matekerxl68zpedq

Matemt

Solucionario

2012 -IIExamen de admisin

Matemtica

1

TEMA P

PREGUNTA N.o 1Sean a, b N y

MA (a, b) la media aritmtica de a y b.

MG (a, b) la media geomtrica de a y b.

MH (a, b) la media armnica de a y b.

Indique la alternativa correcta despus de determinar si cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F) segn el orden dado:

I. Si MA (a, b)=MG (a, b), entonces

MG (a, b)=MH (a, b).

II. Si MG (a, b)=MH (a, b), entonces

MA (a, b)=MG (a, b).

III. Si MA (a, b) MG (a, b) > 0, entonces

MG (a, b) MH(a, b) > 0.

A) VVF

B) VFV

C) VVV

D) VFF

E) FVF

R

Tema: Promedio

Sean a; b N.

Si a=b, entonces MA(a; b)=MG(a; b)=MH(a; b)

Si a b, entonces MA(a; b) > MG(a; b) > MH(a; b)

Anlisis y procedimientoI. Verdadera

Si MA a b MG a b( ; ) ( ; )= , entonces a=b.

Luego

MG a b MH a b

a aa a

a a

( ; ) ( ; ) =

=

+

2

(cumple)

II. Verdadera

Si MG a b MH a b( ; ) ( ; )= , entonces a=b.

Luego

MA a b MG a b

a aa a

( ; ) ( ; ) =

=

2

(cumple)

III. Verdadera

Si MA a b MG a b( ; ) ( ; ) > 0, entonces a b.

Luego

MG(a; b) MH(a; b) > 0

MG(a; b) > MH(a; b) (cumple)

RVVV

Alternativa C

) la media armnica de a y b.

Indique la alternativa correcta despus de determinar si cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F) segn

), entonces

), entonces

) > 0, entonces

) > 0.

MG a b a b

a aa a

a a

( ;a b( ;a b) (MH) (MH ; )a b; )a b ) (=) (

=a a =a a a a a a

+a a+a a2

II. Verdadera

Si MG a b a b( ;a b( ;a b) (MH) (MH ; )a b; )a b) (=) (

Luego

MA a b a b

a aa a

( ;a b( ;a b) (MG) (MG ; )a b; )a b ) (=) (

a aa a= = a a= a a

2

III. Verdadera

2unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO

PREGUNTA N.o 2Indique la alternativa correcta despus de determinar

si cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F)

segn el orden dado:

I. La diferencia entre el descuento comercial y el

descuento racional es igual al inters simple que

gana el descuento racional.

II. Valor actual de un descuento, es igual al valor

nominal ms el descuento.

III. Descuento es la rebaja que sufre el valor nominal

de una transaccin comercial, al ser efectiva,

antes de la fecha de vencimiento.

A) VVV

B) VVF

C) VFV

D) VFF

E) FVF

R

Tema: Regla de descuento

Anlisis y procedimiento

I. Verdadera

Recordemos que el clculo del Dc y Dr de una y un mismo tiempo es

hoy

Vac

Var

t

Dc

Dr

Vn

Dc=r % Vn t (I)

Dr=r % Var t (II)

Restando las expresiones (I) y (II).

Tenemos

D D r V V tc r n arDr

= ( )%

Dc Dr=r % Dr

II. Falsa

Recordemos que

hoy

Va Vn

D

Entonces

D=Vn Va

Va=Vn D

III. Verdadera

El descuento es la rebaja que se realiza al valor nominal (Vn) de un documento comercial al cancelarla antes de la fecha de vencimiento.

R

VFV

Alternativa C

antes de la fecha de vencimiento.

hoy

Entonces

D=VnD=VnD=V Va Va V

VaVaV =Vn=Vn=V D

3unI 2012 -IISolucionario de Matemtica

PREGUNTA N.o 3Indique la alternativa correcta despus de determinar si cada proposicin es verdadera (V) o falsa (F) segn el orden dado:I. La frecuencia relativa es el cociente entre la

frecuencia acumulada del i-simo intervalo y el nmero total de datos.

II. La mediana de un conjunto de n datos, es el valor que ms veces se repite.

III. Si {18, 19, 16, 17, 14} son los datos que representan las notas de un examen, entonces la desviacin estndar es mayor que 1,7.

A) VVV B) VVF C) FVV D) FFV E) FFF

R

Tema: Estadstica descriptiva

Anlisis y procedimientoI. Falsa Porque la frecuencia relativa de un intervalo es el

cociente entre la frecuencia absoluta simple del i-simo intervalo y el nmero total de datos.

hfnii=

II. Falsa Porque la mediana de un conjunto de n datos es

el valor que divide al conjunto de datos, previa-mente ordenados, en dos partes iguales.

III. Verdadera

Porque = =( )x

nx

ii

n2

1 2

desviacinestndar

y tenemos

x =

+ + + +=

18 19 16 17 145

16 8,

=

+ + + +

= =

18 19 16 17 145

16 8

2 96 1 72046

2 2 2 2 22( , )

, ,

Donde > 1,7

RFFV

Alternativa D

PREGUNTA N.o 4Una caja contiene 8 bombillas de las cuales 3 estn defectuosas. Se extrae una bombilla de la caja, si sale defectuosa, se prueba otra bombilla, hasta seleccionar una no defectuosa. Calcule el nmero esperado E de bombillas seleccionadas.

