marzo 2009 calculo vectorial

Capıtulo 4

Calculo Vectorial

Los conceptos basicos de calculo pueden generalizarse, como ya lo hemos hecho varias veces, estavez al ambito de los vectores. En esta parte del curso se asocian las funciones y los vectores dandoorigen a un nuevo campo de estudio llamado calculo vectorial, iniciaremos definiendo nuevos tiposde funciones (funciones y campos vectoriales) y despues los conceptos de derivadas e integrales deestas funciones para finalizar con tres de los teoremas mas famosos del calculo vectorial.

Por la naturaleza de los conceptos que vamos a tratar, su interpretacion esta directamente relacionadacon la fısica.

4.1. Funciones vectoriales

Lo primero que haremos sera extender el concepto de funcion y asociarlo a los vectores.

Definicion 1Sea B ⊆ R. Si r(t) es una funcion que esta definida de la siguiente manera:

r(t) : B −→ R2 o bien r(t) : B −→ R

3

Entonces r(t) recibe el nombre de funcion vectorial.

Dicho de otra forma una funcion vectorial es una funcion que asigna a cada numero real t un vectoren el plano o en el espacio.

Los valores para en los que varıa t son el dominio de la funcion, si no se especifica el dominio de lafuncion entonces suponemos que es el domino maximo, esto es todos los posibles valores de t

Ejemplo 1La funcion r(t) =

⟨

2t3 − 2t − 100, t2 −√

t⟩

es una funcion vectorial.

De hecho si t = 4, por ejemplo, obtenemos lo siguiente: r(4) =⟨

2(4)3 − 2(4) − 100, (4)2 −√

4⟩

entonces r(4) = 〈 20, 14〉, esto quiere decir que r asigna a al numero real 4 el vector 〈 20, 14〉

1

4. Calculo Vectorial

Ejemplo 2Los siguiente son mas ejemplos de funciones vectoriales:

r(t) =⟨

tan t, t2

⟩

r(t) = 〈 4t2,−5t, 1 − 3t3〉

r(t) = 〈 5, cos t, ln(t + 1)〉

r(t) = (1 − t)2ı + t

r(t) = sen tı + cos t

r(t) = etı + t3 + t2k

4.1.1. Interpretacion fısica de las funciones vectoriales

Consideremos un objeto que se desplaza en el plano siguiendo una trayectoria, la cual, geometrica-mente corresponde a una curva C. Denotemos por (x, y) la posicion del objeto en un tiempo t conrespecto a un sistema de coordenadas. Entonces, podemos describir la posicion del objeto medianteun vector r, cuyo origen en (0, 0) y extremo final es el punto (x, y). por lo que se puede escribir:

r(t) = f(t)ı + g(t) o tambien r(t) = 〈 f(t), g(t)〉

x

y(x, y)

r(t)

r(t) recibe el nombre de vector de posicion del punto (x, y)

De manera similar en R3 el vector de posicion viene dado por

r(t) = f(t)ı + g(t) + h(t)k o tambien r(t) = 〈 f(t), g(t), h(t)〉

(x, y, z)

r(t)

x

y

z

2 Prof. Isaac E. Solano Guzman


4.1.2. Derivada de una funcion vectorial

Consideremos la funcion vectorial r(t) = f(t)ı + g(t) + h(t)k entonces la derivada de esta funcioncorresponde a

r′(t) = f ′(t)ı + g′(t) + h′(t)k o tambien r′(t) = 〈 f ′(t), g′(t), h′(t)〉

Nota: este resultado tambien se aplica en funciones dadas por r(t) = f(t)ı + g(t)

Interpretacion fısica de la derivada de una funcion vectorial

Si r(t) representa la trayectoria de una partıcula, entonces sus derivadas tienen una interpretacionfısica:

La velocidad en cualquier punto es v(t) = r′(t)

La aceleracion en cualquier punto es a(t) = r′′(t)

La rapidez en cualquier punto es ||r′(t)||

Ejemplo 3Una partıcula se mueve sobre una curva dada por r(t) = cos2 t ı + sen(2t) . Donde t representa eltiempo en segundos y r(t) la posicion de la partıcula ¿Cual es la velocidad y la rapidez de la partıculacuando t = π

4segundos? ¿Cual es la aceleracion correspondiente a r(t)?

