trabajo de álgebra geometrica

UNIVERSIDAD NACIONAL SAN CRISTBAL DE HUAMANGA UNSCH ESCUELA : ADMINISTRACION DE EMPRESAS

ASIGNATURA : MATEMTICA I

SIGLA : MA-141

MATEMATICA

TRABAJO N1

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UNIVERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTBAL DE HUAMANGA

FACULTAD DE CIENCIAS ECONOMICAS ADMINISTRATIVAS Y

CONTABLES

ESCUELA DE FORMACIN PROFESIONAL DE ADMINISTRACION

TEMA

Algebra Geomtrica como Recurso Didctico En La Enseanza

ASIGNATURA: Matemtica I PROFESORA: Requelme Daro, Meza Salazar INTEGRANTES:

Nina Vega, Yeny Quispe Eulogio, Luis Miguel Velsquez Huamn, Linber aachuari Fernndez, Blanca Lisbet Palomino Bautista , Jorge Luis

FECHA:16/07/2015 SERIE:100 impar AULA:w-305

AYACUCHO PER 2015



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NDICE

1. INTRODUCCIN3 Motivo del trabajo.

Importancia

Aplicacin.

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA10 Cmo influye?...........................................................................................

Justificacin.. Cientfica Metodolgica.. Social

Objetivos General.. Especifica.

3. REVISIN LITERARIA.17 Antecedentes..

Internacional.. Nacional. Regional.

base terico.

4. BIBLIOGRAFA25 5. RESULTADOS.26



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INTRODUCCION

La enseanza del lgebra en el contexto escolar est acompaada de algunas dificultades que presentan los nios; stas pueden ser de tipo cognitivo, pues no todos los estudiantes que inician el curso de lgebra cuentan con slidos dominios en aritmtica y en este sentido surgen errores como consecuencia del uso abusivo de la generalizacin; son de tipo actitudinal, ya que muchos consideran que es difcil y que basta con operar aritmticamente unas letras; situacin que no permite ver en el lenguaje algebraico, un elemento dinamizador del lenguaje de las matemticas, ni el verdadero significado de la variable, de las expresiones equivalentes, y de las operaciones con expresiones equivalentes. Ms aun deja el lgebra en un escenario rido y descontextualizado. Como consecuencia, los estudiantes se limitan a memorizar conceptos sin comprender su significado ni establecer relaciones entre ellos. La introduccin al lgebra a travs de la geometra es una herramienta y a la vez una alternativa didctica que logra en un primer momento fortalecer el paso del lenguaje natural al lenguaje algebraico. Permite dar significado al concepto de variable, a las expresiones algebraicas y a las operaciones bsicas, para posteriormente introducir la nocin de factorizacin. Hago referencia a la nocin de factorizacin ya que la geometra nos es til para factorizar polinomios hasta de segundo grado, con ciertas restricciones en los conjuntos de nmeros, que mas adelante explicaremos. Sin embargo su uso puede llegar a potenciar el pensamiento variacional y los sistemas algebraicos. Lo que se expone a continuacin es una propuesta didctica dirigida a nios que oscilen en edades entre 12 y 14 aos segn el sistema educativo en nuestro pas, se encontraran cursando grado Octavo o Noveno de Educacin Bsica Secundaria. Se propone el uso del lgebra geomtrica como recurso para factorizar polinomios de segundo grado con races enteras y racionales. La enseanza del lgebra en el contexto escolar est acompaada de algunas dificultades que presentan los nios; stas pueden ser de tipo cognitivo, pues no todos los estudiantes que inician el curso de lgebra cuentan con slidos dominios en aritmtica y en este sentido surgen errores como consecuencia del uso abusivo de la generalizacin; son de tipo actitudinal, ya que muchos consideran que es difcil y que basta con operar aritmticamente unas letras; situacin que no permite ver en el lenguaje algebraico, un elemento dinamizador del lenguaje de las matemticas, ni el verdadero significado de la variable, de las expresiones equivalentes, y de las operaciones con expresiones equivalentes. Ms aun deja el lgebra en un escenario rido y descontextualizado. Como consecuencia, los estudiantes se limitan a memorizar conceptos sin comprender su significado ni establecer relaciones entre ellos.



