manual de topografia i y ii
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¡EN REVISIÓN!
Manual de Topografía I y II
Autor: Samuel Saldaña Escobar
Revisó: Loreto Beltrán Jeria
Santiago, 24 de Agosto de 2009.
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Contenido
Prólogo ............................................................................................................................................ 5
1. Generalidades. .................................................................................................................... 6
1.1. Introducción ........................................................................................................................ 7
1.2. Topografía, Geodesia, Fotogrametría y Cartografía. .......................................................... 8
1.3. Aplicaciones de la topografía en proyectos ........................................................................ 9
1.4. Mapas y planos. ................................................................................................................... 10
1.5. Problemas ............................................................................................................................ 12
2. Instrumentos de uso en topografía. Tópicos elementales ................................................ 13
2.1 Instrumentos básicos .......................................................................................................... 14
Huincha de carpintero ............................................................................................................... 14
Huincha topográfica .................................................................................................................. 14
Huincha de invar. ...................................................................................................................... 15
Huinchas de acero ..................................................................................................................... 15
Niveleta ..................................................................................................................................... 16
Odómetro .................................................................................................................................. 16
Altímetros analógicos. ............................................................................................................... 16
Nivel de mano ........................................................................................................................... 17
Brújula Brunton. ........................................................................................................................ 17
Miras o Estadías ........................................................................................................................ 18
Trípode. ..................................................................................................................................... 18
Bastones o Jalones .................................................................................................................... 19
Prismas ...................................................................................................................................... 19
Libretas de campo. .................................................................................................................... 20
Planímetros digitales ................................................................................................................. 20
2.2 Instrumentos topográficos. ................................................................................................. 21
Nivel de Ingeniero ..................................................................................................................... 21
Taquímetro ................................................................................................................................ 23
Estación Total ............................................................................................................................ 27
Sistema Global de Navegación por Satélite (GNSS) .................................................................. 28
2.3 Verificación y corrección Nivel - Taquímetro. Tópicos avanzados. ..................................... 30
Elementos geométricos Nivel de Ingeniero .............................................................................. 31
Condiciones geométricas del nivel de ingeniero....................................................................... 31
Elementos geométricos del taquímetro ................................................................................... 34
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Condiciones geométricas del taquímetro. ................................................................................ 35
2.4 Problemas ............................................................................................................................ 39
2.5 Respuestas problemas ........................................................................................................ 40
3. Altimetría. Tópicos elementales........................................................................................ 41
3.1. Conceptos topográficos aplicados a la altimetría. .............................................................. 42
3.2. Nivelación. ........................................................................................................................... 44
3.2.1. Nivelación Geométrica ........................................................................................................ 44
3.3.1. Tipos de nivelación Geométricas ........................................................................................ 46
3.3.2. Nivelación Compuesta ......................................................................................................... 47
3.3.3. Nivelación Abierta ............................................................................................................... 48
3.3.4. Nivelación Cerrada .............................................................................................................. 48
3.3.5. Procedimiento de Terreno .................................................................................................. 49
3.3.6. Registros .............................................................................................................................. 50
3.3.7. Errores y Falta en una nivelación. ....................................................................................... 51
3.3.8. Compensación de cotas ...................................................................................................... 52
3.3.9. Replanteo altimétrico .......................................................................................................... 54
3.3.10. Clasificación de la nivelación geométrica. Tópicos avanzados. .......................................... 55
3.3.11. Nivelación geométrica por doble posición instrumental. ................................................... 57
3.3.12. Nivelación por Miras Dobles ............................................................................................... 59
3.3.13. Nivelación por Doble Visada ............................................................................................... 59
3.3.14. Nivelación subterránea ....................................................................................................... 60
3.3.15. Problemas............................................................................................................................ 62
3.3.16. Respuestas Problemas ........................................................................................................ 66
4. Perfiles. Tópicos Elementales ............................................................................................ 69
4.1. Perfil Longitudinal ............................................................................................................... 70
4.2. Nivelación de un Perfil Longitudinal ................................................................................... 70
4.3. Perfiles Transversales de Terreno y perfil tipo .................................................................... 71
4.4. Procedimiento para levantamiento de perfiles transversales ............................................ 73
4.5. Dibujo de perfiles Longitudinales y transversales. .............................................................. 74
4.6. Problemas ............................................................................................................................ 79
4.7. Respuestas problemas ........................................................................................................ 82
5. Cubicación. Tópicos Avanzados ......................................................................................... 84
5.1. Determinación de superficie .............................................................................................. 85
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5.2. Determinación de volumen ................................................................................................ 87
5.3. Otras situaciones de cubicación .......................................................................................... 91
5.4. Problemas ............................................................................................................................ 92
5.5. Respuestas problemas ........................................................................................................ 100
6. Teoría de errores aplicada a la topografía. Tópicos elementales. .................................. 102
6.1. Introducción. ....................................................................................................................... 103
6.2. Fuentes de errores. ............................................................................................................. 103
6.3. Clasificación de los errores .................................................................................................. 104
6.4. Precisión y exactitud ........................................................................................................... 105
6.5. El valor más probable. ......................................................................................................... 106
6.6. Elementos estadísticos ........................................................................................................ 106
6.7. Errores Probables. ............................................................................................................... 107
6.8. Propagación de Errores. Tópicos avanzados. ...................................................................... 110
La Ley general de propagación de errores .............................................................................. 110
Error en suma .......................................................................................................................... 110
Error en series ......................................................................................................................... 111
6.9. Ajuste redes de nivelación .................................................................................................. 112
6.10. Problemas............................................................................................................................ 114
6.11. Respuestas Problemas ........................................................................................................ 115
7. Planimetría. Tópicos elementales. .................................................................................. 116
7.1. Generalidades. .................................................................................................................... 116
7.1.1. Sistemas de medición angular............................................................................................. 116
7.1.2. Conceptos básicos. .............................................................................................................. 117
7.2. Taquimetría ......................................................................................................................... 119
7.2.1. Determinación de cota. ....................................................................................................... 119
7.2.2. Determinación de coordenadas .......................................................................................... 121
7.3. Levantamiento Topográfico. ............................................................................................... 123
7.4. Representación Planimétrica. ............................................................................................. 125
7.4.1. Curvas de Nivel. ................................................................................................................... 125
7.4.2. Interpolación de Curvas de Nivel ........................................................................................ 127
7.4.3. Simbología ........................................................................................................................... 130
7.4.4. Problemas ............................................................................................................................ 133
7.4.5. Respuestas Problemas ........................................................................................................ 134
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8. Poligonales. Tópicos Avanzados ...................................................................................... 135
8.1 Introducción ........................................................................................................................ 135
8.2 Traslado de Rumbo y Acimut .............................................................................................. 136
8.3 Medida de ángulos y direcciones de las poligonales .......................................................... 137
8.3.1 Trazo de poligonales por ángulos interiores ....................................................................... 137
8.3.2 Trazo de poligonales por ángulos a las derecha ................................................................. 138
8.3.3 Trazo de poligonales por acimut ......................................................................................... 138
8.4 Medición de longitudes poligonales ................................................................................... 139
8.5 Métodos de medición para ángulos de precisión. .............................................................. 139
8.5.1 Método de Reiteración. ...................................................................................................... 139
8.5.2 Método de Repetición ......................................................................................................... 142
8.6 Selección de estaciones de una poligonal ........................................................................... 144
8.7 Causas de error ................................................................................................................... 144
8.8 Equivocaciones .................................................................................................................... 144
9. Cálculo y Compensación de Poligonales ......................................................................... 145
9.1 Error de cierre ..................................................................................................................... 145
9.2 Cálculo de poligonales ......................................................................................................... 146
9.2.1 Compensación de los ángulos interiores ............................................................................ 147
9.2.2 Compensación lineal ........................................................................................................... 148
9.2.3 Ajuste de poligonales .......................................................................................................... 149
9.2.4 Regla de la brújula (o de Bowditch) .................................................................................... 149
9.2.5 Regla del tránsito ................................................................................................................ 151
9.2.6 Calculo de coordenadas ortogonales .................................................................................. 151
9.2.7 Diagrama resumen cálculo y compensación poligonales cerradas ..................................... 153
9.2.8 Uso de las poligonales abiertas ........................................................................................... 154
9.3 Especificaciones técnicas poligonales según M.O.P............................................................ 155
9.4 Replanteo Planimétrico. ...................................................................................................... 156
9.4.1 Cálculo de Distancia Horizontal y Acimut en base a coordenadas. .................................... 156
9.5 Problemas ............................................................................................................................ 158
9.6 Respuestas problemas ........................................................................................................ 166
10 Bibliografía ¡Error! Marcador no definido.
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Prólogo
El presente manual ha sido elaborado considerando los contenidos de las asignaturas de
topografía I y II que imparte INACAP para las distintas especialidades. Cada capítulo se ha divido
principalmente en tópicos elementales y avanzados. Los tópicos elementales son aplicables a la
mayoría de las especialidades, donde se encuentran los fundamentos para comprender y aplicar la
topografía. Los tópicos avanzados profundizan en el conocimiento y las técnicas aplicables a los
procesos de medición topográficos, permitiendo que, aquellos técnicos o profesionales que
requieran de aplicaciones más específicas puedan profundizar el tema.
Además, se ha incluido para cada capítulo ejercicios desarrollados que permiten explicar los
procesos de medición y cálculo, existe una sección con problemas propuestos los que deben ser
desarrollados por el alumno como forma de practicar el conocimiento adquirido en clases e
incluye las respuestas de aquellos ejercicios que requieran de cálculo.
Por ser esta la primera versión de este manual es posible que se detecten algunos errores, lo que
se remedirán con el tiempo, para ello es fundamental el apoyo de los alumnos y cuerpo docente
que imparte la asignatura de topografía I y II.
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1. Generalidades.
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1.1. Introducción
La primera manifestación de la topografía se ha registrado alrededor del año 1400 AC en
Egipto, los topógrafos tenían por finalidad parcelar la tierra para que los agricultores la cultivaran y
pagaran impuestos al rey. Con el pasar del tiempo la topografía ha evolucionado como muchas
otras áreas. El desarrollo de la óptica y la geometría, permitió crear los primeros instrumentos
ópticos-mecánicos, posteriormente con el avance tecnológico, se crearon instrumentos que
mejoraron la precisión y rapidez de la medición, permitiendo el desarrollo de más y mejores
trabajos.
En la actualidad, la topografía se encuentra en una etapa de cambios tecnológicos que están
afectando todas las áreas de la práctica topográfica de campo y de oficina. Entre los nuevos
instrumentos que han revolucionado las actividades de campo se incluyen los sistemas de
levantamiento por satélite, GPS, los teodolitos digitales electrónicos, las estaciones totales con sus
colectores de datos automáticos (algunos operados robóticamente), niveles digitales automáticos
que emplean técnicas de procesamiento de imágenes y dispositivos de alineación laser, entre
otros.
En el trabajo de oficina, los avances de la computación han afectado los procedimientos
usados en el proceso de la información. Nuevo equipo para el dibujo de mapas y el escaneo de
documentos ha sido perfeccionado, y han sido introducidos programas que ejecutan todo tipo de
cálculos topográficos, compilación de mapas y trazado automático de curvas de nivel.
Quizás el desarrollo reciente más significativo en topografía, han sido los sistemas de
información geográficos (SIG) y sistemas de información terrestre (LIS), consistentes en hardware
y software, que permiten al usuario almacenar, integran, manipular, analizar y desplegar
virtualmente, cualquier tipo de información terrestre o geográfica que permita el desarrollo de
proyectos o el análisis de información espacial. Asimismo, estos sistemas son usados a todos los
niveles de gobierno, en los negocios y en la industria privada, y están siendo ubicados en muchas
áreas diferentes como auxiliar de la planeación, diseño, dirección y toma de decisiones.
Las consecuencias de dicha evolución ha obligado a las instituciones de educación superior
que imparten carreras relacionadas con la topografía, instruyan a sus estudiantes enfocándolos en
los nuevos instrumentos y procedimientos. Por ello la finalidad del presente manual es apoyar al
estudiante entregando información acerca de los instrumentos de mayor uso, los procedimientos
de cálculo manuales y computacionales.
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1.2. Topografía, Geodesia, Fotogrametría y Cartografía.
Para representar la forma de la tierra existe una serie de técnicas y ciencias que actúan en
forma conjunta tales como la topografía, la geodesia, la fotogrametría y la Cartografía.
En el área de las mediciones de terreno se puede encontrar la topografía y la geodesia. La
Topografía es la técnica utilizada para la representación planimétrica y altimétrica del relieve
terrestre y submarino, además es utilizada para materializar (localizar) proyectos de obras civiles,
agrícolas, mineros y otros. Normalmente considera la tierra plana debido que las mediciones se
realizan en extensiones pequeñas de terreno.
La geodesia según Helmert (1880), es la “ciencia de las mediciones y representación
cartográfica de la superficie de la tierra”, es una ciencia porque se basa en la matemática, la física
y la computación para definir la forma de la tierra (elipsoide), por lo tanto, se diferencia de la
topografía porque cubre extensiones de terreno mayores y se encarga principalmente de
establecer sistemas de referencia para proyectos de gran envergadura.
La fotogrametría es una técnica cuyo objetivo es el conocimiento de las dimensiones y
posición de los objetos sobre la superficie terrestre a través de medidas realizadas sobre
fotografías aéreas. Su diferencia principal respecto de la topografía radica en el instrumental, la
técnica y la extensión de terreno cubierta, que generalmente es mayor. Su finalidad principal es
representar planimétricamente y altimétricamente la superficie del terreno.
La Cartografía se define como el “arte de hacer mapas o como la técnica de confeccionar y
representar sobre un plano todos los componentes del espacio terrestre, incluyendo las
actividades y desarrollos del hombre” (IGAC. Principios de Cartografía Temática, 1993). La tierra
por tener una forma elipsoidal, achatada en los polos y abultada en el ecuador, no es
directamente desarrollable al plano, para ello la cartografía se basa en las proyecciones
cartográficas para su representación en el plano.
Todas las áreas mencionadas anteriormente se mezclan con la finalidad de representar el
relieve y los elementos presentes sobre la superficie terrestre en mapas, con el objetivo de
planificar el uso de la tierra, explotar en forma óptima los recursos naturales y solucionar
problemas que tengan relación con la información territorial.
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Figura 1.1
1.3. Aplicaciones de la topografía en proyectos
Antes de comenzar con las aplicaciones es conveniente conocer en forma genérica dos
conceptos fundamentales: levantamiento y replanteo. El levantamiento se entiende como un
proceso topográfico cuya finalidad es recolectar datos con la finalidad de representar la
planimetría y altimetría del terreno en un plano, tal como se muestra en la Figura 1.1, donde el
levantamiento topográfico corresponde a los elementos dibujados sobre la imagen aérea.
El replanteo también es un proceso topográfico cuya finalidad es materializar un proyecto, es
decir, llevar la forma del proyecto y ubicarlo en el terreno. En la imagen de arriba, supongamos
que se hubiese proyectado un conjunto de casas sobre el plano topográfico, luego el replanteo
corresponde a ubicar las casas en terreno.
La topografía se puede aplicar en variados tipos de proyectos tales como construcción,
minería, agricultura y cualquier otro que requiera levantamientos y replanteo. Otras aplicaciones
de la topografía son; subdivisiones prediales, catastro, batimetrías (levantamiento del fondo
marino y/o lacustre), cálculo de movimiento de tierras y confección de planos de terreno.
En chile hay varias instituciones públicas que trabajan con topografía tales como
Municipalidades, Ministerio de Obras Públicas (MOP), Ministerio de Agricultura, Ministerio de
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Figura 1.2
Bienes Nacionales, Servicio de Vivienda y Urbanismo (SERVIU), Servicio Nacional Geología y
Minería (SERNAGEOMIN), Servicio Hidrográfico y Oceanográfico de la Armada de Chile (SHOA),
Instituto Geográfico Militar (IGM) y Centro de Información de Recursos Naturales (CIREN) por
mencionar algunos.
1.4. Mapas y planos.
Para representar la información de la superficie terrestre se utilizan mapas o planos, que se
diferencian principalmente por la extensión de terreno que cubren.
Se denomina mapa a toda representación plana de una parte de la superficie terrestre que
por su extensión y debido a la curvatura de la superficie del planeta, requerirá hacer uso de
sistemas de proyección propios de la cartografía, los que inducirán deformaciones; lineales,
angulares o superficiales según sea la finalidad del mapa.
En un mapa se distinguen los
siguientes elementos; la
proyección, el datum, la escala y
la simbología. En Chile se utiliza
normalmente la proyección
universal transversa de mercator,
la que divide la esfera en 60
zonas, correspondiendo a nuestro
país la 18 y 19. Existen
principalmente tres datums de
referencia que son el Psad56 y el
Sad69, en los que se encuentra
gran parte de la cartografía, sin
embargo producto de la
incorporación de los sistemas de
navegación satelital(GNSS), la
información cartográfica esta
migrando al datum WGS84.
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Figura 1.3
Figura 1.4
En general los mapas se pueden clasificar en dos tipos: Los físicos y los temáticos, los mapas
físicos representan en forma exacta y detallada la superficie terrestre, considerando como
principal información la forma del relieve y su altitud. Un ejemplo es un mapa topográfico es el
que se aprecia en la Figura 1.2.
Los mapas temáticos se utilizan para representar la distribución
espacial de un tema o fenómeno espacial. Un ejemplo es un mapa
político de chile ver Figura 1.3
Se denomina plano topográfico a la representación gráfica que
por la escasa extensión de superficie a que se refiere, no exige hacer
uso de los sistemas cartográficos(proyecciones), lo que permite que
sea ideal para el diseño de proyectos de ingeniería, debido que las
dimensiones son directamente transformables, por medio de la
escala, al terreno.
En general los
planos topográficos
deben contener una
simbología que
represente los
elementos del terreno,
un sistema de
coordenadas
(cuadrícula), viñeta y
plano de ubicación, tal como se muestra en la
Figura 1.4.
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1.5. Problemas
1.5.1 Explique brevemente cómo ha evolucionado la topografía.
1.5.2 ¿Qué es un SIG y un LIS? Y ¿Quién los utiliza?
1.5.3 Describa algunas aplicaciones de la topografía en:
a) Agricultura. b )Minería. c) Silvicultura.
1.5.4 ¿Cuál es la diferencia entre topografía y geodesia?
1.5.5 ¿Qué es la fotogrametría?, ¿Qué es la cartografía? Y ¿En qué se diferencian?
1.5.6 ¿Cuál es la diferencia entre un levantamiento y un replanteo?
1.5.7 ¿Qué organismos públicos de chile hacen uso de la topografía?
1.5.8 ¿Qué es una proyección cartográfica? y ¿Cuál es su utilidad?.
1.5.9 ¿Qué organizaciones proporcionan datos de mapas, referencias topográficas y geodésicas para proyectos de topográficos?
1.5.10 ¿Cuál es un ejemplo de un sistema de navegación satelital (GNSS)?
1.5.11 ¿Cuál es la diferencia entre un plano y un mapa?
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2. Instrumentos de uso en topografía. Tópicos elementales
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Hay una gama bastante variada de instrumentos que pueden ser utilizados en topografía: Por
ello es fundamental adquirir un conocimiento general de las ventajas que presentan unos con
respecto a otros. En el presente documento se analiza desde los instrumentos más tradicionales a
los más contemporáneos como los sistemas satelitales.
2.1 Instrumentos básicos
Huincha de carpintero
Material: Están constituidas por una caja plástica o de
aluminio y una huincha de acero.
Dimensiones: Son variables, la caja que protege la cinta
mide de 3 cm* 3 cm * 1 cm hasta 8 cm * 8 cm *2.5 cm. El
peso también varía desde los 50 gramos hasta los 350 gramos.
La cinta puede ser de distintas longitudes la más pequeña
miden 2 metros, las más grande son de 7 metros, el ancho de
la cinta va desde la 5 mm a los 20 mm.
Características: Utilizan dos tipo de unidades de medida; el metro, con precisión al milímetro,
y la pulgada.
Utilidad topográfica: Son utilizadas para medir la altura instrumental, hacer amarras de
vértices y en general para medir en terreno elementos de corta longitud. Es recomendable tenerla
siempre a la mano.
Huincha topográfica
Material: Están constituidas por soportes plástico y una
huincha que puede ser plástica o de tela.
Dimensiones: Hay de distintas longitudes las más pequeñas
miden 30 metros hasta las más grande que son de 100 metros. El
ancho de la cinta es de 20 mm.
Características: Utilizan dos sistemas de medida; el metro y la pulgada. Posee precisión al
centímetro pudiendo estimar los milímetros.
Utilidad topográfica: Son utilizadas para medir la distancia de separación entre perfiles
transversales, realizar levantamientos de baja precisión. No es recomendable utilizarla en
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construcción ni trabajos topográficos de precisión producto que el plástico se desforma al ser
sometido a una determinada tensión.
Huincha de invar.
Material: El invar es un metal que esta compuesto por una
aleación de níquel y acero, cuyo coeficiente de dilatación es 1/30
del acero.
Dimensiones: Hay de distintas longitudes las más pequeñas
miden 30 metros hasta las más grande que son de 50 metros.
Características: Utilizan dos sistemas de medida; el metro y la
pulgada. Posee precisión al milímetro.
Utilidad topográfica: Son utilizadas para medir distancias de precisión debido a su bajo
coeficiente de dilatación. No son utilizadas en la topografía tradicional por su elevado costo.
Huinchas de acero
Material: Están compuestas de un acero cuyo coeficiente de
dilatación por tensión y temperatura es conocido. Normalmente se
garantiza el uso de la huincha a una temperatura de 20º Celsius y a
una tensión de 5 Kilógramos.
Dimensiones: Hay de distintas longitudes las más pequeñas
miden 20 metros y las más grandes 50 metros.
Características: Utilizan dos sistemas de medida; el metro y la pulgada. Posee precisión al
centímetro.
Utilidad topográfica: Son utilizadas para medir bases de triangulación y distancias de precisión.
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Niveleta
Material: Constituida de material plástico o alumnio.
Dimensiones: peso 200 gramos, altura 8 a 10 centímetros.
Características: Contiene un nivel esférico.
Utilidad topográfica: Permite dejar a plomada la mira (en dirección
de la gravedad) cuando se realizan mediciones con el nivel o taquímetro.
Odómetro
Material: Están constituidos de material plástico y aluminio.
Dimensiones: peso desde 800 grs a 2,3 Kg, altura ajustable
de 65 cm a 1,25 metros.
Características: Diametro de la rueda 15,9 cm a 31, 85 cm.
Medición de distancias hasta 9999,9 m. Precisión de la lectura
desde el centímetro hasta los 10 cm.
Utilidad Topográfica: Se puede utilizar para realizar monografías realizar mediciones para
reconocimiento y cualquier aplicación que requiera medición de distancias con baja precisión.
Altímetros analógicos.
Material: Están constituidos de metales y plástico altamente
resistente, Traen una funda protectora.
Dimensiones: Tamaño:60x70x25mm. Peso: 193 grs
Características: Mide la presión atmosférica y, en
correspondencia con esta, la altitud sobre el nivel del mar
apoyándose en la ley física de que la presión disminuye según ganamos altura. Esto significa, que
los altímetros no son fiables en condiciones de tiempo inestable ya que la presión disminuye sin
que ganemos altura. Es imprescindible ajustar el altímetro siempre que conozcamos la altura
exacta a la que nos encontramos ya sea por medio de un mapa o por indicadores fiables.
Utilidad topográfica. Son utilizados en labores de reconocimiento.
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Nivel de mano
Material: Están constituidos de metales y plástico altamente
resistente.
Dimensiones: Posee una longitud de 7 pulgadas.
Características: Existe una variedad bastante amplia de
niveles de mano, algunos de forma circular otros incluso
cuadrados. El nivel de mano con estadía proporciona mediciones de precisión. El ocular de
enfoque se extiende para enfocar el hilo de la retícula y la burbuja; el lente objetivo se extiende
para enfocar el punto.
Utilidad topográfica: Son utilizados para determinar desniveles y pendientes en trabajos de
reconocimiento e inspección.
Brújula Brunton.
Material: Está constituida de metales y plástico altamente
resistente.
Dimensiones: Tamaño 70 x 70 x 27 mm, Peso: 193 gramos.
Características: Niveles de agua tubular y circular, clinómetro
pendular (para medir inclinaciones), alidadas articuladas, espejo
incorporado en la caja y bloqueo de la aguja al cerrar la tapa. Además es posible utilizar un
adaptador para su fijación a un trípode. El sistema de medición es el sexagesimal con graduación a
un 1º, permite medir ángulos con una precisión de ±0,5º.
Utilidad topográfica: Determinar acimut, rumbo, inclinaciones, declinación magnética e
inclusive se pueden realizar levantamientos de baja precisión.
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Miras o Estadías
Material: Pueden ser de madera, fibra de vidrio o aluminio.
Dimensiones: Extendidas miden de 4 metros hasta 5 metros.
Características: Poseen un nivel circular para su fácil aplomo. La
graduación tiene exactitud al
centímetro y se estiman los
milímetros. Existen algunas
que incluso poseen un código
de barra para determinar la
lectura con un nivel ingeniero,
especialmente diseñado para
este propósito.
Utilidad topográfica: Son
utilizadas para trabajos de
nivelación y taquimetría con la finalidad de determinar
desniveles y distancias horizontales.
Trípode.
Material: Pueden
ser de aluminio o
madera. Dimensiones:
Extendidos miden desde 1
metro hasta 1,75 metros
aproximadamente, ya que su
altura es regulable.