Prof. Isaac E. Solano Guzman 3


4.1.3. Ecuaciones vectoriales de curvas simples

Se puede hallar con relativa facilidad las ecuaciones vectoriales de curvas simples, sin embargo hayque entender que los conceptos son diferentes, por ejemplo cuando hallamos las ecuaciones vectorialesde una parabola lo que estamos haciendo es colocar un vector que sale de (0, 0) y que “ senala ”hacia los puntos de la parabola.

Un cuestion interesante es que si tenemos una funcion vectorial e interpretamos sus componentes nocomo las de un vector, sino mas bien como las de un punto obtenemos entonces una nueva manerade describir una curva, esta se llama la forma parametrica de la curva y en este caso las ecuacionesse escriben entre llaves y no en notacion vectorial.

Nota: cuando buscamos la ecuacion vectorial de una curva llamaremos a este proceso parametrizarla curva

Ejemplo 4Consideremos la funcion dada por f(x) = 8, 84 + 0, 08x − 0, 18x2 + 0, 01x3

Entonces, grafica de esta funcion corresponde a

La funcion vectorial correspondiente a esta curva es r(t) = 〈t ; 8, 84 + 0, 08t − 0, 18t2 + 0, 01t3〉

La representacion de r(t) serıa un vector que apunta hacia la curva. Ası

Finalmente la forma parametrica de la curva es C :

{

x = t

y = 8, 84 + 0, 08t − 0, 18t2 + 0, 01t3

Notemos que son las mismas ecuaciones de la funcion vectorial, pero aquı se interpreta como puntos,no como vectores, si damos algunos valores a t obtenemos



Veamos ahora como parametrizar curvas sencillas en el plano, dividiremos el proceso en varios casos.

Caso I: Funciones explıcitas

Una funcion explıcita es una funcion escrita de la forma f(y) = x o bien f(x) = y. En terminosmas coloquiales una funcion escrita explıcitamente es una funcion en la que la variable dependienteesta despejada.

Consideremos la funcion y = f(x) con f : [a, b] −→ [c, d] entonces sus ecuaciones vectorialesson

r(t) = 〈 t, f(t)〉 con a ≤ t ≤ b

Tambien puede escribirse r(t) = tı + f(t)

Consideremos la funcion x = g(y) con g : [a, b] −→ [c, d] entonces sus ecuaciones vectorialesson

r(t) = 〈 g(t), t〉 con c ≤ t ≤ d

Tambien puede escribirse r(t) = g(t)ı + t

Ejemplo 5Encontrar las ecuaciones vectoriales para las siguientes curvas:

y = 3

2x cos x + sen x

x = y3

5− y2

x = 4 − y2

15 cos(0, 5y2) + (x − 3)3 = 10



Caso II: Segmentos de recta

Consideremos el segmento de recta que va desde r0 hasta r1 entonces sus ecuaciones vectorialescorresponden a

r(t) = (1 − t)r0 + tr1 con 0 ≤ t ≤ 1

Ejemplo 6Determinar las ecuaciones vectoriales del segmento de recta que va desde el punto (1, 5) alpunto (3,−1)

Determinar las ecuaciones vectoriales del segmento de recta que va desde el punto (1,−1, 3) alpunto (2, 7,−4)

Caso III: Cırculos y elipses

Las ecuaciones vectoriales para un cırculo de radio R son

r(t) = 〈R cos t, R sen t〉 con 0 ≤ t ≤ 2π

Las ecuaciones vectoriales para la elipse x2

a2 + y2

b2= 1 son

r(t) = 〈 a · cos t, b · sen t〉 con 0 ≤ t ≤ 2π

Ejemplo 7Las ecuaciones vectoriales para el cırculo x2 + y2 = 25 son

r(t) = 〈 5 cos t, 5 sen t〉 o bien r(t) = 5 cos tı + 5 sen t con 0 ≤ t ≤ 2π

Las ecuaciones vectoriales para la elipse x2

9+ y2

4= 1 son

r(t) = 〈 3 cos t, 2 sen t〉 o bien r(t) = 3 cos tı + 2 sen t con 0 ≤ t ≤ 2π



4.2. Campos vectoriales

Estudiaremos ahora un nuevo tipo de funciones que incorporan el concepto y las propiedades de losvectores.

Lo primero que haremos es contextualizar el concepto de funcion de dos, tres o mas variables estudiadoal principio de curso por medio de la siguiente definicion.

Definicion 2 (Campos escalares)Sea f una funcion definida como sigue

f : Rn −→ R

entonces f recibe el nombre de campo escalar.

