1. Lgica y Conjunto

2. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto2Con especial cario ami madre Delva por su crianza,por la semilla que sembraste enm, a Lilia mi esposa, por suapoyo, estimulo, comprensin ysacrificio, a mis hijos porque sonmi fuente de inspiracin, a todasaquellas personas que han credoen mi trabajo y que me han dadola oportunidad de seguircreciendo cada da y a misestudiantes a quienes va dirigidoeste trabajo.GraciasJos Francisco Barros Troncoso 3. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto3CONTENIDO TEMTICOLGICA1. Estructura epistemolgicaDefinicin etimolgicaDefinicin conceptualLgica matemtica2. Lgica Proposicional (Conectivos Lgicos) Negacin Disyuncino Inclusivao Exclusiva Conjuncin Condicionalo Variaciones del Condicional Bi-condicional3. Interpretacin Oracional Idiomtica4. Diagrama de Verdad de las proposiciones Compuestas5. Tablas de Verdada. Tautologab. Contradiccinc. Indeterminada.6. Equivalencia Lgica: Algebra de proposiciones7. Inferencia LgicaReglas de Inferencia7.1. Modus Ponendo Ponens PP7.2. Doble Negacin (DN)7.3. Modus Tollendo Tollens (TT)7.4. Modus Tollendo Ponens (TP)7.5. Regla de Simplificacin (S)7.6. Regla de Adjuncin (A)7.7. Regla de Adicin ( LA)7.8. Regla del Silogismo Hipotetico (SH)7.9. Regla del Silogismo Disyuntivo (SD)7.10. Regla de la Simplificacin Disyuntiva(D)7.11. Otras reglas de Inferencia8. Cuantificacin de Enunciados Cuantificador Universal Cuantificador Existencial Negacin de los Cuantificadores9. Clasificacin de las Proposiciones CategricasEl Cuadrado de la Oposicin10. Inferencias Inmediatas: Conversin, Obversin Y Contraposicin 4. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto4TEORA DE CONJUNTO1. Notacin de Conjunto2. Tipos de conjunto3. Relacin entre Conjuntos4. Diagrama de Venn-Euler5. Operacin entre Conjuntos6. Nmero de elementos de un ConjuntoBIBLIOGRAFA 5. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto5LGICALgica. (Del lat. logca, y este del gr. ).1. f. Ciencia que expone las leyes, modos y formas del conocimiento cientfico. formal,o ~ matemtica.2. f. La que opera utilizando un lenguaje simblico artificial y haciendo abstraccin delos contenidos.Tomado de: http://buscon.rae.es/draeI/SrvltConsulta?TIPO_BUS=3&LEMA=logicaLa lgica es una ciencia formal y una rama de la filosofa que estudia los principios dela demostracin e inferencia vlida. La palabra deriva del griego antiguo (logike), que significa "dotado de razn, intelectual, dialctico, argumentativo", que asu vez viene de (logos), "palabra, pensamiento, idea, argumento, razn oprincipio".Tomado de: http://es.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gicaLa lgica matemtica es la disciplina que trata de mtodos de razonamiento. En unnivel elemental, la lgica proporciona reglas y tcnicas para determinar si es o novalido un argumento dado. El razonamiento lgico se emplea en matemticas parademostrar teoremas; en ciencias de la computacin para verificar si son o nocorrectos los programas; en las ciencias fsica y naturales, para sacar conclusiones deexperimentos; y en las ciencias sociales y en la vida cotidiana, para resolver unamultitud de problemas. Ciertamente se usa en forma constante el razonamiento lgicopara realizar cualquier actividad.Tomado de: http://www.mitecnologico.com/Main/ProposicionesUna Proposicin es una expresin u oracin declarativa con sentido completo que nodepende de la persona, ni del espacio ni del tiempo. Toda proposicin tiene un valorde verdad que puede ser verdadero o falso pero no ambas a la vez, esto es una leydenominada ley del tercer excluido. La proposicin es el elemento fundamental de lalgica matemtica. Una proposicin se expresa generalmente con letra minscula, dospuntos y a continuacin la oracin.Algunos ejemplo de proposiciones validas o no validas son: p: La tierra es plana. q: 17 + 15 = 2 r: x > y-9 s: El Junior ser el prximo campen de Colombia. t: Buenos das w: Hoy es lunes v: Hace Calor 6. