Download - mat022 calculo
![Page 1: mat022 calculo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022073014/55cf8f58550346703b9b684b/html5/thumbnails/1.jpg)
Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemáticas
Coordinación de Matemáticas II (MAT022)2o Semestre de 2013
Lunes 7 al 11 de OctubreGuía Semana 3, Cálculo
1. Hallar la siguiente Primitiva: ∫ln (x)√
xdx
Respuesta: 2√x (lnx− 2) + C
2. Resolver: ∫x4 − 3x3 − 5x2 + 7
x2dx
Respuesta: 13x3 − 7
x −32x
2 − 5x+ C
3. Hallar: ∫dx√
2 + 3x− 2x2
Respuesta: − 12√
2 arcsin(35 −
45x)
+ C
4.∫
dx
x12−x
13
Respuesta: 2x12 + 3x
13 + 6x
16 + ln
(x16 − 1
)+ C
5.∫x3 sin (x) dx
Respuesta: 3x2 sin (x)− x3 cos (x)− 6 sin (x) + 6x cos (x) + C
6. Aplicar el método de integración por partes para deducir la fórmula:
(n− 1)
∫tann (x) dx = tann−1 (x)− (n− 1)
∫tann−2 (x) dx+ C
7. Pruebe que: ∫ √a+ bx
xdx = 2
√a+ bx+ a
∫dx
x√a+ bx
+ C
8. Pruebe que: ∫(ln (x))
2dx
Respuesta: x(ln2 x− 2 lnx+ 2
)+ C
9. Resolver:dy
dt=(y2 + 1
)dt
sujeto a y (0) = 1
MAT-022, Segundo Semestre de 2013 1
![Page 2: mat022 calculo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022073014/55cf8f58550346703b9b684b/html5/thumbnails/2.jpg)
Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemáticas
10. Reacciones químicas y desintegración: Si moléculas de cierto tipo se desintegran por acción del medio,el número de moléculas que se descomponen en una unidad es proporcional al número de moléculas totalpresentes, si en t = 0, se tienen x0, si K > 0 es una constante de proporcionalidad, entonces:
dx
dt= −Kx
luego:|x (t)| = Ke−kt
en nuestro caso:x (t) = x0e
−kt
Se llama semivida T al tiempo para que la sustancia se reduzca a la mitad:
x02
= x0e−Kt
=⇒ T =ln (2)
K
11. Mezclas: Para obtener un remedio, una pintura del color adecuado o un trago es necesario mezclar diversosingredientes. Considere un recipiente con un dispositivo de agitación que en todo momento mantiene lamezcla homogénea Suponga que tiene V litros de capacidad y contiene una mezcla de agua con sal. Si alrecipiente le agregamos agua con c gramos de sal por litro a una velocidad de a litros por segundo y delrecipiente sacamos agua a la misma velocidad ¿Qué cantidad de sal hay en el recipiente en el tiempo t ?
Desarrollo: Sea x(t) la cantidad de sal en el recipiente en el tiempo t , la variación de la cantidad de sal es:
dx
dt= ac− ax (t)
V
entonces, si la cantidad inicial de sal es x (0) = x0:
x (t) = cV + (x0 − cV ) e−atV
12. La ley de enfriamiento de Newton: Consideremos el siguiente modelo simplificado para el fenómeno devariación de temperatura en un cuerpo. Supongamos que se cumplen las siguientes hipótesis: En el instantet la temperatura en todo el cuerpo T (t) es la misma. La temperatura del medio es constante Tm. El flujode calor a través de las paredes del cuerpo dada por dTdt es proporcional a la diferencia entre la temperaturadel cuerpo y la temperatura del medio. La última condición la podemos formular como:
dT
dt= −K (T − Tm)
Además si la temperatura inicial del cuerpo es T0, entonces:
T (t) = Tm + (T0 − Tm) e−kt
MAT-022, Segundo Semestre de 2013 2
![Page 3: mat022 calculo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022073014/55cf8f58550346703b9b684b/html5/thumbnails/3.jpg)
Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemáticas
13. Si dy = (2x+ 1) dx, y = 7 cuando x = 1. Hallar el valor de y cuando x = 3
Respuesta: 17.
14. Resolver:dy
dx=
1 + 2y2
y sin (x)
15. Resolver:
dy
dx= x
√y
y (0) = 0
16. Verificar que: ∫2dx√
2 + x− x2= −2 arcsin
(1− 2x
3
)+ C
17. Hallar: ∫sin2 (x) cos5 (x) dx
18. Encuentre y (t) si:
dy
dt=
(y2 + 1
)t
y (0) = 1
19.∫ (2+6x)dx4−2x−3x2
Respuesta: − ln(x2 + 2
3x−43
)+ C
20.∫
dxx+2+
√x+2
Respuesta: 2 ln(x+√x+ 2 + 2
)− ln (x+ 2) + C
21. Hallar∫ 4√x
1+√xdx
Respuesta: 434√x3 − 4 4
√x+ 4 arctan ( 4
√x) + C
22. Dada la funciónf (x) = −x2 + 2x
y las particiones del intervalo [0, 2] , P ={
0, 12 , 1,32 , 2}y Q =
{0, 12 , 1,
32 ,
74 , 2}, comprobar que s (P, f) ≤
s (Q, f) y que S (Q, f) ≤ S (P, f) .