Características: Poseen en los extremos de las patas un refuerzo metálico que termina en
punta, a fin que pueda ser enterrado en el piso, permitiendo dar estabilidad. Cada pata es
regulable por medio de mariposas u otro tipo de sistema de seguridad. Además posee una base
metálica sobre la cual se ubica el instrumento topográfico.
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Utilidad topográfica. Son utilizados para soportar el instrumental topográfico (nivel,
taquímetro, teodolito, estación total y GPS). Permiten dar estabilidad y son regulables a una
determinada altura.
Bastones o Jalones
Material: Pueden ser de aluminio, fibra de vidrio o grafito.
Dimensiones: Extendidos miden 2.5 metros hasta 5 metros.
Características: Poseen un nivel circular para su fácil
aplomo y en el extremo superior, un tornillo con hilo estándar
permite fijar el prisma al bastón. La altura puede ser variable
utilizando para ello diversos sistemas de freno.
Utilidad topográfica: Son utilizados para transportar el
prisma y definir la ubicación de los puntos en un levantamiento
topográfico.
Prismas
Material: Están constituidos de espejos reflectantes y
una tubo protector de plástico.
Dimensiones: Tienen un diámetro de
Características: En su parte posterior poseen un
tornillo con hilo estándar que permite adosar el prisma al
porta prisma. Los espejos en su conjunto tienen una forma
hexagonal que permite dirigir la señal.
Utilidad topográfica. Son utilizados para reflejar la
señal láser emitida por el distanciómetro y determinar
distancias inclinadas.
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Libretas de campo.
Material: Están constituidos de una tapa que
puede ser de cartón o plástico. Aproximadamente
tienen 80 hojas destinadas a su uso.
Dimensiones: 20 cm * 15 cm aproximadamente.
Características: Existe una variedad bastante
amplia de libretas, algunas están destinada a la
nivelación, la taquimetría y medición de ángulos de
precisión. En general, tienen hojas especialmente diseñadas para realizar dibujos y diagramas.
Utilidad topográfica. Son utilizados para llevar un registro de los datos recolectados en
terreno e inclusive, muchas veces son requeridas por el mandante para respaldar los resultados
obtenidos de los trabajos realizados. Es recomendable disponer siempre de una libreta de campo.
Planímetros digitales
Material: Están constituidos de metales y plástico
altamente resistente.
Dimensiones: Extendidos sobre una mesa ocupan
una zona de 30 cm * 30 cm, aproximadamente.
Características: Permite tomar mediciones con
una precisión de ±0.2 por ciento. Alguna de las
operaciones que puede realizar son: acumular lecturas, promediar, inicializar, calcular áreas en
tamaño real e introducir escalas horizontal y vertical en forma independiente. Además tiene la
capacidad de cubrir en una sola medición 10 metros cuadrados.
Utilidad topográfica.: Son utilizados para determinar áreas sobre un mapa o plano e inclusive
puede determinar volúmenes. Sus aplicaciones son variadas, incluyendo trabajos de ingeniería civil
y de construcción, planeamiento de desarrollo de tierras, trabajos forestales y de agricultura.
¡EN REVISIÓN!
21
Figura 2.1
2.2 Instrumentos topográficos.
Nivel de Ingeniero
Material: Están compuesto de metales y/o plástico resistente. Normalmente las perillas son de
goma, plástico o metal. Poseen un juego de lentes de cristal para observar los objetos distantes en
forma adecuada ver Figura 2.1.
Dimensiones: 130x212x135mm (ancho, largo, alto), apertura del objetivo 36 mm, campo de
visual a 100 metros 1º20’, peso 1.8 Kg. El aumento del lente es variable según el grado de
precisión del instrumento, pudiendo variar desde 22X a 32X
Características: Existen niveles mecánicos, automáticos y/o digitales, su elección dependerá
del tipo de trabajo, la productividad y el costo. Los niveles digitales a diferencia de los otros,
utilizan miras con código de barra y permite almacenar los datos en una memoria interna para
posteriormente bajar la información por medio de un computador.
Partes del nivel: En general poseen tres tornillos nivelantes (1) y un nivel circular (3) el que
puede llevar incorporado un espejo (4) para su fácil instalación. Posee tornillos para el movimiento
fino del instrumento (2), tornillo de enfoque (6), miras de puntería (7) y un sistema de lentes (5)
¡EN REVISIÓN!
22
Figura 2.3
Figura 2.2
(11), que permiten una rápida localización y enfoque de la mira. Tiene incorporado un sistema de
hilos reticulares (8), Figura 2.2 y de tornillo enfoque para dichos hilos (10) que permiten realizar
las lecturas en la mira. Además incorpora elementos para su calibración tales como tornillos del
nivel esférico y regulación de los hilos reticulares (9). Inclusive se observa un limbo horizontal de
exactitud al grado sexagesimal.
Utilidad topográfica: Son
utilizados para determinar desniveles,
cotas y pendiente entre puntos de
interés. Es importante destacar que
este tipo de instrumental es de
precisión por lo cual el transporte y
manipulación debe ser cuidadosa, su
mantención debe ser períodica.
Proceso de instalación:
1. Coloque el instrumento sobre el trípode, seleccione un lugar que tenga amplia visual a los
puntos a medir, tratar que la base del trípode esté lo más nivelada posible. Debe tenerse
cuidado de extender las patas (trípode) hasta una altura conveniente para que el proceso de
medición se haga en forma cómoda y rápida.
2. Fije las patas firmemente al terreno y posicionar el nivel esférico paralelo a dos tornillos
nivelantes (moverlos en forma simultánea hacia dentro o hacia fuera) hasta centrar la burbuja,
luego girar la aliada
dejando en forma
perpendicular el nivel
esférico respecto de la
posición anterior,
nivelar con el tercer
tornillo hasta centrar
la burbuja. Ver Figura
2.3
3. Finalmente girar la aliada 200g respecto de la última posición y verificar que permanece
nivelado, en caso contrario debe corregirse el instrumento.
¡EN REVISIÓN!
23
Figura 2.4
Taquímetro
Material: Están compuesto de metales y/o plástico resistente. Normalmente las perillas son de
goma o plástico. Poseen un juego de lentes de cristal para observar los objetos distantes en forma
adecuada, ver Figura 2.4.
Dimensiones: 30cm * 10cm * 8cm, aproximadamente. El peso puede variar desde 1.2 Kg a 2.0
Kg.
Características: Los taquímetros se diferencian del nivel de ingeniero debido que poseen
movimiento vertical lo que permite medir ángulos cenitales. La precisión en la medición de
ángulos horizontales y cenitales va desde los 10cc a los 40cc, permitiendo ubicar puntos en forma
planimétrica y altimétrica. El aumento del lente es variable según el grado de precisión del
instrumento, pudiendo variar desde 26X a 30X. Existen taquímetros mecánicos y digitales, se
diferencian debido que estos últimos tienen una pantalla digital donde se muestra los ángulos, la
pendiente en porcentaje y permite cambiar la dirección de medición del ángulo horizontal, es
decir, se puede medir en sentido horario (derecha) o antihorario (izquierda), lo que es útil en
replanteo de curvas en vialidad. Además tiene la opción de fijar un ángulo horizontal, para ello se
busca el valor angular y se presiona la tecla HOLD, esto es particularmente útil para
levantamientos topográficos.
¡EN REVISIÓN!
24
Figura 2.5
Partes del taquímetro:
En la Figura 2.4 se identifican las siguientes partes y su utilidad.
(1) Tornillo para el freno del movimiento horizontal. Fija el telescopio en una
dirección definida.
(2) Tornillo tangencial o fino del movimiento horizontal. Permite apuntar en forma
precisa a la objeto en observación, tiene sólo movimiento horizontal.
(3) Almacén de baterías. El instrumento puede utilizar baterías o pilares recargables.
(4) Miras de puntería. Permite ubicar en forma rápida el objeto en observación.
(5) Telescopio. Contiene un set de lentes convergentes que permiten enfocar el
objeto en observación.
(6) Objetivo.
(7) Nivel tubular. Se utiliza para nivelar el instrumento en forma precisa.
(8) Nivel esférico. Permite nivelar el instrumento en forma aproximada
(9) Plomada óptica. Se utiliza para aplomar el instrumento sobre la estación
topográfica
(10) Asa de sujeción. Para coger el instrumento.
(11) Limbo Vertical. Se utiliza para medir el ángulo vertical, es un sistema que funciona
en forma electrónica. En la Figura 2.5, también se observa el limbo horizontal.
(12) Botón de encendido.
(13) Aliada. Corresponde a toda la coraza del instrumento.
(14) Tornillos nivelantes: Son tres tornillos que permiten nivelar el taquímetro.
¡EN REVISIÓN!
25
(15) Tornillo de enfoque: Se utiliza para enfocar el objeto en observación.
(16) Freno movimiento vertical. Permite frenar el movimiento vertical del telescopio
debido que gira sobre el eje horizontal.
(17) Ocular.
(18) Tornillo de enfoque hilos reticulares. Permite mejorar la nitidez de los hilos
reticulares.
(19) Tornillo tangencial o fino del movimiento vertical. Igual que (2), pero se utiliza
para el movimiento vertical.
(20) Pantalla digital: Muestra las mediciones de ángulos y pendiente e incorpora
funciones para fijar ángulos y cambiar la dirección de medición.
Utilidad topográfica: Son utilizados para levantamientos topográficos, determinar
desniveles, cotas y pendiente, trazar alineamiento (ejes) y replantear puntos. El
inconveniente de este instrumento es que no mide distancias en forma directa, sino
que en base al los hilos estadimétricos (reticulares), por lo tanto su aplicación se ha
reducido siendo sustituidos por las estaciones totales.
Proceso de instalación:
1. Coloque el instrumento sobre la estación topográfica tratando que la base del
trípode esté lo más nivelada posible, y la plomada sobre el punto de estación.
Debe tener cuidado de extender las patas del trípode hasta una altura
conveniente para que el proceso de medición se haga en forma cómoda y rápida.
2. Fije una de las patas del trípode firmemente al terreno y levantando las otras dos,
mientras observa la plomada, muévalos lentamente hasta que el retículo de la
plomada óptica coincida exactamente con el punto de estación.
3. Fije las patas firmemente al terreno y actuando sobre los tornillos de ajuste de las
patas extensibles del trípode, centre la burbuja del nivel esférico de la base del
taquímetro.
4. Utilizando los tornillos nivelantes de la base del taquímetro, nivelar la burbuja
tubular, para ello posicionar el nivel tubular paralelo a dos tornillos nivelantes
(moverlos en forma simultánea hacia dentro o hacia fuera), luego girar la aliada
¡EN REVISIÓN!
26
dejando en forma perpendicular el nivel tubular respecto de la posición anterior y
finalmente, nivelar con el tercer tornillo, ver Figura 2.6.
5. Compruebe que la plomada aun coincida con el punto de estación. De ser
necesario, afloje un poco el tornillo de sujeción del taquímetro y desplace
suavemente la base hasta volver a lograr la coincidencia. Ajuste nuevamente el
tornillo de sujeción.
6. Verificar la nivelación del nivel tubular, en caso de que se encuentre desnivelado
realizar el paso 4.
7. Finalmente girar la aliado 200g respecto de la última posición, para verificar la
nivelación del instrumento.
Figura 2.6
¡EN REVISIÓN!
27
Figura 2.7
Estación Total
Es muy similar a los taquímetros digitales, desde el punto de vista de los materiales que
constituyen el instrumento, dimensiones y proceso de instalación, las diferencias principales son:
Permite la medición de distancia en forma
precisa, en base al distanciómetro que lleva
incorporado y al prisma en el cual rebota la señal
electromagnética.
Tiene memoria interna o externa para almacenar
datos tales como ángulos, distancias, altura
instrumental, altura de jalón, descripción y
coordenadas.
Para obtener los datos de terreno, se debe
conectar a un computador personal y utilizar un
software que reconozca el protocolo de transmisión
de datos, normalmente viene incorporado con la
compra o arriendo del instrumento.
Los cálculos se pueden hacer directamente en
terreno, mientras se realizar el levantamiento o en su defecto se procesan en una computadora
una vez descargados.
Traen incorporados programas que permiten al topógrafo calcular desniveles, pendiente,
coordenadas, realizar replanteos, proyectar ejes e inclusive algunos modelo miden distancias por
rebote sobre cualquier superficie disminuyendo los riesgos en zonas peligrosas. Permitiendo una
mayor versatilidad y productividad durante el trabajo en terreno.
Dentro de las principales marcas de estaciones totales se encuentran: Topcon, Sokkia, Trimble,
Nikon y Pentax.
¡EN REVISIÓN!
28
Sistema Global de Navegación por Satélite (GNSS)
Un Sistema Global de Navegación por Satélite (GNSS, en su acrónimo inglés) es una
constelación de satélites que transmite rangos de señales utilizados para el posicionamiento y
localización en cualquier parte del globo terrestre, ya sea en tierra, mar o aire. Estos permiten
determinar las coordenadas geográficas y la altitud de un punto dado como resultado de la
recepción de señales provenientes de constelaciones de satélites artificiales de la Tierra para fines
de navegación, transporte, geodésicos, hidrográficos, agrícolas, y otras actividades afines.
Un sistema de navegación basado en satélites artificiales puede proporcionar a los usuarios
información sobre la posición y la hora (cuatro dimensiones) con una gran exactitud, en cualquier
parte del mundo, las 24 horas del día y en todas las condiciones climatológicas.
GNSS es un término general que comprende a todos los sistemas de navegación por satélites,
los que ya han sido implementados (GPS, GLONASS) y los que están en desarrollo (Galileo).
Actualmente, el Sistema de Posicionamiento Global (GPS) de los Estados Unidos de América y el
Sistema Orbital Mundial de Navegación por Satélite (GLONASS) de la Federación Rusa son los
únicos que forman parte del concepto GNSS. Galileo perteneciente a la unión Europea se
encuentra en desarrollo y probable entregará sus servicios a partir de 2011.
En el mercado existe una gran variedad de instrumentos destinados al posicionamiento
satelital, distinguiéndose principalmente dos tipos, los navegadores y los geodésicos.
Los navegadores son utilizados con fines de exploración, en actividades deportivas, rescate,
seguimientos de flotas, estudios científicos, etc. Permiten conocer la velocidad, coordenadas
geográficas o UTM, dirección y almacenar rutas. La precisión en el posicionamiento es de ±20
metros o menor dependiendo de la disponibilidad de satélites, ver Figura 2.8
Los geodésicos son utilizados en trabajos más profesionales tienen aplicación en la geodesia,
proyectos viales, mineros, agrícolas, estudios científicos tales como el monitoreo de placas
tectónicas, etc. Permite conocer coordenadas y velocidades con alta precisión llegando a nivel del
milímetro., ver Figura 2.9
¡EN REVISIÓN!
29
Navegadores
Figura 2.8
Geodésicos
Figura 2.9
¡EN REVISIÓN!
30
2.3 Verificación y corrección Nivel - Taquímetro. Tópicos avanzados.
¡EN REVISIÓN!
31
Figura 2.10
Esta sección tiene por finalidad mostrar el proceso de verificación y corrección del nivel de
ingeniero, taquímetro y estación total.
Elementos geométricos Nivel de Ingeniero
Son los ejes principales que permiten sustentar la aplicación práctica y teórica del
instrumento:
Línea de Fe del nivel esférico (LF): Es una línea que pasa tangente al punto medio superior del
nivel esférico cuando la burbuja está centrada. Genera una superficie horizontal
Eje Vertical de Rotación del anteojo (EVR): Es el eje en torno al cual gira el instrumento
apoyado en su montante, apunta en la dirección de la plomada o gravedad.
Eje Óptico o Eje de Colimación (EO): Es una línea imaginaria formada por el centro óptico del
instrumento y el cruce de los hilos reticulares.
Hilo Horizontal del Retículo (HHR): Corresponde al hilo medio del retículo
Condiciones geométricas del nivel de ingeniero
El nivel de ingeniero debe verificar las siguientes condiciones geométricas:
1. LF perpendicular al EVR
2. EO paralelo a la LF.
3. HHR perpendicular al EVR.
¡EN REVISIÓN!
32
Figura 2.11
Verificación y corrección.
1. LF perpendicular al EVR
Verificación:
Una vez Centrada la burbuja del nivel esférico con el tercer tornillo de nivelación, ver sección
proceso instalación nivel de ingeniero, rotar 200g el instrumento y verificar que la burbuja
permanece dentro de la tolerancia indicada en el nivel esférico.
Corrección:
En caso que la burbuja del nivel esférico sufra algún desplazamiento, el instrumento posee un
error de verticalidad, se eliminará la mitad del desplazamiento de la burbuja con el tercer tornillo
nivelante y la otra mitad del desplazamiento con los dos tornillos de corrección vertical que se
encuentran al lado del nivel esférico, soltando uno y apretando el otro. Terminada la corrección,
se verificará nuevamente la condición, hasta tener la certeza que el error de verticalidad se ha
eliminado.
2. EO paralelo a la LF.
Verificación:
Se utiliza el método de estaciones conjugadas, para ello en terreno se ubican dos puntos fíjos
A y B distanciados entre 40 a 60 metros.
Se instala el instrumento cerca de A, se realiza la altura del instrumento “Ha” y luego se lee
sobre la mira en B “Lb”
¡EN REVISIÓN!
33
Se traslada el instrumento a B, se realiza la altura “Hb” y luego se lee sobre la mira en A “La”.
Sea “e” el error en las lecturas por falta de paralelismo, entonces consideremos los valores
tomados en la instalación cerca de A:
Los valores en la instalación cerca de B:
al igualar las expresiones
Despejando “e”, queda;
Si “e” es cero se cumple que;
Por lo tanto el instrumento no tiene error.
Corrección:
En caso contrario y estando el instrumento en B, la lectura corregida en la mira A
corresponde:
Para su corrección, se actúa sobre los tornillos antagónicos verticales del retículo hasta hacer
llegar el hilo medio al valor de . Después se vuelve a revisar y se repite la operación de
corrección hasta que el error sea cero.
¡EN REVISIÓN!
34
Figura 2.12
3. HHR perpendicular al EVR.
Verificación:
Se dirige la visual con el anteojo hacia una pared u objeto claro (papel); con un lápiz se marca
en la pared un punto que deberá coincidir con un extremo del hilo medio del retículo, posición A
Figura 2.12. Con el tornillo tangencial se hace girar lentamente el instrumento alrededor de su eje
vertical de rotación, el punto deberá deslizarse a lo largo del hilo medio hasta llegar al extremo
opuesto si se cumple la condición.
Corrección:
En caso contrario habrá una separación, ver Figura 2.12, el
desplazamiento “a” es el doble del error de inclinación del hilo
medio, se corrige este error, accionando los 3 o 4 tornillos de
corrección del retículo para girarlo hasta su posición correcta.
Elementos geométricos del taquímetro
Línea de Fe del nivel tubular (LF): Es una línea imaginaria que pasa tangente al punto medio
superior del nivel tubular cuando la burbuja está centrada.
Eje Vertical de Rotación (EVR): Es el eje en torno al cual gira la aliada apoyado en su montante.
Eje Horizontal de Rotación del telescopio (EHR): Es el eje de giro del telescopio.
Eje Óptico o Eje de Colimación (EO): Es una línea imaginaria formada por el centro óptico del
telescopio del instrumento y el cruce de los hilos reticulares.
¡EN REVISIÓN!
35
Figura 2.13
Condiciones geométricas del taquímetro.
El taquímetro debe verificar las siguientes condiciones geométricas:
1. LF es perpendicular al EVR
2. El hilo vertical del retículo (HV) debe ser perpendicular EHR.
3. El EO debe ser perpendicular al EHR.
4. El EHR debe ser perpendicular el EVR
Verificación y corrección de las condiciones geométricas
1. LF es perpendicular al EVR
La línea de Fe es una línea imaginaria que pasa tangente al nivel tubular cuando el
instrumento se encuentra nivelado, esta debe ser perpendicular al eje vertical de rotación para
garantizar que los ángulos horizontales se miden en un plano horizontal y los ángulo verticales se
miden sin el error de índice (error por inclinación del eje vertical), ver Figura 2.13.
Verificación:
Una vez instalado el taquímetro y nivelado, se debe girar 200grados centesimales para
verificar que la burbuja del nivel tubular permanece centrada, en caso contrario el desplazamiento
corresponde al doble del error de inclinación del nivel tubular.
¡EN REVISIÓN!
36
Figura 2.14
Corrección:
Girar el tornillo del nivel tubular de tal forma que la burbuja se desplace la mitad del error
hacia el centro del nivel tubular.
La otra mitad del error se corrige con el tornillo nivelante que corresponda, de tal forma que
quede centrada la burbuja.
Finalmente se vuelve a verificar la condición y en caso que exista algún desplazamiento se
debe aplicar nuevamente el mismo procedimiento.
2. El HV debe ser perpendicular EHR
En caso de no cumplir la condición se producen errores en las mediciones de los hilos superior,
medio e inferior.
Verificación: Una vez nivelado el instrumento, ubicar un punto que se encuentre lo más
distante posible, con el tornillo tangencial del movimiento vertical recorren el punto con el hilo
vertical del retículo, en caso que el punto se aleje del hilo vertical se requerirá realizar una
corrección de los hilos reticulares.
Corrección: Debe aflojar dos tornillos consecutivos del retículo, ver Figura 2.15, y girar el anillo
del retículo dentro del tubo del anteojo hasta que logre recorre el punto con el hilo vertical.
¡EN REVISIÓN!
37
3. El EO debe ser perpendicular al EHR.
El eje de colimación se define como la visual que pasa por la intersección de los hilos
principales del retículo. Si esta línea no coincide con el eje óptico y no es perpendicular al eje
horizontal de rotación (EHR) se producirán errores en las observaciones.
El error de colimación horizontal del anteojo, queda sin efecto, cuando las direcciones son
observadas en las dos posiciones del anteojo (directa y tránsito).
Verificación:
En la primera posición del anteojo (directa) se visa un punto bien definido a más de 100
metros de distancia y que pueda ser enfocado con el anteojo aproximadamente horizontal, luego
transitar el instrumento y visar el mismo punto, restando 200 g al valor. Teniendo en cuenta la
precisión del instrumento la posible diferencia entre la medida en directa y la medida en tránsito
reducida, corresponde al doble del error horizontal del eje de colimación. El promedio de ambas
lecturas da por resultado la dirección correcta.
Corrección:
Ubicar en el anteojo los tornillos del retículo para moverlo horizontalmente, ver Figura
2.15, y aflojar. Posteriormente mover el retículo de tal manera de que al hacer las lecturas en
directa y tránsito, cumpla la condición, es decir que el valor de ángulo medido en tránsito menos
200g sea igual al ángulo horizontal en directa.
Ejemplo aplicado:
Los datos de terreno son: Lectura en directa 43.4467g y la Lectura en tránsito es
243,4457g.
Para calcular el error se realiza la siguiente operación:
g=5cc
Es decir debe buscar la lectura 243,4462, que corresponde al ángulo medido en tránsito
(243,4457g) más los 5 cc (segundos centesimales), correspondientes a la mitad del error .
¡EN REVISIÓN!
38
Figura 2.15
4. El EHR debe ser perpendicular el EVR
Si esta condición no se cumple ocurrirá un error de inclinación. Aunque en los instrumentos
modernos esta condición viene garantizada por el fabricante por un determinado número de años
de servicio del instrumento en condiciones normales de funcionamiento, es conveniente
identificar la ocurrencia del error de inclinación a fin de determinar la necesidad de corrección del
instrumento.
Verificación: La ocurrencia del error de inclinación se verifica una vez estacionado y nivelado el
taquímetro, colimando un punto “P” muy alto y anotando la lectura del ángulo horizontal
(posición directa). Luego se rota el anteojo alrededor de EHR (vuelta de campana) y se colima
nuevamente el punto P anotando la lectura L2 (Posición inversa).
Se debe verificar que L2 – L1 = 200g. De no cumplirse esta condición, el error de inclinación vendrá
dado por:
En caso de comprobarse la presencia de un error de inclinación apreciable, es conveniente
enviar el instrumento al servicio técnico para su corrección.
¡EN REVISIÓN!
39
2.4 Problemas
Tópicos Elementales
2.4.1. Enuncie tres instrumentos para medir distancia, indicando su aplicación y la precisión
posible de alcanzar.
2.4.2. Indique tres aplicaciones de los altímetros analógicos.
2.4.3. Indique las utilidades de la Brújula Brunton.
2.4.4. ¿Cuál es la funcionalidad del trípode?
2.4.5. ¿Cuál es la utilidad de los planímetros?
2.4.6. ¿Para qué se utiliza la mira y el baston con prismas?
2.4.7. Explique la diferencia entre el taquímetro y la estación total?
2.4.8. Indique tres ventajas de los taquímetros digitales respecto de los mecánicos?
2.4.9. Mencione 10 elementos del nivel de ingeniero y su funcionalidad.
2.4.10. Explique el proceso para instalar el nivel de ingeniero.
2.4.11. Mencione 10 elementos del taquímetro y su funcionalidad.
2.4.12. Explique el proceso para instalar el taquímetro.
2.4.13. Menciones tres componentes básicos de la estación total.
2.4.14. Menciones los tipos de cálculos que se puede realizar con una estación total
2.4.15. ¿Qué significa GNSS?
2.4.16. ¿Qué tipo de receptores existen? Y ¿Cuál es su aplicación?
