DERIVADAS

FUNCI DEFINI

De iguavariableordenadnúmero Para la variableson “x”, Las funvariable

La funces una

GRÁFIC La gráf

(xfz =como u EJERC

1. (xf

a) (b) (c) (

PARCIALES

IONES DE

CIÓN: Seaordees fconj

al manera es, donde lodas, (x1, x2

os reales. N

función dae dependien, “y” y “z”, y

nciones de e independi

i) ( f ±

ii) ( gf .

iii) ⎜⎜⎝

⎛gf

ción compuefunción de iv) ( f o

CA DE UNA

fica de una)yx, y ( yx,

na superfic

CICIO 1: Eva

)yxyx =,

(3,2) (30,5) (t2 – 4, t+2)

E VARIAS V

a D un conenado (x,y) función de junto de val

se puedenos dominio, x3,..., xn), osotros est

ada por z = nte. Para lala dependie

varias variente. Para

)( )yxg , =±

)( ) fyxg , =

( ) ((, =⎟⎟

⎠

⎞gfyx

esta dada puna única v)( )yxg , =o

A FUNCIÓN

a función d)y está en e

cie en el esp

aluar la func

2. ( ,xf

a) ( b) ( c) (

UNIVEFA

MA

VARIABL

njunto de pde D le cor“x” e “y”.

lores de f(x

n dar defins consistenrespectiva

tudiaremos

f(x,y), llama función deente es “w”

ables puedel caso tene

( ) gyxf , ±

( ) ( yxgyxf ,.,

( )( ) ,

,, dondyxyx

por (g ° h)(xvariable. En

( )[ ]yxgf ,

N DE DOS V

e dos variael dominio dpacio.

ción en el p

) 24 xy −=

(0,0) (2,3) x,0)

ERSIDACULTAD DE

Alameda

Página 1 de

ATEMÁT

ES

pares orderresponde uEl conjunto

,y) es el ran

niciones simn de tríos (xmente. En funciones d

amos variae tres variab.

den combinemos que:

( )yxg ,

)y

( ),: ≠yxgde

,y) se definntonces:

VARIABLE

ables f es de f. Esta g

punto que se24y− 3

AD FRANE INGENIERRoosevelt 30

e 14

TICA II

nados de un numero o D es el dngo de f.

milares parax1, x2, x3), todos los c

de dos y tre

bles indepebles w = f(x,

narse de ig

0≠

e solament

ES

el conjuntográfica pued

e indica:

3. ( )yxf =,

a) (2,-1) b) (3,2) c) (t,t)

NCISCORÍA Y ARQUIT

31 Tel. 209-2

números rreal f(x,y), e

dominio de

a funcionestétradas (x

casos el ranes variables

endientes a y,z), las va

ual manera

Suma o

Producto

Cociente

e si h es un

Compos

o de puntosde interpret

yxe= 4

O GAVIDTECTURA 2865

reales. Si aentonces sef y el corre

s de tres, x1, x2, x3, x4ngo es un c.

“x” e “y”, sriables inde

a que las d

diferencia

o

e

na función d

sición

s (x,y,z) paarse geomé

4. ( )yxf =,

a) (e,0) b) (5,6) c) (e,e)

DIA

a cada pare dice que fespondiente

cuatro o n4) y n-uplasconjunto de

siendo “z” laependientes

de una sola

de x e y, y g

ara los queétricamente

yx +ln

) ) )

r f

e

n s e

a s

a

g

e e

DERIVADAS PARCIALES

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LÍMITE DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES DEFINICION: Sea f una función de dos variables definida, con la posible excepción de (x0,y0),

en un disco centrado en (x0,y0), y sea L un número real. Entonces:

( ) ( )( ) Lyxf

yxyx=

→

,lim00 ,,

Si para cada 0>ε existe un 0>δ tal que ( ) ε<− Lyxf ,

siempre que ( ) ( ) δ<−+−< 20

200 yyxx

CONTINUIDAD PARA UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES

DEFINICION: Una función f de dos variables es continua en un punto ( )00 , yx de una región abierta R si ( )00 , yxf está definido y es igual al límite de ( )yxf , cuando ( )yx, (x,y) tiende a (x0,y0). Es decir, si:

( ) ( )( ) ( )00

,,,,lim

00

yxfyxfyxyx

=→

La función f es continua en la región abierta R si es continua en todos los puntos de R.

