ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales

7/17/2019 Ecuaciones de Rectas y Sistemas de Ecuaciones Lineales

http://slidepdf.com/reader/full/ecuaciones-de-rectas-y-sistemas-de-ecuaciones-lineales 1/152

Ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales

René Descartes (1596-1650), filósofo y matemático, desarrolló el método para resolver un

problema de geometría sustituyéndolo por un problema de cálculo numérico, utilizando las

llamadas ecuaciones cartesianas.

¿Cómo determinar la ecuación de una recta? ¿De qué manera nos ayuda la ecuación de una

recta a resolver problemas de paralelismo o de ortogonalidad? En este tutorial

desarrollaremos estas dos cuestiones.

También veremos que un sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas se

puede interpretar mediante las ecuaciones de dos rectas. Las coordenadas del punto de corte

de estas dos rectas son la solución de este sistema.

I. Determinar la ecuación de una recta

Sean A(xA, yA) yB(xB, yB) dos puntos dados en un sistema de coordenadas cartesianasxy.

Para determinar la ecuación de la recta que pasa por esos dos puntos (la recta AB) hemos de

hallar la condición necesaria y suficiente para que un punto cualquiera M(x, y) esté alineado

con A yB: esta condición supone que losvectores y deben tener la misma dirección, es

decir, deben ser colineales.

Las coordenadas del vector son (xB -xA, yB - yA), y las coordenadas del vector son

(x -xA, y - yA). Para que dichos vectores sean colineales, se debe cumplir que: (x -xA)

( yB - yA) = ( y - yA)(xB -xA).Se dan los dos casos siguientes:

—si los puntos A yB tienen el mismo valor de la abscisa,k, entoncesxB -xA = 0, y la ecuación

de la recta AB esx=k, que es una recta paralela al eje de ordenadas (eje y);

—sixB -xA ≠ 0, podemos calcular lapendiente de la recta AB: y laordenada en el

origen: n= yA - mxA. La ecuación explícita de la recta AB es: y=mx+n.

Recíprocamente, en un sistema de coordenadas cartesianasxy, el conjunto de puntos M de

coordenadas (x, y) tales que y=mx+nes una recta que no es paralela al eje y.

Ejemplo:



Sean los dos puntos A(4, 2) yB(-1, 3), y un punto M cualquiera de coordenadas (x, y).

Si calculamos las coordenadas de los vectores y , obtenemos (x– 4, y– 2) y (–5,

1).

Decimos que M está alineado con A yB si los “productos cruzados” son iguales, lo que se

traduce en la siguiente ecuación: (x– 4) · 1 = ( y– 2) · (–5), que es la ecuación de la recta AB.Transformando esa igualdad, llegamos a la ecuación:

II. Utilizar la ecuación de una recta

Para averiguarsi un punto pertenece a una recta: sustituimos en la ecuación de dicha recta el

valor de lax por el valor de la primera coordenada del punto, y verificamos si el valor de y que

se obtiene coincide o no con la segunda coordenada del punto. Por ejemplo, ¿pertenece el

puntoE de coordenadas (2, -1) a la recta de ecuación y= –2x+ 3?Para resolver este problema, sustituimosx por 2 en la fórmula –2x+ 3; si obtenemos –1, el

punto está sobre la recta, de lo contrario no lo está.

Por tanto, si sustituimosxpor 2, obtenemos: –2 · 2+ 3 = –1; por tanto, el puntoE sí pertenece a

la recta dada.

Paradibujar una recta de la que conocemos su ecuación, distinguimos dos casos:

—si la ecuación es de la formax =k, la recta es paralela al eje y; situamos el punto de

coordenadas (k, 0) y dibujamos la recta;

—si la ecuación es de la forma y =mx +n, le damos ax dos valores diferentesx1 yx2, y

dibujamos la recta que pasa por los puntos de coordenadas (x1,mx1 +n) y (x2,mx2 +n). Si le

damos ax los valoresx = 0 y , la recta pasará por los puntos (0,n) y .

Ejemplo: queremos dibujar la recta de ecuación .

Le damos ax el valorx= 6, que es divisible entre 3, y calculamos y: .

Obtenemos el punto A de coordenadas (6, 2).

Le damos de nuevo axotro valor, por ejemplo -3; calculamos y para este valor, y obtenemos el

puntoB de coordenadas (-3, 5).



Situamos estos dos puntos en el plano cartesiano y dibujamos la recta.

III. Resolución de problemas de geometría con ecuaciones de rectas

Comprobar si dos rectas son paralelas.

Dos rectas de ecuaciones y=mx+n e y=m’x+n’ son paralelas si y solamente si tienen la

misma pendiente, es decir, sim=m’.

Por ejemplo, la recta de ecuación y la recta de ecuación y= 0,4x- 1 son paralelas

porque podemos escribir y , que es la pendiente de ambas rectas.

Se puede hallar la ecuación de la paralela a una recta dada, que pase por un punto dado.

Por ejemplo, la paralela a la recta de ecuación y= 2x+ 3 que pase por el punto A(1, 4) también

tendrá de pendiente 2. Su ordenada en el origen,n, valdrá:n= 4 - 2 · 1 = 2. Así, hemos obtenido

la ecuación: y= 2x+ 2.

IV. Determinar el punto de intersección de dos rectas

La ecuación de una rectaD se puede escribir de la formaax+by=c dondea yb no pueden ser

ambos nulos a la vez. Este tipo de ecuación se llama ecuación lineal con dos incógnitas. Las

soluciones a esta ecuación son las coordenadas de los puntos pertenecientes a la rectaD.

Hallar las coordenadas del punto donde se cortan dos rectas es lo mismo que resolver un

sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, formado por las ecuaciones de las dos

rectas. Es un sistema de la forma:

Resolver este sistema es hallar todos los pares (x, y) que son solución de las dos ecuaciones a la

vez. Si tales pares existen, los puntos que vienen dados por estos pares pertenecen a las dos

rectas de ecuacionesax+by=c ya’x+b’y=c’.

Distinguimos tres casos, presentados en la tabla siguiente.



Existen tres métodos de resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

—el método desustitución, que consiste en despejar de una de las dos ecuaciones una de las

incógnitas, expresándola en función de la otra, y sustituirla en la otra ecuación;—el método deigualación, que consiste en despejar una de las dos incógnitas, la misma, en

cada una de las dos ecuaciones, expresándola en función de la otra incógnita, e igualar las

expresiones obtenidas;

—el método dereducción, que consiste en combinar las dos ecuaciones en una sola ecuación

con una única incógnita. Resolviendo esta ecuación obtendremos el valor de dicha incógnita, y

sustituyendo este valor en cualquiera de las dos ecuaciones originales, obtendremos el valor de

la otra incógnita.

Recuerda

—Si una recta es paralela al eje vertical, su ecuación es de la formax=k; de no ser así, su

ecuación es de la forma y=mx+n, dondem es la pendiente de la recta ynes su ordenada en el

origen.

—Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente.

—Dos rectas son perpendiculares si el producto de sus pendientes es igual a -1.

—Para hallar las coordenadas del punto en donde se cortan dos rectas, hemos de resolver el

sistema de ecuaciones lineales formado por las ecuaciones de las dos rectas.



Los ángulos alternos internos son los que están entre las paralelas a distinto

lado de ellas y a distinto lado de la transversal. Los ángulos

alternosinternos son iguales. &bserva la ilustraci'n$ los ángulos y son

alternos internos, y son iguales. Los ángulos y son alternos internos, y son

iguales (ver el art)culo *econocer los tipos de ángulos.

Los ángulos y Â son iguales, puesto que las l)neas xy y AC son paralelas. +or

lo tanto, .

gualmente, los ángulos y son iguales. +or consiguiente, .

-abemos que , dado que es un ángulo llano.

partir de aqu) podemos deducir que en el triángulo .

II. Calculando los ángulos de un triangulo

1. En cualquier triánguloEjemplo$ queremos calcular el ángulo Â del triángulo .

plicamos la regla$ Â / 110 / 23 4 1!".

partir de aqu) hacemos los cálculos$ Â / 156 4 1!", dedonde Â 4 1!" 7 156 4 01.

2. En un triángulo isósceles

Ejemplo$ queremos calcular los ángulos y del triángulo is'sceles en C.



plicamos la regla$ . 8omo es un triángulo is'sceles

en C, sabemos que , por lo

tanto, Â / Â / 0! 4 1!"; 2 Â / 0! 4 1!"; 2 Â 4 1!"9 0! 4 152,

y .

El ángulo Â (y el ángulo : mide .

. En un triángulo rectángulo

La suma de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo es 6" (esto es

%ácil de comprobar porque el tercer ángulo es recto:.

El triángulo tiene un ángulo recto en A.

s)$ Â 4 6". +or lo tanto, , lo cual signifca que .

Ejemplo$ queremos calcular el ángulo del triángulo , mostrado en la fgura

3, el cual tiene un ángulo recto en A.

plicamos la regla estudiada anteriormente$ . partir de

aqu), y .

El ángulo mide 55.

Nota$ los ángulos agudos de un triángulo rectángulo is'sceles miden cada uno

03. Esto es as) porque se trata de un triángulo rectángulo y, por lo tanto, uno

de sus ángulos es recto (igual a 6"#:. 8omo los ángulos de un triángulo deben

medir 1!"#, entonces$ 1!"# 7 6"# 4 6"#. Luego lasuma de los dos ángulos



agudos del triángulo rectángulo is'sceles debe ser 6". +or consiguiente, cada

uno de ellos vale grados, esto es$ 03.

!. En un triángulo equilátero

Los tres ángulos de un triángulo equilátero miden cada uno ".

Los ángulos son iguales porque el triángulo es equilátero, y como su suma es

1!",cada uno mide grados, esto es$ ".

Matematicas : Geometria-Poliedros

8alcular el área y el per)metro de un

rectángulo

Para calcular el perímetro P y el área A de una piscina rectangular,

deemos conocer su largo b y su anc!o a."ntonces aplicaremos

la #órmula P = $ x a + $ x b y A = b x a. %in emargo, ¿cómo podemos

e&plicar estas dos #órmulas tan conocidas?



I. El perímetro de un rectángulo+ara calcular el perímetro " de un rectángulo de dimensiones # y a podemos

usar una de las siguientes %'rmulas$

" 4 2 < # / 2 < a; o sacando %actor com=n a 2$

" 4 2 < (# / a:.

>onde # representa la longitud de la base, y a la medida de su altura.

La fgura de abao nos muestra por qué$

En estas %'rmulas, ", # y a deben estar e<presados en las mismas unidades de

medida; por eemplo, en cent)metros.

Un caso especial$ el perímetro " de un cuadrado de lado # es igual a 0 ? #.

II. El área de un rectángulo+ara calcular el área de un rectángulo observa la fgura 2. +odemos

e<perimentar rellenándolo con baldosas de 1 cm de lado cada una. +ero para

rellenar el rectángulo completamente necesitaremos a@adir a esas baldosas$

dos rectángulos de ",3 cm por 1 cm (en narana:, seis rectángulos de ",23 cm

por 1 cm (en violeta: y un rectángulo de ",23 cm por ",3 cm (en verde:.

-abemos que el área de cada baldosa es de 1 cmA. partir de aqu)

podemos calcular el área de los rectángulos coloreados$

Brectángulos naranas$ ;

Brectángulos violetas$ ;



Brectángulos verdes$ .

+or lo tanto, el área del rectángulo grande, en cmA, es$

12 / 2 ? ",3 / ? ",23 / ",123 4 10,23.

+odemos ver que el producto de ,3 (#: ? 2,23 (a: es también 10,23.

s) que el área del rectángulo puede ser calculada multiplicando la longitud

de su base (#: por la de su altura (a:.

El área A de un rectángulo con lados de longitud # y a viene dada mediante

la fórmula$ A 4 # ? a.

+ara usar esta fórmula, # y a han de estar e<presadas en las mismas unidades

de medida, y en la unidad correspondiente; por eemplo$ # ya en cm, y A en

cm2.

-i a y # tienen la misma longitud, entonces tenemos un cuadrado.

La %'rmula anterior se convertir)a, por eemplo, en$ A 4 # ? #.

Cue también podemos escribirla como A 4 #A (que se lee$ A igual a b al

cuadrado; #A es una %orma de simplifcar la escritura de # < #:.

tags$area de un rectangulo,area de un rectangulo %ormula,area rectangulo,areade triangulo rectangulo,area de un rectangulo %ormula,area de un triangulorectangulo,perimetro de un triangulo rectangulo,volumen de unrectangulo,area de rectangulo,%ormula del area de un rectangulo,%ormula parasacar el area de un rectangulo,problemas de triangulos rectangulos,area delrectangulo %ormula,%ormula del triangulo rectangulo,el area de unrectangulo,calcular el area de un rectangulo,%ormula del area delrectangulo,%ormula del rectangulo

Matematicas : Geometria-Poliedros

8alcular el área de un romboide

%aemos 'ue el área A o super(cie S de un rectángulo de ase b y

altura a, se calcula mediante la #ormula) A * b & a .

¿+u #órmula parecida podemos utili-ar para calcular el área de un

romoide y cuáles son las aplicaciones directas de esa #órmula?



I. La fórmula de un romboide&bserva el romboid e de la fgura 1. Damos a utiliar la letra # para re%erirnos a

la longitud de su base. F e<presamos mediante la letra $ la medida de su

altura, es decir la distancia que separa las dos bases.

+or eemplo, supongamos que la base del romboide de la fgura 1 mide 1" cm y

que su altura es de 0 cm.

+odemos calcular el área A de un romboide con base # y altura $, mediante la

%'rmula$ A 4 # ? $.

+ara poder aplicar esta %'rmula es necesario que # y $ estén e<presadas en las

mismas unidades de medida; de esta %orma el valor que obtengamos

para A también estará e<presado en la misma unidad de medida. +or eemplo,

si # y$ vienen e<presados en cm, entonces el resultado de A vendrá e<presado

en cmA.

Nota$ el área de un romboide ser)a equivalente a resolver el área de un

rectángulo cuyas dimensiones %ueran # y $. &bserva en la ilustraci'n c'mo

podemos convertir un romboide en un rectángulo de la misma superfcie.

II. Eemplos prácticos de romboides

1. Eemplo 1



8alculemos el área del romboide de la fgura 1 usando las pautas que

acabamos de aprender$

Eemplo 1$ # 4 1" cm; $ % 0 cm; 1" < 0 4 0"; el área del romboide es de 0"

cm2.

Eemplo 2$ # 4 3 cm; $ 4 ! cm; 3 ? ! 4 0", el área del romboide es de 0" cm2.

+or supuesto, el resultado es el mismo.

2. Eemplo 2

En este eemplo vamos a usar el área de un romboide para calcular la

longitud de uno de sus lados.

En la fgura 5, ABC& es un romboide donde$ A& 4 0 cm, &' 4 1, cm

y C( 4 2 cm. 8alcula AB.

+odemos calcular el área del romboide usando dos métodos$

Bhaciendo que # 4 A& 4 0 cm y $ 4 C( 4 2 cm$ 0 ? 2 4 !; porconsiguiente A 4 ! cm2;

Bhaciendo que # 4 AB 4 x cm y $ 4 &' 4 1, cm$ x G 1, 4 1, x ; por

consiguiente A 4 1, x cm2.

Los dos métodos deben dar el mismo resultado. +or lo tanto, 1, x 4 !. F, de

esa manera, podemos obtener el valor de x)



2. *órmula de un triangulo

La %'rmula que nos permite calcular el área A de un triángulo de base # y

altura $ es$ .

+ara aplicar correctamente esta %'rmula, # y $ deben estar e<presados en las

mismas unidades de medida, y A vendrá dada en las unidades

correspondientes; por eemplo$ si # viene dado en cm, entonces

debemos trabaar con $ e<presada en cm y el resultado que obtengamos

para A vendrá e<presado en cm2.

5. Eemplo

Iomemos el lado AB como la base del triángulo que aparece en la fgura 5.

plicamos la %'rmula del área con los siguientes datos$ # 4 0 cm y $ 4 5,3 cm.

. +or tanto, el área del triángulo es de J cm2.

0. Un caso especial

En el caso del triángulo rectángulo, si escogemos uno de los catetos como

base, la altura correspondiente a él es precisamente el otro cateto. Es decir, en

el triángulo rectángulo, dos de sus alturas se superponen a los catetos y, por lo

tanto, miden lo mismo que ellos.



En la fgura 3, el área A del triángulo con el ángulo recto en +, viene dada por

la %'rmula$ .

II. Suplementos de un triangulo

1. &emostración e la -órmula

La fgura servirá como eemplo para demostrar la %'rmula que calcula el área

del triágulo$

El área del romboide es . El área de cada triángulo es usto la mitad del

área del romboide; por lo tanto, el área del triángulo es$ .

2. Calcular la altura e un triángulo

es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en A, donde AB 4 0

cm, BC 4 3 cm y AC 4 5 cm. Damos a calcular la altura $ 4 A'.



El área del triángulo es$ .