En otras palabras un campo escalar es una funcion que asigna a un punto (del plano o el espacio)un numero real. Esto quiere decir que las funciones con las que nosotros trabajamos ordinariamenteson campos escalares, veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 8Los siguiente son ejemplos de campos escalares

f(x, y) = x2 + y2 − 5xy + 3

g(x, y) =

√

x2 − y3

ln(5xy3 − 1)

h(x, y, z) = (x + 3y − 5z)3

w(x, y, z) = 2xyz2 − 15x3y2 + 6x3

Definicion 3 (campo vectorial sobre R2)

Sea F una funcion que asigna a cada punto (x, y) del una region del plano un vector de dos dimen-siones, entonces F se llama campo vectorial sobre R

2.

F (x, y) : R2 −→ R

2

Definicion 4 (campo vectorial sobre R3)

Sea F una funcion que asigna a cada punto (x, y, z) del una region del espacio un vector de tresdimensiones, entonces F se llama campo vectorial sobre R

3.

F (x, y, z) : R3 −→ R

3

Esto significa que una campo vectorial es una funcion que asigna a cada punto del plano (o el espacio)un vector en el plano (o el espacio)

Ejemplo 9Los siguientes son ejemplos de campos vectoriales

F (x, y) = 〈x2 + y, y3 − 2xy〉

F (x, y, z) =⟨

1x− 3xyz, x cos z, xyz2

⟩

F (x, y) = 2xı + tan y

F (x, y, z) = −6zx2ı − 2xy + 8y2x3k



Un campo vectorial sobre R2 se puede denotar como F (x, y) = P (x, y)ı + Q(x, y) y un campo

vectorial sobre R3 se denota F (x, y, z) = P (x, y, z)ı + Q(x, y, z) + R(x, y, z)k. Como en los ultimos

dos casos del ejemplo anterior.

Para representar una campo vectorial en un sistema se puede proceder a graficar algunos puntosy sus correspondientes vectores, esto nos dara una idea de como se comporta el campo vectorial.Veamos algunas representaciones de campos vectoriales.

F (x, y) = yı + x F (x, y) = 〈 2x − 3y, 2x + 3y〉 F (x, y) = − cos tı + sen t F (x, y) =⟨

y2, x2⟩

Nosotros ya habıamos tratado con un campo vectorial que recordaremos a continuacion.

Definicion 5 (campo vectorial gradiente)Consideremos la funcion f(x, y) entonces el campo vectorial definido por

∇f(x, y) = fx(x, y)ı + fy(x, y)

se llama campo vectorial gradiente.

Del mismo modo si consideramos la funcion f(x, y, z) entonces el siguiente es un campo vectorialgradiente sobre R

3

∇f(x, y, z) = fx(x, y, z)ı + fy(x, y, z) + fz(x, y, z)k

Ejemplo 10Si f(x, y, z) = 2x3y2 + 4z − (x + 2y)5 Hallar ∇f(1, 0, 2)



4.2.1. Divergencia y Rotacional

Existen dos operadores para campos vectoriales, que estan estrechamente relacionados con las pro-piedades y las operaciones de los vectoriales.

Definicion 6 (divergencia y rotacional de una campo vectorial)Sea F (x, y, z) = P (x, y, z)ı + Q(x, y, z) + R(x, y, z)k un campo vectorial, entonces

La Divergencia de F se denota divF y viene dada por la siguiente funcion escalar

divF (x, y, z) = ∇ · F =∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z

El Rotacional de F se denota rotF y viene dado por el siguiente campo vectorial

rotF (x, y, z) =

(

∂R

∂y− ∂Q

∂z

)

ı +

(

∂P

∂z− ∂R

∂x

)

+

(

∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

k

Para resumir un poco el rotacional de un campo vectorial se acostumbra representarlo de lasiguiente manera

rotF = ∇× F =

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

ı k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zP Q R

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

Nota: la divergencia es un campo escalar y el rotacional corresponde a un campo vectorial

Ejemplo 11Calcular rotF y divF si F (x, y, z) = (3x2 + 5y)ı + (5xy − 3z2) + (2xyz)k.

