Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado (2013)Materia:MATEMATICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES IIEl alumno debera contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.Se podra utilizar cualquier tipo de calculadora.

Propuesta A

1. Considera el siguiente problema de programacion lineal:

Maximiza la funcion z = 2x+ y sujeta a las siguientes restricciones:

x− y ≤ 1x+ y ≤ 2x ≥ 0y ≥ 0

a) Dibuja la region factible. (1 punto)

b) Determina los vertices de la region factible. (0.25 puntos)

c) Indica la solucion optima del problema dado y su valor. (0.25 puntos)

2. Para recaudar dinero para el viaje de fin de curso, unos estudiantes han vendido camisetas, bufandas y gorrasa 10, 5 y 7 euros respectivamente. Han recaudado en total 2980 euros. El numero total de prendas vendidas hasido 380. El numero de camisetas vendidas fue el doble del numero de gorras vendidas.

a) Plantea el sistema de ecuaciones que permita obtener el numero de camisetas, bufandas y gorras que sevendieron. (1.5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)

3. Se considera la funcion f(x) =

{| − x− 1| − t si x ≤ 2x− 5 si x > 2

a) Halla el valor de t para que f sea continua en x = 2. (0.5 ptos)

b) Para t = 2, representa graficamente la funcion f. (1 pto)

4. Calcula los valores de los parametros a y b para que la funcion f(x) = x2 + ax + b tenga un mınimo en elpunto (2, 1). (1.5 puntos)

5. En una empresa se producen dos tipos de piezas: A y B. El 20 % son piezas del tipo A y el 80 % piezas deltipo B. La probabilidad de que una pieza de tipo A sea defectuosa es 0.02 y de que una pieza de tipo B seadefectuosa es 0.1.

a) Elegida una pieza al azar, ¿cual es la probabilidad de que sea defectuosa? (0.75 puntos)

b) Se escoge al azar una pieza y resulta no defectuosa, ¿cual es la probabilidad de que sea del tipo A? (0.75puntos)

6. Se considera una muestra aleatoria de 10 consumidores mayores de edad, que en las rebajas de inviernogastaron: 65, 72, 74, 75, 80, 81, 82, 84, 87 y 90 euros respectivamente.

a) Sabiendo que el gasto por persona, en las rebajas de invierno, sigue una distribucion normal de mediadesconocida y desviacion tıpica σ = 20 euros, halla un intervalo de confianza para el gasto medio poblacionalcon un nivel de confianza del 95 %. (1.25 puntos)

b) Explica razonadamente como podrıamos disminuir la amplitud del intervalo con el mismo nivel de confi-anza. (0.75 puntos)

A1.- Solución:

0

0

0

1

0

1

2

0

0

2

5,0

5,121

2

1

0

0

2

1

y

x

y

x

y

xy

y

x

x

xy

y

xxx

xy

xy

y

x

yx

yx

Luego el máximo de z se encuentra en el vértice A(1.5 , 0.5) y es max z=2*1.5+0.5=3.5

A2.- Solución:

Llamamos c al número de camisetas pedido, b al número de bufandas y g al número de gorras.

soluciónla y ntoplanteamie el están Aquí

180

110

90

108012

1900515

2980527

3803

2980527

3802

29807520

2

380

29807510

c

b

g

g

bg

bg

bg

bg

gbg

gbg

gc

gbc

gbc

A3.- Solución:

633

2x encontinua Para

35lim)(lim

31lim)(lim

312)2(

25

21)()

22

22 ttxxf

ttxxf

ttf

xsix

xsitxxfa

xx

xx

Si t=2 no es continua y su gráfica es una especie de v y una semirrecta. Ver gráficos

t=2

t=6

A4.- Solución:

Si en un punto se anula la derivada primera y la segunda es positiva entonces hay un mínimo.

5

23321241)2(

2)(''

44)2(' comoy

0)2(' mínimopor como2)('

)( 2 b

abbabaf

xf

aaf

faxxf

baxxxf

A5.- Solución:

Consideremos los sucesos: A elegir al azar y ser del tipo A, B elegir al azar y ser del tipo B y D

elegir al azar y ser defectuosa. Sabemos que p(A)=0,2. p(B)=0,8 y también:

a) 1,0)(,02,0)(B

DpA

Dp Entonces:

916,0)(1)(

084,08,0*1,02,0*02,0)()()()()(

)(

)()(

)()()(

DpnDp

BPB

DPAPA

DPDP

AP

ADPA

DP

BDPADPDP

b) 0,214916,0

196,0

916,0

98,0*2,0

)(

)()(

)(

)()(

nDP

AnDPAP

nDP

nDAPnD

AP

A6.- Solución:

Para obtener el intervalo de confianza debemos tener en cuenta que:

1·· 2/2/n

zxn

zxP , donde 1- es el nivel de confianza (0,95 en

nuestro caso). x la media de la muestra, calculamos la media de los 10 datos y es 79; la

desviación típica, ahora 20; n el tamaño de la muestra, 10.

)975,0025,01( que ya96,1025,02/05,095,01 2/z .Ver

tabla

a)Luego el intervalo pedido es:

)40,91,60,66(10

2096,179,

10

2096,179·,· 2/2/

nzx

nzx

b) Si queremos obtener un intervalo de anchura menor manteniendo el nivel de confianza

podemos aumentar el tamaño de la muestra; esto hace disminuir el radio del intervalo porque

hace aumentar el denominador de la fracción que aparece en él.