Esta área ( cm2: también es igual a$ . +or consiguiente, ; y

despeando$ ; y .

La altura A' mide 2,0 cm.

tags$area de un triangulo,area del triangulo,area triangulo,area de un triangulorectangulo,area triangulo equilatero,area del triangulo rectangulo,areatriangulo rectangulo,calcular el area de un triangulo,%ormula de area de untriangulo,triangulos rectangulos,%ormula del area del triangulo,area detriangulos,areas de triangulos

triangulos

http://www.scribd.com/doc/15982872/triangulos

http://www.scribd.com/doc/15982872/triangulos



Matematicas : Geometria

Calcular la distancia entre dos puntos

Si utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas para representar



puntos sobre un plano, podemos calcular la distancia entre dos puntos

cualesquiera del plano conociendo sus coordenadas.

¿Cómo calcular esa distancia? ¿A qué lo podemos aplicar?

I. La fórmula

Sea un sistema de coordenadas cartesianasxy, y sean A yB dos puntos del plano, de

coordenadas (x, y) e (x', y'), respectivamente.

La distancia entre esos dos puntos A y B viene dada por la fórmula:

II. Aplicaciones

1. Determinar si cuatro puntos dados forman un cuadrilátero y de qué tipo

Situamos los puntos A(-2, -3),B(-1, 3),C(4, -2) yD(5, 4) en un sistema de coordenadas

cartesianas, tomando como unidad de longitud el centímetro.

Vamos a demostrar que el cuadrilátero ACDB es un rombo. Para ello, calculamos la longitud de

uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:



Así pues,d( A,C) =d(C,D) =d(D, B) =d(B, A), es decir, los cuatro lados del

cuadrilátero ACDB tienen la misma longitud, por tanto, es un rombo.

2. Determinar si tres puntos dados forman o no un triángulo rectángulo

Situemos los puntos A(2, -5),B(0, 3) yC(-3, 0) sobre un sistema de coordenadas cartesianas,

tomando como unidad de longitud el centímetro.

Vamos a demostrar que el triángulo es rectángulo. Para ello, calculamos la longitud de

cada uno de sus lados. Aplicando la fórmula, tenemos:

Comparamos d (B, A)² y d (C, B)² d ( A, C )².

y .



d (B, A)² ! d (C, B)² d ( A, C )², por tanto, el tri"n#ulo tiene un

"n#ulo recto en C de acuerdo con el teorema de $it"#oras.

3. Comprobar si un punto dado pertenece o no a una circunferencia

Situemos los puntos H(-1, 2) y M(3, 5) sobre un sistema de coordenadas cartesianas, tomando

como unidad de longitud el centímetro. Queremos demostrar que M es un punto que

pertenece a la circunferencia de centro H y radio igual a 5.

Calculamos la distancia d (M, H ). %plicando la fórmula, obtenemos:

.

d (M , H ) ! &. $or tanto, M es un punto de la circunferencia con centro

en H y radio i#ual a &.

4. Comprobar que un punto está sobre la mediatriz de un segmento

Situemos los puntosE(0, 2),F(3, -1) yB (-1, -2) sobre un sistema de coordenadas cartesianas,

tomando como unidad de longitud el centímetro.



Calculamos d (E , B) y d (F , B):

.

d (E , B) ! d (F , B). 's decir, B es equidistante de E y de F , lo que

demuestra que B est" sobre la mediatriz del se#mento EF .



Calcular el "rea de un crculo



Podemos calcular el área de un círculo de forma aproximada si lo reemplazamos por un

polígono regular. Cuanto mayor sea el número de lados del polígono, más precisa será la

aproximación. Este fue el método usado por los griegos antes de que descubrieran el

número . ¿Qué método usamos nosotros en la actualidad?

I. Calcular el área de un círculo

1. Por aproximación

Podemos demostrar que el área de los polígonos que aparecen debajo, viene determinada por

las siguientes fórmulas:

—el cuadrado tiene un área igual a: 2 xr2;

—el hexágono tiene un área aproximadamente igual a: 2,6 xr2;

—el octógono tiene un área aproximadamente igual a: 2,8 xr2;

-—el dodecágono tiene un área igual a: 3 xr2.

Vemos en la figura que cuanto mayor es el número de lados del polígono, más se aproxima su

área a la del círculo.

2. Usando la fórmula exacta

El área A de un círculo con radior es igual a xr2. Recuerda que el valor de es

aproximadamente: 3,14.

Por lo tanto: A = ×r2 = ×r ×r.

Para usar correctamente esta fórmula debes tener en cuenta las unidades de medida en que

vienen expresados A yr; por ejemplo, sirviene dado en cm, entonces el valor de A vendrá

expresado en cm2.



II. Ejemplos

1. Primer ejemplo

Calcular el área A de un círculo cuyo radio mide 10 cm.

A = × 102

A= × 10 x 10

A= × 100

A 3,14 × 100

Por consiguiente, A 314 cm².

2. Segundo ejemplo

Calcular el área A de un círculo de 25 m de diámetro.

Recuerda que: diámetro = 2 xr; por lo tanto, el radio mide la mitad: 12,5 m.

A = × 12,52

A= × 12,5 x 12,5

A= × 156,25 A 3,14 × 156,25

Por consiguiente, A 491 m².

Calcular el "rea y el volumen de una esfera

Imaginemos que queremos forrar una naranja con papel. ¿Cuáles serían las dimensiones

adecuadas de la hoja de papel que debemos emplear? Para resolver este problema

necesitamos conocer la superficie de la naranja, que suponemos es esférica. Solonecesitamos un dato para poderlacalcular: el radio de la esfera. Basta pues con medir el

diámetro de la naranja y dividir el resultado entre dos antes de aplicar la fórmula.

I. El área de una esfera

1. La fórmula

El área de una esfera de radior viene dada por la fórmula: .



Notas:—Para aplicar esta fórmula, A yr deben estar expresadas en unidades que se correspondan,

por ejemplo, Aen cm2 yren cm.

—Esta fórmula contiene a , que ni es un número decimal exacto ni una fracción. En

consecuencia, el valor del área de una esfera no será un valor exacto sino que contendrá al

número .

2. Ejemplo

Problema: queremos hallar el área de una pelota de ping-pong, sabiendo que su diámetro mide

38 mm. Daremos en primer lugar el valor exacto, y después un valor aproximado a la cifra de

las unidades, es decir, redondeado a 1 mm2.Solución: calculamos primero el radio de la pelota, que es la mitad de su diámetro, es decir,

19 mm ( ).

Aplicamos ahora la fórmula: 4 × 192 = 1.444 , de manera que la superficie exacta de la

pelota es A = 1.444 mm2.

Utilizando una calculadora obtenemos un valor aproximado, que redondeado a 1 mm2 es: A

4.536 mm2. Para forrar una pelota de ping-pong hace falta una superficie de papel cuya área

sea al menos igual a 50 cm2 (necesitaremos un poco más de papel para poder hacer los

pliegues).

II. El volumen de una esfera

1. La fórmula

El volumenV de una esfera de radior viene dado por la fórmula siguiente:V = r3.

Notas:

—Para aplicar esta fórmula,r yV deben estar expresados en unidades que se correspondan,



por ejemplo,r en cm yV en cm3.

—Al igual que para el área, el resultado exacto del volumen de una esfera contiene a .

2. Ejemplos

Problema 1: queremos hallar cuántos litros de aire caben en un balón de fútbol de radio 11 cm

(suponiendo que el balón es perfectamente esférico).Solución: el valor exacto en cm3 de su volumen es:

Utilizando una calculadora obtenemosV 5.575 cm3, lo que equivale aV 5,575 litros.

(Recuerda: 1 cm3 = 1 ml).

Problema 2: si estimamos que la Tierra es una esfera con un radio aproximado de 6.400 km,

podemos calcular su volumen aproximado.

Solución: efectuando la operación × × 6.4003 resulta 1.100.000 millones de km3.

Ver también artículo Describir y dibujar una esfera.

Calcular el volumen de un ortoedro

Tomemos un cajón con forma de ortoedro. ¿Qué cantidad de agua sería necesaria

para llenarlo hasta el borde? Resolver este problema es lo mismo que calcular el

volumen de un ortoedro.

I. Calcular el !olumen de un caón

Tomemos una caja con forma de ortoedro cuyas dimensiones sean: 2 cm, 3 cm y 5 cm.

Un centímetro cbico (escrito: 1 cm3) se define como el volumen de un cubo con una

arista de un centímetro (or el mismo motivo !ue un centímetro cuadrado es el "rea de un

cuadrado con un lado de un centímetro).#n $eneral, el cm3 es una unidad de volumen.

%os asos !ue nos muestra la fi$ura 2 dan a entender !ue odríamos colocar 3& cubos de 1

cm de arista dentro de la caja (5 ' 3 ' 2 3&).



ada cubo tiene un volumen de 1 cm3. #sto si$nifica !ue el volumen de la caja es i$ual a3& cm3.

II. Caso general

*uon$amos !ue a, b y c son las dimensiones de un ortoedro. *i tomamos la fi$ura dearriba como ejemlo, a 5 cm, b 3 cm y c 2 cm.

#l volumen del ortoedro es: V a ' b ' c.

+ara usar correctamente esta frmula, a, b y c deben estar e-resadas en las mismasunidades de medida, esto es: en cm, y entonces V vendr" e-resado en cm3.

Nota: ara calcular el volumen de un cubo de arista a, usaremos la frmula de manera

simlificada, V = a3, dado !ue en este caso a b c; or lo !ue V a ' a ' a, esdecir: V = a3.

Calcular el volumen de un prisma recto o un cilindro

Las áreas laterales de un prisma recto y de un cilindro se expresan mediante la misma

fórmula: A =P ×h (dondeP es el perímetro de la base).

¿Cómo podemos calcular sus volúmenes?

I. Volumen de un prisma recto

1. Fórmula

El volumenV de un prisma recto de alturah y con una base de áreaB viene dado por la

fórmula:V =B ×h.



Para aplicar esta fórmula,h,B yV deben estar expresadas en unidades de medida que se

correspondan; por ejemplo, sih va expresada en cm,B irá en cm2 yV en cm3.

2. Ejemplos

Queremos calcular el volumen de los prismas rectos de la figura 2.

Prisma 1: sus bases son trapezoidales (en el diagrama, el prisma no descansa sobre su base).

Calculamos el área de la base, del trapecio, usando la fórmula , dondeB = 2 m,

b = 1 m yh = 12 m; entonces: ; por tanto, el área de la base del prisma es 18 m2.

Calculamos el volumen del prisma usando la fórmulaV =B ×h, dondeB = 18 m2 yh = 25 m;

18 × 25 = 450; por tanto, el volumen del prisma es 450 m3.

Prisma 2: se trata de un prisma cuya base tiene forma de “U”, tal como aparece en la

ilustración de arriba.Podemos calcular el área de la baseB mediante la siguiente resta:B = área ( ABCD) - área

(EFGH) = 16 cm2 – 10,5 cm2 = 5,5 cm2 (4 × 4 = 16; 3 × 3,5 = 10,5 y 16 – 10,5 = 5,5).

De esta manera, calculamos el volumen del prisma usando la fórmulaV =B × h,

dondeB = 5,5 cm2 yh = 2 m = 200 cm; 5,5 × 200 = 1.100. Por tanto, el volumen del prisma es

1.100 cm3.



II. Volumen de un cilindro

1. Fórmula

El volumenV de un cilindro de alturah y radioR viene dado por la

fórmula:V=B·h, dondeB es el área de la base yh es la altura. El área de la base es el área de

un círculo, por lo queB= ·R2. Sustituyendo esta ecuación en la del volumen tenemos

que:V= ·R2 ·h.

Para aplicar estas fórmulas,h,R,ByV deben estar expresadas en unidades de medida que se

correspondan; por ejemplo,h en cm,R en cm,B en cm2 yV en cm3.

2. Ejemplo

Calculemos el volumen de un cilindro de radio 5 cm y altura 10 cm.

V= ·R2 ·h;V= 3,14 · 52 · 10 = 785 cm3 es el volumen del cilindro.

Calcular el volumen de una pirámide o de un cono

Se supone que ya sabemos cómo se calcula el volumen de un prisma recto y de un cilindro.

La misma fórmula proporciona el volumen para ambos.

¿Podrá una misma fórmula permitirnos calcular el volumen de una pirámide y de un cono?

I. El volumen de la pirámide



1. Fórmula

Supongamos que tenemos una pirámide de alturah y que la superficie de su base tiene un

valorB.

El volumen de la pirámide vendría dado por la fórmula: , o bien: .

DondeV, B yh deben ir expresadas en unidades de medida que se correspondan; por ejemplo,

sih se expresa en cm,B irá en cm2 yV en cm3.

Nota: el volumen de una pirámide es una tercera parte del volumen de un prisma recto quetenga la misma base y la misma altura.

2. Ejemplo

Problema: calcula el volumen de una pirámide regular de base cuadrada cuyo lado AB mide 7

m, y con una arista AS de 8 m.



Solución:

—Antes de poder usar la fórmula , debemos calcular el valor del área de la base

(B). Como la base es un cuadrado, el área será:B =l2;B =l ×l;B = 7²;B = 49 m2.

—También debemos calcular la alturaSH de la pirámide.

Observa la figura y comprobarás que para hallar la alturaSH del triángulo , es necesario

usar el teorema de Pitágoras:h2 =C2 +c2, que si lo adaptamos al problema: AS2 =SH2 + AH2,

y despejando tenemos queSH2 = AS2 - AH2; .

Para hallarSH tan solo necesitamos introducir los datos en la fórmula anterior; el único

problema es que aún no conocemos el valor de AH. Veamos:

El triángulo es un triángulo rectángulo isósceles, por lo que AH = HB. Si usamos el

teorema de Pitágoras tenemos que: AB2 = AH2+ AH2; AB2= 2 AH2; ;

Por lo tanto:

Ahora ya podemos hallarSH:

;



Por fin tenemos los datos necesarios para sustituirlos en la fórmula del volumen de la

pirámide: el área de la base (B = 49 m2) y la altura (SH = 6,29 m).

Como , sustituyendo tenemos que:

; y, por tanto:V = 102,7 m3.

II. El volumen del cono

1. Fórmula

Un cono tiene una alturah y una superficie de su base que llamaremosB.

Su volumen vendrá dado por la fórmula: , o bien: .

DondeV, B yh deben ir expresadas en unidades de medida que se correspondan; por ejemplo,

sih se expresa en cm,B irá en cm2 yV en cm3.

Notas:

—el volumen de un cono es la tercera parte del volumen de un cilindro que tenga la misma base y altura:



—sir es el radio de la base: .

DondeV, r yh deben ir expresadas en unidades de medida que se correspondan; por

ejemplo,h en cm,r en cm yV en cm3.

2. Ejemplos

Problema 1: calcular el volumen de un cono de 7 cm de altura, cuya base circular tiene un radio

de 4 cm.Solución: usando la fórmula ,

tenemos: .

El volumen de este cono es aproximadamente de 117 cm3.

Problema 2: tomamos un triángulo rectángulo y lo hacemos rotar en torno a uno de sus catetos,

formándose en su revolución la figura de un cono. Dependiendo de cuál sea el cateto que

escojamos como eje de rotación, obtendremos uno de los dos conos que aparecen en la figura

de abajo. Si sabemos queC = 8 cm yc = 6 cm, ¿cuál de los dos conos tendría mayor volumen?



Solución: el radio de la base del primer cono mide 6 cm y su altura 8 cm.

Su volumen, en cm3, es: .

El radio de la base del segundo cono mide 8 cm y su altura 6 cm.

Su volumen, en cm3, es: .

Por consiguiente, el segundo cono es el que tiene mayor volumen.

Calcular la distancia entre un punto y una recta

Tenemos que dibujar el segmento más corto que une el punto con la recta. ¿Por qué hemos

de utilizar una escuadra?

I. Distancia de un punto a una recta

1. Propiedad

Sear una recta cualquiera y A un punto del plano. H es el punto en el que la perpendicular a la

rectar, trazada desde el punto A,corta a dicha recta r. H es el punto der más próximo al

punto A.



En la figura vemos que si Mes un punto de la recta diferente de H, entonces AM > AH.

2. Demostración

En primer lugar observamos que esta propiedad se cumple si A pertenece ar. Efectivamente,

en este caso, H = Ay por tanto AH = 0, y si M es diferente de H (por tanto, también diferente

de A) entonces AM > 0.

A continuación, consideramos el caso en que A no pertenezca ar. Utilizando de nuevo la figura

1, construimos el punto A’,simétrico de A con respecto ar.

La recta AA' es perpendicular ar. Los puntos A, H y A' están alineados y H es el centro del

segmento AA'. Se cumple que AA' = 2 AH. (1)

Además, como M está sobre la rectar, se cumple que A'M = AM. (2)

Consideremos los tres puntos A, A' y M. Por la propiedad de un triángulo según la cual la

longitud de uno cualquiera de sus lados es siempre menor o igual que la suma de las

longitudes de los otros dos, se cumple que: .