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto6 x: Santa Marta es ms bonita que ValleduparLas proposiciones se clasifican en simples y compuestas. Las proposiciones simplesestn formadas por una sola oracin y las compuestas por ms de una oracin yenlazadas por conectivos lgicos a saber: la negacin, disyuncin, conjuncin,condicional y bicondicional.La Negacin Si a una proposicin simple se le antepone la expresin no es cierto o se leinterpone el adverbio no se forma una proposicin compuesta llamada la negacin dela proposicin principal. Se simboliza con p. Si p es una proposicin simple, lanegacin de p se representa p y se lee no p.Tabla de verdadUtilizaremos los nmeros 1 y 0 para indicar que las proposiciones son verdaderas ofalsas respectivamentep p1 00 1Ntese que si la proposicin es verdadera su negacin es falsa y viceversaEjercicio. Niegue cada una de las siguientes proposicionesa: La matemtica es la madre de todas las cienciasb, Colombia con la mejor democracia en Amrica Latinac. El hombre no es el nico animal racionald. No es cierto que todas las aves vuelane. No hay nadie en casaLa Disyuncin Inclusiva es una proposicin compuesta formada por dos o msproposiciones simples. Se representa con el smbolo v se lee o. Si p y q sonproposiciones simples la disyuncin de p y q se representa p v q se lee p o q.Tabla de verdadp q p v q1 1 11 0 10 1 10 0 0 7. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto7Ntese que la disyuncin solamente es falsa si las dos proposiciones son falsasEjercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad si:a.r: Simn Bolvar era venezolanos: Simn Bolvar era colombiano.Entonces: r v sb.p: La tierra es redondaq: La tierra es ovaladaEntonces: p v qc.p: La ballena es un mamferos: La ballena no tiene branquiasEntonces: p v sd.p: El calentamiento global es consecuencia de que la tierra se acerca al sols: El calentamiento global es consecuencia del nmero de habitantesde la tierraEntonces: p v se.p: La evolucin tecnolgica ha retrasado la evolucin del hombres: La evolucin tecnolgica no aporta a la inteligencia del hombreEntonces: p v sLa Disyuncin Exclusiva Es un caso especial de disyuncin cuyo smbolo es v, que sediferencia del anterior en que solo es verdadera cuando una y solamente una de lasproposiciones es verdadera.La Conjuncin es una proposicin compuesta formada por dos o ms proposicionessimples. Se representa con el smbolo se lee y. Si p y q son proposiciones simples laconjuncin de p y q se representa p q se lee p y q.Tabla de verdadp q p q1 1 11 0 00 1 00 0 0 8. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto8Ntese que la conjuncin es verdadera solo cuando las dos proposiciones sonverdaderas.Ejercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad si:a.r: Simn Bolvar era venezolanos: Simn Bolvar lidero la libertad de las chilenos.Entonces: r sb.p: La tierra es redondaq: La tierra es achatada en los polosEntonces: p qc.p: La ballena tiene branquiass: La ballena es un mamferoEntonces: p sd.p: La Sierra nevada de Santa Marta pertenece al Cesars: La sierra nevada de Santa Marta no esta afectada por elcalentamiento globalEntonces: p se.p: La evolucin tecnolgica ha retrasado la evolucin del hombres: La evolucin tecnolgica no aporta a la inteligencia del hombreEntonces: p sLa Condicional es una proposicin compuesta formada por dos o ms proposicionessimples. Se representa con el smbolo se lee Si..entonces. Si p y q son proposicionessimples el condicional de p y q se representa p q se lee Si p entonces q.Tabla de verdadp q p q1 1 11 0 00 1 10 0 1Ntese el condicional solo es falso cuando la primera proposicin es verdadera y lasegunda es falsa. 9. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto9Ejercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad si:a.r: Todos los peces son ovpaross: La ballena no es pezEntonces: r sb.p: Colombia es el tercer pas ms rico en aguaq: En Colombia no hay problemas con el consumo de aguaEntonces: p qc.p: Colombia instalar bases militares de EEUUs: Venezuela rompe relaciones con ColombiaEntonces: p sd.p: Los paramilitares devuelven las tierrass: No hay desplazados en ColombiaEntonces: p se.p: La evolucin tecnolgica ha mejorado el nivel de vida del hombres: El hombre ha aprovechado la evolucin tecnolgicaEntonces: p sf.p: El incremento de la inflacin sube las tasas de interss: El incremento de la inflacin trae inversionistas extranjerosEntonces: p sTipos de CondicionalesDado la condicional p q denominada condicional directa entonces se denomina: Contraria: la condicional p q Reciproca: la condicional q p Contra-reciproca: la condicional q pEjercicio:Escriba la contraria, la reciproca y la contra-reciproca de cada proposicin1. Si las fiestas del mar fueron un xito entonces deben continuar realizndola2. Si los pases vecinos a Colombia colaboran con los grupos insurgentes entonces noson pases amigos3. Si el Unin Magdalena no juega bien entonces el estadio estar siempre vacio 10. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto104. Si las religiones son utilizadas para alabar un Dios entonces porque explotan a losfeligresesLa Bi-condicional es una proposicin compuesta formada por dos o ms proposicionessimples. Se representa con el smbolo se lee Si .. Solo si. Si p y q son proposicionessimples la bicondicional de p y q se representa p q se lee p si solo si q.Tabla de verdadp q p q1 1 11 0 00 1 00 0 1Ntese la bi-condicional es verdadero si los valores de verdad de las proposicionesson iguales.Ejercicios: Escriba la proposicin compuesta e indique su valor de verdad sia.r: En Colombia hay pazs: En Colombia todos los gobernantes son honestosEntonces: r sb.p: x + 5 = 7q: x = 2Entonces: p qc.p: Las clulas vegetales poseen cloropastoss: Las clulas vegetales poseen clorofilaEntonces: p sd.p: Los paramilitares devuelven las tierrass: Los paramilitares tienen garantizado el reintegro a la sociedadEntonces: p se.p: El Unin Magdalena volver a la primera categoras: El unin Magdalena es vendidoEntonces: p s 11. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto11f.p: Hait es el pas ms pobre del mundos: Hait es el pas con mayor posibilidad de invasin extranjeraEntonces: p sEquivalencias de los ConectoresConector Lenguaje ComnNegacin No; No es cierto que; no es el caso queConjuncin Y: Pero; Sin embargo; Adems; Aunque; A lavez; No obstante, NiDisyuncin O;Condicional Si entonces; Por lo tanto, si,dado que; siempre que; porque; en vista queBicondicional Si y solo siInterpretacin oracional IdiomticaSe denomina interpretacin idiomtica, a cualquier enunciado cuya estructuracoincida con una proposicin dad:Ejercicio. Interprete oracionalmente cada enunciado, identifique las proposicionessimples y represente en forma simblicao Si los estudiantes son responsables de sus compromisos y muestran inters en elestudio de su profesin entonces la universidad mejora el nivel acadmico obuscar estrategias para la desercino Si el hombre fuera racional entonces no construyera armas lesivas para lahumanidado Es falso, que las rosas son rojas y las violetas son azuleso Si las polticas de estado son buenas entonces el pas no estara en guerrao Si Radamel Garca y Johan Volanten son samarios entonces son buenos jugadoresde futbol o se formaron en otro paso Si Colombia es el pas que ms abastece a Venezuela y Venezuela es el principalcomprador de los productos colombianos entonces las diferencias en suspresidentes no convienen a ninguno de los dos pases 12. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto12o Los residentes cancelarn la administracin si solo si la junta directiva cambia aladministrador o abren una cuenta bancara donde se pague la administracino Si el calentamiento global es producto de la contaminacin ambiental o de la talaindiscriminada de rboles, entonces no, a la contaminacin ambiental y a la talaindiscriminada de arboleso La inversin social se mejora si solo si se implementan polticas defortalecimiento tributario y no hay corrupcin administrativaDiagrama de Verdad de las proposiciones CompuestasLos diagramas de verdad nos permiten conocer el valor de verdad de un