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La introduccin al lgebra a travs de la geometra es una herramienta y a la vez una alternativa didctica que logra en un primer momento fortalecer el paso del lenguaje natural al lenguaje algebraico. Permite dar significado al concepto de variable, a las expresiones algebraicas y a las operaciones bsicas, para posteriormente introducir la nocin de factorizacin. Hago referencia a la nocin de factorizacin ya que la geometra nos es til para factorizar polinomios hasta de segundo grado, con ciertas restricciones en los conjuntos de nmeros, que mas adelante explicaremos. Sin embargo su uso puede llegar a potenciar el pensamiento variacional y los sistemas algebraicos. Lo que se expone a continuacin es una propuesta didctica dirigida a nios que oscilen en edades entre 12 y 14 aos segn el sistema educativo en nuestro pas, se encontraran cursando grado Octavo o Noveno de Educacin Bsica Secundaria. Se propone el uso del lgebra geomtrica como recurso para factorizar polinomios de segundo grado con races enteras y racionales.

Introduccin segn autores

La palabra lgebra con la que se designa una parte de las Matemticas, proviene del trmino aljaba que aparece en el ttulo de un texto del siglo IX, escrito por el matemtico rabe al-Khowarizmi. Los contenidos y mtodos de esta disciplina no han permanecido invariables a lo largo de los tiempos, sino que han estado sometidos a cambios diversos. As, en sus inicios, el lgebra era el arte de reducir y resolver ecuaciones. Actualmente, el lgebra moderna se centra en el estudio de estructuras (grupos, anillos, ...), pero su punto de arranque proviene de las investigaciones del genial Evariste Galois (1811-1832) sobre la resolucin de ecuaciones por radicales. En la historia del lgebra se suelen distinguir tres periodos bien diferenciados: (i) Periodo retrico, en el que todas las expresiones se escriban utilizando el lenguaje ordinario. (ii) Periodo sincopado, en el que se empezaban a utilizar smbolos y abreviaturas para representar la incgnita, sus potencias y los signos de las operaciones elementales. (iii) Periodo simblico, en el que se usaban smbolos especiales tanto para la incgnita y sus potencias como para las operaciones y relaciones. En la clasificacin anterior no se incluye un tipo especial de lgebra que se sirve o se ayuda de diagramas para obtener resultados interesantes (expresiones notables, resolucin de ecuaciones, ...). Esta lgebra geomtrica o lgebra diagramtica parece que se origin en la Escuela Pitagrica (all por el siglo VI a. C.) y fue dada a conocer por Euclides de Alejandra (ca. 300 a. C.) en el libro II de sus famosos Elementos.



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Euclides De Alejandra

En las lneas siguientes (haciendo un recorrido por distintas pocas y culturas, y centrndonos en la resolucin de ecuaciones) ofreceremos algunos ejemplos de este tipo especial de lgebra en el que se utiliza el razonamiento visual en lugar del analtico. Pitgoras Y El lgebra Geomtrica

Pitgoras naci en la isla griega de Samos alrededor del ao 570 a. C. Siendo joven, viaj por Egipto, India y Babilonia. Alcanzada la madurez, Pitgoras se instal en Samos gobernada por Polcrates. Debido a las divergencias entre las ideas polticas del tirano y las doctrinas religioso-filosficas de Pitgoras, ste abandon la isla que le vio nacer y viaj a Crotona, ciudad del sur de Italia, donde fund una escuela que, en poco tiempo, adquiri una fama considerable. Entre sus discpulos, los pitagricos, se encontraba Teano, hija de Miln, con la que se cas y tuvo tres hijos. Para Pitgoras el nmero era el material esencial de todas las cosas. Los nmeros pares eran femeninos y los impares, masculinos. El nmero 1, padre de todos los nmeros, escapaba de esta clasificacin. El nmero 5 simbolizaba el matrimonio, ya que era la suma del primer nmero femenino (2) y el primer nmero masculino (3). Para los pitagricos el crculo era la ms bella de todas las figuras planas y la esfera el ms hermoso de todos los slidos. El universo de Pitgoras era, por tanto, esfrico e infinito. En el centro estaba el fuego central que diriga la actividad y el movimiento. El vaco infinito ocupaba la parte exterior y permita respirar al universo. Alrededor del fuego central, describiendo rbitas circulares, giraban los cuerpos siguientes (en este orden): la contra-tierra, la Tierra, la Luna, el Sol, los cinco planetas (Mercurio, Venus, Marte, Jpiter y Saturno) y la esfera de las estrellas fijas. Entre los descubrimientos matemticos atribuidos a Pitgoras sobresale el famoso teorema geomtrico que lleva su nombre: El rea del cuadrado construido sobre la hipotenusa de cualquier tringulo rectngulo es igual a la suma de las reas de los cuadrados construidos sobre los catetos.



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_MOTIVO DEL PROBLEMA. El no uso de un contexto significativo en el que se dote de sentido a los objetos del algebra y a los procesos algebraicos, de tal manera dque le permita a los estudiantes iniciarse en el lgebra, posibilite apropiarse del lenguaje propio que representa los objetos de esta, hacer un uso adecuado de este, establecer y expresar las relaciones que se establecen entre los objetos del algebra, as como el realizar operaciones entre estos.

