mat022 calculo

Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemáticas

Coordinación de Matemáticas II (MAT022)2o Semestre de 2013

Lunes 7 al 11 de OctubreGuía Semana 3, Cálculo

1. Hallar la siguiente Primitiva: ∫ln (x)√

xdx

Respuesta: 2√x (lnx− 2) + C

2. Resolver: ∫x4 − 3x3 − 5x2 + 7

x2dx

Respuesta: 13x3 − 7

x −32x

2 − 5x+ C

3. Hallar: ∫dx√

2 + 3x− 2x2

Respuesta: − 12√

2 arcsin(35 −

45x)

+ C

4.∫

dx

x12−x

13

Respuesta: 2x12 + 3x

13 + 6x

16 + ln

(x16 − 1

)+ C

5.∫x3 sin (x) dx

Respuesta: 3x2 sin (x)− x3 cos (x)− 6 sin (x) + 6x cos (x) + C

6. Aplicar el método de integración por partes para deducir la fórmula:

(n− 1)

∫tann (x) dx = tann−1 (x)− (n− 1)

∫tann−2 (x) dx+ C

7. Pruebe que: ∫ √a+ bx

xdx = 2

√a+ bx+ a

∫dx

x√a+ bx

+ C

8. Pruebe que: ∫(ln (x))

2dx

Respuesta: x(ln2 x− 2 lnx+ 2

)+ C

9. Resolver:dy

dt=(y2 + 1

)dt

sujeto a y (0) = 1

MAT-022, Segundo Semestre de 2013 1


10. Reacciones químicas y desintegración: Si moléculas de cierto tipo se desintegran por acción del medio,el número de moléculas que se descomponen en una unidad es proporcional al número de moléculas totalpresentes, si en t = 0, se tienen x0, si K > 0 es una constante de proporcionalidad, entonces:

dx

dt= −Kx

luego:|x (t)| = Ke−kt

en nuestro caso:x (t) = x0e

−kt

Se llama semivida T al tiempo para que la sustancia se reduzca a la mitad:

x02

= x0e−Kt

=⇒ T =ln (2)

K

11. Mezclas: Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado o un trago es necesario mezclar diversosingredientes. Considere un recipiente con un dispositivo de agitación que en todo momento mantiene lamezcla homogénea Suponga que tiene V litros de capacidad y contiene una mezcla de agua con sal. Si alrecipiente le agregamos agua con c gramos de sal por litro a una velocidad de a litros por segundo y delrecipiente sacamos agua a la misma velocidad ¿Qué cantidad de sal hay en el recipiente en el tiempo t ?

Desarrollo: Sea x(t) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo t , la variación de la cantidad de sal es:

dx

dt= ac− ax (t)

V

entonces, si la cantidad inicial de sal es x (0) = x0:

x (t) = cV + (x0 − cV ) e−atV

12. La ley de enfriamiento de Newton: Consideremos el siguiente modelo simplificado para el fenómeno devariación de temperatura en un cuerpo. Supongamos que se cumplen las siguientes hipótesis: En el instantet la temperatura en todo el cuerpo T (t) es la misma. La temperatura del medio es constante Tm. El flujode calor a través de las paredes del cuerpo dada por dTdt es proporcional a la diferencia entre la temperaturadel cuerpo y la temperatura del medio. La última condición la podemos formular como:

dT

dt= −K (T − Tm)

Además si la temperatura inicial del cuerpo es T0, entonces:

T (t) = Tm + (T0 − Tm) e−kt



13. Si dy = (2x+ 1) dx, y = 7 cuando x = 1. Hallar el valor de y cuando x = 3

Respuesta: 17.

14. Resolver:dy

dx=

1 + 2y2

y sin (x)

15. Resolver:

dy

dx= x

√y

y (0) = 0

16. Verificar que: ∫2dx√

2 + x− x2= −2 arcsin

(1− 2x

3

)+ C

17. Hallar: ∫sin2 (x) cos5 (x) dx

18. Encuentre y (t) si:

dy

dt=

(y2 + 1

)t

y (0) = 1

19.∫ (2+6x)dx4−2x−3x2

Respuesta: − ln(x2 + 2

3x−43

)+ C

20.∫

dxx+2+

√x+2

Respuesta: 2 ln(x+√x+ 2 + 2

)− ln (x+ 2) + C

21. Hallar∫ 4√x

1+√xdx

Respuesta: 434√x3 − 4 4

√x+ 4 arctan ( 4

√x) + C

22. Dada la funciónf (x) = −x2 + 2x

y las particiones del intervalo [0, 2] , P ={

0, 12 , 1,32 , 2}y Q =

{0, 12 , 1,

32 ,

74 , 2}, comprobar que s (P, f) ≤

s (Q, f) y que S (Q, f) ≤ S (P, f) .

