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El plano cartesiano y las gráficas
Presentación 2 MATE 3171
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Coordenadas Rectangulares
• Es un sistema para asignar un par ordenado
(a, b) de números reales a cada punto en el
plano.
• Se basa en dos líneas perpendiculares
llamadas eje de x y eje de y.
– La intersección de los dos ejes se llama el origen.
– Dividen el plano en cuatro cuadrantes ,I-IV como
mostramos
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Cuadrantes y puntos • A cada punto P en el
plano le corresponden dos coordenadas:
– La abscisa es la distancia horizontal desde el punto hasta el eje vertical.
– La ordenada es la distancia vertical desde el punto hasta el eje horizontal.
P
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Coordenadas de un punto
• Estas coordenadas se representan mediante un par ordenado (a, b)
donde a es la abscisa
y b es la ordenada.
• Usualmente al eje horizontal se le asigna la variable x y al eje vertical la variable y.
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Coordenadas de un punto
• ¿Cuál es la abscisa del punto que se muestra?
• ¿Cuál es la ordenada del punto que se muestra?
b
a x
y
abscisa = 3
ordenada = 4
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Coordenadas cartesianas
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Gráfica de una Ecuación en dos variables
• Por definición, la gráfica de una ecuación en
dos variables es el conjunto de todos los
puntos , P(a, b), donde (a, b) es una
solución de la ecuación.
• Una forma de hacer un boceto (“sketch”) de
la gráfica de una ecuación es localizar
suficientes puntos (soluciones), hasta obtener
una imagen clara de la forma de la gráfica.
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Ejemplo
• Considere la ecuación y = 3x + 1.
Una solución de esta ecuación es un par de valores (uno de x y uno de y) que la hagan cierta.
Si x = 2, ¿cuál es el valor de y que hace la ecuación cierta?
y = 3(2) + 1
y = 6 + 1 = 7
Así que, x = 2 y y = 7 son (el par) una solución de la ecuación.
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Cont. Ejemplo
• ¿Podemos construir más soluciones?
Sustituyendo valores de x en la ecuación y obteniendo el valor correspondiente de y.
Para organizar las soluciones utilizamos una tabla, la tabla de valores.
x y
2 7
-2 -5
1 4
1/3 2
0 1
y = 3x + 1
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Cont. Ejemplo
x y
• Con cada par de valores construimos un punto cuyas coordenadas son los valores de x y y.
• Luego los graficamos en el plano.
2 7 (2, 7)
-2 -5
1 4
1/3 2
0 1
(-2, -5)
(1, 4)
(1/3, 2)
(0, 1)
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Cont. Ejemplo
(2, 7)
(-2, -5)
(1, 4)
(1/3, 2)
(0, 1)
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Otro ejemplo • Haga un boceto de la gráfica de y = x2 – 3
• Completar la tabla con los valores correspondientes de la y
• Localizemos los puntos en un plano cartesiano: (-3,6) (-2,1) (-1,-2) (0,-3) (1,-2) (2,1) (3,6)
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Ejemplo (continución)
• El punto (0, -3) parece dividir la gráfica en dos partes iguales.
• A la derecha de este punto, podemos notar que a medida que x se hace más grande, y también se hace más grande.
• A la izquierda del (0, 3), notamos q a medida que x se hace más pequeño, y se hace más grande.
(-3,6) (-2,1) (-1,-2) (0,-3) (1,-2) (2,1) (3,6)
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Ejemplo (continución)
• Unimos los puntos con una curva suave (sin picos ni brincos) que sigue el patrón que observamos.
Una gráfica con esta forma se conoce como una parábola.
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Interceptos de una gráfica
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Ejemplo
3,0
Solución:
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Ejemplo – continuación
3,0
Solución (continuación):
• Para determinar el intercepto en y, asignamos
a la variable x el valor de 0 y simplificamos.
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Fórmula de Distancia
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Fórmula de Distancia
• Sean P1 y P2 dos puntos en el plano,
La fórmula de distancia
entre dos puntos en el
plano de puede
determinar.
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Aplicando la fórmula de distancia
Localice los puntos A(-3,6) y B(5,1) en el plano y hallar d(A,B).
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Fórmula de punto medio
1 21 2 , .2 2
y yx x
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Ejemplo
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Ejemplo
Solución:
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Ejemplo
Solución:
• Cualquier punto en el eje de x tiene coordenadas (x, 0)
• Utilizamos la fórmula de distancia entre dos puntos en el plano para P(-2,4) y Q(x,0) y la igualamos a 5.
d =5
Determine todos los puntos en el eje de x que se
encuentran a una distancia 5 del punto P(-2,4).