_IMPORTANCIA.

Es innegable que el mejoramiento de los ambientes de aprendizaje, depende en gran medida de la transformacin de las prcticas de enseanza asociadas, entre otros factores, a educadores con conocimiento de lo que ensean y de cmo se ensea. Esta propuesta pretende abordar estos dos aspectos haciendo en primer lugar un recorrido histrico y conceptual por la geometra analtica para destacar su importancia no slo en el mbito de las matemticas sino en el de la educacin matemtica. Y en segundo lugar enfatizando en el diseo de situaciones problema como una estrategia didctica que propicia niveles de conceptualizacin y simbolizacin de manera progresiva hacia la significacin matemtica.



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LGEBRA GEOMTRICA

LGEBRA GEOMTRICA

Teniendo en cuenta los trabajos de investigacin en didctica del lgebra, identificaremos lo que los investigadores consideran una competencia en lgebra elemental, segn el dominio de problemas algebraicos que abordaremos. Esta competencia algebraica supondr mucho ms que la simple manipulacin de smbolos; para poder definirla, estructuraremos el saber algebraico alrededor de dos dimensiones principales, naturalmente no independientes:

Al igual que muchas otras materias, en matemticas y ms concreto en geometra existe cierto inters de algunos colectivos por mejorar la enseanza, recuperando la importancia que hace tiempo se le daba a esta materia. Los resultados didcticos obtenidos no aparecen haber sido los esperados, se est produciendo un estancamiento que se hace evidente tanto en las concepciones que los alumnos se hacen de esta materia como en el dominio, cada vez ms grande que ejerce el campo de la aritmtica, no solo sobre la geometra, sino tambin sobre otras ramas de las matemticas a nivel elemental.



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_APLICACION.



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La aplicacion de las areas se convirtio para los griegros en una de las tecnicas mas importantes en geometria como util instrumento del lgebra Geomtrica para la resulucion de ecuaciones. En principio debio de ser ideado para sustituir almetodo de las proporciones, ya que el descubrimiento de las magnitudes inconmesurebles hizo practicamente inviable el uso de las mismas en el entrenamiento de los problemas geometricos, hasta la introduccion por Eudoxo de la teora general de las proporciones.



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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

_ COMO INFLUYE?

En el estudio del lgebra elemental en la educacin bsica secundaria se detecta el problema del paso del lenguaje natural al lenguaje simblico del lgebra; poco se potencia el uso de otros sistemas de representacin como el grfico, que permite visualizar ciertos procesos de resolucin de problemas que involucran ecuaciones de segundo grado y verificacin de sus soluciones. La experiencia desde el aula nos muestra que los estudiantes de octavo grado de la educacin bsica secundaria presentan dificultades en el aprendizaje de polinomios y, sobre todo, en su factorizacin. En la historia de la matemtica y en especial en el lgebra geomtrica encontramos un recurso didctico que permite visualizar la factorizacin de polinomios cuadrticos que tienen races enteras, para mejorar el proceso de enseanza aprendizaje en la resolucin de problemas que involucran ecuaciones de segundo grado. El conocimiento algebraico es esencial por su aporte a la comunicacin y expresin de la matemtica, a la construccin de modelos y a la estructuracin de formas de razonamiento, conocimiento que se inicia desde la aritmtica y que se fortalece con el aprendizaje del lgebra desde el grado octavo de la educacin bsica. A partir del lgebra geomtrica como recurso didctico y ambientacin a diferentes temas creemos se pueden mejorar estos procesos de enseanza aprendizaje. _JUSTIFICACION

Es innegable que las matemticas son una parte importante de la cultura y en este sentido uno de los objetivos de la educacin matemtica es contribuir a dar sentido al entorno globalizado sostenido tecnolgicamente en el que estamos indefectiblemente inmersos. Este es un aspecto que se destaca en los Estndares Bsicos de Competencias en Matemticas: Las matemticas son una actividad humana inserta en y condicionada por la cultura y por su historia, en la cual se utilizan distintos recursos lingsticos y expresivos para plantear y solucionar problemas tanto internos como externos a las matemticas mismas. En la bsqueda de soluciones y respuestas a estos problemas surgen progresivamente tcnicas, reglas y sus respectivas justificaciones, las cuales son socialmente decantadas y compartidas. La historia de las matemticas no puede aislarse de la historia de la humanidad,