A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2 E) 2,5

R

Tema: Funcin de la probabilidadTenga en cuenta que para calcular la esperanza matemtica es necesario reconocer la variable aleatoria y calcular su respectiva probabilidad.

x x1 x2 x3 ... xn

P(x) P1 P2 P3 Pn

E x Px i xi

n

i( ) ( )=

= 1

Estadstica descriptiva


Porque la frecuencia relativa de un intervalo es el cociente entre la frecuencia absoluta simple del i-simo intervalo y el nmero total de datos.

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 44Una caja contiene 8 bombillas de las cuales 3 estn defectuosas. Se extrae una bombilla de la caja, si sale defectuosa, se prueba otra bombilla, hasta seleccionar una no defectuosa. Calcule el nmero esperado E de bombillas seleccionadas.

A) 0,5 B) 1 C) 1,5


Anlisis y procedimientoEn una casa se tienen 8 bombillas, de las cuales 3 son defectuosas (D) y 5 son no defectuosas (B).

3 D

5 B Se extrae una bombilla de la caja.Si sale defectuosa, se prueba otra hasta seleccionar una no defectuosa.

Definimos la variable aleatoria x.x: nmero de bombillas extradas (una a una) hasta obtener una bombilla no defectuosa.

x 1 2 3 4

P(x)

B58

D B38

57

1556

=

D D B38

27

56

556

=

D D D B 38

27

16

55

156

=

Piden

E x Px i xi

i( ) ( )=

= 1

4

E x( ) = + + + 158

21556

3556

4156

E(x)=1,5

R1,5

Alternativa C

PREGUNTA N.o 5Sea N

n= 11 1 2...

dgitos( )

Determine la suma de los dgitos de NN en base 2, donde n 2.

A) n 2 B) n 1 C) n D) n+1 E) n+2

R

Tema: MultiplicacinTenga en cuenta que los numerales con cifras mximas se pueden representar como una sustraccin.

Ejemplos

999=1000 1

8889=10009 1

66667=100007 1

11112=100002 1

Anlisis y procedimientoSe tiene que

N

n

= 1111 112

...cifras

Calculamos NN.

NN=(111...112)(111...112)

= ( ... ) ( ... )

ceros

111 11 1000 00 12 2n

=111...11000...0002

111...1112

111 10000 001

2

2... ...

ceros

cifras

n

n

Por lo tanto, la suma de cifras es

1 1 1 1+ + + + =...

vecesn

n

Rn

Alternativa C

4

556

=

D D D B 38

27

16

55

156

=

+ 556

4+ 4+ 156

Anlisis y procedimientoSe tiene que

Nn

= 1111 112

...cifras

Calculamos NN.

NN=(111...112)(111...11

= (= (= ...= ...= ) (= ) (= 111= 111= 11= 11= 12= 2=

=111...11000...000

111...111


PREGUNTA N.o 6Se tiene un nmero capica de seis cifras cuya ltima cifra es 2. Sea N el residuo de dividir dicho nmero entre 1000 y M el cociente. Si N M=99, calcule el valor mximo que puede tomar la suma de las cifras del nmero capica.

A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32

R

Tema: Cuatro operaciones


Del enunciado, se tiene lo siguiente:

2abba2 1000M

N

divisor

cocienteresiduo

dividendo

(I)

N M=99 (II)

Realizamos la divisin en (I)

2abba22000

abba

1000

2ab

bba2

ba2 N

b000

a000

M

En (II)

ba2 2ab=99

99b 198=99

b=3 amx=9

Luego, el dividendo es 293 392; entonces la suma de sus cifras es 28.

R28

Alternativa C

PREGUNTA N.o 7Se tiene un nmero de 3 cifras, mltiplo de 30, que tiene un total de 24 divisores. Al multiplicarlo por 10 se forma un nuevo nmero cuya cantidad

de divisores es D D r V V tc r n arDr

= ( )% de la cantidad de divisores del nmero original.Calcule la suma de las cifras del menor nmero que cumple las condiciones indicadas.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

R

Tema: Clasificacin de los enteros positivos

Anlisis y procedimientoDel enunciado del problema, se tiene lo siguiente

N abc= = 30o

=2x3y5zk (I)

10N=2x+13y5z+1k (II)

CD(N)=24 (III)

CD(10N)=45 (IV)

De (II) y (IV) se deduce que N tiene 3 divisores primos.Luego

abcx y z

= = 30 2 3 5o

... DC

En (II) CD(N)=24 ( )( )( )x y z+ + + =1 1 1 2424

33

42


Del enunciado, se tiene lo siguiente:

(I)

=99 (II)

por 10 se forma un nuevo nmero cuya cantidad

de divisores es D Dc rD Dc rD D de la cantidad de divisores del

nmero original.Calcule la suma de las cifras del menor nmero que cumple las condiciones indicadas.

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12

R

Tema: Clasificacin de los enteros positivos



En (III) CD(10N)=45 ( )( )( )x y z+ + + =2 1 2 4535

33

53

Luego, se tiene que

x=3; y=2; z=1 o x=1; y=2; z=3

Entonces

abc=233251=360 (cumple)

abc=213253=2250 (no cumple)

Luego

abc=360 (nico caso)

Entonces, la suma de cifras es 9.

R9

Alternativa B

PREGUNTA N.o 8Determine las veces que aparece el nmero cinco al efectuar la suma:

72+(77)2+(777)2+(7777)2+(77777)2.

