Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado.

Bachillerato L. O. E.

Materia: MATEMATICAS IIInstrucciones: El alumno debera contestar a una de las dos opciones propuestas A o B.

Los ejercicios deben redactarse con claridad, detalladamente y razonando las respuestas.

Puedes utilizar cualquier tipo de calculadora. Cada ejercicio completo puntua 2,5 puntos.

PROPUESTA A

1A. a) Enuncia el Teorema de Bolzano. (0,5 puntos)b) Razona que las graficas de las funciones f(x) = 3x5 − 10x4 + 10x3 + 3 y g(x) = ex se cortan en

algun punto con coordenada de abscisa entre -1 y 0. (1 punto)c) Calcula los puntos de inflexion de f(x). (1 punto)

2A. Calcula el valor del parametro a ∈ R, a > 0, para que el valor (en unidades de superficie) del areade la region determinada por la parabola f(x) = −x2 + a2 y el eje de abscisas, coincida con la pendientede la recta tangente a la grafica de f(x) en el punto de abscisa x = −a. (2,5 puntos)

3A. a) Encuentra dos matrices A, B cuadradas de orden 2 que cumplan:

Su suma es la matriz identidad de orden 2.

Al restar a la matriz A la matriz B se obtiene la traspuesta de la matriz(

1 23 4

)(1,5 puntos)

b) Si M es una matriz cuadrada de orden 2 tal que |M | = 7, razona cual es el valor de los determinantes|M2| y |2M |. (1 punto)

4A. a) Estudia la posicion relativa del plano π ≡ x− y − z = a y la recta

r ≡{

2x + y + az = 0x− 2y = 0

en funcion del parametro a ∈ R. (1,25 puntos)b) Calcula la distancia entre π y r para cada valor de a ∈ R. (1,25 puntos)

(sigue a la vuelta)

A1.- Solución

a) Teorema de Bolzano

Si f(x) es continua en el intervalo [a , b], y toma valores de distinto signo en los extremos del intervalo

[sign f(a) ≠ sign f(b)], entonces existe, al menos, un punto c∈(a,b) tal que f(c) = 0

b) Observamos que f(-1)=-3-10-10+3=-20; f(0)=3; g(-1)=e-1; g(0)=e0=1, esto significa que en los

extremos del intervalo [-1,0] ocurre que f(-1)<g(-1) y f(0)>g(0), como además las funciones son

continuas, deducimos que sus gráficas deben, cruzarse en algún sitio del interior del intervalo .

De otro modo, si consideramos la función diferencia h(x)=f(x)-g(x), tenemos que h(-1)<0 y

h(0)>0 o sea que [sign h(-1) ≠ sign h(0)], además h(x) es continua por ser diferencia de

continuas, luego por el Teorema de Bolzano podemos asegurar que existe un punto c∈(-1,0)

tal que h(c)=0 o lo que es igual f(c)=g(c)

c) Para encontrar los puntos de inflexión de f, primero encontraremos los puntos en donde se

anula la derivada segunda f’’(x)=0 y luego veremos si en ellos la siguiente derivada que no se

anula es de orden impar:

(0,3) en inflexión de punto unhay sólo Luego

1xpara inflexión de puntohay no 0120240360)1(240360)(

060240180)1('''

)3,0())0(,0(060)0('''60240180)('''

1

00)1(600)12(600)(''

6012060)(''304015)('310103)(

2

22

23234345

IVIV fxxf

f

fPIfxxxf

x

xxxxxxxf

xxxxfxxxxfxxxxf

A2.- Solución

La parábola dada tiene por eje al eje Y, y el vértice se encuentra sobre é, además los puntos de

corte con el eje X son (-a,0) y (a,0) luego el área pedida:

0que dicen nos pues 2

3

2

3642

3

4 que queremos luego

2)(2)('2)('

3

4

3

22)

3(2]

3[2)(2)(

233

333

3

0

23

0

2222

aaaaaaa

aaafxxf

aaa

axa

xdxaxdxax a

aa

a

A3.- Solución

282

49

42

7

231

230

42

31

10

012

251

231

42

31

10

012

42

31

10

01

2

22

M

M

MM

MM

M

BB

AA

BA

BA

A4.- Solución

Si el sistema formado por las ecuaciones de la recta y el plano tiene solución única entonces la

recta y el plano se cortan en un punto que es la solución de ese sistema. Si el sistema es

incompatible la recta y el plano son paralelos, y si el sistema es compatible determinado la

recta está contenida en el plano

3ampliada la de rango

025

021

012

511

012-1

1-1 porque

2 escoeficient matriz rango

-5a Si

5214

021

12

111

02

02 aaaa

yx

azyx

azyx

Luego cuando a=-5 el sistema es incompatible y la recta y el plano son paralelos

Cuando a distinto de -5 los rangos son 3 y el sistema es compatible determinado, la recta y el

plano se cortan en el punto )5

5,

5

10,

5

220(

22

a

a

a

aa

a

aa. No hay más posibilidades.

b) Cuando la recta corta al plano la distancia entre ambos es 0, cuando es paralela es la

distancia de un punto cualquiera de la recta al plano. Observamos que el punto P(0,0,0)

pertenece a la recta porque viene dada por dos planos que pasan por el origen de

coordenadas. Como en este caso es x-y-z=-5

3

5

)1()1(1

5000),(),(

222rPdrd

Pruebas de Acceso a Ensenanzas Universitarias Oficiales de Grado.