Tópicos Avanzados
2.4.17. Indique los elementos geométricos del nivel de ingeniero y su funcionalidad.
2.4.18. Mencione las condiciones geométricas que debe cumplir el nivel de ingeniero y su forma
de verificación.
¡EN REVISIÓN!
40
2.4.19. Utilizando un nivel de ingeniero verifique sus condiciones geométricas.
Los siguientes datos corresponden a mediciones realizadas con un nivel de ingeniero, para
verificar que el eje óptico es paralelo a la línea de Fe. Determinar si el instrumento la cumple
y sino determine la lectura corregida.
2.4.20. Indique los elementos geométricos del taquímetro y su funcionalidad.
2.4.21. Mencione las condiciones geométricas que debe cumplir el taquímetro y su forma de
verificación.
2.4.22. Los siguientes datos corresponden a mediciones realizadas con un taquímetro para
verificar que el eje óptico es perpendicular al eje horizontal de rotación del telescopio.
Determinar si el instrumento la cumple y sino determine la lectura corregida.
Punto Angulo Horizontal
A 34,5764g Directa
234,5730g Transito
2.4.23. Utilizando un taquímetro verifique sus condiciones geométricas.
2.5 Respuestas problemas
2.4.20. No cumple la condición geométrica . El valor corregido de la lectura es 1,3565 m
2.4.23. No cumple la condición geométrica, el error es de 17cc y el ángulo a medir es
234,5747g
Punto Lectura atrás Lectura adelante
A 1,256 (Ha)
B 1,661 (Hb) 1,557 (Lb)
A 1,353 (La)
¡EN REVISIÓN!
41
3. Altimetría. Tópicos elementales.
¡EN REVISIÓN!
42
3.1. Conceptos topográficos aplicados a la altimetría.
Tal como se mencionó en capítulos anteriores, la topografía se divide en la planimetría y
altimetría. La Altimetría tiene por finalidad determinar la distancia vertical de un punto respecto a
una superficie de referencia, que puede ser arbitraria o absoluta (nivel medio del mar).
Para profundizar el tema es necesario definir inicialmente una serie de conceptos básicos.
Línea vertical, línea que sigue la dirección de la gravedad, indicada por el hilo de una plomada.
Superficie de nivel, es una superficie curva y equipotencial de gravedad (igual potencial de
gravedad), en que la dirección plomada del instrumento topográfico es perpendicular a ella. Ver
Figura 3.1
En mediciones de corta distancia, las superficies de nivel son consideradas planas, debido que
los efectos por curvatura son pequeños alrededor de 0,7 milímetro por cada 100 metros, lo que no
tiene un mayor efecto para la mayoría de las aplicaciones práctica. Por lo tanto para la nivelación
geométrica la tierra se considera plana.
Plano de referencia (PR), superficie horizontal imaginaria localizada bajo la superficie terrestre,
respecto de la cual se determina la cota de un punto.
Nivel medio del Mar (NMM), es una superficie de referencia para las altitudes topográficas y
corresponde a la media de las observaciones de las mareas registradas por un largo período de
tiempo (19 años). Esto se realiza en los principales puertos del país. También se puede obtener un
nivel medio del mar mediante observaciones hechas durante 28 días (ciclo lunar), pero ya no sería
absoluto; no obstante, existen tablas de marea, donde se extrapola y calculan las alturas de
Figura 3.1
¡EN REVISIÓN!
43
Figura 3.2
Δh Di.
Plano de referencia(PR)
C
Dh
Terreno
mareas para los 365 días del año, y cuya finalidad es ligarse al N.M.M en cualquier instante de
tiempo. El instrumento utilizado para las mediciones es un mareógrafo.
Altura, elevación ó Cota (C): Es la distancia vertical desde un punto localizado en la superficie
terrestre con respecto al plano de referencia. Esta puede ser absoluta cuando es referida al
N.M.M. o arbitraria, al asignarle un valor.
Desnivel (Δh): Es la distancia vertical que hay de un punto con respecto a otro. Puede ser positivo
o negativo.
Punto de referencia (Pr): Es un
punto localizado y materializado
en la superficie terrestre, cuyos
valores de cota y/o coordenadas
son conocidos.
Distancia inclinada (Di):
Corresponde a la longitud directa
medida entre dos puntos.
Distancia horizontal (Dh):
Corresponde a la distancia medida o calculada entre dos puntos paralela respecto al plano de
referencia, ver Figura 3.2.
Pendiente (P): Es una relación que representa la inclinación entre dos puntos, se calcula dividiendo
el desnivel respecto a la distancia horizontal que separa los dos puntos. Es decir, .
Normalmente es representada en porcentaje por ello se multiplica por cien.
Ejercicio 3.1
Calcular la pendiente expresada en porcentaje y la distancia inclinada desde el punto A al punto B,
si la cota de A es igual a 520 m. , la cota de B es igual a 600 m. y la distancia horizontal es de 170
m.
Desarrollo
=187,88 m
¡EN REVISIÓN!
44
Figura 3.3
3.2. Nivelación.
Él termino nivelación posee dos significados distintos, uno se refiere al proceso de tomar
diferencia de niveles entre dos o más puntos específicos. El otro significado es dejar a nivel el
terreno, es decir, rellenar o excavar.
El desnivel y la cota de un punto se pueden obtener utilizando diferentes métodos, tales
como; la nivelación geométrica, la nivelación trigonométrica y la nivelación barométrica, la
diferencia entre estos tipos de nivelación radica en el instrumental utilizado y la metodología de
medición. En este capítulo se tratará la nivelación geométrica dejando el resto de las nivelaciones
para capítulos posteriores.
3.2.1. Nivelación Geométrica
Conocida también como nivelación diferencial, consiste en un procedimiento topográfico que
utilizando el nivel de ingeniero y la mira, permite trasladar cotas y desniveles entre puntos.
Tal como se aprecia en la Figura 3.3; CPr, la cota del punto Pr, que es conocida.
LAT , LAD , corresponden a la lectura atrás y adelante respectivamente, y medidas con el
nivel de ingeniero.
CB, cota del punto B, corresponde a la cota del punto desconocido.
Para calcular la cota del punto B, se cumple geométricamente que:
El valor obtenido al sumar CPr , LAT(Pr) , se conoce como cota instrumental y corresponde a la
cota del eje óptico del instrumento.
¡EN REVISIÓN!
45
Figura 3.4
La cota desconocida (CB) es calculada por la siguiente expresión:
De esta forma el punto B tiene cota calculada y puede ser utilizada para trasladar la cota a otros
puntos.
En una nivelación se pueden distinguir tres tipos de puntos; punto de referencia, punto de
cambio y punto intermedio.
El punto de referencia, es aquel de cota conocida o asignada, que puede ser de partida y/o
llegada en una nivelación, se identifica con la sigla Pr. El punto de cambio es aquel de cota
desconocida cuya finalidad es permitir el traslado de la cota dentro un circuito de nivelación, tal se
aprecia en la siguiente Figura 3.4, los puntos de cambio son B, C y E. El punto intermedio también
es de cota desconocida, sin embargo su finalidad es dar cotas a puntos de interés tales como las
estacas del eje de un camino, una canal de regadío, etc. En la figura se distinguen los puntos A y D,
como puntos intermedios, nótese que el instrumento no cambia de posición al realizar la lectura, a
diferencia del punto de cambio donde se realiza una lectura adelante y otra atrás.
Ejercicio 3.2
En terreno se recolectaron los siguientes datos: Cota del punto Pr= 502,20 metros, lectura
atrás en Pr 2,20 metros, la lectura adelante en B 1,50 metros y la distancia horizontal entre los
puntos es de 70 metros, ver Figura 3.3. Calcular la cota del punto B, el desnivel y pendiente del Pr
al punto B.
¡EN REVISIÓN!
46
Figura 3.5
Desarrollo
La cota de B.
Aplicando la ecuación vista anteriormente
Calcular el desnivel de Pr a B.
El desnivel se puede calcular en base a la resta de las cotas o las lecturas en la mira.
Utilizando las lecturas de terreno:
Calcular la pendiente de Pr a B
3.3.1. Tipos de nivelación Geométricas
Básicamente existen dos tipos de nivelación la simple y la compuesta:
La nivelación simple es aquella que
considera solamente un posición instrumental
desde la que se visualiza a todos los puntos que se
quiere dar cota, puntos 1, 2, 3 y 4, tal como se
aprecia en la Figura 3.5. Normalmente es aplicable
a trabajos de pequeñas dimensiones.
¡EN REVISIÓN!
47
Figura 3.6
La nivelación
compuesta es aquella que
requiere de dos o más
posiciones
instrumentales,
normalmente aplicable a
trabajos de mayor
extensión de terreno,
tales como ejes viales,
canales de regadío, etc. En
la Figura 3.6, el punto de
cambio es el número 4, A
y B, corresponden al instrumento topográfico, 1, 2, 3, 5, 6 y 7 son puntos radiados.
3.3.2. Nivelación Compuesta
La Nivelación Compuesta puede ser ejecutada de varias maneras, las cuales son:
Nivelación Abierta.
Nivelación Cerrada.
Nivelación por Doble Posición Instrumental.
Nivelación por Miras Dobles.
Nivelación por Doble Visada.
¡EN REVISIÓN!
48
3.3.3. Nivelación Abierta
Básicamente parte de un punto con cota conocida (punto PR) y luego seguir un itinerario
topográfico, llega a un punto de cota desconocida (punto F), tal como se aprecia en la Figura 3.7 .
La desventaja de este procedimiento es que no posee comprobación.
Las cotas de los puntos de cambios son (B, C, E, F) y son calculadas de la siguiente manera:
Las cotas de los puntos intermedio (A y D), dependen de la posición instrumental uno y tres
respectivamente. Las ecuaciones son:
3.3.4. Nivelación Cerrada
Principalmente, parte desde un punto de cota conocida o asignada y luego de seguir el
itinerario topográfico llega al mismo punto. La forma de comprobación es calcular la diferencia
entre la sumatoria de las lecturas atrás menos la sumatoria de las lecturas adelante, la que se
debe encontrar dentro de la tolerancia asignada a la nivelación.
Figura 3.7
¡EN REVISIÓN!
49
También es cerrada la nivelación cuando el circuito topográfico llega a otro punto de cota
conocida, en este caso el error de cierre queda comprobado al restar la cota calculada con la cota
fíja (Conocida) en base a los datos de la nivelación.
3.3.5. Procedimiento de Terreno
Para realizar la nivelación se requiere tener conocida la cota del punto de partida, es decir,
del PR o en su defecto se debe asignar un valor arbitrario. Se instala el nivel de ingeniero a una
distancia de 60 metros y se realiza la lectura atrás al Pr , ver Figura 3.7, luego se realizan las
lecturas intermedias (punto A) y finalmente la lectura adelante (punto B), ahora se traslada el nivel
a otra posición instrumental, avanzando dentro del circuito de nivelación, pero esta vez la lectura
atrás se realiza al punto B, de esta forma se repite el proceso hasta cerrar la nivelación en el
mismo Pr de partida o en otro conocido. Para la anotación de los datos utilizar un registro por cota
instrumental o desnivel, según se explica en la sección siguiente.
Algunos alcances a tener en cuenta son:
El Pr debe perdurar en el tiempo, por lo tanto es recomendable hacerlo de hormigón con un
fierro en el centro para ubicar la mira.
Verificar el instrumento antes de comenzar las mediciones.
El instrumental empleado debe cumplir con las especificaciones técnicas del trabajo.
Los puntos de cambio deben ser elegidos de tal forma, que la mira pueda girar libremente
sobre el punto y no sufra variaciones altimétricas.
Utilizar niveletas o bascular la mira para asegurar la verticalidad al momento de la lectura.
¡EN REVISIÓN!
50
3.3.6. Registros
Dependiendo de las características de la nivelación, se recomiendan los siguientes
registros:
Registro por Diferencia.
Punto Lecturas Desnivel Cotas Observación y Croquis
Atrás Adelante + -
Pr 1,400 100,000
B 1,850 1,600 0,200 99,800
C 1,700 0,150 99,950
El registro por diferencia de nivel es utilizado para nivelaciones de precisión, donde lo
fundamental es el traslado de cota para definir puntos de referencia (Pr) que servirán de apoyo al
proyecto o estudio.
Las diferencias de nivel se calculan al restar la lectura atrás, con la lectura adelante del
punto siguiente, según sea el signo del desnivel se anota en la columna de los positivos o
negativos. Para el cálculo de cota se debe sumar o restar el desnivel a la cota conocida:
Por ejemplo según los datos del registro, el DesnivelPr-B=1,400–1,600=–0,200, luego la cota
del punto B es 100-0,200=99,800 metros
¡EN REVISIÓN!
51
Registro por Cota Instrumental.
Punto Lectura Cota
Instrumental
Cota del
Punto
Observación y
Croquis Atrás Intermedia Adelante
Pr 1,500 101,500 100,00
A 1,550 101,500 99,950
B 1,650 1,700 100,950 99,300
C 1,900 99,050
El registro por cota instrumental es el más utilizado, inclusive en el comercio se puede
encontrar este tipo de libreta, la cota instrumental se calcula sumando la lectura atrás del punto
con su cota, para calcular la cota un punto (B), se debe restar a la cota instrumental la lectura
adelante del punto (B,), es decir, cota instrumental=100,00 + 1,500 = 101,500 metros, la cota de B
= 101,500–1,700=99,300.
·En el punto intermedio la cota instrumental se conserva restando la lectura intermedia
del punto para calcular la cota desconocida (A), es decir, cota de A= 101,500 –1,550=99,950
metros.
3.3.7. Errores y Falta en una nivelación.
Los errores dentro de la nivelación son de tipo accidental, el signo es aleatorio y su magnitud
es muy pequeña, pueden ser producidos por:
Puntos de cambios mal ubicados.
Descorrección del instrumento durante el proceso de medición.
Hundimiento del trípode o de los puntos medidos.
Falta de exactitud en las lecturas producto del paralaje y/o refracción atmosférica.
Falta de verticalidad en la mira al momento de la lectura.
Las faltas son errores groseros, su signo y magnitud se pueden determinar, normalmente son
grande y pueden ser producidos por:
Malas anotaciones en el registro.
Lecturas mal realizadas.
¡EN REVISIÓN!
52
Errores de cálculo.
Instrumental descalibrado, en este caso es difícil identificar la magnitud y signo.
Mira inclinada.
3.3.8. Compensación de cotas
La compensación es un proceso matemático, que tiene por finalidad distribuir el error de
cierre dentro del circuito de nivelación. Existen dos métodos para realizar la compensación: Por
distancia y Por posiciones instrumentales.
Para la compensación por distancias, se necesita medir la distancia entre los puntos medidos y
calcular las distancias acumuladas. La compensación queda dada por:
Donde:
e: Es el error de la nivelación, calculado con la sumatoria de las lecturas atrás menos la
sumatoria de la lecturas adelante o restando a la cota calculada con la cota fíja.
D: Es la distancia acumulada al punto en metros.
DT: Es la distancia total del circuito en metros.
La cota compensada del punto se calcula sumando la compensación.
Para la compensación por posiciones instrumentales, es importante que la distancia entre
los puntos de cambio sea lo más parecida posible. La compensación queda dada por la siguiente
expresión:
Donde
e: Es el error de la nivelación, calculada con la sumatoria de las lecturas atrás menos la
sumatoria de la lecturas adelante o restando a la cota calculada con la cota fija.
NP: Es el número de la posición instrumental, 1, 2 3, 4 , … etc según corresponda.
NT: Es el total de posiciones instrumentales dentro del circuito de nivelación.
La cota compensada del punto se calcula sumando la compensación.
¡EN REVISIÓN!
53
Figura 3.8
Ejercicio 3.3
En terreno se realizó una nivelación geométrica cerrada en el mismo punto, obteniéndose los
valores que aparecen en la Figura 3.8. Se pide calcular y compensar la nivelación, considerando
que la cota del Pr es 524,650 metros
Desarrollo
Anotar las lecturas atrás y adelante en el registro por cota instrumental.
Calcular el error de la nivelación restando la sumatoria de las lecturas atrás menos
adelante.
Calcular las cotas instrumentales y del punto (comprobar el error de cierre de la
nivelación.)
Calcular la compensación de las cotas distribuyendo el error en base a la distancia
acumulada del punto.
Realizar la compensación por posiciones instrumentales.
¡EN REVISIÓN!
54
pto
lecturas distancia parcial
distancia acumulada
cota inst
cotas calculadas
comp.
cotas corregidas atrás adelante
PR 1,408 526,058 524,650 524,650
1 1,812 1,348 80 80 526,522 524,710 -0,002 524,708
2 1,406 1,356 80 160 526,572 525,166 -0,004 525,162
3 1,497 1,505 65 225 526,564 525,067 -0,006 525,061
4 1,607 1,671 70 295 526,500 524,893 -0,008 524,885
5 1,915 1,741 85 380 526,674 524,759 -0,010 524,749
6 1,512 1,810 65 445 526,376 524,864 -0,012 524,852
PR 1,713 55 500 524,663 -0,013 524,650
Sumas 11,157 11,144 500 0,013
Error cierre= 0,013 m T= 14,14 mm
3.3.9. Replanteo altimétrico
El replanteo altimétrico se define como el proceso topográfico que tiene por finalidad
materializar o llevar la información altimétrica de un determinado proyecto al terreno. Para
realizar el replanteo se utiliza la ecuación de donde se despeja la lectura del
punto (p), es decir;
CPr es la cota del Pr, LPr es la lectura al Pr, CP es la cota del proyecto.
Al realizar el replanteo el ayudante debe ubicar una estaca y sobre la misma la mira, el topógrafo
debe leer en la mira y comparar la lectura con la calculada, debiéndole indicar al ayudante si debe
bajar o subir la estaca. Es te proceso se hace en forma iterativa hasta dar la cota calculada a la
estaca.
¡EN REVISIÓN!
55
Ejercicio 3.4
Replantear altimétricamente la cota 501,200 correspondiente a un punto dentro del
proyecto, se sabe que la cota del Pr es 500,000 y la lectura al Pr fue de 1,750. Calcular lectura de
replanteo.
Desarrollo
Según la ecuación vista anteriormente:
Es decir la lectura al punto debe ser 0,550 metros.
Supongamos que el ayudante puso una estaca y sobre la ella la mira, la lectura fue de 0,480
metros. ¿Qué debe hacer el topógrafo?.
El topógrafo le debe indicar que golpee la estaca bajando 0,07 metros (0,55-0,48), es decir,
siete centímetros. De esta forma se repite el proceso iterativamente hasta dejar la estaca a la cota
definida por proyecto.
3.3.10. Clasificación de la nivelación geométrica. Tópicos
avanzados.
Para dar validez a la nivelación geométrica, debe ser clasificada según las especificaciones
técnicas del proyecto, las que recomendarán el instrumental a utilizar, según los objetivos del
trabajo topográfico, las exigencias para las mediciones, los procedimientos que se deben aplicar y
las tolerancias1 permisibles.
En el caso de nuestro para clasificar los trabajos de terreno, se utilizarán las
especificaciones técnicas del manual de carreteras volúmen II, del ministerio de Obras Públicas.
En general los trabajos de nivelación se clasifican en tres clases; la nivelación corriente, la
nivelación precisa y la nivelación de alta precisión, en la tabla Tabla 3.1 se muestra un resumen
con las especificaciones.
1 Tolerancia grado de error permisible dentro de un proyecto de medición.
¡EN REVISIÓN!
56
Corriente Precisión Alta Precisión
Objetivo La nivelación geométrica corriente será el procedimiento apropiado para transportar el sistema altimétrico de referencia hacia los vértices de las poligonales auxiliares, utilizados en levantamientos de escala 1:500 y mayores. También podrá ser utilizada para el levantamiento de perfiles longitudinales y transversales aplicados a proyectos viales.
La nivelación geométrica de precisión será el procedimiento apropiado para transportar el sistema altimétrico de referencia a lo largo de todo el estudio de un proyecto vial, cualquiera sea su extensión, siempre que la escala del plano sea mayor o igual que 1:2.000. En ella se apoyarán los trabajos de replanteo tanto en su etapa de estudios como en la etapa de construcción.
Se usa para controles de gran exactitud, aplicaciones
geológicas, estructural o de otra índole, donde sea necesario
determinar con certeza desniveles al milímetro y,
eventualmente, apreciar fracciones de milímetros.
Instrumental Son recomendables los niveles del tipo Dumphy, Reversibles o Automáticos, con anteojos de 20 o 25 aumentos. Las miras podrán ser de madera o de otro material
apropiado, su graduación directa deberá ser al
centímetro y llevar un nivel esférico para su nivelación.
Son recomendables los niveles del tipo Dumphy, Reversibles o Automáticos, Aumento lente 24X o superior. Las miras podrán ser de invar, de madera o de otro material
apropiado debe llevar incorporado un nivel esférico cuya
burbuja permita ajustar su verticalidad.
Son recomendables los niveles del tipo Dumphy, Reversibles o Automáticos, debe incorporar un micrómetro óptico de placa de planos paralelos que permita, a lo menos, leer directamente al milímetro y estimar las décimas de milímetro. Aumento lente 32X. Las miras deberán ser de precisión (de invar) y de una sola pieza.
Exigencias Los puntos de cambio pueden ser puntos firmes y estables del terreno, o bien elementos auxiliares, como estacas metálicas, de madera con clavija metálica, o placas de apoyo metálicas. La nivelación debe efectuarse por el método de nivelación doble o cerrada. Las longitudes de las visuales, tanto a la mira de atrás como a la de adelante, no deben exceder de los 70 m, procurando que sean iguales.
Los puntos de cambio deben permitir un apoyo estable, se pueden usar estacas de fierro, placas metálicas u objetos que se encuentren sobre el terreno, cuya estabilidad y solidez sea confiable. La nivelación debe efectuarse por el método de nivelación doble o cerrada. Las distancias, tanto a la mira de atrás como a la de adelante, no deben exceder de 50 m, procurándose que sean iguales.
En los puntos de cambio deberán utilizarse estacas metálicas o placas de apoyo. Las lecturas sobre la mira se efectuarán empleando el micrómetro óptico. Si el retículo tiene forma de cruz, el promedio de las tres observaciones dará el valor final. Las lecturas deben ser superior a 0,5 m. Si la nivelación se ejecuta con más de una mira, se cuidará de efectuar sobre cada mira igual número de lecturas atrás que de lecturas adelante. Las distancias entre nivel y mira no deberán exceder de 20 m. y se procurará que sean iguales.
Tolerancia (mm)
L: longitud del circuito expresado en kilómetros.
(mm)
L: longitud del circuito expresado en kilómetros.
(mm)
L: Longitud del circuito en hectómetro.
Fuente: Manual de carreteras volumen II. Ministerio de Obras Públicas.
¡EN REVISIÓN!
57
3.3.11. Nivelación geométrica por doble posición instrumental.
El procedimiento es similar a la nivelación cerrada, sin embargo se utiliza un registro por
diferencia de nivel y en terreno se realizan dos lecturas a cada punto en distinta posición
instrumental. La oportunidad de aplicación de este tipo de nivelación es en terrenos complicados
como mucha vegetación; es el caso de canales de regadío, proyectos de camino, etc.
El procedimiento en terreno:
Instalar el nivel de ingeniero, realizar la lectura atrás al Pr y adelante al punto A, anotar en
el registro, luego se cambia la posición instrumental moviendo el instrumento un metro, se nivela
y se vuelve a leer a la mira pero primero al punto A como lectura atrás y al Pr como lectura
adelante, anotar en el registro y avanzar en la nivelación repitiendo el proceso hasta llegar al
último punto.
El error en la diferencia de nivel no debe superar los 2 milímetros por cada par de puntos
medidos.
¡EN REVISIÓN!
58
Ejercicio 3.5
En terreno se recolectaron los siguientes datos de un circuito de nivelación por doble
posición instrumental. Calcular las cotas de los puntos 1, 2, 3 y 4.
Pto Lectura Desnivel Desnivel final
cotas
Atrás Adelante Positivo Negativo
Pr 1,253 2325,601
1 1,509 1,530
Pr 1,231
1 2,552
2 1,102 1,204
1 2,451
2 2,263
3 1,302 1,356
2 2,210
3 1,293
4 1,372 2,112
3 0,555
Desarrollo
Para realizar el cálculo, restar la lectura atrás menos la lectura adelante y anotar el
desnivel en la columna que corresponda.
Al sumar los desniveles con su signo se obtiene el error de la medición.
Para calcular el desnivel final se suman los desniveles en valor absoluto y se conserva el
signo del desnivel calculado en la primera posición instrumental. Para el primer par de
puntos el desnivel es negativo y el promedio es 0,278.
Para calcular la cota se suma el desnivel final (-0,278) a la cota conocida (2325,601),
obteniéndose 2325,323.
Para calcular el punto 2 debe utilizar como punto conocido el punto 1 y repetir el mismo
proceso explicado anteriormente. Ver los resultados
¡EN REVISIÓN!
59
Pto Lectura Desnivel Desnivel final
cotas
atrás Adelante positivo negativo
Pr 1,253 2325,601
1 1,509 1,530 -0,277
Pr 1,231 +0,278 -0,278 2325,323
1 2,552
2 1,102 1,204 +1,348
1 2,451 -1,349 +1,349 2326,672
2 2,263
3 1,302 1,356 +0,907
2 2,210 -0,908 +0,907 2327,579
3 1,293
4 1,372 2,112 -0,819
3 0,555 +0,817 -0,818 2326,761
3.3.12. Nivelación por Miras Dobles
Esta es una nivelación en la cual se usa una mira con doble graduación. Se practican
lecturas en dos posiciones en la mira L1 y L2. La comprobación consiste en que la suma de ambas
lecturas, debe dar la longitud de la mira; de no ser así, se repite la nivelación.
