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EL CONCEPTO DE MASA

En el lenguaje moderno de la teora de la relatividad existe una masa nica m, la newtoniana, la cual no vara con la velocidad. Lev B. Okun

El concepto de masa constituye uno de los pilares de la fsica. El problema central de la fsica actual consiste en calcular la masa de las partculas elementales, que se relaciona con algunos otros problemas tales como: la violacin CP, el misterio de las escalas de energa que determinan las propiedades de las interacciones dbiles y gravitacionales, la composicin de las partculas, las supersimetras y las propiedades de los -an por descubrirse- bosones de Higgs. En lugar de discutir las conexiones profundas y delicadas, me siento obligado a plantear y analizar una cuestin elemental: la de la relacin entre la masa y la energa. Estoy de acuerdo con todos los lectores que pudieran pensar que el tpico es adecuado para pupilos de preparatoria pero no para fsicos, slo con el propsito de conocer que tan avanzado es nuestro nivel le propongo unas preguntas y posteriormente comentar mis opiniones al respecto. La famosa relacin de Einstein entre la masa y la energa es un smbolo de nuestra era. A continuacin presentan cuatro ecuaciones de las formas en que se representa:

E mc02= (1)

E mc= 2 (2) E m c0 0

2= (3) E m c= 0 2 (4)

En estas ecuaciones c es la velocidad de la luz, E es la energa total de un cuerpo libre, E0 su energa en reposo, m0 es la masa en reposo y m es su masa. Ahora permtanme formular dos preguntas: Cul de estas ecuaciones se deduce de la

manera ms racional de la relatividad especial y expresa una de sus principales consecuencias y predicciones?

Cul fue la que Einstein originalmente escribi y consider un resultado de la relatividad especial?

La respuesta correcta a las dos preguntas es la ecuacin 1, pero algunas encuestas que he llevado a cabo entre fsicos profesionales muestran que la mayora considera, que la

ecuacin 2 la 3 son la respuesta a ambas cuestiones. Esta eleccin se basa en la terminologa usada ampliamente en la literatura de divulgacin cientfica y en algunos textos. De acuerdo con esta terminologa un cuerpo en reposo tiene una masa propia o masa en reposo m0 mientras que un cuerpo en movimiento, con cierta velocidad v, tiene una masa relativista o simplemente masa dada por

mEc

m

v c= = 2

0

2 21

Como tratar de demostrar, esta terminologa tena alguna justificacin histrica al inicio de nuestro siglo, pero no posee tal sustento hoy da. Cuando se trabaja en fsica relativista, los fsicos de partculas usan nicamente el trmino masa. De acuerdo con esta terminologa los conceptos de masa en reposo y masa relativista se tornan redundantes y equvocos. En la fsica slo existe una masa, m, que no depende del sistema de referencia. En el instante en que se desecha el concepto de masa relativista no se necesita definir una masa en reposo ni por consiguiente, de denotarla con el subndice 0. El propsito de este artculo es promover la terminologa racional. Podra usted preguntarse sobre la importancia de esta consideracin. Por mi parte, estoy profundamente convencido y tratar de persuadirle de que el uso de una terminologa adecuada es un asunto de extrema importancia cuando explicamos nuestro trabajo a otros cientficos, a la gente comn y especialmente a los estudiantes de los niveles bsicos. El lenguaje no racional frecuentemente impide al estudiante asimilar la esencia de la relatividad especial y como consecuencia de esto, a disfrutar de su belleza. Dos ecuaciones fundamentales Regresemos ahora a la ecuacin 1. Su validez resulta de analizar dos relaciones fundamentales de la relatividad especial para un cuerpo libre:

E c m c2 2 2 2 4 =p (5)

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p v= Ec2

(6)

Aqu E es la energa total, p el momento lineal, v la velocidad y m la usual masa newtoniana. Analicmoslas: Cuando v=0, p =0 y E=E0, la energa de un cuerpo en reposo. Entonces, de la ecuacin 5 se tiene que

E mc02=

que es justamente la ecuacin 1. La energa en reposo fue uno de los grandes descubrimientos de Einstein. Pero, porqu he escrito m en lugar de m0 en la ecuacin 5?. Consideremos el lmite cuando v

