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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATLICA DEL PERESTUDIOS GENERALES CIENCIAS

Clculo 4Prctica No. 1Verano 2013

Noest permitido el usode libros, apuntes, calculadorasni de correctores lquidos.

1. (5 pt)Calcule la integral

I =

10

40

y 4x 2dy dx2. Sea la integral doble 5

2

q x23

0

cos2y 36y dy dx .

a) (2 pt)Grafique la regin de integracin.b) (3 pt)Cambie el orden de integracin y evale la integral.

3. (5 pt)Halle la masa de una lmina plana que est limitada por el astroide x 2/3 + y 2/3 = 1,si se sabe que su densidad en cada punto est dada por (x , y ) =

x 3py .4. (5 pt)Considere la funcin f (x , y ) = y ey 2 tan x + |x y |. Calcule 2

1

p2yp2y f (x , y )dx dy +

10

11f (x , y )dx dy .

Elaborada por los profesores del curso.Coordinador de prcticas:RAAR . San Miguel, 25 de enero de 2013.

Este material, de distribucin gratuita, no contiene necesariamente las modificaciones que se hayan incorporado durante la realizacin de las evaluaciones.




1. (5 pt)Halle la masa de la lmina que tiene la forma de la reginR limitada por(x 2+ y 2)2 = x 2 y 2,

si se sabe que la densidad en cada punto (x , y ) deR es (x , y ) =px 2 y 2.2. (5 pt)Calcule 1

0

1x 2

x0

sen(z 46z 2+8z )dz dy dx .

3. (5 pt)Halle el volumen del slido que se encuentra en el primer octante y est limitadopor

x 2+ y 2+ z 2 = 4,x 2

4+

y 2

4+

z 2

9= 1, y = x , y =

p3x .

4. (5 pt)Calcule el volumen del slido que resulta de intersecar los siguientes slidos:

x 2+ z 2 1, y p

x 2+ z 2, x 2+ y 2+ z 2 4.

Elaborada por los profesores del curso.Coordinador de prcticas:RAAR . San Miguel, 1 de febrero de 2013.





1. (5 pt)Calcule

S~f n dS donde ~f (x , y ,z ) = (x 2, y 4,z ) y S es parte de la superficie z =

px 2 + y 2 que se encuentra en el interior de la esfera x 2 + y 2 + z 2 = 8, y n es unvector normal unitario exterior a S .

2. (5 pt)Calcule

y cos(x y )2 sen(x 2)dx + x cos(x y )dy + x 2(y + z )dz , donde

:

x 2 + (y 1)2 + (z 2)2 = 3,x 2 + y 2 + (z 1)2 = 1,

es recorrida en sentido antihorario vista desde el eje Z positivo.

3. (5 pt)Usando integrales de superficie, halle el rea de la parte de la esfera x 2+y 2+z 2 = a 2,

a > 0, que se halla en el interior del cono z =

x 2 + y 23

.

4. (5 pt)Halle el trabajo realizado por el campo de fuerzas

~f (x , y ) =

y 22(x 1)2 +3(y +2)2 ,

x 12(x 1)2 +3(y +2)2

al desplazar una partcula en sentido antihorario a lo largo de la curva : |x 1|+|y +2|= 1.





No est permitido el uso de libros, apuntes, calculadoras ni de correctores lquidos.

1. (4 pt)Calcule

S~f n dS donde ~f (x , y ,z ) = y ln1+ x 2 + y 2, x2 ln(1+ x 2 + y 2), x 2 + y 2 + z 24 ,

S : z = 2

1 x 2 y 2, y n es el vector normal unitario exterior a S .

2. (2 pt)Calcule lmn

n ! 2n2

(n +1)n.

3. (3 pt)Halle todos los valores reales de c para los cuales la serien=1

n4

c 2nconverge.

4. (3 pt)Demuestre que la serien=2

npn1+n2

(n +1)ndiverge.

5. Analice la convergencia o divergencia de cada una de las siguientes series. Si la serie con-verge halle su suma correspondiente.

(a) (3 pt)n=1

(n +2)2 sen(n +1) (n +1)2 sen(n +2)(n2 +3n +2)2

.

(b) (2 pt)n=0

3n+22n en+1pin

.

(c) (3 pt)n=1

enpn

n3 +1.




Clculo 4Examen Parcial

Verano 2013

Noest permitido el usode libros, apuntes, calculadorasni de correctores lquidos. Resuel-va slo cinco preguntas ymarque con una X en la contracartula la que va a eliminar.

