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MATE 3086

Dr. Pedro Vásquez

UPRM

P. Vásquez (UPRM) Conferencia 1 / 13

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Ecuaciones

Ejemplos1 La suma de tres números enteros positivos consecutivos es 50, hallelos números. En este caso puede definir a x como el primer número,x + 1 como el segundo número y x + 2 como el tercer número, laecuación a resolver es: x + x + 1+ x + 2 = 50:

2 El perímetro de un rectángulo es 60 pies. Encuentre su longitud (l) ysu ancho (a) si la longitud es 8 pies más larga que su ancho Se deberesolver la ecuación 2a+ 2 (a+ 8) = 60

Expresión algebraica Una expresión algebraica es una combinación deletras, números y signos de operaciones.

3 Las ecuaciones de los ejemplos anteriores representan expresionesalgebraicas.

4 8x ! 4y = 3x + 36.P. Vásquez (UPRM) Conferencia 2 / 13

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Ecuación Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresionesalgebraicas, denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos(números reales), y desconocidas o incógnitas (variables), relacionadosmediante operaciones matemáticas.Propiedades Para resolver ecuaciones es importante recordar lassiguientes propiedades:

Propiedad de la identidad de la igualdad: Para todo a 2 R, a = a.Propiedad del inverso aditivo de la igualdad: Para todo a 2 R,a+ (!a) = 0.Propiedad conmutativa de la igualdad: Para todo a, b 2 R, sia = b, entonces b = a.Propiedad transitiva de la igualdad: Para todo a, b, c 2 R, sia = b, y b = c , entonces a = c .Propiedad aditiva de la igualdad: Para todo a, b, c 2 R, si a = b,entonces a+ c = b+ c .Propiedad multiplicativa de la igualdad: Para todo a, b, c 2 R, sia = b, entoncesa# c = b# c .P. Vásquez (UPRM) Conferencia 3 / 13

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5 Algunas aplicaciones de las propiedades:

a Si a = 3, existe !a = !3 tal que 3+ (!3) = 0

1 b Si 5 = 5 existe un número real c tal que 5+ c = 5+ c , para cualquiervalor de c .

Conjunto solución El conjunto solución de una ecuación es el subconjuntode los números reales que al sustituirse por las variables satisfacen laecuación.

Ecuación lineal Una ecuación en la variable x es lineal si se puede expresaren la forma ax + b = c , donde a, b y c son números reales, y a 6= 0.


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Pasos para resolver una ecuación lineal.1Paso 1 Simplificar cada lado de la ecuación.Paso 2 Aplique las propiedades aditiva e inverso aditivo de la igualdad tantas

veces como sea necesario para aislar la variable en un lado de laecuación.

Paso 3 Aplique la propiedad multiplicativa de la igualdad para determinar elvalor de la variable que satisface la ecuación.

6 Resolver las siguientes ecuaciones:a 5x ! 4 = 2x + 8

b 3 (2x + 4) = 3 (3! 4x) + 5


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Solución de ecuaciones que contienen fracciones Primero seeliminan los denominadores y se procede similar al caso anterior.

Pasos para resolver una ecuación con fracciones.1Paso 1 Encuentre el mínimo común denominador (MCD) de todas las

fracciones en la ecuación.Paso 2 Multiplique ambos lados de la ecuación por el mínimo común

denominador.Paso 3 Resuelva la ecuación.

7 Resuelva las siguientes ecuaciones.

a 35 x !

85 =

25 x +

35


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1 b 23 (4z ! 3) =

25 !

115 (4z + 3)

Solución de ecuaciones que contienen decimales Primero seeliminan los decimales y se procede similar al caso de las ecuaciones concoeficientes enteros.

Pasos para resolver una ecuación con decimales.

Paso 1 Exprese todos los números decimales con la misma cantidad de cifrasdecimales o exprese los decimales en forma de fracción y proceda comoen el caso de ecuaciones con fracciones.

Paso 2 Multiplique ambos lados por una potencia de 10 para eliminar losnúmeros decimales

Paso 3 Resuelva la ecuación.


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8 Resuelva las siguientes ecuaciones.a 3x ! 4.2 = 2.15x + 3

b 2 (2.3x + 4.15) = 3 (3.12! 4.8x)


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Solución de ecuaciones con valor absoluto

Para resolver ecuaciones lineales de una variable que contiene valorabsoluto, se debe recordar lo siguiente:Valor absoluto El valor absoluto de un número real x se denota por|x |, y se define por la regla:

|x | =!

x si x % 0!x si x < 0

Por ejemplo: |5| = 5, |!8.5| = ! (!8.5) = 8.5.

Propiedades:

1 |a| % 0, para todo a 2 R

2 |a| % a, para todo a 2 R

3 |a| = |!a|4 |ab| = |a| |b|


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5"""ab

""" =|a||b|, b 6= 0

6 |a+ b| & |a|+ |b| , desigualdad triangular

7 |a| = 0 si y sólo si a = 08 |a| = b si y sólo si [b % 0 y (a = b o a = !b)]9 |a| =

pa2 y |a|2 = a2

Pasos para resolver una ecuación con valor absoluto.

Paso 1 Aisle la expresión con valor absoluto en un lado y la expresión restanteen el otro lado de la ecuación.

Paso 2 Aplique las propiedades 7, 8, ó 9 según sea el caso.Paso 3 Resuelva las ecuaciones resultantes.Paso 4 Verifique si las soluciones satisfacen la ecuación original.


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9 Resuelva las siguientes ecuaciones.a |3x ! 4| = 6

b |4x ! 3| = 2! 3x


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