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puesto que el desarrollo de la una ha avanzado paralelamente con el desarrollo de la otra. En la actualidad, la mayora de las ciencias incluso las humanas y sociales tienen cada vez ms carcter matemtico, pues muchos comportamientos sociales y econmicos se explican a travs de modelos matemticos. Este proceso de modelizacin es precisamente uno de los cinco procesos generales que se contemplan en los Lineamientos Curriculares de Matemticas. La modelacin puede entenderse como la deteccin de esquemas que se repiten en las situaciones cotidianas, cientficas y matemticas para reconstruirlas mentalmente. En el caso de la educacin matemtica para la bsica secundaria y media, la modelacin se refiere a la simplificacin y restriccin de la complejidad de una nueva situacin para reducirla a una situacin ya conocida, de tal manera que se pueda detectar fcilmente qu esquema se le puede aplicar, cmo se relaciona con otras y qu operaciones matemticas pueden ser pertinentes para responder a las preguntas que suscita dicha situacin. En los Lineamientos curriculares tambin se plantea que los sistemas geomtricos se construyen a travs de la exploracin activa y la modelacin del espacio, y que en estos sistemas geomtricos se hace nfasis en el desarrollo del pensamiento espacial que se refiere al conjunto de procesos cognitivos mediante los cuales se construyen, manipulan, relacionan y transforman las representaciones mentales de los objetos del espacio y sus diversas traducciones a representaciones materiales. La importancia de la enseanza de la geometra tambin ha sido reconocida por autores como Hernndez y Villalba (2001) quienes brindan una visin de la geometra, entre otras, como: La ciencia del espacio, vista sta como una herramienta para describir y medir figuras, como base para construir y estudiar modelos del mundo fsico y otros fenmenos del mundo real. El cambio notacional y la ALGEBRA GEOMETRICA, en ltima instancia dan paso a los conceptos de funcin, variables y constantes. Conceptos en torno a los cuales va a girar la matemtica desde el siglo XVII hasta los primeros aos de nuestro siglo. La ALGEBRA GEOMETRICA es innegablemente una herramienta fundamental de la matemtica y a la vez de la educacin matemtica, porque de un lado permite que las cuestiones geomtricas puedan formularse algebraicamente y que los objetivos geomtricos puedan alcanzarse por medio del lgebra, e inversamente, facilita la interpretacin geomtrica de los enunciados algebraicos, lo que propicia una percepcin ms intuitiva de su significado, con la posible apertura a la visin de nuevos problemas y conclusiones:



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La ALGEBRA GEOMETRICA es una poderosa herramienta del pensamiento matemtico que al unir la Geometra con la Aritmtica, a travs del lgebra, democratiza la Geometra y la Matemtica en general. La fuerza algebraica inexorable de la ALGEBRA GEOMETRICA la convierte en un instrumento que permite a cualquier persona normal, a todo escolar que tenga pequeos rudimentos de lgebra resolver problemas geomtricos.

La presente investigacin se justifica porque nos permiti:

deficiencias y dificultades en el rendimiento acadmico de algebra geomtrica de nuestros estudiantes; en base a lo cual elaborar nuevos mtodos o estrategias didcticas activos, centrados en el estudiante, as como el diseo de planes curriculares orientados a superar las anomalas existentes.

Enseanza de la matemtica de los docentes de la (Especialmente de las asignaturas: Matemtica, (algebra geomtrica)); en base a lo cual disear polticas de capacitacin docente pertinentes, principalmente sobre mtodos o estrategias de enseanza BRP en las ciencias.

UNSCH (especialmente de la Facultad de administracin de empresas y Facultades afines) un Programa de Estrategia de la Enseanza de la matemtica BRP, a fin de que sea implementada en forma planificada y oportuna, para promover de una manera diferente, amena y agradable la

algebra geomtrica y otras ciencias afines en los estudiantes.



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Primera Justificacin

Al-Khowarizmi procede de acuerdo con el siguiente plan:

1. Construye un cuadrado de lado x. 2. Sobre cada uno de los lados de dicho cuadrado describe un rectngulo de altura 5/2 (vase la figura adjunta). De este modo, la suma de las reas de los cuatro rectngulos es igual a 10x.

En consecuencia, el rea de la cruz determinada por los cinco cuadrilteros es igual a x2 + 10x (= 39).

3. Acto seguido, aadiendo un cuadrado de lado 5/2 a cada una de las esquinas de la cruz, al-Khowarizmi construye un cuadrado ABCD cuya rea es igual a 39 + 4(5/ 2)2 = 64.



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A partir de la ltima construccin, resulta claro que el lado del cuadrado ABCD es igual a 8. Entonces, teniendo en cuenta que:

AB = x + 2(5/2)= x + 5 = 8,

resulta que:

x = 3

Segunda justificacin

Al-Khowarizmi acta del modo siguiente:

1. Construye un cuadrado de lado x.

2. A partir de l construye un gnomon como el de la figura adjunta.

Resulta claro que el rea de dicho gnomon es x2 + 10x (= 39).