Bachillerato L. O. E.

Materia: MATEMATICAS II

PROPUESTA B

1B. a) Calcula los valores de los parametros a, b ∈ R para que la funcion

f(x) =ax2 + bx

x + 1

tenga como asıntota oblicua la recta y = 2x + 3. (1,5 puntos)b) Para los valores encontrados, escribe la ecuacion de la recta tangente a la grafica de f(x) en el

punto de abscisas x = 0. (1 punto)

2B. Calcula las siguientes integrales:∫

2 senx cosx

1 + sen2xdx,

∫x2 + x− 4x3 − 4x

dx (1,25 puntos por integral)

3B. a) Sabiendo que

|A| =∣∣∣∣∣∣

1 1 1a b ca2 b2 c2

∣∣∣∣∣∣= 2

donde a, b, c ∈ R, calcula los determinantes∣∣∣∣∣∣

a− 1 b− 1 c− 1a2 − 1 b2 − 1 c2 − 1

5 5 5

∣∣∣∣∣∣y

∣∣∣∣∣∣

(a + 1)2 (b + 1)2 (c + 1)2

a b ca2 b2 c2

∣∣∣∣∣∣

indicando las propiedades que usas en cada caso para justificar tu respuesta. (2 puntos)b) Razona que, puesto que |A| = 2, los parametros a, b y c deben ser distintos entre sı (no puede

haber dos iguales). (0,5 puntos)

4B. a) Estudia la posicion relativa de las rectas

r ≡{

x + y − z = 12x + y − 2z = 1

y s ≡{

x− z = 0x + 2y − z = 12

(1,25 puntos)

b) Calcula la distancia entre las rectas r y s. (1,25 puntos)

B1.- Solución

Sabemos que la pendiente y la ordenada en el origen de la asíntota oblicua son los siguientes

límites

521

)2(lim2

1

2lim2)(lim)(lim3

2lim)(

lim2

2

2

2

bbx

xbx

x

bxxxxfaxxf

aaxx

bxax

x

xf

xxxx

xx

Luego la función es:

xyxyxffy

fx

x

x

xxxxxf

x

xxxf

5)0(50)0)(0(')0(por dada vieneela tangent Como

5)0(')1(

52

)1(

52)1)(54()('

1

52)(

2

2

2

22

B2.- Solución

La primera se trata de una integral inmediata de la forma KxfLdxxf

xf)((

)(

)('

KxsenLdxxsen

xxsendx

xf

xf))(1(

)(1

)cos()(2

)(

)(' 2

2

La segunda es una integral racional que calculamos por el método habitual

Kx

xLxKxLxLLxI

CCx

BBx

AAx

xCxxBxxxAxx

dxx

C

x

B

x

Adx

xxx

xxdx

xx

xxdx

xx

xxI

4

2

2

2

2

3

2

2

2)2(

4

1)2(

4

1

41822

41822

1440

)2()2()2)(2(4

22)2)(2(

4

)4(

4

4

4

B3.- Solución

Emplearemos tres propiedades 1ª, si multiplicamos una fila por un nº el determinante queda

multiplicado por ese nº, 2ª si añadimos a una fila o columna una combinación lineal de las

restantes el determinante no varía y 3ª si cambiamos entre sí dos filas o columnas el

determinante cambia de signo

1ª y 2ª ,3ª ,3ª aplicado Hemos10

555

111

111

555

111

111

5

1

111

111

111

111

111

111

222

222222222

222222

cba

cba

cba

cba

cba

cba

cba

cba

cba

cba

cba

cba

4

111

2

)1()1()1(

la tercera y 2por da multiplicafila segunda la a primerafilla a Sumamos

2

111

222222

222

222

cba

cba

cba

cba

cba

cba

cba

bcbc

acac

abab

bcacab

acabacab

acacabab

acab

acaba

acaba

cba

cba

0

0

0

2))()((

11))((

))(())((

001111

22222222

He aplicado las propiedades 2ª y 1ª y he desarrollado el determinante por la primera fila.

B4.- Solución

Primero escribiremos las ecuaciones de las rectas en forma paramétrica

s dedirector )1,0,1(

)0,6,0(6

122

0

r dedirector )1,0,1(

)0,1,0(1212

1

122

1

u

sQ

z

y

x

zyx

zx

v

rP

z

y

x

z

yx

yx

zyx

zyx

Luego las rectas son paralelas porque tienen el mismo vector director y el punto P de r no

pertenece a s. Para calcular la distancia consideramos un punto genérico S de s y el vector PS,

así determinamos para que este vector sea perpendicular al vector director de r

55),(

)0,5,0(

0000)1,0,1)·(,5,(0·

),5,()0,16,0(

2PSsrD

PS

uPS

PS