A) 1 B) 2 C) 3

D) 4 E) 5

R

Tema: Cuatro operaciones

Tenga en cuenta que por induccin

1 1

11 121

111 12321

1111 1234321

111 11

2

2

2

2

2

=

=

=

=

=

...9 cifras

112345678987654321


Sea

E=72+772+7772+77772+777772

E=72(1+112+1112+11112+111112)

E=72(1+112+1112+11112+111112)

124701085123454321

123432112321

1211+

Luego

E=72124701085

E=6110353165

Por lo tanto, el nmero 5 aparece 2 veces.

R2

Alternativa B

Entonces, la suma de cifras es 9.

Alternativa BB

E=72+772+7772+7777

E=72(1+112+1112

E=72(1+112+111

124701085123454321


PREGUNTA N.o 9Indique la secuencia correcta despus de determinar si la proposicin es verdadera (V) o falsa (F).

I. Sea el conjunto

C={(x, y) R2 / x2+y2 4} Si ( 18; 18) C, entonces (1; 1) C

II. Sea A R un conjunto vaco y

f: A R una funcin tal que existe

m=mn { f(x) / x A}, S(f)={x A / f(x) } con R. Si < m, entonces S(f)=.

III. Sean los conjuntos Ak, k=1, ..., m, tales

que Ak Ak+1. Si x0 A1, entonces

x AKk

m C

01

=

.

A) VVF

B) VFF

C) FVF

D) FFV

E) FFF

R

Tema: Nmeros reales y teora de conjuntos

Recuerde que

Reduccin al absurdo consiste en negar la tesis

para conseguir una contradiccin con alguna de

las hiptesis.

m=mn{ f(x) / x A} m f(x) x A. M=mx{ f(x) / x A} M f(x) x A. x B x BC

Anlisis y procedimientoI. Verdadero

En efecto

Si ( 18; 18) C (1; 1) C

(F) (V)

(V)

II. Verdadero

En efecto, por reduccin al absurdo

supngase que S(f)

x0 A, tal que x0 S(f)

Por definicin del conjunto

S(f): f(x0) (I)

Adems como m es el mnimo y x0 A

m f(x0) (II) Finalmente, al aplicar transitividad de (I) y (II) se

tiene que m , el cual contradice la hiptesis

( < m).

S(f)=

III. Falso

En efecto, del siguiente diagrama

A1x0

A2A3 Am

...

se observa que

x0 A1 x0 A2 x0 A3 ... x0 Am

entonces x A x Akk

m

kk

m C

01

01

= =

Por lo tanto, es falso afirmar que x Akk

m C

01

=

} con R.f)=f)=f .

k=1, ..., m, tales

A1, entonces

Por definicin del conjunto

S(f(f( ): f): f f(x0) (I)

Adems como m es el mnimo y

m f(x0) (II) Finalmente, al aplicar transitividad de (I) y (II) se

tiene que m , el cual contra

( < m).

S(f(f( )=f)=f

III. FalsoFalsoF

En efecto, del siguiente diagrama


RVVF

Alternativa A

PREGUNTA N.o 10Cul de las alternativas es la funcin cuadrtica f,

cuyo grfico se muestra a continuacin, sabiendo

que x y02

02 34+ = .

0b

2

3x0 X

Y

y0

f

A) x2 6x+2

B) x2+6x+2

C) 2x2 6x+2

D) 2x2 12x+2

E) 2x2+12x+2

R

Tema: Funcin cuadrticaSea f(x) una funcin cuadrtica, cuya grfica es

m

n

x1 x2

P

X

Yf(x)

x xm1 2

2+

=

f(0)=P

x1; x2 son races de f(x)


Piden la funcin cuadrtica f(x).

Del grfico, x0; y0

son races de f(x)

entonces f(x)=a(x2 (x0+y0)x+x0y0) (I)

Por dato x y02

02 34+ =

y del grfico x y0 02

3+

=

entonces (x0+y0)2=62

x y x y02

02

0 02 36+ + =

34+2x0y0=36

entonces x0y0=1

En (I) f(x)=a(x2 6x+1)

Pero del grfico, f(0)=2

f(0)=a=2

f(x)=2(x2 6x+1)

R

2x2 12x+2

Alternativa D

Xy0

fentonces f(f(f x)=a(x

2 (x0+y

Por dato x y0x y0x y2x y2x y0

2 34+ =x y+ =x y0+ =02+ =2

y del grfico x y0 0x y0 0x y2

3+x y+x yx y0 0x y+x y0 0x y

=

entonces (x0+y0)2=62

x y x y0x y0x y2x y2x y0

20 0x y0 0x y2 3x y2 3x y0 02 30 0x y0 0x y2 3x y0 0x y+ +x y+ +x y0+ +0

2+ +2 2 3=2 3

34+2x0y0=36

entonces x0y0=1


PREGUNTA N.o 11Respecto a la funcin f: A R tal que

f xxx

A( ) = +

=

3 52

y 2;

Indique la secuencia correcta, despus de determinar

si la proposicin es verdadera (V) o falsa (F):

I. f es inyectiva

II. f es sobreyectiva

III. f * existe, donde f * indica la inversa de f.

A) VVV

B) VFV

C) VFF

D) FFV

E) FFF

R

Tema: Funciones

Funcin inyectiva

f es inyectiva si f (a)=f(b) a=b

Funcin sobreyectiva

f: A B es sobreyectiva Ranf=B

f tiene inversa f es biyectiva (sobreyectiva e

inyectiva)

Anlisis y procedimientoDominio=A=2; +Graficando

f

xx xx( )

=

+

=

+3 5

2112

3

2

3

Y

X

f(x)

I. Verdadera

f es estrictamente decreciente; por lo tanto, es

inyectiva.

