora: Profa. Dra. GABRIELA LU-

CHEZE DE OLIVEIRA LOPES.

Natal - RN

Marco de 2020



Dissertacao de mestrado profissional apre-

sentada ao Programa de Mestrado Pro-

fissional em Matematica em Rede Nacio-

nal (PROFMAT) do Departamento de Ma-

tematica da Universidade Federal do Rio

Grande do Norte, como parte dos requisitos

para obtencao do tıtulo de Mestre.

Banca Examinadora:

Profa. Dra. Marcia Maria Alves de Assis (Membro Externo)

UERN

Prof. Dr. Edgar Silva Pereira (Membro Interno)

UFRN

Prof. Dr. Jaques Silveira Lopes (Membro Interno)

UFRN

Profa. Dra. Gabriela Lucheze de Oliveira Lopes (Orientadora)

UFRN

Natal - RN

Marco de 2020

Silva, Arthur Henrique da. Matemática recreativa de Kaprekar na educação básica / ArthurHenrique da Silva. - 2020. 98f.: il.

Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grandedo Norte, Centro de Ciência Exatas e da Terra, Programa deMestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional - PROFMAT.Natal, 2020. Orientadora: Gabriela Lucheze de Oliveira Lopes.

1. Matemática - Dissertação. 2. Matemática recreativa -Dissertação. 3. História da matemática - Dissertação. 4.Kaprekar - Dissertação. 5. Aritmética - Dissertação. I. Lopes,Gabriela Lucheze de Oliveira. II. Título.

RN/UF/CCET CDU 51

Universidade Federal do Rio Grande do Norte - UFRNSistema de Bibliotecas - SISBI

Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET

Elaborado por Joseneide Ferreira Dantas - CRB-15/324

Dedico esse trabalho a todos os profes-

sores da Educacao Basica. Profissio-

nais que diante das mas condicoes para

exercer seu trabalho e a desvalorizacao

da profissao, seguem firmes e fortes na

luta por um paıs melhor e mais justo

para nossas criancas.

Agradecimentos

A Deus, pelo guia diario em toda minha trajetoria ate aqui.

A todos os professores de matematica que tive na minha vida academica, na qual

transferiram um pouco do seu conhecimento. Em especial ao professor Cleiton, meu pro-

fessor do Ensino Fundamental que me incentivou muito na matematica e principalmente

na Olimpıada de Matematica. E tambem a professora e orientadora Gabriela, por todos

os ensinamentos, paciencia e conversas ao longo da escrita desta dissertacao. Voces sao

uma inspiracao para mim.

A banca examinadora, pela disposicao em avaliar esta dissertacao.

A minha mae, Agmar. Que sempre esteve presente em cada segundo da minha

vida. Incrıvel mae e agora uma incrıvel avo.

A minha irma, Bruna. Que sempre foi minha companheira e incentivadora das

minhas escolhas.

Ao meu pai, Raimundo. Minha grande fonte de inspiracao pessoal e profissional.

Tudo que sou e conquistei foi gracas a ele.

A minha esposa Camila, por toda paciencia e compreensao em nosso dia a dia.

Nao teria terminado este trabalho sem sua ajuda.

Ao meu filho, Bernardo. A materializacao do amor para mim.

A Nick. Pelo amor e companherismo.

Aos meus familiares, meus tios(as), primos(as), avos e avos. E em especial a minha

prima Maria Helena, minha irma mais nova.

Ao meu sogro, minha sogra e minha cunhada. Pelo carinho e amor que tem pela

minha famılia.

Aos meus amigos, desde a infancia em Felipe Camarao, passando pelo Atletico

Colinas, amigos do IFRN e da UFRN. Em especial Azevedo, Caio, Gleidson, Larisson,

Rodrigo e Teixeira. Obrigado por se fazerem presente em minhas conquistas.

Aos meus amigos de PROFMAT. Pelos encontros descontraıdos e pelas ajudas

durante o mestrado.

E a todos que direta ou indiretamente contribuıram para que eu pudesse estar aqui

hoje.

“Educacao nao transforma o mundo.

Educacao muda as pessoas.

Pessoas transformam o mundo.”

Paulo Freire

Resumo

O presente texto tem como tema central a Matematica Recreativa. Logo, procura-

mos expor o que alguns matematicos falam sobre sua definicao, destacar a sua importancia

para o ambito escolar e como ela apareceu ao longo da historia. Tambem abordaremos

grandes nomes da Matematica Recreativa, como Martin Gardner, o principal nome da

Matematica Recreativa no mundo. E aqui no Brasil, falaremos de Malba Tahan e sua

contribuicao para a Matematica Recreativa. Em uma das publicacoes feita por Martin

Gadner, ele aponta um matematico indiano chamado Kaprekar. E justamente este ma-

tematico indiano que iremos destacar no nosso trabalho. Contaremos um pouco sobre sua

historia, passando pela infancia, adolescencia, ate a sua fase adulta. Destacaremos o con-

texto historico e geografico em que ele vivia na epoca e abordaremos suas duas pesquisas

mais conhecidas: A Constante de Kaprekar e os Numeros de Kaprekar. O nosso principal

enfoque matematico sera os Numeros de Kaprekar, adotamos a forma como o Iannucci

(2000) demonstra a dinamica do numero em seu artigo. Mas para poder fazer toda a

abordagem matematica contida nos Numeros de Kaprekar, juntamente com o artigo do

Iannucci (2000), dedicaremos um espaco da dissertacao para poder explanar a matematica

contida no trabalho, que brasicamente e Aritmetica. Na nossa pesquisa ultilizaremos as

ideias de Chaquiam e Mendes (2016) para explorar a Historia de Kaprekar e como resul-

tado propomos um produto educacional que aborda a Matematica Recreativa associada

a Historia da Matematica. Esse produto educacional e um livreto de atividades para ser

ultilizado em sala de aula por professores do Ensino Fundamental II.

Palavras-chave: Matematica Recreativa, Historia da Matematica, Kaprekar, Aritmetica.

Abstract

The main theme of this text is Recreational Mathematics. Therefore, we seek to

expose what some mathematicians say about this definition, highlight its importance for

the school environment and how it appeared throughout history. We will also address

big names in recreational mathematics, such as Martin Gardner, the leading name in

recreational mathematics in the world. And here in Brazil, we will talk about Malba

Tahan and his contribution to Recreational Mathematics. In one of Martin Gadner’s

publications, he points to an Indian mathematician named Kaprekar. It is precisely this

Indian mathematician that we will highlight in our work. We will tell you a little about

his history, going through childhood, adolescence, until its adult phase. We will highlight

the historical and geographic context in which he lived at the time and discuss his two

best-known researches: The Kaprekar Constant and the Kaprekar Numbers. Our main

mathematical focus will be the Kaprekar Numbers, we adopted the way that Iannucci

(2000) demonstrates the dynamics of the number in his article. But in order to be able

to make the whole mathematical approach contained in the Kaprekar Numbers, together

with the article by Iannucci (2000), we will dedicate a space for the dissertation to be able

to explain the mathematics contained in the work, which is, in general, Arithmetic. In our

research we will use the ideas of Chaquiam and Mendes (2016) to explore the History of

Kaprekar and as a result we propose an educational product that addresses Recreational

Mathematics associated with the History of Mathematics. This educational product is an

activity booklet to be used in the classroom by Elementary School teachers.

Keywords: Recreational Math, History of Mathematics, Kaprekar, Arithmetic.

Sumario

1 INTRODUCAO 4

2 Fundamentos da pesquisa 8

2.1 Matematica Recreativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.1 O que e a Matematica Recreativa? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.2 Matematica Recreativa ao longo da historia . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.3 Dois autores da Matematica Recreativa . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 Historia da Matematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 A aritmetica para o estudo dos Numeros de Kaprekar . . . . . . . . . . . . 30

3 Kaprekar e sua matematica 34

3.1 Kaprekar, a India . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Os numeros de Kaprekar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3.3 A Constante de Kaprekar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4 Aplicacao da Constante de Kaprekar na Educacao Basica 49

4.1 A elaboracao do livreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.2 Questionamentos sobre o Numero e a Constante de Kaprekar . . . . . . . . 54

5 CONSIDERACOES FINAIS 57

APENDICE A 63

Lista de Figuras

2.1 Papiro de Rhind . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Blaise Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Pierre de Fermat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.4 Pontes de Konigsberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.5 Exemplos de Matematica recreativa praticada em sala de aula . . . . . . . 16

2.6 Martin Gardner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7 Logo do evento Gathering for Gardner (G4G) . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.8 Julio Cesar de Mello e Souza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.9 Revista ERRE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.10 Livro que conta a experiencia numa madruga na epoca da escola . . . . . . 23

2.11 A historia de oito paes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.12 Livro de Malba Tahan: O Homem que Calculava. . . . . . . . . . . . . . . 25

2.13 Curso Ministrado por Julio Cesar para professores . . . . . . . . . . . . . . 26

2.14 Diagrama sobre a construcao da historia de um personagem . . . . . . . . 29

3.1 Localizacao da India no mapa mundi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2 Ganesha . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.3 Taj Mahal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4 Mahatmam Gandhi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

3.5 Mapa mostrando o deslocamento do povo indiano apos a separacao . . . . 39

3.6 Dattatreya Ramchandra Kaprekar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

3.7 Quantidade de interacoes e a frequencia dos numeros de quatro dıgitos . . 48

Lista de Tabelas

2.1 Palavras chaves mencionadas nas definicoes de Matematica Recreativa . . . 11

2.2 Quantidade de vezes que aparecem as palavras chaves nas definicoes de

Matematica Recreativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.1 Alguns exemplos do Numero de Kaprekar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1 INTRODUCAO

Nos anos iniciais da Educacao Basica, sempre fui um aluno que me dava bem

nas disciplinas. Nunca tive problema com nota e basicamente gostava do que estudava.

Mas acredito que a medida que os anos vao passando e os alunos vao avancando, o nıvel

das disciplinas vao ficando mais sofisticados e os alunos tendem a ter mais facilidade

com algumas e dificuldades com outras disciplinas. Foi o que aconteceu comigo quando

cheguei na quinta e sexta serie do Ensino Fundamental II (atualmente sexto e setimo

ano do Ensino Fundamental II). Nessas series, comecei a oscilar muito na disciplina de

matematica. Tirava notas muito altas e notas medianas. Ate que em 2005, para minha

surpresa, consegui ser quarto lugar na Olımpiada de Matematica a nıvel estadual. Para

mim, foi uma surpresa quando vi meu nome numa faixa me parabenizando, em frente

ao Centro Eduacional Libanea de Medeiros, o CELM (escola na qual cursei meu Ensino

Fundamental II todo). A partir daquele desempenho na olımpiada, meus amigos passaram

a falar que eu era o melhor aluno de matematica da minha turma e minha confianca em

relacao a matematica aumentou bastante. Desde entao, com a confianca em alta, sempre

tirava a maior nota de matematica da turma. A Olımpiada de Matematica exigia do

aluno um conhecimento matematico, mas exigia muito mais o raciocınio logico. Talvez

tenha sido por esse estilo de questao que eu tenha me identificado. E por conta disso,

acendeu em mim, uma paixao, que desconhecia pela matematica.

Cursei o Ensino Medio no Instituto Federal de Ciencia e Tecnologia do Rio Grande

do Norte (IFRN) de 2009 a 2011 e ja no primeiro ano chamei a atencao do meu professor

de matematica, Antonio Roberto. Percebendo minha seguranca na disciplina e o meu

raciocınio logico, ele convidou-me para integrar a equipe preparatoria da Olimpıada Bra-

sileira de Matematica das Escolas Publicas (OBMEP). O convite foi de pronto aceito, e

todas as sextas feiras a tarde nos reuniamos para estudar para a OBMEP. Na primeira

aula ja me encantei com a forma que a matematica iria se apresentar, com questoes bem

desafiadoras e divertidas de pensar. Outra coisa que me chamou atencao, foi o fato de as

aulas serem no laboratorio de matematica do IFRN, acabei ficando encantado com todos

aqueles jogos, materiais didaticos, materiais de manuseio, nunca tinha visto uma sala

so para a matematica, acabei ficando encantado com aquilo tudo. Entao, passei o meu

Ensino Medio todo convivendo com uma matematica diferente daquela que meus amigos

de sala de aula convivia.

Em 2012, entrei na Universidade Federal do Rio Grande do Norte (UFRN) no

4

curso de Ciencia e Tecnologia no turno noturno. Nos semestres iniciais, estava tirando

notas muito boas nas disciplinas que envolvia matematica, como calculo, geometria e

algebra linear. Entretanto, nao indentifiquei-me com o curso em face de disciplinas nao

relacionada a matematica, fato que levou-me a desistencia do curso.

Com tempo disponıvel, ja que havia desistido do curso de Ciencia e Tecnologia,

e por indicacao de pessoas que sabiam do meu interesse e manejo da matematica, inciei

atividade laboral, ministando aulas particulares de matematica, bem como ministrei um

curso preparatorio para selecao do IFRN, o que fez-me ver a paixao que sentia em ministrar

aulas de matematica e daı a decisao de ingressar no curso de Licenciatura em Matematica,

o que aconteceu no ano de 2014 na UFRN.

Durante o curso de matematica, tive dois “sustos”. Um foi a forma como a ma-

tematica era abordada. Passei minha vida toda calculando e na graduacao de matematica

pensei que iria calcular ainda mais. Mas nao foi isso que ocorreu. Aprendi uma ma-

tematica nova, o mundo das demonstracoes. No inıcio senti um pouco de dificuldade, mas

posteriormente me acostumei e acabei me envolvendo bastante, ja que as demonstracoes

exigiam o raciocınio logico igual nas questoes das Olimpıadas de Matematica. Outro lado

da matematica que me deparei foi a parte das disciplinas de educacao, como por exemplo

didatica da matematica. Nessas disciplinas educacionais, pude rever um laboratorio de

matematica, o da UFRN. Com o laboratorio, pude lembrar aquela epoca das aulas da

OBMEP que tive no laboratorio do IFRN. Outro ponto positivo em relacao as disciplinas

de educacao foi conhecer varios recursos didaticos em relacao ao ensino de matematica,

historia, jogos, tecnologia, entre outros recursos. Acabei me encantando por essa abor-

dagem da matematica. Confesso que nesse caso foi uma surpresa bem positiva. Desta

forma, pude juntar o que aprendi nas aulas particulares que ministrava com o que aprendi

nas disciplinas educacionais.

Outro momento bem oportuno na minha graduacao em matematica foi ter feito

parte do Programa de Educacao Tutorial (PET). La, pude realizar pesquisas, projetos,

compartilhar experiencias e participar de eventos voltado a matematica. No PET fiz pes-

quisas na area de sequencias e series, conceito de infinito e tive um contato maior com

a matematica dita pura. Entao, acabei tendo facilidade quando chegou nas disciplinas

que envolviam mais demonstracoes, como Analise e Algebra Abstrata. O PET me pro-

porcionou participar de eventos que me agregaram muito no conhecimento e na interacao

com outros estudiosos, como encontro da Algebra, o Encontro Potiguar dos Grupos PETs

(EPOPET), alem das interacoes com outros PET’s da universidade como o de filosofia e

medicina. Entao, o PET foi parte importantıssima na minha graduacao.

Mesmo me formando no final de 2017, nao queria parar de estudar matematica.

Entao decidi fazer pos-graduacao na area. Uma das alternativas apresentada foi o Mes-

trado Profissional em Matematica em Rede Nacional (PROFMAT). Como trabalho como

tecnico em eletrotecnica durante a manha e a tarde, a unica pos-graduacao que consegui-

ria conciliar com o trabalho era o PROFMAT. Desta forma em 2018, consegui ingressar

5

no programa. Quando procurei a professora para buscar orientacao para a escrita da dis-

sertacao, ela me perguntou sobre o que eu gostava na matematica, sobre o que eu queria

escrever e se atuava em alguma escola como professor de matematica. Falei que nunca

tinha atuado em uma escola como professor, que minha unica experiencia lecionando foi

as aulas particulares e o curso preparatorio para o exame do IFRN. Porem, veio a mente o

porque eu comecei a gostar de matematica e lembrei da Olimpıada de Matematica. Desta

forma, falei que gostava de uma matematica mais divertida, diferente das aulas em que

o professor enche o quadro de contas e formulas. Falei que gostava de jogos, da parte da

Historia da Matematica, tecnologias, entre outros recursos.

Assim, fomos em busca de algo que despertasse a nossa atencao e a atencao de quem

lesse. E chegamos ao matematico Kaprekar. Um indiano que conseguiu encontrar numeros

magicos e muito curiosos. Exatamente o que procuravamos. Assim, desvendamos a vida

de Kaprekar e os numeros que o levaram a fama, os Numeros de Kaprekar e a Constante

de Kaprekar. Ao pesquisar a biografia de Kaprekar, baseamos na forma de pesquisa

apresentada por Chaquiam e Mendes (2016) quando abordam a Historia da Matematica.

Durante a pesquisa sobre Kaprekar, a orientadora apresentou a Matematica Recreativa,

termo esse que nao o conhecia. Ao estudar, percebi que esta matematica era a que me

fez encantar pela disciplina.

Frente ao exposto, temos a seguinte questao-foco da nossa pesquisa: De que

maneira seria possıvel associar a Matematica Recreativa e a Historia da Ma-

tematica para os estudos de conteudos do Ensino Fundamental II em sala

de aula? Assim, fizemos um levantamento sobre a Matematica Recreativa ao longo da

historia, sua definicao segundo estudiosos e os grandes representantes desta matematica a

nıvel nacional e mundial. Ao final do estudo da Matematica Recreativa com o matematico

Kaprekar, apresentamos um produto educacional com relacao nas tres principais vertentes

deste trabalho, Matematica Recreativa, Kaprekar e Historia da Matematica.

Desta forma, o objetivo geral desta dissertacao e discutir e propor um livreto

de atividades pautado no estudo biografico do matematico Kaprekar e a Constante de

Kaprekar. De forma mais especıfica, os objetivos sao os seguintes:

• Discutir as diversas definicoes de Matematica Recreativa;

• O papel da Matematica Recreativa na Historia da Matematica;

• Discutir o uso da Historia da Matematica em sala de aula;

• Apresentar os principais resultados de aritmetica para congruencias;

• Apresentar a biografia do indiano Kaprekar;

• Apresentar e discutir os Numeros de Kaprekar;

• Apresentar um produto educacional pautado na Matematica Recreativa utilizando

a Historia da Matematica.

6

Alem da introducao, que e o capıtulo 1, nosso texto tem outros 3 capıtulos. No 2o,

fizemos um levantamento sobre Matematica Recreativa, fazendo uma discussao sobre sua

definicao, falando seu papel ao longo da historia e relatando o trabalho de dois grandes

contribuintes desta matematica. Alem da Matematica Recreativa, tratamos da Historia

da Matematica e sua aplicacao em sala de aula. Integra tambem o capıtulo 2o, uma

abordagem sobre a congruencia matematica como instrumento utilizado na discussao

sobre os Numeros de Kaprekar.