Ademas hallar rotF (1, 2, 2) y divF (1, 2, 2)



Consideremos un campo vectorial F . Entonces se puede hallar rotF que corresponde a un campovectorial y divF que es un campo escalar, ambos operadores tienen interpretaciones fısicas, veamos:

Interpretacion fısica del rotacional

Supongamos que F representa el campo de velocidades de un fluido, las partıculas cerca de un unpunto P0 tienen a girar alrededor del eje que aparece en la direccion de rotF (P0) y la longitud onorma de ese vector es una medida de rapidez con que las partıculas se mueven alrededor del eje.

En las siguientes situaciones esta involucrado el concepto del rotacional.

En un tornado los vientos estan rotando sobre el ojo, y un campo vectorial que muestra lasvelocidades del viento tendrıa un rotacional diferente de cero en el ojo, y posiblemente en otraspartes.

En un campo vectorial que describa las velocidades lineales de cada parte individual de undisco que rota, el rotacional tendra un valor constante en todas las partes del disco.

Si una autopista fuera descrita con un campo vectorial, y los carriles tuvieran diversos lımitesde velocidad, el rotacional en las fronteras entre los carriles serıa diferente de cero.

La ley de Faraday de la induccion y la ley de Ampere-Maxwell, dos de las ecuaciones deMaxwell, se pueden expresar muy simplemente usando el rotacional. La primera indica queel rotacional de un campo electrico es igual a la tasa de variacion de la densidad del flujomagnetico, con signo opuesto debido a la Ley de Lenz; la segunda indica que el rotacional deun campo magnetico es igual a la suma de la densidad de corrientes y la derivada temporal dela densidad de flujo electrico.

Si rotF = ~0 en un punto P0 se dice que el fluido esta libre de rotaciones en P0 y F se llama irrotacionalen P0.

Interpretacion fısica de la divergencia

La divergencia tambien tiene una importante interpretacion fısica.

Si F es un campo de velocidades de un fluido (o del gas), entones divF representa la razon de cambioneta (respecto al tiempo) por unidad de volumen de la masa del fluido o gas que circula por un puntoP0.

En otras palabras, divF , mide la tendencia del fluido a divergir del punto P0

Si divF = 0 entonces F se llama campo vectorial incompresible o campo vectorial solenoidal.



La divergencia es una cantidad escalar con signo, este signo posee significado geometrico y fısico:

Si la divergencia de un campo vectorial en un punto es positiva, quiere decir que en dicho puntoel campo radia hacia el exterior y entonces se dice que en esa posicion el campo vectorial poseeun manantial.

Si la divergencia es negativa, el campo converge hacia dicho punto, se dice entonces que elcampo posee un sumidero.

Ambos, manantiales y sumideros, constituyen las fuentes escalares de un campo vectorial y portanto si la divergencia es cero en un punto el campo carece de fuentes escalares en dicho punto.

4.2.2. Campos vectoriales conservativos

Definicion 7Un campo vectorial F se dice que es conservativo si existe una funcion f , tal que F = ∇f . Si talfuncion existe entonces f recibe el nombre de funcion de potencial de F .

Lo anterior significa que F es un campo vectorial conservativo si coincide con el gradiente de algunafuncion f .

Ejemplo 12Consideremos el campo vectorial F = (3y + 2xy2)ı + (3x + 2x2y); resulta que este campo vectorialcoincide con el gradiente de la funcion f(x, y) = x2y2+3xy entonces el campo vectorial es conservativoy f se llama funcion de potencial.

Ahora, los siguientes teoremas nos ayudaran a decidir si un campo vectorial es o no conservativo.

Teorema 1Sea F (x, y) = P (x, y)ı + Q(x, y). Entonces F es un campo vectorial conservativo si y solo si∂Q

∂x=

∂P

∂y

Teorema 2Sea F (x, y, z) = P (x, y, z)ı+Q(x, y, z)+R(x, y, z)k. Entonces F es un campo vectorial conservativo

si y solo si rotF = ~0

Estos teoremas nos dicen cuando un campo vectorial es conservativo, sin embrago no nos dicen comohallar la funcion de potencial.

Para hallar la funcion de potencial lo que hacemos es reconstruir la funcion f a partir del campovectorial, integrando parcialmente.



Ejemplo 13Determine cuales de los siguientes campos vectoriales son conservativos, y en los que lo sean, hallela funcion de potencial.