II. Falsa

Como f: A R y del grfico Ranf=3; +

R 3; +; por lo tanto, no es sobreyectiva.

III. Falsa

Como f * es la funcin inversa y f no es sobreyec-

tiva, entonces f * no existe.

RVFF

Alternativa C

PREGUNTA N.o 12El grfico del polinomio

P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d es tangente en (1; 1) a la

recta y=1. Adems la recta y=1 interseca al grfico

cuando x=2, x=4, siendo P(2)=P(4) 0.

Determine P(x) 1.

A) x2(x 2)(x 4)

B) (x 1)2(x 3)(x 5)

C) (x+1)2(x 1)(x 3)

D) (x 1)2(x 2)(x 4)

E) (x+1)2(x 2)(x 4)

R

Tema: Grfica de funciones polinomialesSi tenemos

X

Y

1 0

4 y=f(x)

entonces X

Y

13

1f(x) 3

a=b

es sobreyectiva Ranf Ranf Ran =B

es biyectiva (sobreyectiva e

VFF

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 1212El grfico del polinomio

P(x)=x4x4x +ax3ax3ax +bx2+cx+

recta y=1. Adems la recta

cuando x=2, x=4, siendo

Determine P(x) 1.

A) 2( 2)( 4)

10

unI 2012 -II Academia CSAR VALLEJO

Anlisis y procedimientoInterpretamos las condiciones para P(x) en el plano

cartesiano.

X

Y

1

(1; 1) (2; 1) (4; 1)

1 2 4

P(x)=x4+ax3+bx2+cx+d

(grfica aproximada)

Entonces

P(x) 1

X

Y

1

(1; 0) (2; 0) (4; 0)

raz de multiplicidad par

Luego para P(x) 1 se tiene que sus races son 1;

1; 2; 4.

P(x)=(x 1)2(x 2)(x 4)

R

(x 1)2(x 2)(x 4)

Alternativa D

PREGUNTA N.o 13Luego de resolver la inecuacin 3

31 0, entonces bx > 0; x R.

Anlisis y procedimientoSe tiene la inecuacin

3

31

+

0) y es equivalente a

xf

x

gx x( ) ( ) 0.

x 0; +

R

0; +

Alternativa A

P(x) 1

X(4; 0)

raz de multiplicidad par

1 se tiene que sus races son 1;

Se tiene la inecuacin

331

+

11

unI 2012 -IISolucionario de Matemtica

PREGUNTA N.o 14Las siguientes operaciones elementales:

c1 c2; 3f3; f2 f3, en este orden, transforman la

matriz A en 1 5 24 6 86 3 9

, la cual se puede expresar

como (RPQ)A, donde RPQ son matrices de orden

33 no singulares. Determine A.

A) 2 3 11 5 22 1 3

B)

1 2 51 3 12 1 1

C)

2 5 13 4 11 3 1

D) 2 1 44 3 11 2 1

E) 4 3 51 1 22 0 3

R

Tema: Matrices

Operaciones elementales fila

Anlisis y procedimientoDel enunciado tenemos

A A A RPQ Af f f f f1 2 3 2 33

1 5 24 6 86 3 9

=' '' ( )

Entonces

A '' =

1 5 22 3 16 3 9

es obtenido de ( ) ''RPQ A Af f2 3+

A ' =

1 5 22 3 12 1 3

es obtenido A Af

'' '

13 3

A =

2 3 11 5 22 1 3

es obtenido de A Af f

'1 2

Observacin

En la resolucin del problema, hemos considerado los

siguientes datos: f1 f2; 3f3; f2f3.

R2 3 11 5 22 1 3

Alternativa A

PREGUNTA N.o 15En los siguientes sistemas cada ecuacin representa

un plano.

I) x 3y+z=1 II) x 3y+4z=2

2x+6y 2z= 2 4x+y+z=3

x+3y z= 1 3x 2y+5z=5

A ' =

1 5 22 3 12 12 1 3

es obtenido

A =

2 3 11 5 22 12 1 3

es obtenido de

Observacin

En la resolucin del problema, hemos considerado los

siguientes datos: f1f1f f2f2f ; 3f; 3f; 3 3f3f

R

12


Denotando por P, Q y R los correspondientes planos, la interpretacin geomtrica de la solucin de los

sistemas I y II es dada respectivamente por:

1) 2) 3)

QPP, Q, RQP

R R

A) 2 y 1 B) 2 interpreta ambos sistemas C) 1 y 3 D) 2 y 3 E) 3 interpreta ambos sistemas

R

Tema: Geometra analtica

Anlisis y procedimientoI. P: x 3y+z=1 Q: 2x+6y 2z= 2 r: x+3y z= 1

Luego P: x 3y+z=1 Q: + x 3y+z=1 P, Q, R r: x 3y+z=1 II. P: x 3y+4z=2 Q: 4x+y+z=3 r: 3x 2y+5z=5

Luego P Q: 11y+17z=11 P R: 11y+17z=11

RR

QQ

PP Q R: 11y+17z=11

NotaConsiderando Q y R diferentes.