Usando las ecuaciones (1) y (2), obtenemos . Simplificando esta inecuación,

dividiendo sus dos miembros entre 2, resulta: , que es lo que queríamos demostrar.

3. Definición

Sear una recta cualquiera, A un punto y H el punto donde corta la perpendicular a la

rectar trazada desde el punto A.

La distancia del punto Aa la rectar es la longitud del segmento AH.

En el apartado I.1 vimos que esta es la distancia más corta entre A y un punto de la rectar.

II. Consecuencias



1. La hipotenusa de un triángulo rectángulo

Propiedad: Sea un triángulo rectángulo, cuyo ángulo recto corresponde al vértice A. La

hipotenusaBC es su lado más largo.

—La distancia deB a la recta AC esBA, por tanto,BC >BA.

—La distancia deC a la recta AB esCA, por tanto,BC >CA.

Esto prueba que la hipotenusa es mayor que cualquiera de los catetos.

2. Puntos situados a cierta distancia de una recta dada

Propiedad: Sear una recta yd un número real positivo. El conjunto de puntos situados a una

distanciadde la rectar forma dos rectas que son paralelas ar.

Aplicación: seanr ys dos rectas secantes. Hallar los puntos que distan 2 cm der y 3 cm des.



Hemos dibujado de rojo el conjunto de puntos que distan 2 cm dery de verde el conjunto de

puntos que distan 3 cm des.

Estas cuatro rectas se cortan en A,B,C yD, que son los puntos que distan 2 cm der y 3 cm

des.

calcular un angulo de un triangulo

Para calcular la longitud de un lado de un triángulo rectángulo

conociendo lo 'ue miden los otros dos, utili-amos el teorema de

Pitágoras. %i solo conocemos un lado y un ángulo agudo, podemos

usar el seno, el coseno o la tangente de este ángulo.

I. Calcular la longitud de un ladoCueremos calcular la longitud de un lado de un triángulo rectángulo

conociendo lo que mide otro de sus lados y la amplitud de uno de sus ángulos

agudos. dentifcaremos en la fgura del triángulo el lado y el ángulo conocidos,

as) como el lado cuya longitud queremos hallar. &bservando el triángulo,

deduciremos qué ra'n trigonométrica debemos utiliar$ el seno, el coseno o la

tangente.

Deámoslo con un eemplo.

"ro#lema) es un triángulo rectángulo en el que es el ángulo recto, la

longitud del lado +( 4 5 cm y 4 2. Cueremos calcular lo que miden los

lados (/ e +/ apro<imando sus valores hasta las centésimas, es decir, hasta

","1 cm.

0olución) conocemos la longitud del cateto +( , que es el lado opuesto a , y

queremos hallar la longitud de (/, que es la hipotenusa del triángulo; podemos



por tanto usar el seno del ángulo . En general, en un triángulo rectángulo, el

seno de un ángulo agudo es igual a la ra'n .

+odemos escribir$ ; donde sustituyendo resulta . F

despeando queda .

Usando una calculadora, obtenemos$ (/ ,!0 cm.

8alculemos la longitud del lado +/$ conocemos la longitud de +( , que es el cateto

opuesto a , y queremos hallar la longitud de +/, que es el cateto contiguo a ;

podemos, por tanto, usar la tangente del ángulo . En general, en un triángulo

rectángulo, la tangente de un ángulo agudo es igual a la ra'n .

+odemos escribir$ ; donde sustituyendo resulta . F despeando

queda .

Usando una calculadora, obtenemos$ +/ ,13 cm.

II. Calcular un ánguloCueremos hallar la amplitud de un ángulo de un triángulo rectángulo,

conociendo las longitudes de dos de sus lados. Kastará con identifcar en la

fgura del triángulo los dos lados conocidos y el ángulo que

queremos calcular para decidir cuál de las raones trigonométricas hemos de

usar$ el seno, el coseno o la tangente.

Deámoslo con un eemplo.

"ro#lema) es un triángulo rectángulo en el que es un ángulo recto, la

longitud del lado 4 J m, y la del lado N 4 6 m.

Cueremos hallar la amplitud del ángulo apro<imando su valor hasta las

décimas, es decir, hasta ",1.



Usando un sistema de re%erencia, asociamos a cada punto del plano un par de

n=meros reales traando rectas paralelas a los ees que se crucen en dicho

punto.

+or eemplo, hallemos las coordenadas del punto A de la fgura anterior.

l punto donde se cruan 3x y la recta paralela a 3y que pasa por A lollamamos A x , y al punto en que 3y y la recta paralela a 3x que pasa por A se

cruan, lo llamamos A y .

+ara hallar las coordenadas de A$

Bpara la coordenada x de A, tomamos el valor del punto A x representado sobre

el ee 3x con origen en 3;

Bpara la coordenada y de A, tomamos el valor del punto A y representado sobre

el ee 3y con origen en 3,

En este caso, las coordenadas del punto A son (5, 2:.

Notas)

B-i los ees son perpendiculares se trata de un sistema de re%erenciaortogonal.

B-i los ees son perpendiculares y si las unidades elegidas sobre ambos ees

miden igual, entonces 3xy es un sistema de re%erencia ortonormal o plano xy .

II. $Cómo de&nimos un !ector% $Cuándo son iguales dos!ectores%>ado un plano xy en el que se ha defnido una unidad de longitud, un

vector se caracteria$

Bpor la direcci'n de la recta AB;

Bpor su sentido$ de A hacia B;



By por su longitud o m'dulo$ la distancia ( A, B:.

El vector es igual al vector si los dos vectores tienen$

Bla misma direcci'n, es decir, la recta AB es paralela a la recta C&;

Bel mismo sentido, lo que signifca que los puntos B y & están en los e<tremosde la recta AC;

Bla misma longitud, lo que signifca que ( A, B: 4 (C, &:.

>icho de otra %orma si y solo si AB&C es un paralelogramo.

+or tanto$

si y solo si la imagen del punto C por la traslaci'n de A a B es &.

si y solo si los segmentos A& y BC tienen el mismo punto medio.

III. #peraciones con !ectoresLa suma de dos vectores es otro vector que puede construirse de dos maneras$

Busando la regla del pol)gono a partir de un punto A$ ;

Busando la regla del paralelogramo$ .



Nota) la regla del pol)gono también se usa para descomponer un vector en

suma de vectores. -i A y B son dos puntos dados, para cualquier punto C,

tenemos$ .

+roducto de un vector por un n=mero real.

-ea un vector distinto de cero y 4 un n=mero real también distinto de cero, el

vector se defne as)$

B tiene la misma direcci'n que ;

B tiene el mismo sentido que si 4 es positivo, y sentido opuesto si 4 es

negativo. -i 4 4 71, entonces , que resulta ser el vector opuesto

a .

Dectores colineales son aquellos que tienen la misma direcci'n. Los vectores

y son colineales si y solo si hay un n=mero real 4 tal que .

I'. $Cuál es la base del análisis !ectorial%En un sistema de coordenadas cartesianas 3xy , a cualquier vector se le

asocia un =nico punto 5 tal que . El punto 5 es la imagen del

origen 3 mediante una traslaci'n de vector .



+or defnici'n, las componentes de son las de 5. -i 5 tiene de

coordenadas , el vector tiene las componentes , lo cual se e<presa

as)$ . +or eemplo, en la gráfca siguiente, .

-e deduce que dos vectores y son iguales si y solo si tienen las

mismas coordenadas$ y .

Es %ácil deducir las componentes de cualquier vector conocidas las

coordenadas de los puntos A y B. En un sistema de coordenadas cartesianas,

si A tiene de coordenadas y B tiene de coordenadas , entonces

las del vector serán .

-i y son dos vectores de coordenadas y , entonces$

Bla suma de los dos vectores y es el vector de

coordenadas ;

Bel producto del vector por un n=mero real 4 es el vector de

coordenadas .

-ean dos vectores de coordenadas y .

-i y son colineales se cumplen las dos ecuaciones siguientes$

si y solo si y .

Una %orma más sencilla de e<presar esta propiedad es la regla de la

multiplicaci'n en cru$

y son colineales si y solo si .



+or eemplo, los vectores y son colineales

porque .

-i A y B son dos puntos cuyas coordenadas son y ,

respectivamente, el m'dulo del vector es igual a$

.

5ecuerda

BUn sistema de re%erencia queda defnido por tres puntos no alineados. En

dicho sistema, a cada punto del plano le asociamos dos n=meros reales, sus

coordenadas, dibuando rectas paralelas a los ees que pasen por dicho punto.

BEn un sistema de re%erencia en el que se ha defnido la unidad sobre cada

ee, un vector se caracteria por tres propiedades$ su direcci'n, su sentido ysu m'dulo o longitud.

BLa suma de dos vectores y es el vector de

coordenadas . El producto del vector por un n=mero

real 4 es el vector de coordenadas .

BLos vectores y son colineales si y solo si .

*econocer y construir un rectángulo

o un cuadrado

Los cuadrados y los rectángulos son cuadriláteros especiales. La

peculiaridad del cuadrado es 'ue es al mismo tiempo un rectángulo y

un romo.

¿Cuáles son las propiedades de estas (guras y cómo podemos

diu7arlas?

+. ectángulos

1. >efnici'n

Un rectángulo es un cuadrilátero con cuatro ángulos rectos.



Kasándonos en la defnici'n que acabamos de dar podemos demostrar que$

Blos lados opuestos de un rectángulo son paralelos;

Blos lados opuestos de un rectángulo tienen la misma longitud;

Btodos los rectángulos tienen dos ees de simetr)a, los cuales son las

mediatrices de sus lados. +or el mismo motivo, si las mediatrices de los lados

de un cuadrilátero son ees de simetr)a, entonces el cuadrilátero es

un rectángulo.

2. Construcción de un rectangulo

Las ilustraciones de abao muestran las etapas de construcción de un

rectángulo. -i nos dieran previamente las longitudes de los lados,

necesitar)amos usar una escuadra o un cartab'n graduados.



II. Cuadrados1. >efnici'n

Un cuadrado es un cuadrilátero 'ue tiene cuatro ángulos rectos y cuatro

lados de la misma longitud.

Kasándonos en la defnici'n anterior, podemos demostrar que todos los

cuadrados tienen cuatro ees de simetr)a$ las mediatrices de los lados y las

diagonales. +or el mismo motivo, si las mediatrices de los lados y las

diagonales de un cuadrilátero son ees de simetr)a, entonces el cuadrilátero es

un cuadrado.

Notas)

Bde acuerdo con la defnici'n de un rectángulo, podemos decir que si un

cuadrilátero es un cuadrado, entonces es también un rectángulo;

Bde acuerdo con la defnici'n de un rombo, podemos afrmar que si un

cuadrilátero es un cuadrado, entonces es también un rombo.

2. Construcción de un cuadrado



-implemente basta repetir la construcci'n del rectángulo que hemos visto

anteriormente, teniendo cuidado de marcar los puntos a la misma distancia

desde el vértice del primer ángulo recto.

8onstruir un triángulo

%i tienes 'ue construir un triángulo, necesitarás por lo menos tres

datos para conseguirlo. Por e7emplo, las longitudes de los tres lados

la longitud de dos lados y la amplitud de uno de sus ángulos o la

longitud de un lado y la amplitud de dos de sus ángulos.

¿Cómo podemos construir un triángulo usando estos parámetros?

. étodo general

8onstruir un triángulo supone utiliar correctamente los instrumentos

de dibuo (regla graduada, compás,transportador de ángulos, escuadra y

cartab'n:.

-iempre comenaremos traando un lado de longitud dada; los dos e<tremosdel lado serán dos de los vértices del triángulo que vayamos a dibuar. El tercer

vértice lo calcularemos como punto de intersecci'n de dos arcos, o de un arco

y de una recta, o incluso de dos rectas.



II. Construir un triángulo

1. 8onocemos tres lados

Cueremos construir un triángulo tal que$ AB 4 0 cm, AC 4 5,3 cm

y BC 4 2,3 cm.

En la fgura 1 mostramos las etapas de su construcci'n.

2. Conocemos os laos y un ángulo

Cueremos construir un triángulo tal que$ AB 4 5 cm, AC 4 0,! cmy Â 4 2.

Las etapas de construcci'n se muestran en la fgura 2.



. Conocemos un lao y os ángulos

Cueremos construir un triángulo tal que$ AB 4 2,0 cm, 4 153 y 4 23.

En la fgura 5 se muestran las etapas de construcci'n.

coordenadas de un vector y elpunto medio de un segmento



Las coordenadas de un 2ector pueden ser interpretadas mediante

una traslación en la 'ue escogemos como representante de este

2ector. ¿+u relaciones asocian las coordenadas de y las de A y (? 9

partir de estas relaciones, ¿cómo podemos calcular las coordenadasdel punto medio de un segmento si conocemos sus e&tremos?

I. Calcular las coordenadas de un !ector 1. La %'rmula de cálculo

-ea un sistema de coordenadas cartesianas 3xy ; si tenemos dos puntos A ( x A,

y A: y B ( x B, y B: cualesquiera, las coordenadas del vector vienen dadas por la

%'rmula ( x B7 x A, y B7 y A:.

Ejemplo$ -i tenemos los puntos A (2, 90: y B (95, 91:, calcular las coordenadas

del vector .

plicando la %'rmula, podemos escribir (7572, 717(70::, de manera que las

coordenadas de son (73, 5:.

+odemos comprobar estas coordenadas directamente sobre la gráfca restando

las coordenadas de los puntos A y B$

2. plicaci'n

Enunciao$ -ea un sistema de coordenadas cartesianas 3xy ; dibua los

puntos E (95, 1:, * (5, 3:, 6 (0, 2: y ' (92, 92:, y comprueba que el

cuadrilátero E*6' es un paralelogramo.



0olución) simplemente hemos de demostrar la siguiente igualdad vectorial$

4 . +ara hacerlo, calcularemos las coordenadas de estos dosvectores.

(57(75:, 371:, de %orma que (, 0:.

(07(72:, 27(72::, de manera que (, 0:.

Los vectores y tienen las mismas coordenadas.

ceptamos que dos vectores con las mismas coordenadas son iguales.

+or consiguiente, 4 , de %orma que el cuadrilátero E*6' es un

paralelogramo.

II. Calcular las coordenadas del punto medio de un segmento

1. La %'rmula de cálculo

A ( x A, y A: y B ( x B, y B: son dos puntos cualesquiera en un sistema de

coordenadas cartesianas 3xy . -i llamamos 5 al punto medio del segmento AB,

entonces$

&emostración$ si 5 es el punto medio de AB, entonces 4 .

Los vectores y tienen la misma direcci'n, de manera que A, 5 y Bestán

alineados. mbos tienen el mismo sentido y son de la misma longitud, puesto

que 5A 4 5B. +or consiguiente, estos dos vectores son iguales.



Llamemos a las coordenadas de 5 ( x, y :, y escribamos las coordenadas de

los vectores y $

( x 9 x A, y 9 y A: y ( x B 9 x , y B9 y :.

+uesto que los vectores y son iguales, podemos escribir que suscoordenadas son iguales. +or lo tanto, hemos encontrado

que x 9 x A % x B 9 x e y 9 y A % y B 9 y .

Estas dos ecuaciones son equivalentes a$

2 x 4 x A/ x B y 2 y 4 y A/ y B, de manera que e .

+or consiguiente, tenemos$ .

Ejemplo$ 7 (95, 2: y 8 (3, 0: son dos puntos cualesquiera en un sistema de

coordenadas cartesianas 3xy . 8alcular las coordenadas del punto medio ' del

segmento 78 .

plicando la %'rmula anterior, podemos escribir$ , a partir de la

cual encontramos que ' (1, 5:.

+odemos verifcar estos cálculos representando los puntos en el sistema de

coordenadas.



2. plicaci'n

La %'rmula para calcular las coordenadas del punto medio de un segmento nos

o%rece una v)a alternativa para demostrar que un cuadrilátero es un

paralelogramo.

Enunciao$ -ea un sistema de coordenadas cartesianas 3xy ; dibua lospuntos ( (90, 91:, 9 (92, 5:, 5 (, 3: y N (0, 1:, y demuestra que el

cuadrilátero (95N es un paralelogramo.

0olución$ vamos a demostrar que los segmentos (5 y 9N tienen el mismo

punto medio. +ara hacerlo, llamaremos " al punto medio de (5 y al punto

medio de 9N y calcularemos las coordenadas de estos dos puntos$

, por lo tanto " (1, 2:.

, por lo tanto (1, 2:.



8omo los puntos " y tienen las mismas coordenadas, son coincidentes.

partir de aqu) podemos %ormular que los segmentos (5 y 9Ntienen el mismo

punto medio.

