mat 350 ejemplos integracion
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Santo Domingo, D. N.
Marzo, 2013
Ejemplos que corresponde a casos propuestos en el
texto de Thomas :
1. Sustitución de variables.
2. Completar cuadrado .
3. Integración trigonométrica.
4. Fracción impropia.
5. Separación de fracciones.
6. Multiplicación por una forma de uno.
7. Eliminación de raíces cuadradas.
CÁLCULO Y GEOMETRIA ANALITICA II
MAT-350
Preparado por:
Prof. Rosa Cristina De Peña Olivares
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Ejemplos propuestos
1. Sustitución de variables.
∫
( )
Para evaluar la integral dada, vamos a realizar la sustitución:
u = lnx du=
Por lo que :
∫
( ) ∫
∫
ver en tabla de integración inmediata caso No. 16 que:
∫ = ∫ (
) ∫(
) =
ln(secu+tgu) +C
Debido a que: W = tgu + secu dw = (sec2u + secu tgu ) du
Sustituyendo u por su equivalente tendremos:
∫
( ) = ln(sec lnx+tg lnx) + C
2. Completar cuadrado.
Organizamos el divisor para factorizar.
∫
∫
( )
∫
( ) Realizando la sustitución: z = x-1 dz= dx
∫
= 8 arctg z + C = 8 arc tg (x-1) + C
∫
8 arc tg (x-1) + C
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3. Integración trigonométrica.
Desarrollando el binomio tenemos:
∫( ) ∫ ∫ ∫
En la distribución nos quedan las tres integraciones siguientes:
a) ∫
b) ∫ ∫
∫
∫
( )
c) ∫ ∫( ) ∫ ∫ -x
Sustituyendo en la integral inicial:
∫( ) tgx + ( ) -ctgx – x + C
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4. Fracción impropia
∫
Se divide x entre x+1 : x x+1
-x-1 1
-1
Sustituimos la fracción impropia por su equivalente:
∫
= ∫ (
) = ∫ -∫
En la segunda parte de la integral podemos hacer una sustitución para tener
una integral inmediata:
Es decir si : u = x+1 du = dx
∫
= x - ∫
= x - ln| | + C = x-ln | | + C
∫
= x-ln | | + C
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5. Separación de fracciones.
En este ejemplo, tenemos dos términos en el numerador, por lo que
tendremos dos integrales. Una para cada término del numerador entre el
mismo divisor, como indicamos a continuación:
∫
√ ∫
√ ∫
√
Resolvemos cada integral por separado de modo que para la primera,
∫
√ Corresponde a la formula No. 21 dentro de las integrales
inmediatas. Donde : a2 =1 ^ v
2 = x
2, Es decir: a = 1, v = x
∫
√ sen
-1(
)
+ C = sen-1
x + C = arc sen x + C
Por otra parte:
∫
√ Haremos u = 1- du = - 2x dx xdx= -
∫
√ ∫
√ = -
∫
(
) = (
) (
( )
)
√ + C = - √ + C
∫
√ sen-1 x - √ + C
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6. Multiplicación por una forma de uno.
Procedemos a multiplicar la integral a resolver por la forma de uno a utilizar
en este caso que es: (
)
De este modo:
∫
∫ (
) (
) ∫(
)
∫(
) ∫
∫
Como :
^
∫
∫
=∫ ∫
∫
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7. Eliminación de raíces cuadradas.
∫ √
Mediante el uso de identidades, como:
Sustituyendo dentro del radical:
∫ √
∫ √
=∫ √
= √ ( )| = -√ cos √ cos 0 = -√ (-1) √ (1) =
√ √ = 2√
∫ √
= 2√