No 3o capıtulo, apresentamos algumas informacoes sobre a India e dados biograficos

do matematico Kaprekar, alem de consideracoes sobre os temas por ele estudado. Como

parte integrante do 3o capıtulo, ha uma abordagem de um artigo do Iannucci (2000) e

sua respectiva explanacao sobre os Numeros de Kaprekar.

O 4o capıtulo e constituido de duvidas apresentadas por alunos da UFRN, sobre

os Numeros e a Constante de Kaprekar, quando a exposicao da pesquisa. Completa o 4o

capıtulo, um apanhado de sugestao quanto ao texto do produto educacional.

No 5o capıtulo, sao feitas as consideracoes finais sobre o trabalho.

7

2 Fundamentos da pesquisa

Neste capıtulo, observaremos algumas definicoes de Matematica Recreativa dada

por varios autores. Alem disso, buscaremos a importancia da Matematica Recreativa ao

longo da historia e personagens que ajudaram na sua divulgacao. Iremos ver a importancia

da Historia da Matematica para o processo de ensino e aprendizagem e alguns resultados

importantes da aritmetica.

2.1 Matematica Recreativa

Nesta secao, iremos abordar definicoes da Matematica Recreativa, seu uso em sala

de aula e sua importancia para alguns ramos da matematica. Traremos o principal nome

da Matematica Recreativa no mundo, Martin Gardner, e o principal nome no Brasil, Julio

Cesar de Mello e Souza.

2.1.1 O que e a Matematica Recreativa?

Ao longo dos anos, a matematica sempre foi, na maioria das vezes, a disciplina

em que os alunos apresentavam maior dificuldade. A pesquisadora Sadovsky (2007, p.15

apud FRANCA; SANTOS; SANTOS, 2007, p.13) relata que o baixo desempenho na ma-

tematica nao e somente no Brasil, e um problema de ordem mundial. E segundo Franca,

Santos e Santos (2007 p.31) “O que se observa na maioria das escolas de Ensino Funda-

mental e Ensino Medio e o alto ındice de reprovacao e de alunos com serias dificuldades

para compreender a matematica, muitas vezes, demonstram desinteresse pela disciplina.”

Logo, a matematica e vista, por maior parte dos estudantes, como uma disciplina em que

o aprendizado apresenta umaserie de dificuldades e a maioria dos alunos acabam criando

um bloqueio para a matematica, fazendo assim ser uma das disciplinas com maior ındice

de reprovacao.

Assim, buscar uma forma de mudar a visao dos alunos e da sociedade acerca da

matematica e preciso. Existem varios fatores que ajudariam nessa mudanca, como por

exemplo, as estruturas das nossas escolas da Educacao Basica, com projetor multimıdia,

laboratorios de matematica, entre outras condicoes e espaco para que o professor pudesse

planejar melhor uma aula. Mas, acreditamos que o principal fator de mudanca e a forma

como a matematica e apresentada. A matematica ensinada da forma tradicional ainda pre-

8

domina nas salas de aula, uma aula na qual o professor apresenta o assunto com formulas

e mais formulas no quadro e resolucoes de questoes atras de resolucoes de questoes. Desta

forma, o professor utilizar recursos didaticos para que o aluno se atente mais as aulas de

matematica e bastante importante. Franca, Santos e Santos (2007, p.33) fala que “Uma

das alternativas de ajudar o aluno na abstracao e utilizar jogos matematicos em sala de

aula, isso estimula o raciocınio-logico que tanto estamos enfatizando que seja despertado

em nossos alunos.” Sugere-se como forma de mudanca, que haja iniciativas como: Tra-

zer jogos, desafios, projetos, etc. Assim, a Matematica Recreativa pode se tornar uma

alternativa para os professores nas escolas.

Mas o que seria essa Matematica Recreativa? Que tipo de matematica e esta?

Acredito que muitas pessoas nao tenham ouvido falar em Matematica Recreativa, ja que

a popularizacao do termo ”Matematica Recreativa”e seus estudos voltado para Educacao

Basica e algo recente. A definicao desta matematica nao e algo simples de se fazer. Muitos

estudiosos acabam por defini-la com palavras e termos diferentes.

Devido a essa diversidade de definicoes, resolvemos buscar o ponto de vista de

alguns pesquisadores da area e expor suas definicoes ou discussoes a cerca da Matematica

Recreativa para que possamos entender melhor esta matematica.

Os primeiros que traremos sao Martins e Picado (2014 p.101), que procuram trazer

a discussao da definicao de Matematica Recreativa da seguinte forma, “Ha quem diga de

forma muitıssimo simplista que a Matematica Recreativa e o assunto que engloba puzzles

e jogos matematicos.”

O pesquisador e professor americano Singmaster procura definir da seguinte forma,

Matematica Recreativa e matematica divertida e popular [...] e umamatematica divertida e usada pedagogicamente como um desvio da ma-tematica seria ou como uma maneira de tornar matematica seria com-preensıvel ou palatavel. (SINGMASTER, 2000, p.4, traducao do autor)

Outros pesquisadores que procuraram definir a Matematica Recreativa foram os

Barves, dizendo que

a Matematica Recreativa e uma matematica divertida e usada comodiversao da matematica seria ou como uma maneira de tornar a ma-tematica seria compreensıvel ou palatavel. [...] Uma definicao obviae que, e a matematica levando a alguma diversao, embora para umapessoa leiga. (BARVES, BARVES, 2012, traducao do autor)

Ja a pesquisadora Bartlova procura trazer a defnicao de um grande pesquisador

da area de Matematica Recreativa,

Talvez a definicao mais concisa de Matematica Recreativa seja a quefoi fornecida pela figura principal de matematica recreativa de todos ostempos, nomeadamente Martin Gardner, que alegou que MatematicaRecreativa e aquela parte da matematica que “inclui qualquer coisa quetem espırito de jogo” (BARTLOVA, 2016, p.2, traducao do autor)

,

9

Mas tambem, Bartlova procura fazer sua propria definicao, de uma forma muito

completa, da sua visao da Matematica Recreativa, dividindo em quatro aspectos, o as-

pecto cientıfico-popular, o aspecto do divertimento, o aspecto pedagogico e o aspecto

pedagogico.

1. O aspecto cientıfico-popular - a Matematica Recreativa e a parte damatematica que e divertida e popular. Ou seja, os problemas correspon-dentes devem ser compreensıveis para um leigo interessado, embora assolucoes possam ser mais difıceis. Pela Matematica Recreativa, pode-mos entender a abordagem usando a qual podemos tornar a matematicaseria compreensıvel ou, pelo menos, mais palatavel.2. O aspecto do divertimento - a Matematica Recreativa e uma ma-tematica usada como um desvio da matematica seria para a diversaode alguem. Por exemplo, um dos proeminentes matematicos recreativoscontemporaneos Ian Stewart percebe o papel da Matematica Recreativaprecisamente nesse sentido. Ele esta tentando ver a matematica comouma fonte de inspiracao e alegria. Ele costuma escrever em seus livrosque a matematica divertida e aquela parte que nao e ensinada na escola.O mesmo ponto de vista foi defendido por Martin Gardner, que, alemdisso, acreditava que, mesmo na escola, a matematica ensinada deveriaser divertida ate certo ponto.3. O aspecto pedagogico - a Matematica Recreativa pode ser usadapara fins de ensino. E visto como uma grande utilidade pedagogica.Suas partes estao presentes na matematica mais antiga conhecida e essasituacao continua ate os dias atuais.4. O aspecto historico - a Matematica Recreativa sempre desempenhouum papel muito importante na historia da matematica e foi responsavelpela origem de teorias e conceitos matematicos importantes que naoexistiriam sem ela.(BARTLOVA, 2016, p.2, traducao do autor)

O aspecto 3 abordado por Bartlova traz a discussao principal deste trabalho, o

uso pedagogico da Matematica Recreativa em sala de aula, na qual iremos discutir mais

a frente. Ja o aspecto 4, traremos exemplos ao longo da historia em que a Matematica

Recreativa foi importante para a construcao da matematica como conhecemos hoje.

Assim, observamos que a Bartlova apresenta de varios pontos de vista a Ma-

tematica Recreativa, mostrando desde o seu papel ao longo da historia ate seu uso em

sala de aula.

Com essa exposicao das definicoes de Matematica Recreativa feita por alguns au-

tores, podemos ter uma nocao do que seja a Matematica Recreativa. Como forma de

organizar as ideias e buscar uma melhor compreensao, apresentamos na tabela 2.1 al-

gumas palavras chaves utilizadas pelos autores na discussao e definicao da Matematica

Recreativa.

10

Tabela 2.1: Palavras chaves mencionadas nas definicoes de Matematica Recreativa

Autores PALAVRAS CHAVES

MARTINS, PUZZLES,

PICADO JOGOS

DIVERTIDA, POPULAR,

SINGMASTER DESVIO DA MATEMATICA SERIA,

COMPREENSIVEL

DIVERTIDA,

BARVES DESVIO DA MATEMATICA SERIA,

BARVES COMPREENSIVEL,

MATEMATICA PARA LEIGOS

MARTIN GADNER, JOGOS, ALEGRIA,

IAN STWART DIVERTIDA

DIVERTIDA, POPULAR, PALATAVEL,

BARTLOVA COMPREENSIVEL PARA UM LEIGO,

DESVIO DA MATEMATICA SERIA

A tabela 2.2 mostra os quantitativos que cada palavra chave aparece ao longo de

todas as definicoes e discussoes colocadas aqui.

Tabela 2.2: Quantidade de vezes que aparecem as palavras chaves nas definicoes de Matematica Recreativa

PALAVRAS CHAVES QUANTIDADE

DIVERTIDA 4

DESVIO DA MATEMATICA SERIA 3

MATEMATICA PARA LEIGOS 2

JOGOS 2

COMPREENSIVEL 2

POPULAR 2

PUZZLES 1

ALEGRIA 1

Examinando as tabelas 2.1 e 2.2, podemos observar que os autores apresentam

varios termos e palavras na busca por definir a Matematica Recreativa, sao elas: divertida,

jogos, compreensıvel, popular, uma matematica para leigos, desvio da matematica seria,

alegria e puzzles. Assim, fica claro que nao temos uma definicao unica e representativa do

termo Matematica Recreativa. Porem, a de se observar que palavras e termos aparecem

com mais frequencia quando os autores procuram definir, como e visto na tabela 2.2. Com

o que foi expostos pelos pesquisadores e de acordo com as tabelas 2.1 e 2.2, podemos definir

a Matematica Recreativa como uma matematica que procurar desviar da matematica

11

ensinada da forma tradicional, tornando-a mais compreensıvel ate para leigos, desta forma,

a matematica se apresenta de forma divertida e popular.

Entretanto, e mais comum encontrar estudos que preferem nao definir a Ma-

tematica Recreativa. Por exemplo, Martins e Picado (2014 p.101) falam que “o melhor e

mesmo nao a tentar definir. As definicoes tendem a fechar, e a Matematica Recreativa, na

sua genese, e aberta.” Mesmo construindo uma definicao sobre a Matematica Recreativa,

acreditamos que o melhor seria nao definir, haja vista nao ter uma definicao concreta e

unificada. Assim, quando buscamos definir o que seria Matematica Recreativa, acabamos

por restringir ate onde esta matematica pode alcancar.

Mas uma das grandes discussoes sobre a Matematica Recreativa nem e sobre sua

definicao, e sobre o seu uso pedagogico. Algumas pessoas tem uma certa desconfianca em

relacao a utilizacao da Matematica Recreativa nas salas de aula. Porem, acreditamos que

a Matematica Recreativa pode ter um papel pedagogico muito importante no processo

de ensino e aprendizagem na Educacao Basica. Utilizar a Matematica Recreativa para

prender a atencao do aluno para o que sera ensinado pode ser uma alternativa. Ou entao,

introduzir um assunto ou ate mesmo explicar um teorema de forma mais divertida e

alegre pode fazer o aluno entender melhor e ate mudar um pouco sua visao do que seja a

matematica. Ribeiro compartilha da mesma ideia quando diz que

A procura da solucao de um problema nem sempre exige um grandeconhecimento de matematica. E nesse momento que a recreacao atraia curiosidade dos que nao se interessam pela materia e os convida apratica do raciocınio logico-dedutivo e consequentemente ao estudo dadisciplina. (RIBEIRO, 2018, p.11)

Desta forma, a Matematica Recreativa tem papel importante na desconstrucao da

matematica tradicional e na quebra do paradigma de ser a disciplina com maior dificuldade

entre os alunos da Educacao Basica. E cada vez mais, hoje em dia, e preciso que ela se

faca presente nas salas de aula para que a visao de uma matematica sistematica e as vezes

que nao serve para o dia a dia das pessoas seja aos poucos descontruıda.

2.1.2 Matematica Recreativa ao longo da historia

A Matematica Recreativa e tao antiga quanta a propria matematica. A seguir, va-

mos mostrar exemplos de Matematica Recreativa de acordo com as definicoes e discussoes

feita no topico anterior. Apresentaremos o Papiro de Rhind, a origem da propabilidade,

o desafio das Pontes de Konigsberg e sobre os numeros binarios.

O primeiro exemplo que iremos abordar e um dos mais antigos documentos recre-

ativos encontrado. E o famoso Papiro de Rhind, exposto na figura 2.1. E um documento

egıpcio escrito por volta de 1650 a.C, na qual foi escrito por Ahmes (por isso, algumas

vezes, o papiro de Rhind e tambem conhecido como papiro de Ahmes). O papiro leva

este nome porque o escoces Alexander Henry Rhind o adquiriu por volta 1856. Hoje em

dia, todas as obras pertencentes a Rhind, inclusive o Papiro de Rhind, se encontram no

12

museu britanico em Londres.

Figura 2.1: Papiro de Rhind

Fonte: https://www.matematicaefacil.com.br/2015/11/papiros-matematica-egipcia-

papiro-rhind-ahmes.html Acesso em 02/02/2020

No papiro, encontra-se diversos problemas matematicos, sua grande maioria pro-

blemas nao cotidianos da epoca. Ribeiro (2018, p.11) fala que o papiro Rhind possui

“problemas criativos e ludicos”. Ja Bartlova, explica o lado recreativo do papiro de

Rhind,

Os egıpcios costumavam declarar seus problemas de matematica naforma de um quebra-cabeca. Como estes problemas nao tinhamaplicacao na vida cotidiana, talvez seu principal objetivo fosse forne-cer prazer intelectual. Um dos primeiros casos tem a forma de umacancao de ninar:Sete casas, em cada uma sao 7 gatos,cada gato mata 7 ratos,cada rato teria comido 7 espigas de espelta,cada orelha de espelta produzira 7 hekat.Qual e o total de todos eles?(BARTLOVA, 2016, p.15, traduzido pelo autor)

Um outro momento importante para a matematica que teve como base a recreacao

foi a origem da probabilidade. A probabilidade existia em nosso meio ha muito tempo,

segundo Carloni (2019, p.13) os primeiros registros de probabilidade estao associados a

jogos de azar na epoca da idade media. E foi um desses jogos de azar, que acredita-se que

tenha iniciado a construcao dos conceitos e calculos de probabilidade, que foi o desafio

proposto pelo Chevalier de Mere a Blaise Pascal figura 2.2. Carloni fala que o desafio

proposto e

13

conhecido como problema dos pontos, apresenta a seguinte situacao:“Dois jogadores disputavam um premio que seria dado a quem primeirofizesse 6 pontos no jogo. Quando o primeiro jogador tinha 4 pontos e osegundo tinha 3 pontos, foi preciso interromper o jogo. Como dividir opremio? (CARLONI, 2019, p.13)

Figura 2.2: Blaise Pascal

Fonte: https://atitudereflexiva.wordpress.com/2018/08/06/o-triangulo-de-pascal/

Acesso em 02/02/2020

Com o problema em maos, Pascal passou a acionar e trocar cartas com seu amigo

matematico Pierre de Fermat figura 2.3 em busca de solucionar tal problema. Estas cartas

sao os registros do inıcio da construcao da teoria da probabilidade. Apos a divulgacao dos

seus estudos sobre o desafio, Fermat e Pascal mudaram a visao das pessoas em relacao a

jogos de azar. Elas passaram a saber quem tinham mais chance de vencer certo jogo ou

o modo de jogar que lhe desse mais chances de ganhar.

Figura 2.3: Pierre de Fermat

Fonte: https://atitudereflexiva.wordpress.com/2016/09/07/o-ultimo-teorema-de-fermat/


Outro grande exemplo de Matematica Recreativa dando origem a uma grande

teoria esta associada a resolucao do problema das sete pontes de Konigsberg, feita por

Euler. O problema se passa na cidade de Konigsberg na qual possui duas ilhas e um

14

conjunto de pontes interligando essas ilhas e outras partes do mapa como mostra a figura

2.4. O desafio consiste em passar por todas as pontes uma unica vez e retornar para o

ponto de partida. Tal problema e solucao deram origem a teoria de grafos.

Figura 2.4: Pontes de Konigsberg

Fonte: https://www.mat.uc.pt/ alma/escolas/pontes/ Acesso em 02/02/2020

Alem desses tres exemplo de Matematica Recreativa durante a nossa historia, existe

outros inumeros exemplos. Passando pelos numeros binarios que foram criados apenas

pela curiosidade e diversao e que hoje em dia e a linguagem da nossa computacao. E

chegando em desafios e jogos que encontramos hoje em dia na sala de aula, como por

exemplo, o cubo magico, Sudoku e torre de Hanoı como mostra a figura 2.5.

Assim, observamos que a Matematica Recreativa sempre esteve presente em nossa

humanidade ao longo da historia e que cada vez mais ela se apresenta em sala de aula.

Desta forma, compreender todo o papel da Matematica Recreativa para matematica e

importante para que possamos explora-la da melhor forma possıvel com os nossos alunos.

Esses e outros exemplos de Matematica Recreativa durante os anos estao presente

na tese de dotourado com o tıtulo Historia e estado atual de Matematica Recreativa e sua

relacao a matematica seria de Bartlova (2016).

15

Figura 2.5: Exemplos de Matematica recreativa praticada em sala de aula

Fonte: http://www.cubovelocidade.com.br/basico/,

https://www.amazon.com.br/Carlu-Brinquedos-1125-Torre-Multicor/dp/B07BH4Q3CB

e https://brasilescola.uol.com.br/curiosidades/sudoku.htm Acesso em 02/02/2020

2.1.3 Dois autores da Matematica Recreativa

Na secao anterior, vimos alguns exemplos de Matematica Recreativa durante a

historia. Agora, iremos abordar personalidades que contribuıram para a Matematica

Recreativa. Bezerra deixa bem claro a grande quantidade de contribuintes para esta

matematica quando diz que

Muitos matematicos ao longo da historia dedicaram-se ao estudo deRecreacoes Matematicas, como Leon Battisti Alberti (1404 – 1472), LucaPacioli (1445 – 1517), Leonhard Euler (1707 – 1788), Pierre de Fermat(1601 – 1665), entre outros. Esses matematicos tem sido citados emestudos de Historia da Matematica, sobre alguns problemas recreativos,por exemplo, o problema proposto por Euler, sobre a possibilidade depercorrer as sete pontes da cidade de Konigsberg, sem passar pela mesmaponte duas vezes. (BEZERRA, 2018, p.31)

Apesar do grande numero de contribuintes para a Matematica Recreativa, iremos,

aqui, abordar somente dois. O grande nome da Matematica Recreativa no mundo, Martin

Gardner, e o principal nome aqui no Brasil, Julio Cesar de Mello e Souza.