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3. Acto seguido, aadiendo al gnomon un cuadrado de lado 5 (vase la figura adjunta), construye un cuadrado ABCD de rea 39 + 25 = 64.

Con esto, resulta claro que el lado del cuadrado ABCD es 8. Por tanto:

AB = x + 5 = 8.

De donde:

x = 3

_CIENTIFICA

Posibilito: Poner en escena el objeto algebraico ecuacin. Los estudiantes se familiarizaron con el uso de expresiones algebraicas. Otorga significa a la expresin que modela relaciones de equivalencia entre las relaciones

mtrica presentes en las configuraciones geomtricas. Se realiza tratamiento algebraico a objeto geomtrico-mtrico. El uso de tres lenguajes (verbal, grfico simblico algebraico) para representar el objeto

ecuacin. Reconocer las magnitudes presente en una representacin geomtrica y explicitar este

reconocimiento por medio de expresiones, bien sea en su lenguaje natural o haciendo uso se expresiones simblicas.



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_METODOLOGICA

Para el desarrollo de esta investigacin se reconoce la necesidad de dos metodologas, la metodologa de investigacin propiamente dicha y la metodologa para la accin en el aula, al interior de sta se reconocen la metodologa de las situaciones didcticas propuesta por Brousseau. En cuanto a la Metodologa de investigacin se tienen en cuenta la construccin del problema de investigacin, una Construccin terica que involucre la elaboracin de la fundamentacin terica que se requiere para el desarrollo de la investigacin; un diseo de la accin que involucra, la consolidacin del diseo de situaciones problemas; una aplicacin y recoleccin de la informacin as como un anlisis de la Informacin y una elaboracin de conclusiones. En cunto la metodologa para la accin en el aula del profesor, se enmarca bajo el modelo de Investigacin en el aula; de acuerdo con los planteamientos de Kemmis, S. y MacTaggart, R. (1988); Elliot, J. (1993); Julia Blndez (1996), quienes plantean que sta es uno de los modelos de investigacin que ms ayuda a proporcionar herramientas para la formacin del sujeto profesor y gestin que ste desarrolla para la accin en el aula, adems se considera que es uno de los modelos que mejor e adapta al acto educativo; en el cual la planeacin, la accin, la observacin y la reflexin son cuatro aspectos a tener en cuenta durante el proceso de una manera cclica; es decir se proyecta una accin, se pone en prctica, se recogen los datos, se analiza la informacin, a la luz de los anlisis a la informacin se generan cambios que conducen a un nuevo ciclo que permite evaluar las acciones, reorientar el diseo, rectificar los supuestos y reelaborar un nuevo plan, el cual nuevamente se pone en march

_OBJETIVOS:

_GENERAL

Mostrar la incidencia de la algebra geomtrica en la enseanza de las matemticas en la

educacin superior Determinar y analizar si existen diferencias significativas en el Rendimiento acadmico del grupo de estudiantes que trabajan con la estrategia didctica de la enseanza de la matemtica algebra geomtrica BRP, con respecto al grupo de estudiantes al cual no se le

aplica dicha estrategia.



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_ESPECIFICO

Elaborar un recorrido por la algebra geomtrica mediante una resea histrica. Resaltar el planteamiento y solucin de situaciones en problemas como una

estrategia importante en los procesos de enseanza didctica y aprendizaje de las matemticas.

Presentar una situacin problema para la ense4anza de la funcin cuadrtica, su funcin y su ecuacin asociada.

a) Determinar y comparar el nivel y dificultades del rendimiento acadmico de matemtica algebra geomtrica de los estudiantes ingresantes a la EP de administracin de empresas en la UNSCH.

b) Identificar y explicar los factores de carcter pedaggico-didctico condicionantes del nivel de rendimiento acadmico de matemtica detectado en los estudiantes.

c) Comprobar si la enseanza de la matemtica BRP mejora el rendimiento acadmico de los estudiantes de la EP de Enfermera de la Facultad referida.

REVISION DE LA LITERATURA

1. ANTECEDENTES

INTERNACIONAL

NACIONAL



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REGIONAL

BASE TEORICA

En esta parte observaremos el sentido y significado otorgado por los estudiantes en la relacin

que presenta el lgebra en la geometra. Para ello se elabor el siguiente esquema.

La tira geomtrica

Armando cuadrilteros

Propuesta Didctica

Rompecabezas pitagrico

Descubriendo el mundo egipcio

Actividad final de evaluacin

Orfebrera exacta

Siguiendo el mundo egipcio



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CONJUNTO DE ACTIVIDADES:

La tira geomtrica: Establecer relaciones entre las partes y el todo a partir de un contexto

geomtrico y efectuar las respectivas representaciones a travs de expresiones.