Las diagonales del cuadrilátero (95N tienen el mismo punto medio, por

consiguiente, este cuadrilátero es un paralelogramo. er art:culo*elacionar

paralelogramos e igualdades vectoriales.

coseno de un angulo

%ea uno de los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo. Para

ese ángulo, cuya amplitud tiene un determinado 2alor, el cociente o

ra-ón entre su cateto contiguo o adyacente y la !ipotenusa del

triángulo es siempre la misma. 9 esa ra-ón la llamamos coseno dedic!o ángulo.

Pero, ¿'u utilidad tiene el coseno de un ángulo?

I. Coseno de un ángulo agudo

1. >efnici'n

-ea un triángulo rectángulo y su ángulo recto. es el coseno del ángulo

agudo .

Escribimos$ (para memoriarlo %ácilmente, podemos

escribir$ , donde Mcateto contiguoN signifca Oel lado contiguo

o adyacente al ángulo Â y que no es la hipotenusaP:.

Nota) el coseno del ángulo Â depende solamente de la amplitud del ángulo.

+ara convencerte, analia la fgura siguiente.



es un ángulo agudo. y son, respectivamente, los ángulos rectos de los

triángulos y .

8omo las l)neas CB y C;B; son paralelas, podemos aplicar el teorema de Iales,

de manera que$ .

-i intercambiamos AB y AC;, tenemos$ .

-e puede ver que la ra'n no depende de la posici'n que ocupa el

punto C sobre la semirrecta Ay . +or tanto, se puede calcular dicho cociente

re%erido a cualquier triángulo rectángulo que tenga el punto C sobre la

semirrecta Ay , el punto B sobre la semirrecta Ax y su ángulo recto sea .

dicho cociente se le llama coseno del ángulo agudo .

). PropiedadesEl valor del coseno de un ángulo agudo siempre está comprendido entre " y 1

porque la hipotenusa de un triángulo rectángulo es el mayor de sus tres lados.

lgunos valores particulares del coseno son$



II. Aplicaciones1. 8alcular longitudes

Ejemplo$ sea un triángulo rectángulo y su ángulo recto. 8on las longitudes

dadas en cent)metros, 08 4 J y .

Cueremos hallar los valores de 0 y 8 apro<imados a las décimas, es decir, a

",1 cm.

-olución$ en el triángulo , es su ángulo recto, de manera que podemos

escribir$

-ustituyendo resulta$

>espeando 0 tenemos$ .

-i utiliamos una calculadora cient)fca hemos de$

Basegurarnos de que la calculadora esté en modo grados (degree:;



Bteclear la secuencia$ J 53 (o esta otra$ J 53 :. En

la pantalla aparecerá el resultado 3,J5Q

*edondeando a ",1 cm, el segmento 0 mide 3,J cm.

+ara hallar 8 , podr)amos usar el teorema de +itágoras, pero obtendr)amos un

valor ine<acto, ya que solo disponemos de un valor apro<imado de 0.

En ve de eso, vamos a calcular la amplitud del ángulo . +uesto que y son

complementarios, .

+or la misma ra'n que antes, se tendrá que$

>e donde .

pro<imando a ",1 cm, se obtiene que el cateto 8 mide 0," cm (a veces sedea el " para recordar que el resultado se ha apro<imado a ",1 cm:.

2. Calcular ángulos

Ejemplo$ sea un triángulo rectángulo, con su ángulo recto en 6 y con las

longitudes dadas en cent)metros, *6 4 ! y *' 4 11; queremos hallar cuánto

mide el ángulo (apro<imando a ",1°:.

0olución$ como el triángulo es rectángulo en 6, podemos escribir$

-ustituyendo resulta$

s) pues, el problema es hallar cuánto vale un ángulo del que conocemos lo

que vale su coseno.



Utiliando una calculadora cient)fca hemos de$

Basegurarnos de que la calculadora esté en modo grados (degree:;

Bteclear la secuencia$ (! 11: (o esta otra$ (! 11:

:.En la pantalla aparecerá el resultado 05,50Q

*edondeando a ",1#, el ángulo mide 05,5°.

Notas)

Ben algunas calculadoras, la tecla viene reemplaada por esta otra$ ;

Ben otras calculadoras, las teclas y (o y : vienen reemplaadas

por una =nica tecla$ .

escribir un cono y construir su desarrollo

Un cucurucho de helado, el sombrero de un mago y la llama de una antorcha son todos

distintos tipos de cono.

¿Cuál es la definición matemática de este sólido? Y, ¿cómo podemos construir uno?

I. Descripción de un cono recto

1. Observación

Observa el cono recto que hay dibujado arriba en perspectiva.

El cono es un sólido con los siguientes elementos:

—unabase, que es el círculo sobre el que se apoya; el círculo de la ilustración tiene

uncentro enO y unradio r.

—unasuperficie lateral, que es la cara curva del cono, creada por todos los segmentos que se

pueden trazar al unir el puntoS con todos los puntos del borde del círculo que forman su base.



Estos segmentos se llamangeneratrices del cono; todas ellas son de la misma longitud y las

identificaremos mediante la letra g.

El puntoS descansa sobre una línea que pasa porO y es perpendicular al plano del círculo. El

puntoS se llamavérticedel cono y el segmentoSO (también llamadoh) es laaltura del cono.

Si recordamos el teorema de Pitágoras, podemos comprobar que en un cono recto se cumpleque: .

Nota: la expresiónaltura de un cono recto puede usarse tanto para referirse al segmentoSO como

a su longitud.

2. ¿Qué es un cono recto?

Un cono recto es un cuerpo geométrico formado por dos superficies: una plana y circular, que

es la base, y otra curva, llamada superficie lateral. Esta última es generada por la hipotenusa

(generatriz) de un triángulo rectángulo cuando se le hace girar en torno a uno de sus catetos.

Dado que el cono es un cuerpo que se forma en el espacio al hacer girar o rotar una figuraplana, se dice que el cono es uncuerpo de revolución (la palabrarevolución deriva de la

palabra latinavolvere,que significa “rotar”).

Un experimento puede ayudarnos a entender todo esto:

—fijamos una goma a los extremosS yO del cateto de un triángulo rectángulo;

—enroscamos la goma y la soltamos de golpe: el triángulo comienza a girar y podremos ver

cómo se dibuja en el aire una figura geométrica que llamaremos cono de revolución.

El cono es creado por la revolución (rotación) del triángulo rectángulo en torno a uno de sus

catetos. Este es el motivo por el cual la superficie del cono recibe el nombre de superficie de

revolución.

Todos los cuerpos geométricos que se pueden crear mediante este proceso se llaman cuerpos

de revolución.

No todos los conos tienen superficies generadas por revolución. La figura 3 nos muestra un



cono en el que su superficie lateral no es una superficie de revolución.

II. Construir un cono recto

Podemos conseguir el desarrollo de un cono recto cuyo radio mide 3 cm y que tiene una altura

de 4 cm.

Vamos a entenderlo observando la ilustración de abajo. Imagina que hemos impregnado

de tinta toda la superficie lateral del cono. Si estampamos el cono y lo hacemos rodar sobre una

hoja de papel, conseguimos dibujar una figura geométrica en forma de sector circular. Lo que

estamos viendo es el desarrollo de la superficie lateral del cono.

El desarrollo de la base es un círculo con un radio de 3 cm y el desarrollo de la superficie

lateral es un sector circular. Para poder dibujar este desarrollo, necesitamos calcular el radio y

la amplitud angular de este sector.

El radio del sector circular obtenido es igual a la longitud de la generatriz g (oSM) del

cono. Calcular la longitud de ges lo mismo que hallar el valor de la hipotenusa del triángulo



rectángulo . Como ya hemos visto, aplicando el teorema de Pitágoras: , por lo

tanto, . Es decir, el radio del sector circular

mide 5 cm.

La longitud del arco del sector circular es igual al perímetro de la base del cono. Como ya

sabemos que , el valor del perímetro sería: .

El perímetro de la circunferencia mayor, donde estaría insertado el sector circular sería

de: .Si llamamosx al ángulo del sector circular, podemos escribir la siguiente proporción:

Por lo tanto, ; que si eliminamos denominadores: ; y si despejamos

y simplificamos obtenemos:

El ángulo del sector que nos muestra el desarrollo de este cono mide 216°.

escribir una circunferencia y calcular su permetro

Cuando abrimos el compás 3 cm y lo pinchamos en un folio haciendo centro enO , podemos



dibujar una circunferenciaque tiene el centro enO y cuyo radio medirá 3 cm. Pero, ¿cómo

podemos calcular su perímetro?

I. Definir y construir una circunferencia

1. Definición

Una circunferencia se define comotodos los puntos del plano que son equidistantes a un

punto dado, llamado centro.

SiO es un punto yr es un número positivo, la circunferencia con centro enO y radior estará

formada por todos los puntos del plano que se encuentran a la distanciardel puntoO.

2. Construir una circunferencia usando el compás

Para trazar una circunferencia podemos usar el compás. El punto donde se sitúa la aguja delcompás es el centro de la circunferencia. La abertura del compás es el radio de la circunferencia

3. Construcción alternativa

Si no tenemos compás, ¿cómo podemos dibujar una circunferencia? Por ejemplo, ¿cómo

podemos dibujar una circunferencia en lapizarra de clase? Si eres muy hábil podrás hacerlo a

mano alzada. De lo contrario, puedes usar un trozo de cuerda. Sujeta uno de sus extremos con

el dedo sobre la pizarra, y enrolla una tiza en el otro extremo. Mantén tensa la cuerda y realiza

un giro completo hasta que quede dibujado todo el perímetro de la circunferencia.



II. Calcular el perímetro de una circunferencia

1. Por aproximación

Sabemos cómo construir un hexágono regular inscrito en una circunferencia. La figura 3 nos

recuerda cómo se hace.

La longitud de los lados del hexágono construido es la misma que la del radior de

la circunferencia; por lo tanto, su perímetro es 6 ×r.

6 ×r es una aproximación al perímetro de esta circunferencia.

Un dodecágono (polígono de doce lados) dibujado dentro de la misma circunferencia, nos da

una aproximación aún más cercana a la realidad. Se puede demostrar que el perímetro deldodecágono es aproximadamente 6,2 ×r. Este valor es otra aproximación al perímetro de

la circunferencia.

2. Usando una fórmula

Los matemáticos han comprobado que para calcular el perímetroP de una circunferencia con

radior, simplemente tenemos que aplicar la fórmula:P = 2 × ×r (“P es igual a dos pi erre”).

En esta fórmula,P yr deben estar expresadas en las mismas unidades de medida, por ejemplo,



en centímetros.

El valor aproximado del número (pi) es de 3,1416.

Por consiguiente, el perímetro (en centímetros) de una circunferencia con un radio de 6 cm es:

2 × × 6, es decir, 12 × cm. Usando la tecla en la calculadora, hallaremos que el perímetro

es, aproximadamente, de 37,7 cm.

escribir una pir"mide y construir su desarrollo

!a palabra pirámide inmediatamente nos hace pensar en los monumentos de los

faraones egipcios" pero podemos encontrar pir#mides mu$ cerca de nuestra casa% los

campanarios de muchas iglesias o los tejados de algunos edificios modernos est#n

rematados a menudo con pir#mides cu$a base son polígonos de cuatro" seis u ocho

lados.

&ntonces" ¿cu#l es la definición matem#tica de ese sólido? ¿Qué es una pir#mide

regular $ cómo podemos construir una?

I. *escripción de una pirámide

1. En general

bserva la ir"mide reresentada en la ilustracin de arriba. #n ella odemos distin$uir los

si$uientes elementos:

/una base formada or un olí$ono (en este caso es el ent"$ono ABCDE )0 /las caras: cada una es un tri"n$ulo cuyos vrtices confluyen en el

unto S (SAB, SBC , SCD, SDE y SEA). #ste unto es el vértice de la ir"mide.%os se$mentos SA, SB, SC , SD y SE son las aristas de la ir"mide.%a línea !ue asa or el vrtice y es erendicular al lano de la base, cort"ndolo en el

unto H , es la altura (SH ) de la ir"mide.

Nota: la e-resin altura de la pirámide uede ser usada ara referirnos tanto alse$mento SH como a su lon$itud.



). Pirámides regulares

ecimos !ue una pir#mide es regular cuando:

1. *u base es un olí$ono re$ular. bserva las ir"mides de la fi$ura 20 sus bases son uncuadrado y un e-"$ono re$ular.2. *us caras son tri"n$ulos issceles de la misma altura. #s decir, son ir"mides rectas.

Nota: se dice !ue una pir#mide es recta si sus caras son todas tri"n$ulos issceles. 4ay

ir"mides rectas re$ulares y ir"mides rectas cuyabase no es un olí$ono re$ular. %as ir"mides cuyas caras no son tri"n$ulos issceles reciben el nombre

de pir#mides oblicuas. %a base de las ir"mides oblicuas uede ser o no un olí$ono

re$ular. bserva las ilustraciones de abajo:

. ,etraedro

Un tetraedro es una ir"mide !ue tiene cuatro caras triangulares. ual!uier vrtice de

este oliedro uede ser considerado como vrtice de la ir"mide, mientras !ue con los otros

tres !uedaría definida su base.



e tal modo !ue, en la fi$ura , odríamos decir !ue ay un tetraedro convrtice A y base BCD o bien !ue ay un tetraedro con vrtice B ybase ACD.

Nota: este oliedro recibe el nombre de tetraedro or!ue en $rie$o, tetra si$nifica 6cuatro7

y hedron si$nifica 6cara7.

II. Construir una pirámide

8ueremos construir el desarrollo de una ir"mide re$ular cuya base sea un cuadrado de 3

cm de lado y sus caras ten$an una arista de cm de lon$itud.+odemos dibujar la base como un cuadrado con lados de 3 cm y, artiendo de estos lados,

cuatro tri"n$ulos issceles de cm de lado.

escribir y dibu*ar un cilindro recto

Una lata de conservas (de aceitunas, por ejemplo) es un objeto con forma cilíndrica. ¿Cuáles

son las propiedades de esta figura y cómo podemos reconocerla?

I. Dibujos

Los cuerpos geométricos mostrados en la figura 1 son cilindros rectos. Están dibujados en



perspectiva, con líneas discontinuas para mostrar los bordes ocultos del objeto.

II. Reconocerlo y describirlo

Un cilindro recto es un cuerpo geométrico formado por dos círculos y una superficie curva.

Los dos círculos son caras paralelas e iguales, que reciben el nombre debasesdel cilindro.

El radio de los círculos es el mismo que elradio del cilindro.

La distancia entre sus centros, o sus bases, es laalturadel cilindro.

La superficie curva está moldeada como un tubo hueco. Podemos hacernos una idea de su

forma enrollando una hoja de papel, tal como muestra la figura 2. Esta superficie curva recibe

el nombre desuperficie lateral del cilindro.

La recta que pasa por los centros de las bases se llamaeje del cilindro, el cual es perpendicular

a ambos círculos.



Ver también artículo Construir un cilindro recto y calcular su área total.

III. ¿Por qué es un cuerpo de revolución?

La superficie lateral de un cilindro recto también es conocida como “superficie de revolución”.

La palabra “revolución” proviene de la palabra latinavolvere, que significa “girar”.

Un experimento nos ayudará a comprender mejor esta expresión.

—Pegamos una pieza rectangular sobre un taladro, de manera que la broca sea el eje de

simetría del rectángulo.

—Cuando encendemos el taladro podemos observar cómo se dibuja en el aire la figura de un

cilindro. Este cilindro se ha formado a partir de las rotaciones del rectángulo en torno a su eje

de simetría, y por eso se dice que el cilindro es uncuerpo de revolución.

No todos los cilindros son cilindros rectos. La figura 5 muestra un cilindro oblicuo.

escribir y dibu*ar una esfera



Durante mucho tiempo, el ser humano pensó que la Tierra era plana. Hoy sabemos que

nuestro planeta tiene forma de balón, ligeramente achatado en los polos. Sin embargo, para

localizar una posición en la Tierra, tenemos que trabajar con la geometría de una esfera. ¿Por

qué esto es así?

I. La esfera

1. Definición

Sir es un número positivo, todos los puntos situadosa una distanciar desde un punto

centralO constituyen la superficie de una esferaS,que tiene como centro el puntoO y un

radior. La esfera está formada por todos los puntos que están a una distanciamenor o

igualardesdeO.

2. Diámetro

Un segmento que une dos puntos de una esfera y que pasa por su centro se

denominadiámetrode la esfera. Se dice que estos dos puntos son diametralmente opuestos.

Por ejemplo, en la figura 1, A yB son diametralmente opuestos.

Todos los diámetros de una esfera son de la misma longitud y el diámetro de una esfera es el

doble de su radio (tal como ocurre en lacircunferencia).

3. Círculos en la esfera

Si unplano corta una esfera, la sección de corte es un círculo, llamado círculo de la esfera. Si

este plano pasa por del centro de la esfera, su intersección con la esfera se llama círculo

máximo de la esfera. El radio del círculo máximo es igual al radio de la esfera.

En la figura 2 podemos observar una esfera y tres de sus círculos máximos, así como también



tres pares de puntos diametralmente opuestos: A yB,E yF,N yS. También podemos ver que

dos puntos diametralmente opuestos siempre están situados en un mismo círculo máximo.

