Generalidades

91El conocimiento de la forma y dimensiones de la Tierra es fundamental cuando se trata de representar los datos del campo en una carta. En tanto que para las operaciones de la topografa no existe inconveniente en proyectar el levantamiento sobre un piano, en Geodesia, aunque esta abarque cortas extensiones, no puede aceptarse dicha representacin.Por otra parte, los datos que se obtienen en un levantamiento, tanto topogrfico como geodsico, se afueren al terreno mismo --quiere decir, los clculos son propiamente ngulos diedros y los lados son arcos terrestres. Debido a la pequefiez de los lados de una triangulacin topogrfica, pueden considerarse como pianos los ngulos y como rectas. Los lados, consideraciones que no se justifican en Geodesia...El problema, fundamental, conocidos los valores mss probables de angulos y lados, es conocer de antemano la superficie en que van a proyectarse. Por eso es necesario preceder el capitulo de coordenadas- geodesicas de* un ligero antecedente sobre la forma y dimensiones de la Tierra.Por "dos caminos se puede llegar al conocimiento de la forma de la Tierra. Por los resultados de la Geodesia matematica, que proporciona el valor de la longitud del grado en diferentes latitudes, o empleando la Geodesia dinamica, por determinaciones de la intensidad de la pesantez en lugares diversos.El primer metodo fue el que aplicaron las diversas organizaciones geodesicas del mundo, ilegando entre otros, a los resultados que se muestran adelante.Por los valores numericos de los semiejes podemos darnos cuenta que la forma de la Tierra se acerca a un esferoide cuyo aplanamiento es apenas apreciable; si se representa a la Tierra por una esfera cuyo radio ecuatorial sea de 5 metros, el radio polar diferira del radio ecuatorial solo en 17 milimetros.

Semiejemayor(a)Semi.).menor(b)Aplanamiento(a)

Elipsoide de Besse'63773976356079

(1841)299

1

Elipsoide de Clarke63782066356584

(1866)295

Elipsoide de Hayford1

(intemacional)63783886356912"

(1912)297

Los metodos dinamicos han confirmado estos resultados.Estrictamente hablando la forma exacta de la Tierra no es la de ningiin cuerpo geometrico y por ello ha recibido el nombre de geoide. Sin embargo, para la mayoria de las operaciones geodesicas pueden calcularse sus diversos elementos sin error apreciable, 'considerandola como un elipsoide. Segim esto, todas las secciones que se hagan por pianos que contengan al eje polar, seran elipses y las secciones por pianos paralelos al ecuador, seran circulos.Las coordenadas de los vertices de una triangulaciOn se calculan sobre este esferoide.6.1 Calculo de los elementos del elipsoide.Puede seguirse una secuela de dlculos muy variada para obtener la representacion analitica de los diversos elementos del elipsoide. La que se expone a continuaciOn es, en parte, la desarrollada por el Ing. Francisco Diaz Covarrubias en su monumental obra titulada Geodesia y Astronomia, edicion 1899.

P'Figura 24.aSea, EMT' una seccion meridiana, y M un punto de latitud cp. La vertical que pasa por M (direccion de la plornada) corta al eje mayor in A y al eje menor en B y las magnitudes MA y MB son respectivamente las not-males menor y mayor que se designan por n y N.El angulo MAE' es la latitud astronomica. El Angulo MOE' es la latitud geocentrica; MO es el radio central R.Se llama aplanamiento o compresiOn polar la diferencia de los semiejes tomando como unidad el semieje mayor:a _.a b (1)aSe llama excentricidad de la elipse meridiana la distancia del centro a uno de sus focos, tomando como ulirdad al semieje mayor:OFea2 b2pero OF = V a2 b2 por lo que: e =ae= = a2 b2a2(2)Para obtener la ecuaciOn de la elipse meridiana, se partira de la formula:a2b2.que es la ecuaciOn general de la elipse referida a sus semiejes. Substituyendo en esta ecuacion e1valor de b2 sacado de la (2) :x2a2a2 (1)e2) -- 1de donde:y2 = (1 e2) ( x2)(3)1que es la ecuaciOn de la elipse meridiana. Las coordenadas rectangulares de M son:x = N cos cpy=nsencpy tambien(4)x = R cos y'y R sen cp'