(1) F (x, y) = (2x + 15x2y2)ı + (3ey + 10x3y)

(2) F (x, y) =

⟨

− 2y

(x − y)2,

x

(x − y)2

⟩

(3) G(x, y, z) = (2x + 3x2y4z3)ı + (−3 + 4x3y3z3) + (3x3y4z2 + 24x)k

(4) G(x, y, z) =⟨

8xyz3 + 5 ln y + 3x2 tan z + 12x2

y,−4x3

y2 + 4z3x2 + 5xy, x3 sec2 z + 12yz2x2

⟩



4.3. Integrales de Lınea

Hemos calculado integrales sobre un intervalo I, integrales sobre una region R e integrales sobreuna region solida W . Ahora estudiaremos un nuevo tipo de integral llamada integral de lınea en laque vamos a integrar sobre una lınea curva. Las integrales de lınea fueron inventadas a principiosdel siglo XIX para resolver problemas donde intervienen corrientes de fluidos, fuerzas, electricidad ymagnetismo.

4.3.1. Integrales de Lınea de campos escalares

Definicion 8 (Integral de lınea en el plano)Sea f(x, y) una funcion de dos variables definida sobre una curva suave C dada por las ecuaciones〈x(t), y(t)〉 con a ≤ t ≤ b, entonces la integral de lınea de f a lo largo de C viene dada por

∫

C

f(x, y)ds =

∫ b

a

f(x(t), y(t))

√

(

dx

dt

)2

+

(

dy

dt

)2

dt

Definicion 9 (Integral de lınea en el espacio)Sea f(x, y, z) una funcion de tres variables definida sobre C : 〈x(t), y(t), z(t)〉 con a ≤ t ≤ b entoncesla integral de lınea de f a lo largo de C viene dada por

∫

C

f(x, y, z)ds =

∫ b

a

f(x(t), y(t), z(t))

√

(

dx

dt

)2

+

(

dy

dt

)2

+

(

dz

dt

)2

dt

Ejemplo 14Calcular

∫

C

x2y ds, donde C es el segmento de recta que va desde el punto (2, 3) hasta (5,−4)



Ejemplo 15Evaluar

∫

Cy sen z ds, donde C es la curva descrita por x = cos t , y = sen t , z = t con t ∈ [0, 2π]

Nota: Es posible que la curva C sobre la cual se define la integral de lınea este compuesta por variascurvas simples: C1, C2, ..., Cn. Entonces para hallar la integral de lınea de un campo escalar f a lolargo de la curva C se evalua la integral en cada una de las curvas y se suman los resultados. Ası:

∫

C

f ds =

∫

C1

f ds +

∫

C2

f ds +

∫

C3

f ds + ... +

∫

Cn

f ds

Interpretacion geometrica de la integral de lınea escalar

Para el caso de las integrales de lınea en el plano, al igual que las integrales simples, podemosinterpretar la integral de una funcion positiva como un area.

De hecho si f(x, y) ≥ 0∫

cf(x, y)ds representa el area de la “cortina” que se forma sobre la curva C

x

y

z



Aplicaciones

Masa de un alambre: supongamos que se tiene un alambre cuya forma corresponde a la dela curva C, ademas si la densidad del alambre viene dada por la funcion f(x, y) entonces lamasa del alambre viene dada por

M =

∫

C

f(x, y) ds

Centro de masa: supongamos que se tiene un alambre cuya forma corresponde a la de lacurva C, ademas si la densidad del alambre viene dada por la funcion f(x, y) entonces el centrode masa del alambre viene dado por

∫

C

xf(x, y) ds

M,

∫

C

yf(x, y) ds

M,

∫

C

zf(x, y) ds

M

El momento de inercia, IL, de un hilo que sigue una curva C, con respecto a

Momento de inercia: Si tenemos un alambre cuya forma corresponde a la curva C y cuyadensidad corresponde a f(x, y, z) y ademas d(x, y, z) es la distancia de los puntos del alambrehasta un eje L. Entonces el momento de inercia IL del alambre es

IL =

∫

C

d2(x, y, z) f(x, y, z) ds

Funcion promedio: el valor promedio del campo escalar f(x, y, z) a lo largo de la curva C

corresponde a∫

C

f(x, y, z) ds

Longitud de arco: La longitud de la curva C corresponde

∫

C

ds o lo que es lo mismo en el

plano

L =

∫

C

√

(

dx

dt

)2

+

(

dy

dt

)2

dt



4.3.2. Integral de lınea de campos vectoriales

Hemos definido en secciones anteriores la integral de lınea de para una funcion en dos y tres variables,tambien existen integrales de lınea para campos vectoriales.