3.3.13. Nivelación por Doble Visada
Para este tipo de nivelación, se requiere utilizar un nivel de anteojo reversible, ya que se
puede comprobar cada lectura y al mismo tiempo eliminar los errores instrumentales, haciendo
dos lecturas en la mira y utilizando las dos líneas de fe de la ampolleta reversible.
Si el instrumento no está corregido, al centrar la burbuja utilizando una línea de fe, se
tendrá un error de lectura correspondiente a un ángulo ( + ); al girar el anteojo y utilizar el otro
lado de la ampolleta, se obtendrá después de centrar la burbuja, un error correspondiente al
ángulo (- - ). Luego el promedio de ambas lecturas queda exento de error.
¡EN REVISIÓN!
60
3.3.14. Nivelación subterránea
La nivelación subterránea es utilizada en minería y construcción de túneles, para realizarla
se requiere de otros instrumentos adicionales tales como plomadas, huinchas y soportes que
permitan trasladar la nivelación por el techo . En nuestro caso no profundizaremos el tema más
allá del proceso de cálculo de la nivelación.
Se asume conocida la cota del punto A, luego las ecuaciones para calcular las cotas de los
puntos B, C, D, E, F, G y H, son:
, , ,
,
Nótese que se asigna convenientemente el signo negativo o positivo a la lectura atrás,
intermedia o adelante.
¡EN REVISIÓN!
61
Figura 3.9
Ejercicio 3.6
Calcular la nivelación subterránea haciendo uso de un registro por cota instrumental. La
Cota de A es 500,00 metros.
Desarrollo
Aplicando las ecuaciones anteriores y usando un registro por cota instrumental se tiene que:
punto Lecturas Cotas instrumental
Cota del punto Atrás intermedia adelante
A 1,703 501,703 500
B 1,750 501,703 503,453
C 1,687 501,703 500,016
D 0,901 1,957 502,759 503,66
E 1,589 502,759 501,170
F 1,101 502,759 503,860
G 1,502 502,759 501,257
H 5,753 1,653 498,659 504,412
I 1,753 498,659 500,412
J 1,878 498,659 500,537
K 1,624 498,659 497,035
L 1,725 500,384
¡EN REVISIÓN!
62
3.3.15. Problemas.
Tópicos Elementales
3.3.15.1. Defina los conceptos de Superficie de nivel, plano de referencia, Nivel medio del mar,
Cota, plano de referencia y pendiente.
3.3.15.2. ¿Cuál es la finalidad de la nivelación?
3.3.15.3. ¿Qué condiciones instrumentales se deben cumplir en terreno para aplicar la
ecuación ?
3.3.15.4. Defina los conceptos puntos de referencia, punto de cambio y punto intermedio.
3.3.15.5. ¿Cuál es la diferencia entre una nivelación simple y compuesta?
3.3.15.6. ¿Cuál es la ventaja de la nivelación cerrada en relación a la nivelación abierta?
3.3.15.7. ¿Cómo puede comprobar una nivelación geométrica cerrada?
3.3.15.8. Explique brevemente el procedimiento de terreno para realizar una nivelación
geométrica.
3.3.15.9. Mencione y explique 3 cuidados que debe tener al realizar una nivelación geométrica.
3.3.15.10. Dado el siguiente registro de una nivelación geométrica por cota instrumental,
realizada para un proyecto vial. Calcular y compensar las cotas de los puntos
considerando que la cota del Pr es 702,331 metros.
Punto Lecturas Dist. Acum.
Cota Inst.
Cota Comp. Cota compensada Atrás Intermedia adelante
PR 1,408 0 702,331
1 1,381 50
2 1,406 1,348 130
4 1,497 1,505 195
5 1,607 1,671 265
6 1,915 300
7 1,512 1,205 365
Pr 1,713 420
¡EN REVISIÓN!
63
3.3.15.11. Utilizando un registro por cota instrumental. Calcule y compense la siguiente
nivelación cerrada, la cota Pr1 = 502,265 y cota Pr2 = 502,105.
3.3.15.12. ¿Qué es el replanteo?. Menciones tres ejemplos de su aplicación.
3.3.15.13. Replantear altimétricamente la cota 498,350 correspondiente a un punto dentro del
proyecto, se sabe que la cota del Pr es 499,000 y la lectura al Pr fue de 1,750. Calcular
lectura de replanteo.
3.3.15.14. Dado el siguiente registro, Calcular la lectura de replanteo para las estacas del E1 al
E10 y determinar la pendiente del canal de regadio. Si se encuentran cada 20 metros.
Punto Lectura Cota
Atrás Intermedia Adelante
Pr1 1,525 525,300
E1 525,400
E2 525,300
E3 525,200
E4 525,100
E5 525,000
P.C1 1,625 1,890
E6 524,900
E7 524,800
E8 524,700
E9 524,600
E10 524,500
¡EN REVISIÓN!
64
Tópicos avanzados.
3.3.15.15. Indique el objetivo para una nivelación corriente, una de precisión y de alta precisión.
3.3.15.16. ¿Qué instrumental se debe utilizar en una nivelación de alta precisión?
3.3.15.17. Indique tres diferencia entre la nivelación de alta precisión y de precisión.
3.3.15.18. ¿Cuándo se debe utilizar una nivelación corriente?.
3.3.15.19. ¿Cuándo se debe utilizar una nivelación por doble precisión instrumental?
3.3.15.20. ¿Qué cuidado especiales se debe tener en una nivelación por doble posición
instrumental?.
3.3.15.21. ¿Cual es la diferencia entre una nivelación por miras dobles y otra por doble visada?
3.3.15.22. Dado los siguientes datos de una nivelación por doble posición instrumental. Calcular
las cotas de los puntos, sabiendo que la cota del Pr es 535,200 metros.
Punto Lecturas Desniveles Desnivel Cotas finales Atrás Adelante + -
PR 1,252 535,200
1 2,005 1,926
PR 1,333
1 1,353
2 1,569 0,963
1 1,961
2 2,356
3 1,245 1,545
2 2,056
3 1,567
4 1,652 1,725
3 1,496
¡EN REVISIÓN!
65
3.3.15.23. Para un proyecto minero se ha realizado una nivelación geométrica subterránea
cerrada del eje de una galería, se utilizó un nivel de ingeniero marca Topcon AT-G7,
obteniéndose los valores que se grafican en la imagen siguiente. La distancia entre los
puntos de cambio es de 60 metros, la cota del Pr1 es 522,20 metros y la cota de Pr2
es 523,678 metros. Según la especificación técnica la tolerancia de cierre es
kT *20 , donde K está expresado en kilómetros y la tolerancia en milímetros. Se
pide comprobar si la nivelación cumple con las especificaciones técnicas del proyecto,
además debe calcular las cotas de los punto.
¡EN REVISIÓN!
66
3.3.16. Respuestas Problemas
5.3.15.10. Nivelación subterránea.
Punto Lecturas dist. Ac
cota Inst cota Comp Cota compensada atrás Int. adelant
e
PR 1,408 0 703,739 702,331 0,000 702,331
1 1,381 50 703,739 702,358 0,001 702,359
2 1,406 1,348 130 703,797 702,391 0,004 702,395
4 1,497 1,505 195 703,789 702,292 0,006 702,298
5 1,607 1,671 265 703,725 702,118 0,008 702,126
6 1,915 300 703,725 701,81 0,009 701,819
7 1,512 1,205 365 704,032 702,52 0,010 702,530
Pr 1,713 420 702,319 0,012 702,331
Sumas 7,43 7,442 E= -0,012
E= -0,012
5.3.15.11. Nivelación
Punto
Lecturas cota Instr
Cota Punto
Dist. parcial
Dist. Acum.
comp
cota comp. Atrás Inte Adelante
Pr 2,400 504,665 502,265 0 0 0,000 502,265
1 1,250 1,600 504,315 503,065 160 160 0,003 503,068
2 0,350 1,923 502,742 502,392 140 300 0,006 502,398
3 1,300 502,742 501,442 50 350 0,007 501,449
4 1,632 0,456 503,918 502,286 160 510 0,010 502,296
pr2 1,825 502,093 120 630 0,012 502,105
sumas 5,632 5,804
E= 0,012m
cota pr1
502,265
cota pr2
502,105
0,012
T= 15,87 mm
3.3.15.13. Lectura de replanteo 2,4 metros.
¡EN REVISIÓN!
67
3.3.15.14. Las lecturas de replanteo son las anotadas en la columna de las lecturas intermedias.
La pendiente del canal de regadío es -0,5%.
Tópicos avanzados.
3.3.15.22. Nivelación por doble posición instrumental.
Punto Lecturas Desniveles Desnivel Cotas finales Atrás Adelante + -
PR 1,252 535,200
1 2,005 1,926 -0,674 -0,673 534,527
PR 1,333 0,672
1 1,353
2 1,569 0,963 0,390 0,391 534,918
1 1,961 -0,392
2 2,356
3 1,245 1,545 0,811 0,811 535,729
2 2,056 -0,811
3 1,567
4 1,652 1,725 -0,158 -0,157 535,572
3 1,496 0,156
Lectura cota
Pto Atrás Intermedia Adelante Cota instrumental
pr1 1,525 525,3 526,825
E1 1,425 525,4 526,825
E2 1,525 525,3 526,825
E3 1,625 525,2 526,825
E4 1,725 525,1 526,825
E5 1,825 525 526,825
PC.1 1,625 1,890 524,935 526,56
E6 1,66 524,9 526,56
E7 1,76 524,8 526,56
E8 1,86 524,7 526,56
E9 1,96 524,6 526,56
E10 2,06 524,5 526,56
¡EN REVISIÓN!
68
3.3.15.23. Nivelación subterránea.
Lecturas Cota
Estaca atrás intermedia adelante Instrumental Cota
Pr1 1,352 523,552 522,200
E1 0,522 523,552 524,074
1 0,455 1,425 524,522 524,977
2 0,850 1,756 525,428 526,278
E2 1,105 525,428 526,533
E3 2,106 525,428 527,534
3 5,623 1,986 521,791 527,414
E4 1,800 521,791 523,591
Pr2 1,864 523,655
error de cierre: 0,023 m
Tolerancia: 9,80 mm
¡EN REVISIÓN!
69
4. Perfiles. Tópicos Elementales
¡EN REVISIÓN!
70
Una de las aplicaciones más usuales de la nivelación geométrica es la obtención de perfiles
del terreno, a lo largo de una obra de ingeniería o en una dirección dada. Las obras hidráulicas
como canales o acueductos y las vías de comunicación y transporte, como caminos y ferrocarriles,
están formados por una serie de trazos rectos y curvas acodadas a los trazos rectos. Generalmente
la sección transversal de las obras mencionadas, posee un eje de simetría, que no varía de tipo a lo
largo del trazado.
Los diversos tipos de perfiles que se levantan tienen por objeto representar la forma y las
dimensiones del terreno en la zona de proyecto.
4.1. Perfil Longitudinal
Se llama perfil longitudinal a la intersección del terreno con un plano vertical que contiene
al eje longitudinal y nos sirve para representar la forma altimétrica del terreno.
Los puntos del terreno por levantar quedan definidos durante el estacado del eje del
proyecto, por lo cual, la distancia horizontal acumulada desde el origen del kilometraje es un dato
conocido, que esta materializado en terreno, próximo a cada estacado.
Se llama estacado, a un conjunto de señales o estacas clavadas para indicar la posición del
eje del trazado, las que se colocan generalmente a distancias o intervalos iguales dependiendo de
la naturaleza de la obra.
La determinación de las cotas del estacado se hace mediante una nivelación geométrica,
ligada y cerrada contra el sistema altimétrico de transporte de cota.
4.2. Nivelación de un Perfil Longitudinal
El levantamiento del perfil longitudinal en terreno corresponde a una nivelación
geométrica de todas las estacas que lo conforman, llevando a un registro las lecturas que se
observen conjuntamente con la distancia acumulada a cada punto. El registro que conviene
emplear es del tipo “Por Cota Instrumental”.
Antes de iniciar la nivelación geométrica del perfil longitudinal se debe establecer, a lo
largo del estacado y a una distancia conveniente de él, puntos de referencia de cota conocida
(P.R.). Estos puntos de referencia se ubicaran, no tan distantes del eje de referencia del trazado
como para que las medidas importen trabajo excesivo, ni tan cercanos como para que se vean
¡EN REVISIÓN!
71
Figura 4.1
comprometidos por el movimiento de tierras o labores auxiliares de la construcción de la obra. En
todo caso su ubicación debe efectuarse sobre terreno estable y serán debidamente
monumentados.
4.3. Perfiles Transversales de Terreno y perfil tipo
El perfil transversal es la intersección del terreno con un plano vertical perpendicular al eje
longitudinal y nos sirve para tomar la forma altimétrica del terreno a lo largo de una franja de
nivelación.
El perfil transversal tiene por objeto presentar, la posición que tendrá la obra proyectada
(perfil tipo) respecto del terreno y a partir de esta información, determinar la cubicación del
movimiento de tierra, ya sea en forma gráfica o analítica.
El perfil tipo representa las características finales que tendrá el proyecto. En el caso de un
proyecto vial se consideran ancho de la pista, el bombeo, ancho bermas y su pendiente, los
taludes, espesor de las capas estructurales etc. El perfil tipo es variable dentro del proyecto,
debido que los parámetros antes mencionados pueden cambiar según las condiciones impuestas
por la topografía, climatología y/o geología de la zona. A continuación se muestran algunos
ejemplos de perfiles tipos:
La Figura 4.1 representa un perfil tipo para un camino bidireccional, los taludes se
encuentran en la relación 3/2 en corte y 2/3 en terraplén, el valor depende del tipo de suelo que
se encuentre en la zona, así por ejemplo para la roca el talud de corte es 1/10.
¡EN REVISIÓN!
72
Figura 4.2
Figura 4.3
La pista, la berma y sus bombeos respectivos, dependen de la funcionalidad del camino, el
tipo de vehículo y de las condiciones climáticas de la zona. Los espesores de las capas
estructurales dependen del tipo de vehículo que circule por el camino.
La Figura 4.2 representa el perfil tipo para un carretera unidireccional, se pueden apreciar
taludes de corte en banco, cunetas, fajas, etc.
¡EN REVISIÓN!
73
En la Figura 4.3 se aprecia un perfil tipo para un túnel, donde indican sus dimensiones y las
capas estructurales.
4.4. Procedimiento para levantamiento de perfiles transversales
Para efectuar el levantamiento de perfiles transversales se procederá de la siguiente
manera:
Definición del Perfil Transversal: En cada estaca del perfil longitudinal, se debe definir un eje
transversal en la forma más perfecta posible. Se puede recurrir a medidas con cinta métrica o
escuadras, que permitan asegurar su perpendicularidad. El eje transversal así definido se
puede señalar, mientras dure su levantamiento, con estacas u otro elemento de instalación
provisoria.
Levantamiento de los Puntos Singulares: Para la confección del perfil transversal se deben
tomar todos los puntos que definan o ayuden a definir cambios de pendientes del terreno,
cruce de canales, cercos, y cualquier otro detalle de interés o punto singular. Recorriendo el
eje longitudinal en el sentido creciente del kilometraje, las distancias horizontales sobre los
ejes transversales que se miden hacia la derecha serán positivas y las que se midan a su
izquierda serán negativas, ambas con su origen en el eje longitudinal, ver Figura 4.4
Las distancias horizontales se miden con cinta métrica y precisión corriente (cuidando su
horizontalidad, etc.). En casos de fuerte pendiente se puede calcular midiendo la distancia
inclinada entre los puntos y el desnivel, para posteriormente aplicar Pitágora.
Con un nivel de ingeniero se realizan las lecturas en la mira, se registran al centímetro y se
refieren al sistema altimétrico del levantamiento, ya sea apoyándose en P.R. o en estacas de perfil
longitudinal.
En casos de pendientes fuertes o en túneles el desnivel se puede establecer
trigonométricamente o por medio de instrumentos que midan por rebote, tales como las
estaciones totales.
¡EN REVISIÓN!
74
Figura 4.4
Figura 4.5
Los registros deben consignar, para cada punto del perfil, la distancia horizontal y los
datos para determinar la cota. Si la medición es indirecta se debe agregar las columnas de los
elementos que efectivamente se miden para calcular las distancias horizontales y verticales.
4.5. Dibujo de perfiles Longitudinales y transversales.
¡EN REVISIÓN!
75
Para dibujar perfiles longitudinales se utilizan dos escalas, una horizontal y otra vertical, la
relación entre ellas debe ser 1/10, es decir la escala vertical es 10 veces mayor que la horizontal,
por ejemplo si la escala horizontal es 1/1000, la vertical será 1/100.
La Figura 4.5 representa parte de un perfil longitudinal la distancia entre las estacas es de
20 metros y la cota de referencia (C.R) es de 220 metros, la longitud del perfil es de 240 metros.
Para dibujar las distancias deben ser transformadas al papel utilizando la escala horizontal
1/1000, es decir, 20 metros de terreno representa en el papel 2 centímetros o 20 milímetros.
Para dibujar las cotas restar la cota de referencia y transformar el valor resultante
utilizando la escala 1/100, los datos dibujados se anotan en la viñeta según se muestra en la Figura
4.5.
Una de las principales utilidades del perfil longitudinal es permitir el trazado de la rasante
(línea segmentada en la Figura 4.5), que corresponde a un conjunto de líneas y/o curvas que
definen la posición altimétrica y pendientes finales del camino sobre el terreno. Existen varios
criterios para trazar la rasante sobre el perfil longitudinal, los que van en directa relación con las
especificaciones del proyecto. El caso del un camino se deben considerar los siguientes:
La rasante debe compensar los volúmenes de corte y terraplén.
Las pendiente deben estar comprendidas entre un ±10%, valor que puede variar
dependiendo del tipo de vehículo y la velocidad de proyecto del camino.
Se deben evitar las pendientes iguales a 0%, porque causan problemas de drenaje.
¡EN REVISIÓN!
76
Ejercicio 4.1
Dado el siguiente perfil longitudinal, calcular las cotas de la rasante.
Desarrollo
Sea el desnivel, luego
La distancia acumulada total es 100 metros.
La pendiente de la rasante es:
, luego el desnivel cada 20 metros se calcula .
Despejando . Por lo tanto cada 20 metros longitudinales el camino sube 0,30 metros.
El punto inicial de la rasante tiene cota 500 metros, el siguiente sería los 500 + 0,30, es decir 500,30. De esta forma se suma 0,30 cada 20 metros.
Distancia
Parcial 0 20 20 20 20 20
Acumulada. 0 20 40 60 80 100
Cotas
Rasante 500 500,30 500,60 500,90 501,20 501,5
Terreno 500 500,8 500,9 501,31 501,6 501,5
¡EN REVISIÓN!
77
Ejercicio 4.2
Dado el siguiente perfil longitudinal, calcular las cotas de la rasante.
Desarrollo
, luego el desnivel cada 20 metros se calcula .
Despejando . Por lo tanto, cada 20 metros longitudinales con pendiente ±3,5% el camino baja o sube 0,70 metros.
, luego el desnivel cada 20 metros se calcula .
Despejando . Por lo tanto, cada 20 metros longitudinales con pendiente ±2,5% el camino baja o sube 0,50 metros.
Considerando que el punto 5, tiene cota conocida = 502,5 , luego
¡EN REVISIÓN!
78
Para dibujar perfiles transversales se utiliza una escala convenientemente definida,
normalmente 1/200 o 1/100. El proceso de cálculo del perfil tipo es el mismo aplicado en perfiles
longitudinales.
Ejercicio 4.3
La siguiente imagen representa un perfil transversal, considerando que el ancho de la pista es de
4,0 metros, el bombeo es de -2,5%, el ancho de la berma es 1 metro su pendiente 0% y el talud de
corte es de 3/2. Se pide completar los datos del perfil transversal.
Desarrollo
, luego el desnivel cada 4 metros se calcula .
Despejando . Por lo tanto, la cota en los bordes es la cota de rasante menos 0,10
metros, es decir 500,22 m
¡EN REVISIÓN!
79
4.6. Problemas
4.6.1. Defina los conceptos de perfil longitudinal, transversal y tipo.
4.6.2. ¿Cuál es la utilidad del perfil longitudinal?
4.6.3. ¿Cuál es la finalidad del perfil transversal?
4.6.4. Replantear la rasante, considerando los datos del perfil longitudinal, la lectura al PR,
igual a 1,70 m y su cota 500,33 metros.
4.6.5. La cota del Pr es 523,26 m., la lectura al Pr es 2,276. Calcular los valores de lectura para
el replanteo de la rasante. El ancho de cada pista es 5 m.
¡EN REVISIÓN!
80
4.6.6. Replantear el eje, el borde izquierdo y el derecho. Dado los siguientes datos:
Cota eje en el Kilometraje 0.340, 501,25; cota eje en el Kilometraje 0.360, 501,40.
Ancho Pista = 3,5 metros horizontal.
Cota PR = 500,8 m, Lectura PR = 2,510.
4.6.7. La cota de C1 es 520 m., la longitud de L1 es 123 m. y L3 = 145,5 m. Calcular las cotas
de los vértices. Si L1 // L2, L1 = L2, L3 // L4 , L3 = L4.
¡EN REVISIÓN!
81
4.6.8. El siguiente es un perfil longitudinal, usted debe calcular:
(a) Las cotas de la rasante.
(b) Replantear la rasante calculando considerando que los datos de terreno son:
Lectura al PR. 3,00 m y su cota es de 503,2 m.
4.6.9. Explicar brevemente las etapas topográficas que se llevan a cabo al momento de realizar
un proyecto de camino.
4.6.10. El siguiente es un perfil longitudinal, usted debe calcular:
(a) Las cotas de la rasante.
(b) Replantear la rasante calculando considerando que los datos de terreno son:
Lectura al PR. 1,95 m y su cota es de 502,85 m.
¡EN REVISIÓN!
82
4.6.11. Calcular cotas y dibujar el siguiente perfil transversal. Si el ancho de cada pista es de 3,5
metros con una pendiente longitudinal de -2%, un ancho de berma de 1,5 m. con una
pendiente de 0% y taludes 2/3 corte, 3/2 terraplén. Finalmente la cota de rasante es de
520 metros y la cota de la estaca en terreno es de 523,16 m.
4.7. Respuestas problemas
4.6.4. L0=2,03 m; L20=1,73 m, L40=1,43 m, L60=1,13 m, L80=0,83 m, L100=0,53 m.
4.6.5. Lectura borde izquierdo = 3,466; Lectura borde derecho = 3,666
4.6.6. Perfil 1: Borde izquierdo =2,13 m , Eje =2,06 y Borde derecho =2,13 m
Perfil 2: Borde izquierdo =1,959 m, Eje =1,91 y Borde derecho =1,98 m
4.6.7. C2=526,15, Cota3=530,515, Cota4= 524,365.
4.6.8.
(a) C0=502,26 m; C20=502,86 m C40=503,46m; C60=504,06 m;, C80=504,66
m;, C100=505,26 m; C120=505,86 m
(b) L0=3,94 m; L20=3,34 m; L40=2,74 m; L60=2,14 m;, L80=1,54 m;,
L100=0,94 m; L120=0,34m;
¡EN REVISIÓN!
83
4.6.11. .
4.6.12. El perfil no se encuentra a escala, pero se puede apreciar la forma y los cálculos.
¡EN REVISIÓN!
84
5. Cubicación. Tópicos Avanzados
¡EN REVISIÓN!
85
Corresponde al cálculo de movimiento de tierras a efectuar en un determinado proyecto,
se efectuará en base a perfiles transversales consecutivos. Para realizarlo se debe determinar la
superficie en cada perfil y aplicar la fórmula para calcular el volumen.
5.1. Determinación de superficie
En este apuntes se estudiarán principalmente dos métodos para calcular superficies,
queda al estudiante informarse respecto a otros.
Método por figuras simples: Consiste en reducir el contorno poligonal de la figura en
triángulos, rectángulos, cuadrados, etc, de tal forma que la sumatoria de las áreas parciales
permite el cálculo de la superficie. Algunas fórmulas son:
Figura geométrica Área
Cuadrado , donde , es longitud lado.
Rectángulo , donde son el ancho y largo, respectivamente.
Triángulo , donde son la base y altura, respectivamente.
Triángulo
rectángulo
, donde son los catetos.
Triángulo , donde a,b,c son
los lados del triángulo. P se calcula y corresponde al semiperímetro.
Trapecio , donde son las bases del trapecio y es la altura.
Circulo , donde r es el radio.
¡EN REVISIÓN!
86
Figura 5.1
Método por coordenadas:
Consiste en utilizar las coordenadas
de los vértices de la figura, las que
se agrupan en una tabla para
realizar la operación matemática.
Suponga la Figura 5.1¡Error! No se
encuentra el origen de la
referencia. formada por cuatro
vértices.
La fórmula para el cálculo de área para n vértices es:
Para evaluar la ecuación es conveniente ordenar las coordenadas en una tabla, repitiendo
el primer valor al final de la tabla, y realizar la multiplicación cruzada dividiendo por dos, para
finalmente sumar los resultados, obteniendo el área de polígono ver Figura 5.2. Este método es
fácil de aplicar haciendo uso de las planillas electrónicas.
Figura 5.2
El valor 174360 corresponde a la superficie del polígono en metros cuadrados.
¡EN REVISIÓN!