Armando cuadrilteros: Establecer relaciones entre los tringulos que conforman diferentes

cuadrilteros e identifiquen que el rea del tringulo es un medio del cuadriltero que lo sustenta.

Rompecabezas pitagricos: Observar geomtricamente que la medida del rea del cuadrado

construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las medidas de las reas construidas sobre los

catetos y establezca una expresin que represente la respectiva relacin de equivalencia.

Descubriendo el mundo egipcio: encontrar relacin entre los procesos de factorizacin y los

productos notables de la forma (x+y)2, (x-y)2, y por medio del lenguaje geomtrico y algebraico

compruebe estas relaciones.

Siguiendo el mundo egipcio: Construir el desarrollo geomtrico de la expresin a2-b2

Orfebrera exacta: Establecer y comprobar, con argumentos geomtricos y simblicos la

reversibilidad entre procesos para desarrollar productos notables de la forma (x+y)3,(x-y)3 y a la

descomposicin de las expresiones que representa el cubo de binomio.

Actividad de evaluacin: Efectuar un proceso de evaluacin que permita reconocer el grado de

apropiacin frente al lenguaje algebraico, una vez terminado el proceso.

LA TIRA GEOMETRICA:

Podemos recibir dos tiras de diferentes longitudes; corta cada una de ellas en dos partes sin

importar el tamao de estas. Denomnalas de la siguiente manera:

La medida de la tira completa se nombra a.

Una de las partes de b y la otra c, respectivamente.

Resultados:

A=B+C

Reconoce relaciones parte todo y todo parte a travs de la representacin grfica que efecta

estudiante de 14 aos.

B C

A



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ARMANDO CUADRILTEROS:

Logra reconocer relaciones en trminos de rea estudiante de 14 aos.

El estudiante explica el rea de un tringulo con respecto al rea del paralelogramo explicando

que el rea del tringulo es la mitad del cuadriltero.

Adems de diferenciar del rea del paralelogramo con respecto a el rea del tringulo.

ROMPECABEZAS PITAGRICO:



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El estudiante establece las relaciones entre el cuadrado que se forma en la hipotenusa y los

cuadrados que se forma en la hipotenusa y los cuadrados que se forman en los catetos del

tringulo rectngulo, haciendo uso del lenguaje verbal escrito y el lenguaje grfico.

El estudiante establece las relaciones entre el cuadrado que se forma en la hipotenusa y los

cuadrados que se forman en los catetos del tringulo rectngulo, haciendo uso del lenguaje

escrito.

Paralelogramo es ms grande que un tringulo porque es el doble de un tringulo.

DESCUBRIENDO EL MUNDO EGIPCIO:

Los estudiantes identificaron las magnitudes dentro de su construccin y establecieron relaciones

entre ellas.

(X+2)(x+4)

X2+4x+2x+8

X2+6x+8

De acuerdo a estas premisas se pueden demostrar algunos resultados:

Para ello plantearemos un problema:

Rompecabezas Altura Base

1a 4+x 4+x =x2+8x+16

1b 3+x 4+x =x2+7x+12

1c 3+x 3+x =X2+6x+9

1d 2+x 2+x =x2+4x+4



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El estudiante identifico magnitudes a partir de lo observado y estableci relaciones entre ellas.

(x+3)(x+4) Y2+4x+3x+12

X2+7x+12

X+3 El estudiante a partir de la representacin grfica obtuvo una expresin algebraica.

SIGUIENDO EL MUNDO EGIPCIO:

Para establecer los totales de las extensiones de sus superficies ocupadas por cada granero, los

egipcios tambin establecan el rea de los terrenos como productos de las medidas de sus lados.

En los terrenos cuadrados o rectangulares que has armado con los rompecabezas, establece sus

reas y justifica el procedimiento.

ROMPECABEZAS REA

1a X2+8x+16

1b X2+7x+12

1c X2+6x+9

1d X2+4x+4

2a 9x2-12x+1

2b

2c

El estudiante hizo combinacin de dos lenguajes para expresar las relaciones observadas.

Base terica II

lgebra geomtrica:

El lgebra geomtrica es un trmino que se aplica a la teora de las lgebras de Clifford y teoras

relacionadas. Sus elementos se denominan multivectores y se caracterizan por el producto

geomtrico. La teora y propiedades de esta algebra se forman intuitiva y geomtricamente, lo

cual permite que sus aplicaciones en la fsica consigan un significado geomtrico. Un multivector

de grado r se denota por una letra mayscula y es equivalente a la suma, veamos:

Justificacin:

Sumamos las dimensiones de cada lado y

luego las multiplicamos para establecer el

rea de las figuras.