II. Descripción de la esfera terrestre

Gracias a la geografía podemos localizar cualquier punto sobre la superficie del planeta. Esto

es así porque usamos la geometría de la esfera. Veamos cómo las ideas proporcionadas por la

geometría son usadas en geografía.

1. Palabras clave

En lugar de decir que dos puntos de la superficie de la Tierra son diametralmente opuestos,

decimos que uno es laantípoda del otro.

La figura 3 representa la Tierra conN yS representando a los polos norte y sur

respectivamente. El círculo máximo perpendicular al eje polar es elecuador, que divide la

Tierra en doshemisferios: el hemisferio norte y el hemisferio sur. Todos los círculos

perpendiculares al eje polar se llamanparalelos (están situados en planos paralelos al plano

del ecuador). En geografía, un semicírculo con los polos norte y sur en sus extremos se

denominameridiano.

2. Coordenadas geográficas

Cada punto de la superficie de la Tierra está situadoen el lugar donde se cruzan un paralelo y

un meridiano. De esta manera podemos localizar cualquier punto usando los meridianos y los

paralelos. Ellos son los que nos proporcionan las dos coordenadas geográficas:longitud

y latitud.



Para mayor exactitud, necesitamos usar un meridiano dereferencia, el meridiano deGreenwich (en el Reino Unido). El plano que contiene a este meridiano divide la Tierra en dos

hemisferios: el hemisferio este y el hemisferio oeste. Si medimos elángulo que forman el

meridiano de Greenwich y el meridiano sobre el que está situado el punto M, obtenemos lo

que se conoce como longitud del punto M(ángulo en la figura 3).

La medida de la longitud está comprendida entre 0° y 180°, especificando a continuación

“Este” u “Oeste”, dependiendo de si el punto se encuentra situado al Este o al Oeste del

meridiano de Greenwich. Por ejemplo, podemos decir: “36° Oeste”.

El paralelo sobre el que se encuentra situado el punto M puede ser localizado en relación con

su distancia al ecuador. La latitud es, por lo tanto, el ángulo que forman el paralelo donde se

encuentra el punto M y el ecuador (ángulo en la figura 3).

La medida de la latitud se encuentra comprendida entre los valores 0° y 90°, especificando

“Norte” o “Sur”, dependiendo de si el punto está situado hacia el Norte o el Sur del ecuador.

Por ejemplo, podemos decir: “44° Norte”.

Cada punto de la superficie de la Tierra puede ser localizado usando su latitud y su

longitud: San Petersburgo, por ejemplo, está situado aproximadamente a 60° Norte y 30° Este.

Ver también artículos Dibujar la sección de una esfera y Calcular el área y el volumen de una

esfera.

escribir y representar un ortoedro

Una caja de cerillas, un cartón de leche y un terrón de azúcar son ejemplos de ortoedros.

¿Qué características tienen estas figuras?

I. Representación



En la figura 1 hemos dibujado dos ortoedros. Aparecen en perspectiva, representando con

líneas discontinuas los ejes que quedan ocultos.

II. Descripción

1. Caras

Unortoedro tieneseis caras rectangulares. En la figura 2 solo son visibles tres de ellas: la cara

lateral frontal (1), la cara lateral derecha (2) y la base superior (3).

Las líneas discontinuas nos permiten “ver” las otras tres caras ocultas: la base inferior (4) y las

caras laterales trasera (5) e izquierda (6).

2. Los vértices

Un ortoedro tieneocho vértices. En la figura 4 solo son visibles siete de ellos.



Las líneas discontinuas nos permiten “ver” el octavo vértice oculto.

3. Las aristas

Un ortoedro tiene doce aristas. En la figura 6 son visibles nueve aristas.

Las líneas discontinuas nos permiten “ver” las otras tres aristas ocultas.

Nota: si todas las caras de un ortoedro soncuadrados, entonces es uncubo.

Ver también artículo Construir un ortoedro.

Describir y representar un prisma recto

'na tienda de campa(a o algunas cajas de dulces sonejemplos de prismas rectos.

¿)u#les son laspropiedades de estos cuerpos $ cómo podemos describirlos?

I. -epresentación

%os cueros mostrados en la fi$ura 1 son prismas rectos. #st"n dibujados en ersectiva,

de manera !ue las aristas ocultas se reresentan con líneas discontinuas.



II. Propiedades

Un prisma recto es un oliedro !ue tiene dos caras aralelas !ue se ueden sueroner, yel resto de sus caras son rect"n$ulos.

+or ejemlo, el risma P 1 de la fi$ura 1 tiene dos caras trian$ulares aralelas de las mismas

dimensiones y tres caras rectan$ulares.

III. *escripción

#n un prisma recto a las caras aralelas se les llama bases. 9 las otras caras se lesllama caras laterales.%a tabla si$uiente resenta, ara cada uno de los rismas rectos de la fi$ura 1, el nmero de

vrtices, aristas, caras y la naturale;a de las bases.

#n un prisma recto, si V es el nmero de vrtices, A el nmero de aristas, el nmero de

caras laterales y C el nmero total de caras, con los datos de la tabla se uede comrobar !ue se cumlen las si$uientes relaciones:V 2 ' 0

A 3 ' 0

C < 20

V = A < C 2.%a ltima relacin, !ue es difícil de demostrar, se le atribuye al famoso matem"tico #uler

(1>&>=1>?3).



I'. Casos especiales ortoedro " cubo

Un prisma recto con bases rectan$ulares es un ortoedro. #n este caso, odemos esco$er

como bases dos caras ouestas cuales!uiera de entre las seis !ue tiene0 las otras cuatrocaras son entonces las caras laterales.

Un cubo es tambin un prisma recto articular, cuyas bases y caras laterales soncuadrados.

ibu*ar la sección de una esfera

Cuando cortamos una naranja por la mitad obtenemos dos secciones iguales. Si en lugar de

realizar el corte por la mitad lo hacemos un poco más arriba, lo que obtenemos es un

casquete esférico. El objetivo que buscamos es representar la sección de una esfera (la

naranja) formada por un plano (creado por el trazo del cuchillo al cortar), esto es, la

intersección de una esfera con un plano.

I. Los casos posibles

Parece obvio que si el plano está muy distante de la esfera, ambos no se cortarán. El tamaño del

círculo que se obtiene al cortar la esfera con un plano depende dela distancia del plano al

centro de la esfera. En consecuencia, primero es necesario definir a qué vamos a llamar

distancia de un plano a un punto.

Definición:P es un plano yO un punto del espacio que no pertenece aP. H es el punto de

intersección de la rectaL, perpendicular aP que pasa por el puntoO, con el plano. LadistanciaOH se denomina distancia del puntoOal planoP.



Nota: H es el punto deP más cercano aO.

Consideremos ahora una esfera con centro enO y radior, y un planoP. El punto H queda

definido como hemos hecho más arriba. Podemos decir queOH es la distancia que hay desde

el planoP hasta el centroO de la esfera.

Para el estudio de la sección de la esfera por el planoP, podemos distinguir tres casos.

1. CuandoOH >r

La distancia que hay desde el planoP hasta la esfera es lo bastante grande como para que

ambos no se corten, como podemos comprobar en la figura 2. En este caso, el plano y la

esferano tienen puntos en común. Se dice que el plano y la esfera sonexteriores (sin puntos

comunes).

2. CuandoOH =r

En este caso, el punto H forma parte de la esfera, y es elúnico punto común entre la esfera y el

plano (ver figura 3). Decimos que la esfera y el plano sontangentes (con un solo punto en

común), de manera similar a lo que ocurre con una recta y una circunferencia que solo tienen

un punto en común.



—Si cortamos la Tierra con un plano perpendicular al eje polar, pasando por el centro de la

esfera, la sección obtenida es un círculo máximo muy significativo de la Tierra: elecuador.

—Si cortamos la Tierra con un plano perpendicular al eje polar, sin pasar por el centro de la

esfera, la sección obtenida es unparalelo.El trozo de superficie esférica que

se encuentra comprendida entre dos paralelos se denominazona esférica.—Si cortamos la Tierra con un plano que contenga al eje polar, la sección obtenida es un círculo

máximo, de diámetroNS, formado por dos semicírculos que reciben el nombre

demeridianos.El trozo de superficie esférica que se encuentra limitado entre dos meridianos

recibe el nombre dehuso esférico.

trans#ormación para de(nir la suma de dos 2ectores?

9demás, ¿cómo construimos la suma de dos 2ectorescuales'uiera?

I. Composición de dos traslaciones&bservemos la fgura 1.



-ea 5 un punto del plano, y y dos vectores cualesquiera; 5; es

la imagen de 5 por la traslaci'n de vector y 5;; es la imagen de 5; por la

traslaci'n de vector .

+or tanto, 5;; es la trans%ormaci'n del punto 5 por dos traslaciones sucesivas$

la traslaci'n de vector , y después la traslaci'n de vector . Es lo que

llamamos composición de estas dos traslaciones.

s) lo construimos$

-ean y dos vectores que representan a y ;para construir la imagen 5;,

dibuamos un paralelogramo AB5;5 tal que ; 5; es pues

la imagen de 5 por la traslaci'n de vector o vector .

+ara construir 5;;, dibuamos un paralelogramo BC5;;5; tal que

; 5;; es entonces la imagen de 5; por la traslaci'n de vector o vector .

+odemos demostrar ahora que AC5;;5 es un paralelogramo.

Hemos construido los dos paralelogramos AB5;5 y BC5;;5;. 8omo los lados

opuestos de un paralelogramo son paralelos y de igual longitud, tenemos$

A5 RR B5;, A5 4 B5;, B5; RR C5;; y B5;4 C5;;.

F de aqu) deducimos que$ A5 RR C5;; y A5 4 C5;;.

El cuadrilátero AC5;;5 tiene dos lados paralelos que tienen la misma longitud,

por tanto, es un paralelogramo, y 5;; es entonces la imagen de 5por la

traslaci'n de vector .

"ropiea$ trans%ormar un punto 5 por dos traslaciones sucesivas

de vectores y es equivalente a trans%ormar el punto por la traslaci'n de

vector .



II. Suma de dos !ectores

1. >efnici'n

l vector se la llama 2ector suma de los vectores y . +odemos

escribir$ 4 / .

La propiedad demostrada en el apartado se puede enunciar de nuevo de esta

%orma$ la composici'n de la traslaci'n de vector y la traslaci'n de vector es

una traslaci'n de vector / .

2. +ropiedades de la suma de dos vectores

"ropiea 1$ sean y dos vectores cualesquiera. Entonces / 4 / .

Esta propiedad se ilustra en la fgura 0, en la que se ha dibuado el

paralelogramo ABC& en el que 4 y 4 . +odemos comprobar que

/ 4 / 4 , y / 4 / 4 , es decir, / 4 / .

"ropiea 2$ suma de dos vectores opuestos.

y representan dos vectores opuestos; podemos entonces escribir$ /

4 .

representa un vector de longitud cero, es decir, su m'dulo es cero, .

este vector se le llama 2ector nulo, y se representa por 0 o . Este es el =nicovector que no tiene direcci'n ni sentido. El vector nulo se representa por un

punto.

En resumen, la suma de dos vectores opuestos es igual al vector nulo.



III. Construir la suma de dos !ectores1. 7sano un triángulo <regla el pol:gono=

-ean y dos vectores, representados respectivamente por y .

+ara representar la suma / , dibuamos un vector que represente a con

origen en B, que llamaremos . +ara ello, construimos el paralelogramo BE&C.

Iendremos entonces que / 4 / 4 y de esa %orma es un vector

que representa al vector / .

2. 7sano un paralelogramo <regla el paralelogramo=

-ean y dos vectores cualesquiera. -upongamos que los vectores que los

representan, y , tienen elmismo origen A.

8onstruimos el paralelogramo AB&C; tendremos que$ / 4 / .

8omo 4 , ya que AB&C es un paralelogramo, resulta que$ / 4

/ 4 .

s) que el vector / queda representado por el .

Relacionar paralelogramos e igualdadesvectoriales



*efinimos los vectores a partir de traslaciones. +a sabemos que las traslaciones se

pueden definir usando paralelogramos. ,or tanto" vectores $ paralelogramos est#n

relacionados. ,ero" ¿cómo es esa relación?

. +aralelogramos e igualdades vectoriales

1. 8aracteriar un paralelogramo usando una igualdad vectorial

*i ABDC es un aralelo$ramo, entonces la traslacin !ue transforma A en B tambintransforma C en D.

9dem"s sabemos !ue si la traslacin !ue transforma A en B tambin transforma C en D,

entonces .

#stas dos roiedades nos ermiten enunciar lo si$uiente: si ABDC es un aralelo$ramo,

entonces .

@ecírocamente, si , entonces ABDC es un aralelo$ramo.

Nota: el orden de los untos C y D no es el mismo en el nombre del aralelo$ramo, AB DC ,

!ue en la i$ualdad vectorial, .

Ca!o e!pecial : el aralelo$ramo ABDC se uede 6alanar7, lo !ue sucede cuando los

untos A, B, C y D est"n alineados.

En re!umen: si$nifica !ue ABDC es un aralelo$ramo (osiblemente alanado).2. gualdades vectoriales obtenidas a partir de un paralelogramo

*ea un aralelo$ramo ABDC . 9 artir de l obtenemos la i$ualdad vectorial .

+ero este aralelo$ramo tambin odríamos nombrarlo así: ACDB, de donde obtendríamos

la i$ualdad vectorial .

*i llamamos a este aralelo$ramo BACD, obtenemos la i$ualdad vectorial .



*i llamamos a este aralelo$ramo CABD, obtenemos la i$ualdad vectorial .

En re!umen: un aralelo$ramo nos ermite escribir cuatro i$ualdades vectoriales"

onsideremos las i$ualdades y . %os vectores tienen el mismo

mdulo y la misma direccin, aun!ue no el mismo sentido. %os

llamamos vectores opuestos.ada i$ualdad de dos vectores nos ermite escribir la i$ualdad de los vectores ouestos.

. gualdad vectorial y punto medio

#n el aartado anterior emos visto !ue si , entonces ABDC es un aralelo$ramo.

A sabemos !ue si un cuadril"tero ABDC es un aralelo$ramo, entonces sus

dia$onales AD y BC tienen el mismo unto medio. 9 artir de a!uí odemos deducir la

si$uiente roiedad: si , entonces los se$mentos AD y BC tienen el mismo unto

medio.

@ecírocamente, si los se$mentos AD y BC tienen el mismo unto medio,

entonces ABDC es un aralelo$ramo y .

+epresentar la composición de dos traslaciones mediante una ecuación

vectorial

Se puede transformar un punto mediante dos traslaciones sucesivas.



¿Cómo podemos usar esta transformación para definir la suma de dos vectores?

Además, ¿cómo construimos la suma de dos vectores cualesquiera?

I. Composición de dos traslaciones

Observemos la figura 1.

Sea M un punto del plano, y y dos vectores cualesquiera; M' es la imagen de M por la

traslación de vector y M'' es la imagen de M' por la traslación de vector .

Por tanto, M'' es la transformación del punto M por dos traslaciones sucesivas: la traslación de

vector , y después la traslación de vector . Es lo que llamamoscomposición de estas dos

traslaciones.

Así lo construimos:

Sean y dos vectores que representan a y ;para construir la imagen M', dibujamos un

paralelogramo ABM'M tal que ; M' es pues la imagen de M por la traslación de

vector o vector .

Para construir M'', dibujamos un paralelogramoBCM''M' tal que ; M'' es entonces

la imagen de M'por la traslación de vector o vector .

Podemos demostrar ahora que ACM''M es un paralelogramo.Hemos construido los dos paralelogramos ABM'M yBCM''M'. Como los lados opuestos de un

paralelogramo son paralelos y de iguallongitud, tenemos:

AM ||BM', AM =BM',BM' ||CM'' yBM'=CM''.

Y de aquí deducimos que: AM ||CM'' y AM =CM''.

El cuadrilátero ACM''M tiene dos lados paralelos que tienen la misma longitud, por tanto, es

un paralelogramo, y M'' es entonces laimagen de M por la traslación de vector .



Propiedad: transformar un punto M por dos traslaciones sucesivas de vectores y es

equivalente a transformar el punto por latraslación devector .

II. Suma de dos vectores

1. Definición

Al vector se la llamavector suma de los vectores y . Podemos escribir: = + .

La propiedad demostrada en el apartado I se puede enunciar de nuevo de esta forma: la

composición de la traslación de vector y la traslación de vector es una traslación de

vector + .

2. Propiedades de la suma de dos vectores

Propiedad 1: sean y dos vectores cualesquiera. Entonces + = + .

Esta propiedad se ilustra en la figura 4, en la que se ha dibujado el paralelogramo ABCD en el

que = y = . Podemos comprobar que + = + = , y + = +

= , es decir, + = + .