87
5.2. Determinación de volumen
La determinación del volumen de tierras comprendido entre dos perfiles transversales
consecutivos, normales al eje de una carretera, debe abordarse considerando las superficies de
corte y/o terraplén que dichas secciones presentan y la distancia entre ellas.
Todos los métodos de cubicación suponen que el terreno mantiene su configuración entre las
secciones extremas consideradas, o que las variaciones que presenta son moderadas y se
producen de manera uniforme, de allí que, en general, las secciones no deben distar más de 20
metros. Por el contrario, si el terreno presenta singularidades resulta indispensable tomar perfiles
intermedios, que permitan enfrentar secciones en que la hipótesis de variación moderada se
cumpla.
Se denominarán secciones «homogéneas» aquéllas que presentan sólo corte o sólo
terraplén y secciones «mixtas» aquéllas que presentan corte y terraplén.
Si se enfrentan secciones homogéneas del mismo tipo, corte-corte o terraplén-terraplén,
se pueden cubicar aplicando la fórmula de áreas medias o tronco pirámide, luego el proceso de
cálculo es, entonces (método de áreas
medias) (método de tronco pirámide)
Se estima que el error cometido al acercarse a los límites del intervalo fluctúa entre un 2%
y 5%, haciendose muy pequeño cuando la relación tiende a 1.
En general la tolerancia de la cubicación es de un ±5%, para trabajos de vialidad.
En el caso de existir perfiles mixtos, la cubicación se puede realizar aplicando la siguiente
fórmula.
,
Donde : Es la superficie de corte y terraplén, respectivamente.
: Es el volumen de corte y terraplén, respectivamente.
: Es la distancia que separa los perfiles.
¡EN REVISIÓN!
88
Figura 5.3
Fuente: Manual Carreteras Vol II. Año 2001
A continuación se muestra una serie de situaciones de cubicación, que se pueden utilizar
como orientación para cubicar. Esta información ha sido extraída del manual de carreteras del
Ministerio de Obras Públicas.
¡EN REVISIÓN!
89
Figura 5.4
Fuente: Manual Carreteras Vol II. Año 2001
¡EN REVISIÓN!
90
Figura 5.5
Fuente: Manual Carreteras Vol II. Año 2001
¡EN REVISIÓN!
91
Figura 5.6
5.3. Otras situaciones de cubicación
Cubicación por curvas de nivel.
Se calcula el área que encierra cada curva de nivel según lo expuesto anteriormente, luego
entre dos curvas consecutivas se promediar las superficies y se multiplica por el desnivel que
separa la curvas de nivel, la sumatoria de todos los volúmenes parciales dan el total de la
cubicación, ver Figura 5.6. El método expuesto es particularmente útil para cubicar acopios.
¡EN REVISIÓN!
92
5.4. Problemas
5.4.1. Calcular la superficie de la parcela cuyos vértices se encuentran en el siguiente orden V1-
V2-V3-V4-V5.
Vértices Norte Este
V1 500 500
V2 800 1300
V3 1400 1200
V4 1300 800
V5 1000 900
5.4.2. Los vértices consecutivos de una parcela son V2-V3-V4-V1. Determinar el Perímetro y la
superficie.
Vértices Norte Este
V1 6350272,844 528236,229
V2 6353327,450 525428,80
V3 6355276,173 528873,156
V4 6351908,512 532816,180
5.4.3. Calcular la siguiente cubicación entre perfiles transversales:
¡EN REVISIÓN!
93
5.4.4. Una línea ferroviaria cruza una carretera principal, se ha proyectado subir la carretera con
el objeto de hacerla más expedita. La figura Nº2 muestra un perfil longitudinal con las
dimensiones del terraplén, la figura Nº3 representa el perfil tipo con pendiente transversal
igual a 0 %, ancho 7 metros y taludes 2/3 y la figura Nº4 representa una vista en
perspectiva. Considerando condiciones ideales del terreno, es decir, pendiente 0 % y que
el valor total por transporte de material es de $ 45.000 para un camión de 8 metros
cúbicos. Calcular la cubicación y el costo asociado.
¡EN REVISIÓN!
94
5.4.5. Calcular la cubicación, entre perfiles transversales.
5.4.6. Calcular la cubicación, indicando los volúmenes parciales y totales.
¡EN REVISIÓN!
95
5.4.7. Una parcela está compuesta de cuatro vértices en orden correlativo, las coordenadas de
tres ellos son conocidas, siendo las siguientes
Debido que el cuarto vértice es inaccesible, se midió por intersección de visuales
obteniéndose los siguiente datos: El ángulo interior (V1V2V4) = 92G 68 c 02,983 cc y el
ángulo V1V3V4 = 90G 05 c 71,580cc, Además la distancia V2-V4 es igual a la distancia desde
V3-V4. Calcula la superficie.
5.4.8. En un proyecto agrícola se requiere modificar las pendientes del terreno de manera que
permita una distribución adecuada del agua. Del terreno se tienen los siguientes datos:
Terreno rectangular de dimensiones horizontales L1 = 500 m. Y L2 = 600 m. Las pendientes
de cada lado son ia= 1,0 %, Ib = 0,4 %. La cota en el punto C1 es de 519,20 m. El terreno
PROYECTADO debe tener las siguientes pendientes: ia = 1 % , ib = 0,5 %. Con una cota de
520 m en el punto C1’.Calcular las cotas de los vértices de terreno y proyectado.
Determinar el material necesario para rellenar el terreno.
¡EN REVISIÓN!
96
5.4.9. Dado el siguiente perfil longitudinal y su correspondiente perfil tipo, se pide
a) completar la viñeta.
b) Cubicar la cantidad de movimiento de tierra, considerando una situación idealizada,
donde el terreno tiene sólo pendiente longitudinal, dada por las cotas promedio.
5.4.10. Dado el siguiente perfil transversal:
(a) Si la cota de rasante es 516,25 m., la cota del Pr es 515,2 y la lectura al PR, es 1,754.
Replantear la rasante y los bordes de la calzada.
(b) Replantear el talud de corte, determinando la distancia a la cual se encuentra del eje
(c) Determinar la superficie de corte.
¡EN REVISIÓN!
97
5.4.11. Dado el siguiente perfil transversal:
a) Si la cota de rasante es 523,5 m., la cota del Pr es 526,2 y la lectura al PR, es 0,754.
Replantear la rasante y los bordes de la calzada.
b) Replantear el talud de corte, determinando la distancia horizontal a la cual se
encuentra del eje.
c) Calcular la superficie de la figura.
5.4.12. En un plano escala 1/2400 se ha trazado en forma tentativa un túnel. Determinar el
volumen de corte.
Perfil tipo:
¡EN REVISIÓN!
98
5.4.13. En un plano para un sector del norte de chile se ha proyectado construir un tranque que
tiene las siguiente especificaciones. Determinar la cantidad de volumen máximo de agua
que puede contener el tranque. Ver imágenes siguientes con cortes de la figura de
cubicación
¡EN REVISIÓN!
99
5.4.14. Los siguientes perfiles se encuentran escala 1:100, en caso que no se vean a escala
producto de la impresión, la longitud entre los extremos de la calzada es de 10 metros.
Determinar la superficie y volumen total.
¡EN REVISIÓN!
100
5.5. Respuestas problemas
5.4.1. área =315000 m2 ó 31.5 ha
5.4.2. P = 18154,87 m , A = 1893,26 Ha
5.4.3. Vc = 240,86 m3 , Vt = 630 m3
5.4.4. Volumen terraplén = 7454,2 m3 costo por transporte=$ 41.929.875
5.4.5. Volumen de Corte: 1019,18 m3 , Volumen de terraplén = 1071,89 m3
5.4.6. Perfil 0.340-0.360 Vc= 13,6 m3 Vt= 252,1 m3 Perfil 0.360-0.380 Vc= 227,2 m3
Vt = 75,6 m3, Volumen total corte = 240,8 m3, Volumen total de terraplén=327,7 m3.
5.4.7. Coordenadas vértice Desconocido : Norte = 1557,692 m Este = 911,538 m , Superficie
de la parcela = 737499,70 m2 ó 73,75 ha
5.4.8. Volumen terraplén : 330000 m3
Cotas Terreno Cotas Proyecto
C1= 519,20 C1’= 520
C2= 524,20 C2’= 525
C3= 526,60 C3’= 528
C4= 521,60 C4’= 523
5.4.9. (a) C0=498, C140=490,30, C250=487, C390=493,3
(b) Volumen total = 27747 m3 ± una tolerancia de 5 %.
5.4.10. (a) Lectura rasante =0,704 m , lecturas bordes =0,929 m
(b) Borde Izquierdo =15 m, borde derecho =13,33 m
(c) Superficie = 231,70 m2
5.4.11. (a) Rasante = 3,704 m , Borde 3,929 m
(b) Distancia Izquierda = -10,43 m. Cota Izquierda =531,177 m.; Distancia derecha =
8,24 m Cota derecha =527,878 m
(c) Superficie 76,62 m2
¡EN REVISIÓN!
101
5.4.12. Volumen corte = 12555.78 m3 ± 5% .
5.4.13. Volumen corte = 1847548,15 m3 ± 5%
5.4.14. El perfil 2240 tiene una superficie de terraplén total de 32,82 m2, a su vez se puede
dividir en tres superficie parciales s11= 5,21 m2, s12= 9,70 m2 y s13= 4,22 m2. El perfil
2260 está compuesto por tres superficie parciales s21= 3.42 m2, s22= 1,46 m2 y s23= 0,97
m2. El perfil 2280 está compuesto por dos superficie parciales s31= 1,65 m2 y s32= 6,80
m2. El procedimiento de cálculo consiste en utilizar las líneas de paso para generar
superficies más pequeñas y poderlas cubicar independientemente aplicando las
fórmulas de áreas medias para secciones homogéneas, secciones mixtas y tronco
pirámide. Los resultados finales obtenidos son los siguientes: Perfil 2240-2260: Vc = 1,91
m3 y Vt = 218,70 m3. Perfil 2260-2280 Vc = 73,38 m3 y Vt = 54,37 m3. Los volúmenes
finales son Volumen corte = 75,29 m3 y Volumen terraplén 273,07 m3.
¡EN REVISIÓN!
102
6. Teoría de errores aplicada a la topografía. Tópicos elementales.
¡EN REVISIÓN!
103
6.1. Introducción.
La teoría de errores aplicada a la topografía tiene por finalidad identificar, cuantificar y
estudiar los errores, y su propagación dentro de las funciones matemáticas.
Antes de estudiar esta teoría se debe comprender la diferencia entre Falta y errores. Las
faltas son equivocaciones groseras y normalmente su magnitud es notable, casi siempre es por
causa del operador y es posible evitarlas. Mientras que los errores son pequeñas inexactitudes
inevitables cuyo origen se detecta en la imperfección de los instrumentos, la limitación de
nuestros sentidos y las variaciones del medio en que se realiza la medición. De aquí se desprende
que, no es un error, una mala lectura en la mira, una mala anotación en la libreta de terreno, etc,
sino que es una falta, las que no se encuentran contempladas dentro de la teoría de errores.
6.2. Fuentes de errores.
En términos generales, los trabajos topográficos se reducen a la medición de ángulos,
distancia o lecturas en la mira, que pueden ser afectadas por una serie de factores tales como;
ambientales, instrumentales y personales, produciendo que dicha medida no sea única para el
elemento en observación.
Errores instrumentales, son las inexactitudes propias de los instrumentos o pequeñas
imperfecciones en la construcción, por ejemplo en el nivel de ingeniero, el nivel esférico acepta un
grado de error en la nivelación, lo que produce que el plano horizontal quede micrométricamente
inclinado, aunque es un error imperceptible pero se acumula a lo largo del circuito de nivelación.
Errores Personales, son causa de las limitaciones propias de los sentidos del topógrafo,
vista y tacto, por ejemplo en una cinta que se encuentra graduada al centímetro, al realizar una
medición más precisa se deben estimar los milímetros, dicha estimación variará de una persona a
otra.
Errores Ambientales, son producto del medio donde se realiza la medición, por ejemplo la
temperatura causa el efecto de refracción.
¡EN REVISIÓN!
104
6.3. Clasificación de los errores
Los errores se clasifican como errores sistemáticos y accidentales.
Errores Sistemáticos son aquellas inexactitudes que, bajo las mismas condiciones,
presentan siempre igual magnitud y signo. En la mayoría de los casos estos errores se producen
por causas físicas o condiciones naturales, que responden a leyes físicas que pueden ser
representadas matemáticamente, o bien se deben a los hábitos o tendencias del operador, que lo
hacen reaccionar cuantitativamente de una misma forma ante condiciones similares.
Los errores sistemáticos más frecuentes se pueden eliminar o minimizar mediante procedimientos
como los que se citan a continuación:
Utilizando metodologías de trabajo que minimizan automáticamente cierto tipo de
errores. Por ejemplo, en el caso de nivelaciones, los efectos de curvatura terrestre y
refracción atmosférica, se pueden eliminar igualando las distancias de las visadas atrás y
adelante. En la medida de una dirección angular se pueden eliminar errores
instrumentales por simple promedio de lecturas en directa y tránsito.
Determinando las relaciones de los errores sistemáticos con las variables que los originan,
por medio de funciones matemáticas que permitan cuantificar el error. Por ejemplo el
efecto de curvatura terrestre puede ser calculado por medio de una función matemática.
Todos los errores sistemáticos detectables deben ser eliminados antes de proceder a la evaluación
de los errores accidentales.
Errores Accidentales son aquellos que no presenta una relación fija respecto de las
condiciones o circunstancias bajo las cuales se realizó la observación. Los errores accidentales se
producen por causas complejas e irregulares que están fuera del control del observador. Su
ocurrencia, magnitud y signo no es predecible, es decir, cada uno de ellos es un fenómeno
independiente producido al azar.
El error accidental de una observación se define como la diferencia entre el valor verdadero del
elemento que se mide y el valor asignado para dicha observación, una vez que ésta se juzga libre
de faltas y de los errores sistemáticos que la pudieran afectar.
A los errores accidentales se les denomina usualmente errores, sin el calificativo de accidental, y a
ellos se estará refiriendo el texto cuando no se haga expresamente otra mención.
¡EN REVISIÓN!
105
Dado que los errores accidentales son eventos que se generan al azar, su análisis responde a
conceptos probabilísticos y se realiza en conformidad con leyes derivadas de la teoría de
probabilidades.
6.4. Precisión y exactitud
Precisión, es el grado de refinamiento en la ejecución de una medición y, como tal,
dependerá de la calidad del operador, del instrumental, de los procedimientos y métodos
utilizados.
Exactitud, es el grado de coincidencia o cercanía de un resultado respecto de un valor
verdadero o de un determinado patrón de comparación. Algunos patrones de comparación
utilizados habitualmente para determinar la exactitud de un resultado, son:
Un valor exacto, tal como la suma de los tres ángulos de un triángulo.
La longitud de un lado base de una triangulación, determinado previamente con las
exigencias de precisión requeridas.
Las coordenadas planimétricas o altimétricas de un elemento materializado en
terreno, correspondientes a un sistema de referencia de orden superior.
Para clarificar el concepto de precisión y exactitud, se considera un gráfico de tiro al
blanco. En la figura A, se muestra que los tiros se encuentran bastantes agrupados, lo que indica
que el jugador realiza una operación precisa o refinada de puntería, sin embargo, producto de un
desperfecto sistemático del instrumento no logra el objetivo de acertar en el blanco. En la figura B,
los puntos se encuentran completamente disperso, lo que implica la existencia de varios factores;
instrumentales, personales, ambientales, que impiden una buena puntería. En la figura C, los
puntos se encuentran agrupados y cumpliendo con la exactitud requerida, luego la operación fue
precisa y exacta.
¡EN REVISIÓN!
106
La exactitud de un trabajo topográfico en su conjunto, depende directamente de la
precisión con que se ejecuten las diversas operaciones. No obstante lo anterior, en algunas
oportunidades por efecto del azar (compensación de errores), un trabajo ejecutado con baja
precisión podría presentar una exactitud aceptable; en ese caso dicha exactitud no es una garantía
de calidad, por cuanto, al verificarse exactitudes en otros puntos del sistema, casi con certeza se
detectarán situaciones inaceptables. En consecuencia, todo trabajo topográfico deberá ser
ejecutado manteniendo una precisión compatible con la exactitud deseada y confeccionando los
registros que permitan comprobarlo.
6.5. El valor más probable.
Tal como se mencionó en el anteriormente, existe una serie de errores aleatorios que
impiden obtener un valor único para la medición realizada, por lo tanto se define el concepto de
valor más probable o media aritmética, que corresponde al cociente entre la sumatoria de los
elementos medidos dividido por la cantidad de veces que se realizó dicha medición, es decir:
(6.1)
Donde X : Es la media aritmética
Xi: i-ésima observación realizada.
n: Total de observaciones.
6.6. Elementos estadísticos
Residuo ( ): Es la diferencia resultante entre cualquier valor medido de una magnitud y su
valor más probable, es decir, , los residuos son idénticos a los errores, excepto que los
errores nunca pueden calcularse, ya que no nunca se puede conocer el verdadero valor de una
magnitud, mientras que los residuos si se pueden calcular y son los valores que se utilizan para
hacer análisis y correcciones de mediciones topográficas.
Desviación estándar: Es la medida del grado de dispersión de los datos respecto de la
media aritmética, se define como “La raíz cuadrada de la sumatoria de los cuadrados de los
residuos divido por el número de observaciones realizada menos uno”, es decir,
¡EN REVISIÓN!
107
(6.2)
Nótese que la desviación estándar es positiva o negativa y al sumarla a la media aritmética
permite definir un rango, es decir ( ), dentro del cual se encontrará el 68,27% de los
datos recolectados.
Algunas de las interpretaciones de la desviación estándar son:
De 100 mediciones realizadas 68 deben estar dentro del rango definido por la desviación
estándar.
Existe un 68,27% de probabilidad que una medición quede dentro del rango.
El valor dado por la media aritmética indica el grado de error de la muestra, pero
representa el 68,27% de las mediciones.
Desviación estándar de la media: La media es calculada en base a conjunto de mediciones que
tienen asociado errores propios, luego al calcularla los errores de las mediciones serán
trasmitidos, por lo tanto la media también llevará un error asociado, que queda dado por la
siguiente expresión:
(6.3)
6.7. Errores Probables.
Se puede identificar otros elementos que permiten conocer el grado de dispersión de la
muestra o la media y son conocidos con errores probables. Los errores probables se calculan
según el porcentaje que representan, de esta forma existe el error probable del 50%, 90%, 95%,
99% y 99.9%, la expresión general para el cálculo del error probable de la muestra es
y el error probable de la media aritmética , en ambas expresiones, el coeficiente C
depende del porcentaje de error, σ es la desviación estándar de la muestra y es la desviación
estándar de la media.
¡EN REVISIÓN!
108
La siguiente tabla2 muestra un resumen de los errores probables.
Error Probable Muestra Media Aritmética.
E50%
E90%
E95%
E99%
E99.7%
E99.9%
Tabla 6-1
Un ejemplo de aplicación de la teoría de errores en topografía, es el control del levantamiento
de un perfil longitudinal. Supóngase que una empresa “A” ha realizado la nivelación de un perfil
longitudinal, ¿Cómo puede realizar el control del trabajo realizado en terreno?.
Para ello debe realiza una segunda nivelación del perfil longitudinal, considerando los puntos
más representativos y claramente identificables, en ambos levantamientos, se calcula el residuo
por cada valor de cota, es decir, ………..
Donde
C1 : Cota del punto 1.
C1’ : Cota del punto 1 obtenida con el levantamiento de control.
V1 es el residuo para la cota del punto 1.
Para los n puntos medidos se tendrán n residuos, luego;
Cn Cota del punto n.
Cn’ Cota del punto n obtenida con el levantamiento de control
Vn es el residuo para la cota del punto n.
Con los n residuos se calcula la desviación estándar de la muestra y el error probable al 95%
de la muestra, según Tabla 6-1, el resultado final es el error para el levantamiento del perfil.
2 (Wolf, et al., 1997)
¡EN REVISIÓN!
109
Claramente este procedimiento asume una ejecución técnicamente correcta del
levantamiento de control, es decir, se utiliza un instrumento y metodología equivalente o superior
a la empleada en el levantamiento inicial.
Otras aplicaciones que utilizan el mismo procedimiento son
Control de levantamiento de perfiles longitudinales.
Control de replanteos.
Cálculo de distancias y ángulos de precisión en poligonales.
Ejercicio 6.1
En terreno se ha realizado las siguientes mediciones de distancia inclinada, en metros, entre
dos puntos: 538,57; 538,39; 538,37; 538,39; 538,48; 538,49; 538,33; 538,46; 538,47; 538,55.
a) Determinar el valor más probable del conjunto de mediciones.
Solución: media aritmética = 538,45 metros
b) ¿Qué ocurre al sumar todos los residuos con su signo?
Solución: La sumatoria es cero.
c) Calcular la desviación estándar de la muestra
Solución:
d) Calcular la desviación estándar de la media aritmética.
Solución:
e) Calcular el error probable al 95% de la media aritmética.
Solución:
¡EN REVISIÓN!
110
6.8. Propagación de Errores. Tópicos avanzados.
Tal como se estableció anteriormente todas las mediciones contienen errores, luego cualquier
cantidad calculada a partir de ellas contendrá asimismo errores. El proceso de evaluar errores en
cantidades calculadas con valores medidos que contienen errores se llama propagación de
errores.
La Ley general de propagación de errores
Sea valores medidos que tienen errores aleatorios
respectivamente. Sea una cantidad expresada como una función
, tal que
Entonces, de acuerdo a la “ley general de la propagación de errores” 3, el error de la cantidad
calculada es:
(6.4)
Donde los términos , …., son las derivadas parciales de la función con respecto a las
variables .
De esta forma tenemos que: “El error de una función es igual a la raíz cuadrada de la suma de los
cuadrados de los productos de las derivadas parciales de la función según cada uno de los
argumentos por el error medio cuadrático del argumento correspondiente”
En nuestro caso se estudiarán principalmente las funciones lineales sumatoria y series
aplicadas a topografía, con el objetivo de simplificar el trabajo con las derivadas, es decir,
normalmente se utilizaran derivadas igual a uno.
Error en suma
En la suma intervienen distintas cantidades cada una tienen errores aleatorios distintos,
luego la sumatoria de los elementos también tiene error.
3 (Wolf, 1997)
¡EN REVISIÓN!
111
Ejercicio 6.2
Suponga que una línea se mide en tres secciones y con errores en cada una igual a
(753,81; ±0,12), (1238,40; ±0,28), (1062,95; ±0,20) metros respectivamente. Determinar la
longitud total de la línea y su desviación estándar (error).
Desarrollo
L=753,81+1238,40+1062,95=3055,16 metros. Corresponde a la longitud total de la línea.
Al calcular las derivadas se tienen que , luego la ecuación queda:
El error en la longitud de la línea es de ±0,036 metros.
Error en series
Se entiende por series cantidades similares que se miden bajo la misma metodología e
instrumental en terreno, por ejemplo los ángulos de una poligonal y las lecturas de una nivelación,
se puede deducir que cada medida debe tener el mismo error.
Ejercicio 6.3
En terreno se ha medido los ángulos interiores de una poligonal de cinco lados, donde
son los ángulos medidos y son los errores de cada
ángulo siendo equivalentes a 10 cc (segundos centesimales) cada uno. Calcular la propagación
del error en la suma de los ángulos interiores.
Desarrollo
La sumatoria de los ángulos interiores se encuentra dada por:
Al aplicar la ley general de propagaciones de errores se tiene que:
Al calcular las derivadas de la función respecto de cada variable se tiene que:
¡EN REVISIÓN!
112
Figura 6.1
Lo que implica
Luego si, entonces la expresión queda:
Es decir el error esperado es de 22,36 cc, si cada ángulo se mide con un error
Finalmente, cada vez que se tenga una serie de elementos medidos cuyos errores sean
idénticos (e), el error de la suma de los elementos, estará dada por el error del elemento
multiplicado por la raíz cuadrada de la cantidad de elementos medidos, es decir .
6.9. Ajuste redes de nivelación
Las redes de nivelación se forman al trasladar cota a vértices desconocidos desde uno o
más vértices de referencia (PR), lo que produce información redundante para calcular las cotas, en
este sentido se debe proceder al ajuste de la red aplicando el principio de los mínimos cuadrados
que dice: la sumatoria de los cuadrados de los residuos tiende a cero. Dentro del apunte no se
explicará el fundamento de los mínimos cuadrados ya que se encuentra fuera del alcance de este
apunte, sino sólo un procedimiento sistemático.
Ejercicio 6.4
Ajustar la red de nivelación de la Figura 6.1,
por el método de mínimos cuadrados,
sabiendo que la cota del punto H es 281,130
metros, y los desniveles dentro del circuito
son: d1=11,973m., d2=10,940m, d3=22,932
m, d4=21,040 m. , d5=31,891 m y d6=8,983
m.
¡EN REVISIÓN!
113
Desarrollo
Se forman las ecuaciones que relacionan las mediciones, las incógnitas y los residuos.
Nótese que el desnivel se calcula por la resta de las cotas.
11 VdBH -B = – 269,157 + V1
22 VdDB B -D = 10,940 + V2
33 VdDH -D = –258,198 + V3
44 VdBC -B + C = 21,040 + V4
55 VdDC C – D = 31,891 + V5
66 VdHC C = 290,113 + V6
La solución por el método de mínimos es:
Donde;
M : Es la matriz de coeficientes, en este caso su valor es 1.
N : Es la matriz con los valores resultantes.