94 Forma y dimensiones de Ia TierraDando un incremento dx a x, se tendra otro para y dy, y se tendra:dx _ tang)dyDiferenciando ahora Ia ecuaciOn del meridiano se tendra:dxayx (1e2) Ra954ide donde:6',,,n1e\''''''',.. C-...,ti;,--\7' -'.; . .,':'-7'-'1-spresi6n de la normal menor.\ . (_,..,..L,i 7,

x(1 e2) = tan cp11Si en la formula:.-144ei,'

e igualando los dos valores de dxdy

tan 9, de donde:e2)y x (1 e2) tan cp = N (1 e2) sencp(5)Substituyendo en a ecuaci(an (3) los valores de x e y dados por la primera de las ecuaciones (4) y per la (5) se tiene:.N2. (1 e2) 2sen'tp = (1 e2) (a2 N2 cos2 9) de donde se obtiene sucesivamente:N2 ( 1abr) 2 sent cp = a2 N2 cos2 cpN2 sen2 cp N2 e2 sen2 9 + N2 cos' cp = a' N2 (1 e2 sen2 9) = a2N (1 a(6)

2 sen2 cp )

expresiOn de la normal mayor. Para comodidad de los calculos subsiguientes, haciendor= (1 e2 sen29)ise tendra: Se substituye el valor de -31. sacado de la (4), se tendra:

tltan 91.= (1 e2) tan cpcon cuya formula se puede calcular la latitud geocentrica en funcion de la geografica o viceversa.

4'4k4(146.2 Radios de curvatureEl radio de curvatura de una curva plana, en un punto de coordenadas x e y se calcula por medio de la formula general:dye rdx2d'y(1)4e., Tratandose de la curva trazada en el elipsoide por un plano vertical, que es el caso general que se presenta en Geodesic la solucion del problema consiste en establecer la ecuaciOn de la curva en fund& de los elementos del elipsoide y calcular sus dos primeras diferenciales para llevarlas a la formula 1.

(IVamos a resolver el problema general, o sea ague que se refiere a una semi& normal cualquiera de azimut conocido.La ecuaciOn de la elipse que resulta de cortar al elipsoide por un piano de azimut A, es:

(6) bisN =arAx2 By2 Cxy Dx + Ey = F(2)

Para obtener la expresion de la normal menor, se substituye en la ecuaciOn (5) el valor de y tornado de la segunda de las (4)n sen = N (1 e2) sen cp = a(1 2)en la que:A = 1 e2 (1 cos2 Az cos2 cp)B = 1 e2 cost cpC = e2 cos YL sen 2 cp

Substituyendo estos Ultimo* .valores, asi Como los diversos coeficientes A, B, C y E, en las ecuaciones (3) y (4)D= ae2 (1 e2) cos Az sen

dy 0 dxd2yP2 [1 .--11C/1 cos2 A, cos2 )dx2 [2(1 r- 6,2 cos2 p)4:1e2),-F 2ae2 (1 e2) 040 cp)E = 2 ae2 (1 e2) cos2 q)F 54r (1 e2) 2 ( 1e2 cos2cp)

