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MAPA DE KARNAUGH

1. OBJETIVOS

Objetivo General. Explicar cmo se utiliza los mapas de Karnaugh en las simplificaciones grficas.

Objetivo especfico. Demostrar lo importante que son los mapas de Karnaugh. Como se utilizan y poner en prctica este tema en clases. Realizar 5 ejercicios donde se utilice mapas de Karnaugh.

2. JUSTIFICACION

El lgebra de Boole es til para reducir expresiones de funciones booleanas. Otro mtodo que podran resultar ms conveniente y fcil de visualizar para realizar estas simplificaciones es la utilizacin de los mapas de Karnaugh. Un mapa de Karnaugh es un mtodo grfico que se utiliza para simplificar una ecuacin lgica para convertir una tabla de verdad a su circuito lgico correspondiente.

3. ARGUMENTACIN TERICA

Un mapa de karnaugh es un diagrama utilizado para la simplificacin de funciones algebraicas booleana. El mapa de karnaugh fue inventado en 1950 por Maurice karnaugh, un fsico y matemtico de los laboratorios BellLos mapas de Karnaugh reducen la necesidad de hacer clculos extensos para la simplificacin de expresiones booleanas, aprovechando la capacidad delcerebro humano para el reconocimiento de patrones y otras formas de expresin analtica, permitiendo as identificar y eliminar condiciones redundantes.El mapa de Karnaugh consiste en una representacin bidimensional de latabla de verdadde la funcin a simplificar. Puesto que la tabla de verdad de una funcin de N variables posee 2Nfilas, el mapa K correspondiente debe poseer tambin 2Ncuadrados. Las variables de la expresin son ordenadas en funcin de su peso y siguiendo elcdigo Gray, de manera que slo una de las variables vara entre celdas adyacentes. La transferencia de los trminos de la tabla de verdad al mapa de Karnaugh se realiza de forma directa, albergando un 0 un 1, dependiendo del valor que toma la funcin en cada fila. Las tablas de Karnaugh se pueden utilizar para funciones de hasta 6 variables

Se definir algunos trminos que nos son de mucha utilidad al momento de analizar los mapas K:Implicante:Un grupo de unos ceros adyacentes que implican a una variable en cuestin, agrupados en potencias de a dosAdyacencia:Caracterstica de un mapa K en el que slo se cambia una variable de una celda a otra inmediata a ella por cualquiera de sus cuatro lados

Mapa de Karnaugh de dos variablesEl mapa de Karnaugh de dos variables es un conjunto de cuatro celdasLa siguiente figura nos muestra la tabla de verdad y el mapa K para una funcin escogida arbitrariamente de dos variablesfilaEntradaSalida

numeroAB

0001

1010

2100

3111

La funcin definida por la tabla en minterms es:

Mapa de Karnaugh de tres variablesEl mapa de Karnaugh de tres variables es un conjunto de ocho celdas.La siguiente figura nos muestra la tabla de verdad y el mapa K para una funcin escogida arbitrariamente de tres variable

filaEntradaSalida

numeroABC

00001

10011

20101

30110

41000

51010

61101

71110

La funcin definida por la tabla en minterms es:

Mapa de Karnaugh de cuatro variables

El mapa de Karnaugh de cuatro variables es una matriz de dieciseis celda

La siguiente figura nos muestra el mapa K para cuatro variables

Mapa K de una suma de productos

Para sacar el mapa K de una funcin suma de productos se siguen los siguientes pasos:1. Determinar el valor binario de cada minterm.2. Asignar un 1 a la celda correspondiente a cada mintermSimplificacin de una suma de productos mediante el mapa KDespus de haber obtenido el mapa K de una suma de productos se debe hacer lo siguiente:Agrupar los 1s. Se debe recodar que el agrupamiento de unos no es vlido en diagonales.Determinar los trminos correspondientes a cada gruposumar los trminos obtenidosAgrupamiento de 1sPara agrupar los 1s de las celdas se siguen las siguientes reglas:1. Un grupo solo puede contener 1,2,4,8 o 16 celdas. Es decir slo potencias de dos (2)2. Cada celda de un grupo tiene que ser adyacente a una o ms celdas del mismo3. Incluir siempre en cada grupo el mayor nmero posible de 14. El agrupamiento debe hacer uso del mnimo nmero de grupos para contar todos los unos

Proceso de Simplificacin

Hemos observado la forma en que se pueden agrupar las celdas. Para simplificar tenemos en cuenta lo siguiente: Cuando una variable aparece en forma complementada y no complementada dentro de un agrupamiento, esa variable es eliminada de la expresin. Las variables que son iguales en todos los cuadrados del agrupamiento deben aparecer en la expresin final

A continuacin se mencionan algunas caractersticas de las expresiones causadas por el agrupamiento de 1s

Para un mapa de tres variables

Un grupo formado por una nica celda da lugar a un producto de tres variablesUn grupo formado por dos celdas da lugar a un producto de dos variables.Un grupo formado por cuatro celdas da lugar a un trmino de una variable.

Para un mapa de cuatro variablesUn grupo formado por una nica celda da lugar a un producto de cuatro variables.Un grupo formado por dos celdas da lugar a un producto de tres variables.Un grupo formado por cuatro celdas da lugar a un trmino de dos variables.