23. Pruebe que: ∫dx

x ln (x)= ln |ln |x||+ C

24. Exprese con la integral adecuada:

lımn→∞

(n

(2n+ 1)2 +

n

(2n+ 2)2 + · · ·+ n

(2n+ n)2

)

25. Si f ′′ (t) = 2et + 3 sin (t), f (0) = 0, f (π) = 0, hallar f (t)



26. Verifique (utilizando métodos de integración) que para cualquier entero n, se cumple que:∫xnexdx = xnex − n

∫xn−1exdx

y utilice este resultado para Calcular:∫x2exdx

Respuesta: ex(x2 − 2x+ 2

)+ C

27. Resolverdy

dx= eyx

Si además se conoce y (0) = 1

Respuesta: y = − ln(−x22 + e−1

)28. Supongamos que depositamos $5000 en una cuenta de ahorro con interés incrementado a una tasa de 5%

compuesto en forma continua. Si A (t) denota la cantidad de dinero en la cuenta en el tiempo t,entonces laecuación diferencial para A es:

dA

dt= 0, 05A

Respuesta: A (t) = 5000e0,05t

29. (Crecimiento de poblaciones) Suponga que para modelar el crecimiento de una población en tiemposcortos utilizamos la siguiente regla "La tasa de crecimiento de la población es proporcional a la poblaciónexistente.entonces el modelo matemático para este fenómeno es la ecuación:

dP

dt= kP

Así si P0 es la población inicial, pruebe que

P (t) = P0eKt

en donde.

30. f(x) = x es integrable en [a, b] además: ∫ b

a

xdx =b2

2− a2

2

31. Usando integrales, calcular:

lımn→∞

1

n

(12

n2+ · · · ,+n2

n2

)Respuesta: 13

32. Sea f (x) = [x]− 2 considere el intervalo B = [3, 9] y la partición sobre B dada por:

P = {3; 3, 5; 4, 2; 5, 3; 5, 9; 7, 8; 8, 6; 9}

a) Calcular s (f, P )

Respuesta: 17, 3



b) Determine si f es R-Integrable, en caso afirmativo, calcular:∫ 9

3

([x]− 2) dx

Respuesta: 21

33. Pruebe que:∫ b0x3dx = b4

4

34. Calcule: ∫x arctan (x) dx

Respuesta: 12 arctan (x)− 12x−

14π + 1

2x2 arctan (x) + C

35. Sea f (x) = 3x, x ∈ [0, 1] , P ={

0, 14 ,38 ,

12 ,

34 , 1}, calcular

a) ∆x1, ∆x2, ∆x3, ∆x4, ∆x5Respuesta: ∆x1 = 1

4 , ∆x2 = 18 , ∆x3 = 1

8 ,∆x4 = 14 ,∆x5 = 1

4

b) ‖P‖Respuesta: ‖P‖ = 1

4

c) m1,m2,m3,m4,m5,M1,M2,M3,M4,M5

Respuesta:

m1 = 0,m2 =3

4,m3 =

9

8,m4 =

3

2,m5 =

9

4

M1 =3

4,M2 =

9

8,M3 =

3

2,M4 =

9

4,M5 = 3

d) Suma inferior y suma superio de f respecto a PRespuesta:

s (f, P ) =75

64, S (f, P ) =

117

64

36. Calcular∫ 1−2 xdx utilizando la definición de integral definida, tomando x

∗i como el punto medio de cada

subintervalo

Respuesta: − 3237. Calcular

∫x ln (x) dx

Respuesta: xex − ex + C

38. Pruebe que∫ π

2

0sin (x) dx = 1

Indicación: Probar por inducción:

n∑k=1

sin (kx) =cos(x2

)− cos

((n+ 1

2

)x)

2 sin(x2

)y utilice el resultado adecuadamente.

39. Hallar la suma superior y la suma inferior de la función:

f (x) = 1− x2

para x ∈ [0, 1], y la partición P ={

0, 14 ,12 ,

34 , 1}



40. Pruebe que: ∫ 2

0

(1− x2

)dx = −2

3

41. Calcular el área bajo la gráfica de las función:

f (x) = x2

en el intervalo [0, 2] .

42. Exprese la integral apropiada a:

lımn→∞

(1

2n+ 1+

1

2n+ 2+ · · ·+ 1

3n

)43. Verifique (utilizando métodos de integración) que para cualquier entero n, se cumple que:∫

xnexdx = xnex − n∫xn−1exdx

Calcular:∫x2exdx


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