R2 y 1

Alternativa A

PREGUNTA N.o 16Si la solucin de Mx{ax+by} se encuentra en x=3,

sujeto a

x 0

y+x 4

y x 2

determine en qu intervalo se encuentra a /b.

A) ; 1]

B) ; 1]

C) [ 1; 1]

D) [ 1;

E) [1;

R

Tema: Programacin linealLa funcin objetivo f(x; y) se optimiza en uno de los vrtices de la regin factible.

Anlisis y procedimientoGraficamos las restricciones

xy xy x

+

042

1

2

2 3

4

y+x=4

y x= 2

solucin

Funcin objetivo:

f(x; y)=ax+by

E) 3 interpreta ambos sistemas

PPPP,,PP,PP QQ,,QQ,QQ RRR

E) [1;

R

Tema: Programacin linealLa funcin objetivo f(f(f x; y) se optimiza en uno de los vrtices de la regin factible.

Anlisis y procedimientoGraficamos las restricciones

xy x

+ y x+ y x

04

13


Como (3; 1) es solucin de fmx, se cumple que

f(0; 2) f(3; 1) 2b 3a+b a b

f(0; 4) f(3; 1) 4b 3a+b b a

Intersecando a b a (se deduce a > 0)

1 1 0ba

ba

pero

< 1 0 0 1ba

ba

1 1

ab

ab

ab

] + ; ;1 1

Rab

] + ; ;1 1

No hay clave

PREGUNTA N.o 17Seale la alternativa que presenta la secuencia

correcta, despus de determinar si la proposicin es

verdadera (V) o falsa (F):

I. El lmite de 2 2 1

3 1

2n nn n

+

+

( )( ) es 2.

II. Los valores de la sucesin Snn

nn

= +

( )( )

11

pertenecen al intervalo 1; 1.

III. La serie 4

21n nn ( )+=

converge y su suma es 3.

A) VFF B) FVF C) VFV D) FVV E) FFF

R

Tema: Sucesiones y series

Recuerde que

a a a a an n{ } = { }1 2 3; ; ; ...; ; ... lm lma an

nn=

+

* lm lm1 1

0n nn

= =

+

a a a a an nn

= + + + + +=

1 2 31

... ...


I. Verdadera

lm lm2 2 1

3 1

2 2 1

2 3

1

1

22

2

2

2

n nn n

n n

n n

n

n

n

+

+=

+ ( )

( )

+( )( )

=

+

+lm

n

n n

n n

22 1

12 3

2

2

= 2

II. Falsa

S S S S Sn{ } = { }1 2 3 4; ; ; ; ... , donde

S

nnn

n= +

( )( )

11

Si n es par, Snn

= + >11

1.

Si n es impar, Snn

= < 11

1.

Luego, Sn 1; 1 para todo n.

III. Verdadera

42

41 3

42 4

43 5

44 6

45 71n nn ( )

...+

=

+

+

+

+

+

=

1 1 1 1

No hay claveNo hay clave


I. Verdadera

lm lm l2 2

m l2 2

m l1

m l1

m l3 1

22 222 2m l

n nm l

2 2n n2 2m l

2 2m l

n nm l

2 2m l

2 222 2n n2 222 23 1n n3 1 n+

m l+

m l2 2+ 2 2n n+ n n

m ln n

m l+

m ln n

m l2 2n n2 2+ 2 2n n2 2

m l2 2

m ln n

m l2 2

m l+

m l2 2

m ln n

m l2 2

m l3 1 +3 13 1n n3 1 +3 1n n3 1

m l=m l+( )3 1( )3 1n n( )n n3 1n n3 1( )3 1n n3 1 +( ) +3 1 +3 1( )3 1 +3 1n n +n n( )n n +n n3 1n n3 1 +3 1n n3 1( )3 1n n3 1 +3 1n n3 1( )3 1( )3 13 1n n3 1( )3 1n n3 13 1 +3 1( )3 1 +3 13 1n n3 1 +3 1n n3 1( )3 1n n3 1 +3 1n n3 1

=

= 2

II. Falsa

14


=

+

+

21

23

22

24

23

25

+

+

+

24

26

25

27

...

=2+1 =3

RVFV

Alternativa C

PREGUNTA N.o 18Determine el conjunto solucin de

x

x x x

+

+ + + 0; x R

i. a > 0

ii. =b2 4ac < 0

Anlisis y procedimientoEn la inecuacin fraccionaria

x

x x x

+

+ + + 0; x R

xx x x

+

+ + +( ) b a < b

Propiedad II

Si a > 1 y logaM > logaN, entonces

M > N M > 0 N > 0


Como log3|3 4x| > 2

log3|3 4x| > log39

|3 4x| > 9

3 4x > 9 3 4x < 9

> M > M N N N M > 0 N


Como log3|3 4x|3 4x|3 4 | > 2

log3|3 4x|3 4x|3 4 | > log39

|3 4x |3 4x |3 4 | > 9

3 4x 3 4x 3 4 > 9 x > 9 x 3 4x 3 4x 3 4

> x x>

16


PREGUNTA N.o 21Sobre los catetos de un tringulo ABC, recto en B se construyen los cuadrados ABDE y BCFG; CE corta en AB en P y AF interseca a BC en Q. Si AB=2m y BC=3m, calcule el valor de AP CQ en m.