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Aqu el objeto (A) es la parte r-vector de A. Los trminos como escalar, vector bivector, trivector,

etc., son generalmente usados para referirse a un 0-vector, 1- vector, etc. En caso de dos vectores

de dimensin n, expresados con letras minsculas, el producto geomtrico se definir de esta

forma:

a.b es el producto interno y es un escalar. Mientras que a^b es conocido como el producto externo

y no es escalar ni vector es un bivector. El producto interno de dos vectores es entonces simtrico

y el producto externo es antisimtrico. Por lo cual:

Los nmeros reales se utilizan como escalares en un espacio vectorial V. Desde ya, un vector es

algo en V mismo. El producto externo (producto exterior) se define tal que se forme el lgebra

graduada (lgebra exterior de Hermann Grassmann) de n Vn de multivectores. El lgebra

geomtrica es el lgebra que se origina por el producto geomtrico (el cual es pensado como

fundamental) con (para todos los multivectores A, B, C)

Como caracterstica podemos nombrar a la asociatividad, la distributividad sobre la adicin de

multivectores: A(B + C) = A B + A C y {A + B)C = A C + B C y La contraccin para cualquier vector

(un elemento de grado uno) a, a es un escalar (nmero real)

Llamamos esta lgebra un lgebra geomtrica Gn.

Lo que caracteriza a esta formulacin es la correspondencia natural entre las entidades

geomtricas y los componentes del lgebra asociativa. La unin entre las lgebras de Clifford y las

formas cuadrticas tienen origen en la propiedad de contraccin. Esta pauta tambin da al espacio



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una mtrica delimita por el derivado producto interno. En el lgebra geomtrica no hay restriccin

ninguna en el valor del escalar, puede suceder que sea negativa, o que sea cero (en tal caso, la

posibilidad de un producto interno est eliminada si se pretende lo siguiente.

El producto escalar usual y el producto cruzado tradicional del lgebra vectorial

Descubre sus lugares en el lgebra geomtrica G3 como el producto interno que sera:

( es simtrico) y el producto externo es :

Con:

(Es anti simtrico). La distincin entre los vectores axiales y polares en el lgebra vectorial, es

natural en lgebra geomtrica como la sola distincin entre los vectores y los bivectores

(elementos de grado dos). El i aqu es la unidad pseudoscalar del 3-espacio euclidiano, lo que

constituye una dualidad entre los vectores y los bivectores, y se lo llama as a causa de la

propiedad prevista

i = -1.

Un ejemplo vlido es R3,1, y generar G3,1, un caso del lgebra geomtrica llamada lgebra del

espacio-tiempo por Hestenes. El tensor del campo electromagntico, en este contexto, se

convierte en simplemente un bivector E+ Ib donde la unidad imaginaria es el elemento de

volumen, dando un ejemplo de la reinterpretacin geomtrica de los trucos tradicionales.



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REFERENCIA BIBLIOGRAFICA

Gamboa, Ronny y Ballestero, Esteban. Algunas reflexiones sobre la didctica de lageometra.



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REULTADOS

POSIBILIT:

Poner en escena el objeto algebraico ecuacin.

Los estudiantes se familiarizaran con el uso de expresiones algebraicas.

Otorga significado a la expresin que modela relaciones de equivalencia entre las

relaciones mtrica presentes en las configuraciones geomtricas.

Se realiza tratamiento algebraico a objetos geomtricos- mtricos.

El uso de tres lenguajes (verbal, grfico y simblico algebraico) para representar el

objeto ecuacin.

Reconocer las magnitudes presentes en una representacin geomtrica y explicitar

este reconocimiento por medio de expresiones, bien sea en su lenguaje natural o

haciendo uso de expresiones simblicas.

Las configuraciones geomtricas presentadas en las actividades se convirtieron en motor para que los estudiantes establecieran relaciones de equivalencias entre las reas de las figuras geomtricas, esto se evidencia en las respuestas presentadas por ellos en el desarrollo de las guas y que presentan en el anlisis a los resultados. Aunque un propsito del desarrollo de este trabajo no era la operatividad con objetos algebraicos de todas maneras los estudiantes para establecer las relaciones de equivalencia operaron los trminos que intervienen en las expresiones. Esto se evidencia en los anlisis a las actividades: descubriendo el mundo egipcio y siguiendo el mundo egipcio. La actividad el rompecabezas pitagrico permiti a los estudiantes reconocer la relacin pitagrica como la adicin de reas entre dos cuadrados, y a su vez hacer uso de un lenguaje verbal, grfico y simblico. El conjunto de actividades que configuran la propuesta permiti a los estudiantes la apropiacin del lenguaje algebraico, que se hizo evidente en el encuentro con los trminos de una expresin algebraica y que posibilito el trnsito entre los distintos sistemas de representacin (grafico, simblico- algebraico y verbal).