Condiciones no especificadasUna funcin lgica se define especificando para cada posible combinacin de variables si la funcin tiene el valor f=1 o f=0. Esta especificacin nos permite anotar los 1s o los 0s en un mapa K para simplificar la expresin y de esta manera obtener una funcin ms reducidaSupongamos que nos proponemos escribir en su forma ms simple una funcin f, especificada solo para algunas combinaciones de las variables. En tal caso difieren unos valores de otros en la funcin, para las combinaciones de las variables que estn sin especificar

En la prctica esta especificacin incompleta se hace de dos formas. En algunas ocaciones no importa el valor que adopte la funcin para ciertas combinaciones de variables; en otras ocasiones, podemos saber que ciertas combinaciones de variables no se van a presentar nunca. Para este caso , podemo afirmar que no importan, ya que el efecto es el mismo

Las condiciones que no importan se sitan en las celdas con la letra X. X puede tomar el valor de 0 o de 1 con el objetivo de producir la expresin de salida ms simple

4. EJERCICIOS RESUELTOS4.1Representar, usando mapas de Karnaugh para cuatro variables, las siguientes expresiones que contienen minterms:

1)ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

2)ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

Los mapas de Karnaugh para las expresiones dadas sern como se muestra a continuacin:

4.2 PROBLEMA:La Tabla de Verdad para un circuito lgico es como se muestra a continuacin:

Usando minterms, dibujar su mapa de Karnaugh correspondiente.

De acuerdo con la Tabla de Verdad proporcionada, trabajando sobre las salidas con valor de "1" la salida Boleana del circuito est dada en funcin de sus minterms por la siguiente expresin:

Salida =ABC+ABC+ABC+ABC+ABC

El mapa de Karnaugh que corresponde a esta expresin es el siguiente:

4.3 PROBLEMA:Dibujar los mapas de Karnaugh para las siguientes expresiones:

__1)AB+ABC+BC

__2)ABC+B+BC

Puesto que ambas expresiones estn dadas como sumas-de-productos, la representacin apropiada en ambos casos es a travs de minterms. Los mapas deseados tendrn el siguiente aspecto:

1)

2)

4.4 PROBLEMA:Representar en un mapa de Karnaugh la siguiente expresin:

ABCD+ABCD+ABD+ABCD +AC

El mapa de Karnaugh para esta expresin Boleana de cuatro variables es el siguiente:

4.5 PROBLEMA:Una configuracin produce la siguiente salida:

f =AB+ABCD+ABCD+ABD+ABCD

Simplificar la configuracin utilizando el mapa de Karnaugh.

El mapa de Karnaugh, mostrando un posible agrupamiento simplificador, es el siguiente:

Segn se puede observar en el mapa, una primera simplificacin se puede llevar a cabo enrollando el mapa horizontalmente alrededor de un cilindro para que varios cuadros queden cubiertos por la expresinBC. Sin embargo, esto deja fuera tres "unos". Buscamos a continuacin la mejor manera de agrupar los "unos" restantes como se muestra en el siguiente agrupamiento:

Estos dos agrupamientos "cobijan" todos los "unos"faltantes. Vemos que los dems "unos" se pueden agrupar bajo las expresionesAByBD. La salida simplificada estar dada entonces por la siguiente relacin:

f =AB+BC+BD

4.6 PROBLEMA:Utilizando el mapa de Karnaugh, simplificar la siguiente expresin:

f =ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD+ABCD

El mapa de Karnaugh correspondiente a esta expresin, con una posible simplificacin, es el siguiente:

La solucin posible indicada en el mapa resulta ser:

f =ABD+ACD+ABC+ABD

Existe, sin embargo, otra solucin posible, la cual se indica en el siguiente mapa de Karnaugh (uno de los agrupamientos se obtiene enrollando el mapa horizontalmente uniendo el borde derecho con el borde izquierdo):

Vemos pues que la solucin alterna est dada por la relacin:

f =ABC+BCD+ACD+BCD

En este problema, el mapa de Karnaugh nos proporciona dos soluciones diferentes para un mismo caso, cualquiera de las cuales es igualmente aceptable y vlida. Corresponder al ingeniero de diseo decidir cul de las dos soluciones es ms econmica de construr con los componentes que tenga disponibles a la mano.

PROBLEMA:Representar en mapas de Karnaugh las siguientes expresiones que contienen maxterms:

1)(A +B) (A + B +C) (A+ B + C + D) (B+C+D)

2) (A +B+ C) (A + C +D) (B +C+ D) (A+D)

Los mapas de Karnaugh pedidos son los siguientes:

1)

2)

5. CONCLUSION.Los mapas de karnaugh se pueden considerar como tablas de verdad. Su utilidad mayormente se enfatiza en minimizar expresiones booleanas y seguidas de estas las compuertas lgicas.Gracias a este mtodo podemos expresar en trminos grficos la agrupacin de expresiones con factores comunes y as eliminar variables que no son necesarias.Con los mapas de karnaugh se pueden minimizar expresiones que contengan hasta seis variables. Si esta contiene ms variables se convierte en una tarea casi imposible de realizar.Esta tambin ha venido a sustituir el uso de algunos teoremas de Algebra booleana y la manipulacin de ecuaciones facilitando la minimizacin de expresiones del tipo que se est manejando por este motivo el aprendizaje de este mtodo como una herramienta se vuelve tan importante.

5. BIBLIOGRAFIATomado: http://investigacionlogica.blogspot.com/2012/02/mapa-de-karnaugh.html Tomado de: http://clrueda.docentes.upbbga.edu.co/web_digitales/Tema_2/mapa%20K.html Tomado de: http://www.ecured.cu/index.php/Mapa_de_Karnaugh