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Simetría • Antes vimos la gráfica de la
parábola y = x2 – 3.
• Nota que si se doblara el plano sobre el eje de y, la parte de la gráfica que queda en el lado izquierdo coincidiría con la parte de la gráfica que está en el lado derecho.
• Gráficas como éstas se llaman simétricas con respecto al eje de y.
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Simetría • Identifica cuál de las gráficas son simétricas con
respecto al eje de y.
a. b. c.
d. e. f.
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Simetría (continuación)
• Una gráfica es simétrica con respecto al eje
de y si un punto (-x, y) está en la gráfica
cuando (x, y) está en la gráfica.
– Para determinar si una ecuación cumple la
condición anterior debemos remplazar x con –x y
simplificar la ecuación nueva.
– Si ambas ecuaciones son iguales, entonces la
gráfica es simétrica con respecto a y.
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Ejemplo
Determinar si y = 3x2 – 10 es simétrica con
respecto al eje de y.
Solución:
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Ejemplo Determinar si y = 12 – 5x3 es simétrica con
respecto al eje de y.
Solución:
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Tipos de Simetría
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Tipos (continuación)
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¿Existe simetría? Deteminar si existe simetría en cada caso:
• x2 + y2 = 7 ¿simétrica con respecto a x?
• y = ¾x3 ¿simétrica con respecto al origen?
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Ejemplo
Construya la gráfica de x = -y2 + 3. Solución:
A. Determinar interceptos
B. Determinar las simetrías:
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Cont. Ejemplo
x y
x = -y2 + 3
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La ecuación de un círculo • Dado un punto C(h, k) en un
plano coordenado, el círculo con
centro C y radio r > 0, consiste
de todos los puntos en el plano
que se encuentran a r unidades
del centro, C.
• Un punto P(x, y) está en el círculo
siempre y cuando d(C, P) = r , o
(por la fórmula de distancia)
rkyhx 22
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Círculos (continuación) • Cuadrando en ambos lados de la fórmula
anterior obtenemos a la ecuación estándar del
círculo,
donde (h,k) son las coordenadas del centro
del círculo y r el radio.
• Si r = 1 , llamamos al círculo
un círculo unitario con
ecuación igual a
22 2x h y k r
122 yx
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Ejemplo Hallar la ecuación del círculo que tiene centro en
C(- 2, 3) y radio igual a 4.
SOLUCION:
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Ejemplo
Dibujar la gráfica del círculo: 163222 yx
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Hallar la ecuación del círculo
El centro del círculo
está en ______
El radio del
círculo es _____.
La ecuación del círculo
es:
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Ejemplo Demuestre que la siguiente ecuación representa un círculo,
hallando su radio y su centro: 3x2 + 3y2 – 12x + 18y = 9
SOLUCION: Si ésta es la ecuación de un círculo, no está en la forma estándar. Para convertirla a la forma estándar debemos usar el método de completar el cuadrado.
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Encontrar el centro y radio del círculo cuya ecuación
es 4x2+4y2-12x+40y+77=0
Ejemplo
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EJEMPLO ADICIONAL DEL USO DE LA FORMULA DE DISTANCIA
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Ejemplo
La bisectriz l es una recta perpendicular al segmento AB y que pasa por su punto medio.
d(A,C)
d(B,C)
d(A,C) = d(B,C), para cualquier
punto C sobre la bisectriz
l Para los puntos A(-3,2) y B(5,-4), demuestre
que C(7,7) es un punto en la bisectriz
perpendicular al segmento AB.
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Solución
• d(A,C)=
2 2
7 3 7 2
2 210 5
100 25
125
d(B, C) =
22
7 5 7 4
2 22 11
4 121
125
5 5 5 5
Como d(A,C) = d(B,C), el punto C(7,7) en un punto
en la bisectriz perpendicular al segmento AB.
A(-3,2) y B(5,-4), y C(7,7)
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EJEMPLO ADICIONAL DE SIMETRIA
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Una gráfica simétrica con respecto al
origen
Por lo tanto, la gráfica de la ecuación es simétrica
con respecto al origen.
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Simetría con respecto al origen (cont.)
• Localizamos los puntos
(0,0), 1
2,1
32, 1,
1
4,
3
2,27
32, 2,2