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Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios
MA093 – Matematica basica 2Angulo entre retas. Circunferencia e cırculo
Francisco A. M. Gomes
UNICAMP - IMECC
Novembro de 2018
Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios
Topicos importantes
O objetivo dessa aula e investigar
1 angulos entre retas;
2 circunferencias e cırculos.
Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios
Angulo entre duas retas
Definicao
Dadas duas retas nao verticais r e s, tais que r e s nao saoperpendiculares, o angulo agudo θ formado entre elas satisfaz
tan(θ) =
∣∣∣∣ ms −mr
1 + mr ·ms
∣∣∣∣ .θ = 180◦ − αr − (180◦ − αs)
θ = αs − αr
tan(θ) =tan(αs)− tan(αr )
1 + tan(αs)tan(αr )
Logo, para θ agudo:
tan(θ) =
∣∣∣∣ ms −mr
1 + mr ·ms
∣∣∣∣
Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios
Exemplo 1
Problema
As arestas de um triangulo acutangulo estao sobre as retas
r : y = −2x + 2, s : y = 3x − 6 e t : y =x
3+ 2.
Encontre o angulo interno entre as arestas sobre r e s.
1 mr = −2 e ms = 3
2 tan(θ) =
∣∣∣∣ 3− (−2)
1 + (−2) · 3
∣∣∣∣ =
∣∣∣∣ 5
−5
∣∣∣∣ = 1
3 θ = arctan(1) = 45◦
Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios
Circunferencia
Definicao
Em um plano cartesiano, uma circunferencia e o conjunto depontos do plano que estao a uma mesma distancia r , o raio,de um ponto O(x0, y0), denominado centro.
A circunferencia e a curva verde
O raio esta em vermelho
O(x0, y0) e o centro
Todos os pontos da curva estaoa distancia r do ponto O
Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios
Equacao da circunferencia
Equacao
A equacao da circunferencia de raio r centrada em O(x0, y0) e
(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2
Demonstracao:
A distancia entre um ponto (x , y) da circunferencia e o centroO(x0, y0) e √
(x − x0)2 + (y − y0)2
Exigindo que essa distancia seja igual ao raio, obtemos√(x − x0)2 + (y − y0)2 = r
Elevando os 2 lados ao quadrado, chegamos a equacao acima.
Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios
Exemplo 2
Problema
Determine a equacao da circunferencia de raio 3 e centro em(2,−1)
Nesse caso, temos
r = 3, x0 = 2, y0 = −1.
Logo, a equacao e
(x − x0)2 + (y − y0)2 = r2
(x − 2)2 + (y − (−1))2 = 32
(x − 2)2 + (y + 1)2 = 9
Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios
Exemplo 3
Problema
Trace o grafico da circunferencia definida por
(x − 1)2 + (y − 3)2 = 16
A circunferencia temcentro em O(1, 3)
O raio mede√
16 = 4
Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios
Exemplo 4
Problema
Determine a equacao da circunferencia que tem centro emO(−3, 4) e passa pelo ponto P(1, 7)
como o ponto P esta sobre a circunferencia, temos:
[1−(−3)]2+[7−4]2 = r2 ⇒ 42+32 = r2 ⇒ r2 = 25.
Logo, a equacao e
(x − (−3))2 + (y − 4)2 = 25
(x + 3)2 + (y − 4)2 = 25
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Ponto e circunferencia
Notacao
Dado o ponto P(xP , yP) e acircunferencia C , cuja equacaoe (x − x0)2 + (y − y0)2 = r2,dizemos que
P e exterior a C se(xP−x0)2+(yP−y0)2 > r2
P e interior a C se(xP−x0)2+(yP−y0)2 < r2
P pertence a C se(xP−x0)2+(yP−y0)2 = r2
P1 e exterior a C : d(P1,O)2 > r2
P2 e interior a C : d(P2,O)2 < r2
P3 pertence a C : d(P3,O)2 = r2
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Exemplo 5
Problema
Determine se o ponto P(6, 3) e interior, exterior ou pertence acircunferencia
(x − 4)2 + (y + 5)2 = 64
A circunferencia tem centro O(4,−5) e r2 = 64
Calculando o quadrado da distancia entre P e O:
d2 = [6− 4]2 + [3− (−5)]2 = 22 + 82 = 68.
Como d2 > r2, ou seja
68 > 64
o ponto e exterior a circunferencia.
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Cırculo
Definicao
Chamamos de cırculo com centro em O(x0, y0) e raio r o conjuntodos pontos que satisfazem a inequacao
(x − x0)2 + (y − y0)2 ≤ r2.
Ou seja, o cırculo e composto pela circunferencia e o seu interior.
Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios
Exemplo 6
Problema
Determine a inequacao que representa o cırculo abaixo.
O raio mede 3
O centro e O(4, 2)
O cırculo e dado por:
(x − 4)2 + (y − 2)2 ≤ 9.
Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios
Exercıcio 1
Problema
Determine o angulo agudo formado pelas retas
3x − y + 2 = 0 e 6x + 4y − 6 = 0.
θ = arctan(9/7) ≈ 52, 125
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Exercıcio 2
Problema
Determine as equacoes das retas que passam pelo ponto P(−1, 1)e formam um angulo de 45◦ com a reta y = −2x + 4.
y = −x/3 + 2/3 e y = 3x + 4
Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios
Exercıcio 3
Problema
Determine a equacao da circunferencia de raio√
3 e centro emO(−1
2 , −1).
(x + 1/2)2 + (y + 1)2 = 3
Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios
Exercıcio 4
Problema
Determine a equacao da circunferencia que tem centro em O(2, 0)e passa pelo ponto P(5, 4).
(x − 2)2 + y2 = 25
Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios
Exercıcio 5
Problema
Verifique se o ponto R(−1, 3) e interior, exterior ou pertence acircunferencia
(x − 5)2 + (y − 1)2 = 9.
Exterior
Angulo entre retas Circunferencia e cırculo Exercıcios
Exercıcio 6
Problema
1 Determine as equacoes das retas AD e BC da figura.
2 Determine a inclinacao da reta CD.
3 Determine o angulo agudo formado pelas retas AD e AB.
y = 23x e y − 3 = −3
2 (x − 11) mCD = 97 θ ≈ 18, 43◦