al se .confunde con el *eri1 e2 (1 cos2 Az cos2cp)]que es el radkr de curvatura en el puntaf. Haciendo 44, = 0 = 180, la secciOn cliano y se tiene el radio de curvatura en el meridiano:(7)0=__a_.=N 'r2 A, cos2 IT)])y llevando estos valores a la ecuacian (1,1a (i e2)tVkelm[.2e (1 cos2 cp)]r [1 e2 sent cc]Haciendo Az = 90 = 270 la secciOn normal viene a ser un primer vertical y la (5) se transforma en:luego, el radio de curvatura de una secciOn perpendicular al meridian esigual a la normal mayor en el punto considerado.s La formula (5) puede presentarse en la forma que le. dan Hosmer,Toscano y otros autores, procediendo como sigue:Poniendo pOrsu valor N y haciendo la multipliciuddrael denominador:N (1 e2)e 1 e2+ e2 cos2 Az cost ipN (1 e2) e2) (sen2 A, cos2e2 cos2 A, (1 sen2 fp)N (1 e) e2) sen2 Az + (1 e2 cos2 A, + e2 cos2 ( 1 sen2 q))Q(5)a (1 e2)a (1e2)a (1 e2)r [1 Recordemos que cp es la latitud del punto considerado sobre' la curva y que:r = (1 e2 sen2 cp)1Diferenciando la ecuaciOn 2, se tiene:2 Axdx + 2 Bydy Cxdy Cydx Ddx Edy = 0 de donde:dy_ 2 Ax + Cy+ D dx2 By+ Cx+ EDiferenciando de nuevo, considerando a dx como constante:2 Adx2 + 2 Bdy2 + 2 Bydy2 Cdxdy Cxd2y Cdydx Edgy = 0 de donde:dy2 d22A + 2B dx2dx + 2C y _dydx22By Cx EPara obtener el radio de curvatura que corresponde a la intersecciOn del meridiano con la secciOn normal de azimut Az, debemos buscar un sistema de ejes comprendidos en la secciOn normal.

Figura 25 En estas condiciones, se tendra.:x = 0; y normal menor Sea EPE'P' la elipse meridiana y MP la secciOn normal de azimut Az. Para proyectar a M en un sistema de ejes contenidos en el piano de la curva MP, consideremos como eje de las coordenadas, la vertical de M, y por eje de las abscisas, su perpendicular a traves de C (Fig. 23).

98 Forma y dimonsiones de Ia TierraLongltud de un arco 99N (1 - e2)(1 - e2) sent A, cost A. - e2 cost+ 0362 A, -e2 sen2 cp cos2 A.N (1 - e2)(1 - e2) sent Az+ cos2e2 see 9 cost Azsen2 Az + cost 4,e2 sen2cp)e2)multiplicands, los dos terminos del "quebtaido por(1 - e2)Qm rs-cpm sere Az+ cos2 as(1 - e2 sen2cp ) a (1 --- e2) 44 -- e2) (1 - e2 sen2 9)%sent A.+ N cost AzN Qm (9)ow es la forma buscada.6.3 Longitud de un arco de meridianoSi Q. es el radio de curvatura del meridian, dcp la diferencia de latitudes, y S el desarrollo del arco, se tendri:

(1)S = Qv, dcpsi dcp esti expresado en segundos de arcoS Q, d9 sen 1"Para arco des gran amplitud, esto es, mayores de dos grados, habra que.integrar la. (1) entre los lignites cp1 y cp2:S

S=dcpq)2 a (1 - e2)cpi (1 - a2 sent cp)% Para hacer facilmente esta integraciOn, elevese el

denominador al numerador y desarr011ese por el binomio de Newton:(1 - e2) I:: (1e sen2 cp)-2h dcp 1.=_215) cpi t 12 e- sen cpe4 sen4-dcp integrando esta ecuacion entre los limites (p2 y cp, se llega a Ia formula S a (1 - e2) LA (cp. - 9,) - B (sen 292 - sen 2Tr)% C (sen 492 - sen 49,) +...](2)en la que los coeficientes tienen los siguientes valores:A = 1.0051093B 0.0051202C = 0.0000108Para la Moil aplicaciOn de las formulas anteriores, se ponen a continuacion los logaritmos de las principales constantes:log a = 6.8046986log b = 6.8032238log e = 7.8305026 - 10log (1 - e2) = 9.9970504 - 10log a (1 - e2) = 6.8017490log a 'V 1 - e2 = 6.8032193b2log = 6.8017490Ejemplo: Calculo de la longitud de 1" de meridiano a la latitud =20. Para aplicar Ia formula S = Pm dcp comenzaremos por calcular el radio de curvatura Qft, a la latitud de 20. La fOrmula respectiva es:

Pm =a (1 - e2)- e2 sent 9) %.