X: Es la matriz que contiene a las incógnitas.
D
C
B
X
Para obtener la solución, se aplica la siguiente ecuación, donde MT es la matriz traspuesta
de M:
La matriz x, contiene las cotas finales de los vértices ajustadas por el método de mínimos
cuadrados.
Reemplazando el valor H y espejando
¡EN REVISIÓN!
114
6.10. Problemas.
6.10.1. Explique la diferencia entre precisión y exactitud, de un ejemplo.
6.10.2. Una distancia AB, se mide repetidamente usando el mismo equipo y procedimientos,
obteniéndose los siguientes valores expresados en metros:
728,56; 728,59; 728,58; 728,54; 728,57; 728,62; 728,71; 728,53; 728,59 y 728,46.
Calcule.
a) La longitud más probable del segmento.
b) La desviación estándar de una sola medida.(muestra)
c) La desviación estándar de la media.
d) Descartando la medida 728,71 y 728,46.Calcule las preguntas a, b y c.
e) Manteniendo los datos iniciales, agregar 728,53 y 728,55. Calcule las preguntas a, b y c.
6.10.3. Se mide el ángulo ABC reiteradamente empleando un taquímetro digital, obteniéndose los
siguientes valores, expresados en grados centesimales:
60,4540; 60,4580; 60,4600; 60,4590; 60,4520; 60,4600; 60,4520; 60,4500; 60,4560; 60,4580
Calcule:
a) El valor angular más probable.
b) La desviación estándar de la muestra.
c) La desviación estándar de la media.
d) Descartando las medidas 60,4600.Calcule las preguntas a, b y c.
e) Agregando 60,4600; 60,4600, 60,4600 a los datos iniciales. Calcule las preguntas a, b y c.
6.10.4. La línea AD se midió en tres secciones AB, BC y CD con longitudes y desviaciones estándar
indicadas más adelante. ¿Cuál es la desviación estándar en la longitud total AD?
AB=573,12 ±0,06m, BC=1274,83±0,10m y CD=942,78±0,09m
6.10.5. Una brigada de campo es capaz de efectuar mediciones con cinta con una desviación
estándar de ±0,01 m. por cada 100 metros de cinta. ¿Qué desviación estándar cabe esperar
en una distancia de 3600 metros?
¡EN REVISIÓN!
115
6.10.6. Aplicando el ajuste por el métodos de mínimos cuadrados, calcular la cota del punto A e B.
Dado que las cotas de los vértices conocidos son PR1=785,23 m. ; PR2=805,41 m. ; PR3=
794,88 m. ; PR4 = 801,93 m.
Los desniveles son l1=+10,97m.; l2=-9,17m.; l3=3,58m.; l4=+4,91m.; l5=-2,20m.
6.11. Respuestas Problemas
6.10.2. a) media=728,575 m. b) σ=±0,065 m. c)
d) media =728,573 m, σ=±0,029 m,
e) media =728,569 m, σ=±0,060 m,
6.10.3. a) media=60,4559g. b) σ=±36,7cc. c)
d) media =60,4549g, σ=±33,6cc,
e) media =60,4568g, σ=±36,5cc,
6.10.4. σ=±0,15m
6.10.5. σ=±0,06m
6.10.6. Cota A = 796,21 m. Cota B=799,77 m.
L1
L2
L3
L5
L4
PR2
PR1 PR3
PR4
A
B
¡EN REVISIÓN!
116
7. Planimetría. Tópicos elementales.
7.1. Generalidades.
La planimetría es una rama de la topografía, que tiene por finalidad representar el relieve de la
superficie terrestre, para identificar los elementos existente sobre la superficie terrestre tales
como caminos, construcciones, arboles, etc. Además representa altimétricamente el relieve de
la superficie terrestre en base a las curvas de nivel. El levantamiento es fundamental para la
planificación el territorio, el diseño de proyectos agrícolas, mineros, viales y de obras civiles.
7.1.1. Sistemas de medición angular.
Existen tres sistemas de medición angular:
El sistema sexagesimal divide la circunferencia completa en 360 º, grados sexagesimales,
para valores intermedios de ángulos se utiliza el minuto (‘) y segundo (“), por ejemplo un valor
angular se puede expresar en 50º 20’ 30”.
Equivalencias que se deben considerar son: 1º = 60’ ; 1’ = 60” ; 1º = 3600”, luego el valor angular
dado anteriormente se puede expresar en grados haciendo la siguiente operatoria:
El sistema centesimal divide la circunferencia completa en 400 g, grados centesimales,
para valores intermedio de ángulos se utiliza el minuto (c) y segundo (cc), por ejemplo un valor
angular se puede expresar en 80g 70c 30cc.
Equivalencias que se deben considerar son: 1g=100c ; 1c=100cc ; 1g=10000cc, luego el angular
dado anteriormente se puede expresar en grados haciendo la siguiente operatoria:
El sistema circular divide la circunferencia completa en 2*p*r, radianes, para valores
intermedio no tiene unidad de medida, por ejemplo un valor angular se puede expresar en , pi
cuarto radian, o en decimales .
Entre los sistemas angulares se realizan conversiones angulares, aplicando una proporción
directa, por ejemplo supongamos el valor 50º 20’ 30” 50,3417º, que se encuentra en el sistema
sexagesimal, se debe transformar al sistema centesimal.
¡EN REVISIÓN!
117
Primero transformar el ángulo, dejándolo expresado en una sola unidad, en este caso:
Luego realizar una proporción directa entre los sistemas en cuestión, es decir;
Donde el resultado puede quedar expresado en la unidad de grado centesimal o se puede
traspasar a minutos y segundos, en ese caso quedaría expresado como 55g 93c 52cc.
Otras relaciones son:
Sistema circular con centesimal;
Sistema sexagesimal con circular;
Donde x es el valor desconocido e y el valor conocido.
7.1.2. Conceptos básicos.
En topografía, se denomina norte a una dirección de orientación respecto de la cual, se miden
ángulos, existen diferentes denominaciones por mencionar algunos;
(1) Norte Arbitrario: Utiliza como referencia cualquier elemento existente en el terreno, como
puede ser un poste, una antena, etc.
(2) Norte geodésico o geográfico: Se encuentra definido por el datum que se esté utilizando
como referencia, por ejemplo Psad56, Sad69, Wgs-84 u otro, su dirección la define el
meridiano del lugar. Se utiliza en trabajos de geodésicos.
(3) Norte magnético: se define en base al norte magnético terrestre.
La declinación magnética: Corresponde a la diferencia angular entre el norte magnético, y el norte
geográfico (norte verdadero), su valor es de 0º en la zona norte de Chile hasta 16º en las zonas
más australes4.
Acimut: Es el ángulo horario medido desde el norte en dirección al punto. Se utiliza para definir
ejes de caminos, poligonales, levantamientos, etc. Ver Figura 7.1
4 Fuente NOAA-National Geophysical Data Center
¡EN REVISIÓN!
118
Figura 7.1 Figura 7.2
Figura 7.3
Rumbo: Es el ángulo agudo medido a partir de la dirección norte o sur, en sentido horario o
antihorario, el valor varía de 0g a 100g en el sistema centesimal o 0º a 90º en el sexagesimal. Se
expresa según el cuadrante y el valor angular, ver Figura 7.2, el segmento A1 tiene dirección NE
47º (NorEste 47 grados sexagesimales), el segmento A2 tiene dirección SE 51º (SurEste 51 grados
sexagesimales), el segmento A3 tiene dirección NO 50º (NorOeste 50º grados sexagesimales) y el
segmento A4 tiene dirección SO 50º (SurOeste 50º sexagesimales).
Coordenadas Cartesianas: son un sistema
de referencia respecto de un eje (recta),
dos ejes (plano), o tres ejes (en el
espacio), perpendiculares entre sí (plano
y espacio), que se cortan en un punto
llamado origen de coordenadas. En el
plano topográfico, las coordenadas
cartesianas (o rectangulares) x e y se
denominan respectivamente Este y
Norte. Figura 7.3
¡EN REVISIÓN!
119
Figura 7.4
7.2. Taquimetría
Es un procedimiento topográfico que se utiliza para recolectar y calcular, coordenadas y
cota de los puntos de terreno. Se llama taquimetría porque utiliza como instrumento de
medición el taquímetro.
La siguiente figura representa la situación de terreno, donde se mide el ángulo cenital
desde la estación topográfica al punto (p), en la mira se el generador, la altura instrumental y
el hilo medio. Los valores conocidos son las coordenadas de la estación topográfica (Ee,Ne ) y la
cota (Ce), se desea calcular las distancia horizontal al punto (p), cota y coordenadas (Ep, Np).
7.2.1. Determinación de cota.
De la Figura 7.4, por definición (7.1)
G’ es el generador de una mira imaginaria perpendicular a la visual desde el instrumento.
K es una constante estadimétrica cuyo valor es 100, aunque depende del tipo instrumento.
¡EN REVISIÓN!
120
Figura 7.5
En la Figura 7.5 el triángulo ABC, perpendicular en B, se cumple que:
Donde G es el generador medido en terreno y es calculado en base a los hilos estadimétricos:
Despejando.
Reemplazando en la ecuación (7.1), queda:
En la Figura 7.4, la distancia horizontal se tiene queda definida por:
Reemplazando la di, queda:
Para calcular la cota se tiene que;
Despejando el desnivel;
Reemplazando;
Reemplazando Di
Agrupando
Finalmente el des nivel queda dado por
La cota del punto es:
¡EN REVISIÓN!
121
Figura 7.6
7.2.2. Determinación de coordenadas
De la Figura 7.6 , por trigonometría se tiene que;
Las coordenadas del punto (p) son:
Ejercicio 7.1
En terreno se ha medido la siguiente información: Angulo cenital (Z) =98g 80c 90cc ,
Generador (G)=1,80 metros , Hilo medio (Hm) =2,000 metros, el Azimut (Az)= 120g 30c 90cc y
Altura instrumental (Hi)=1,57 metros. Las coordenadas y cotas de la estación son: E=1000
metros, N=3000 metros y C=100 metros. Calcular las coordenadas y cota del punto medido.
Desarrollo
Antes de comenzar recuerda dejar tu calculadora en modo GRAD, grados centesimales.
Cálculo de cota
¡EN REVISIÓN!
122
Calculo de coordenadas
Dependiendo de la tecnología a utilizar podrá variar el proceso de cálculo, pero los
principios permanecen inalterables. Así, podemos medir poligonales de electrónicas, reciben
su nombre del uso del distanciómetro o estaciones totales, que calculan las distancias en
forma electrónica, en este caso no se leen hilos reticulares, ya que en lugar de una mira se
utiliza un prisma con jalón que refleja la señal enviada por el distanciómetro, luego si el
instrumento calcula los tiempos de ida y regreso de la señal , y si se conoce la velocidad con
que viaja la señal en el medio, se puede calcular la distancia inclinada, si agregamos la
medición del ángulo cenital, la altura instrumental y la de jalón, la ecuación para el cálculo de
distancia horizontal y cota quedan dadas por la siguientes ecuaciones:
En cuanto a las coordenadas se siguen aplicando las ecuaciones vistas anteriormente.
Ejercicio 7.2
En terreno se ha medido la siguiente información: Angulo cenital (Z) = 98g 50c 40cc, Altura
de Jalón (Hj) =1,800 metros, el Azimut (Az)= 150g 50c 60cc, distancia inclinada (Di)=2300
metros y Altura instrumental (Hi)=1,57 metros. Las coordenadas y cotas de la estación son:
E=1000 metros, N=3000 metros y C=100 metros. Calcular las coordenadas y cota del punto
medido.
¡EN REVISIÓN!
123
Desarrollo
Cálculo de cota y distancia horizontal:
153,813 m
Calculo de coordenadas:
7.3. Levantamiento Topográfico.
Es un proceso que se separa en dos partes, una en terreno y la otra en gabinete, la primera
consiste en recolectar datos topográficos, ángulos y distancias, por medio de algunos de los
instrumentos destinados para este propósito, como puede ser un taquímetro, teodolito o estación
total. La segunda parte consiste en la confección del plano, que representa el relieve de la
superficie levantada y los elementos que se encuentran sobre ella, tales como caminos, casa,
arboles, edificios, etc.
Para realizar un levantamiento se puede aplicar el método de radiación o intersección de
visuales. El primero consiste en medir (ángulos y distancias) desde un vértice conocido, a un
conjunto de puntos, la finalidad es obtener la coordenadas este y norte de cada uno de ellos.
El segundo método se realiza con dos instrumentos, y tiene por finalidad dar ubicación a
puntos mediante la medición de ángulos horizontales desde dos vértices conocidos, lo que
permite ubicar planimétricamente el punto en observación, sin la posibilidad de obtener una cota.
De estos métodos el más usado es el de radiación Ver Figura 7.7
¡EN REVISIÓN!
124
Figura 7.7
Los registros a utilizar en un levantamiento dependen del tipo de instrumental utilizado. En el
caso de un taquímetro se tiene el siguiente:
Estación Pto Ang. Hz Ang. Cenital Generador Hm Descripción
A B 0,0000 Hi=1,60 1 10,2567 101,2560 1,90 2,00 Relleno 2 30,4678 100,3456 1,30 1,40 Esq. Casa 3 60,5679 99,6789 1,02 1,55 Esq. Casa
Una forma rápida de obtener el generador es ubicar el hilo inferior a un metro.
En el caso de una estación total, el generador cambia por la medición directa de distancia
inclinada y el hilo medio por la altura de jalón. Este registro se almacena en la memoria interna del
instrumento.
¡EN REVISIÓN!
125
Figura 7.8
Figura 7.9
7.4. Representación Planimétrica.
7.4.1. Curvas de Nivel5.
Para representar altimétricamente el terreno se utilizan curvas de nivel. Una curva de Nivel es
una línea cerrada (también denominada de contorno) que une puntos de igual elevación del
terreno, éstas son el método más utilizado para la representación de las ondulaciones,
depresiones y en general los accidentes del relieve del terreno.
Las Curvas de Nivel
son generadas a partir de
la intersección entre el
terreno y planos
horizontales imaginarios
equidistantes entre sí, ver
Figura 7.9.
5La información de curvas de nivel fue proporcionada por el Ingeniero, Docente Javier Gutierrez Plaza de
Inacap Maipú.
¡EN REVISIÓN!
126
La distancia que separa estos planos horizontales se denomina Equidistancia de Curvas de
Nivel y depende del objetivo del levantamiento, es decir del tipo de proyecto a realizar, de la
escala de representación del plano topográfico y del relieve del terreno en estudio, entre otros
factores.
Algunas características de las curvas de nivel que nos ayudarán a interpretar y generar un
plano topográfico son:
Deben cerrarse sobre sí mismas, ya sea dentro o fuera del plano.
Son generalmente representadas como líneas irregulares
Se supone que la pendiente entre curvas debe ser constante, de lo contrario se debe
representar todo cambio de pendiente
La distancia horizontal entre curvas nos indica la pendiente del terreno, es decir cuanto
mayor es el espaciamiento horizontal menor es la pendiente y viceversa
Las curvas de diferente elevación no se tocan ni se cruzan
Una curva nunca puede ramificarse en dos de la misma elevación
Las curvas Índice son aquellas con un valor de cota entero, generalmente múltiplo de 5 y
su representación es normalmente de un color más oscuro y un tipo de línea más grueso
que el resto de las curvas que quedan entre curvas ellas, denominadas curvas intermedias.
Como se ha mencionado los levantamientos de configuración nos permiten mostrar el relieve
terrestre por medio de curvas de nivel. El método más utilizado (sobre todo hoy en día debido al
uso de equipos altamente automatizados) es el método indirecto, el cual se basa en la obtención
de datos característicos del terreno.
Para ello lo más adecuado es la generación de una cuadricula (en terreno) lo más regular
posible, esto nos asegurará que la representación del relieve será lo más fiel posible, ver Figura
7.10.
Cabe destacar además que se debe tener el cuidado de registrar los puntos donde el relieve
tenga cambios abruptos, como quebradas, pozos, zanjas, etc. Siempre se recomienda la toma de
datos lo más regular posible, ya que de lo contrario se corre el riesgo de obtener una
representación errónea del sector.
¡EN REVISIÓN!
127
Figura 7.10
.
7.4.2. Interpolación de Curvas de Nivel
Ya hemos visto como obtener los datos necesarios para generar curvas de nivel, pero como se
pasa de una colección o grupo de puntos en el espacio a el dibujo de las curvas de nivel?, bueno el
procedimiento matemático se conoce con el nombre de interpolación de curvas de nivel y es la
manera de encontrar o ubicar espacialmente por donde pasan los líneas de igual elevación.
¡EN REVISIÓN!
128
Figura 7.11
Figura 7.12
Para resolver el problema, se han creado diferentes métodos matemáticos que recurren en su
mayoría a complejas funciones estadísticas o de cálculo vectorial, por suerte existe un método
relativamente fácil denominado “Triangulación Lineal”, el cual se basa en la creación de una
sucesión de triángulos entre los puntos del terreno y en el supuesto que entre dos puntos que
forman un lado del triangulo existe una pendiente constante.
Este método consiste en lo siguiente:
Dados dos puntos A y B del terreno, Figura 7.11, de los cuales sabemos sus elevaciones o
Cotas y además la distancia horizontal entre ellos (producto de su ubicación espacial o sus
coordenadas), podemos determinar a que distancia (desde el punto A o B) pasa la(s) curva(s) de
nivel que nos interesa determinar por simple semejanza de triángulos .
Ejercicio 7.3
Dada las cotas de dos puntos: Cota A: 14,5 m
y Cota B: 16,5 m, la distancia de separación es
de 20 metros. Se pide determinar las distancias
desde el punto A, a las curvas de nivel que
pasan entre los puntos, considerando una
interpolación cada 1 metro.
¡EN REVISIÓN!
129
Desarrollo
Podemos apreciar en la Figura 7.12, que entre ambos puntos pasan las curvas 15 y 16 m
respectivamente, entonces podemos determinar las distancias como sigue :
Para el desarrollo del ejemplo nosotros conocemos la Distancia horizontal entre los puntos A y B
que es de 20 m. y además por diferencia de altura conocemos el Desnivel;.
Desnivel = Cota B – Cota A ; Desnivel = 16,50 – 14,50=2,0 m
Aplicando la semejanza de triángulos podemos encontrar a que distancia horizontal del
punto A se encuentra la curva buscada aplicando para ello una regla de tres simple para el
desarrollo.
Para encontrar la Curva índice 15,00 m. Primero determinamos el desnivel que hay entre el punto
A y el punto de la curva buscada , en este caso 15,00 m
Desnivel = 15,00 – 14,50 = 0,50 m
El Calculo anterior nos indica que la curva de nivel de altura 15,00 se encuentra a 5,0 m del
punto A.
Queda al estudiante calcular la distancia para la curva de nivel 16,00. Respuesta 15,00
metros del punto A.
¡EN REVISIÓN!
130
7.4.3. Simbología
Es un conjunto de simbolos que se utilizan en los planos topográficos y representan los elementos
del terreno. En general la simbología se encuentra estandarizada en varias instituciones
estatalesntidades estatales por ello es conveniente informarse antes de confeccionar el el plano
topográfico. A continuación se muestra como ejemplo la simbología utlizada por el
¡EN REVISIÓN!
131
Figura 7.13
Fuente: Manual de carreteras, Ministerio de Obras Públicas de Chile.
Figura 7.14
Fuente: Manual de carreteras, Ministerio de Obras Públicas de Chile.
Nótese que la simbología esta dividida por grupos, así se puede encontrar simbolos para
vértices de puntos de referencia (Apoyo geodésico, Monumentos de vialidad), yacimientos
minerales y plantaciones, elementos estructurales(puentes, caminos, casas), elementos
lineales(cercos), etc. A continuación se muestra el plano de un levantamiento urbano, donde se
apreciar el uso de la simbología, nótese que existen zonas de huertos, estructuras(casas, canchas),
obras lineales, datos de coordenadas y geométricos(radios, longitudes de curvas, peraltes, etc),
ver Figura 7.14.
¡EN REVISIÓN!
132
Figura 7.15
Fuente: Manual de carreteras, Ministerio de Obras Públicas de Chile.
En la Figura 7.15, se muestra un plano topográfico de un levantamiento rural, donde se
aprecian las curvas de nivel cada 1 metro, el diseño de un camino con sus elementos
geométricos(radios, longitudes, peralte,etc), además de la información topográfica como
coordenadas, cotas, dirección del norte y amaras de puntos Pr.
¡EN REVISIÓN!
133
7.4.4. Problemas 7.4.3.1. Mencione y explique brevemente los sistemas de medición angular.
7.4.3.2. Transformar los siguientes valores angulares a los otros sistemas.
(a) 70,4569g
(b) 120,3456º
(c) 230º 30’ 40”
(d) 356g 34c 45cc
(e) p/4
7.4.3.3. Defina los conceptos de
(a) Acimut
(b) Rumbo.
(c) Levantamiento por radiación.
(d) Levantamiento por intersección de distancias.
(e) Taquimetría.
(f) Curva de nivel
7.4.3.4. Dado los siguientes datos de terreno:
Coordenadas espaciales de la estación A: Este=2000 m. Norte=1500 m Cota=493,25
m., considerando que el acimut al punto B es 120g 30c 90cc. Calcular la coordenadas de
los puntos que se muestran en el registro.
Estación Pto Ang. Hz Ang. Cenital Generador Hm Descripción
A B 0,0000 Hi=1,60 1 10,2567 101,2560 1,90 2,00 Relleno 2 30,4678 100,3456 1,30 1,40 Esq. Casa 3 60,5679 99,6789 1,02 1,55 Esq. Casa
7.4.3.5. Explique brevemente que criterios se deben tener encuenta al momento de realizar el
levantamiento en terreno, para posteriormente generar un interpolación correcta de
las curvas de nivel.
¡EN REVISIÓN!
134
7.4.3.6. Determinar la distancia horizontal a la cual pasan las curvas de nivel del punto A, si la
distancia de interpolación es cada 2 metros, la cota de A es 518 m , la cota de B es 525
m. y la distancia AB es de 20 metros.
7.4.5. Respuestas Problemas
7.4.3.2. (a) En sexagesimal: 63º 24’ 40,36” En circular: 1,10673439717 rad.
(b)En Centesimal : 133,7173g En circular : 2,10042696029 rad.
(c)En Centesimal: 256,1234g En circular : 4,02317785132 rad.
(d)En sexagesimal: 320º 42’ 39,10” En circular : 5,5974604539 rad.
(e)En sexagesimal: 45º En Centesimal : 50g
7.4.3.4.
Vértice Acimut DH Este Norte Cota
A 120,309 2000 1500 493,5
1 130,5657 189,926054 2168,45249 1912,27506 587,408537
2 150,7768 129,996169 2090,79274 1906,96408 470,150775
3 180,8769 101,997405 2030,1798 1902,56977 443,002663
7.4.3.6. Curva de nive 520, Distancia horizontal=5,714 m.
Curva de nive 522, Distancia horizontal=11,429 m.
Curva de nive 524, Distancia horizontal=17,143 m.
¡EN REVISIÓN!
135
Figura 8.1
8. Poligonales. Tópicos Avanzados
8.1 Introducción
Una poligonal es una serie de líneas consecutivas cuyas longitudes y direcciones se han
determinado a partir de mediciones en el campo. El trazo de una poligonal, que es la operación de
establecer las estaciones de ésta y de hacer las mediciones necesarias, es uno de los
procedimientos fundamentales y más utilizados en la práctica para determinar la ubicación
relativa entre puntos en el terreno.
Hay dos tipos básicos de poligonales: la cerrada y la abierta. En una poligonal cerrada:
(1) Las líneas regresan al punto de partida, formándose así un polígono geométrico y
analíticamente cerrado como se muestra en la Figura 8.1 (a), o bien, (2) las líneas terminan en otra
estación que tiene una exactitud de posición igual o mayor que la del punto de partida. La
poligonal de enlace (geométricamente abiertas, pero analíticamente cerrada) que se muestra en la
Figura 8.1(b) deben tener una dirección de referencia para el cierre, como, por ejemplo, la línea
EF, tiene AZ(EF). Las poligonales cerradas proporcionan comprobaciones de los ángulos y las
distancias medidas, consideración esta en extremo importante. Asimismo, se emplean
extensamente en levantamientos de control, para construcción, de propiedades y de
configuración.
¡EN REVISIÓN!
136
Figura 8.2
Una poligonal abierta (geométrica y analíticamente) consta de una serie de líneas unidas, pero
estas no regresan al punto de partida ni cierran en un punto con igual o mayor orden de exactitud.
Las poligonales abiertas se usan en los levantamientos para vías terrestres, pero, en general,
deben evitarse porque no ofrecen medio alguno de verificación por errores y equivocaciones. En
las poligonales abiertas deben repetirse las medidas para evitar las equivocaciones.
8.2 Traslado de Rumbo y Acimut
En muchos levantamientos y sobre todo en poligonales, es indispensable calcular acimut (o
rumbo). Los topógrafos prefieren trabajar con acimut, ya que por su definición (ángulo medido en
sentido horario) es más fácil trasladarlo entre rectas paralelas. Para explicar el proceso se realizará
en base a la Figura 8.2.
El Dato inicial es el acimut AB, AZ(AB), este se traslada por rectas paralelas (nortes) al punto B,
tal como se indica en la figura. Para calcular el acimut BC, AZ(BC), al acimut AB se le suma los 200
grados, calculando el retroacimut de la línea AB o también se puede decir el acimut BA, luego
sumar el valor del ángulo en B, obteniéndose 527,6775g, como el valor es superior a 400g, es decir
se dío una “vuelta”, se debe restar, el resultado para el AZ(BC)final es 127,6775g.