As informacoes que apresentaremos a seguir sobre Martin Gardner foram retiradas

do site MacTutor (http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Gardner.

16

html)

Em 21 de outubro de 1914, na cidade de Tulsa, Oklahoma, no centro dos Esta-

dos Unidos, nasceu Martin Gardner, o nome mais famoso da Matematica Recreativa no

mundo. A mae de Martin Gardner, Willie Wilkerson Spiers, era professora dos anos ini-

ciais, porem, apos o nascimento dos seus tres filhos, Martin (o mais velho), Jim e Judith,

ela largou o trabalho para cuidar deles, e continuou apenas com seu hobby favorito, que

era pintar. Sua mae costumava ler muitos livros para seus filhos.

O livro preferido de Martin Gardner na infancia era o magico de Oz. Foi com

esse livro, atrelado a seu lado curioso, que despertou a leitura em Martin Gardner. Por

isso, antes mesmo dele entrar na escola, Martin Gardner ja sabia ler. Ja seu pai, James

Henry Gardner, era doutor em geologia e possuıa uma pequena empresa de petroleo, e

muitas vezes, levava seu filho mais velho para o ambiente de trabalho. Naquela epoca, o

negocio com petroleo estourou no mundo todo como uma riquıssima fonte de energia e a

empresa James passou a ser altamente lucrativa. Desta forma, a famılia vivia muito bem

financeiramente, nao atoa, na casa deles, possuıa uma quadra de tenis na qual Martin

Gardner comecou a jogar quando conseguiu manusear a raquete de tenis. Mais tarde,

o pai de Martin Gardner acabou se tornando presidente da Associacao Americana de

Geologos de Petroleo.

Figura 2.6: Martin Gardner

Fonte: https://skepticalinquirer.org/exclusive/in-celebration-of-martin-gardner/ Acesso

em 02/02/2020

Contudo, nao so a mae de Martin Gardner teve um papel importante na formacao

educacional do filho, com leituras de varios livros que fizeram ele saber ler ate antes de

entrar na escola. O pai, Henry Gardner, foi bastante importante por despertar no filho

uma paixao na qual levou consigo para o resto da vida, a magica. O pai de Martin

17

Gardner, segundo Lister (2005), ”apresentou-o a magia quando lhe ensinou o ”Paddle

Trick”, que emprega uma faca de mesa e varios pedacos de papel”. Com a empolgacao

do filho com a magica que acabara de descobrir, seu pai lhe deu uma copia da Cyclopedia

of Sam Loyd ’s, um livro do matematico Samuel Loyd, que segundo O’Connor e Robertson

(2003), era conhecido como San e ficou famoso pelas criacoes de quebra-cabecas, magicas

e interatividades matematicas. Com todo esse aporte, Martin Gardner comecou a se

interessar por esse tipo de recreacao: magicas e quebra cabecas. Nao a toa, de acordo

com O’Connor e Robertson (2010), a magica o levou “a sua primeira publicacao, New

Color Divination in The Sphinx, a uma revista de magica, em maio de 1930, quando

ainda era estudante do Ensino Medio”.

Ja na escola, Martin Gardner so tinha aptidao para a fısica e a matematica, as ou-

tras disciplinas ele nao gostava muito. Costumava dizer que “sua professora de matematica

do Ensino Medio, Pauline Baker, adorava o raciocınio dedutivo, enquanto pensava que

seu professor de fısica, ME Hurst, era o professor mais inspirador da escola” (O’Connor e

Robertson 2010).

Por influencia do seu professor de fısica, Martin Gardner iria fazer fısica no Instituto

de Tecnologia da California. Porem, um dos requisitos para adentrar no curso era ter

dois anos de College e ele nao possuıa. Entao, Martin Gardner resolveu fazer dois anos

na Universidade de Chicago para posteriormente voltar para fazer fısica no Instituto de

Tecnologia da California. Porem, o jovem americano acabou por se encantar por filosofia,

curso na qual fazia na Universidade de Chicago, e resolveu continuar, se formando em

1936.

Assim que se formou, Martin Gardner teve serias dificuldades em conseguir em-

prego, ja que os Estados Unidos passava pela pior crise economica de sua historia, co-

nhecida como a depressao economica. Varias empresas falindo e pessoas que investiram

pesado na bolsa de valores perdendo dinheiro. Assim, diante da situacao do seu paıs, Mar-

tin Gardner resolveu trabalhar nas oportunidades que apareciam. Trabalhou em varios

setores, como o proprio diz em Albers e Gardner

Eu tive varios empregos. Trabalhei como assistente social da Admi-nistracao de Socorro de Chicago. Eu tive que visitar 140 famılias re-gularmente no que foi chamado de Cinturao Negro. Eu tambem tivevarios trabalhos ımpares: garcom, propagandista de refrigerante, etc.(ALBERS, GARDNER, 2005 apud O’CONNOR; ROBERTSON, 2010)

Ainda chegou a trabalhar como reporter e como oficial de relacoes publicas na

universidade na qual se formou em filosofia. Por volta de 1941, Martin Gardner aca-

bou servindo a marinha americana durante a segunda guerra mundial e ficou embarcado

durante cerca de tres anos no oceano Atlantico dando suporte a navios de combate e

impedindo qualquer tipo de invasao que os Estados Unidos acabassem por sofrer. Ate que

em 1945, apos o fim da segunda guerra mundial, Martin Gardner retorna para o territorio

americano.

18

No retorno a Chicago, apos a segunda guerra mundial, Martin Gardner acabou

vendendo seu primeiro conto para uma revista masculina chamada Esquire Magazine.

Apos a venda do seu primeiro conto, percebeu que poderia tirar seu sustento apenas

da sua escrita, e resolveu nao voltar a trabalhar como oficial de relacoes publicas na

Universidade de Chicago, cargo que tinha antes de servir a marinha americana. Desta

forma, Martin Gardner acabou conseguindo escrever para duas revistas periodicamente,

uma era a propria revista Esquire Magazine e a outra era a Humpty Dumpty, uma revista

infantil que fazia publicacoes de contos, poemas, artigos de nao-ficcao, jogos, quadrinhos,

etc. Uma revista que fazia bem o estilo de escrita favorita de Martin Gardner.

Em 1947, o escritor americano se mudou para Nova York e continuou a escrever

para a Humpty Dumpty. Pouco tempo depois que chegou a cidade novaiorquina, Martin

Gardner conheceu Charlotte Greenwald, aquela que em 1952 se tornou sua esposa e fica-

ram juntos ate a morte de Charlotte em 2000. Ambos tiveram dois filhos, o Jim e o Tom.

No mesmo ano de seu matrimonio, Martin Gardner publicou seu primeiro livro, In Name

of Science que posterior foi republicado em 1956 sob o tıtulo de Fads and Fallacies in the

Name of Science.

Em dezembro de 1956, Martin Gardner fez o trabalho que o projetaria para a

Matematica Recreativa, foi a sua publicacao sobre hexaflexagonos na revista americana

Scientific American, revista muito importante e com divulgacoes mensais sobre ciencia. A

publicacao de Martin Gardner sobre os hexaflexagonos teve um retorno tao positivo que

o editor o chamou para escrever mensalmente na revista. Assim, Martin Gardner deixou

seu cargo com a Humpty Dumpty e passou a escrever um artigo mensal na Scientific

American na qual tinha como tıtulo Mathematical games. Ele escreveu na sua coluna

por 25 anos e popularizou a matematica e matematicos para todo o mundo. Mas nao

so de artigo de revista viveu Martin Gardner, ele publicou inumeros livros como relata

O’Connor e Robertson

Seus livros tambem tiveram um enorme impacto na popularizacao damatematica. Ele escreveu mais de sessenta livros de capa dura, bemcomo inumeros panfletos de cerca de 50 paginas. Certamente, nem que-remos listar os tıtulos de mais de sessenta obras, por isso vamos fa-zer uma selecao:Maquinas e diagramas logicos (1958); A Alice anotada(1960); Relatividade para o milhao (1962); O universo ambidestro: as-simetria de espelho e mundos invertidos no tempo (1964); Carnaval ma-tematico: um novo resumo de tentadores e quebra-cabecas da ”ScientificAmerican”(1975); The Incredible Dr Matrix (1976); Aha! Insight (1978);Ciencia: Bom, Ruim e Bogus (1981); Aha! Gotcha: Paradoxos de Puzzleand Delight (1982); Os porques de um escrivao filosofico (1983); Codigos,Cifras e Escrita Secreta (1984); Divertidos enigmas matematicos(1986);Viagem no tempo e outras perplexidades matematicas (1987); Quebra-cabecas perplexos e provocacoes tentadoras (1988); Musica Fractal, Hy-percards e Mais (1991);

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Meus melhores enigmas matematicos e logicos (1994); Classic Brain-teasers (1995); Calculus Made Easy (1998); Um treino de Gardner:treinando a mente e entretendo o espırito (2001); Contos Matematicosde Quebra-Cabecas (2001); e Bamboozlers (2008) (O’CONNOR, RO-BERTSON, 2010)

Martin Gardner teve uma contribuicao imensuravel para a matematica e a Ma-

tematica Recreativa, mesmo sem ser formado em matematica. A nao formacao em ma-

tematica o ajudava na hora de escrever sobre a matematica, ja que o seu conhecimento

era o mesmo das outras pessoas que nao se aprofundaram na disciplina, isso o ajudava a

escrever com uma linguagem que um leigo em matematica entendia bem.

Em maio de 2010, Martin Gardner faleceu na sua cidade natal, porem, deixou um

legado na matematica que e estudado e desenvolvido ate nos dias atuais. A influencia de

Martin Gardner na recreacao e tao grande que muitos estudiosos o consideram o maior

nome da Matematica Recreativa da historia. Como forma de homenagem, desde de 1993,

ocorre o encontro mundial de Matematica Recreativa nos Estados Unidos, o nome do

evento e Gathering for Gardner (G4G) figura 2.7.

Figura 2.7: Logo do evento Gathering for Gardner (G4G)

Fonte: https://www.gathering4gardner.org/ Acesso em 02/02/2020

As informacoes que apresentaremos a seguir sobre Malba Tahan foram retiradas do

Site Oficial da Famılia e dos Admiradores de Malba Tahan (https://www.malbatahan.

com.br/)

No Brasil, um autor se destacou por popularizar a Matematica Recreativa em todo

territorio nacional, foi Julio Cesar de Mello e Souza Figura 2.8 que nasceu em 6 de maio

de 1895, na cidade do Rio de Janeiro. Apesar de ter nascido na capital federal da epoca,

Rio de Janeiro, Julio Cesar passou toda sua infancia em Queluz, cidade pequena que

pertence a Sao Paulo e fica na divisa com o estado do Rio de Janeiro.

Os pais de Julio Cesar, Joao de Deus de Mello e Souza e Carolina Carlos de

Toledo, conhecida como Dona Sinha, eram professores em Queluz e a escola funcionava

nas dependencias de sua casa e tinha somente eles como professores. Julio Cesar teve

nove irmaos e com tantos irmaos, nao faltava ajuda para manter o trabalho escolar, por

exemplo, Julio Cesar e sua irma Julieta ajudavam recolhendo licoes, distribuindo cadernos

e atividades, apagando a lousa, etc. O dia a dia escolar presente na famılia Mello e Souza

e o fato de os pais serem professores, fizeram com que sete dos nove filhos de dona Sinha

e de Joao de Deus optassem pelo magisterio como profissao. Com uma famılia muito

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grande e pouco recurso financeiro, Julio Cesar teve uma infancia bem simples, e acabava

dividindo seu tempo entre ajudar na escola, brincar na rua e estudar.

Figura 2.8: Julio Cesar de Mello e Souza

Fonte: https://www.malbatahan.com.br/biografias/julio-resumo/ Acesso em

02/02/2020

Aos onze anos, Julio Cesar conseguiu passar no exame de admissao da escola militar

no Rio de janeiro, assim sendo, morou por tres anos na cidade maravilhosa, porem, nao

terminou os estudos porque a escola era paga e seu pai nao tinha dinheiro para manter

seu filho. Durante esses tres anos na escola militar, Julio Cesar criou sua primeira obra

literaria, a revista ERRE, que no site oficial da famılia e dos admiradores de Malba Tahan

que tem o apoio do grupo Editorial Record, fala que

Nela, ele exercia as funcoes de diretor, redator e ilustrador. Ao ladodo tıtulo da revista que inventou, apresentou seu primeiro pseudonimo:“ERRE Redactor Salomao IV”. Depois, avisava: “Erre – crıtico, illus-trado e mensal”. Tratava-se de um engenhoso caderninho, com folhasdobradas, costuradas a mao, escrito com caneta tinteiro e ilustrado peloproprio autor com desenhos a mao livre, coloridos com lapis de cor ouguache. As historias eram organizadas em capıtulos e privilegiavamo suspense, a guerra ou ainda a ciencia dos animais e do corpo hu-mano. (https://www.malbatahan.com.br/biografias/1895-1906/, acessoem 02/02/2020)

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A revista ERRE figura 2.9, que perdurou por entre janeiro de 1907 ate novembro

de 1908, ja mostrava o talento de Julio Cesar em relacao a criatividade e a escrita. Ao

todo, a revista teve 25 exemplares e hoje em dia, o acervo se encontra no Centro de

Memoria da Faculdade de Educacao da Unicamp.

Figura 2.9: Revista ERRE

Fonte: https://www.malbatahan.com.br/biografias/1895-1906/ Acesso em 02/02/2020

Em seguida, em 1909, Julio Cesar conseguiu uma vaga na escola Dom Pedro II.

Uma escola bastante tradicional e renomada no Rio de Janeiro ate nos dias atuais. Acabou

conseguindo permanecer e terminar os estudos na escola pois conseguiu uma bolsa integral.

Entre varios fatos curiosos que Julio Cesar passou na nova escola, destacamos quando

o professor de portugues passava redacoes para serem feitas e entregues, e quem nao

entregasse teria que passar o final de semana na escola e nao poderia retornar para casa.

Julio Cesar, amante da escrita, acabava escrevendo a sua redacao e ganhando dinheiro

escrevendo redacoes para seus colegas de classe. Outro fato interessante, foi que numa

noite no final de semana, o entao diretor naquela epoca, acordou os dois alunos que ali

dormiam para poder ver o cometa Halley passando. Tal noite foi tao marcante para Julio

Cesar, que quando mais velho, escreveu um conto falando sobre esta experiencia que teve

na escola, conhecido como Acordaram-me de madrugada (Figura 2.10).

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Figura 2.10: Livro que conta a experiencia numa madruga na epoca da escola


Em 1911, seu pai acabou falecendo e sua mae foi morar no Rio de Janeiro. Com a

vinda para o Rio, sua mae acabou fundando um externato na qual seus filhos, incluindo

Julio Cesar, eram os professores. Em 1912, Julio Cesar conseguiu seu primeiro trabalho

formal, era auxiliar na Biblioteca Nacional e posteriormente comecou o curso superior em

engenharia civil na antiga Escola Politecnica da Universidade do Brasil. Desta forma, Julio

Cesar se dividia entre aulas na escola da mae, auxiliar na Biblioteca Nacional e a noite

fazia o curso de engenharia civil. Em 1921, ja formado, na escola normal, assumiu como

professor substituto de Euclides Roxo, professor que teve papel importante na educacao

em matematica no Brasil e na qual tinha sido seu professor anteriormente. Dois anos

depois, por meio de concurso, acabou se tornando professor efetivo. Entre tantas aulas

que ministrava, acabou se encantando por uma ex-aluna, Nair Marques, Mulher na qual se

tornou sua esposa em marco de 1925 e posteriormente tiveram tres filhos, Rubens Sergio,

Sonia Maria e Ivan Gil.

Julio Cesar trabalhou por um tempo como tradutor de correspondencias de guerra

no jornal O Imparcial, no Rio de Janeiro. Segundo Neto e Salles (2015, p. 23) o jornal

publicava pequenos contos para que as pessoas pudessem ler no caminho de ida e volta

do trabalho. Logo, Julio Cesar se interessou em escrever pequenos contos para que fosse

publicado no jornal. Fez alguns e deixou na mesa do diretor para que ele pudesse avaliar

para uma possıvel publicacao. Porem, toda vez que ele ia na sala do diretor, observava

seus contos no mesmo lugar que os tinham deixados. Logo, percebeu que o diretor nao

daria importancia aos seus contos. Desta forma, Julio Cesar resolveu alterar a assinatura

do conto, de J. C. Mello e Souza para R. V. Slady, e relatou ao diretor que se tratava

de um conto estrangeiro. No dia seguinte percebeu que um dos seus contos, A historia

23

dos oito paes figura 2.11, estava na capa do jornal. Assim, observou a importancia de um

codinome para um escritor pouco conhecido conseguir publicar algum tipo de material.

Desta forma, Julio Cesar resolve criar um pseudonimo que o acompanhou por varios anos,

Malba Tahan.

Figura 2.11: A historia de oito paes


Assim, apos a ideia do pseudonimo, Julio Cesar comecou a escrever livros e contos

com a assinatura de Malba Tahan. Um grande parceiro dele nesta empreitada foi o diretor

do jornal A noite, Irineu Marinho. Julio Cesar levou os livros e contos para o jornalista

e o explicou a situacao do pseudonimo Malba Tahan. Ao ler os contos, gostou muito

e resolveu publicar na primeira pagina do seu jornal e garantiu nao revelar o nome de

Julio Cesar como autor e sim Malba Tahan. Irineu Marinho foi um dos responsaveis pelo

surgimento e disseminacao de Malba Tahan para o publico brasileiro.

Mas de onde veio esse nome Malba Tahan? Ele existiu mesmo? Malba Tahan

existiu sim. Segundo Siqueira e Filho

o personagem Malba Tahan nasceu em 06 de maio de 1885, proximo ‘acidade de Meca. Foi prefeito da cidade arabe de El-Medina e abando-nou o cargo quando seu pai morreu, em 1912, o qual deixou uma grandefortuna como heranca. Entao, Malba Tahan passa a viajar por variospaıses: Russia, India, China, Japao e regressa, posteriormente, para aArabia Saldita. Em 1921 ele morre, ainda jovem, numa luta pela liber-dade de uma pequena tribo de beduınos, no deserto da Arabia Central.(SIQUEIRA, FILHO, 2008 apud FILHO, 2013, p. 25)

Desta forma, o pseudonimo, Malba Tahan tinha uma linha a ser seguida, a linha

arabe. Desta forma, Julio Cesar ambientou as obras assinadas por Malba Tahan como

sendo arabe, destacando a religiosidade, a cultura, polıtica e o cotidiano do povo daquela

regiao. Entao, em suas obras, via-se muito elementos como camelo, deserto, oasis, entre

outros elementos que caracterizasse que o autor era mesmo arabe.