Propiedad 2: suma de dos vectores opuestos.

y representan dos vectores opuestos; podemos entonces escribir: + = .

representa un vector de longitud cero, es decir, su módulo es cero, . A este vector se

le llamavector nulo, y se representa por0o . Este es el único vector que no tiene dirección ni

sentido. El vector nulo se representa por un punto.

En resumen, la suma de dos vectores opuestos es igual al vector nulo.

III. Construir la suma de dos vectores

1. Usando un triángulo (regla del polígono)



Sean y dos vectores, representados respectivamente por y .

Para representar la suma + , dibujamos un vector que represente a con origen enB, que

llamaremos . Para ello, construimos el paralelogramoBEDC.

Tendremos entonces que + = + = y de esa forma es un vector que representa

al vector + .

2. Usando un paralelogramo (regla del paralelogramo)

Sean y dos vectores cualesquiera. Supongamos que los vectores que los representan,

y , tienen elmismo origen A.

Construimos el paralelogramo ABDC; tendremos que: + = + . Como = , ya

que ABDC es un paralelogramo, resulta que: + = + = .

Así que el vector + queda representado por el .

+epresentar traslaciones mediante vectores

El concepto de traslación, ilustrado en la figura 1, nos permite introducir el concepto de

vector. Los vectores se usan en matemáticas, y también en física pararepresentar, por

ejemplo, una fuerza o una velocidad.

¿Qué relación hay entre las traslaciones y los vectores?

I. Definición y notación de un vector



En la figura 2, ABDC,CDFE,EFHG yGHJI son paralelogramos.

Podemos decir que:

—la traslación que transforma A enB también transformaCenD;—la traslación que transformaC enD también transformaE enF;

—la traslación que transformaE enF también transformaG en H;

—la traslación que transformaG en H también transformaI en J.

Así pues, la traslación que transforma A enB,C enD,E enF,G en H, eI en J es la misma.

Y podemos decir que los pares de puntos ( A,B), (C,D), (E,F), (G, H) y (I, J) representan al

mismo vector.

Escribimos = = = = , y se lee “vector AB”.

También podemos representar el vector con una única letra minúscula con una flecha encima o

en letra negrita, sin flecha, por ejemplo,uo (tantou como se leen “vectoru”), y decimosque , , , e representan todos a .

Podemos entonces escribir: = = = = = .

Los puntos A yB son elorigen (o punto de aplicación) y elextremo del vector ,

respectivamente.

No hay que confundir los vectores y , ya que son vectores opuestos.

Gráficamente, un vector se representa con una flecha, como podemos ver en la figura 3.



Nota: un vector se puede representar infinitas veces, en distintas posiciones (por ejemplo, el

vector de la figura anterior, aparece representado cinco veces).

II. Vectores y traslaciones

Definición: la traslación que transforma A enB se llama traslación de vector .

Podemos decir que:

—siD es la imagen deC por una traslación de vector , entonces = ;

—si = , entoncesD es la imagen deC por una traslación de vector .

Ejemplo 1: una traslación transforma un puntoR en otro puntoP; el puntoT es la imagen del

puntoO por esta misma traslación. ¿Cómo podemos expresar esto en una igualdad vectorial?

La traslación que transformaR enP también transformaO enT. Luego, por definición,

tenemos que = .Ejemplo 2: ¿qué traslación vendría definida por la igualdad vectorial = ?

La traslación que transforma M enN también transformaW enZ, de manera queZ es

la imagen deW por la traslación de vector .

III. Características de un vector

Observemos de nuevo la figura en la que , , , e representan al mismo vector y

tratemos de deducir las características de este vector.



Las rectas AB,CD,EF,GH eIJ son paralelas entre sí, ya que los lados opuestos de un

paralelogramo son paralelos. Por tanto, podemos decir que lasrectas AB,CD,EF,GH eIJ tienen la misma dirección.

Decimos que esta es ladirección del vector .

Observemos el orden de los puntos en las parejas ( A,B), (C,D), (E,F), (G, H) y (I, J)). El dibujo

nos permite decir que el sentido de AhaciaB, deC haciaD, deE haciaF, deG hacia H o

deI hacia J es el mismo: el que indican las flechas sobre las letras, , , , e . Este es

elsentido del vector .

Finalmente, las longitudes de los segmentos AB,CD,EF,GH eIJ son iguales, ya que los lados

opuestos de un paralelogramo son iguales. A la longitud común de los

segmentos AB,CD,EF,GH eIJ se le llamamagnitud omódulo del vector .En resumen: un vector está caracterizado por su dirección, su sentido y su módulo.

Nota: solo hay un vector que no tiene dirección ni sentido: el vector nulo. El módulo de este

vector es cero.

seno" coseno $ tangente de un angulo en un

triangulo rectangulo !a palabra trigonometría procede del griego $ significa -estudio de las relaciones

numéricas entre las medidas de un tri#ngulo. &l seno" el coseno $ la tangente son tresra/ones trigonométricas.

¿)ómo calculamos esas ra/ones $ cu#les son sus propiedades?

. >efniciones



ado un tri"n$ulo con "n$ulo recto en B, consideremos uno de sus "n$ulos a$udos, or ejemlo . #l lado BC es el cateto opuesto al "n$ulo y el lado AB es el cateto contiguo al

"n$ulo .

+odemos definir las tres ra;ones si$uientes:

B seno (sen) :

B coseno (cos) :

B tan$ente (t$) :

Nota: ara calcular cual!uiera de estas tres ra;ones, las lon$itudes de los lados del tri"n$ulodeben estar e-resadas en las mismas unidades.

E#emplo: si alicamos estas definiciones al "n$ulo de la fi$ura 1, obtenemos:

0 0

. +ropiedades

*i alicamos las definiciones revias al otro "n$ulo a$udo del tri"n$ulo de la fi$ura 1, es

decir, a , obtenemos:

0 0*i comaramos con las e-resiones ara el "n$ulo , observamos !ue:

0 0

9sí ues, ara los dos "n$ulos a$udos de un tri"n$ulo rect"n$ulo odemos afirmar !ue: el

seno de uno de los dos "n$ulos es i$ual al coseno del otro, y la tan$ente de uno es i$ual a lainversa de la tan$ente del otro.

+or tanto, ya !ue los dos "n$ulos a$udos de un tri"n$ulo rect"n$ulo son complementarios,

odemos afirmar !ue: si dos "n$ulos (no nulos, diferentes de &C) son comlementarios, elseno de uno es i$ual al coseno del otro, y la tan$ente de uno es i$ual a la inversa de la

tan$ente del otro.

+or ejemlo, sen D>E cos 23E or!ue el "n$ulo de D>C y el "n$ulo de 23C son

comlementarios (D>E < 23E F&E).



. Eemplos

1. Eemplo 1

Problema: sea un tri"n$ulo rect"n$ulo con su "n$ulo recto en E , tal !ue E 12y E$ 5, con las lon$itudes e-resadas en centímetros. 8ueremos calcular los valores

e-actos de , y .

Soluci%n: ara calcular los valores e-actos de y , necesitamos calcular la lon$itudde la iotenusa, $, del tri"n$ulo. omo se trata de un tri"n$ulo rect"n$ulo, odemos

alicar el teorema de +it"$oras:

$ G EG < E$ G, es decir, $ G 12G < 5G, de donde $ G 1DF, y $ 13.

+or definicin: 0 y sustituyendo resulta: .

H$ualmente: : y sustituyendo resulta: .

Iinalmente: 0 y sustituyendo resulta: . Nota: usando una calculadora odemos obtener un valor aro-imado ara el "n$ulo , or

ejemlo, a artir de .

+ara ello, tendremos !ue introducir la si$uiente secuencia de teclas: 12 13

o ( 12 13 ) 0 en al$unascalculadoras, la tecla e!uivale a la

tecla o .

2. Eemplo 2

Problema: sea un tri"n$ulo rect"n$ulo con su "n$ulo recto en P , tal

!ue HP P& 1 cm. omo este tri"n$ulo adem"s de ser rect"n$ulo es issceles, sabemos!ue . 8ueremos calcular los valores e-actos del seno, coseno y tan$ente de estos

"n$ulos de 5C.



Soluci%n: or definicin, .

alculamos el valor e-acto de H&, la iotenusa, usando el teorema de +it"$oras: H&G HP G < P&G, y sustituyendo valores: H&G 1G < 1G, de donde H&G 20 así

ues .

#ntonces , y or tanto, .*e$n las roiedades !ue emos estudiado anteriormente, y uesto !ue los dos "n$ulos

y son comlementarios y miden 5E, se deduce !ue y or tanto

!ue .

+or definicin, . 9sí ues 0 de donde se deduce !ue .

#n resumen: y .

Ieorema de +itágoras

Pitágoras #ue un (lóso#o y matemático griego 'ue 2i2ió en el siglo :;

a.C. %in emargo, el teorema de Pitágoras ya era conocido desde

muc!o antes.

¿Cuál es este #amoso teorema y para 'u lo podemos usar?

I. El teorema de Pitágoras

1. Enunciado

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de

los cuadrados de los catetos. +or tanto, la ecuaci'n que describe el teorema de

+itágoras podemos escribirla as)$ /$ * C$ < c$.



Nota$ en la defnici'n, la palabra $ipotenusa se refere a la longitud del lado

mayor del triángulo rectángulo (hipotenusa:, y la palabra catetos hace

re%erencia a la longitud de los otros dos lados del triángulo.

Iambién podemos defnir el teorema de +itágoras de la siguiente manera$

es un triángulo; si es un ángulo recto, entonces se cumpleque BCA 4 ABA / ACA. Esta ecuaci'n también describe el teorema de +itágoras.

Los lados del triángulo rectángulo tienen nombres propios$

2. plicaciones

Calcular la longitud de la !ipotenusa

Enunciao$ el triángulo tiene un ángulo recto en 6. Las longitudes vienen

e<presadas en cent)metros. 6' 4 ! y 6* 4 13.

Damos a calcular la longitud de *'.

0olución$ el triángulo tiene un ángulo recto en 6.

Usamos el teorema de +itágoras$ *'A 4 6* A / 6'A y sustituimos 6* y 6' por

sus valores$ *'A 4 13A / !A; *'A4 2!6; *' 4 . +or lo tanto, *' 4 1J cm.



Calcular la longitud de uno de los catetos

Enunciao$ el triángulo es un triángulo rectángulo. Las longitudes están en

cent)metros. 0 4 3 y 08 4 !. S8uál es la longitud del cateto 8 T

0olución$ el triángulo es un triángulo rectángulo porque tiene un ángulo

recto en . -eg=n el teorema de +itágoras$ $2 4 C2 / c2, o

bien$08 A 4 0A / 8 A.

+or sustituci'n$ !A 4 3A / 8 A; 0 4 23 / 8 A. >espeamos$ 8 A 4 0 9 23 4 56.

+or lo tanto, el cateto .

. El opuesto del teorema de +itágoras

1. Enunciado

es un triángulo. -i la longitud de sus lados es tal que se cumple esta

igualdad$ BCA 4 ABA / ACA, entonces el triángulo es un triángulo rectángulo

con el ángulo recto en A.

2. plicaciones

Comproar 'ue un triángulo dado es rectángulo

Enunciao) es un triángulo. Las longitudes vienen dadas en

metros. 5N 4 132, N" 4 5JJ y 5" 4 503.

SEs un triángulo rectánguloT



0olución$ el lado más largo es N". +or tanto, comprobaremos mediante el

teorema de +itágoras ($2 4 C2 / c2: que se trata de la hipotenusa. -ustituimos

los datos en él y comprobamos si la igualdad N"A 4 5NA / 5"A es cierta o no$

S5JJA 4 132A / 503AT, es decir, Ses cierto que 102.126 4 25.1"0 / 116."23T

E%ectivamente, 102.126 4 102.126.

+or lo tanto, este triángulo es un triángulo rectángulo con el ángulo recto en 5.

Der también el art)culo >emostrar que un triángulo es rectángulo.

Comproar 'ue un triángulo no es rectángulo

Enunciao$ es un triángulo. Las longitudes de sus lados son$ AB 4 11

cm, BC 4 15 cm y AC 4 1J cm.

S-e trata de un triángulo rectánguloT

0olución$ si observamos la fgura 3, este triángulo tiene la apariencia de ser un

triángulo rectángulo, pero Slo es realmenteT

El lado más largo es AC. +or ello, este triángulo solo puede tener el ángulorecto en B. (En un triángulo rectángulo, el lado más largo es la hipotenusa:.

8omparamos sus lados usando el teorema de +itágoras$ S ACA 4 ABA / BCAT

1JA 4 11A / 15A; 2!6 4 121 / 16; 2!6 26"

+or lo tanto, ACA ABA / BCA.



En esta ocasi'n el teorema de +itágoras ($2 4 C2 / c2: no se cumple y, por lo

tanto, este triángulo no es un triángulo rectángulo; es decir, el ángulo en B no

es recto.

>ado que el ángulo en B es el =nico ángulo del triángulo que puede ser

recto, no es un triángulo rectángulo.

triangulos semeantes

%i trans#ormamos un triángulo en otro, de manera 'ue pueda ser

superpuesto a a'ul, y si estas series de trans#ormaciones se !acen

sin ninguna alteración de las longitudes de los lados de amos

triángulos, entonces podemos decir 'ue los dos triángulos son

iguales.

La idea de triángulos iguales es di#erente de la idea de triángulos

seme7antes) dos triángulos son seme7antes si sus ángulos

correspondientes tienen la misma amplitud.

I. $Cómo podemos comprobar 0ue dos triángulos son iguales%>os triángulos son iguales si pueden ser superpuestos mediante traslaci'n o

rotaci'n o mediante un giro (simetr)a a<ial o central:.

demás, si los triángulos y son iguales es posible encontrar una de

estas trans%ormaciones Bo una serie de ellasB tal que la imagen del

triángulo , %uera el triángulo .

+ara comprobar que dos triángulos son idénticos, usaremos uno de estos tres

casos de igualdad que defnimos a continuaci'n.



Habiendo comprobado que dos triangulos semeantes, podemos probar

%ácilmente que las longitudes de los lados yo las amplitudes de los ángulos

son iguales.

Ejemplo)

es un triángulo escaleno y AB&E y BC*6 son cuadrados. Cueremos

demostrar que los segmentosC&

y A6

son de la misma longitud.

-abemos que$

AB y B& son dos lados del cuadrado AB&E, entonces AB 4 B&;

BC y B6 son dos lados del cuadrado BC*6, entonces BC 4 B6;

además, .



Los triángulos y tienen un ángulo del mismo tama@o entre dos lados

respectivos de la misma longitud; por tanto, de acuerdo con el segundo caso

de igualdad de triángulos, los dos triángulos son iguales.

>educimos que los lados C& y A6 son de la misma longitud.

Votaremos que la trans%ormaci'n que convierte el triángulo en el

triángulo es un giro de 6"# en sentido contrario a las aguas del relo, en

torno a un centro situado en B.

II. $Cómo podemos probar 0ue dos triángulos son semeantes%

>efnimos triángulos semeantes (o con la misma %orma: si sus ángulos

correspondientes son de la misma amplitud.

+ara demostrar que dos triángulos son semeantes, solo tenemos quecomprobar que dos de sus ángulos correspondientes son de la misma amplitud.

>ado que la suma de los ángulos de un triángulo es 1!"#, no necesitamos

demostrar que el tercer ángulo es igual.

Ejemplo)

A, B, C y & son cuatro puntos de una circun%erencia, y AC corta a B& en +.

Cueremos comprobar que los triángulos y son semeantes.

Los ángulos inscritos y comparten el mismo arco BC, por lo que ambostienen la misma amplitud; y la misma igualdad es aplicable a los ángulos

inscritos y .

Los dos triángulos y tienen dos ángulos respectivos iguales. +or lo tanto,

son semeantes.



Nota) para demostrar que dos triángulos son semeantes, también podemos

usar el inverso del teorema de los triángulos semeantes (ver más abao:$ si

dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales en longitud,

entonces son semeantes.

III. $1u2 podemos probar usando triángulos semeantes%

-i dos triángulos son semeantes, las longitudes de sus lados

correspondientes son proporcionales. Este teorema básico nos permite probar

relaciones de equivalencia.

Ejemplo 1)

y son dos triángulos semeantes. -i llamamos 4 a la ra'n de las

longitudes de los lados de estos triángulos, tendremos$

-i 4 W 1, 4 es un coefciente de agrandamiento; si 4 X 1, 4 es un coefciente de

reducci'n. La ra'n o ratio de las áreas de los triángulos y es

entonces 4 2.

Ejemplo 2)

A, B, C y & son cuatro puntos de una circun%erencia, y AC corta a B& en +. s)

mismo, +& 4 12 e +B 4 5. Cueremos comparar las áreas de los triángulos

y .



Fa hemos comprobado que estos dos triángulos son semeantes (ver el eemplo

del apartado :, por lo que sus lados son proporcionales, esto es$

La ra'n del área del triángulo respecto del área del triángulo es igual a

6.

s)$ área 4 4 2 ? área , esto es$ área 4 6 ? área .