¡EN REVISIÓN!
137
Figura 8.3
El proceso es repetitivo desde el vértice C al D, es decir, ahora se utiliza como conocido el
AZ(BC), luego el AZ(CD);
Para determinar los rumbos,
siempre es recomendable calcular
primero los acimutes de todas las
líneas.
El rumbo del la línea BC, es
definido a partir de la dirección Sur(S)
y hacia el Este, ya que se encuentra
en ese cuadrante. El valor es
calculado restando a los 200g al valor
del AZ(BC) es el rumbo.
8.3 Medida de ángulos y direcciones de las poligonales
Los ángulos o direcciones que se pueden medir en las poligonales son: (1) ángulos interiores,
(2) ángulos a la derecha, y (3) Acimut.
8.3.1 Trazo de poligonales por ángulos interiores
Los ángulos interiores se usan casi en forma exclusiva en las poligonales para levantamientos
catastrales o de propiedades. Pueden leerse en el sentido de las manecillas del reloj o en el
sentido contrario. Sin embargo, es conveniente medir todos los ángulos interiores siempre en el
mismo sentido, porque así se reducen los errores de lectura, registro y trazo.
¡EN REVISIÓN!
138
Figura 8.4
8.3.2 Trazo de poligonales por ángulos a las derecha
Los ángulos medidos en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj desde una
visual hacia atrás, según la línea anterior (véase la Figura 8.2), se llaman ángulos a la derecha. El
procedimiento es similar al del trazo de una poligonal por acimut, excepto que la visual hacia atrás
se dirige con el limbo horizontal a cero, en vez de estarlo al acimut inverso. Los ángulos pueden
comprobarse (y precisamente más) duplicándolos, o bien, comprobarse en forma aproximada por
medio de lecturas en tránsito.
8.3.3 Trazo de poligonales por acimut
Los levantamientos topográficos se realizan a menudo por acimut. El proceso permite la
lectura del acimut de todas las líneas directamente, eliminando así la necesidad de calcularlos. En
la Figura 8.2, los acimutes se miden en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj a
partir de la dirección norte del meridiano que pasa por cada vértice. En cada estación se orienta al
instrumento visando a la estación anterior con el retroacimut. Entonces, después de soltar el freno
se visa a la siguiente estación, el ángulo obtenido en el limbo horizontal será el acimut de la línea
siguiente. (Wolf, 1997)
¡EN REVISIÓN!
139
Figura 8.5
8.4 Medición de longitudes poligonales
La longitud de cada línea de la poligonal se obtiene generalmente por el método más simple y
económico capaz de satisfacer la precisión exigida en un proyecto dado. El método que se emplea
con mayor frecuencia es la medición con dispositivos electrónicos, por ser los que proporcionan el
orden más alto de precisión, recibiendo el nombre de poligonal electrónica.
Otro método es medir las distancias por medio de los hilos estadimétricos que en uno y otro
sentido dan un control adecuando para ciertos tipos de trabajos de baja precisión, como, por
ejemplo en agricultura y geología.
8.5 Métodos de medición para ángulos de precisión.
8.5.1 Método de Reiteración.
La medida de un ángulo por reiteración puede ejecutarse con un taquímetro, teodolito o
estación total. El método se basa en medir varias veces un ángulo horizontal usando diferentes
porciones del limbo horizontal, para evitar,
principalmente, errores de graduación. Para calcular
el ángulo de “calaje” usar la expresión:
Donde n es la cantidad de reiteraciones.
Para hacer la demostración del proceso, se utilizará
el ejemplo de la Figura 8.5. Por definición del
proyecto de medición debe hacerse 4
reiteraciones, luego cada 50g debe fijarse el ángulo
de calaje comenzando el primero en
aproximadamente 0g.
Una vez nivelado el instrumento sobre la estación X se procederá de la siguiente manera:
1. Dirigir el anteojo del instrumento en posición directa hacia el vértice A, visando con 0g o
un valor cercano a cero. Fijar el freno y afinar la puntería con el tornillo de tangencia.
2. Soltar el freno y buscar con la mira de puntería el vértice B girando hacia la derecha, frenar
y afinar con el tornillo de tangencia, anotar el ángulo horizontal.
¡EN REVISIÓN!
140
3. Repetir la operación para los vértices C y D.
4. Transitar, apuntar con el anteojo al vértice A y frenar horizontalmente, afinar por medio
del tornillo de tangencia. Anotar el ángulo observado.
5. Repetir las pasos 2 y 3, obteniendo la primera reiteración.
6. La segunda reiteración se inicia fijando el ángulo aproximadamente 50g y apuntando en
directa hacia al vértice A, se frena y afina la puntería con el tornillo tangencial, luego soltar el freno
para mirar sucesivamente a B, C y D, hasta volver al vértice A girando siempre el anteojo hacia la
derecha. Se anota el valor angular que efectivamente se observe para cada vértice.
7. Repetir en tránsito las operaciones 4 y 5.
8. Volver apuntar sobre A con el respectivo ángulo de reiteración, repitiendo el ciclo hasta la
última reiteración.
Este método elimina errores instrumentales promediando valores. El anteojo se debe
rotar siempre en el sentido de los punteros del reloj. Si hay error de arrastre entre la alidada y el
limbo, el error para todos los ángulos es en el mismo sentido y se puede compensar, modificando
los valores en forma de anular la diferencia de la última lectura con 0(g). La exactitud de los
resultados aumenta con el número de reiteraciones.
¡EN REVISIÓN!
141
Ejercicio 8.1
Est
N° Reit
Pto
Directa Tránsito Promedio Promedio Reducido
Comp.
(cc)
Angulos Corregidos
Angulos Finales
X 1 A 0,0020 200,0010 0,0015 0,0000 0 0,0000 0,0000
B 39,6390 239,6410 39,6400 39,6385 0 39,6385 39,6386
C 74,1950 274,1950 74,1950 74,1935 1 74,1936 74,1928
D 98,3940 298,3925 98,3933 98,3918 1 98,3918 98,3912
A 400,0012 200,0010 400,0011 399,9996 4 400,0000
e= -0,0004
2 A 50,0015 250,0012 50,0014 0 0 0,0000
B 89,6400 289,6420 89,6410 39,6397 0 39,6397
C 124,1930 324,1950 124,1940 74,1927 0 74,1927
D 148,3920 348,3918 148,3919 98,3906 1 98,3906
A 50,0020 250,0002 50,0011 399,9998 2 400,0000
e= -0,0002
3 A 100,0020 300,0010 100,0015 0 0 0,0000
B 139,6402 339,6398 139,6400 39,6385 1 39,6386
C 174,1920 374,1940 174,1930 74,1915 2 74,1917
D 198,3927 398,3921 198,3924 98,3909 3 98,3912
A 100,0005 300,0001 100,0003 399,9988 12 400,0000
e= -0,0012
4 A 150,0054 350,0042 150,0048 0 0 0,0000
B 189,6420 389,6430 189,6425 39,6377 -1 39,6376
C 224,1988 24,1980 224,1984 74,1936 -2 74,1934
D 248,3968 48,3960 248,3964 98,3916 -3 98,3913
A 150,0060 350,0060 150,0060 400,0012 -12 400,0000
e= 0,0012
Compensación Unitaria
Donde e: Es el error de cierre. :ángulo de cierre.
En la primera reiteración: =0,01 cc/g
Compensación por ángulo para la primera reiteración:
CompA=0,01*0,0000g= 0 cc CompB=0,01*39,6385g= 0,39…cc 0g
Compc=0,01*74,1936g =0,74..cc 1g Comp.D=0,01*98,3918g=0,98..cc 1g
Comp.E=0,01*399,9996g=3,99..cc 4g
¡EN REVISIÓN!
142
8.5.2 Método de Repetición
Para aplicar este método se necesita un instrumento que permita ir acumulando lecturas
sucesivas de ángulo horizontal, en nuestro caso utilizaremos el mismo taquímetro digital analizado
el capítulo de instrumental.
Suponga que se desea medir el ángulo entre dos puntos A y B, tal como se aprecia en la Figura
8.6; luego una vez nivelado el instrumento y preparado para comenzar la medición se procederá
de la siguiente manera:
1. “Calar” al punto A, fijando el ángulo horizontal exactamente en 0(g).
2. Soltar el freno y medir visando el anteojo hacia B afinando con el tornillo tangencial, anotar el
ángulo medido, presionar la tecla HOLD para mantener el ángulo.
3. Llevar la visual al punto A afinando con el tornillo tangencial, presionar la tecla HOLD
nuevamente para liberar el limbo horizontal.
4. Repetir el paso 2 y 3, hasta completar el número de reiteraciones, anotar el valor del ángulo
final en la columna de la lectura directa.
En la eventualidad de querer obtener un ángulo con más precisión, se puede medir el ángulo
exterior BEA, para posteriormente distribuir los errores angulares, para ello, se transita el
teodolito y se repiten las operaciones 1 a la 4, pero midiendo el ángulo suplementario respecto de
400(g), por lo que se cala con 0(g) hacia B. El objetivo de usar el instrumento en tránsito es usar la
otra porción del limbo.
Esta forma de operar permite eliminar los errores instrumentales compensables. Se debe girar
siempre el teodolito en el sentido de los punteros del reloj, ya se gire sobre la alidada o sobre el
movimiento general. Si hay error de arrastre entre la alidada y el limbo, el error es siempre en el
mismo sentido, tanto para el ángulo como para su suplemento; éste se puede compensar en
proporción al ángulo como se puede ver en la Figura 8.6.
El registro se calcula, después de haberse anotado los ángulos que indica el limbo, de la siguiente
manera (MOP, 2001):
1. Comenzar anotando el valor simple del ángulo (α) en directa y (α’) en tránsito.
2. Calcular el valor final del ángulo en directa después de las n repeticiones (n=...), para obtener
el número de vueltas completas del ángulo (α) sobre el limbo.
3. Proceder a llenar la línea “Giros Completos”.
¡EN REVISIÓN!
143
Figura 8.6
Fuente Manual de Carreteras Volumen II.
4. Calcular el valor del “Angulo Total” sumando los giros completos a los valores leídos en el
limbo después de las n repeticiones.
5. Calcular el “Angulo Provisorio” dividiendo por “n” los valores del “Angulo Total”.
6. Sumar los valores del «Angulo Provisorio» en directa y tránsito, debiendo determinarse un
ángulo próximo a 400(g). La diferencia que se tenga (discrepancia) se reparte entre los dos
valores del «Angulo Provisorio» proporcionalmente a su magnitud, para completar la suma de
400(g).
7. EI “Angulo Definitivo” es el valor final de la medición.
¡EN REVISIÓN!
144
8.6 Selección de estaciones de una poligonal
Las posiciones seleccionadas para emplazar las estaciones de una poligonal varían con el tipo
de levantamiento. En los levantamientos de propiedades, se sitúa una estaca en cada vértice si las
líneas reales de lindero no están obstruidas y si los vértices pueden ocuparse. Si es necesario
recurrir a líneas auxiliares desplazadas, se sitúa una estaca cerca de cada vértice para simplificar
las medidas y los cálculos. Las líneas muy largas y el terreno accidentado pueden necesitar de
estaciones adicionales.
En los levantamientos por vías terrestres se sitúan las estacas en cada vértice y en otros
lugares cuando es necesario obtener datos topográficos o extender el levantamiento.
Por lo general, se corre la línea de centros antes de que comience la construcción: además,
puede ser necesario reemplazarla una o más veces durante varias fases del proyecto.
8.7 Causas de error
Algunas fuentes de error en el trazo de una poligonal son:
1. Selección deficiente de estaciones, ocasionado por malas condiciones de visado debidas a:
(a) Sol y sombra alternadas. visado hacia donde está el sol.
(b) Visibilidad de la parte superior del estadal solamente.
(c) Visual que pasa demasiado cerca del terreno
(d) Líneas demasiado largas o demasiado cortas
2. Errores en la medida de ángulos y distancias
3. No realizar mediciones de reiteración o repetición en la medición de los ángulos de la
poligonal (error de calaje).
8.8 Equivocaciones
Algunas equivocaciones en el trazo de poligonales son:
1. Ocupar equivocadamente una estación o visar hacia una estación equivocada.
2. Orientación incorrecta.
3. Confusión de ángulos a la derecha y a la izquierda.
4. Equivocaciones al elaborar el registro.
5. Mal uso de los programas que tiene incorporado el instrumento, en el caso de las
estaciones totales.
¡EN REVISIÓN!
145
9. Cálculo y Compensación de Poligonales
9.1 Error de cierre
El cierre (o error de cierre) angular para una poligonal trazada por ángulos interiores es la
diferencia entre la suma de los ángulos medidos y el total geométricamente correcto para el
polígono. La suma, , de los ángulos interiores en grados centesimales de un polígono cerrado
es igual a:
Siendo n el numero de lados o de ángulos en el polígono.
Por ejemplo en la Figura 9.1(a) muestra un polígono de cinco lados, la suma de los ángulos
interiores es 600g, pero producto de las mediciones en terreno dicha suma es igual a 600g 00c
60cc, por lo tanto el error angular de cierre es 60cc.
El error de cierre permitido o tolerancia de un proyecto de medición se basa en las
especificaciones técnicas asociadas al trabajo, en nuestro caso utilizaremos la especificaciones
técnicas establecidas por el ministerio de obras públicas, las que pueden encontrarse en el ítem
Especificaciones técnicas poligonales según M.O.P. de este documento, luego la tolerancia
angular para una poligonal de tercer orden es;
Donde n es el número de vértices.
Para una poligonal de 5 lados e=67,08cc 70cc, considerando que nuestras mediciones arrojaron
un error de cierre de 60cc, luego nuestro trabajo se puede clasificar como una poligonal de tercer
orden.
Una poligonal por acimut cerrada en el mismo punto Figura 9.1(a) se comprueba emplazando
el aparato sobre el punto de partida por segunda vez (Az(AB)llegada), después de ocupar las
estaciones sucesivas de toda la poligonal y de orientar por acimut inversos. El acimut del primer
lado debe tener el mismo valor original. Cualquier diferencia constituye el error de cierre.
¡EN REVISIÓN!
146
Figura 9.1
En el caso de poligonales de Enlace Figura 9.1(b) el error de cierre se comprueba al comparar
el acimut arrastrado a lo largo de la poligonal (Az(EF) llegada), con el acimut calculado a partir de
la coordenadas de la línea base conocida (Az(EF)calculado).
9.2 Cálculo de poligonales
Introducción los ángulos o las direcciones medidas de una poligonal cerrada pueden
comprobarse fácilmente antes de dejar el campo aplicando métodos de reiteración en la medida
del ángulo y midiendo las distancias de ida y vuelta dentro del circuito de la poligonal.
Los procedimientos usuales que se siguen en el cálculo de poligonales son:
(1) Ajuste de los ángulos o direcciones a condiciones geométricas fijas.
(2) Determinación de rumbos o acimut.
(3) Cálculo de proyecciones X (DE), Y (DN), y ajuste de estas por errores de cierre.
(4) Cálculo de las coordenadas rectangulares de las estaciones.
¡EN REVISIÓN!
147
9.2.1 Compensación de los ángulos interiores
Los ángulos de una poligonal cerrada pueden ajustarse simplemente al total geométrico
correcto aplicando uno de los dos métodos siguientes:
1. En el caso de medición de los ángulos interiores, se calcula una corrección media, o
promedio, a cada ángulo para los que hubo condiciones de observación aproximadamente
iguales en todas las estaciones. La corrección se determina dividiendo el cierre total
angular entre el número de ángulos con signo contrario al error, ver ejercicio siguiente:
Ejercicio 9.1
Est Ang. Hz
Comp. Ang. Hz. Corregido
V1 125,250 0,0006 125,2506
V2 106,464 0,0006 106,4646
V3 124,130 0,0006 124,1306
V4 130,578 0,0006 130,5786
V5 113,575 0,0006 113,5756
Suma= 599,9970g
=600g
Compensación para cada ángulo(c)
La corrección es positiva porque a la sumatoria le falto para llegar al valor geométrico.
2. En el caso de poligonales medidas por acimut, la corrección se calcula multiplicando el
error de cierre por el número del vértice divido por el total de vértices de la poligonal.
¡EN REVISIÓN!
148
Ejercicio 9.2
Estación Acimut Comp. Acimut Corregido
S3 156,8372 -0,0004 156,8368
V1 248,5137 -0,0008 248,5129
V2 358,2672 -0,0013 358,2659
A1 345,7797 -0,0017 345,7780
S1
356,1797 -0,0021 356,1776
OH1
Azimut Conocido S1_OH1= 356,1776
Error= 356,1797– 356,1776=0,0021
…..etc.
9.2.2 Compensación lineal
Para una poligonal cerrada como la de la Figura 9.1(a), es claro que si todas las distancias y
ángulos se midiesen perfectamente, la suma algebraica de las proyecciones Este (DE) de todos sus
lados debería ser igual a cero. De la misma manera, la suma algebraica de todas las proyecciones
Norte (DN) también debería ser igual a cero.
Para poligonales de enlace como la de la Figura 9.1(b), la suma algebraica de las proyecciones
Este debería ser igual a la diferencia total de las coordenadas Este entre los puntos de control
inicial (vértice A) y final (vértice E), la misma condición se aplica a la proyección en Norte.
Como las mediciones no son perfectas y existen errores en las distancias y ángulos, las
condiciones antes mencionadas rara vez se presentan. Las magnitudes en que tales condiciones no
se cumplen se denominan errores de cierre.
Sus valores se calculan sumando algebraicamente las proyecciones DE, DN y comparando los
totales con las condiciones requeridas. Los errores grandes de cierre indican ciertamente que se
han cometido errores o aún las cantidades medidas son precisas y libres de equivocaciones, pero
esto no es garantía de que no existan errores sistemáticos o de compensación.
¡EN REVISIÓN!
149
El error de cierre lineal (eL) de la poligonal. Se calcula con la formula siguiente:
La precisión relativa de una poligonal se expresa como la fracción:
9.2.3 Ajuste de poligonales
En el caso de una poligonal cerrada el error lineal de cierre debe distribuirse entre todo el
polígono para cerrar la figura, aun cuando al trazar la poligonal a la escala del plano el error de
cierre sea insignificante. Existen varios métodos elementales para ajustar poligonales pero el más
comúnmente usado es el de la regla de la brújula (método de bowditch).
9.2.4 Regla de la brújula (o de Bowditch)
Esta regla ajusta las proyecciones ortogonales de las líneas de poligonales en proporción a
sus longitudes. Aunque no es tan rigurosa como el método de los mínimos cuadrados, conduce a
resultados lógicos en la distribución de los errores de cierre. Las correcciones con este método se
hacen de acuerdo con las siguientes reglas:
Sea
Corrección delta este= Corrección delta Norte=
Error de cierre en la proyección Este = Error de cierre en la proyección Norte=
Ver Ejercicio 9.3
¡EN REVISIÓN!
150
Ejercicio 9.3
Aplicado la compensación por regla de la Brújula. Calcular los DE, DN corregidos de los vértices de la poligonal.
Est Pto. Ang. Hz Ang. Hz Comp
Ang. Hz. Corr.
Acimut Dist. Hz. DE DN Corr.
DE
Corr.
DN DE Corr. DN Corr.
V1
V1 V2 125,25 0,0006 125,2506 225,3 1262,600 -488,668 -1164,200 -0,007 0,004 -488,675 -1164,196
V2 V3 106,464 0,0006 106,4646 131,7646 1198,091 1052,022 -573,299 -0,006 0,004 1052,016 -573,295
V3 V4 124,13 0,0006 124,1306 55,8952 1010,740 777,727 645,551 -0,005 0,003 777,722 645,554
V4 V5 130,578 0,0006 130,5786 386,4738 1116,170 -235,371 1091,071 -0,006 0,004 -235,377 1091,075
V5 V1 113,575 0,0006 113,5756 300,0494 1105,680 -1105,680 0,858 -0,006 0,004 -1105,686 0,862
sumatoria
Ang. Hz 599,997
Distancia total:
5693,281
Suma. ang. Hz teórico: 600
Errores de cierre
0,030 -0,019 -0,030 0,019 0.000 0.000
Error
angular: 599,997- 600=-0,0030
Error lineal=±0,036
Error relativo=1/160330
Los errores de cierre en la proyección DE y DN, son 0,030 y -0,019 respectivamente, los que se obtienen en base a las sumatorias DE y
DN.
Las correcciones se calculan según las ecuaciones vista anteriormente, utilizando el error de cierre la longitud del segmento y el
perímetro total de la poligonal.
¡EN REVISIÓN!
151
9.2.5 Regla del tránsito
Esta regla produce poligonales corregidas, pero raras veces se emplea en la práctica,
porque los resultados dependen arbitrariamente de los rumbos o acimut de las líneas.
Las coordenadas se calculan empleando las siguientes fórmulas:
Sea
Corrección delta este= Corrección delta Norte=
Error de cierre en la proyección Este = Error de cierre en la proyección Norte=
=es la sumatoria de todos los DE en valor absoluto
= es la sumatoria de todos los DN en valor absoluto
Ver Ejercicio 9.4.
9.2.6 Calculo de coordenadas ortogonales
Las coordenadas ortogonales de los puntos se obtienen sumando el DE y DN corregidos, a
las coordenadas del punto conocido E, N, es decir;
Las coordenadas son útiles en una gran variedad de cálculo, inclusive para:
(1) Determinar longitudes y direcciones de líneas.
(2) Calcular áreas de predios.
(3) Trazar poligonales en mapas de base o de control.
Ver Ejercicio 9.4 y Ejercicio 9.5.
¡EN REVISIÓN!
152
Ejercicio 9.4
Aplicado la compensación por regla del tránsito. Calcular los DE, DN corregidos de los vértices de la poligonal.
Est Pto. Ang. Hz Ang. Hz. Comp
Ang. Hz. Corregido
Acimut Dh D E D N Corr
D E
Corr
D N D E
Corr.
D N
Corr.
V1
V1 V2 125,25 0,0006 125,2506 225,3 1262,600 -488,668 -1164,200 -0,004 0,006 -488,672 -1164,194
V2 V3 106,464 0,0006 106,4646 131,7646 1198,091 1052,022 -573,299 -0,009 0,003 1052,013 -573,296
V3 V4 124,13 0,0006 124,1306 55,8952 1010,740 777,727 645,551 -0,006 0,004 777,721 645,555
V4 V5 130,578 0,0006 130,5786 386,4738 1116,170 -235,371 1091,071 -0,002 0,006 -235,373 1091,077
V5 V1 113,575 0,0006 113,5756 300,0494 1105,680 -1105,680 0,858 -0,009 0,000 -1105,689 0,858
Sumatoria Ang.
Hz : 599,997
Distancia total:
5693,281 0,030 -0,019 -0,030 0,019 0,000 0,000
Suma Ang. Hz
teórico: 600
Errores de cierre
e: 0,003 Sumatorias valor absoluto: 3659,468 3474,979
Ejercicio 9.5
Calcular las coordenadas finales de los vértices de la poligonal.
Vértice Coord. Norte
Coord Este
V1 30000,000 20000,000
V2 28835,806 19511,328
V3 28262,510 20563,341
V3 28908,065 21341,062
V5 29999,142 21105,689
V1 30000,000 20000,000
¡EN REVISIÓN!
153
9.2.7 Diagrama resumen cálculo y compensación poligonales cerradas
¡EN REVISIÓN!
154
Figura 9.2
9.2.8 Uso de las poligonales abiertas
Aunque en general no se recomienda el trazo de poligonales abiertas, hay situaciones en que
es muy conveniente, sin embargo, se debe tener sumo cuidado al efectuar las mediciones porque
no hay verificación posible y cualquier error o equivocación conducirá a una longitud y dirección
erróneas para las líneas de cierre. La recomendación es que al realizar poligonales abiertas no
utilizar más de tres estaciones.
¡EN REVISIÓN!
155
9.3 Especificaciones técnicas poligonales según M.O.P.
PRIMARIA SECUNDARIA TERCIARIA
Objetivos Son de alta precisión y sirven de apoyo a otras poligonales.
Densificar la red primaria, sirve de referencia en estudios de trazados carreteras y caminos.
levantamiento y apoyo para otras redes
Instrumental Ang. Horizontal : Teodolítos con lectura directa a los 2 cc Ang. Vertical : debe leerse a los 25 cc Distancia : error máx. = 3 + 3*k (mm) ; k en km. Alcance mínimo prisma 3 Km.
Ang. Horizontal : Teodolitos a los 20 cc. Con estimación a los 5cc. Ang. Vertical : debe leerse al 1 c. Distancia : error máx. = 5 + 3*k (mm) ; k en km
Ang. Horizontal : Teodolitos a los 50 cc. Con estimación a los 10 cc. Ang. Vertical : 1 c. Distancia : error máx. = 5+ 5*k (mm) ; k en km
Tolerancia Entre
vértices
Longitud lados
Mínimo 800 m. Error probable del promedio no exceder 1 / 40.000 de la longitud del lado
Mínimo 500 m. Error probable del promedio no exceder 1 / 20.000 de la longitud del lado.
Mínimo 300 m. Error probable del promedio no exceder 1 / 15.000 de la longitud del lado.
desnivel 5 g. Con un máx. de 15 g. Previa aprobación DEDV.