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Aos poucos, os livros e contos escritos por Malba Tahan iam se tornando cada vez

mais populares. Em 1934, Malba Tahan tinha feito varios contos e seu primeiro livro

falando sobre Matematica recreativa que se chamava Matematica divertida e curiosa.

Porem, a grande obra de Malba Tahan foi o livro O homem que calculava figura 2.12.

Um livro que juntava a cultura arabe com os conhecimentos matematicos. O livro teve

um grande ındice de vendas e Malba Tahan ficou conhecido em todo Brasil. Segundo

o que consta no site do Malba Tahan malbatahan.com.br, o grande escritor Monteiro

Lobato havia afirmado que o homem que calculava seria uma obra que iria transgredir

a barreira do tempo e passar de geracoes em geracoes. Ate hoje, e um dos livros sobre

Matematica Recreativa mais utilizados em sala de aula pelos professores de matematica.

A obra foi tao impactante na vida de Julio Cesar que atualmente ele e mais conhecido

pelo pseudonimo Malba Tahan do que pelo proprio nome. Mas o livro, O Homem que

Calculava, rompeu as barreiras brasileiras. Malba Tahan acabou recebendo convites para

ir a Portugal, Argentina, Uruguai, entre outros paıses para falar do famoso livro e sobre

recreacao matematica. O livrou foi traduzido para lıngua espanhola e inglesa para que

pudesse ser comercializado fora do paıs. Sabe-se que o pseudonimo Malba Tahan publicou

cerca de 56 livros, com diferentes vertentes, como matematica, didatica, contos infantis,

teatros, etc.

Figura 2.12: Livro de Malba Tahan: O Homem que Calculava.

Fonte:

https://www.amazon.com.br/Homem-Que-Calculava-Malba-Tahan/dp/8501023140


Nao so com os livros e contos o Malba Tahan ficou conhecido e deu a sua con-

tribuicao para o Brasil. Outras atividades, fora da escrita, marcaram o autor brasileiro.

Malba Tahan rodou o Brasil todo, cerca de 200 cidades, para ministrar palestras e cursos

de aperfeicoamento de professores Figura 2.13. Na cidade na qual moro desde da minha

infancia, Natal-RN, o professor Malba Tahan ministrou curso para professores das escolas

publicas.

25

Na decada de 1950 ocorreram algumas iniciativas em aprimoramentoda matematica na Escola Normal de Natal, podemos citar como porexemplo o curso ministrado pelo professor Julio Cezar de Mello e Souza(Malba Tahan) aos professorandos da Escola e aos professores da redepublica do estado. (ASSIS, 2016, p.189)

Figura 2.13: Curso Ministrado por Julio Cesar para professores

Fonte: https://www.malbatahan.com.br/biografias/1937-1957/homem Acesso em

02/02/2020

Outra contribuicao importantıssima foi a universidade do ar, projeto que atraves

da radio nacional procurava ministrar aulas a distancia, um pequeno embriao do Ensino

a Distancia, EaD, tao difundido e cada vez mais presente nos dias atuais. Tambem criou

a revista “Al Karismi”, importante meio de comunicacao que era destinada a publicacoes

de Matematica Recreativa. Segundo o que consta no site do Malba Tahan

O empenho de Malba Tahan em popularizar a Matematica foi muitogrande [...] no Diario “A Noite”, Malba Tahan estreava a “Ma-tematica Divertida e Curiosa”, talvez a primeira coluna do generono mundo. (https://www.malbatahan.com.br/biografias/1937-1957/,acesso em 02/02/2020)

Assim, Malba Tahan teve um papel importantıssimo para a matematica e para

educacao matematica. Ele criticava bastante a forma como a matematica era ensinada na

maioria das escolas no Brasil, a forma tradicional de ensino, principalmente na disciplina

de matematica. A esses professores, ele denominou de “algebristas”. Como forma de

contribuicao no sistema de ensino em matematica, ele publicou uma serie de livros neste

sentido, como a Didatica da Matematica, Matematica Divertida e Pitoresca, Matematica

Divertida e Diferente, Matematica Divertida e Curiosa, O Homem que Calculava, entre

outras obras de suma importancia para educacao matematica.

Malba Tahan faleceu em 18 de junho de 1974. Ele estava em Recife para ministrar

uma palestra para professores quando pela manha sofreu um infarto vindo a obito. Apesar

26

da morte, a vida e as obras de Malba Tahan perduram ate hoje na educacao brasileira.

Sua importancia e sua dedicacao para com a matematica foram tao imensuraveis que

mesmo depois de 39 anos de sua morte, foi promulgado o projeto de Lei 3482/04, pela

deputada professora em letras da UFG Raquel Teixeira, que decreta que o dia 6 de maio,

data de nascimento de Malba Tahan, e declarado o dia nacional da matematica.

2.2 Historia da Matematica

Com a educacao cada vez mais dinamizada, utilizando como por exemplo, jogos,

dinamicas e tecnologias, a busca por alternativas de ensino para a sala de aula de modo

que o aluno seja peca atuante na busca pelo conhecimento e bastante importante. A

utilizacao da Historia da Matematica como recurso pedagogico no processo de ensino e

aprendizagem dos alunos, principalmente da Educacao Basica, e uma excelente alternativa

para que o professor possa introduzir os conteudos matematicos em sala de aula. Oliveira,

Oliveira e Vaz (2014) afirma que “O uso dos fatos historicos na sala de aula proporciona

um melhor entendimento dos alunos no que diz respeito a dimensao historica dos assuntos

envolvidos, despertando assim o interesse dos alunos, motivando-os ainda mais a buscar

o conhecimento.” Desta forma, o uso da Historia da Matematica como recurso didatico

pode ser uma boa alternativa para prender a atencao do aluno e fugir um pouco daquela

aula mais tradicional, com formulas e algoritmos no quadro. Desta forma, o ensino com

uso da Historia da Matematica nao e so benefico a matematica, ela propoe uma interdis-

ciplinaridade e aguca o poder de investigacao e senso crıtico do aluno. Gasperi e Pacheco

(2007, p. 4) afirma que “Estudar a Historia da Matematica permite que o professor tenha

uma visao mais ampla e contextualizada de sua disciplina interligando a matematica com

outras disciplinas, respeitando suas especialidades”.

A interdisciplinaridade “Trata-se de explorar as fronteiras das disciplinas e as zonas

intermediarias entre elas.” (JAPIASSU, 1976, p.57). Alem disso, a interdisciplinaridade

pode ser uma aliada da Matematica Recreativa, Japiassu (1976 p.54) apresentava a inter-

disciplinaridade como uma oposicao a forma de ensino do tipo tradicional. E justamente

esse tipo de oposicao que abordamos na secao anterior ao tratar da Matematica Recrea-

tiva.

A interdisciplinaridade traz uma serie de benefıcios para o ambito da sala de aula,

Clark Abt apresenta algumas delas a seguir,

- Despertar entre os estudantes e os professores um interesse pessoalpela aplicacao de sua propria disciplina a uma outra;- Estabelecer um vınculo sempre mais estreito entre as materiasestudadas;- Abolir o trabalho macante e por vezes “bitolante” que constitui aespecializacao em determinada disciplina;- Reorganizar o saber;

27

- Estabelecer comunicacao entre os especialistas;- Criar disciplinas e domınios novos de conhecimento, mais bem adap-tados a realidade social;- Aperfeicoar e reciclar os professores, reorientando-os, de sua formacaoespecializada, a um estudo que vise a solucao de problemas;- Reconhecer o carater comum de certos problemas estruturais, etc.(Clark Abt apud JAPIASSU, 1976, p. 56)

Essas caracterısticas, sobre a interdisciplinaridade, foram consideradas no nosso

estudo articulando a Matematica Recreativa e a Historia da Matematica e na elaboracao

do nosso produto educacional. Desse modo, buscamos promover uma integracao da ma-

tematica com disciplinas como lıngua portuguesa, historia e geografia.

Nas indicacoes para o Ensino Fundamental I e II dos Parametros Curriculares

Nacional (PCN) referente a matematica fala que:

A Historia da Matematica pode oferecer uma importante contribuicao aoprocesso de ensino e aprendizagem dessa area do conhecimento. Ao reve-lar a matematica como uma criacao humana, ao mostrar necessidades epreocupacoes de diferentes culturas, em diferentes momentos historicos,ao estabelecer comparacoes entre os conceitos e processos matematicosdo passado e do presente, o professor cria condicoes para que o alunodesenvolva atitudes e valores mais favoraveis diante desse conhecimento.(BRASIL, (b), 1998)

O PCN foi substituido pela Base Nacional Comum Curricular (BNCC). A nova

diretriz continua indicando o uso da Historia da Matematica,

Alem dos diferentes recursos didaticos e materiais, [...] e importanteincluir a Historia da Matematica como recurso que pode despertar in-teresse e representar um contexto significativo para aprender e ensinarmatematica. (BRASIL, (a), 2017)

Entretanto, tem que se ter um cuidado ao usar Historia da Matematica no pro-

cesso de ensino. Chaquiam e Mendes (2016, p. 19) alertam que os professores devem ter

cuidado no uso da Historia da Matematica, sempre perguntando para quem e para que

a usar. Esses autores chamam mais atencao quando diz que “e necessario que se tenha

clareza sobre quais historias tratamos e de que modo nos referimos direta e indiretamente

a matematica a ser ensinada e ate que ponto essas historias podem ser utilizadas peda-

gogicamente.” Assim, devemos sempre ter a preocupacao ao utilizar um recurso didatico

em sala de aula (como por exemplo tecnologia, jogos, dinamicas, filmes etc) para nao ser

uma atividade apenas de entretenimento e sim com um fim pedagogico.

Assim, usaremos a Historia da Matematica para construcao da experiencia vivida

por um personagem do seculo XX. Porem, a construcao desta narrativa nao pode ser feita

como um conto de historia, com relatos de fatos, datas e eventos. Mendes e Chaquiam

chamam a atencao de como deve ser feito esta construcao,

28

As historias que tratam exclusivamente sobre a vida dos matematicosou apenas dos professores de matematica, e que tem apelo fortementebiografico, podem contribuir de forma apenas ilustrativa para o ensinoe a aprendizagem de conceitos, propriedades e relacoes matematicas, seforem exploradas apenas no ambito dessas biografias. Uma alternativapara a superacao dessas limitacoes das biografias e que o professor deveplanejar, executar e avaliar o desenvolvimento de projetos de inves-tigacao historica que avancem com relacao a conexao entre vida, obrae o fazer matematico desses sujeitos investigados de modo a ir alem dasimples biografia. Caso contrario essas historias com enfoque central nasbiografias poderao tender a se configurar apenas como historias pitores-cas e anedotarias a respeito de personagens da historia da Matematica.(CHAQUIAM, MENDES, 2016, p.20, grifo do autor)

Para ficar bem claro a forma como devemos explorar um personagem matematico

ao longo da historia, Chaquiam e Mendes deixa de forma bem didatica um diagrama

figura 2.14 que esquematiza toda a construcao de um personagem historico.

Figura 2.14: Diagrama sobre a construcao da historia de um personagem

Fonte: CHAQUIAM, MENDES, 2016, p. 92

O diagrama deixa claro a forma como devemos construir uma Historia da Ma-

tematica com enfoque em uma personalidade. Ele expoe que nao devemos apenas focar

no personagem em destaque, outros elementos sao bastante importantes na hora dessa

construcao.

No diagrama ele comeca fazendo uma juncao do personagem com o tema/conteudo

que esta relacionado a aquele personagem. Relatar como o tema/conteudo se desenvolveu

ao longo dos anos e as personalidades que contribuıram para o seu desenvolvimento e

29

muito importante. Outro caminho a ser tomado na hora da investigacao e sobre o que esta

ocorrendo no cenario mundial e local em que se encontra o personagem em estudo. Saber

a cultura em que ele vive, saber a polıtica do seu paıs, religiao, entre outros elementos

que pode influenciar no dia a dia do personagem estudado. Desta forma, ambientamos de

forma bem completa todo o desenvolvimento do personagem e o leitor passa a compreender

toda a construcao historica e matematica da personalidade e do assunto ali abordado. No

desenvolvimento do nosso produto educacional, nos pautamos nas ideias de Chaquiam e

Mendes e na interdisciplinaridade.

2.3 A aritmetica para o estudo dos Numeros de Ka-

prekar

Nesta secao, abordaremos a matematica que sera necessaria para o estudo e en-

tendimento dos resultados sobre os Numeros de Kaprekar. A aritmetica e a base para o

entendimento do conteudo matematico da nossa dissertacao. Parte deste ramo da ma-

tematica e uma das disciplinas obrigatorias do PROFMAT e na qual se tornou a base

matematica deste texto, principalmente o conteudo de congruencia. Desta forma, esta-

mos utilizando como base o livro de aritmetica da colecao PROFMAT de Hefez (2016).

Este ramo da matematica e bastante importante tanto na graduacao quanto na pos gra-

duacao, ja que e uma das disciplinas em que o estudante de um curso de licenciatura em

matematica comeca a ter um contato maior com a matematica mais formal, com teoremas

e demonstracoes. Ja na Educacao Basica, ela se faz presente do Ensino Infantil ao Ensino

Medio. Serao abordados definicoes, proposicoes, corolarios e exemplos para que os leitores

possam compreender cada parte aqui explanada.

Seja a, b ∈ Z. A notacao (a, b) indica o maximo divisor comum (MDC) e [a, b]

indica mınimo multiplo comum (MMC).

Dois numeros inteiros a e b sao ditos coprimos, ou primos entre si, se (a, b) = 1.

Definicao 2.3.1. Seja m um numero natural com m > 1. Diremos que dois numeros

inteiros a e b sao congruentes modulo m se os restos de sua divisao euclidiana por m sao

iguais. Quando os inteiros a e b sao congruentes modulo m, escreve-se:

a ≡ b(modm)

Por exemplo, 21 ≡ 13(mod2), ja que os restos da divisao de 21 e de 13 por 2 sao

iguais a 1.

Quando a relacao a ≡ b(modm) for falsa, diremos que a e b nao sao congruentes,

ou que sao incongruentes, modulo m. Escrevemos, nesse caso, a 6≡ b(modm).

Por exemplo, 19 6≡ 11(mod3), ja que os restos da divisao de 19 e de 11 por tres sao

diferentes, 1 e 2, respectivamente.

Assim, decorre, imediatamente, da definacao de congruencia, algumas implicacoes

que iremos nuncia-las a seguir.

30

Proposicao 2.3.1. Seja m ∈ N. Para todos a, b, c ∈ Z, tem-se que

(i) a ≡ a(modm),

(ii) se a ≡ b(modm), entao b ≡ a(modm),

(iii) se a ≡ b(modm) e b ≡ c(modm), entao a ≡ c(modm).

Porem, para verificar se dois numero sao congruentes modulo m, nao e necessario

efetuar a divisao euclidiana de ambos por m para depois comparar os seus restos. E

suficiente aplicar o seguinte resultado:

Proposicao 2.3.2. Suponha que a, b,m ∈ Z, com m > 1. Tem-se que a ≡ b(modm) se,

e seomente se, m|b− a.

Demonstracao: Sejam a = mq+r, com 0 ≤ r < m e b = mq′+r′, com 0 ≤ r′ < m,

as divisoes euclidianas de a e b por m, respectivamente. Logo,

b− a = m(q′ − q) + (r′ − r).

Portanto, a ≡ b(modm) se, e somente se, r = r′, o que, em vista da igualdade

acima, e equivalente a dizer que m|b− a, ja que |r − r′| < m.

Por exemplo, 21 ≡ 13(mod2). Ja que 2|(21 − 13) = 8. Desta forma, fica mais

rapido e simples identificar quando dois numeros sao congruentes modulo m.

A seguir, teremos uma proposicao na qual faz relacoes entre duas ou mais con-

gruencias.

Proposicao 2.3.3. Sejam a, b, c, d,m ∈ Z, com m > 1 .

i) Se a ≡ b(modm) e c ≡ d(modm), entao a+ c ≡ b+ d(modm).

ii) Se a ≡ b(modm) e c ≡ d(modm), entao ac ≡ bd(modm).

Demonstracao: Suponhamos que a ≡ b(modm) e c ≡ d(modm). Logo, temos

que m|b− a e m|d− c.i) Basta observar que m|(b − a) + (d − c). Fazendo uma manipulacao chegamos

que m|(b+ d)− (a+ c).

ii) Como m|b − a e m|d − c, observamos tambem que m|(b − a)d e m|(d − c)a.

Somando ambos temos que m|(b− a)d+ (b− c)a. Desenvolvendo chegaremos que

m|bd − ac. Logo, concluimos que bd ≡ ac(modm). Pela proposicao 2.3.1 (ii), temos que

ac ≡ bd(modm).

Com a proposicao acima, podemos agora partir de duas ou mais congruencia e

chegar em outra na qual seria mais simples e facil trabalhar. Um exemplo disto seria o

corolario anunciado asseguir.

Corolario 2.3.1. Para todos n ∈ N, a, b ∈ Z, se a ≡ b(modm), entao tem-se que

an ≡ bn(modm).

31

Demonstracao: Provaremos por inducao. Para n = 1 temos que e verdadeiro,

ja que a ≡ b(modm) como diz nossa hipotese. Iremos supor valido para n = k. Vamos

demonstrar que e valido para n = k+1: Como temos que a ≡ b(modm) e ak ≡ bk(modm),

vamos aplicar a proposicao 2.3.3. (ii) nas duas congruencias e teremos a.ak ≡ b.bk(modm).

Chegaremos que ak+1 ≡ bk+1(modm).

A proxima proposicao diz que para congruencias vale o cancelamento com relacao

a adicao.

Proposicao 2.3.4. Sejam a, b, c,m ∈ Z, com m > 1. Tem-se que

a+ c ≡ b+ c(modm) ⇐⇒a ≡ b(modm).

Demonstracao:

(⇒)

Se a + c ≡ b + c(modm), entao m|(b + c) − (a + c), o que implica que m|b − a e,

consequentemente, a ≡ b(modm).

(⇐)

Se a ≡ b(modm), segue-se imediatamente da Proposicao 2.3.1. (i) com

c ≡ c(modm) que a+ c ≡ b+ c(modm).

Entretanto, nao vale, em geral, o cancelamento para a multiplicacao, como se pode

verificar no exemplos a seguir.

Exemplo 2.3.1. Sabemos que 54 ≡ 30(mod8), ja que 54− 30 = 24 e 8|24. Desta forma

temos que 6.9 ≡ 6.5(mod8), e, no entanto, 9 6≡ 5(mod8).

Com o exemplo acima, temos que ter sempre o cuidado no cancelamento da con-

gruencia em relacao a multiplicacao. A proposicao abaixo nos mostra a forma correta de

utilizar o cancelamento com relacao a multiplicacao devido a introducao de uma hipotese.

Proposicao 2.3.5. Sejam a, b, c,m ∈ Z, com m > 1. Temos que

ac ≡ bc(modm) ⇐⇒a ≡ b(mod m(c,m)

).