1. (4 pt)Calcule R

(x + y )(x 2 y 2)1+ (x y )4 dx dy ,

dondeR es la regin limitada por |x |+ |y 1|= 1.2. (4 pt)Calcule

Kz 2 dx dy dz donde K = K1K2, donde K1 y K2 denotan a los slidos limitados

por las superficies x 2 + y 2 +z 2

9= 1 y x 2 + y 2 +

(z 3)29

= 1, respectivamente.

3. (4 pt)Dado el campo vectorial

~f (x , y ) =

15 y

x 2 + (y 15)2 2x +10

(x +5)2 + y 22 , xx 2 + (y 15)2 2y(x +5)2 + y 22

,

y la curva representada en la siguiente figura

1055

5

10

5

parametrizada por ~(t ) = (t cos t , t sen t ), t [0, 4pi]. Calcule ~f d~.

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4.(4 pt) Un alambre tiene la forma de la curva que resulta de intersecar la superficie x 2+y 2z 2 =1, z 0, con el plano y =

p2z . Halle la coordenada z , del centro de masa del alambre, si la

densidad en cada punto (x , y ,z ) de est dada por (x , y ,z ) =p

1+2x 2.

5.(4 pt) Sea la curva = 1 2, donde1 : (x 3)2 + (y 1)2 = 1, x 3,2 : (x 3)2 + (y +1)2 = 1, x 3,

la cual tiene punto inicial (3, 2) y punto final (3,2). Calcule

ypx

cos(x y ) sen(x y )2px 3

dx +

px cos(x y ) + x

dy .

6. Considere el campo ~f (x , y ) =

8x(4x 2 + y 2)2

,2y

(4x 2 + y 2)2

.

a)(3 pt) Halle una funcin potencial para ~f en un dominio adecuado. Es posible definir ~f y elpotencial que hall en un dominio que no sea simplemente conexo? Especifique estedominio.

b)(1 pt) Calcule~f , donde es la frontera de cualquier tringulo, orientada en sentido horario,

que tiene al origen de coordenadas en su interior.

Elaborada por los profesores del curso.Coordinador de examen:RAAR . San Miguel, 8 de febrero de 2013.

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Clculo 4Examen FinalVerano 2013

No est permitido el uso de libros, apuntes, calculadoras ni de correctores lquidos. Resuelva slocinco preguntas ymarque con una X en la contracartula la que va a eliminar.

1. (4 pt)Calcule

2 cos(x 2 + y 2)sen2(x 2 + y 2)

x dx y dy donde es cualquier curva de Jordan en sentido antihorario que contiene al (0, 0) en su interior yest contenida en el disco x 2 + y 2 < pi. Adems, conteste la siguiente pregunta: Es posible aplicarel Teorema de Green en el clculo de la integral? Justifique.

2. (4 pt)Sea ~f~x=

Q

4pi"0

~x

~x3 , donde ~x = (x , y ,z ) R3{~0} yQ ,"0 son constantes positivas. Demuestre que

S

~f n dS = Q"0

,

donde S es una esfera de radio a centrada en el origen y n un vector normal unitario exterior a S .Adems conteste la siguiente pregunta: Es posible aplicar el Teorema de la Divergencia (o de Gauss)en la demostracin?

3. (a) (2 pt)Calcule

lmn

2n312n3 +3

n2pn2+1.

(b) (2 pt)Halle un desarrollo en serie de potencias, centrado en x0 = 0, de la funcin f (x ) = ln

1x 21+x 2

,

especificando su intervalo abierto de convergencia.

4. (4 pt)Halle todos los nmeros reales a para los cuales la serien=0

1

a 2n +1converge.

5. (4 pt)Resuelva la ecuacin diferencial (1x 2)y x y = 0 con las condiciones iniciales y (0) = 0, y (0) = 1.Solo haga explcita la solucin hasta el trmino de grado 7.

6. (a) (3 pt)Halle un desarrollo en serie de Fourier de f (x ) =pi2 x 2, x [pi,pi[.(b) (1 pt)Halle la suma de la serie

n=1

(1)nn2

.

Elaborada por los profesores del curso.Coordinador de examen:RAAR . San Miguel, 1 de marzo de 2013.


MAT149-2013#0-P010N-0000-R. AgapitoMAT149-2013#0-P020N-0000-R. AgapitoMAT149-2013#0-P030N-0000-R. AgapitoMAT149-2013#0-P040N-0000-R. AgapitoMAT149-2013#0-E010N-0000-R. AgapitoMAT149-2013#0-E020N-0000-R. Agapito

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