10 g. con un máx. de 20 g. previa aprobación DEDV
15 g. con un máx. de 25 g. previa aprobación DEDV
Ang. horizontal
Error probable del promedio no exceder de 7 cc.
error probable del promedio no exceder de 15 cc
error probable del promedio no exceder de 25 cc
ang. vertical
Error probable del promedio no exceder a 50 cc.
error probable del promedio no exceder a 80 cc.
error probable del promedio no exceder a 1 c.
Método de medición
Ang. Hz : 5 reiteraciones o repeticiones en directa y transito. Ang. Vert: 2 o más reiteraciones en directa y transito. Distancia : minimo 5 observaciones.
ang. hz : 3 reiteraciones o repeticiones en directa y transito. ang. vert: 2 o más reiteraciones en directa y transito. Distancia : mínimo 3 observaciones.
ang. hz : 2 reiteraciones o repeticiones en directa y transito. ang. vert: 2 o más reiteraciones en directa y transito. Distancia : mínimo 2 observaciones.
Tolerancia en cierre.
angular 10 * N (cc) ; segundo centesimales) N : número de vértices.
20 * N (cc) ; segundos centesimales N : número de vértices.
30 * n (cc) ; segundos centesimales N : número de vértices.
longitud 1 / 40.000 1 / 20.000 1 / 15.000
¡EN REVISIÓN!
156
Figura 9.2
9.4 Replanteo Planimétrico.
Es el proceso topográfico que permite ubicar puntos en el terreno en base a las
coordenadas de puntos conocidos. Este procedimiento es fundamental para materializar cualquier
tipo de proyecto de ingeniería, minero, agrícola y de cualquier otra índole.
9.4.1 Cálculo de Distancia Horizontal y Acimut en base a coordenadas.
Suponiendo conocidas las coordenadas este y norte de dos puntos, se puede calcular la
distancia horizontal y Acimut entre puntos
Sea DN=N2-N1 ; DE=E2-E1
La distancia horizontal queda dada por:
De la Figura 9.2(a)
El valor α, producto de la función trigonométrica tangente, siempre se va a encontrar
entre 0g y 100g centesimales, luego es importante distinguir el cuadrante en que se encuentra el
punto. De esta forma el acimut para los cuatro cuadrantes queda dado por:
Cuadrante Acimut
I Az=α II Az=200+α III Az=200+α IV Az=400+α
¡EN REVISIÓN!
157
Es posible que se den las siguientes situaciones especiales:
DN es igual a cero, en este caso el valor de α queda indefinido para calcular el acimut, por lo
tanto, si el valor del DE es positivo, indica que el acimut es de 100g en caso contrario 300g.
DE es igual a cero, luego el valor de α también es cero, por lo tanto si el valor de DN es
negativo el acimut es de 200g en caso contrario es 0g.
Ejercicio 9.6
Dada las coordenadas de tres puntos A, B y C. Calcular el acimut y distancia horizontal para
replantear el punto C, Explicando el proceso que se debe realizar en terreno.
Desarrollo
Acimut y distancia entre el punto A y B.
DE=EB –EA=–500m DN=NB-NA=– 800m
α=35,5615g
El punto B se encuentra en el tercer cuadrante, por lo tanto el acimut es 235,5615g
La distancia horizontal es
Acimut y distancia entre el punto A y C.
DE=EC –EA=–200m DN=NC-NA=+10m
α=–96,8195497488g
El punto C se encuentra en el cuarto cuadrante, luego el acimut es 303,1804g
La distancia horizontal es
Medición en terreno:
Visar al punto B con el acimut AB y orientar el instrumento en la dirección del acimut AC, dar
la indicación al ayudante para ubicarlo en la línea de la visual.
Medir la distancia y dar orientaciones al ayudante hasta lograr ubicar el punto “C” a 303,180
metros respecto del punto “B”.
Punto Este Norte
A 1500 2000 B 1000 1200 C 1300 2010
¡EN REVISIÓN!
158
Punto Norte Este
A 5220,20 3425,45
B 5345,35 3500,25
C 5000,20 3555,45
D 4723,50 2890,23
E 5390,66 2425,45
9.5 Problemas
9.5.1. Dada las siguientes
coordenadas. Calcular rumbo,
acimut y distancia de los
segmentos AB, AC, AD y AE.
.
9.5.2. El acimut E-1 a E-0 es 153,256 g. Determinar el ΔN, ΔE y el desnivel de E-2. Considere una
altura instrumental = 1,57 metros.
Est. Punto Angulo Horizontal HS HM HI Angulo
Cenital. Directa Transito
E-1 E-0 00,0000 200,0010 - - - -
E-2 125,3530 325,3540 3,565 2,283 1,00 87,2530
9.5.3. Determinar el acimut DC, CB, BA y el rumbo AB, BC, CD. En base a los ángulos medidos.
9.5.4. Dado los siguientes datos calcular
rumbo y acimut de los segmentos:
CD, FE, ED, BA y BC. Los valores de
los ángulos medidos corresponden
a: B = 35g 25c 30cc; C =
230° 42’ 53”; CDE = 45g 18c 21cc:
DCNorte = 88g 26c 30cc ; E = 120g
35c 85cc.
¡EN REVISIÓN!
159
9.5.5. Calcular el acimut de los segmentos AB, BC, CD, DE y Rumbo de los segmentos BA,CB,DC,
ED. Trabaje en el sistema centesimal.
9.5.6. Calcular el acimut de los segmentos BA, CB, DC, ED y Rumbo de los segmentos AB, BC, CD,
DE. Trabaje en el sistema sexagesimal con grados minutos y segundos.
9.5.7. Calcular el acimut y distancia horizontal para replantear el punto C por coordenadas,
explique el procedimiento de terreno, considere el instrumento instalado en el punto B y
apuntando con 0 g. al punto A.
Norte Este Cota
A 6.235.335,25 582.365,92 525,36 B 6.234.500,65 582.780,25 550,45 C 6.233.800,35 582.920,30 540,34
¡EN REVISIÓN!
160
9.5.8. Calcular el área de una parcela de cuatro vértices (P1, P2, P3 y P4), la que ha sido levantada
topográficamente desde dos vértices H y J de un poligonal.
Instalado en H y calando en cero a J se obtuvieron los siguientes datos:
Altura instrumental de 1,55 m., ángulo horizontal al P1 de 275,55g, ángulo cenital al P1
101,35g, hilo medio igual a la altura instrumental y generador de 3,55m. Angulo
horizontal al P4 de 127,25g, ángulo vertical al P4 de 102,48g, hilo medio igual altura
instrumental y generador de 3,85 metros.
Instalado en J y calando en cero a H se obtuvieron los siguientes datos:
Altura instrumental de 1,55 metros, ángulo horizontal al P2 de 105,55g, ángulo cenital al
P2 de 99,75g, hilo medio igual a la altura instrumental y generador de 2,55 metros, ángulo
horizontal al P3 de 217,45g, ángulo vertical al P3 de 98,53g, hilo medio igual altura
instrumental y generador de 2,350 metros.
Las coordenadas de h son: Norte = 10923,72, Este =10491,29 y cota =199,25
Las coordenadas de J son: Norte = 10955,95, Este =10544,04 y cota =199,38
¡EN REVISIÓN!
161
9.5.9. Los siguientes datos corresponden a una poligonal cerrada ABCDE. Las coordenadas del punto A son N = 692,00 m , E = 1100,00 m. y el
acimut de la línea AE es 12,7654 g. Calcule y compense la poligonal considerando que se han medido los ángulos interiores y sus valores
son:
Est. Pto Angulo horizontal
Angulo corregido
Acimut Distancia horizontal
n corregido
e corregido
Norte
Este
A
A B 77,5500 606,70
B C 245,2488 471,70
C D 60,2012 751,65
D E 96,7840 855,87
E A 120,2222 502,06
9.5.10. Calcule y compense la poligonal de enlace aplicando el método de transito, dado el acimut (X-A) = 136,9648 g., el acimut (E-Y) = 313,3889
g. y las coordenadas de los puntos A, E.
punto Norte en (m) Este en (m)
A 460,901 782,820
E 84,679 740,270
Est. Pto Ángulo horizontal
Acimut Preliminar
Acimut Corregido
distancia horizontal
n
e
Norte Este
X A
A B 289,4685 129,352
B C 137,6056 81,700
C D 258,8907 101,112
D E 175,9777 94,273
E Y 314,4500
¡EN REVISIÓN!
162
9.5.11. Dada la siguiente poligonal de enlace electrónica. Calcular las coordenadas finales aplicando el método de Bowditch.
Norte V-iii = 5756,24 norte M1= 5168,24 Delta norte (M-1-M-5) = Este V-iii= 9798,29 Este M1 = 10021,16 AZ Viii- M1 = Norte IX = 5779,84 norte M5 = 5784,52 delta Este (M-1-M-5) = Este IX = 15003,68 Este M5 = 13855,19 Az M5-IX = Est Pto áng. Hz Az Az Corr Dist.Hz Delta
Norte Delta Este
Corr. D. N
Corr. D. E.
D. N. Corr.
D. E. Corr.
Norte Este
V-iii M1 0
M1 M2 122,098 861,48
M2 M3 224,3349 1000,81
M3 M4 143,2798 1212,89
M4 M5 211,3624 1050,49
M5 IX 222,2498
Sumatoria sin signo :
Sumatoria con signo :
error acimutal de cierre
Corrección = error D.N.
error D.E.
¡EN REVISIÓN!
163
9.5.12. Dado el siguiente registro por reiteración. Calcular los ángulos cenitales y verticales finales
Est Pto
Ángulo horizontal Ángulo vertical Distancia Inclinada
Dist. Incl prom
Altura Prisma directa transito promedio prom_red Final directa transito Prom Final
OH1 S1 0,0020 200,0080
99,7580 300,2280
120,870
1,60
HI= OH2 298,6600 98,6680
99,8100 300,1760
119,830
1,60
1,59
S1 0,0040 200,0080
99,7600 300,2260
120,870
1,60
OH2 298,6620 98,6660
99,8170 300,1780
119,820
1,60
S1 S2 0,0000 200,0060
99,7320 300,2580
78,690
1,60
HI= OH1 288,0640 88,0720
100,1940 299,7940
120,880
1,60
1,545
S2 0,0000 200,0080
99,7320 300,2580
78,700
1,60
OH1 288,0640 88,0720
100,1940 299,7960
120,870
1,60
S2 S3 0,0020 200,0080
99,9700 300,0200
60,430
1,60
HI= S1 235,5520 35,5580
100,1160 299,8720
78,710
1,60
1,49
S3 0,0000 200,0080
99,9720 300,0180
60,440
1,60
S1 235,5540 35,5600
100,1180 299,8700
78,700
1,60
S3 OH2 0,0000 200,0060
100,1200 299,8700
116,960
1,60
HI= S2 283,9360 83,9440
99,8340 300,1580
60,450
1,60
1,53
OH2 0,0000 200,0100
100,1220 299,8700
116,960
1,60
S2 283,9400 83,9460
99,8300 300,1580
60,440
1,60
¡EN REVISIÓN!
164
OH2 OH1 0,0000 200,0060
100,1440 299,8400
119,830
1,60
HI= S3 293,7760 93,7840
99,8220 300,1760
116,950
1,60
1,555
OH1 0,0000 200,0100
100,1480 299,8440
119,830
1,60
S3 293,7780 93,7860
99,8200 300,1720
116,950
1,60
OH2 OH1 0,0000 200,0100
HI= R1 345,1600 145,1700
99,7100 300,2780
89,850
1,60
1,555
R1 OH2 0,0000 200,0060
HI= R2 286,5640 86,5700
100,0680 299,9220
37,523
1,60
1,445 R3 219,0380 19,0420
99,7460 300,2420
37,583
1,60
OH2 50,0000 250,0080
R2 336,5640 136,5740
100,0660 299,9200
37,526
1,60
R3 269,0360 69,0400
99,7480 300,2400
37,587
1,60
OH2 100,0000 300,0060
R2 386,5620 186,5700
100,0660 299,9200
37,525
1,60
R3 319,0380 119,0420
99,7480 300,2400
37,585
1,60
9.5.13. Para los datos del registro de la pregunta 9.5.12, calcular la poligonal en
forma altimétrica y planimétrica, aplicando el método del transito.
¡EN REVISIÓN!
165
9.5.14. En una poligonal taquimétrica las tres primeras estaciones son A, B y C. En la estación B
se encontró que la altura del instrumento (hi) no se midió sobre la estaca A. Encontrar a
partir de las lecturas tabuladas, el valor faltante y calcular el nivel del terreno en C. Si en
la estación A es de 83.44 metros, las constantes del instrumento son k = 100 y A = 0
Estación Punto Lectura ángulo vertical
Hilo superior Hilo medio Hilo inferior Altura instrumental
A B +5º 42’ 2.43 2.07 1.71 -- B A -5º 24’ 1.68 1.34 1.00 1.28 B C -5º 24’ 1.68 1.44 1.20 1.28
¡EN REVISIÓN!
166
9.6 Respuestas problemas
9.5.1.
Segmento Acimut Rumbo Distancia
AB 34G 29C 56 CC NE 34G 29C 56 CC 145,80 AC 166G 02C 31CC SE 33G 97C 69 CC 255,54 AD 252G 37C 53CC SO 52G 37C 53 CC 730,19 AE 310G 74C 85CC NO 89G 25C 15 CC 1014,42
9.5.2. ΔN= -81,228 metros , ΔE=-232,576 metros, ΔH= +49,284 m, NE-2=418,772 m, EE-2=267,423, cotaE-2=149,284m
9.5.3. Acimut BA= 325g ; CB= 355g ; CD= 205g ; Rumbo AB = SE 75g ; BC = SE 45g ; CD = SE 95g
9.5.4. .
Rumbos Acimut
CD NE 66G 55C 49CC CD 66G 55C 49 CC FE SE 08G 62C 15CC FE 191G 37C 85 CC ED SE 88G 26C 30CC ED 111G 73C 70 CC BA NE 87G 65C 16CC BA 87G 65C 96 CC BC SE 77G 09C 54CC BC 122G 90C 46CC
9.5.5.
segmento Acimut rumbo AB 143,6131G BC 213,7521G CD 344,8328G DE 394,8057G BA NO 56,3869G CB NE 13,7521G DC SE 55,1672G ED SE 5,1943G
¡EN REVISIÓN!
167
9.5.6.
segmento Acimut rumbo AB 67º 52’ 67.00” BC 59º 38’ 10,75” CD 33º 54’ 03.60” DE 9º 46’ 04,76” BA 112º 07’ 42,84” CB 239º 39’ 10,75” DC 33º 54’ 03.60” ED 170º 13’ 55.24”
9.5.7. Ángulo horizontal =216g 76c 95cc , visando en cero grado al punto A, Distancia Horizontal =
714,167 m.
9.5.8. .
norte este Cota
H 10923,72 10491,29 199,25
J 10955,95 10544,04 199,38
Az(HJ)= 65,0836
Est Pto Ang Az z Hm G DH Norte Este
H J 65,0836
hi P1 275,55 340,6336 101,35 1,55 3,55 354,840386 11135,13667 10206,3081
1,55 P4 127,25 192,3336 102,48 1,55 3,85 384,416039 10542,08796 10537,4709
J H 265,0836
hi P2 105,55 370,6336 99,75 1,55 2,55 254,996068 11184,29405 10430,5412
1,55 P3 217,45 82,5336 98,53 1,55 2,35 234,874725 11019,58518 10770,13
norte este
P1 11135,13667 10206,30809
P2 11184,29405 10430,54116 2502377,25
P3 11019,58518 10770,13003 3770095,11
P4 10542,08796 10537,47093 -2508259,7
P1 11135,13667 10206,30809
-3589345,66
174866,995
Area Total
9.5.9. Aplicando el método de Bowditch: Nb =783,964, Eb = 1699,753; Nc = 533,973, Ec = 2099,800; Nd = 1283,974, Ed = 2049,871; Ne = 1183,989, Ee = 1199,949 Aplicando el método del Tránsito: Nb =783,955, Eb = 1699,788; Nc = 533,964, Ec = 2099,851; Nd = 1283,979, Ed = 2049,855; Ne = 1183,980, Ee = 1199,983
¡EN REVISIÓN!
168
9.5.10.
Est. Pto Ángulo horizontal
Acimut Preliminar
Acimut Corregido
distancia horizontal
corregido
corregido
Norte Este
X A 136,9648 460,9 782,82
A B 289,48 226,4448 226,44362 129,352 -118,353 -52,198 -118,346 -52,188 342,555 730,632
B C 137,61 164,0548 164,05244 81,7 -69,018 43,720 -69,014 43,729 273,541 774,361
C D 258,90 222,9548 222,95126 101,112 -94,612 -35,668 -94,607 -35,661 178,934 738,700
D E 175,99 198,9448 198,94008 94,273 -94,260 1,569 -94,255 1,570 84,679 740,270
E Y 314,45 313,3948 313,3889
Acimut fíjo
313,3889 deltas entre A-E
-376,242 -42,576 -376,222 -42,550
error angular
-0,0059 sumas 376,242 133,156
Delta por coord.
Fíjas
-376,222 -42,550
errores 0,020 0,026 0,000 0,000
9.5.11.
Norte V-iii =
5756,24 norte M1=
5168,24 Delta norte (M-1-M-5) = 616,28
Este V-iii= 9798,29 Este M1 = 10021,16 AZ Viii- M1 = 176,9353
Norte IX = 5779,84 norte M5 =
5784,52 delta Este (M-1-M-5) = 3834,03
Este IX = 15003,68 Este M5 = 13855,19 Az M5-IX = 100,2594
Est Pto áng. Hz Az Az Corr Dist.Hz Delta Norte
Delta Este
Corr. D. N
Corr. D. E.
D. N. Corr.
D. E. Corr.
Norte Este
V-iii M1 0 176,9353 176,9353 5168,24 10021,16
M1 M2 122,098 99,0333 99,03314 861,48 13,083 861,380 -0,000 -0,032 13,082 861,348 5181,322 10882,508
M2 M3 224,3349 123,3682 123,36788 1000,81 -359,165 934,141 -0,023 -0,035 -359,188 934,106 4822,133 11816,615
M3 M4 143,2798 66,648 66,64752 1212,89 606,760 1050,211 -0,040 -0,039 606,720 1050,171 5428,854 12866,786
M4 M5 211,3624 78,0104 78,00976 1050,49 355,689 988,440 -0,023 -0,037 355,665 988,403 5784,520 13855,19
M5 IX 222,2498 100,2602 100,2594
Sumatoria sin signo : 1334,698 3834,174
Sumatoria con signo : 616,368 3834,174
error acimutal de cierre
100.2602-100.2594 = 0,0008 0,088 0,144
Corrección = -0,00016 error D.N. error D.E.
¡EN REVISIÓN!
169
9.5.12. Respuestas registro de reiteración.
Est Pto
angulo horizontal angulo vertical Distancia Inclinada
Dist. Incl prom
Altura Prisma promedio prom_red Final Prom Final
OH1 S1 0,0050 0,0000 0,0000 99,7650 99,7660 120,870 120,8700 1,60
HI= OH2 298,6640 298,6590 298,6585 99,8170 99,8183 119,830 119,8250 1,60
1,59
S1 0,0060 0,0000 99,7670 120,870 1,60
OH2 298,6640 298,6580 99,8195 119,820 1,60
S1 S2 0,0030 0,0000 0,0000 99,7370 99,7370 78,690 78,6950 1,60
HI= OH1 288,0680 288,0650 288,0645 100,2000 100,1995 120,880 120,8750 1,60
1,545
S2 0,0040 0,0000 99,7370 78,700 1,60
OH1 288,0680 288,0640 100,1990 120,870 1,60
S2 S3 0,0050 0,0000 0,0000 99,9750 99,9760 60,430 60,4350 1,60
HI= S1 235,5550 235,5500 235,5515 100,1220 100,1230 78,710 78,7050 1,60
1,49
S3 0,0040 0,0000 99,9770 60,440 1,60
S1 235,5570 235,5530 100,1240 78,700 1,60
S3 OH2 0,0030 0,0000 0,0000 100,1250 100,1255 116,960 116,9600 1,60
HI= S2 283,9400 283,9370 283,9375 99,8380 99,8370 60,450 60,4450 1,60
1,53
OH2 0,0050 0,0000 100,1260 116,960 1,60
S2 283,9430 283,9380 99,8360 60,440 1,60
OH2 OH1 0,0030 0,0000 0,0000 100,1520 100,1520 119,830 119,8300 1,60
HI= S3 293,7800 293,7770 293,7770 99,8230 99,8235 116,950 116,9500 1,60
1,555
OH1 0,0050 0,0000 100,1520 119,830 1,60
S3 293,7820 293,7770 99,8240 116,950 1,60
OH2 OH1 0,0050 0,0000 0,0000
HI= R1 345,1650 345,1600 345,1600 99,7160 99,7160 89,850 89,850 1,60
1,555
R1 OH2 0,0030 0,0000 0,0000
HI= R2 286,5670 286,5640 286,5640 100,0730 100,0730 37,523 37,525 1,60
¡EN REVISIÓN!
170
1,445 R3 219,0400 219,0370 219,0360 99,7520 99,7533 37,583 37,585 1,60
OH2 50,0040 0,0000
R2 336,5690 286,5650 100,0730 37,526 1,60
R3 269,0380 219,0340 99,7540 37,587 1,60
OH2 100,0030 0,0000
R2 386,5660 286,5630 100,0730 37,525 1,60
R3 319,0400 219,0370 99,7540 37,585 1,60
¡EN REVISIÓN!
171
9.5.13. Poligonal Altimétrica
Est Pto CENITAL Dist. Incl prom Altura Prisma DIST. HZ DESNIVEL DESNIVEL FINAL COTA COTA_COMP
OH2 499,644
HI= S3 99,8235 116,9500 1,60 116,9500 0,2792 0,290 499,934 499,932
1,555
S3 OH2 100,1255 116,9600 1,60 116,9600 -0,3006
HI= S2 99,8370 60,4450 1,60 60,4450 0,0848 0,086 500,020 500,017
1,53
S2 S3 99,9760 60,4350 1,60 60,4350 -0,0872
HI= S1 100,1230 78,7050 1,60 78,7050 -0,2621 -0,266 499,754 499,749
1,49
S1 S2 99,7370 78,6950 1,60 78,6940 0,2701
HI= OH1 100,1995 120,8750 1,60 120,8740 -0,4338 -0,434 499,320 499,314
1,545
OH1 S1 99,7660 120,8700 1,60 120,8690 0,4343
HI= OH2 99,8183 119,8250 1,60 119,8250 0,3321 0,332 499,651 499,644
1,59
OH2 OH1 100,1520 119,8300 1,60 119,8300 -0,3311
HI=
1,555 0,0074
ERROR
¡EN REVISIÓN!
172
Est Pto CENITAL Dist. Incl
prom Altura Prisma DIST. HZ DESNIVEL COTA
R1 500,000 HI= R2 100,0730 37,525 1,60 37,5250 -0,1980 499,802 1,445 R3 99,7533 37,585 1,60 37,5850 -0,0094 499,991
Poligonal Planimétrica
Est Pto HORIZONTAL
ACIMUT COMP.
DIST- HZ PROM DELTA ESTE
DELTA NORTE
CORREGIDO COORDENADAS
ACIMUT DELTA E DELTA N ESTE NORTE
OH2 OH1 0,0000 254,8400 1000,000 2089,849
HI= S3 293,7770 148,6170 148,6192 116,9550 84,4738 -80,8866 84,4741 -80,8903 1084,474 2008,959
1,555
S3 OH2 0,0000 348,6170
HI= S2 283,9375 232,5545 232,5589 60,4400 -29,5810 -52,7063 -29,5809 -52,7087 1054,893 1956,250
1,53
S2 S3 0,0000 32,5545
HI= S1 235,5515 268,1060 268,1126 78,6995 -69,0318 -37,7917 -69,0316 -37,7934 985,862 1918,457
1,49
S1 S2 0,0000 68,1060
HI= OH1 288,0645 356,1705 356,1793 120,8715 -76,7838 93,3497 -76,7835 93,3455 909,078 2011,802
1,545
¡EN REVISIÓN!
173
OH1 S1 0,0000 156,1705
HI= OH2 298,6585 54,8290 54,8400 119,8275 90,9217 78,0505 90,9220 78,0470 1000,000 2089,849
1,59
OH2 OH1 0,0000 254,8290
HI=
1,555 -0,0110 ERROR -0,0012 0,0155 0,0000 0,0000
ERROR
CIERRE= SUMA 350,7921 342,7849
Est Pto HORIZONTAL ACIMUT DIST- HZ PROM
COORDENADAS
ESTE NORTE
R1 OH2 0,0000 0,0000 1000,0000 2000,0000
R2 286,5640 286,5640 37,525 963,3080 1992,1390
R3 219,0360 219,0360 37,585 988,9282 1964,0828
9.5.14. Altura instrumental = 1,38 m , Cota B = 90,60 m., Cota C = 85,95 m.
¡EN REVISIÓN!
174
10. Bibliografía
Adjustment Computations Statistics and least squares in Surveying and GIS [Book] / auth. Wolf
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Curvas de Nivel [Informe] / aut. Javier Gutierrez Plaza. - Santiago : [s.n.], 2008.
Manual de Carreteras Volumen II. Procedimiento de estudios Viales [Libro] / aut. MOP. -
Santiago : [s.n.], 2001.
Técnicas Modernas en Topografía [Libro] / aut. S Bannister A. Raymond. - New York : AlfaOmega,
1994.
Topografía [Libro] / aut. Wolf Brinker.. - Mexico : AlfaOmega grupo editor, 1997.