A) 3/5 B) 5/6 C) 6/5 D) 5/3 E) 5/2

R

Tema: Semejanza de tringulosRecuerde

A C

B

a

b

c

M

N

m

n L

Segn el grfico, ABC MNL

= =am

bn

c


Piden AP CQ .

Q

P3b

3a

2a

2

2

D

B

G

F

3

2b

CA

E

Segn el grfico:

ABQ FCQ

BQCQ

= 23

CQ=3a y BQ=2a

EAP CBP

APBP

= 23

BP=3b y AP=2b

Luego

AP=2b y QC=3a

Adems

5 225

b b= =

5 3

35

a a= =

= =AP y QC45

95

AP CQ =65

R65

Alternativa C

PREGUNTA N.o 22En la figura adjunta OC=6 cm, AM=8 cm.Calcule la longitud de la circunferencia (en cm).

MD

A BO

C

R

A) 12 7 B) 12 5 C) 12 3

D) 24 33

E) 24 55

M

N

m

n L

MNL

G

= =AP =AP = y QC45

95

AP CQ =CQ =CQ65

R65

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 2222En la figura adjunta OC=6 cm, Calcule la longitud de la circunferencia (en cm).

17


R

Tema: Relaciones mtricas en el tringulo rectnguloRecuerde que por relaciones mtricas en el

ba h

1 1 12 2 2h a b

= =

Anlisis y procedimientoPiden C.

C

BO

CM

D

A

r

rr

12

8 6

Se sabeC =2r

AO=OB y AD // OC AD=2(OC)=12Por relaciones mtricas en el DAB

1

8

1

12

1

22 2 2= + ( )r

=r12 55

C = 24 55

R

24 55

Alternativa E

PREGUNTA N.o 23En un tringulo ABC se tiene que mC=2mA.

Sobre el lado AB se traza el tringulo ABP recto en B

(P exterior a AB). Si mPAB=12

mC y AP=12 u,

determine el valor de BC (en u).

A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8

R

Tema: Aplicaciones de la congruenciaRecuerde el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.

m m

B

A CM

m

Anlisis y procedimientoPiden x.Dato: AP=12

6612

12

P

B

QCMA

x6

2

2

C

B

r

r

R

Tema: Aplicaciones de la congruenciaRecuerde el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.

m

B

A

m

Anlisis y procedimientoPiden x

18


Se prolongan AC y PB hasta Q.

En el APQ se observa que AB es bisectriz y altura a la vez; por lo tanto, el PAQ es issceles. AP=AQ=12

En el ABQ se traza la mediana BM relativa a la hipotenusa AQ. AM=MQ=BM=6.

El MBC es issceles, por lo tanto, x=6

R6

Alternativa D

PREGUNTA N.o 24Dos circunferencias son tangentes interiores en G. En la circunferencia mayor se trazan los dimetros AB y CG que intersecan a la circunferencia menor en M, N y F respectivamente, AM

19


R

Tema: Aplicacines de la congruenciaObservacin

B

a

Q

A

a

O

Si AQ=QB

=


L

C30

70 M

aA

B

aD

N

a2a

60xx x+40x+40

4040

7070

Piden mCDB=x.Como L

mediatriz de AD, entonces

AM=MD=a BDA issceles se cumple que

AD=BD=2a. BND, Not(30 y 60), se cumple que

DN=a.Por observacin anterior mMDC=mNDC=x+40

BND se cumple que x+x+40=60 x=10

R10

Alternativa B

PREGUNTA N.o 26Cul es el menor valor entero que puede tomar k, siendo a constante?

ak

a

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

R

Tema: Teorema de correspondencia

Recuerde

Teorema de correspondencia

x y

si

20


Por teorema de la bisectriz de un ngulo, entonces DC=DE=a

En el BED, por teorema de correspondencia,como agudo < recto, entonces a

21


Ahora calculamos las reas solicitadas.

rea CEF=( )234

2a =a2 3

rea ABCD=( ) ( )AC a2

2

23 12

=

+( )

= + = +

aa

22

24 2 3 2 3( ) ( )

rea

rea CEFABCD

a

a=

+=

+=

2

23

2 3

3

2 32 3 3

( ) ( )

R2 3 3

Alternativa C

PREGUNTA N.o 28Calcule la medida de un ngulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.

A) arc tan( )2

B) arc sen( )2

C) arc cos( )3

D) arc cos( )2

E) arc cot( )3

R

Tema: Razones trigonomtricas para ngulos agudos

B

A

C

hh

D

a

En un tetraedro regular se cumple que

h

a=

63


B

A

C

HH

D

a

3333

aa

Del tetraedro regular de arista lateral a

la altura DHa

=63

.

En el AHD

AH

a=

33

tan =

a

a

633

3

tan = 2

= arc tan 2

R

arc tan 2

Alternativa A

Alternativa CC

Calcule la medida de un ngulo formado entre una arista lateral y la base de un tetraedro regular.

A 333333

3333333333aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

Del tetraedro regular de arista lateral

la altura DHa

=63

.

En el AHD

AHa

=3

3

22


PREGUNTA N.o 29Dado el punto ( 3; 2; 4), determine sus simetras res-pecto del eje Z y respecto del plano z=0. Determine el rea del rectngulo cuyos vrtices son justamente los puntos generados.