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUAS DE DOS VARIABLES Si “k” es un número real y “f” y “g” son continuas en (x0,y0), entonces las siguientes funciones son continuas en ( )00 , yx .

1. Múltiplo escalar: kf

2. Suma y diferencia: gf ±

3. Producto: fg

4. Cociente: gf

, si ( ) 0, 00 ≠yxg

Las propiedades anteriores aseguran la continuidad de todas las funciones polinómicas y racionales en cualquier punto de sus dominios. CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN COMPUESTA

Si “h” es continua en ( )00 , yx y “g” es continua en ( )00 , yxh , entonces la función compuesta dada por ( )( ) ( )[ ]yxhgyxhg ,, =o es continua en ( )00 , yx . Es decir,

( ) ( )( )[ ] ( )[ ]00

,,,,lim

00

yxhgyxhgyxyx

=→

Nótese que “h” es una función de dos variables y “g” es una función de una variable.

DERIVADAS PARCIALES

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CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DE TRES VARIABLES

DEFINICIÓN: Una función f de tres variables es continua en un punto ( )000 ,, zyx de una región abierta R si ( )000 ,, zyxf está definido y es igual al límite de ( )zyxf ,, cuando ( )zyx ,, tiende a ( )000 ,, zyx . Es decir, si:

( ) ( )( ) ( )000

,,,,,,,,lim

000

zyxfzyxfzyxzyx

=→

La función f es continua en la región abierta R si es continua en todos los puntos de R.

EJERCICIO 2: i) Calcular el limite que se indica:

1. ( ) ( )

( )2

1,2,3lim yx

yx+

→

2. ( ) ( )

( )135lim0,0,

+++→

yxyxyx

3. ( ) ( )

yz

zyxxelim

1,0,2,, →

4. ( ) ( ) yx

yxyx −

+

→lim

0,2, 5.

( )

( )xyysenyxlim

2,4

, ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛→π

6. ( ) ( )

zyxzyx

++→

lim5,2,1,,

ii) En los ejercicios 7-12, calcular los limites:

a) ( ) ( )

xyxfyxxf

x ∆−∆+

→∆

,,lim0

b) ( ) ( )

yyxfyyxf

y ∆−∆+

→∆

,,lim0

7. ( ) yxyxf 4, 2 −= 8. ( ) 22, yxyxf += 9. ( ) 32, −+= xyxyxf

10. ( ) xyyxf 2, = 11. ( ) 223, yxyxf = 12. ( ) ( )2, yxyxf −= DERIVADAS PARCIALES La introducción de las derivadas parciales tardó varios años en seguir a los trabajos de Newton y Leibniz. Entre 1730 y1760, Leonhard Euler y Jean Le Rond d’Alembert publicaron separadamente varios artículos de dinámica, en los cuales establecieron gran parte de la teoría de las derivadas parciales. Estos artículos usaban funciones de dos o mas variables para estudiar problemas que trataban del equilibrio, el movimiento de fluidos y las cuerdas vibrantes. En clase vamos a estudiar la teoría básica de las derivadas parciales de funciones de dos, tres y más variables.

DERIVADAS PARCIALES

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DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE DOS VARIABLES DEFINICIÓN: Si z = f(x,y), entonces las derivadas parciales primeras de f con respecto a “x” y a

“y” son xf y yf definidas mediante:

( ) ( ) ( )x

yxfyxxfyxfx

x ∆−∆+

=→∆

,,, lim0

( ) ( ) ( )y

yxfyyxfyxfy

y ∆−∆+

=→∆

,,, lim0

siempre y cuando exista el límite.