5esumen

B-i dos triángulos tienen un lado de la misma longitud, adyacente a dos

ángulos respectivos iguales, entonces son iguales.

B-i dos triángulos tienen un ángulo igual, %ormado por dos lados respectivosde la misma longitud, los triángulos son iguales.

B-i los tres lados respectivos de dos triángulos son de la misma longitud,

entonces los triángulos son iguales.

B>os triángulos son semeantes si y solo si las longitudes de sus lados

correspondientes son proporcionales.

B-i llamamos 4 a la ra'n BratioB de las longitudes de los lados

correspondientes de dos triángulos semeantes, entonces la ra'n de sus áreas

es 4 2.

Un triángulo rectángulo

http://www.tareasfacil.info/matematicas/geometria/triangulos-semejantes.html

http://www.tareasfacil.info/matematicas/geometria/triangulos-semejantes.html



%aemos 'ue los lados y los ángulos de un triángulo rectángulo

cumplen ciertas relaciones, así como 'ue podemos diu7ar

una circun#erencia tal 'ue el triángulo 'uede inscrito en ella.

¿Cómo usar estas propiedades para comproar si un triángulo es o no

rectángulo?

I. El triángulo tiene dos ángulos complementarios1. +ropiedad

-i un triángulo tiene dos ángulos complementarios (es decir, si la suma de sus

amplitudes es igual a 6":, entonces tiene un ángulo recto.

2. Eemplo

Enunciao$ -ea el paralelogramo ABC&. La bisectri del ángulo corta a labisectri del ángulo en +.

Cueremos demostrar que el triángulo es rectángulo.

0olución$ sabemos que dos ángulos consecutivos de un paralelogramo son

ángulos suplementarios.

s) pues, .

+or las bisectrices que hemos traado$ y .

-ustituyendo en la primera ecuaci'n resulta$ , que simplifcadaqueda .

+or tanto, los ángulos e son complementarios.

El triángulo tiene dos ángulos complementarios ( e :, y un ángulo recto

en +.



Nota$ si traamos las cuatro bisectrices del paralelogramo ABC&, el

cuadrilátero creado por los cuatro puntos de intersecci'n de estas l)neas es un

rectángulo.

II. El triángulo 0ueda inscrito en una circunferencia cu"odiámetro es uno de los lados del triángulo

1. +ropiedad

-i el triángulo está inscrito en la circun%erencia de diámetro BC,

entonces tiene un ángulo recto en A.

2. Eemplo

"ro#lema$ la circun%erencia C tiene su centro en 3. -ea A un punto e<terior al

c)rculo cuya circun%erencia es C. Unimos 3 con A y dibuamos

otra circun%erencia con centro en el punto medio de 3A y diámetro 3A; esta

nueva circun%erencia cortará a C en dos puntos$ E y &. Cueremos comprobar

que el triángulo es un triángulo rectángulo.

0olución) el triángulo está inscrito en la circun%erencia de diámetro A3, que

es uno de sus lados. Iiene, por tanto, un ángulo recto en &.



Nota$ la recta A& es perpendicular al radio 3& en &. La recta A& es pues

tangente a la circun%erencia C en el punto &.

Iambién podemos probar que el triángulo tiene un ángulo recto en E, ya

que la recta AE es tangente a la circun%erencia C en el punto E.

III. El triángulo cumple el teorema de Pitágoras

1. +ropiedad

-ea un triángulo. -i las longitudes de sus lados verifcan la

relaci'n$ BCA 4 ABA / ACA, el triángulo tiene un ángulo recto en el vértice A.

2. Eemplo

"ro#lema$ sea un triángulo . Las longitudes de sus lados vienen e<presadas

en cent)metros$ &E 4 3, E* 4 15 y &* 4 12. SEs rectángulo este triánguloT

0olución) E* es el lado mayor. 8omparemos los valores E* A y &EA / &* A.

E* A 4 15A 4 16 y &EA / &* A 4 3A / 12A 4 23 / 100 4 16.

+or tanto, se tiene que$ E* A 4 &EA / &* A.

-eg=n el teorema de +itágoras, el triángulo tiene un ángulo recto en el vértice &.

Usar una regla y un cartabón

El instrumento de dibujo más apropiado para trazar rectas perpendiculares es el cartabón,

gracias a que nos proporciona un ángulo recto. También es posible trazar rectas paralelas

usando al mismo tiempo el cartabón y la regla, aprovechando la circunstancia de que dos

rectas perpendiculares a una tercera son paralelas entre sí.

http://www.tareasfacil.info/matematicas/geometria/teorema-de-pitagoras.html

http://www.tareasfacil.info/matematicas/geometria/teorema-de-pitagoras.html



Nota: Solo existe una recta que pase por un punto dado y sea perpendicular a una recta dada.

II. Construir rectas paralelas

1. Sin condiciones, libremente

Ahora queremos construir dos rectas que sean paralelas entre ellas. La siguiente figura muestra

cómo deslizar elcartabón a lo largo de la regla para realizar esta construcción.

Las dos rectas obtenidas son paralelas porque han sido dibujadas perpendicularmente a la

regla: sabemos que si dos rectasd1 yd2 son perpendiculares a una misma línea, entoncesd1

yd2 son paralelas entre sí.



2. Con condiciones

Primer caso: nos dan una de las dos rectas.

Dada una rectad, queremos construir una recta paralela ad. Usaremos el método descrito en la

figura anterior. Es posible construir un número infinito de rectas paralelas ad; simplemente

cambiando el cartabón de posición a lo largo de la regla.

Segundo caso: nos dan una de las dos rectas y la otra debe pasar por un punto.

Dada una rectad y un punto A exterior ad, construimos la paralela ad que pase por A. Para

ello, solo tenemos que mover el cartabón a lo largo de la regla hasta encontrarnos con el

punto A y, a continuación, trazar.

Nota: Solo existe una recta que puede ser dibujada pasando por un punto dado y que sea

paralela a otra recta dada. Fue Euclides, un matemático griego del siglo III a.C., quien hizo esta

declaración (que es conocida como un postulado) en su trabajoElementos de geometría.

III. Construir una figura usando regla y cartabón

Queremos construir un rectángulo de 4 cm de alto por 7 cm de largo utilizando una regla y un

cartabón. En la figura siguiente vemos que podemos construir dos lados del rectánguloaprovechando elángulo recto del cartabón. Después medimos conla regla y marcamos sobre

las rectas las longitudes de sus lados (4 y 7 cm); entonces colocamos el cartabón sobre esos

puntos, tal como se muestra en la imagen (2), y terminamos de dibujar el rectángulo.



Ver también los artículos Usar una regla y un compás yUsar una re$la y un transortador de "n$ulos.

Usar una regla y un transportador de ángulos

Con una regla y un transportador es posible construir un ángulo de una amplitud

determinada. Debemos tener cuidado durante su construcción y asegurarnos de que el

centro del transportador está colocado exactamente en el extremo de la semirrecta a partir de

la cual construiremos el ángulo; este extremo será el vértice del ángulo.

I. Construir un ángulo de una amplitud determinada

Podemos construir un ángulo de 120° de amplitud y cuyo lado sea la semirrectaOx.

1. Primer método

La serie de imágenes de abajo muestra el método de construcción. Las etapas de construcción

han de adaptarse según los datos del ángulo dado.

En la segunda imagen, prestaremos atención a:

—la posición de la marca del 0 en la escala del transportador, la cual debe estar sobre la

semirrectaOx;

http://www.tareasfacil.info/matematicas/geometria/Usar-una-regla-y-un-transportador-de-angulos.html

http://www.tareasfacil.info/matematicas/geometria/Usar-una-regla-y-un-transportador-de-angulos.html



>ibuar las mediatrices de un

triángulo y traar su circun%erencia

circunscrita

=osotros podemos tra-ar la mediatri- de cada uno de los lados de un

triángulo.

¿+u propiedad cumplen las tres mediatrices de un triángulo y 'u es

la circun#erencia circunscrita a un triángulo?

I. 3as mediatrices de un triángulo&e>nición$ la mediatri de un segmento es la recta perpendicular a este

segmento que pasa por su punto medio.

"ropiea) todos los puntos que %orman parte de la mediatri de un

segmento AB cumplen la condici'n de que están a la misma distancia de A y B,

es decir, de los e<tremos del segmento (decimos que son equidistantes

a A y B:.

Esta propiedad nos permite una construcci'n %ácil, usando la regla y el compás,

de la mediatri del segmento AB que mostramos en la fgura 1.

La e<presi'n meiatrices e un triángulo se refere a las mediatrices de los

lados del triángulo. +or consiguiente, un triángulo tiene tres mediatrices.



II. 3a circunferencia circunscrita a un triángulo1. +ropiedad

Las tres mediatrices de un triángulo son concurrentes. El punto de intersecci'n

se encuentra a la misma distancia de los tres vértices del triángulo, y es el=nico punto que cumple esta propiedad. Este punto se

denomina circuncentro.

+or lo tanto, el circuncentro es el centro de una circun%erencia cuyo traado

pasa por los tres vértices del triángulo.

Notas$

BEsta circun%erencia se llama circun%erencia circunscrita al triángulo. Iambién

podemos decir que el triángulo se encuentra inscrito en lacircun%erencia o que

la circun%erencia circunscribe al triángulo. La palabra circunscribe proviene del

lat)n y signifca Mescribir alrededorN, y la palabra inscrito signifca Mescribir

dentroN.

BEn la práctica, solo es necesario traar dos mediatrices para encontrar el

circuncentro que nos permite traar la circun%erencia circunscrita.

2. "osición el circuncentro

En la fgura 2, el circuncentro se encuentra dentro del triángulo. En cambio, si

observamos la fgura 5, vemos que se encuentra %uera del triángulo.



En la fgura 0, el circuncentro se encuentra en el punto medio del lado BC. Esto

nos confrma que este triángulo es rectángulo y que el ángulo recto

se encuentra en A.

esumieno)

B-i todos los ángulos del triángulo son agudos, el circuncentro

se encuentra dentro del triángulo.

B-i el triángulo es rectángulo, el circuncentro se encuentra en el punto medio

de la hipotenusa.

B-i el triángulo tiene un ángulo obtuso, el circuncentro estará %uera deltriángulo.

Der también el art)culo *econocer y traar una mediatri.

Comparar un "n#ulo inscrito en una circunferencia con el "n#ulo central

asociado



Imagina el siguiente experimento: colocamos tres puntos, A , M yB en una circunferencia y

dibujamos el ángulo . Ahora trazamos un nuevo ángulo , siendoO el centro de

la circunferencia, y entonces medimos el ángulo . A continuación, cambiamos la

posición del punto M , dejando fijos los puntos A yB. Posiblemente tengamos la impresiónde que el tamaño del ángulo es siempre igual a la mitad del ángulo . ¿Estaremos en

lo cierto?

I. Definiciones

A yB son dos puntos cualesquiera de una circunferencia que tiene el centro en el puntoO. El

ángulo es conocido con el nombre deángulo central de la circunferencia. A partir de ahora

diremos que el ángulo intercepta el arco AB.

Nota: los puntos A yB de la figura de arriba definen dos ángulos centrales: un ángulo centralmenor que intercepta el menor arco que forman Ay B, y un ángulo central mayor que

intercepta el arco mayor que forman Ay B.

A,B y M son tres puntos distintos de una circunferencia. El ángulo recibe el nombre

deángulo inscrito. También podemos decir que este ángulo intercepta el arco AB.

II. Propiedades



1. Ángulo inscrito y ángulo central interceptan el mismo arco

Propiedad: la amplitud de un ángulo inscrito en una circunferencia es la mitad de la amplitud

del ángulo central que intercepta el mismoarco.

Ejemplo: en la figura 3, el ángulo inscrito y el ángulo central interceptan

el mismo arco AB; podemos deducir que:

2. Ángulos inscritos que interceptan el mismo arco

Propiedad: dos ángulos inscritos (en la misma circunferencia) que interceptan el mismo arco,

tienen el mismo tamaño.

Ejemplo: en la figura 4, los ángulos inscritos y interceptan el mismo arco AB.

Deducimos que .

Podemos demostrar esta última propiedad: para hacerlo llamaremosO al centro de

la circunferencia.

El ángulo inscrito y el ángulo central interceptan el mismo arco.

Así, usando la propiedad anterior, tenemos que: .

De la misma forma, el ángulo inscrito y el ángulo central interceptan

el mismo arco AB.

Usando la propiedad anterior, tenemos también que: .

A partir de estas dos igualdades podemos deducir el siguiente resultado: .



Solución: consideremos el ángulo central y el inscrito : ambos interceptan

el mismo arcoBC, por ello podemos deducir que .

El ángulo es un ángulo llano (180º) ya queBC es el diámetro de la circunferencia con

centro enO. Por lo tanto, .

Podemos deducir que: . Por lo tanto, el triángulo tiene un ángulo rectoen A. Se trata de un triángulo rectángulo.

Composición de dos #iros

La figura 1 ilustra una combinación de dos giros de 180° en torno a los centrosO yO'.

¿Qué ocurre si a una figura le aplicamos dos giros sucesivos de 180°? ¿Y cómo podemos

relacionar estos giros con una traslación?

I. Equivalencia entre la composición de dos giros y una traslación

SeanO yO' dos puntos distintos de un plano. Sean A,B yC tres puntos distintos de dicho

plano, que suponemos no están alineados.

Construimos los puntos A',B' yC' que son, respectivamente, las imágenes de A,B yC por un

giro de 180° en torno al centroO.

A continuación construimos los puntos A'',B'' yC'' que son, respectivamente,



las imágenes de A',B' yC' por un giro de 180° en torno al centroO'.

Decimos que los puntos A'',B'' yC'' son las imágenes respectivas de A,B yC por la

composición del giro de 180° de centroO y del giro de 180° de centroO’.

Dibujamos los vectores , y : observemos que son iguales. Esto significa que hay una

traslación resultante de los dos giros anteriores que transforma A en A'',B enB'' yC enC''.

Por precisar más: podemos dibujar el vector y comprobar que los vectores y tienen

la misma dirección y el mismo sentido, y que la longitud del vector es el doble que la del

vector ; podemos pues escribir .

En resumen: comprobamos que A'',B'' yC'' son las imágenes respectivas de A,B yC por la

traslación de vector .

II. Propiedad y demostración

Del resultado que acabamos de obtener en el apartado anterior al aplicar esos dos giros

sucesivos, deducimos la siguiente propiedad: la composición de un giro de 180° de centroO y

un giro de 180° de centroO' equivale a la traslación de vector .Demostración: seanO yO' dos puntos distintos de un plano y A otro punto de dicho plano.

Construimos el punto A', que es la imagen de Apor un giro de 180° en torno al centroO.

A continuación, construimos el punto A'', que es la imagen de A' por un giro de 180° en torno

al centroO'.

El punto A'' es entonces la imagen del punto A por la composición del giro de 180° de

centroO y del giro de 180° de centroO’.

Por la definición de giro de 180°,O es el punto medio del segmento AA' yO' es el punto medio

del segmento A'A''.

Se deduce que el segmentoOO' es un segmento que une los puntos medios de los dos lados



del triángulo .

Aplicando el teorema de Tales, deducimos que los segmentosOO' y AA'' son paralelos y, en

cuanto a longitudes, .

Los vectores y tienen la misma dirección y el mismo sentido, y además .

Esto lo podemos traducir, como en el primer apartado, en la igualdad vectorial .Esta igualdad vectorial significa que A'' es la imagen de A por la traslación de vector .

Hemos demostrado así que el punto A'', que es la imagen del punto A por un giro de 180° de

centroO y un giro de 180° de centroO’, es también la imagen de A por una traslación de

vector , que es el resultado al que queríamos llegar.

III. Aplicación

Problema: seanI y J dos puntos distintos y ABCD un cuadrilátero plano. Queremos construir

la imagen de ABCD por composición de un giro de 180° en torno al centroI y de un giro de

180° en torno al centro J.

Solución: sabemos que la composición de un giro de 180° en torno al centroI y de un giro de180° en torno al centro J es la traslación de vector .

Por tanto, construimos los puntos A',B',C' yD' que son las imágenes respectivas

de A,B,C yD por esta traslación.

Los puntos A',B',C' yD' están definidos por las igualdades: .

congruencia de triangulos

%i trans#ormamos un triángulo en otro, de manera 'ue pueda ser

superpuesto a a'ul, y si estas series de trans#ormaciones se !acen

sin ninguna alteración de las longitudes de los lados de amos

triángulos, entonces podemos decir 'ue los dos triángulos son

iguales.



La idea de triángulos iguales es di#erente de la idea de triángulos

seme7antes) dos triángulos son seme7antes si sus ángulos

correspondientes tienen la misma amplitud.

I. $Cómo podemos comprobar 0ue dos triángulos son iguales%>os triángulos son iguales si pueden ser superpuestos mediante traslaci'n o

rotaci'n o mediante un giro (simetr)a a<ial o central:.

demás, si los triángulos y son iguales es posible encontrar una de

estas trans%ormaciones Bo una serie de ellasB tal que la imagen del

triángulo , %uera el triángulo .