23. Pruebe que: ∫dx
x ln (x)= ln |ln |x||+ C
24. Exprese con la integral adecuada:
lımn→∞
(n
(2n+ 1)2 +
n
(2n+ 2)2 + · · ·+ n
(2n+ n)2
)
25. Si f ′′ (t) = 2et + 3 sin (t), f (0) = 0, f (π) = 0, hallar f (t)
MAT-022, Segundo Semestre de 2013 3
![Page 4: mat022 calculo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022073014/55cf8f58550346703b9b684b/html5/thumbnails/4.jpg)
Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemáticas
26. Verifique (utilizando métodos de integración) que para cualquier entero n, se cumple que:∫xnexdx = xnex − n
∫xn−1exdx
y utilice este resultado para Calcular:∫x2exdx
Respuesta: ex(x2 − 2x+ 2
)+ C
27. Resolverdy
dx= eyx
Si además se conoce y (0) = 1
Respuesta: y = − ln(−x22 + e−1
)28. Supongamos que depositamos $5000 en una cuenta de ahorro con interés incrementado a una tasa de 5%
compuesto en forma continua. Si A (t) denota la cantidad de dinero en la cuenta en el tiempo t,entonces laecuación diferencial para A es:
dA
dt= 0, 05A
Respuesta: A (t) = 5000e0,05t
29. (Crecimiento de poblaciones) Suponga que para modelar el crecimiento de una población en tiemposcortos utilizamos la siguiente regla "La tasa de crecimiento de la población es proporcional a la poblaciónexistente.entonces el modelo matemático para este fenómeno es la ecuación:
dP
dt= kP
Así si P0 es la población inicial, pruebe que
P (t) = P0eKt
en donde.
30. f(x) = x es integrable en [a, b] además: ∫ b
a
xdx =b2
2− a2
2
31. Usando integrales, calcular:
lımn→∞
1
n
(12
n2+ · · · ,+n2
n2
)Respuesta: 13
32. Sea f (x) = [x]− 2 considere el intervalo B = [3, 9] y la partición sobre B dada por:
P = {3; 3, 5; 4, 2; 5, 3; 5, 9; 7, 8; 8, 6; 9}
a) Calcular s (f, P )
Respuesta: 17, 3
MAT-022, Segundo Semestre de 2013 4
![Page 5: mat022 calculo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022073014/55cf8f58550346703b9b684b/html5/thumbnails/5.jpg)
Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemáticas
b) Determine si f es R-Integrable, en caso afirmativo, calcular:∫ 9
3
([x]− 2) dx
Respuesta: 21
33. Pruebe que:∫ b0x3dx = b4
4
34. Calcule: ∫x arctan (x) dx
Respuesta: 12 arctan (x)− 12x−
14π + 1
2x2 arctan (x) + C
35. Sea f (x) = 3x, x ∈ [0, 1] , P ={
0, 14 ,38 ,
12 ,
34 , 1}, calcular
a) ∆x1, ∆x2, ∆x3, ∆x4, ∆x5Respuesta: ∆x1 = 1
4 , ∆x2 = 18 , ∆x3 = 1
8 ,∆x4 = 14 ,∆x5 = 1
4
b) ‖P‖Respuesta: ‖P‖ = 1
4
c) m1,m2,m3,m4,m5,M1,M2,M3,M4,M5
Respuesta:
m1 = 0,m2 =3
4,m3 =
9
8,m4 =
3
2,m5 =
9
4
M1 =3
4,M2 =
9
8,M3 =
3
2,M4 =
9
4,M5 = 3
d) Suma inferior y suma superio de f respecto a PRespuesta:
s (f, P ) =75
64, S (f, P ) =
117
64
36. Calcular∫ 1−2 xdx utilizando la definición de integral definida, tomando x
∗i como el punto medio de cada
subintervalo
Respuesta: − 3237. Calcular
∫x ln (x) dx
Respuesta: xex − ex + C
38. Pruebe que∫ π
2
0sin (x) dx = 1
Indicación: Probar por inducción:
n∑k=1
sin (kx) =cos(x2
)− cos
((n+ 1
2
)x)
2 sin(x2
)y utilice el resultado adecuadamente.
39. Hallar la suma superior y la suma inferior de la función:
f (x) = 1− x2
para x ∈ [0, 1], y la partición P ={
0, 14 ,12 ,
34 , 1}
MAT-022, Segundo Semestre de 2013 5
![Page 6: mat022 calculo](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022073014/55cf8f58550346703b9b684b/html5/thumbnails/6.jpg)
Universidad Técnica Federico Santa MaríaDepartamento de Matemáticas
40. Pruebe que: ∫ 2
0
(1− x2
)dx = −2
3
41. Calcular el área bajo la gráfica de las función:
f (x) = x2
en el intervalo [0, 2] .
42. Exprese la integral apropiada a:
lımn→∞
(1
2n+ 1+
1
2n+ 2+ · · ·+ 1
3n
)43. Verifique (utilizando métodos de integración) que para cualquier entero n, se cumple que:∫
xnexdx = xnex − n∫xn−1exdx
Calcular:∫x2exdx
MAT-022, Segundo Semestre de 2013 6