Esta definición indica que si ( )yxfz ,= , entonces para calcular xf consideramos que “y” es constante y derivamos con respecto a “x”. De forma similar, para obtener yf , consideramos que x es constante y derivamos con respecto a “y”. NOTACIÓN PARA LAS DERIVADAS PARCIALES PRIMERAS: Si ( )yxfz ,= , las derivadas parciales xf y yf se denotan:

( ) ( ) xxx zyxfxz

xyxff ==== ,,

δδ

δδ ∧ ( ) ( ) yyy zyxf

yz

yyxff ==== ,,

δδ

δδ

Las derivadas parciales primeras evaluadas en el punto ( )ba, se denotan:

( )

( )bafxz

xba

,,

=δδ ∧

( )( )baf

yz

yba

,,

=δδ

DERIVADAS PARCIALES DE UNA FUNCIÓN DE TRES O MAS VARIABLES El concepto de derivada parcial puede extenderse de manera natural a funciones de tres o más variables. Así, si w = f(x,y,z), entonces hay tres derivadas parciales, las cuales se obtienen considerando cada vez dos de las variables constantes. Es decir, para definir la derivada parcial de “w” con respecto a “x”, consideramos que “y” y “z” son constantes y escribimos:

( ) ( )x

zyxxfzyxfxw

xx ∆

∆+==

→∆

,,,, lim0δ

δ

Para definir la derivada parcial de “w” con respecto a “y”, consideramos que “x” y “z” son constantes y escribimos:

( ) ( )y

zyyxfzyxfyw

yy ∆

∆+==

→∆

,,,, lim0δ

δ

Para definir la derivada parcial de “w” con respecto a “z”, consideramos que “x” y “y” son constantes y escribimos:

( ) ( )z

zzyxfzyxfzw

zz ∆

∆+==

→∆

,,,, lim0δ

δ

DERIVADAS PARCIALES

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En general, si ( )nx xxxxfwk

,...,,, 321= , donde: nk ,...,3,2,1= ; para hallar las derivadas parciales con respecto a una de las variables, consideramos las otras como constantes y derivamos con respecto a la variable dada. DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR Lo mismo que sucede con las derivadas ordinarias, es posible hallar derivadas parciales de una función de varias variables de órdenes segundo, tercero y superiores, supuesto que tales derivadas existen. Las derivadas de orden superior se denotan por su orden de derivación. Para el caso, hay cuatro formas diferentes de hallar una derivada parcial segunda de

( )yxfz ,= : i) Derivar dos veces respecto a “x”:

xxfx

fxxf

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

2

2

δδ

δδδδ

ii) Derivar dos veces respecto a “y”:

yyfy

fyyf

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

2

δδ

δδδδ

iii) Derivar primero con respecto a “x” y a continuación con respecto a “y”:

xyfxyf

yxf

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

δδδ

δδδδ 2

iv) Derivar primero con respecto a “y” y a continuación con respecto a “x”:

yxfyxf

xyf

==⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

δδδ

δδδδ 2

Los casos tercero y cuarto se conocen como derivadas parciales cruzadas. Se debe observar que hay dos tipos de notación para las derivadas parciales cruzadas, según que convenio se utilice para indicar el orden de derivación. Así, la parcial

xyf

yxf

δδδ

δδδδ 2

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Orden de derecha a izquierda

indica que la primera derivación es con respecto a “x”, pero ( ) yxxy ff = Orden de izquierda a derecha

indica derivación con respecto a “y” en primer lugar. IGUALDAD DE LAS DERIVADAS PARCIALES CRUZADAS

Si f es una función de “x” e “y” tal que yxxyyx fffff ,,,, son continuas en la región abierta R,

entonces para cada ( )yx, en R, ( ) ( )yxfyxf yxxy ,, =

DERIVADAS PARCIALES

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Lo anterior se aplica a funciones de tres o más variables siempre y cuando f y todas sus derivadas parciales primeras y segundas sean continuas. Por ejemplo, si ( )zyxfw ,,= y f , y todas sus derivadas parciales primeras y segundas son continuas en una región abierta R, entonces en cada punto de R el orden en la derivación de las derivadas parciales segundas es irrelevante. Esto es:

( ) ( )zyxfzyxf yxxy ,,,, =

( ) ( )zyxfzyxf zxxz ,,,, =

( ) ( )zyxfzyxf zyyz ,,,, =

Si además, las derivadas parciales tercera de f son continuas, entonces el orden en que se derivan las derivadas parciales terceras cruzadas tampoco es importante. Así, zzxzxzxzz fff == , como se verificara en los ejemplos en clase. EJERCICIO 3: i) En los ejercicios 1-20, hallar las derivadas parciales primeras con respecto a “x” e “y”.

1) ( ) 532, +−= yxyxf 2) ( ) 73, 22 +−= yxyxf 3) ( ) xyyxf =,

4) ( )yxyxf =, 5) ( ) yxyxf =, 6) ( ) 22 3, yxyxyxf +−=

7) yexz 22= 8) yx

xez = 9) ( )22ln yxz +=

10) xyz ln= 11) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

=yxyxz ln 12)

xy

yxz

22 42

+=

13) ( ) 22

1,yxe

yxh+

= 14) ( ) 22ln, yxyxg += 15) ( ) 22, yxyxf +=

16) ( ) 22,yx

xyyxf+

= 17) ( )yxsenz −= 2 18) yxsenz 3cos3=

19) ( ) senxyeyxf y=, 20) ( )22cos yxz += ii) En los ejercicios 21-24, evaluar xf y yf en el punto indicado.

21) ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyarxyxf tan, ; ( )2,2 − 22) ( ) ( )xyarcsenyxf =, ; ( )0,1

23) ( )yx

xyyxf−

=, ; ( )2,2 − 24) ( )22

4,yx

xyyxf+

= ; ( )0,1

DERIVADAS PARCIALES

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iii) En los ejercicios 25-30, hallar las derivadas parciales primeras con respecto a x, y ∧ z.

25) 222 zyxw ++= 26) zyx

xyw++

=

27) ( ) 222ln,, zyxzyxF ++= 28) ( ) 22211,,

zyxzyxG

−−−=

29) ( ) ( )zyxsenzyxH 32,, ++= 30) ( ) 22 1053,, yzxyzyxzyxf −−=

iv) En los ejercicios 31-38, hallar las segundas derivadas parciales: yxxyyyxx ffff ∧,, :

31) 22 32 yxyxz +−= 32) 4224 3 yyxxz +−=

33) yez x tan= 34) 2

2 xyez =

35) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyz arctan 36) ( )yxsenz 2−=

37) 22 yxz += 38) yx

xyz−

=

v) En los ejercicios 39-44, probar que: yxxy ff = :

39) yxxz 23 3+= 40) ( )yxz −= ln

41) yxz sec= 42) 229 yxz −−=

43) 2yexz = 44) xy yexez +=

vi) En los ejercicios 45-48, probar que las derivadas parciales mixtas yyxyxyxyy fff ∧, son iguales. 45) ( ) xyzzyxf =,, 46) ( ) 32 43,, zyzxyxzyxf ++−=

47) ( ) xesenyzzyxf =,, 48) ( )

zyxzyxf+

=,,

vii) En los ejercicios 49-52, probar que la función satisface la ecuación de Laplace: 0=+ yyxx zz

49) xyz 5= 50) ( )senxeez yy −−= 21

51) senyez x= 52) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

xyz 1tan

viii) En los ejercicios 53-54, probar que la función satisface la ecuación de ondas:

xxtt zCz 2= 53) ( )Ctxsenz −= 54) ( ) ( )xsenCtsenz ωω=

ix) En los ejercicios 55-56, probar que la función satisface la ecuación del calor: xxt zCz 2=

55) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= −

Cxez t cos 56) ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= −

Cxsenez t

DERIVADAS PARCIALES

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DIFERENCIAL TOTAL DEFINICIÓN: Si ( )yxfz ,= y yx ∆∆ , son incrementos de “x” y de “y”, entonces las

diferenciales de las variables independientes “x” e “y” son ydyxdx ∆=∧∆=

y la diferencial total de la variable dependiente “z” es

dyyzdx

xzdzdyzdxzdz yx δ

δδδ

+=∨+=

Esta definición puede extenderse a funciones de tres o más variables. Por ejemplo, si

( )uzyxfw ,,,= , entonces uduzdzydyxdx ∆=∆=∆=∆= ,,, , y la diferencial total de “w” es duwdzwdywdxwdw uzyx +++=

EJERCICIO 4: En los ejercicios 1-10, calcular la diferencial total:

1) 323 yxz = 2) yxz

2

=

3) 22

1yx

z+

−= 4) senyez x=

5) xyyxz coscos −= 6) ( ) ( )( )2222

21 yxyx eez +−+ −=

7) senxyzw 32= 8) zyew x += cos

9) yzyxw

2−+

= 10) senyzyzxw += 22

REGLA DE LA CADENA Sea ( )yxfw ,= , donde f es una función diferenciable de “x” ∧ “y”. Si ( ) ( )thytgx =∧= , siendo “g” y “h” funciones derivables de t, entonces w es una función derivable de t, y

dtdyw

dtdxw

dtdw

yx +=

Entonces w es una función, en última instancia, de una sola variable t, y en lugar de hablar de la derivada parcial de la función con respecto a t, hablamos de una derivada ordinaria, llamada Derivada Total. Otra forma de denotarla es:

dtdyf

dtdxf

dtdf

yx +=

Si ( ) ( ) ( ) ( )trztqytpxzyxfw ===∧= ,,,, , entonces

dtdzw

dtdyw

dtdxw

dtdw

zyx ++=

DERIVADAS PARCIALES

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Las “cadena” mencionada puede representarse en forma de diagrama, como lo muestra la siguiente figura: w xw yw x y

dtdx

dtdy

t t Regla de la Cadena para una

variable independiente

REGLA DE LA CADENA DE DOS VARIABLES INDEPENDIENTES Sea ( )yxfw ,= , donde f es una función diferenciable de x y de y. Si ( ) ( )tshytsgx ,, =∧= de forma tal que las parciales primeras tsts yyxx ∧,, existan todas, entonces ts ww ∧ existen y vienen dadas por

sysxs ywxww += ∧ tytxt ywxww +=

Las “cadenas” mencionadas pueden representarse en forma de diagrama, como lo muestra la siguiente figura: w xw yw x y

tx sx ty sy t s t s

Regla de la Cadena para dos Variables Independientes

La regla de la Cadena se puede extender a un número cualquiera de variables. Por ejemplo, si w es una función diferenciable de n variables x1, x2, ..., xn, donde cada x es una función diferenciable de las m variables t1, t2, ..., tm, entonces w = f(x1, x2, ..., xn) tenemos

DERIVADAS PARCIALES

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⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

=∂∂

m

n

nmmm

n

n

n

n

tx

xW

tx

xW

tx

xW

tW

tx

xW

tx

xW

tx

xW

tW

tx

xW

tx

xW

tx

xW

tW

L

M

L

L

2

2

1

1

22

2

22

1

12

11

2

21

1

11

DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS Estudiaremos dos métodos: MÉTODO 1: Se siguen los siguientes pasos:

i) Asumir cual es la variable dependiente y cuales las variables independientes.

ii) Derivar en la forma conocida y al derivar la variable dependiente (por ejemplo, w) anotar su derivada parcial (wx, wy, wz) según el caso.

iii) Despejar la derivada parcial buscada. APLICACIÓN DE LA DIFERENCIAL TOTAL EN LA DERIVACIÓN IMPLÍCITA MÉTODO 2: Consideremos una función implícita de dos variables (1 independiente y 1 dependiente) tal como:

( ) 0, =yxf (1) donde: ( )xgy =

el Diferencial Total de la función (1) viene dado por: 0=+= dyfdxfdf yx

dxfdyf xy −=

y

x

ff

dxdy

−=

Extendiendo el proceso anterior a una función de tres variables (2 independientes y 1 dependiente) tal como: ( ) 0,, =zyxf (2) donde: ( )yxgz ,= (3) para la función explícita (3) tenemos que el diferencial total viene dado por:

DERIVADAS PARCIALES

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0=+= dyzdxzdz yx (4) y para la función implícita (2), tenemos que el diferencial total viene dado por: 0=++= dzfdyfdxfdf zyx despejando para dz, se tiene: dyfdxfdzf yxz −−=

dyff

dxff

dzz

y

z

x⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= (5)

luego, si comparamos las ecuaciones (4) y (5), tenemos que:

z

xx f

fz −= ∧

z

yy f

fz −=

EJERCICIO 5:

i) En los ejercicios 1-6, hallar la derivada total dtdw

usando la regla de la cadena

1) 22 yxw += 2) 22 yxw += 3) sexyxw =

tex = sentx = tex = tey −= tey = ty −= π

4) xyw ln= 5) w = x2 + y2 + z2 6) w = xy cos z

x = cos t x = et cos t x = t y = sen t y = et sent y = t2 z = et z = arccos t ii) En los ejercicios 7-10, calcular ws y wt usando la regla de la Cadena apropiada, y

evaluar cada derivada parcial en los valores de s y t que se especifican 7) w = x2 + y2 8) w = y3 – 3x2 y

x = s + t, y = s – t x = es, y = et Punto: s = 2, t = – 1 Punto: s = 0, t = 1 9) w = x2 – y2 10) w = sen(2x + 3y) x = s cost y = s sent x = s + t, y = s – t Punto: s = 3, t = ¼ π Punto: s = 0, t = ½ π

DERIVADAS PARCIALES

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iii) En los ejercicios 11-14, hallar dw/dt, a) por la regla de la cadena apropiada, y b) convirtiendo w en función de t antes de derivar

11) w = xy 12) w = cos(x – y)

x = 2 sent, y = cost x = t2, y = 1 13) w = xy + xz + yz 14) w = xyz x = t – 1, y = t2 – 1, z = t x = t2, y = 2t, z = e– t iv) En los ejercicios 15-18, hallar wr y wθ, a) por la regla de la cadena adecuada, y b)

convirtiendo w en una función de r y θ antes de derivar

15) w = x2 – 2xy + y2 16) w = √ 4 – 2x2 – 2y2 x = r + θ, y = r – θ x = r cosθ, y = r senθ 17) w = arctan(y/x) 18) w = (xy) / z x = r cosθ, y = r senθ x = r + θ, y = r – θ, z = θ2

v) En los ejercicios 19-22, hallar por derivada implícita las primeras derivadas parciales de “z”

19) x2 + y2 + z2 = 25 20) xz + yz + xy = 0

21) tan(x + y) + tan(y + z) = 1 22) z = ex sen(y + z) vi) En los ejercicios 23-24, hallar por derivación implícita todas las primeras y segundas

derivadas parciales de z

23) x2 + 2yz + z2 = 1 24) x + sen(y + z) = 0 vii) En los ejercicios 25-26, hallar las primeras derivadas parciales de w aplicando