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Si se trabajan las ecuaciones 5 y 6 para el caso en el que el cuerpo sea masivo, es sencillo obtener el conjunto de relaciones siguiente:

p v= m (9) E mc= 2 (10)

donde

=1

1 2 (11)

= vc

(12)

Substituyendo la ecuacin 9 en la ecuacin 8, es fcil obtener la relacin entre la aceleracin a v= d dt y la fuerza F: ( )

aF F=

r r m (13)

Como se ve en el caso general la aceleracin no es paralela a la fuerza. De esta manera no es posible usar la relacin de proporcionalidad usual de la mecnica newtoniana,

a F= m en donde la masa se define como un escalar, lo que implica que a y v son colineales. Sin embargo, si se tuviese que F es perpendicular a v es posible definir una masa transversal

m mt = y si F y v fuesen paralelas, se podra considerar una masa longitudinal

m ml = 3 . Estas son justamente las expresiones con las que Lorentz introdujo dichas masas. Aunado a la masa relativista en la relacin p v= mr , donde m E cr = 2 (expresin equivalente a la obtenida para mt cuando m 0 , pero con un significado ms general aplicable incluso a fotones), dichas masas formaron parte del lenguaje de la fsica a principios de este siglo. Haciendo que la confusin prosiguiera por un perodo largo de tiempo, se decidi llamar a la masa relativista mr simplemente masa y denotarla como m, mientras la masa normal m fue rebautizada como la masa en reposo y denotada por m0 . Los artculos de Einstein de 1905 y 1906 En su primer artculo relacionado con la

relatividad, Einstein jams us el trmino masa en reposo, sin embargo hizo mencin de las masas longitudinales y transversales. La formulacin de la ecuacin que relaciona la masa y la energa, publicada en su segundo artculo de 1905 sobre relatividad tena la forma

E mc0 2= . (14)

Einstein consider un cuerpo en reposo con energa en reposo E0 que emita dos pulsos de luz en direcciones opuestas, como se muestra en la fig. (I.A). Al tratar de describir el mismo fenmeno en un sistema en referencia movindose a una velocidad pequea (comparada con la velocidad de la luz c) y aplicar la conservacin de la energa lleg a la ecuacin 14 y, de hecho, conjetur la universalidad de la ecuacin 1 al escribir que la masa de un cuerpo es una medida de su contenido energtico.

Fig.I.A Experimento pensado descrito por Einstein en 1905. Un cuerpo con energa en reposo E0 emite dos pulsos de luz de igual energa en direcciones opuestas. Al aplicar conservacin de la energa al proceso, en un sistema estacionario y en otro que se mueve lentamente, se obtiene la ecuacin E0=mc2. Desde un punto de vista actual se puede afirmar que la prueba se le facilit debido a que el sistema de dos fotones se encontraba en reposo respecto al cuerpo, de tal manera que era relativamente sencillo notar que su masa, la cual es igual a la suma de la energa de los dos fotones, es m . En el libro The Meaning of Relativity (El Significado de la Relatividad), basado en cuatro conferencias dictadas por Einstein en la Universidad de Princeton en 1921, se localiza a la ecuacin 1 como la ecuacin 44. Durante este tiempo Einstein no fue siempre consistente al preferir la ecuacin 1 respecto a la 2. Por ejemplo, en 1906 rederiv la formula de Poincar (ecuacin 2) al considerar un fotn que se emite en el extremo de un cilindro hueco y se absorbe en el otro extremo, como se ilustra en la

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fig. (I B). Al aplicar la conservacin del momento lineal al sistema centro de masa el igual el producto de la gran masa del cilindro M con su pequeo desplazamiento l con el producto de la masa m del fotn y su desplazamiento L, igual a la longitud del cilindro:

lM Lm= . (15) Sin embargo, el desplazamiento l es igual al producto del tiempo de vuelo del fotn L c y la velocidad del cilindro v E cM= , donde E es la energa del fotn y E/c es igual al momento del fotn y del cilindro. De la ecuacin 15 se obtiene de inmediato la ecuacin 2. La conclusin del artculo fue que luz con energa E transfiere una masa m=E/c2 (lo que es consistente con el experimento pensado), y que a cualquier energa E le corresponde una masa igual a m=E/c2 (actualmente se sabe que esta expresin es incorrecta debido a la ausencia de masa del fotn).