Demonstracao:

Como m(c,m)

e c(c,m)

sao coprimos, temos ac ≡ bc(modm) ⇐⇒ m|(b − a)c ⇐⇒mc,m|(b− a) c

(c,m)⇐⇒ m

(c,m)|b− a ⇐⇒a ≡ b(mod m

(c,m))

Corolario 2.3.2. Sejam a, b, c,m ∈ Z, com m > 1 e (c,m) = 1. Temos que

ac ≡ bc(modm) ⇐⇒a ≡ b(modm).

32

Daremos, a seguir, algumas propriedades adicionais das congruencias relacionadas

com a multiplicacao.

Proposicao 2.3.6. Sejam a, b ∈ Z e m, n, m1, ..., mr inteiros maiores do que 1. Temos

que

i) se a ≡ b(modm) e n|m, entao a ≡ b(modn);

ii) a ≡ b(mod mi), ∀i = 1, ..., r⇐⇒a ≡ b(mod [m1, ..., mr]);

iii) se a ≡ b(modm), entao (a,m) = (b,m).

Demonstracao:

(i) Se a ≡ b(modm), entao m|b − a. Como n|m, segue-se que n|b − a. Logo,

a ≡ b(modn).

(ii) Se a ≡ b(mod mi), i = 1, ..., r, entao mi |b − a, para todo i. Sendo b − a um

multiplo de cada mi, segue-se que [m1, m2,..., mr] |b− a, o que prova que

a ≡ b(mod [m1, m2,..., mr]).

A recıproca decorre do item (i).

(iii) Se a ≡ b(modm), entao m|b − a e, portanto, b = a + tm com t ∈ Z. Logo,

temos que

(a,m) = (a+ tm,m) = (b,m).

Com esses resultados, podemos compreender melhor a aritmetica contida no artigo

do Iannucci (2010), que sera abordado em uma secao do proximo capıtulo.

33

3 Kaprekar e sua matematica

Neste capıtulo, falaremos sobre a India e alguns dos seus aspectos, como economia,

cultura e religiao. Pontuaremos algumas das contribuicoes da India para matematica e

mostraremos a situacao da India no seculo XX. Abordaremos o matematico indiano Ka-

prekar e suas duas principais obras, Os Numeros de Kaprekar e a Constante de Kaprekar.

3.1 Kaprekar, a India

As informacoes que apresentaremos a seguir sobre a India foram retiradas de Palma

(2008) e de uma reportagem da BBC (https://www.bbc.com/portuguese/geral-47487130)

A India e um paıs localizado no continente asiatico figura 3.1 e possui a segunda

maior populacao do mundo, perdendo somente para a China e e o setimo em extensao

territorial. Os indianos sao muito fieis a cultura e a religiao, nao atoa, esses dois aspectos

afetam bastante a economia, a polıtica e a vida social dos indianos.

Figura 3.1: Localizacao da India no mapa mundi

Fonte:

https://www.istockphoto.com/br/vetor/grey-mapa-do-mundo-com-a-indica%C3%

A7%C3%A3o-da-%C3%ADndia-gm480492182-68487731 Aceso em 06 de abril de 2020.

34

Acredita-se que cerca de 80 % da populacao indiana siga o Hinduısmo como religiao,

religiao esta que possui varios deuses, como Ganesha figura 3.2, que e conhecido como

deus do intelecto, da sabedoria e da fortuna. A cultura e a religiao acabam por segregar

classes na populacao. Palma fala dessa segregacao da seguinte forma

A segregacao da populacao indiana e social e religiosa. Ocorre no nas-cimento, no matrimonio e na vida profissional. Ela se baseia em castas.Apesar da extincao legal deste sistema em 1947, com a independencia,elas permanecem embutidas nos valores e no cotidiano da sociedade in-diana. A comunidade internacional e associacoes de direitos humanoscomecaram a questionar se o sistema de castas e uma tradicao milenare religiosa, ou uma forma de racismo e instrumento de manutencao dosprivilegios das castas superiores. PALMA (2008, p.19)

Figura 3.2: Ganesha

Fonte: https://www.significados.com.br/ganesha/ Acesso em 20/02/2020

O regime de castas faz com que mulheres sejam consideradas inferiores aos homens,

sendo assim, ocupando cargos de baixa expressao em todos os seguimentos economicos,

e muita das vezes acaba por ficar em casa cuidando da famılia. Segundo o regime, os

casamentos sao arranjados entre os pais das noivas e noivos, na maioria das vezes famılias

amigas prometem seus filhos em futuros casamentos. Uma classe bem conhecida nesse

regime sao os Dalit, que sao os indianos que violaram o sistema de casta. Souza [2020] diz

que os Dalit “realizam trabalhos considerados desprezıveis, como a limpeza de esgotos, o

recolhimento do lixo e o manejo com os mortos. Uma vez rebaixado como dalit, a pessoa

coloca todos seus descendentes nesta mesma posicao.”

A economia indiana era basicamente a agricultura de subsistencia, cerca de 70 %

da populacao colhia para sobreviver. Porem, em alguns produtos, a India se destacava,

35

como o cultivo de arroz, trigo, cha e fumo. Porem, na decada de 90, o governo indiano

permitiu que o capital estrangeiro entrasse na India, fazendo uma grande revolucao na

economia e na vida local. Devido a ser um paıs muito populoso e que a maioria da sua

populacao era pobre, muitas industrias, principalmente a americana, viu um lugar onde

encontraria uma mao de obra humana barata. Desta forma, enormes fabricas de grandes

empresas se instalaram na India. Um dos maiores call center do mundo se encontra na

India, ja que a sua populacao, como um todo, fala Hindu e o ingles, legado deixado pelos

britanicos na epoca da colonizacao.

Mas a cultura e a religiao indiana atraem turistas do mundo todo. Devido ter uma

moeda desvalorizada a nıvel mundial, a India acaba por atrair turistas pelo baixo custo

diario que o visitante tera. Porem, o que acaba chamando a atencao dos turistas sao

as grandes construcoes religiosas e culturais da India. O Taj Mahal figura 3.3 e um dos

maiores sımbolos do povo indiano, recebe milhoes de turistas todo ano e chama a atencao

pela sua beleza e arquitetura.

Figura 3.3: Taj Mahal

Fonte: https://super.abril.com.br/mundo-estranho/como-foi-construido-o-taj-mahal/


Alem da cultura e das grandes construcoes arquitetonicas da India, outro ponto

que chama a atencao do paıs e a sua contribuicao para a matematica ao longo dos anos. O

maior legado deixado pela India para a matematica foi o sistema de numeracao decimal. O

sistema que adotamos hoje em dia, o posicional, com unidade, dezena, centena, milhares

e assim por diante, veio dos indianos, nao atoa e conhecido como sistema de numeracao

indo-arabico, indo devido aos Hindus terem descoberto e Arabico porque foi o povo Arabe

que popularizou o sistema de numeracao.

Um grande matematico e tambem astronomo muito famoso na India e o Aryabhata,

do seculo VI. Sua grande contribuicao fica por conta da trigonometria. Ele fez grandes

avancos nas funcoes trigonometricas seno e cosseno. Porem, ele e muito conhecido pelo

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valor aproximado que acabou encontrando para o numero π. Sautoy (2019) diz que “Ele

tambem usou o π para medir a circunferencia da Terra, chegando ao valor de 39.968 km

- um numero muito proximo daquele que conhecemos hoje (40.075 km).”

Outro matematico indiano que deu sua contribuicao ao longo da historia foi Brah-

magupta. No inıcio do seculo VII, Brahmagupta, que viveu por volta de 628, escreveu

trabalhos falando sobre os numeros negativos e como fazer as quatro operacoes basicas da

matematica com esses numeros. Este foi o trabalho mais influente de Brahmagupta na

matematica, mas nao foi o unico, ele se aprofundou em resolucoes de equacoes quadraticas

e de equacoes com duas variaveis. O estudo de equacao pelo matematico indiano foi tao

primordio que Fermat apresentou estudos parecidos no mundo ocidental quase um milenio

depois.

Outro matematico indiano bastante importante foi Srinivasa Ramanujan, que nas-

ceu em 22 de dezembro de 1887 e faleceu em 26 de abril de 1920. Um matematico

extraordinario que viveu no final do seculo XIX e inıcio do seculo XX. Teve uma contri-

buicao imensuravel para a matematica mais avancada. O atual diretor-geral do Instituto

de Matematica Pura e Aplicada (IMPA) Marcelo Viana relata, em sua coluna na Folha

de Sao Paulo, que

No seculo 19, a India produziu um dos matematicos mais extraordinariosda historia: Srinivasa Ramanujan (1887-1920), cuja vida foi contada nofilme “O homem que viu o infinito.” Dotado de intuicao fora do comumpara descubrir formulas matematicas complexas, Ramanujan atribuıasua inspiracao a deusa Namagiri. (VIANA, 2019)

Muitas descobertas e pesquisas feitas, principalmente no primeiro milenio depois de

Cristo, pelos matematicos indianos acabaram nao se espalhando pelo mundo. Como havia

uma divisao bem clara entre ocidente e oriente, muito da matematica desenvolvida no

mundo oriental so veio ao ocidente muitos seculos depois. Provavelmente esta desconexao

fez com que muitos matematicos orientais nao tivessem a fama que os ocidentais tiveram.

Mas vamos falar como estava a India no seculo XX, ja que nosso personagem

principal viveu nesta epoca. No inıcio do seculo XX, a India vivia sobre controle do imperio

ingles. Apos o fim da primeira guerra mundial, o parlamento britanico acabou fazendo

inumeros reformas na comunidade indiana afim de amenizar os efeitos que a guerra trouxe

a nacao inglesa. Tais reformas trouxeram indignacao ao povo e ao parlamento indiano e

uma onda em busca da independencia da India comeca a ganhar forca. Neste momento,

surge um personagem que iria unificar a India em busca da independencia, Mohandas

Karamchand Gandhi, nascido em 02 de outubro de 1869 e faleceu em 30 de janeiro de

1948. Tambem conhecido como Mahatmam Gandhi figura 3.4.

37

Figura 3.4: Mahatmam Gandhi

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Mahatma_Gandhi Acesso em 20/02/2020

A India possuıa uma disputa religiosa entre os Hindus e os Mulcumanos pela

predominancia no territorio indiano. Porem, Gandhi, Hindu, pediu tregua nesta disputa

e que as duas vertentes religiosas se juntassem em pro da independencia da India. Com

seu discurso de luta nao armada, sempre pregando a paz, Gandhi passou a contar cada vez

mais com seguidores, chegando a ser a principal figura polıtica da India naquele momento.

Assim, cada vez mais a luta pela independencia da India ficava forte e a presenca britanica

em territorio indiano insustentavel. Apos o fim da segunda guerra mundial, a Inglaterra

ve insustentavel o domınio do territorio indiano e resolve fazer transicao de independencia

da India.

Porem, o clima entre Hindus e Mulcumanos estava cada vez pior. Confrontos, atras

de confrontos entre os seguidores das vertentes religiosas, milhares de pessoas chegaram a

morrer nestes confrontos. A solucao foi dividir o paıs para que cada seguimento religioso

tivesse sua terra. Assim, os Mulcumanos ficaram com 20 % do territorio indiano, na qual

chamaram de Paquistao e os Hindus ficaram com o restante que ainda permaneceu com

o nome de India. Neste perıodo a tensao era muito grande no paıs. Ate que em 1947, os

ingleses reconheceram a India como o paıs independente. Mesmo apos a independencia e

a separacao dos povos Hindus e Mulcumanos figura 3.5, o clima de conflito esteve presente

na India, nao a toa em 1949 o ativista Mahatmam Gandhi acabou morto em confronto

religioso. Um filme que retrata bem esse momento de tensao entre os Hindus, Mulcumanos

e os Ingleses e “O ultimo vice-rei”dirigido por Gurinder Chadha.

38

Figura 3.5: Mapa mostrando o deslocamento do povo indiano apos a separacao

Fonte: https://pt.wikipedia.org/wiki/Parti%C3%A7%C3%A3oda%C3%8Dndia Acesso

em 20/02/2020

As informacoes que apresentaremos a seguir sobre Kaprekar foram retiradas do site

MacTutor (http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kaprekar.html)

Diante deste cenario no inıcio do seculo 20, em 17 de janeiro de 1905, nascia na

cidade de Dahanu, a cerca de 100 quilometros da capital indiana Mumbai, Dattatreya

Ramchandra Kaprekar figura 3.6, tambem conhecido como Ganitanand. Kaprekar nasceu

em uma famılia muito humilde e foi basicamente criado pelo pai, ja que sua mae faleceu

quando ainda tinha apenas oito anos de idade. O pai de Kaprekar era fascinado pela

astrologia. Muito das vezes o jovem indiano acompanhava seu pai nos estudos sobre os

astros. Provavelmente deve ser o motivo pelo encantamento que Kaprekar adquiriu pelos

numeros, ja que o estudo da astrologia necessita um certo conhecimento matematico.

39

Figura 3.6: Dattatreya Ramchandra Kaprekar

Fonte: http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kaprekar.html Acesso em

20/02/2020

Kaprekar frequentou a escola secundaria em Thane (as vezes conhecido como

Thana), muito proximo da capital indiana Mumbai. Naquela epoca, Kaprekar ja mostrava

o seu gosto por uma matematica mais divertida, mais recreativa. O‘Connor e Robert-

son (2007) confirma quando diz que na escola, Kaprekar “passava muitas horas felizes

resolvendo quebra-cabecas matematicos.”. Posteriormente, em 1923, Kaprekar estudou

no Fergusson College em Pune. A escola e bastante conceituada na India, muitas pessoas

importantes do povo indiano estudaram nesta instituicao de ensino. No site da escola

https://www.fergusson.edu/article/history.html diz que “Mahatma Gandhi, em sua men-

sagem ao Dr. GS Mahajani, nesta ocasiao, escreveu: “Quem deixara de se entusiasmar

com o registro nobre do servico prestado pela DE Society e pelo Fergusson College a causa

da educacao?” Assim, temos a nocao da importancia da escola na educacao indiana. No

Fergusson College , em 1927, Kaprekar ganhou o premio Wrangler R.P. Paranjpe , que

e concedido pela melhor matematica original produzida por um aluno. Assim, o jovem

indiano comecou a mostrar a sua aptidao pela matematica.

Em 1929, na Universidade de Mumbai, Kaprekar se formou bacharel em ma-

tematica. Apos sua formacao, comecou a lecionar numa cidade ao centro da India,

chamada Devlali. A medida que os anos iam passando, Kaprekar chamava a atencao

da forma como os seus alunos se encantavam pela matematica, muito pela forma que o

professor transmitia o seu conhecimento. Assim, Kaprekar passou a dar palestras nas

universidades e escolas da redondeza sobre os metodos que praticava em sala de aula e

revelar um pouco sobre suas pesquisas.

Mesmo apos formado, Kaprekar continuou a estudar e praticar a matematica mais

40

avancada. Um dos ramos que mais gostava de estudar e se identificava era a teoria

dos numeros. Para expressar sua paixao pela matematica, ele costumava falar que “Um

bebado quer continuar bebendo vinho para permanecer naquele estado agradavel. O

mesmo acontece comigo no que diz respeito aos numeros.” (O‘CONNOR, ROBERTSON,

2007)

A medida que Kaprekar pesquisava, percebeu a necessidade de divulgar os resul-

tados. Porem, Kaprekar sempre encontrou dificuldade em divulgar suas pesquisas em

revistas renomadas da India. Malheiro e Gomes explicam que

Os problemas matematicos a que Kaprekar se dedicava eram considera-dos pelos matematicos mais iminentes como triviais e pouco importantes,de tal forma que dificilmente ele conseguia publicar os seus trabalhos emrevistas renomadas, sendo conhecido fundamentalmente no nıvel da Ma-tematica recreativa e dos jogos matematicos. (GOMES, MALHEIROS,2011, p.1)

Como Kaprekar nao fez pos-graduacao, nunca recebeu um treinamento formal da

matematica superior, que na epoca era peculiar aos estudantes de pos-graduacao. Esta

falta de conhecimento de uma matematica mais formal era comum em alguns matematicos

indianos. Um grande exemplo disso foi o matematico Ramanujan, que fez grandes desco-

bertas, mas nao tinha o aparato da matematica formal. Precisou viajar para a Inglaterra

afim de aperfeicoar sua matematica para fazer valer suas descobertas. Isto foi retratado

no filme que conta a vida de Ramanujan, O Homem que viu o Infinito. Essa falta de

formalizacao da sua matematica e o ramo em que gostava de pesquisar, fez com que

Kaprekar sofresse julgamentos negativos dos companheiros indianos matematicos acerca

dos trabalhos divulgados, como por exemplo Decimais Recorrentes, Quadrados Magicos,

Numeros Inteiros, entre outros. Falavam que eram trabalhos sem importancia e muito

triviais.

Durante toda a sua vida, trabalhou sozinho nas suas pesquisas. Apos o falecimento

da sua esposa em 1966, percebeu que a pensao que ganhava nao era o suficiente para se

manter. Entao, Kaprekar comecou a dar aulas particulares de ciencia e matematica para

complementar a renda, pois sempre viveu em situacao bem humilde.

A fama de Kaprekar a nıvel mundial so veio em 1975, quando o grande percursor da

Matematica Recreativa no mundo, Martin Gardner, escreveu sobre uma das pesquisas de

Kaprekar em sua coluna Mathematical Games, na edicao de marco da Scientific American

. Assim, os trabalhos de Kaprekar comecaram a ter reconhecimento de ordem mundial.

Pesquisas, como a Constante de Kaprekar e Numeros de Kaprekar, passaram a ser conhe-

cidas e estudadas pelo mundo todo. Nas secoes seguintes traremos uma discussao acerca

destas duas descobertas de Kaprekar. Apos 11 anos da publicacao de Martin Gardner,

em 1986, Kaprekar faleceu, mas deixou um legado importante para os numeros e para

Matematica Recreativa.

41

3.2 Os numeros de Kaprekar

A aritmetica vista na secao 2.3 sera de extrema importancia para entender esta

secao sobre os Numeros de Kaprekar. Assim, caso tenha alguma duvida sobre algum

procedimento aqui exposto, volte a secao de Aritimetica e tente compreender.

Alguns numeros do nosso sistema de numeracao indo-arabico apresentam propri-

edades particulares. Podemos formar conjuntos de numeros que possui propriedades se-

melhantes. Como por exemplo os numeros 2, 4, 6, 8, 10, 12... sao todos divisıveis por 2 e

por isso sao chamados de numeros pares. Outro exemplo sao os numeros 2, 3, 5, 7, 11...

que possui a caracterıstica semelhante de que sao divisıveis so por 1 e por eles mesmos,

conhecidos como numeros primos.

Abaixo, apresentaremos numeros que possui uma caracterıstica semelhantes entre

si. Conhecidos como Numeros de Kaprekar.