1. Calculo de Q.:log a = 6.8046986log (1 - e2) = 9.9970504-10 log numerador = 6.8017690 log denominador = 9.9994840 log Pm = 6.8022650log e2 = 7.8305026-10log sen2 cp = 9.0681034log e2 sen2 = 6.8986060-10e2 sent w = 0.00079181 - e2 sen2 p = 0.9992082 log (1 - e2sen29) = 9.9996560 log (1 - e2 sent 9) % = 9.99948402. Calculo de S:log Q, --= 6.8022650 log (dcp sen 1") = 4.6855749log S = 1.4878399S = 30.749 m

y2o. Ejemplo: Calcular la longitud de 1 de meridiano entre las latitudesde 20 y 21 grados.Aplicando la formula de la pig. 89 se tendri:ler. termino:2o. termino:

log a (1 - e2) = 6.80174906.8017490

log A = 0.0022133log 0.5 =9.6989700

log0.0174532.=8.2418751-10log B =7.7092869

5.0458374log sen 24:p2 =9.8255109

4.0355168

ler. termino111131.562o. termino:10852.18

3er. termino:6.80174904o. termino:

9.69897006.8017490

7.7092869log.0.25 =9.3979400

log sen 2p19.8080675log C =5.0334238

4.0180734log 0.00971 =7.9872192

9.2203320

3er. termino10424.944o. termino0.17

ler. tennino...111131.562o. termino- 10852.183er. termino10424.944o. termino+ 0.17 S = 110704.49 mIntegrando la ecuaciOn de la longitud de un arco de meridiano entre loslimites 2 - y 0, se llega a la siguiente expresiOn para la longitud del cua- drante:Q = (112t- (1 - 17ie2 -)* El logaritmo de (so, - cps) en radianes.Calculo:

log e2 = 7.8305026-10log 4 = 0.6020600 log e2 = 7.2284426 log 1/4 e2 =-- 0.0016922log e4 = 5.6610052log %4 = 8.6709413log %4 e = 4.3319465%4 e4 = 0.0000021= 9.9992636log a = 6.8046986log rt = 0.4971499 log 0.5 = 9.6989700 log Q = 7.0000821

101Q --= 10 001 890.4m CAPITULO 7Calculo de posiciones geodesicas7.0 GeneralidadesConocidas las coordenadas-geodesicas (latitud y longitud) de un vertice de la triangulaciOn asi como el azimut de uno de los lados que concurren a dicho vertice, se procede al calculo de coordenadas geodesicas de los 449nas vertices de la triangulaciOn, asi como los azimutes directo e inverso de oda uno de los lados. Las coordenadas del punto de partida deben estar vinculadas con el "punto dato" de Norte America, situado como es sabido,, ea . Meades Ranch, Kansas City, U.S.A.Este problema puede resolverse de dos maneras: por el empleo de las formulas de la trigonometria esferoidal, dada que se trata de elementos reducidos al esferoide, o bien, calcular sobre una esfera y corregir los resultados por las diferencias entre dicha superficie y el esferoide.Debido a que este segundo metodo emplea rthmeros pequellos, dado que calcula diferencias, los calculos son mas simples y pueden efectuarse con las tablas de logaritmos usnales de siete cifras, mientras que el primer metodo que contiene directamente magnitudes muy grander, requiere el empleo de logaritmos de diez cifras decimales.Por este motivo, el procedimiento de calculo que vamos a desarrollar, es el de Puissant, que resuelve el problema por el metodo de "diferencias", substituyendo el desarrollo diferencial por el algebraico, tal como lo expone el ingeniero Francisco Diaz Covarrubias en su magnifico Tratado de Geodesia.Sean: A B el lado geodesic de longitud, K; 0 el angulo que subtiende este lado en el centro de la Tierra, AP y BP los meridians sobre la esfera, que pasa.n por A y B. (13, la latitud de A, cr la latitud de B, a el Angulo que forma el lado AB con la meridiana (supleme.nto del azimut). AO y AR la normal mayor y el radio de curvatura que corresponde al punto A (Fig. 26). BO' y Br' la normal mayor y el radio de curvatura que corresponden al punto B.