Fig.I.B Un pulso de luz se emite de un extremo de un cilindro hueco y absorbido en el otro extremo en un experimento pensado descrito por Einstein en 1906. Considerando al momento del fotn igual a E/c, y tomando que el centro de masa del sistema permanece en reposo, permite concluir que el pulso de luz con energa E transfiere masa en una cantidad igual a E/c2. Tal como se entiende hoy en da, el punto fino, que Einstein no analiz en su artculo de 1906, es que en la relatividad especial la absorcin de una partcula no masiva modifica la masa del cuerpo que la absorbe. As un fotn puede transferir masa. Al absorber el extremo del cilindro al fotn, incrementa su masa, pero este incremento es igual a m=E/c2 slo si la energa cintica de retroceso es despreciable. (Para ser consistente con las ideas fsicas es preferible considerar al cilindro como compuesto de dos partes). La conclusin anterior, aunque equivocada, result ser muy fructfera en las ideas que posteriormente llevaron a Einstein a desarrollar la teora de la relatividad general. La idea consista en que un fotn que posee una masa inercial igual a m=E/c2 deba poseer la misma masa gravitacional y por lo tanto ser atrado por una fuerza gravitacional. Este pensamiento le sirvi como punto de partida como l explica en su autobiogafa. Sin embargo, cuando termin su relatividad general omiti esta conclusin

inconsistente. La observacin anterior se confirma en la ecuacin 44 en The Meaning of Relativity, escrito 15 aos despus del artculo de 1906. Hace algunos aos tuve en mis manos una caricatura en la que se mostraba a Einstein observando dos ecuaciones que haba escrito en un pizarrn y posteriormente tachado (el ttulo de la caricatura es Deriving E=mc2: E=ma2 y E=mb2. Esta imagen humorstica acerca de como se hace ciencia podra ser ms cercana a la realidad que la usada en los documentos sobre la historia de la relatividad, en los que no se alcanza a vislumbrar el cambio fundamental de pensamiento en los artculos iniciales, en relacin a los de 1906, y que presentan un coup detat (golpe de estado) como una tranquila evolucin.

Masa gravitacional Muchos fsicos an creen que la masa gravitacional es numricamente igual a E/c2 y frecuentemente usan este error como un argumento para sustentar la ecuacin 2. Contrario a esta creencia, la atraccin gravitacional entre dos cuerpos relativistas, es descrita en trminos de sus tensores energa-momento, y no slo por sus energas. En el caso ms simple de un cuerpo relativista ligero, tal como un fotn o un electrn de masa m y con energa E y velocidad v=c en la vecindad de un cuerpo muy masivo, como la Tierra o el Sol, la fuerza que acta sobre el cuerpo ligero tiene la forma siguiente: ( ) ( )

Fr r

g N= +

G ME

c r2

2

3

1 . (16)

En la ecuacin anterior, GN es la constante gravitacional de Newton, 6 7 10 11. m3kg-1s-2. Cuando

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expresin clsica

Fr

g = GMm

rN 3

Sin embargo, cuando 1 , la fuerza tiene tambin una componente a lo largo del vector . En este caso es imposible definir la nocin de masa gravitacional relativista al agregar un coeficiente de proporcionalidad entre Fg y r. La frecuentemente nombrada masa gravitacional de un fotn en cada vertical hacia la Tierra resulta, incidentalmente, ser igual a E/c2. No obstante, como se puede observar de la ecuacin 16, un fotn que se mueve en direccin horizontal ( )r siente una fuerza del doble, con respecto al caso anterior. Este factor de 2 es precisamente el que permite obtener el ngulo de defleccin correcto de la luz de una estrella por el Sol:

= 4 1 2G M R cN Sol Sol.

Al sustituir los valores de la masa solar, MSol y el radio solar, RSol obtenemos 10 5 , valor que concuerda con los datos observados.