9, 92 = 81, 8 + 1 = 9;

45, 452 = 2025, 20 + 25 = 45;

297, 2972 = 88209, 88 + 209 = 297;

4879, 48792 = 23804641, 238 + 04641 = 4879;

17344, 173442 = 300814336, 3008 + 14336 = 17344;

538461, 5384612 = 289940248521, 289940 + 248521 = 538461.

Tabela 3.1: Alguns exemplos do Numero de Kaprekar

Os numeros indicados anteriormente apresentam a seguinte caracterıstica:

• Inicialmente pegamos um numero e o elevamos ao quadrado;

• Agora desmambramos o numero obtido em duas partes;

• Em seguida, somamos esses dois numeros obtidos e obtemos o numero inicial.

Em seu artigo, Iannucci (2000) chama os numeros que possui estas caracterısticas

de Numeros de Kaprekar. A seguir, traremos a definicao que Carosh apresenta, no artigo

do Iannucci (2000), acerca do numero n-Kaprekar.

Formalmente, um numero n-Kaprekar, k ≥ 1 (para n = 1, 2, 3, ...) satisfaz o par de

equacoes a seguir,

k = q + r, q ≥ 1

k2 = q.10n + r, 0 ≤ r < 10n

Por exemplo,

k = 45 = 20 + 25 ⇒ q = 20 e r = 25;

42

k2 = 20.102 + 25 = 2025.

Desta forma, o 45 e um 2-Kaprekar. Outro exemplo e,

k = 297 = 88 + 209 ⇒ q = 88 e r = 209;

k2 = 88.103 + 209 = 88209.

Desta forma, o 297 e um 3-Kaprekar.

Por convencao, e adotado que 1 e um n-Kaprekar, para todos n ≥ 1 e que 0 e 10m,

para todo m ≥ 1, nao sao n-Kaprekar.

Kaprekar, ao listar os Numeros de Kaprekar, apresentou numero 9. Porem, nao

listou os numeros 99, 999, 9999,... (numeros que possui somente 9 como dıgito). No

entanto, todos os numeros da forma 10n − 1 (para todo n ≥ 1) e um n-Kaprekar.

Proposicao 3.2.1. Todo numero da forma 10n − 1, n inteiro, n ≥ 1, e um numero

n-Kaprekar.

Demonstracao: Suponha k = 10n − 1, n inteiro, n ≥ 1; podemos escrever:

k = 10n − 1 = (10n − 2) + 1

e k2 = (10n − 1)2 = (10n)2 − 2.10n + 1 = 10n.10n − 2.10n + 1

= (10n − 2).10n + 1, no qual q = 10n − 2 e r = 1.

Para apresentar o principal resultado do artigo do Iannucci (2000), sobre o numero

n-Kaprekar, teremos que entender a definicao e o lema a seguir.

Definicao 3.2.1. Se (a, b) = 1, denotaremos por (a−1)b o menor inteiro positivo m tal

que am ≡ 1(modb). Segue que m = (a−1)b se, e somente se, 1 ≤ m < b e am ≡ 1(modb).

Vamos estabelecer alguns exemplos, para melhor esclarecer a definicao e a notacao

anterior:

Exemplo 3.2.1. Vamos fazer com a = 5 e b = 7. Como (5, 7) = 1, temos na nossa

notacao m = (5−1)7. Desta forma, o menor inteiro positivo m que satisfaz 5m ≡ 1(mod7)

e 3. Logo, m = (5−1)7 = 3

Exemplo 3.2.2. Vamos fazer com a = 3 e b = 10. Como (3, 10) = 1, temos na

nossa notacao m = (3−1)10. Desta forma, o menor inteiro positivo m que satisfaz

3m ≡ 1(mod10) e 7. Logo, m = (3−1)10 = 7

Lema 3.2.1. Suponha que (a, b) = 1. Entao m = (a−1)b e n = (b−1)a se, e somente se m

e n sao positivos e am+ bn = ab+ 1.

43

Demonstracao:

(⇒)

Pela definicao, temos que

m = (a−1)b ⇒ am ≡ 1(modb), com 1 ≤ m < b

n = (b−1)a ⇒ bn ≡ 1(moda), com 1 ≤ n < a.

Logo, observamos que m e n sao positivos.

Multiplicando a primeira desigualdade por a e a segunda por b, teremos

a ≤ am < ab

b ≤ bn < ab.

Somando as duas novas desigualdade obteremos am+ bn < 2ab. (1)

De acordo com o que foi visto na secao 2.3, temos

bn ≡ 0(modb).

Somando a congruencia anterior com am ≡ 1(modb) temos am+ bn ≡ 1(modb).

Como o [a, b] = ab por (a, b) = 1, temos pela Proposicao 2.3.6 (ii)

am+ bn ≡ 1(modab) ⇒ am+ bn = 1 + abt, com t inteiro.

Basta provar que t=1 que terminamos a demonstracao. Vamos supor que t ≥ 2.

am+ bn = 1 + abt ≥ 1 + 2ab > 2ab ⇒ am+ bn > 2ab.

Uma contradicao pela desigualdade (1). Desta forma, t < 2. Porem, temos que

am+ bn− 1 e maior que 1, ja que a, m, n e b sao inteiro positivos maiores que 1. Assim,

para manter a desigualdade (1) verdadeira, temos que t e inteiro positivo. Logo, t = 1.

(⇐)

Suponha que am + bn = ab + 1 com m,n > 0. De acordo com o que foi visto na

secao 2.4, temos que

am ≡ 0(moda)

ab ≡ 0(moda)

Com as duas congruencias anterior, temos que bn ≡ 1(moda). Ou seja, n = (b−1)a.

Analogamente, segue que m = (a−1)b.

Com a definicao 2.2.1 e o Lema 2.2.1, iremos anunciar o principal resultado do

artigo do Iannucci (2000).

Para cada numero inteiro N > 1, denotaremos K(N) o conjunto de numeros

inteiros positivos k para que existam numeros positivos q e r tal que

44

k2 = qN + r, 0 ≤ r < N (2)

k = q + r, (3)

Por uma questao de convencao, devemos ignorar a solucao k=N (para qual q=N e

r=0). Desta forma, Iannucci em seu artigo, busca caracterizar N.

Subtraindo (3) de (2), temos:

k2 − k = k(k − 1) = q(N − 1) (4)

Como desconsideramos a solucao k=N, temos 1 ≤ k ≤ N − 1. Pois, se k ≥ N ,

entao por (4) implica que q > K, contradizendo a equacao (3).

O conjunto K(N) nao e vazio, pois o 1 sempre esta em K(N). Suponhamos que k

estivesse em K(N). Como (k, k − 1) = 1, segue por (4) que d|k e d′|k − 1 para alguns d

e d’ positivos tais que dd′ = N − 1 e (d, d′) = 1. Agora, vamos supor um k′ = N − k.

Como 1 ≤ k ≤ N − 1, temos que k′ > 0. Com k′ = N − k ⇒ k′ = (N − 1) − (k − 1).

Desta forma, como d′|(N − 1) e d′|(k − 1), temos que d′|k′. Assim, temos que k = dm e

k′ = d′m′, para alguns m e m’ positivos. Desta forma, segue a equacao abaixo,

dm+ d′m′ = N = dd′ + 1 (5)

Agora, aplicando o Lema 3.2.1 em (5), teremos

k = d(d−1)d′ ; k′ = d′(d′−1)d

Porem, temos dd′ = N − 1, (d, d′) = 1 e m = (d−1)d′ e m′ = (d′−1)d. Entao, pelo

Lema 2.2.1, temos dm+ d′m′ = N . Portanto,

dm = N − d′m′ = (N − d′m′ −mm′) +mm′

e disso (dm)2 = (N − d′m′)2

= N2 − 2d′m′N + (d′m′)2

= N2 −Nd′m′ −Nd′m′ + (d′m′)2

= N2 −Nd′m′ − d′m′(dm+ d′m′) + (d′m′)2

= N2 −Nd′m′ − d′m′dm− (d′m′)2 + (d′m′)2

= N2 −Nd′m′ −mm′(N − 1)

= N2 −Nd′m′ −mm′N +mm′

= (N − d′m′ −mm′)N +mm′

Desta forma, temos o seguinte par de equacoes,

dm = k = (N − d′m′ −mm′) +mm′ mm′ < N

(dm)2 = k2 = (N − d′m′ −mm′)N +mm′

Assim, observamos que dm satisfaz (2) e (3) (com q = N − d′m′ −mm′ e

r = mm′), onde dm pertence a K(N). Caso substituısse dm por d’m’, encontraremos que

d’m’ pertence a K(N). Desta forma, falamos que por simetria, d’m’ pertecente a K(N).

O que acabamos de discutir e o seguinte teorema,

45

Teorema 3.2.1. K ∈ K(N) se, e somente se, k = d(d−1)(N−1)/d para algum divisor

unitario d de N-1.

Falamos que um numero natural a e um divisor unitario de b, se (a, ba) = 1. Por

exemplo, 5 e um divisor unitario de 60, pois (5, 12) = 1. Ja o 10 nao e divisor unitario de

60, ja que (10, 6) 6= 1.

Exemplo 3.2.3. Vamos fazer um exemplo para N = 102. Como iremos trabalhar com

N-1, temos que estudar os divisores de 99, D(99) = 1, 3, 9, 11, 33, 99. Assim, temos o 1 e

99 e o 9 e 11 como divisores unitarios. Por convencao ja adotada nesta secao, ja sabemos

que o 1 pertence ao conjunto K(N). Vamos analisar os outros numeros.

• d = 99,

k = d(d−1)(N−1/d) ⇒ k = 99.(99−1)99/99 = 99.(99−1)1

X = (99−1)1 ⇒ 99X ≡ 1(mod1) ⇒ X e qualquer numero inteiro positivo. Porem,

como k < N , temos que X so pode ser 1. Desta forma, k = 99.(99−1)1 = 99.1 = 99.

• d = 9,

k = d(d−1)(N−1/d) ⇒ k = 9.(9−1)99/9 = 9.(9−1)11

X = (9−1)11 ⇒ 9X ≡ 1(mod11) ⇒ Logo X e 5. Desta forma,

k = 9.(9−1)11 = 9.5 = 45.

• d = 11 Por simetria, temos que d = 9 e d′ = 11. Assim, dm = 45 e

d′m′ = N − dm = 100− 45 = 55.

Desta forma, 1, 45, 55, 99 ∈ K(102)

Assim, podemos encontrar os Numeros de Kaprekar por meio do Teorema 3.2.1.

3.3 A Constante de Kaprekar

O trabalho mais famoso de Kaprekar no mundo todo e a Constante de Kaprekar,

muito pela publicacao do Martin Gardner em sua coluna. Aqui no Brasil, a Constante de

Kaprekar vem aparecendo recentemente, alguns portais como Globo, Uol, Folha de Sao

Paulo e BBC vem publicando materias acerca da constante desde do ano passado. Na

vigesima nona edicao da Olimpıada de Matematica do Brasil, uma das questoes voltada

para o publico do oitavo e nono ano do Ensino Fundamental II era sobre a Constante

de Kaprekar. Assim, nos ultimos anos, com o crescimento da Matematica Recreativa, a

Constante de Kaprekar aparece com mais frequencia em nosso meio.

46

05. Em 1949 o matematico indiano D. R. Kaprekar, inventou um pro-cesso conhecido como Operacao de Kaprekar. Primeiramente escolhaum numero de quatro dıgitos (nao todos iguais), em seguida escreva adiferenca entre o maior e o menor numero que podem ser formados apartir de uma permutacao dos dıgitos do numero inicial. Repetindo oprocesso com cada numero assim obtido, obtemos uma sequencia. Porexemplo, se o primeiro numero for 2007, o segundo sera 7200 – 0027 =7173. O terceiro sera 7731 – 1377 = 6354.Comecando com o numero 1998, qual sera o 2007-esimo termo dasequencia?(XXIX Olimpıada Brasileira de Matematica. Segunda Fase. Nıvel 2.www.obm.org.br 2007)

Para conhecer como funciona a Constante de Kaprekar, devemos seguir as seguintes

instrucoes:

1o Escolha um numero qualquer inteiro positivo de quatro dıgitos, desde que possua

pelo menos dois dıgitos diferentes;

2o Em seguida, reorganize os dıgitos do numero escolhido em ordem decrescente e

subtraia da ordem crescente dos dıgitos;

3o Pegamos o resultado da subtracao e repetimos o procedimento anterior ate

encontrar uma constante.

Para facilitar o entendimento, vamos fazer o procedimento acima para o numero

1956.

1o passo e a escolha o numero de 4 dıgitos: 1956;

2o passo e reorganizar o numero em ordem decrescente, 9651. Depois em ordem

crescente, 1569. Apos isso, fazer a subtracao destes dois numeros, 9651 – 1569 = 8082.

3o passo, caso nao tenha chegado no numero 6174, e realizar o procedimento no-

vamente. Reorganizar em ordem decrescente, 8820, e na ordem crescente, 0288. E fazer

a subtracao, 8820 – 0288 = 8532.

Repetiremos novamente a instrucao 2. Reorganizamos na ordem decrescente, 8532,

e na ordem crescente, 2358. E fazer a subtracao, 8532 – 2358 = 6174.

Reorganizando na ordem decrescente, 7641, e na ordem crescente, 1467, e fazendo

a subtracao obteremos, 7641 – 1467 = 6174. Assim, observamos que chegamos ao numero

6174.

Agora vamos realizar o procedimento com o numero 8349, porem de forma mais

rapida e intuitiva:

9843− 3489 = 6354

6543− 3456 = 3087

8730− 0378 = 8352

8532− 2358 = 6174

7641− 1467 = 6174

Observamos que chegamos no mesmo numero que no exemplo anterior. Vamos

realizar agora com o numero 1993:

47

9931− 1399 = 8532

8532− 2358 = 6174

7641− 1467 = 6174

Os tres exemplos acima nos fizeram chegar no mesmo numero, 6174. E justa-

mente este numero que e conhecido como Constante de Kaprekar. Independentemente do

numero que se escolha, seguindo as instrucoes acima, sempre chegaremos na Constante de

Kaprekar, 6174. Esta descoberta foi feita por Kaprekar em 1946 e anunciada em 1949 na

conferencia nacional de Madras, na India, e posteriormente publicada no artigo Problemas

Envolvendo Reversao de Dıgitos, em 1953.

Uma das grandes duvidas acerca da Constante de Kaprekar e sobre a quantidade

de vezes que tenho que repetir as instrucoes. Em estudos feitos, chegaram a conclusao que

o numero maximo de vezes em que precisaremos repetir as instrucoes sao sete. A seguir,

mostraremos uma tabela 3.7 de Gomes e Malheiro na qual faz relacao entre quantidade

de numero de quatro dıgitos e quantas interacoes precisamos fazer.

Figura 3.7: Quantidade de interacoes e a frequencia dos numeros de quatro dıgitos

Fonte: GOMES, MALHEIROS 2011, p.2

Desta forma, podemos responder a questao da XXIX Olimpıada de Matematica.

Assim, depois de fazer 2007-esimo interacoes da Constante de Kaprekar, chegaremos ao

numero 6174. Ja que em no maximo 7 interacoes se chega a Constate.

Vale salientar que foi testado esses mesmos procedimentos para outras quantidades

de dıgitos. Foi verificado que com tres dıgitos, repetindo o mesmo procedimento acima,

chegaremos sempre no numero 495. Caso queira se aprofundar no estudo da Constante

de Kaprekar ou ate entender o porque de isto acontecer, sugiro o artigo de Oliveira (2013)

cujo o tıtulo e 6174: Um problema com numeros de quatro algarismos.

48

4 Aplicacao da Constante de Kapre-

kar na Educacao Basica

Neste capıtulo, apresentaremos os percursos de elaboracao do produto educacional

com base na Historia da Matematica e Matematica Recreativa. Alem disso, faremos a

descricao e indicacao da possıvel aplicacao do livreto de atividades por parte dos profes-

sores de matematica, e comentaremos sobre o processo de refinamento feito apos nossas

reflexoes.

4.1 A elaboracao do livreto

Apos o nosso estudo sobre como seria possıvel associar a Matematica Recreativa e

a Historia da Matematica para os estudos de conteudos do Ensino Fundamental II em sala

de aula, que foi aqui apresentado, desenvolvemos um livreto de atividades que contempla

essa dimensao. O objetivo desse produto educacional e oportunizar aos professores de

Matematica do Ensino Fundamental II uma forma de apresentar uma curiosidade ma-

tematica por meio da Historia da matematica, promover a interdisciplinaridade e agucar

o poder de investigacao dos estudantes. Destacamos que no ambito de alcance do profes-

sor de matematica, esperamos que este, de forma particular, amplie seus conhecimentos

sobre Matematica Recreativa e Historia da Matematica e, mais particularmente, sobre a

historia da India e o matematico indiano Kaprekar.

O livreto de atividades e composto basicamente por duas partes, uma dedicada

ao professor de matematica e outra por atividades voltadas aos estudantes do Ensino

Fundamental II que chamaremos de Revistinha sobre o numero magico. A parte

dedicada ao professor da uma visao resumida da pesquisa que foi feita nesta dissertacao

e que delineou a elaboracao das atividades para os estudantes, alem da indicacao de

materiais de consulta para que o professor possa enriquecer o seus conhecimentos sobre

a India. As atividades dedicadas aos estudantes, que compoem a Revistinha sobre o

numero magico, contem um texto (narrativa) e tarefas que emergiram a partir da nossa

visao sobre o uso da Historia da Matematica como terreno fertil para interdisciplinaridade

e o desenvolvimento de projetos de investigacao que mostre uma conexao entre a vida,

obra e o fazer matematico de uma personalidade que viveu em epoca anterior a nossa.

O trabalho que antecedeu a elaboracao do livreto de atividades, iniciou-se com um

49

estudo biografico sobre Kaprekar, que abrangeu aspectos da historia da India e vida e

obra desse matematico indiano. O contexto historico revelou que a India passava por um

momento de grandes mudancas polıticas no cenario mundial durante a vida de Kaprekar.

Isso delineou alguns questionamentos que foram propostos na Revistinha sobre o numero

magico como tarefas para os estudantes do Ensino Funadmetal II. A pesquisa sobre as

obras de Kaprekar, indicaram que este matematico dedicou parte de seus estudos em

descobrir relacoes e propriedades aritmeticas dos numeros naturais, como por exemplo, as

que foram apresentadas nessa dissertacao, a saber, os Numeros de Kaprekar e a Constante

de Kaprekar nas secoes 3.2 e 3.3, respectivamente.

Escolhemos a Constante de Kaprekar como o conteudo matematico a ser levados

para os alunos, pois acreditamos que esse tema e mais facilmente compreendido, pois

envolve apenas operacoes simples, como, por exemplo, subtracao de numeros naturais

com quatro dıgitos. E que pode ser levado a qualquer ano do Ensino Fundamental II,

diferentemente do conteudo de potenciacao que esta presente nos Numeros de Kaprekar.

Alem disso, consideramos que o assunto e divertido, desafiador e envolvente.