derivación implícita

25) xyz + xzw – yzw + w2 = 5 26) x2 + y2 + z2 + 6xw – 8w2 = 5

DERIVADAS PARCIALES

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RESPUESTAS EJERCICIO 1: 1) a) 3/2, b) 6, c) t – 2 3) a) 2/e, b) 3e2 c) tet EJERCICIO 2: 1) 5 3) 1 5) 2 7) a) 2x, b) –4 9) a) 2 + y, b) x – 3 11) a) –2xy2, b) –2x2y EJERCICIO 3: 1) fx = 2, fy = –3 3) fx = y. fy = x __ __ 5) zx = √ y , zy = x /(2√ y ) 7) zx = 2xe2y, zy = 2x2e2y 9) zx = 2x/(x2 + y2), zy = 2y/(x2 + y2) 11) zx = –2y/(x2 – y2), zy = 2x/(x2 – y2) ______ _______ 13) hx = –2xe– u , hy = –2ye– u 15) fx = x / √ x2 + y2 , fy = y / √ x2 + y2 17) zx =2cos(2x – y), zy = –cos(2x – y) 19) zx = yey cosxy, zy = ey (x cosxy + senxy) 21) zx = ¼, zy = ¼ 23) zx = –¼, zy = ¼ __________ _________ __________ 25) wx = x / √ x2 + y2 + z2 , wy = y / √ x2 + y2 + z2 , wz = z / √ x2 + y2 + z2 27) Fx = x / ( x2 + y2 + z2 ), Fy = y / ( x2 + y2 + z2 ), Fz = z / ( x2 + y2 + z2) 29) Hx = cos(x + 2y + 3z), Hy = 2cos(x + 2y + 3z), Hz = 3cos(x + 2y + 3z) 31) zxx = 2, zyy = 6, zxy = zyx = – 2 33) zxx = extany, zyy = 2ex sec2y tany, zxy = zyx = ex sec2y 35) zxx = 2xy / (x2 + y2) 2 zyy = – 2xy / (x2 + y2) 2 zxy = zyx = (y2 – x2) / (x2 + y2) 2 37) zxx = y2 / (x2 + y2) 3/2 zyy = x2 / (x2 + y2) 3/2 zxy = zyx = – xy / (x2 + y2) 3/2 39) zxy = zyx = 6x 41) zxy = zyx = secy tany 43) zxy = zyx = – 2e– u 45) fxyy = fyxy = fyyx = 0 47) fxyy = fyxy = fyyx = z2 e– x senyz 49) zxx + zyy = 0 + 0 = 0 51) zxx + zyy = e x seny – e x seny = 0 53) ztt = –c2 sen(x – ct) = c2 zxx 55) ztt = – e– t cos(x/c) = c2 zxx

DERIVADAS PARCIALES

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EJERCICIO 4: 1) dz = 6xy3 dx + 9x2y2 dy 3) dz = 2(x dx + y dy) / (x2 + y2) 5) dz = (cosy + y senx)dx – (x seny + cosx) dx 7) dw = 2z3 y cosx dx + 2z3 senx dy + 6z2 y senx dz 9) dw = dx / (z – 2y) + (z + 2x) dy / (z – 2y) 2 – (x + y) dz / (z – 2y) 2 EJERCICIO 5: 1) dw/dt = 2(e2t – e– 2t) 3) dw/dt = et sec(π – t)[1 – tan(π – t)] 5) dw/dt = 4e2t 7) ws = 4s, 8, wt = 4t, – 4 9) ws = 2s cos2t, 0, wt = –2s2 sen2t, –18 11) dw/dt = 2 cos2t 13) dw/dt = 3(2t2 – 1) 15) wr = 0, wθ = 4(x – y) 17) wr = 0, wθ = 1 19) zx = –x/z, zy = –y/z 21) zx = – sec2(x + y) /sec2(y + z), zy = –1 – sec2(x + y) /sec2(y + z) 23) zx= –x/(y+z), zy= –z/(y+z), zxx= –[(y+z) 2 + x2]/(y+z) 3, zyy= z(2y+z)/(y + z) 3, zxy= zyx= xy/(x+y) 3 25) wz = (yw – xy – xw)/(xz–yz+2w), wy = (–xz + zw)/(xz–yz+2w), wx = (–yz – zw)/(xz–yz+2w) BIBLIOGRAFÍA Thomas, George B., Cálculo Varias Variables, Undécima Edición, Pearson, 2006. Smith, Robert T., Minton, Roland B., Cálculo, Tomo 2, McGraw-Hill, 2000 Larson, Roland E., Hostetler, Robert P., Edwards, Bruce H., Cálculo y Geometría Analítica, Volumen 2, McGraw-Hill, 1995. Leithold, Louis, El Cálculo, séptima edición, Oxford University Press1998