Definicion 10Sea F un campo vectorial (sobre R

2 o R3) definido sobre una curva suave C dada por una funcion

vectorial r(t), a ≤ t ≤ b.

Entonces la integral de lınea de F a largo de C corresponde a

∫

C

F dr =

∫ b

a

F (x(t), y(t)) · r′(t) dt en R2

∫

C

F dr =

∫ b

a

F (x(t), y(t), z(t)) · r′(t) dt en R3

Las expresiones F (x(t), y(t)) y F (x(t), y(t), z(t)) indican que debe evaluarse el campo vectorial enlas componentes de la funcion r.

Ejemplo 16Evaluar

∫

S

F dr para el campo vectorial F = (2x)ı + (12xyz) + (z + x)k y S es el segmento que va

desde el punto (2,−3, 1) al punto (6, 3, 1)



Interpretacion fısica

Un campo vectorial F a veces es tambien llamado campo de fuerzas por lo que la integral de lıneade F corresponde al trabajo realizado por F a lo largo de de la curva C

Ejemplo 17Hallar el trabajo realizado por el campo de fuerzas F (x, y) = x2ı − xy al mover una partıcula a lolargo del cırculo r(t) = cos tı + sen t, 0 ≤ t ≤ π

2

Forma diferencial de la integral de lınea de un campo vectorial

Los siguiente teoremas nos proporcionara un metodo alternativo para evaluar una integral de lıneaen un campo vectorial.

Teorema 3Sea F (x, y) = P (x, y)ı+Q(x, y) un campo vectorial y C una curva dada por por la funcion vectorialr(t) = x(t)ı + y(t) entonces:

∫

C

F dr =

∫

C

P (x, y)dx +

∫

C

Q(x, y)dy

Frecuentemente, y para resumir, la expresion anterior puede escribirse como

∫

C

F dr =

∫

C

Pdx+Qdy

Teorema 4Sea F (x, y, z) = P (x, y, z)ı + Q(x, y, z) + R(x, y, z)k un campo vectorial y C una curva dada por

la funcion vectorial r(t) = x(t)ı + y(t) + z(t)k entonces:

∫

C

F dr =

∫

C

P (x, y, z)dx +

∫

C

Q(x, y, z)dy +

∫

C

R(x, y, z) =

∫

C

F dr =

∫

C

Pdx + Qdy + Rdz

Nota: Para evaluar este tipo de integrales basta con expresar todo en terminos de t, haciendo lassiguiente sustituciones, segun corresponda:

x = x(t)

dx = x′(t)dt

y = y(t)

dy = y′(t)dt

z = z(t)

dz = z′(t)dt



Ejemplo 18Evaluar la integral de lınea

∫

C

xy2 dx + 3xy dy a lo largo de las siguientes trayectorias:

C = C1 ∪ C2 donde C1 es el segmento que una a (0, 2) con (3, 2) y C2 es el segmento que unea (3, 2) a (3, 4)

D que el segmento de recta que va desde (0, 2) a (3, 4)



Independencia del camino

En el ultimo ejemplo de la parte anterior hallamos la integral de lınea de un campo vectorial usandodos curvas distintas, pero que tenıan el mismo punto inicial y el mismo punto final, en otras palabrasrecorrimos el trayecto que hay desde un punto a otro por dos caminos distintos.

Resulta que si un campo vectorial es conservativo, entonces las integrales de lınea que se calculansobre ese campo son independientes del camino, esto es, que no importa por medio de cual curva serecorra el trayecto de un punto a otro, el resultado va a ser el mismo, es mas, ese resultado dependeunicamente del punto inicial y el punto final.

Teorema 5 (Teorema fundamental de las integrales de lınea)Sea C una curva suave dada por r(t) que va desde el punto P0 hasta P1.

Sea F un campo vectorial conservativo entonces la integral de lınea de F sobre la curva C esindependiente del camino y ademas:

∫

C

F dr =

∫

C

∇f · dr = f

∣

∣

∣

∣

P1

P0

= f(P1) − f(P0)

donde f es una funcion de potencial de F

Ejemplo 19Evaluar

∫

cF dr donde F (x, y) = 〈 10y + 10xy3,−3 + 10x + 15x2y2〉 y C es la curva que se representa

a continuacion.