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TRABAJO N1

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Resolucin de la ecuacin x2 = a b (con ab)

Aunque no exista evidencia documental sobre el particular, creemos que Pitgoras o sus discpulos pudieron resolver geomtricamente la ecuacin x2 = a b (con ab) utilizando una estrategia similar a la que se describe en los diagramas siguientes.

Advirtamos que para llevar a cabo dicha empresa slo es preciso conocer el teorema de Pitgoras y la proposicin establecida por Thales de Mileto en la que se asegura que todo ngulo inscrito en una semicircunferencia es recto.



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Dado que:

En virtud del teorema de Pitgoras resulta que:



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2.2. Resolucin geomtrica de la ecuacin x2 + ax = b [x(x + a) = b]

Desde el punto de vista geomtrico, la resolucin de la ecuacin cuadrtica x2 + ax = b (siendo a y b positivos) equivale a determinar las dimensiones x y x + ade un rectngulo de rea b.

Supongamos, pues, que el rea del rectngulo de la figura es b.

Entonces, el rea del gnomon (hexgono cncavo obtenido a partir del rectngulo anterior) de la figura siguiente tambin es b.

Por tanto:

Dicho en otras palabras: El segmento x + (a/2) es la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuyos catetos son y a/2.



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En consecuencia, el procedimiento para la resolucin geomtrica de la ecuacin (vase la figura adjunta) se reduce a:

Construir un tringulo rectngulo de catetos y a/2. Con esto, la hipotenusa de dicho tringulo es x + (a/2).

Quitar de la hipotenusa un segmento de longitud a/2. El segmento resultante es x.

2.3. Resolucin geomtrica de la ecuacin x2 = ax + b [x(x a) = b]

El clculo geomtrico de las races positivas de la ecuacin cuadrtica x2 = ax + b consiste en determinar las dimensiones x y x a de un rectngulo de rea b.

Admitamos que el rea del rectngulo de la figura siguiente es b.



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Entonces, el rea del gnomon del diagrama adjunto tambin es b.

En consecuencia:

Es decir: El segmento x (a/2) es la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuyos catetos son y a/2.

Con esto, el procedimiento geomtrico para resolver la ecuacin propuesta consta de las fases siguientes: Se construye un tringulo rectngulo de catetos y a/2. Se prolonga la hipotenusa una longitud igual a a/2. El segmento obtenido es x (vase la figura adjunta).



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2.4. Resolucin geomtrica de la ecuacin x2 + b = ax [(a x)x = b]

Resolver geomtricamente la ecuacin x2 + b = ax equivale a calcular las dimensiones x y a x de un rectngulo de rea b.

A la hora de dibujar un rectngulo de dichas dimensiones se pueden presentar dos situaciones diferentes:

(a) a x > x (b) a x < x

Consideraremos por separado cada una de ellas.

Primera situacin: a x > x

Sea b el rea del rectngulo del dibujo adjunto.

Entonces, el rea del gnomon de la figura siguiente tambin es b.



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Por tanto:

Dicho en otros trminos: El segmento a/2 es la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuyos catetos son y (a/2) x.

En consecuencia, la resolucin geomtrica de la ecuacin cuadrtica x2 + b = ax se reduce, en este caso, al procedimiento siguiente: Se construye un tringulo rectngulo cuya hipotenusa es a/2 y uno de cuyos catetos es

. Esto slo es posible si a/2 > [si a/2 = , entonces el tringulo se reduce a un segmento y x = a/2]. Si la construccin es posible, el otro cateto es (a/2) x. Se quita de la hipotenusa el cateto (a/2) x. El segmento resultante es x (vase el esquema adjunto).

Segunda situacin: a x < x

Sea b el rea del rectngulo de la figura.



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Entonces, el rea del gnomon de la figura siguiente tambin es b.

Por tanto:

Es decir: El segmento a/2 es la hipotenusa de un tringulo rectngulo cuyos catetos son y x (a/2).

Consecuentemente, la resolucin geomtrica de la ecuacin cuadrtica x2 + b = ax se reduce, en esta situacin, a:

Construir un tringulo rectngulo cuya hipotenusa sea a/2 y uno de cuyos catetos sea . Esto slo es posible si a/2 > [si a/2 = , el tringulo se reduce a un segmento y x = a/2].



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Si la construccin es posible, el otro cateto es x (a/2).

Prolongar la hipotenusa una longitud igual a x (a/2). El segmento obtenido es x (vase el diagrama adjunto).

trabajo de álgebra geometrica

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