He tratado de esbozar los cambios en las concepciones de Einstein durante las dos primeras dcadas de nuestro siglo. Sin embargo hubo muchos otros protagonistas importantes en escena durante aquellos das. Desde principios de la actual centuria los fsicos experimentales trataron de confirmar o refutar las ecuaciones de la 8 a la 13 para electrones en diferentes combinaciones de campos elctricos y magnticos. De acuerdo con los clichs establecidos, los experimentos se llevaban a cabo con el propsito de confirmar la dependencia respecto a la velocidad de la masa longitudinal y transversal, aunque de hecho lo que se trataba de confirmar era la dependencia del momento lineal respecto de la velocidad. Los primeros resultados contradecan la teora. Gradualmente las tcnicas fueron mejorando, de forma tal que el acuerdo entre la teora y el experimento comenz a dilucidarse. Sin embargo, los resultados no eran lo suficientemente convincentes, como se observa en la carta que Einstein recibiera de la Secretara de la Academia Sueca de Ciencias:

la Real Academia de Ciencias ha decidido otorgarle el Premio Nobel en Fsica del ao anterior, en consideracin de su trabajo en el campo de la fsica terica y en particular por su descubrimiento de la

ley del efecto fotoelctrico, pero sin considerar el valor que pueda ser concedido a sus teoras sobre la relatividad y gravitacin hasta que resulten confirmadas en el futuro.

Los tericos no deseaban aceptar la teora de la relatividad ni interpretar sus ecuaciones, y este artculo es una remota reminiscencia de sus disputas. Se sabe que los puntos de vista de Lorentz y de Poincar eran distintos a los de Einstein y que contribuciones importantes para mostrar la simetra tetradimensional de la teora provinieron de Max Planck y especialmente de Hermann Minkowski. Sin embargo, los autores que conformaron y moldearon la opinin pblica fueron, particularmente, Gilbert Lewis y Richard Tolman. Fue Tolman quin en 1912, iniciando a la manera en que lo hiciera Poincar, insisti en el hecho de que m, dada por la expresin m0 , jugaba el papel de la masa. Cuando Wolfgang Pauli a sus 21 aos, y a la sazn estudiante, public su artculo enciclopdico llamado Relativittstheorie, mejor conocido por nosotros como La Teora de la Relatividad, consider los conceptos de masa longitudinal y transversal como errneos, sin embargo retuvo el concepto de masa en reposo, m0, y de la masa m dada por m0 , junto con la expresin newtoniana p v= m . Baste decir que el libro de Pauli sirvi como introduccin a la teora de la relatividad a muchas generaciones de fsicos. Realmente es un gran texto, pero con todo y sus virtudes dio permanencia un tiempo demasiado largo a la nocin de que la masa depende de la velocidad, al trmino masa en reposo y a la -as llamada- frmula de Einstein E=mc2. E=mc2 como un elemento de cultura de las masas No unicamente la terminologa anterior ha invadido la literatura cientfica popular y los textos, sino que por mucho tiempo domin en las monografas ms serias sobre fsica relativista. Segn mi propio conocimiento, los primeros autores que sistemticamente ignoraron esta terminologa arcaica fueron Lev Landau y Evgenii Lifsitz. En su texto clsico de 1940, The Classical Theory of Fields, llamaron a la masa invariante por su nombre correcto: masa. Jams hicieron mencin a los trminos masa relativista o masa en reposo. Su lenguaje fue consistentemente relativista. La introduccin en 1949 de los diagramas de Feynman permiti extender la notacin para incluir antipartculas. Desde entonces toda monografa o

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artculo cientfico sobre partculas elementales adopta el lenguaje relativista. Sin embargo, la literatura popular se encuentra an plagada de nociones, notacin y trminos arcaicos. (Una de las raras excepciones es el libro de Edwin F. Taylor y John A. Wheeler, Spacetime Physics, publicado en 1963). Como resultado se tiene una especie de pirmide: en el extremo superior se encuentran libros y artculos con la notacin adecuada, que son publicados por miles. En la base se encuentran textos y literatura popular que usan notacin errnea, y que son publicados por millones. En la punta se encuentra E mc0