A Revistinha sobre o numero magico nao foi aplicada em uma turma do Ensino

Fundamental II, mas tivemos a oportunidade de apresentar parte de seu conteudo a uma

turma do curso noturno de Licenciatura em Matematica da UFRN que cursava a disciplina

de Teoria dos Numeros no semestre 2019.2. Isso ocorreu em forma de dois seminarios,

onde apresentamos e discutimos uma primeira versao do texto que introduz a vida do

matematico indiano Kaprekar e sua constante. Esses dois momentos foram importantes

para refinamento do texto e direcionamento para elaboracao das tarefas que compoem a

Revistinha sobre o numero magico.

Em um desses seminarios, levamos uma primeira versao do texto (uma narrativa

escrita pelo mestrando) ainda sem tıtulo e pedimos para que os estudantes de licenciatura

o lessem. Antes da leitura, informamos a esses estudantes o proposito daquele texto,

que seria o de levar para um aluno da Educacao Basica, particularmente para o Ensino

Fundamental II. Apos a leitura, fizemos uma discussao e coletamos algumas observacoes e

sugestoes, que esbocamos um pouco mais a frente. Antes, porem apresentamos, a seguir,

o texto que foi levado para discussao. O texto era provisorio e ainda nao tinha tıtulo,

segue o texto:

Numa pequena cidade no interior da India, morava o jovem menino chamado

Kaprekar. Quando pequeno, brincava muito com seus amigos na floresta da

cidade em que nasceu, Dahanu.Fazia trilha, tomava banho de cachoeira, en-

tre outras brincadeiras. Claro, que sempre acompanhado de um dos pais dos

amigos.

50

A noite, Kaprekar gostava de ficar com seu pai e observar o ceu. O pai de

Kaprekar era astronomo e ele tinha um telescopio e assim, o jovem garoto

passava a noite olhando as estrelas e os astros no ceu, principalmente a Lua,

seu astro favorito. Kaprekar, ao olhar o ceu pelo telescopio, fazia perguntas

bem interessantes para si mesmo. Qual a distancia da terra para lua? Quanto

tempo vive uma estrela? Quao maior e a terra em relacao a lua? Ou sera que

a lua e maior que a terra?

Como a maioria das respostas sobre os astros eram numeros, o jovem indiano

passou a gostar mais de matematica. Kaprekar passou a prestar mais atencao e

se dedicar mais nas aulas de matematica, na tentativa de encontrar e entender

as respostas para seus questionamentos.

Quando adolescente, no ensino medio, Kaprekar se divertia com os numeros.

Sempre desafiava os colegas de sala com jogos e magicas envolvendo ma-

tematica. Ate que um dia, investigando os numeros, descobriu algo muito

interessante. Ele pegou o numero 1993 e reorganizou em ordem decrescente

(9931) e subtraiu da ordem crescente (1399). Achou o numero 8532. Depois

fez o mesmo procedimento e achou o numero 6174. Repetiu o processo e achou

o mesmo numero que havia achado anteriormente, 6174. Curioso como era,

Kaprekar resolveu pegar outro numero e testar para ver o que acontecia. Re-

solveu pegar o numero 1995. Repetiu o processo anterior e encontrou o mesmo

numero, 6174.

Kaprekar ficou muito feliz com sua descoberta. Chegou em casa todo animado

e foi mostrar ao seu pai o que tinha desvendado. O pai do jovem indiano

escolheu novos numeros de quatro dıgitos e chegou ao numero 6174. Ele ficou

impressionado com a descoberta do filho. E chamou o numero 6174 de magico.

Encantado com o que acabou de descobrir, Kaprekar decidiu procurar alguem

que possa explicar para ele o porque de isto ocorrer. Entao, Kaprekar fez suas

malas, e resolveu ir para Mumbai, capital da India para poder encontrar alguem

que pudesse resolver o problema do numero magico 6174.

Ao chegar em Mumbai, observou que havia muito tumulto e um aglomerado

de pessoas. Percebeu ali que estava havendo uma revolucao na India. Sem

entender muito bem o que se passava, resolveu procurar alguem para falar sobre

seu numero magico. Ao observar ao redor, percebeu que havia um homem que

fala para uma multidao atenta a sua fala. Pensou logo que se tratava de uma

pessoa importante e inteligente e que poderia ajudar a desvendar o misterio do

tal numero magico.

51

Quando o senhor terminou de proferir suas palavras para a multidao, Ka-

prekar chegou perto dele e pediu ajuda, prontamente o senhor perguntou no

que ele poderia ajudar, o jovem indiano falou que buscava uma resposta para

o numero magico que havia descoberto. O senhor, muito prestativo, observou

os calculos que Kaprekar tinha feito no papel e falou para o jovem que nao

poderia ajudar por nao entender quase nada com os numeros. Foi aı que o

senhor se apresentou como Mahatman Gandhi, advogado e bom com as pala-

vras e oratoria, e nao com os numeros. Curioso, Kaprekar entao perguntou o

que tanto ele falava para toda aquela multidao. Gandhi respondeu que a India

vivia um perıodo de revolucao em busca da sua independencia e que o paıs

vivia em constante conflito. Entao Gandhi falava para o povo que devıamos

fazer a revolucao na forma mais pacıfica do mundo, sem luta armada, so com

a paz. Ao escutar aquilo, Kaprekar reconheceu que Gandhi era genial com as

palavras. Agradeceu a atencao que o senhor indiano teve com ele e resolveu

seguir em frente.

Kaprekar pareceu abatido por nao ter conseguido a resposta do seu numero

magico, mas nao desistiu e resolveu andar pela cidade em busca de outras

pessoas que podem o ajudar. Ate que ele achou uma escola enorme, chamada

FergussonCollege. Logo pensou que ali poderia ter alguem que entendessem de

numero e que poderia ajuda-lo a descobrir o misterio do numero 6174. Ao

entrar na escola, se deparou com um senhor bem vestido e de oculos. Logo

pensou que este homem poderia o ajudar. Chegou perto e perguntou quem

era o senhor. Ele falou que era Subramanyan Chandrasekhar, ganhador do

premio Nobel da fısica de 1983. Sem muito conhecimento, Kaprekar perguntou

a Chandrasekhar o que seria premio Nobel. Ele tratou logo de explicar que se

tratava do maior premio da ciencia no mundo. Que todo ano eles premiam os

maiores cientistas por suas contribuicoes para com a sociedade. Impressionado

com tamanha homenagem que o senhor indiano ganhou, Kaprekar nao pensou

duas vezes, ele poderia ajudar a desvendar o misterio do tal numero magico.

Agora, apresentaremos algumas observacoes e comentarios feitos pelos estudantes

de Licenciatura em Matematica:

• Uma observacao foi que o texto estava muito extenso e isso seria um ponto negativo

a aplicacao em sala de aula.

• Na narrativa, Kaprekar encontra em um unico dia duas figuras importantes da

India, Gandhi e Subramanyan Chandrasekhar, e os estudantes indagaram sobre a

possibilidade disso acontecer a um menino na vida real.

• Alguns estudantes se manifestaram dizendo que o texto era divertido ate a apre-

sentacao da Constante de Kaprekar e que depois ficou chato. Isso colabora com a

nossa visao sobre Matematica Recreativa.

52

• Vimos que alguns estudantes testaram outros numeros para verificar a propriedade

que foi descoberta por Kaprekar. E alguns fizeram questionamentos sobre a cons-

tante de Kaprekar, esses questionamentos serao apresentados na proxima secao.

Depois, de nossas reflexoes feitas a luz da nossa pesquisa e das consideracoes dos

estudantes, reelaboramos o nosso texto, e escolhemos um tıtulo, que ficou assim:

KAPREKAR E MAGICA DO NUMERO 6174

Numa pequena cidade no interior da India, morava o jovem menino chamado

Kaprekar. Quando pequeno, durante o dia, se reunia com os amigos e brincava

pelas ruas da cidade e pela floresta que tinha perto da sua casa. A noite,

Kaprekar gostava de ficar com seu pai e observar o ceu. O pai de Kaprekar

era astronomo e ele tinha um telescopio e assim, o jovem garoto passava a

noite olhando as estrelas e os astros no ceu, principalmente a Lua, seu astro

favorito.

Kaprekar, ao olhar o ceu pelo telescopio, fazia perguntas bem intrigantes para

si mesmo. Qual a distancia da terra para lua? Quanto tempo vive uma estrela?

Sera que a lua e maior que a terra?

Como a maioria das respostas sobre os astros era numeros, o jovem indiano

passou a gostar mais de matematica. Kaprekar passou a prestar mais atencao e

se dedicar mais nas aulas de matematica, na tentativa de encontrar e entender

as respostas para seus questionamentos.

Fascinado pelos numeros e pela matematica, Kaprekar passou a conhecer jogos

envolvendo a matematica, o cubo magico, Torre de Hanoı, sudoku e magicas

matematicas. Mas o que chamou a sua atencao foi o numero magico 6174.

Por exemplo, pegando o numero 1993 e reorganizando em ordem decrescente

(9931) e subtrair da ordem crescente (1399), achamos o numero 8532. De-

pois fazemos o mesmo procedimento e achamos o numero 6174. Repetimos

o processo e achamos o mesmo numero que havıamos achado anteriormente,

6174. Assim, se fizermos esse joguinho com numeros de quatro dıgitos teremos

sempre o numero 6174, exceto se escolhermos o numero com todos os dıgitos

iguais.

Gracas a este numero magico, Kaprekar ficou conhecido em toda a escola e

posteriormente em toda cidade. Seu pai chegou a brincar com Kaprekar falando

que ele ia ser famoso igual a Mahatmam Gandhi ou ate ganhar um premio

Nobel. Sem saber quem era Gandhi, Kaprekar pergunta quem e? Seu pai

responde que e um famoso indiano que luta pela paz do mundo e pelo povo

indiano.

53

Feliz pela comparacao, Kaprekar resolve estudar mais ainda para ser reconhe-

cido como Gandhi. Seus estudos fizeram que Kaprekar se tornasse o professor

de matematica mais famoso da cidade, suas aulas eram as mais divertidas e

apaixonantes que ja existiu. Tudo isso, porque quando crianca gostava das

magicas e jogos matematicos.

No segundo seminario, foi dedicado aos Numeros de Kaprekar. Como esses estudantes

estavam cursando a disciplina de teoria dos numeros e ja haviam estudado o conteudo

de congruencias, apresentamos os resultados discutidos na secao 3.2 desta dissertacao.

Durante e apos nossa apresentacao varios questionamentos por parte dos estudantes foram

sendo colocados. Juntamos a esses, alguns dos nossos proprios questionamentos acerca

do tema e apresentaremos na proxima secao.

4.2 Questionamentos sobre o Numero e a Constante

de Kaprekar

Nesta secao, apresentamos alguns questionamentos feito pelos estudantes de Licen-

ciatura (na apresentacao do segundo seminario) e alguns feitos por nos mesmos. Fizemos

pesquisas em artigos e em sites em busca das respostas a esses questionamentos. Para

aqueles que encontramos respostas, nos a apresentamos a seguir ou entao indicaremos os

sites para consultas e aprofundamentos no topico. Para algumas perguntas, nao encon-

tramos respostas em nossa pesquisa, isso imediatamente nos revela dois pontos, ainda

ha muito a ser pesquisado e descoberto pelos estudiosos dos Numeros e Constante de

Kaprekar e muito a ser estudado por nos que gostamos de matematica.

Seguem os questionamentos:

• Quantas interacoes no maximo precisamos fazer para chegar na Constante

de Kaprekar?

Sao no maximo 7 interacoes. Na secao 3.3, na figura 3.7, mostra uma tabela com a

quantidade maxima de interacoes;

• Todo Numero de Kaprekar e ımpar?

Nao, 2728 e um numero de Kaprekar par.

2728, 27282 = 7.441.984, 744 + 1.984 = 2728

• Existem numeros primos que sejam de Kaprekar?

Sim, o numero 1.111.111.111.111.111.111 e um numero de kaprekar primo que foi di-

vulgado por R. Gerbicz em https://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_837.

htm

54

• Como saber qual o proximo Numero de Kaprekar?

O artigo Some Properties of the Kaprekar Numbers and a Means of Generation

de Colin G Black (http://www.scienceasia.org/2001.27.n2/v27_133_136.pdf)

descreve um metodo de implementacao para gerar numeros inteiros de Kaprekar,

usando o pacote de software de algebra computacional: Mathcad.

• O numero 1 pode ser considerado Numero de Kaprekar?

Sim. No inıcio da secao 3.2, relatamos que o numero 1 e um Numero de Kaprekar.

• Qual a forma correta de desmembrar o quadrado de um numero para

depois fazer a adicao (de acordo com a definicao de Numeros de Kaprekar

apresentada na secao 3.2)?

Sem usar um recurso computacional, seria por inspecao.

• Os Numeros de Kaprekar so funciona para a base 10?

Sim. Pois a definicao de Numero de Kaprekar e na base 10. Porem, no artigo do

Iannucci (2000), ele traz outras bases, como a binaria, que possui compartamento

semelhante com a dos Numero de kaprekar.

• Qual a utilidade dos estudos Kaprekar na matematica ou em outro campo

da ciencia?

Apontamos os aspectos indicados Bartlova (2016) que discutimos na secao 2.1, que

sao o aspecto cientıfico-popular, o aspecto do divertimento, o aspecto pedagogico e

o aspecto historico na qual os estudos de Kaprekar podem ser inseridos.

• Como os Numeros de Kaprekar podem ser usados na matematica da

Educacao Basica?

Uma resposta para isso vem diretamente de um dos objetivos dessa dissertacao, que

e a elaboracao de um produto educacional. Entao, para ver um exemplo de como os

Numeros de Kaprekar podem ser usados na matematica da Educacao Basica, veja

o nosso produto educacional elaborado, explorando a Constante de Kaprekar.

• Quantos numeros n-kaprekar existem entre 1 e 100?

Existem 5 numeros n-kaprekar entre 1 e 100. Sao 1, 9, 45, 55 e 99. Como a

quantidade de numeros entre 1 e 100 e finita e em quantidade relativamente pequena,

podemos fazer as contas de acordo com o teorema 3.2.1. ou basta olhar para uma

das tabela dos Numeros de Kaprekar que ja se encontra elaborada e divulgada na

internet por varias pessoas. Uma dessas tabelas se encontra em https://oeis.

org/A006886/b006886.txt os 51.514 primeiros Numeros de Kaprekar.

• Observe os valores nos conjuntos abaixo: K(10)=1, 9, K(5)=1, 4, K(3)=1,

2. Pode-se afirmar que K(N)=1, (N-1)?

55

Nao. Ja que K(100) = 1, 45, 55, 99. Porem, observamos que 1 e N-1 pertecem a

K(N).

• Para encontrar o conjunto K(N) e necessario sempre ir atribuindo valores

ou existe uma maneira mais rapida?

Basta usar o teorema 3.2.1. para poder encontrar Numeros de Kaprekar sem ser

por tentativa.

• Dado um numero natural k, caso elevar a 3, e possıvel obter um Numero

de Kaprekar?

O artigo de Ianucci publicado no Journal of Integer Sequences , Vol. 8 (2005),

(https://cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/VOL8/Iannucci/iannucci45.pdf) apre-

senta as chamadas triplas de Kaprekar.

8, 83 = 512, 5 + 1 + 2 = 8

45, 453 = 91.125 9 + 11 + 25 = 45

297, 2973 = 26.198.073 26 + 198 + 073 = 297

• Existe alguma nomenclatura para os elementos q e r da definicao?

Nao encontramos nos artigos que pesquisamos.

• Existe outra maneira de descobrir se um numero pode ser escrito da

forma de Kaprekar?

Sim. Basta usar a escrita do teorema 3.2.1. para base 10.

• O conjunto K(N) e tambem um conjunto de Numeros de Kaprekar?

So se for N na base 10.

• Porque os Numeros de Kaprekar tem que ser com k maior ou igual 1, ou

seja, porque nao e valido para os numeros negativos?

O zero nao pode ser por convencao adotada no inıcio da secao 3.2. E nao podem ser

negativos, pois ao elevar ao quadrado, obterei numeros positivos e posteriormente

nao conseguirei chegar no numero inicial que era negativo.

• Qual a relacao K(N) e divisores unitarios?

Isso pode ser visto na demonstracao do teorema 3.2.1.

• Existe alguma forma de definicao analoga ao Numeros de kaprekar para

numeros racionais nao inteiros?

Nao foi encontrado nenhum trabalho a respeito dos numeros racionais nao inteiro

com comportamento semelhante ao de Kaprekar.

56

5 CONSIDERACOES FINAIS

O presente trabalho teve como objetivo a utilizacao da Matematica Recreativa e

da Historia da Matematica no ambiente escolar. Inicialmente, fizemos um levantamento

das definicoes de Matematica Recreativa e trouxemos a discussao sobre seu uso em sala

de aula. Falamos de exemplos ao longo da historia para mostrar que a Matematica

Recreativa sempre esteve presente na construcao da matematica que conhecemos hoje

em dia. Para dar exemplos, falamos sobre duas grandes personalidades da Matematica

Recreativa, Martin Gardner e Malba Tahan. Falamos sobre suas vidas e apresentamos

algumas de suas obras para a Matematica Recreativa. Obras essas que podem fazer parte

do dia a dia escolar.

Como forma de exemplificar a Matematica Recreativa em sala de aula, resolvemos

falar sobre a matematica descoberta por Kaprekar. Matematico pouco conhecido aqui no

Brasil. Para explorar Kaprekar, usamos como base o livro do Chaquiam e Mendes (2016),

que nos mostra como abordar a historia de um personagem matematico para uso em sala

de aula.

A matematica de Kaprekar que aprofundamos foram os Numeros e a Constante

de Kaprekar. Para os numeros, resolvemos enfatizar o artigo do Iannucci (2000), na qual

traz uma forma generica de encontrar os numeros de Kaprekar sem ser por tentativa

e aborda a aritmetica, uma das displina do PROFMAT. Ja em relacao a Constante de

Kaprekar, apresentamos as suas caracterısticas e elaboramos um produto educacional para

ser abordado em sala de aula com os alunos pelo professor de matematica.

Alem destas explanacoes, fizemos sugestoes de aprofundamento de alguns assuntos

aqui abordados. Como por exemplo, a Matematica Recreativa ao longo da historia com a

Bartlova (2016) na secao 2.1.1 e o artigo do Oliveira (2013), na secao 3.3, na qual sugerimos

para quem quer aprofundar na Constante de Kaprekar, assim como nos aprofundamentos

nos Numeros de Kaprekar atraves do artigo do Iannucci (2000) na secao 3.2. Na secao 4.1

deixamos varias sugestoes para se iniciar estudos futuros, alguns com referencias e outros

nao.

57

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62

63

APÊNDICE A

Tarefas que compõem a Revistinha sobre o número mágico, parte do

produto educacional, voltado para aplicação por parte dos professores de

matemática e seus alunos do Ensino Fundamental.

KAPREKAR E MÁGICA DO NÚMERO 6174

Autor: Arthur Henrique da Silva

Numa pequena cidade no interior da Índia, morava o jovem menino chamado


pelas ruas da cidade e pela floresta que tinha perto da sua casa. À noite, Kaprekar

gostava de ficar com seu pai e observar o céu. O pai de Kaprekar era astrônomo e

ele tinha um telescópio e assim, o jovem garoto passava a noite olhando as estrelas

e os astros no céu, principalmente a Lua, seu astro favorito.