A) 16 13 B) 15 13 C) 14 13 D) 13 13 E) 12 13

R

Tema: Geometra analticaRecuerde que el plano Z=0 es el plano determinado por los ejes X e Y.

Anlisis y procedimientoNos piden el rea del rectngulo cuyos vrtices son los generados.

2 2

3 34

( 3; 2; 4)P

QQ

3300

4

4

J

X

Y

1 1

1 1 2 2

MM

3 4

5S

11

1122

3344

4

2234

3 3 4 4

13

13

13

13N

P '(3; 2; 4)

( 3; 2; 0)( 3; 2; 0)

P ''

Z

( 3; 2; 4)

1313

Sea P el simtrico de P respecto de Z

, entonces P =(3; 2; 4)

Sea P el simtrico de P respecto del plano Z=0, entonces P =( 3; 2; 4)

En el plano Z=0: M=( 3; 2; 0)

= + =OM 2 3 132 2

Luego, PN NP= =' 13

En el punto P=( 3; 2; 4), tenemos ON=MP=4

Con los puntos P, P , P se determina el rectngulo PP JP , adems, PP ' = 2 13 y PP =8.

Por lo tanto, el rea del rectngulo PP JP es 8 2 13 16 13 =

R

16 13

Alternativa A

PREGUNTA N.o 30Se tiene un prisma exagonal regular ABCDEF-ABCDEF cuyos lados de la base y la altura miden 2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye exteriormente un cuadrado de lados EDDE, luegopor las aristas AB y DE pasa un plano formando un slido ABDEAB. Calcule el volumen de la parte del slido exterior al prisma exagonal.

A) 3 3 1 3( )+ a

B) 3 3 1 3( ) a

C) 2 3 1 3( )+ a

D) 2 3 1 3( ) a

E) 43

3 1 3( ) a

R

Tema: Prisma

h

BB V: volumen

V=B h

Nos piden el rea del rectngulo cuyos vrtices son

222222 QQQQQQQQQQ

3333333333

4

4X

33333344444444444444444444444444444444444444444444444444444

13P '(3; 2; 4)

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 3030Se tiene un prisma exagonal regular ABCDEF cuyos lados de la base y la altura miden 2a (a>0). Sobre el plano de la base se construye exteriormente un cuadrado de lados por las aristas AB y DE pasa un plano formando un slido ABDEAB. Calcule el volumen de la parte del slido exterior al prisma exagonal.

A) 3 3 3( )( )3 3( )3 33 3( )3 3 1( )1( )+( )a

23


Anlisis y procedimientoPiden V.V: volumen del prisma PEE QDD

BB32a

34a3

30 E ' 'E '

h

D ' 'D '

A '

F '

M

N

C '

B '

Q

D

C

B

F

E

P

A

2a

2a

2a 2a

2a

2a

2a 2a

6060R

Sabemos que V=Bh; h=2a y B=ah

V=2a2h (I)

RMN AAN

ha

MNA N2

='

ha

a

aa

2

4 33

4 33

4=

+

h a= ( )3 1Reemplazando en (I)

V = ( )2 3 1 3aR

2 3 1 3( )a

Alternativa D

PREGUNTA N.o 31El volumen de un cilindro es oblicuo 40 cm3 y la proyeccin de su generatriz sobre el plano de la base mide 5 cm. Si el radio de su seccin recta mide 2 cm, calcule el rea de la base en cm2.

A) 23 B)

43

C) 63

D) 83

E) 103

R

Tema: Cilindro

Anlisis y procedimientoPiden A base

Dato: voblicuocilindro=40

g

HH 5

30

3022

22

1010seccinrecta

base

Sabemos que v Aoblicuocilindro

rectaseccin= ( ) g

Arectaseccin( )g=40

(2)2g=40

g=10

Pero

A A

rectaseccin base= ( )cos 30

4

32

pi = ( )A base

A base =83pi

BBBBE''

N

2a

ah

(I)

Tema: Cilindro

Anlisis y procedimientoPiden A base

Dato: voblicuocivciv lindro=40

g

30

222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222222

seccinrecta

24


R83

Alternativa D

PREGUNTA N.o 32Determine, en la siguiente figura, el volumen genera-do al rotar la regin sombreada alrededor del eje X.

2R

R

O X

Y

2

A) R3

B) R3

3

C) R3

4

D) R3

6

E) R3

9

R

Tema: Anillo esfrico

A

B

ha

Recuerde que

Volumen del anillo esfrico

Vesfricoanillo =

pia h2

6

a: longitud de la cuerda AB

h: longitud de la proyeccin de AB


O

A

Y

R

R

B X

2R

Piden VRS (volumen del slido generado).

Se observa

VRS=Vesfricoanillo

Por teorema

VRS

R R=

( )pi 26

2

VRSR

=

pi 3

3

R

R3

3

Alternativa B

2

X

O

A

R

Piden VRSVRSV (volumen del slido generado).