Propuesta B

1. Dadas las matrices: A =

1 −1 11 3 11 0 1

y B =

(−1 15 0

).

a) Calcula la matriz M = (3 · I +A2), donde I es la matriz identidad de orden 3. (0.75 ptos)

b) Calcula la matriz X tal que X ·B = I, donde I es la matriz identidad de orden 2. (0.75 ptos)

2. Una empresa produce tres tipos de bicicletas: de montana, de paseo y estaticas. Para su fabricacion cada bici-cleta necesita piezas de acero, aluminio y fibra de carbono en las cantidades que se indican en la tabla siguiente:

Bicicleta de montana Bicicleta de paseo Bicicleta estaticaPiezas de acero 2 3 1Piezas de aluminio 6 4 6Piezas de fibra de carbono 8 6 6

Si se dispone de 9 piezas de acero, 28 piezas de aluminio y 34 piezas de fibra de carbono:

a) Plantea el sistema que nos permita obtener el numero de bicicletas de cada tipo que se podran fabricarutilizando todas las piezas. (1.5 puntos)

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior. (0.5 puntos)

3. Se considera la funcion f(x) =

{|x− t| si x ≤ 2(x− 3)2 − 1 si x > 2

a) ¿Para que valor de t la funcion f(x) es continua en x = 2? (0.5 ptos)

b) Calcula los extremos relativos de la funcion f(x) en el intervalo (2,+∞). (0.5 ptos)

c) Calcula los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la funcion f(x) en (2,+∞). (0.5 ptos)

4. En un tramo de una montana rusa, la altura alcanzada por el vagon, medida en metros, se ajusta a la funcionf(t) = t3 − 9t2 + 15t+ 38, siendo t el tiempo medido en segundos, 0 ≤ t ≤ 6.

a) ¿En que instante t, el vagon alcanza la altura maxima en ese tramo, y cual es dicha altura? (1 punto)

b) ¿En que instante t, el vagon alcanza la altura mınima en el tramo mencionado, y cuanto vale dicha altura?(0.5 puntos)

5. En un colegio el 30 % de los alumnos juegan al baloncesto, el 40 % juegan al futbol, y el 50 % juegan al futbolo al baloncesto o a ambos deportes.

a) Se elige un alumno al azar, ¿cual es la probabilidad de que juegue al futbol y juegue al baloncesto? (0.75puntos)

b) Si elegimos un alumno al azar y juega al baloncesto, ¿cual es la probabilidad de que juegue al futbol? (0.75puntos)

6. Una fabrica produce cables de acero, cuya resiliencia sigue una distribucion normal de media desconocida ydesviacion tıpica σ = 10 KJ/m3. Se tomo una muestra aleatoria de 100 piezas y mediante un estudio estadısticose obtuvo un intervalo de confianza (898.04 , 901.96) para la resiliencia media de los cables de acero producidosen la fabrica.

a) Calcula el valor de la resiliencia media de las 100 piezas de la muestra. (0.75 puntos)

b) Calcula el nivel de confianza con el que se ha obtenido dicho intervalo. (1.25 puntos)

B1.- Solución:

512

5115

144

212

585

141

300

030

003

3

300

030

003

3;

212

585

141

101

131

111

·

101

131

111

)

2

2

AIM

IA

a

5/11

5/10

15

10

5

1

B1/por adjuntos desta la traspue usamoshallarla para ,·

)1

1

B

BXIBX

b

B2.- Solución:

Llamaremos m al número de bicicletas de montaña pedido, p al número de bicicletas de paseo

y e al número de bicicletas estáticas. El planteamiento y la solución son los siguientes:

2349

23

1p

88p

2ª*3 menos 1ªla

62p2m

2614p6m

2ªla menos la tercerasegunda y la menos 6por 1ªLa

34668

28646

932

e

mpm

epm

epm

epm

B3.- Solución:

202

2x encontinua Para

01)3(lim)(lim

2lim)(lim

2)2(

21)3(

2)()

2

22

222 tt

xxf

ttxxf

tf

xsix

xsitxxfa

xx

xx

gráfica.Ver creciente. es infinitoa 3 de y edecrecient es 3a 2 Dec)

mínimohay (3,-1)f(3)) (3, en luego ,30620)('

02)(''62)('parábola de trozoun segundo El

semirrectauna es zoprimer tro El

21)3(

22)()

2 xxxf

xfxxf

xsix

xsixxfb

B4.- Solución:

Si la derivada primera es 0 y la segunda negativa hay máximo y si la primera es 0 y la segunda

positiva hay mínimo. Hallaremos esos puntos.

)13,5(01830)5(''5

)45,1(0186)1(''10181830)('

186)(''18183)('38189)(

2

223

metrossegmínimoft

metrossegmáximofttttf

ttftttfttttf

B5.- Solución:

Llamemos B al suceso el alumno elegido juega al baloncesto y F al suceso juega al futbol

%66,66%30

%20

)(

)()()

%20%50%40%30)()()()()

Bp

BFpB

Fpb

BFPBpFpBFpa

B6.- Solución:

El intervalo dado corresponde a la fórmula siguiente, donde =10 y n=100, x la media pedida

96,12

96,90104,898

9002

96,90104,898

96,901100

10·

04,898100

10·

·,·)

2/2/

2/

2/2/

z

x

zx

zx

nzx

nzxa

95% alconfianza de Intervalo 95,0105,0025,02/96,1) 2/zb