1 2 3 4 5 6 7x

1

2

3

4

5

6

y

3x = 13 + 2y

y = − 11

4+ 9x

2− 3x

2

4



Si sabemos que una integral de lınea es independiente del camino y se cuyo punto inicial es P0 y supunto final es P1 entonces se puede escribir

∫

C

F dr =

∫ P1

P0

F dr

Ejemplo 20Demostrar que las siguientes integrales son independientes de la trayectoria y hallar su valor.

∫ (3,1)

(1,4)

2xy3dx + (1 + 3x2y2)dy

∫ (0,8,−5)

(0,2,−2)

[3zex + 3y2z − 2y sen(xy)] ı + [6xyz − 2x sen(xy)] + [3ex + 3xy2] k dr



4.4. Integrales de superficie

Ası como se puede integrar sobre una curva, es posible definir una integral sobre una superficie,estudiaremos en este curso solamente las integrales de superficie para campos vectoriales.

4.4.1. Integrales de superficie en campos vectoriales

Antes de definir las integrales propiamente dichas vamos a necesitar algunos conceptos.

Superficies orientables

Dentro del estudio de este tema, supondremos que la superficie tiene dos lados o dos caras. Se diceque una superficie es orientable o suave si se puede definir un vector tangente unitario que varıaconstantemente a lo largo de la superficie.

Si la superficie tratada es una region cerrada (un solido) entonces se puede hablar de la cara externaen la que el vector unitario apunta hacia afuera y la cara interna en la que el vector unitario apuntahacia adentro. Ademas tiene sentido hablar del flujo que a traves de la superficie.

Vector normal unitario

Sea S una superficie descrita por la ecuacion z = g(x, y), entonces un vector normal unitario a S queapunta hacia afuera, viene dado por:

n =−gx(x, y)ı − gy(x, y) + k

√

1 + [gx(x, y)]2 + [gy(x, y)]2

Definicion 11 (Integral de superficie de un campo vectorial)Sea F un campo vectorial continuo definido sobre una superficie S orientada con un vector unitarion (que apunta hacia fuera), entonces la integral de superficie se F sobre S viene dada por

∫∫

S

F dS =

∫∫

S

F · n dS

Teorema 6Sea S una superficie orientada de ecuacion z = g(x, y) y Sxy su proyeccion en el plano XY , ademas

sea F = P ı+Q +R k un campo vectorial y n un vector unitario que apunta hacia afuera, entoncesla integral de superficie de F sobre S viene dada por

∫∫

S

F · n dS =

∫∫

Sxy

(−Pgx − Qgy + R) dA



Ejemplo 21Hallar

∫∫

S

F dS donde F (x, y, z) = 4x ı + 5xy + z k sobre la region solida determinada por los

planos coordenados y el plano x + 2y + z = 2

x + 2y + z = 22

21

Ejemplo 22Hallar

∫∫

S

F dS donde F (x, y, z) = 2x ı + 3y + 2z k sobre la region solida determinada por

x

y

z

z = 4 − x2

y = 2

4

2

Interpretacion fısica de la integral de superficie

Si S es una superficie suave, con dos lados, y esta definida en una region D y n un vector unitarioque apunta hacia afuera de S entonces la cantidad de flujo que pasa a traves de S por unidad de

tiempo, y el la direccion del vector unitario n viene dado por

∫∫

S

F · n dS. Es por esto que a la

integral de superficie tambien se le llama integral de flujo.



4.5. Teoremas de calculo vectorial

Teorema de Green

Teorema 7Sea C una curva suave a trozos, cerrada, simple y positivamente orientada del plano, sea D la regionlimitada por C.Entonces si P y Q tienen derivadas parciales continuas entonces

∮

C

Pdx + Qdy =

∫∫

D

(

∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

dA

Teorema de la divergencia (de Gauss)

Teorema 8Sea F (x, y, z) = P ı + Q + R k un campo vectorial, ademas se S un solido cuya frontera se denotaF (S) (caras del solido), ademas sea n el vector normal unitario que exterior (apunta hacia afuera) aF (S) entonces

∫∫

F (S)

F · n dS =

∫∫∫

S

divF dV =

∫∫∫

S

(

∂P

∂x+

∂Q

∂y+

∂R

∂z

)

dV

Teorema de Stokes

Teorema 9Sea S una superficie orientada con un vector normal unitario n, delimitada por una curva cerrada

simple C y sea F = P ı + Q + R k un campo vectorial entonces

∫

C

F dr =

∫∫

S

rotF · n dS


marzo 2009 calculo vectorial

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