Kaprekar, ao olhar o céu pelo telescópio, fazia perguntas bem intrigantes

para si mesmo. Qual a distância da terra para lua? Quanto tempo vive uma estrela?

Será que a lua é maior que a terra?

Como a maioria das respostas sobre os astros era números, o jovem indiano

passou a gostar mais de matemática. Kaprekar passou a prestar mais atenção e se

dedicar mais nas aulas de matemática, na tentativa de encontrar e entender as

respostas para seus questionamentos.

64

Fascinado pelos números e pela matemática, Kaprekar passou a conhecer

jogos envolvendo a matemática, o cubo mágico, Torre de Hanoí, sudoku e mágicas

matemáticas. Mas o que chamou a sua atenção foi o número mágico 6174.

Por exemplo, pegando o número 1993 e reorganizando em ordem

decrescente (9931) e subtrair da ordem crescente (1399), achamos o número 8532.

Depois fazemos o mesmo procedimento e achamos o número 6174. Repetimos o

processo e achamos o mesmo número que havíamos achado anteriormente, 6174.

Assim, se fizermos esse joguinho com números de quatro dígitos teremos sempre o

número 6174, exceto se escolhermos o número com todos os dígitos iguais.

Graças a este número mágico, Kaprekar ficou conhecido em toda a escola e

posteriormente em toda cidade. Seu pai chegou a brincar com Kaprekar falando que

ele ia ser famoso igual a Mahatmam Gandhi ou até ganhar um prêmio Nobel. Sem

saber quem era Gandhi, Kaprekar pergunta quem é? Seu pai responde que é um

famoso indiano que luta pela paz do mundo e pelo povo indiano.

Feliz pela comparação, Kaprekar resolve estudar mais ainda para ser

reconhecido como Gandhi. Seus estudos fizeram que Kaprekar se tornasse o

professor de matemática mais famoso da cidade, suas aulas eram as mais divertidas

e apaixonantes que já existiu. Tudo isso, porque quando criança gostava das

mágicas e jogos matemáticos.

65

ATIVIDADES

Em que continente fica a Índia? O que você sabe sobre este país? Pinte de verde o seu país e de vermelho a Índia. ______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

__________________________________________

66

Quais as respostas para as três perguntas que Kaprekar fez ao olhar pelo telescópio?

Escolha um número qualquer de quatro dígitos, desde que não tenha todos os dígitos iguais, e faça a mágica 6174 no esquema feito a seguir. OBS: Não pode usar os exemplos da história.

Coloque aqui o número escolhido:

(Dígitos em ordem decrescente) (Dígitos em ordem crescente) (Número encontrado)




Caso não tenha chegado ao número 6174, continue os cálculos no espaço da página seguir.

68

O que é o prêmio Nobel? Conhece algum dos ganhadores? ______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

______________________________________________________________

Você já tinha ouvido falar em Mahatmam Gandhi? Faça uma pesquisa e escreva um pouco mais sobre ele.

___________________________________

___________________________________

___________________________________

_______________________________________

___________________________________

___________________________________

___________________________________

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Conte para os seus familiares as suas descobertas sobre a Índia, Kaprekar e sua constante.


Gabriela Lucheze de Oliveira Lopes

Uso da Constante deKaprekar

no Ensino Fundamental II

Natal-RN

2020

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Uso da constante de Kaprekar no ensino fundamental II ________________________________________________________________________________________________________________________________________

Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro de Ciências Exatas e da Terra - Departamento de Matemática

PROFMAT - Mestrado Profissional em Matemática em Rede Nacional


Gabriela Lucheze de Oliveira Lopes

Uso da constante de Kaprekar no Ensino Fundamental II

Natal – RN

2020

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SUMÁRIO

Apresentação................................................................................... 4

Introdução......................................................................................... 5

Orientação ao professor................................................................... 6

Proposta de atividades..................................................................... 8

Objetivos

Materiais

Kaprekar e a Mágica do Número 6174 ............................................ 9

Sugestões de materiais..................................................................... 16

Considerações finais......................................................................... 17

Referências....................................................................................... 18

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Apresentação

Caro(a) professor(a),

esse livreto é fruto de uma dissertação de Mestrado

Profissional em Matemática em Rede Nacional (PROFMAT), da

Universidade Federal do Rio Grande do Norte, que teve como

tema central o uso da Matemática Recreativa e a História da

Matemática nas aulas de matemática no Ensino Fundamental

II. O assunto matemático escolhido como condutor foi a

constante de Kaprekar.

As atividades contidas nesse material, que foram

elaboradas para o uso em sala de aula, incluem um texto que

introduz o matemático indiano Kaprekar e tarefas para serem

realizadas com os alunos que envolvem perspectivas da

Matemática Recreativa e da história da Índia.

Ao término da atividade para sala de aula, trazemos

uma lista contendo sugestões de filmes que retratam a Índia

daquela época e de links que podem subsidiar as discussões em

sala e ajudar na elaboração de outras atividades.

Arthur e Gabriela

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Introdução

Ao longo dos anos, a matemática sempre foi, na maioria das vezes, a

disciplina em que os alunos apresentavam maior dificuldade. A

pesquisadora Sadovsky (2007, p.15 apud FRANÇA; SANTOS; SANTOS, 2007,

p.13) relata que o baixo desempenho na matemática não é somente no Brasil, é um

problema de ordem mundial. E segundo França, Santos e Santos (2007 p.31) “O

que se observa na maioria das escolas de Ensino Fundamental e Ensino Médio é o

alto índice de reprovação e de alunos com sérias dificuldades para compreender a

matemática, muitas vezes, demonstram desinteresse pela disciplina.” Logo, a

matemática é vista, por maior parte dos estudantes, como uma disciplina em que o

aprendizado apresenta uma série de dificuldades. Então, para contrapor esta

dificuldade de ensino, a Matemática Recreativa pode ter papel fundamental.

Uma das grandes discussões sobre a Matemática Recreativa é sobre o seu

uso em sala de aula. Algumas pessoas tem uma certa desconfiança em relação a

essa utilização, porém, acreditamos que a Matemática Recreativa pode ter um papel

pedagógico muito importante no processo de ensino e aprendizagem na Educação

Básica. Utilizar a Matemática Recreativa para prender a atenção do aluno para o

que será ensinado pode ser uma alternativa, ou então, introduzir um assunto ou até

mesmo explicar um teorema de forma mais divertida e alegre pode fazer o aluno

entenda melhor e até mudar um pouco sua visão do que seja a matemática. No

entanto, a utilizaremos aqui na intensão de despertar a curiosidade dos alunos para

uma propriedade interessante sobre alguns números de quatro algarismos. E

acreditamos que com a descoberta dessa propriedade eles poderão ser instigados a

buscar novas indagações, contribuindo assim para o crescimento de um espírito

investigativo. Ribeiro compartilha da mesma ideia quando diz que

A procura da solução de um problema nem sempre exige um grande

conhecimento de matemática. É nesse momento que a recreação atrai a

curiosidade dos que não se interessam pela matéria e os convida à prática

do raciocínio lógico-dedutivo e consequentemente ao estudo da disciplina.

(RIBEIRO, 2018, p.11)

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A Matemática Recreativa teve papel importante durante a história e na

construção de grandes teorias matemáticas. E cada vez mais, hoje em dia, é preciso

que ela se faça presente nas salas de aula para que a visão de uma matemática

dura, sistemática e as vezes que não serve para o dia a dia das pessoas seja aos

poucos descontruída. Bartlová (2016) deixa isso bem claro quando diz que “a

matemática recreativa sempre desempenhou um papel muito importante na história

da matemática e foi responsável pela origem de teorias e conceitos matemáticos

importantes que não existiriam sem ela.”

Com a educação cada vez mais dinamizada, utilizando como, por exemplo,

jogos, dinâmicas e tecnologias, a busca por alternativas de ensino para a sala de

aula de modo que o aluno seja peça atuante na busca pelo conhecimento é bastante

importante. A utilização da história da matemática como recurso pedagógico no

processo de ensino e aprendizagem dos alunos, principalmente da educação básica,

é uma excelente alternativa para que o professor possa introduzir os conteúdos

matemáticos em sala de aula. Oliveira, Oliveira e Vaz (2014) pontuam que “O uso

dos fatos históricos na sala de aula proporciona um melhor entendimento dos alunos

no que diz respeito à dimensão histórica dos assuntos envolvidos, despertando

assim o interesse dos alunos, motivando-os ainda mais a buscar o conhecimento.”

Desta forma, o uso da história da matemática como recurso didático pode ser uma

boa alternativa para prender a atenção do aluno e fugir um pouco daquela aula mais

tradicional, com fórmulas e algoritmos no quadro. Desta forma, o ensino com uso da

História da Matemática não é só benéfico à aprendizagem da matemática, ele

propõe uma interdisciplinaridade e aguça o poder de investigação e senso crítico do

aluno. Gasperi e Pacheco (2007) alarga essa discussão afirmando que “Estudar a

História da Matemática permite que o professor tenha uma visão mais ampla e

contextualizada de sua disciplina interligando a matemática com outras disciplinas,

respeitando suas especialidades”, o que nos diz que o professor também é será

beneficiado quando estuda a História da Matemática.

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Orientação ao professor

É importante que você, professor, amplie seus conhecimentos sobre a história da Índia

e seus costumes de modo a poder orientar uma discussão em sala de aula. Os livretos para os

alunos contendo o texto e as tarefas devem ser entregues aos alunos da sala, de forma

individual, duplas ou trios, vai depender da quantidade de livretos que estará à disposição.

Com o material em mãos, os alunos devem ser orientados a fazer a leitura. Após a leitura de

todos, abre-se um tempo para discutir o que eles acharam do texto e explanar algumas dúvidas

que possam ter aparecido durante a leitura. Após a leitura, os alunos devem começar a

resolver os exercícios. Como algumas atividades exigem pesquisa, o ideal seria a atividade ser

realizada em um laboratório com computadores. Caso a escola não disponha de laboratórios

com computadores, utilizar alguma sala com projetor multimídia ou um projetor multimídia

móvel e realizar as pesquisas em sala de aula. Após dar um tempo para resolver as questões,

abre-se um espaço para discutir os resultados encontrados e uma avaliação da atividade

desenvolvida.

Para auxiliar os alunos e os professores em relação à pesquisa, na seção de sugestões

de materiais, possui links falando um pouco sobre o que está sendo abordado neste livreto.

Caso o professor queira se ambientar e ambientar os alunos, passar alguns dos filmes

sugeridos nas sugestões seria bastante proveitoso na hora da atividade.

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Proposta de atividades

As atividades dedicadas aos estudantes que, compõem a Revistinha sobre o número

mágico, contêm um texto (narrativa) e tarefas que emergiram a partir da nossa visão sobre o

uso da História da Matemática como terreno fértil para interdisciplinaridade e o

desenvolvimento de projetos de investigação que mostre uma conexão entre a vida, obra e o

fazer matemático de uma personalidade que viveu em época anterior a nossa.

Objetivos

• Utilização da História da Matemática com a Matemática Recreativa;

• Promover a interdisciplinaridade;

• Aguçar o raciocínio lógico e o poder de investigação dos alunos;

Materiais

• Revistinha sobre o número mágico impressa;

• Quadro Branco e pincel para quadro branco;

• Projetor multimídia;

• Computador;

• Lápis grafite e de cor, de preferência verde e vermelho.

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KAPREKAR E MÁGICA DO NÚMERO 6174 Autor: Arthur Henrique da Silva

Numa pequena cidade no interior da Índia, morava o jovem menino chamado


pelas ruas da cidade e pela floresta que tinha perto da sua casa. À noite, Kaprekar

gostava de ficar com seu pai e observar o céu. O pai de Kaprekar era astrônomo e

ele tinha um telescópio e assim, o jovem garoto passava a noite olhando as estrelas

e os astros no céu, principalmente a Lua, seu astro favorito.

Kaprekar, ao olhar o céu pelo telescópio, fazia perguntas bem intrigantes

para si mesmo. Qual a distância da terra para lua? Quanto tempo vive uma estrela?

Será que a lua é maior que a terra?

Como a maioria das respostas sobre os astros era números, o jovem indiano

passou a gostar mais de matemática. Kaprekar passou a prestar mais atenção e se

dedicar mais nas aulas de matemática, na tentativa de encontrar e entender as

respostas para seus questionamentos.

Fascinado pelos números e pela matemática, Kaprekar passou a conhecer

jogos envolvendo a matemática, o cubo mágico, Torre de Hanoí, sudoku e mágicas

matemáticas. Mas o que chamou a sua atenção foi o número mágico 6174.

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Por exemplo, pegando o número 1993 e reorganizando em ordem

decrescente (9931) e subtrair da ordem crescente (1399), achamos o número 8532.

Depois fazemos o mesmo procedimento e achamos o número 6174. Repetimos o

processo e achamos o mesmo número que havíamos achado anteriormente, 6174.

Assim, se fizermos esse joguinho com números de quatro dígitos teremos sempre o

número 6174, exceto se escolhermos o número com todos os dígitos iguais.

Graças a este número mágico, Kaprekar ficou conhecido em toda a escola e

posteriormente em toda cidade. Seu pai chegou a brincar com Kaprekar falando que

ele ia ser famoso igual a Mahatmam Gandhi ou até ganhar um prêmio Nobel. Sem

saber quem era Gandhi, Kaprekar pergunta quem é? Seu pai responde que é um

famoso indiano que luta pela paz do mundo e pelo povo indiano.

Feliz pela comparação, Kaprekar resolve estudar mais ainda para ser

reconhecido como Gandhi. Seus estudos fizeram que Kaprekar se tornasse o

professor de matemática mais famoso da cidade, suas aulas eram as mais divertidas

e apaixonantes que já existiu. Tudo isso, porque quando criança gostava das

mágicas e jogos matemáticos.

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ATIVIDADES

• Em que continente fica a Índia? O que você sabe sobre este país?

Pinte de verde o seu país e de vermelho a Índia.

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• Quais as respostas para as três perguntas que Kaprekar fez ao olhar pelo

telescópio?

• Escolha um número qualquer de quatro dígitos, desde que não tenha todos os

dígitos iguais, e faça a mágica 6174 no esquema feito a seguir. OBS: Não

pode usar os exemplos da história.

Coloque aqui o número escolhido:





Caso não tenha chegado ao número 6174, continue os cálculos no espaço da página seguir.

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O que é o prêmio Nobel? Conhece algum dos ganhadores?

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Você já tinha ouvido falar em Mahatmam

Gandhi? Faça uma pesquisa e escreva um

pouco mais sobre ele.

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Conte para os seus familiares as suas descobertas sobre a Índia, Kaprekar e

sua constante.

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Sugestões de materiais

Filmes:

Gandhi, dirigido por Richard Attenborough de 1983:

O filme conta a vida de Gandhi. Ótimo filme para entender um pouco sobre esta pernalidade

mundial e entender um pouco sobre a Índia.

O homem que viu o infinito, dirigido por Matthew Brown de 2016:

O filme conta a vida do matemático indiano Rmanajuam. Desde suas descobertas matemáticas

na Índia até sua ida á Inglaterra. Ótimo filme para fazer o paralelo à vida do matemático

indiano Kaprekar.

O último vice-rei, dirigido por Gurinder Chadha de 2017:

O filme se passa no meio do século XX e conta o processo de independência da Índia e os

conflitos religiosos. Ótimo filme para compreender um pouco da história da Índia.

Sites:

Biografia de Gandhi: https://www.ebiografia.com/mahatma_ghandi/

Biografia de Kaprekar: http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kaprekar.html

Curiosidade do prêmio Nobel: https://brasilescola.uol.com.br/curiosidades/premio-nobel.htm

História da Índia: https://brasilescola.uol.com.br/historia/india-antiga.htm

Pontos turísticos da Índia: http://tudoindia.com.br/pontos-turisticos-da-india/

Para a produção deste livreto utilizamos o site de figuras grátis: https://pixabay.com/pt/

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Considerações finais aos professores de matemática

Consideramos que este livreto pode ser um meio pelo qual você, professor de

matemática, pode levar conteúdos matemáticos para a sala de aula abordando a Matemática

Recreativa associada a História da Matemática. Além disso, destacamos que consultando a

sugestão de materiais que deixamos neste texto, você pode ampliar seus conhecimentos sobre

Matemática Recreativa, História da Matemática e, mais particularmente, sobre a história da

Índia e o matemático indiano Kaprekar.

Enfatizamos que nossa escolha por abordar a história da Matemática se baseia,

principalmente, na vertente que com o seu uso proporcionamos um terreno fértil para

promover a interdisciplinaridade e aguçar o poder de investigação dos estudantes. A

Matemática Recreativa pode desempenhar um papel importante na sala de aula, despertando o

interesse dos alunos em aprender matemática, além de servir para que a visão de que a

matemática é dura, sistemática e as vezes que não serve para o dia a dia das pessoas seja aos

poucos desconstruída.

Desejamos que você, professor, faça mais investigações e que se inspire neste livreto

para elaborar outras tarefas e desafios para os seus alunos.

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Referências

• BARTLOVÁ, Tereza. History and current state of recreational mathematics and

its relation to serious mathematics. 2016. 148f. Tese (Doutarado em

matemática). Departamento de ánalise matemática. Universidade Charles em

Praga. 2016.

• FRANÇA, Kleber Vieira; SANTOS, Josiel Almeida; SANTOS, Lúcia S. B. dos.

Dificuldades na Aprendizagem de Matemática. 2007. 41f. Trabalho de

Conclusão de Curso (Matemática). Centro Universitário Adventista de São Paulo

Campus São Paulo. 2007.

• GASPERI W. N. H. de; PACHECO, E. R. A história da matemática como

instrumento para a interdisciplinaridade na Educação Básica. PDE: Programa

de Desenvolvimento Educacional da Secretaria da Educação do Estado do Paraná.

2007.

• O'CONNOR, JJ. ROBERTSON, EF. Dattatreya Ramachandra Kaprekar. 2007.

Disponível em: http://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Kaprekar.html.

Acesso em 05 de março de 2020.

• OLIVEIRA, Vanessa Castro de; OLIVEIRA, Cristiano Peres; VAZ, Francieli

Aparecida. A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA E O PROCESSO DE ENSINO

APRENDIZAGEM. XX EREMAT - Encontro Regional de Estudantes de Matemática

da Região Sul Fundação Universidade Federal do Pampa (UNIPAMPA), Bagé/RS,

Brasil. 13-16 nov. 2014.

• RIBEIRO, Bruno da Silva. Matemática Recreativa: Uma Experiência Baseada

em Clubes. 2018. 58f. Dissertação (Mestrado Profissional em Matemática).

PROFMAT. Colégio Pedro II. 2018.

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Departamento de Matemática

PROFMAT Mestrado Profissional em Rede Nacional

matem atica recreativa de kaprekar na educac˘ao b~ asica

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