2= , en la base E mc= 2 . En el espacio intermedio, las cuatro ecuaciones citadas al inicio de este artculo coexisten pacficamente. He encontrado algunos libros en lo cuales todas las notaciones, consistentes e inconsistentes, son mezcladas de tal manera que uno se imagina una situacin anloga a la de una ciudad de pesadilla en la cual las reglas de trfico por la derecha y por la izquierda se aplican simultneamente. La situacin se agrava cuando an fsicos de la talla de Landau y Feynman, cuando brindan conferencias al pblico en general, han usando en algunas ocasiones -aunque no siempre- la ecuacin E=mc2. (Compare, por ejemplo, The Feynman Lectures on Physics y el ms reciente artculo publicado por l: The Reason for Antiparticles). El ltimo ejemplo proviene de Stephen Hawking, quien precsamente en la primera pgina de su libro A Brief History of Time, publicado en 1988, dice lo siguiente: alguien me coment que por cada ecuacinque incluyera en el libro, las ventas se reduciran a la mitad. Por tanto, decid no colocar ninguna ecuacin. Sin embargo, al final hice uso de la ecuacin de Einstein, E=mc2. Espero sinceramente que esto no intimide a la mitad de mis potenciales lectores. Mi percepcin es que en este caso E=mc2 se explota como un elemento de cultura de masas; una especie de atractor. A pesar de que la consecuencia general de su uso sea la confusin. Los lectores empiezan a creer que E/c2 es una genuina generalizacin del concepto de masa inercial y gravitacional; que dondequiera que se encuentre energa existir masa (un fotn resulta ser un contraejemplo); y que E=mc2 resulta ser una consecuencia inevitable de la relatividad especial (de hecho, este resultado se obtiene de la consideracin no relativista y antinatural en el sentido de que p v= m ). El andamiaje usado mucho tiempo atrs en la construccin del bello

edificio que resulta ser la relatividad especial, viene a ser presentado hoy da como la parte central de la construccin. La diferencia fundamental entre un escalar y un vector Lorentzianos se ha olvidado, y con ello la simetra tetradimensional de la teora. Notacin confusa no puede conducir mas que a confusin mental. Pap, La Masa Depende de la Velocidad? (Does mass depends on Velocity, Dad?) es el ttulo de un artculo publicado en 1987 por Carl Adler en el American Journal of Physics. Las respuestas que Adler dio a su hijo fueron: No!, pues s y Realmente no, pero no se lo digas a tu profesor!. Al da siguiente el nio reprob fsica. A la vez, Adler cita ejemplos de como la masa relativista deja de incluirse en varios textos. Existe una interesante anotacin hecha por Einstein en una carta dirigida a Lincoln Barnett en 1948:

Es inadecuado introducir el concepto de masa M m v c= 1 2 2 si es imposible darle una definicin adecuada. Es mejor no introducir ningn nuevo concepto de masa aparte del de masa en reposo m. En vez de introducir M, se deben mencionar explcitamente las expresiones para el momento y la energa de un cuerpo en movimiento.

En el otoo de 1987 fui invitado como miembro de un comit instaurado por el entonces Ministro de Educacin Secundaria como jurado para un concurso de libros de fsica a nivel secundaria. Revis casi una docena y qued sorprendido al percatarme de que todos promovan la idea de que la masa se incrementa con la velocidad y de que E=mc2. Mi desconcierto se agrav an ms cuando me percat de que mis colegas en el comit, -profesores y especialistas en la enseanza de la fsica- no haban odo hablar de la ecuacin E0 = mc2. Les expliqu su significado y uno de ellos sugiri que escribiera algo al respecto en Physics in the School, una revista para profesores de fsica. Al da siguiente le pregunt al editor asistente si la revista publicara tal artculo. Despus de tres meses recib una llamada telefnica: El consejo de edicin ha tomado la decisin de no albergar ningn artculo sobre relatividad que no incluya la ecuacin E=mc2. Cada ao millones de nios y nias alrededor del mundo se educan en forma deficiente en lo que respecta a la relatividad especial, de forma tal que no pueden asimilar la esencia de la teora. Slo notacin arcaica y confusa se encuentra memorizada en sus mentes. Es nuestro deber -el deber de los fsicos profesionales- el de detener este proceso.