+ara comprobar que dos triángulos son idénticos, usaremos uno de estos tres

casos de igualdad que defnimos a continuaci'n.

Habiendo comprobado que dos triángulos son idénticos, podemos probar

%ácilmente que las longitudes de los lados yo las amplitudes de los ángulos

son iguales.

Ejemplo)

es un triángulo escaleno y AB&E y BC*6 son cuadrados. Cueremos

demostrar que los segmentos C& y A6 son de la misma longitud.



-abemos que$

AB y B& son dos lados del cuadrado AB&E, entonces AB 4 B&;

BC y B6 son dos lados del cuadrado BC*6, entonces BC 4 B6;

además, .

Los triángulos y tienen un ángulo del mismo tama@o entre dos lados

respectivos de la misma longitud; por tanto, de acuerdo con el segundo caso

de igualdad de triángulos, los dos triángulos son iguales.

>educimos que los lados C& y A6 son de la misma longitud.

Votaremos que la trans%ormaci'n que convierte el triángulo en el

triángulo es un giro de 6"# en sentido contrario a las aguas del relo, en

torno a un centro situado en B.

II. $Cómo podemos probar 0ue dos triángulos son semeantes%>efnimos triángulos semeantes (o con la misma %orma: si sus ángulos

correspondientes son de la misma amplitud.

+ara demostrar que dos triángulos son semeantes, solo tenemos que

comprobar que dos de sus ángulos correspondientes son de la misma amplitud.

>ado que la suma de los ángulos de un triángulo es 1!"#, no necesitamos

demostrar que el tercer ángulo es igual.

Ejemplo)

A, B, C y & son cuatro puntos de una circun%erencia, y AC corta a B& en +.

Cueremos comprobar que los triángulos y son semeantes.



Los ángulos inscritos y comparten el mismo arco BC, por lo que ambos

tienen la misma amplitud; y la misma igualdad es aplicable a los ángulos

inscritos y .

Los dos triángulos y tienen dos ángulos respectivos iguales. +or lo tanto,son semeantes.

Nota) para demostrar que dos triángulos son semeantes, también podemos

usar el inverso del teorema de los triángulos semeantes (ver más abao:$ si

dos triángulos tienen sus lados correspondientes proporcionales en longitud,

entonces son semeantes.

III. $1u2 podemos probar usando triángulos semeantes%-i dos triángulos son semeantes, las longitudes de sus lados correspondientes

son proporcionales. Este teorema básico nos permite probar relaciones de

equivalencia.

Ejemplo 1)

y son dos triángulos semeantes. -i llamamos 4 a la ra'n de las

longitudes de los lados de estos triángulos, tendremos$



-i 4 W 1, 4 es un coefciente de agrandamiento; si 4 X 1, 4 es un coefciente de

reducci'n. La ra'n o ratio de las áreas de los triángulos y es

entonces 4 2.

Ejemplo 2)

A, B, C y & son cuatro puntos de una circun%erencia, y AC corta a B& en +. s)

mismo, +& 4 12 e +B 4 5. Cueremos comparar las áreas de los triángulos

y .

Fa hemos comprobado que estos dos triángulos son semeantes (ver el eemplo

del apartado :, por lo que sus lados son proporcionales, esto es$

La ra'n del área del triángulo respecto del área del triángulo es igual a

6.

s)$ área 4 4 2 ? área , esto es$ área 4 6 ? área .

5esumen

B-i dos triángulos tienen un lado de la misma longitud, adyacente a dos

ángulos respectivos iguales, entonces son iguales.

B-i dos triángulos tienen un ángulo igual, %ormado por dos lados respectivos

de la misma longitud, los triángulos son iguales.

B-i los tres lados respectivos de dos triángulos son de la misma longitud,

entonces los triángulos son iguales.



B>os triángulos son semeantes si y solo si las longitudes de sus lados

correspondientes son proporcionales.

B-i llamamos 4 a la ra'n BratioB de las longitudes de los lados

correspondientes de dos triángulos semeantes, entonces la ra'n de sus áreas

es 4 2.

Conservación de propiedades en una traslación

Si construimos la imagen de una figura por traslación, podemos comprobar

que las dos figuras tienen la misma forma y la misma orientación.

¿Qué podemos decir sobre las propiedades en una traslación?

I. Imágenes de figuras básicas

Sean A y B dos puntos distintos. Consideremos la traslación que

transforma A en B.

—La imagen de una recta por una traslación es otra recta paralela a la primera:

—La imagen de una semirrecta por una traslación es otra semirrecta paralela a laanterior:

—La imagen de un segmento MN por una traslación es otro segmento M'N' tal

que MNN'M' es un paralelogramo:

—La imagen de una circunferencia por una traslación es otra circunferencia con

el mismo radio:



Estas propiedades nos permiten construir la imagen de figuras básicas por una

traslación. Por eemplo! para obtener la imagen de una circunferencia! "allamos

la imagen de su centro y despu#s dibuamos una circunferencia con centro en ese

punto y con el mismo radio que el de la circunferencia original.

II. Conser$ación de propiedades por una traslación

En el diagrama siguiente! la figura $erde es imagen de la figura a%ul por una

traslación. &mbas figuras se pueden superponer.

Podemos pues concluir que una traslación conser$a:

—la orientación'

—las longitudes'

—los ángulos. En particular! dos rectas perpendiculares tendráncomo imagen otras dos rectas perpendiculares'

—los puntos medios de los segmentos'

—las áreas.

(er tambi#n los art)culos Construir la imagen de un punto por una traslación y

*epresentar traslaciones mediante $ectores.



Conservación de propiedades en una traslación

Si construimos la imagen de una figura por traslación, podemos comprobar

que las dos figuras tienen la misma forma y la misma orientación.

¿Qué podemos decir sobre las propiedades en una traslación? I. Imágenes de figuras básicas

Sean A y B dos puntos distintos. Consideremos la traslación que

transforma A en B.

—La imagen de una recta por una traslación es otra recta paralela a la primera:

—La imagen de una semirrecta por una traslación es otra semirrecta paralela a la

anterior:

—La imagen de un segmento ! por una traslación es otro segmento "!" tal

que !!"" es un paralelogramo:

—La imagen de una circunferencia por una traslación es otra circunferencia con el

mismo radio:



#stas propiedades nos permiten construir la imagen de figuras básicas por una

traslación. $or e%emplo& para obtener la imagen de una circunferencia& 'allamos la

imagen de su centro y despu(s dibu%amos una circunferencia con centro en ese

punto y con el mismo radio que el de la circunferencia original.

II. Conser)ación de propiedades por una traslación

#n el diagrama siguiente& la figura )erde es imagen de la figura a*ul por una

traslación. Ambas figuras se pueden superponer.

$odemos pues concluir que una traslación conser)a:

—la orientación+

—las longitudes+

—los ángulos. #n particular& dos rectas perpendiculares tendrán como imagen

otras dos rectas perpendiculares+

—los puntos medios de los segmentos+

—las áreas.

,er tambi(n los art-culos Construir la imagen de un punto por una traslación y

epresentar traslaciones mediante )ectores.



Construir la imagen de un punto por una traslación

Si duplicamos una figura haciéndola desliar a lo largo de una recta d , se dice

que la figura as! obtenida es laimagen de la figura inicial mediante una

traslación.

¿Cómo definir esta transformación en el plano?

I. +,u# es una traslación-

na traslación queda definida por un punto y su imagen.

/. 0efinición

Sean A y B dos puntos distintos de un plano! y M otro punto diferente

del mismo plano. La imagen del punto M por la traslación que transforma el

punto A en el punto B es el punto M' tal que ABM'M es un paralelogramo 1que

quedará reducido a una recta si los puntos A! B! y M están alineados2.

Seg3n la figura /! M tiene como imagen a M' y N tiene como imagen a N' . La

flec"a muestra que A tiene a B por imagen.

Nota: se debe tener cuidado con el orden de las letras 1 ABM'M es

un paralelogramo pero ABMM' no2.

4. Propiedades

Si M' es la imagen de M por la traslación que transforma A en B! entonces:

—MM' 5 AB'

—las rectas AB y MM' son paralelas'



—las semirrectas 6 AB2 y 6MM' 2 tienen la misma dirección'

—los segmentos BM y AM' tienen el mismo punto central.

II. Construir la imagen de un punto utilizando regla y compás

Sea una traslación definida por un punto A y su imagen B (A ≠ B). ,ueremos

construir la imagen del punto M.

/. Si el punto 7 no pertenece a la recta AB

Sea un punto M que no pertenece a la recta AB. (amos a construir

la imagen M' de M por esta traslación.

El problema es "allar un punto M' tal que ABM'M sea un paralelogramo. Para

obtener M' con regla y compás! procedemos de la siguiente forma:

—Pinc"amos con el compás sobre el punto A y abrimos su otro e8tremo "asta el

punto B. Sin modificar la abertura del compás! pinc"amos sobre el punto M y

tra%amos un arco de circunferencia.—Pinc"amos de nue$o el compás sobre el punto A! pero a"ora lo abrimos "asta el

punto M. Sin modificar la abertura! pinc"amos sobre el punto B y tra%amos otro

arco de circunferencia! que cortará al arco anterior en el punto M’.

—9ra%ando los segmentos AM! MM' y BM' tendremos dibuado el paralelogramo. La

figura 4 muestra la construcción.

4. Si el punto 7 pertenece a la recta AB

Sea un punto M perteneciente a la recta AB. (amos a construir

la imagen M' de M por esta traslación.

El punto M' es un punto de la recta AB tal que las longitudes AB y MM' son

iguales! y las semirrectas 6 AB2 y 6MM' 2 tienen la misma dirección.

Para obtener la imagen M' pinc"amos el compás sobre el punto A y abrimos su



otro e8tremo "asta el punto B. Sin modificar la abertura! pinc"amos el

compás sobre el punto M y tra%amos un arco de circunferencia! que cortará a la

recta en el punto M’. La figura muestra las fases de esta construcción.

Construir la ima#en de una fi#ura por un #iro

Al comparar una figura con la imagen que se obtiene al hacerla girar en un plano,

observamos que se mantienen su forma y su tamaño. Pero, ¿cómo construimos la imagen de

una figura por un giro, y cuáles son las propiedades de esta transformación?

I. Definición

SeanO y M dos puntos diferentes del plano, yα un ángulo dado en grados .

Llamemos M' a un punto sobre la circunferencia con centro enOque pasa por M y tal

que .

Si al recorrer el arco MM', nos movemos de M a M' en el sentido de las agujas del reloj,

decimos que el punto M' es la imagen de M por el giro de centroO y ánguloα, en el sentido de

las agujas del reloj.

Si al recorrer el arco MM', nos movemos de M a M' en el sentido contrario a las agujas del



reloj, decimos que el punto M' es la imagen de M por el giro de centroO y ánguloα, en sentido

contrario a las agujas del reloj.

Caso particular:

SiO es el punto medio de un segmento MM', entonces M' es la imagen de M por un giro de

180° con centro enO (en este caso, el sentido no importa); la imagen de un puntoO por un giro

de centroO es el mismo puntoO.

Ejemplos: sobre la figura 4, podemos decir que:

—el punto M' es la imagen del punto M por un giro de 120° de centroO en sentido contrario a

las agujas del reloj;—el puntoB es la imagen del punto A por un giro de 45° de centroI en el sentido de las agujas

del reloj.

Nota: si no se especifica el sentido en que se realiza el giro, se escoge el sentido antihorario,

contrario a las agujas del reloj. Esto es lo que sucede en todos los ejemplos que vienen a

continuación.

II. Figuras elementales



1. Imagen de una recta

En la figura 5 construimos la imagen de una rectad por un giro de 70° de centroO. Para ello,

hemos situado los puntos A,B,C,E yFsobre la rectad y hemos construido sus

respectivas imágenes por dicho giro. Comprobamos que los puntos A',B',C',E' yF' están

alineados.

Así, admitiremos esta propiedad: un giro transforma puntos alineados en puntos alineados.

Sid' es la recta que pasa por los puntos A',B',C',E' yF', admitiremos qued' es la imagen de

la rectad por un giro de 70° de centroO.

Propiedad: la imagen de una recta por un giro es una recta.

2. Imagen de un segmento

En la figura 6, construimos la imagen de un segmento AB por un giro de 90° de centroO. Paraello, hemos obtenido las imágenes A' yB'de A yB por este giro.

Admitimos que el segmento A'B' es la imagen del segmento AB por un giro de 90° de centroO.

Observamos que los segmentos AB y A'B'tienen la misma longitud.

Admitiremos esta propiedad general de los giros: un giro conserva las longitudes, es decir,

si A' yB' son las imágenes respectivas de AyB por un giro, entonces A'B'= AB.



3. Imagen de un triángulo

En la figura 7, construimos la imagen de un triángulo por un giro de 120° de centroO. Para

ello, hemos obtenido las imágenes A',B' yC' de A,B yC por este giro.

Admitimos que el triángulo es la imagen del triángulo por un giro de 120° de

centroO. Observamos que los ángulos y tienen la misma amplitud.

Admitiremos esta propiedad general de los giros: un giro conserva los ángulos, es decir,

si A',B' yC' son las imágenes de tres puntos distintos por un giro, entonces .

4. Imagen de una figura cualquiera

Las propiedades generales de un giro que hemos visto anteriormente nos permiten afirmar que

los giros mantienen la forma y el tamaño de las figuras.

Por ejemplo, la imagen de un círculo por un giro es otro círculo con el mismo radio, y

la imagen de un cuadrado por un giro es otro cuadrado con el mismo lado.

III. Figuras que no varían al girar

La figura 8 representa un cuadrado ABCD de centroO.

Construimos la imagen de este cuadrado por un giro de 90° de centroO. Para ello, construimos

las imágenes de los puntos A,B,C yDpor este giro.

Comprobamos que: A tiene como imagen aD,B tiene como imagen a A,C tiene

como imagen aB, yD tiene como imagen aC.Por tanto, la imagen del cuadrado ABCD por un giro de 90° es el mismo cuadrado ABCD.

Podemos decir que el cuadrado no varía por este giro.



+ara todos los pol)gonos regulares hay una circun%erencia que pasa por todos

sus vértices. Esta circun%erencia recibe el nombredecircun#erencia circunscrita al pol)gono. El centro de esta circun%erencia es

el centro del pol)gono.

II. Eemplos de construcción

1. 8onstruir un pentágono a partir de su circun%erencia circunscrita

"ropiea práctica$ en un pol)gono regular con centro en 3, todos los ángulos

centrales %ormados por dos radios de la circun%erenciacircunscrita que se unen

a dos vértices consecutivos del pol)gono, deben tener la misma amplitud. -i el

pol)gono tiene n lados, este ángulo, medido en grados, es igual a .

Ejemplo$ un pentágono tiene 3 lados, as) que la medida de cada uno de sus

ángulos centrales es$ .

La fgura 2 nos muestra las etapas en la construcci'n de un pentágono.



2. Construir un octógono a partir e la longitu e uno e sus laos

"ropiea práctica$ A, B y C son tres vértices consecutivos de un pol)gono con

centro en 3. El ángulo del pol)gono y el ángulo central son

suplementarios. demás, el segmento 3B es la bisectri del ángulo .

&bserva esta propiedad en un cuadrado$

Ejemplo$ Cueremos construir un oct'gono regular con una longitud concreta

para su lado, que llamaremos AB.



Un oct'gono tiene ocho lados, por lo que la amplitud de cada uno de sus

ángulos centrales es$ . Vos ayudaremos de las tres fguras siguientes

para visualiar meor la medida de los ángulos en un oct'gono.

Usando la propiedad anterior (1!"# 4 ángulo interior / ángulo central:

podemos calcular lo que mide cada ángulo interior del oct'gono$ 1!" 9

03 4 153.

+odemos ver as) que la mitad de cada ángulo interior es$ .



+ara construir ahora el oct'gono, comenamos traando el lado AB del

oct'gono de la longitud que queramos, y a continuaci'n construiremos un

triángulo is'sceles donde .

El punto 3 deberá ser el centro del oct'gono.

La fgura J nos muestra los pasos a seguir en la construcci'n del oct'gono.

Nota$ también podemos construir las sucesivas caras del oct'gono sin

necesidad de usar la circun%erencia circunscrita, ya que sabemos que cada

ángulo interior del oct'gono mide 153#, pero este método de construcci'n nos

llevar)a mucho más tiempo.

. Construir un $exágono regular usano el compás

Un he<ágono tiene seis lados, de manera que cada ángulo central

mide .

+or lo tanto, cada ángulo interior del he<ágono mide 1!" 9 " 4 12".

F, en consecuencia, vemos que la mitad del ángulo correspondiente a cada

vértice tiene una amplitud de$ . En la fgura ! vemos las medidas de

los ángulos en un he<ágono regular.

ecuaciones de rectas y sistemas de ecuaciones lineales

Documents