Se observa

25


PREGUNTA N.o 33La figura representa un recipiente regular, en donde a y son dados en cm y el ngulo es variable. Deter-mine el volumen mximo de dicho recipiente en cm3.

a

a

A) 2 2a

B) 32

2a

C) 2

2a2

D) 12

a2

E) 3 22

a2

R

Tema: Slidos - Prisma

Recuerde

h

BB

Vprisma=B h


BB

aa

a

a

Piden el volumen mximo

V=b h=a2

2 sen

Para que el volumen sea mximo, sen=1.

v = a2

2

R12

2a

Alternativa D

PREGUNTA N.o 34En la siguiente ecuacin trigonomtrica

cos cos42

18

278

xx ( ) =

El nmero de soluciones en [0; 2] es:

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

R

Tema: Ecuaciones trigonomtricas

cos2=2cos2 1

2cos2=1+cos2

cos=1 =2n; n Z

Anlisis y procedimientoPiden el nmero de soluciones en [0; 2] de la ecuacin

cos cos4

218

278

xx =

2 2

22 72

2

cos cosx

x =

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 3434En la siguiente ecuacin trigonomtrica

cos cs cos4s c4s c2

18

78

xs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs cs c ( )2( )2x( )x =El nmero de soluciones en [0; 2

A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5

R

27


PREGUNTA N.o 36Cul de los grficos mostrados representa a la funcin

y=cos(2x ), en un intervalo de longitud un periodo.

A)

/2 /2

B)

/2 /2

C) /2 /2

D)

/2 /2

E) /2 /2

R

Tema: Funciones trigonomtricas directas

Anlisis y procedimientoPiden la grfica de la funcin y=cos(2x ).

y=cos(2x )

y=cos( ( 2x))

y=cos( 2x)

y= cos2x

Graficando y= cos2x

y = cos2x

y = cos2x

0

Y

1

1

X /2 /2

R

/2 /2

Alternativa C

PREGUNTA N.o 37De la figura mostrada, AOB, COD y EOF son sectores circulares, donde el rea de las regiones EOF, COD y AOB son: s; 3s; 6s; respectivamente. Si LAB

= 4 unidades, calcule L LCD EF + 3 .

A

B

C

D

E

F

O

A) 2 2

B) 3 2

C) 4 2

D) 5 2

E) 6 2

/2/2

PREGUNTA N.PREGUNTA N.oo 3737De la figura mostrada, sectores circulares, donde el rea de las regiones EOF, COD y AOB son: s; 3LAB

= 4 unidades, calcule

28


R

Tema: rea de un sector circular

SSO

A

B

Lrad

S: rea del sector circular AOB

S =

L2

2

Anlisis y procedimientoPiden x y+ 3 .

2S2SSS 3S3Syy xx

F

O

AC

D

E

B

4rad

S S= =y2 2

26

42 ( )

= =6 2

162

3 2 22y

y

32

642

2 2S S= =

x

( )

= =6 6

162

2 22x

x

+ =x y3 4 2

R

4 2

Alternativa C

PREGUNTA N.o 38En la figura mostrada, el valor de tan tan es

X

Y

A) 2 B) 1 C) 1/2 D) 1/2 E) 1

R

Tema: ngulos en posicin normalSi AO=OA

XO

Y

A( m; n)

A ( n; m)'

Anlisis y procedimientoDel grfico

X

Y

P( a; b)

P ( b; a)'

Por definicin

tan tan =

ab

ba

tan tan= 1

R 1

Alternativa B

3333SSSSxxxxxx

AC

DB

4

Tema: ngulos en posicin normalSi AO=OA

Y

A(m; n)

A (n; m)'

Anlisis y procedimientoDel grfico

Y

29


PREGUNTA N.o 39Si tan

54

13 5

pi

= +x , cot

32

4pi

= y , calcule x+y.

A) 4/5 B) 3/4 C) 3/5

D) 5/3 E) 8/3

R

Tema: Reduccin al primer cuadrante sen(+)= sen cos(+)= cos tan(+)=tan

Anlisis y procedimientoDe

tan54

13 5

pi

= +x

tan pipi

+

= +4

13 5x

tanpi

41

3 5

= +x

11

3 5=

+x

3x+5=1

= x43

De

cot32

4pi

= y

0=y 4

y=4

Nos preguntan

x y+ = +43

4

+ =x y83

R83

Alternativa E

PREGUNTA N.o 40Al determinar la forma compleja de la ecuacin

(x 1)2+(y 1)2=1 obtenemos

A) zz (1 i)z (1 i)z+1=0

B) zz+(1+i)z (1+i)z+1=0

C) 3zz+(1 i)z+(1+i)z+1=0

D) 2izz (1 i)z (1+i)z+1=0

E) 4zz 2(1+i)z+(1 i)z+1=0

R

Tema: Nmeros complejos z C: |z|2=z z

Ecuacin de la circunferencia

(x x0)2+(y y0)

2=r2

o |z z0|=r con z=x+yi z0=x0+y0i


Tenemos que

(x 1)2+(y 1)2=12

|z (1+i)|2=12; z=x+yi

(z (1+i))(z (1+i))=1 (z (1+i))(z (1+i))=1 (z (1+i))(z (1 i))=1 z z (1 i)z (1+i)z+(1+i)(1 i)=1

z z (1 i)z (1 i) z+12 i2=1

z z (1 i)z (1 i)z+1/ ( 1)=1/ zz (1 i)z (1 i)z+1=0

R

zz (1 i)z (1 i)z+1=0

Alternativa A

Anlisis y procedimientoTema: Nmeros complejos z C: |z|2=z z

Ecuacin de la circunferencia

(x x x x0)2+(y y0)

2=r2r2r

o |z z0|=r con r con r z


Tenemos que

(x 1)x 1)x 2+(y 1)2=12

|z (1+i)|2=12; z=

(z (1+i))(z (1+i))=1

matekerxl68zpedq

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