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UD5 – Ecuaciones y sistemas de ecuaciones
MATEMÁTICAS 3º ESO
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EcuacionesUna ecuación es una igualdad entre expresiones algebraicas.
Una ecuación de primer grado con una incógnita es una igualdad entre expresiones algebraicas de grado uno. Los valores de la incógnita que hacen cierta la igualdad se denominan soluciones de la ecuación.
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Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado:
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Definiciones…
Identidad
Solución de una ecuación
Ecuaciones equivalentes
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Definiciones…
Identidad: una identidad es una igualdad entre expresiones algebraicas que es cierta para cualquier valor de la incógnita
Solución de una ecuación: la solución a una ecuación son los valores de la incógnita que hacer cierta la igualdad entre expresiones algebraicas.
Ecuaciones equivalentes: dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución
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Tipos de ecuaciones
Ecuaciones polinómicasSon ecuaciones de la forma P(x)=0 siendo P(x) un polinomio.
Si el polinomio P(x) es de grado 1, la ecuación polinómica será de primer grado, si el polinomio es de grado 2, la ecuación polinómica será de segundo grado y así sucesivamente.
Habitualmente las ecuaciones polinómicas no se presentan en la forma de la definición, sino que es preciso efectuar una serie de trasnsformaciones para llegar a ella.
Ejemplos:
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Ecuaciones exponencialesSon ecuaciones exponenciales aquellas en las que la incógnita aparece en el exponente de algún término de la ecuación.
Ejemplos:
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Ecuaciones con radicales o irracionalesSon ecuaciones que contienen polinomios bajo un signo radical
Ejemplos:
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Resolución de ecuaciones de primer grado
Procedimiento Ejemplo:
Eliminamos los paréntesis aplicando la propiedad distributiva
Eliminamos denominadores si buscamos fracciones equivalentes con el m.c.m. de los denominadores
Trasposición de términos
Reducción de términos semejantes
Despejar la incógnita
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Resolución de ecuaciones de segundo grado
Tipo Procedimiento Ejemplo:Completas: Aplicar la fórmula
Incompletas: Sacar factor común e igualar cada uno de los factores a cero.
Incompletas: Despejar x2 y luego x aplicando que la operación inversa a elevar al cuadrado es la raíz cuadrada.
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Discriminante y número de soluciones
El estudio del discriminante nos da el número de soluciones que tendrá la ecuación. ¿Por qué?
Ante la fórmula que nos permite resolver ecuaciones de segundo grado:
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Resolución de problemas mediante ecuaciones
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Ecuaciones bicuadradas
Procedimiento Ejemplo:
Cambio de variable
Resolvemos la ecuación de segundo grado en la variable
Deshacemos el cambio de variable
Una ecuación bicuadrada es una igualdad del tipo , siendo
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Ecuaciones irracionalesSon ecuaciones que contienen polinomios bajo un signo radical
Procedimiento Ejemplo:
Aislar un término radical en uno de los dos miembros de la ecuación
Elevamos al cuadrado los dos miembros de la igualdad. CUIDADO CON IDENTIDADES NOTABLES
Si todavía quedan raíces se repite el proceso anterior, si no, se resuelve la ecuación resultante
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Practicamos…
Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales:
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“Ecuaciones visuales”
http://www.educaplus.org/play-13-Ecuaciones-visuales.html
http://www.educaplus.org/play-14-Ecuaciones-visuales-II.html
http://www.educaplus.org/play-15-Puzzle-algebraico.html
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Sistemas de ecuaciones lineales Una ecuación lineal con dos incógnitas es de la
forma donde
Un sistema de dos ecuaciones lineales son dos ecuaciones lineales que tienen que verificarse a la vez.
Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener : Una solución (un valor para x y otro para y): Sistema
compatible determinado Infinitas soluciones: Sistema compatible indeterminado Ninguna solución: Sistema incompatible
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Sistemas de ecuaciones lineales: método de sustitución
Procedimiento Ejemplo:
Despejamos una de las incógnitas en una de las ecuaciones del sistema.
Sustituimos en la otra ecuación la incógnita despejada por la expresión que acabamos de obtener. Así obtenemos una única ecuación con una incógnita que resolvemos.
Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones iniciales y despejamos la otra incógnita
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Sistemas de ecuaciones lineales: método de igualación
Procedimiento Ejemplo:
Despejamos una de las incógnitas en las dos ecuaciones del sistema.
Igualamos las dos expresiones, con lo que obtenemos una única ecuación lineal con una incógnita
Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones iniciales y despejamos la otra incógnita
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Sistemas de ecuaciones lineales: método de reducción
Procedimiento Ejemplo:
Multiplicamos cada ecuación por el número adecuado que nos permita que una de las dos incógnitas tenga los coeficientes opuestos en las dos ecuaciones.
Sumamos las dos ecuaciones y resolvemos la ecuación resultante
Sustituimos el valor obtenido en cualquiera de las ecuaciones iniciales y despejamos la otra incógnita