enunciadocompuestoEjercicio. Hallar el valor de cada proposicin si: a (1), b(0), c(0) y d(1) (a b) c (b v c) d (b v d) b v d [(d a) v c] [(d v c) (a v c)] c (a c)Tablas de VerdadUna tabla de verdad es un diagrama que permite determinar claramente cuando unaproposicin compuesta es verdadera, falsa o variada.Si todos los valores de verdad de una proposicin compuesta son verdaderos sedenomina una tautologa, si son falsos una contradiccin, de lo contrario se llamaindeterminada o contingencia.El proceso de construccin de una tabla de verdad inicia por determinar el nmero decombinaciones posibles de los valores de verdad de las proposiciones simplesconstituyentes. Si la proposicin consta de n proposiciones simples diferentes, puestoque cada una de ellas tiene dos valores posibles (verdadero o falso) habr 2ncombinaciones posibles de valores.Ejercicio Construir las tablas de verdad de cada proposicin e indicar el tipo1. p (p v q) 13. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto13Mtodo-1Consiste en escribir la proposicin en el orden de operacin asp q p v q p (p v q)Se le dan las posibles combinaciones de os valores de verdad de p y qp q p v q p (p v q)1 11 00 10 0Se halla p v q, recuerde que la disyuncin solamente es falsa si las dosproposiciones son falsasP Q p v q p (p v q)1 1 11 0 10 1 10 0 0Y por ltimo el p (p v q) recuerde que el condicional solo es falsa si la primeraproposicin es verdadera y la segunda falsap q p v q p (p v q)1 1 1 11 0 1 10 1 1 10 0 0 1Como todos los valores al final de la tabla son verdaderos entonces la proposicines una tautologaMetodo-2Se escribe la proposicin en el orden dado separando cada proposicin simple yconector, teniendo en cuenta donde quedar el resultado finalp (p v q) 14. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto14Se le da los posibles valores a cada proposicin simplep (p v q)1 1 11 1 00 0 10 0 0Se resuelve la disyuncin, p v qp (p v q)1 1 1 11 1 1 00 0 1 10 0 0 0Se resuelve el condicionalp (p v q)1 1 1 1 11 1 1 1 00 1 0 1 10 1 0 0 02. [(p q) q]3. [(p v q) p]4. (p q) rEjercicio. Construir la tabla de verdad de cada proposicin compuesta e indique sutipo ( p q) (p v q) p p (p q) (p v q) (p q) [ (p p ) q] p (p q) (p q) (p v q) [(p q) q] p (p q) v r (p q) (p r) (p q) rEquivalencia Lgica: Algebra de proposicionesSe dice que dos proposiciones P(p, q, ) y Q(p, q, ) son lgicamente equivalentes sitienen idnticas tablas de verdad, se denota P(p, q, ) Q(p, q, ).Por ejemplo. Consideremos las tablas de verdad de las proposiciones 15. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto15 (p q) y p v qP Q p q (p q) p q p q p v q1 1 1 0 1 1 0 0 01 0 0 1 1 0 0 1 10 1 0 1 0 1 1 0 10 0 0 1 0 0 1 1 1Como los resultados finales de las tablas de verdad son iguales, las proposiciones sonequivalentes es decir (p q) ( p v q)Ejercicio. Verifique la equivalencia de la siguiente proposicin (p v q) ( p q) p q (p v q) (p q)Las proposiciones satisfacen muchas equivalencias lgicas, o leyes, a continuacinenunciamos unas de las ms importantes, t denota tautologa y f contradiccinLeyes del Algebra de ProposicionesLeyes ProposicionesIdempotencia p v p p p p pAsociativas (p v q) v r p v (q v r) (p q) r p (q r)Conmutativas (p v q) (q v p) (p q) (q p)Distributivasp v (q r) (p v q) (p vr)p (q v r) (p q) v(p r)Leyes deidentidadP v f p P t p P v t t P f fLeyes decomplementosp v p t p p f t f f tLeyes deinvolucin p pMorgan (p v q) p (p q) p v Implicacin ydisyuncinp q p qNegacin de laimplicacin(p q) p ^ q 16. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto16Taller N 11. Seale s o no, los siguientes enunciados son proposiciones, si considera que un enunciado noes proposicin justifique su respuesta y si lo es indique su valor de verdadN Enunciado Si No Justificacin/Valor deVerdad1 Facebook es un sitio web gratuito de redes sociales2 Facebook es la mejor herramienta de comunicacin virtual3 Facebook es una aberracin hacia la de privacidad.4 Facebook fue creado para cientficos5 Facebook es un arma sicolgica para los jvenes2. Seanp: Facebook no cuenta con ms de 400 millones de usuarios,q: Facebook es una herramienta para compartir informacinr: Facebook ha recibido todo tipo de crticas por al alcance que est teniendo entremenores,s: Facebook ha recibido todo tipo de crticas por sus polticas de privacidad.t: Facebook no tiene restricciones para su uso.Escriba una oracin por cada proposicinProposicin Oracin ( p)p qr v s s t t (r s)3. Dada la proposicinSi Facebook es un sitio web gratuito de redes sociales entonces no fue creado para cientficosEscriba:ContrariaReciprocaContra-reciproca4. De la proposicin p ( q r)a. Halle el valor de verdad si p (1), q(0) y r(0).b. Construya la tabla de verdad.5. Demuestre que las proposiciones (p q) y [(p q) (q p)] son equivalentes 17. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto17InferenciaUno de los objetivos de la lgica es determinar cmo unas proposiciones puedenderivarse de otras, esta derivacin es de naturaleza puramente formal y recibe elnombre de deduccin.Por medio de la deduccin se muestra si una determinada proposicin llamadaconclusin resulta de una o ms proposiciones llamadas premisas. El proceso por elcual se establece que la conclusin se sigue de las premisas recibe el nombre deprueba.Una prueba se desarrolla de acuerdo con las tautologas y a partir de ciertas reglas,denominadas reglas de inferencias, que son necesarias establecerlas desde unprincipio.. Llamaremos correcta a una inferencia que siga las reglas establecidas.Una inferencia lgica consiste en obtener una proposicin verdadera (conclusin) apartir de una proposicin verdadera dada (premisas) a la que aplicamos las reglas deinferencia.Reglas de Inferencia1. Modus Ponendo Ponens (PP)Ejemplo-1Premisa 1: Si la emisin de gas carbnico aumenta entonces aumentar latemperatura sobre la tierraPremisa 2: La emisin de gas carbnico aumentaConclusin: Aumentar la temperatura sobre la tierraPremisa 1: p q Esquemticamente: p q p1Premisa 2: p p p2Conclusin: q . . qEjemplo-2p p1p q p2.. qEjemplo-3( p v q) (s r) p1( p v q) p2.. s r 18. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto182. Doble Negacin (DN)Premisa 1: ( p) Esquemticamente: ( p) P1Conclusin: p . . pLa regla de la doble negacin se puede expresarp P1 ( p)Premisa: La ballena no es un animal mamferoConclusin: No es cierto que la ballena no sea un animal mamfero3. Modus Tollendo Tollens (TT)Premisa 1: p q Esquemticamente: p q P1Premisa 2: q q P2Conclusin: p .. pPremisa 1: Si los Mayas predecan el futuro entonces porque no evitaron sudestruccin.Premisa 2: Los mayas evitaron su destruccinConclusin: Los mayas predecan el futuro4. Modus Tollendo Ponens (TP)Premisa 1: p v q Esquemticamente: p v q P1Premisa 2: p p P2Conclusin: q . . qp v q P1 q P2.. pPremisa 1: Los carnavales son fiestas de sectas satnicas o del puebloPremisa 2: Los carnavales no so fiestas de sectas satnicasConclusin: Los carnavales son fiestas del pueblo5. Regla de Simplificacin (S)Esquemticamentep q P1 p q P1.. p ..qEjemplo-1:Premisa: La tala de rboles acaba las fuentes de agua y aumenta la temperatura delsueloConclusin-1: La tala de rboles acaba las fuentes de aguaConclusin-2: La tala de rboles aumenta la temperatura del suelo 19. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto19Ejemplo-2Premisa: El incremento de la inflacin sube las tasas de inters e incrementa lainversin extranjeraConclucin-1: El incremento de la inflacin sube las tasas de intersConclucin-2: El incremento de la inflacin incrementa la inversin extranjera6. Regla de Adjuncin (A)Esquemticamentep P1 p P1q P2 q P2.. p v q ..q v pEjemplo-1Premisa-1: El gobierno colombiano es democrticoPremisa-2: El gobierno colombiano es socialistaConclucin-1 El gobierno colombiano es democrtico o es socialistaConclucin-2 El gobierno colombiano es socialista o es democrticoEjemplo-2Premisa-1: Albert Einstein era fsicoPremisa-2: Albert Einstein era filsofoConclucin-1 Albert Einstein era fsico o era filsofoConclucin-2 Albert Einstein era filsofo o fsico7. Regla de Adicin (LA)Esquemticamentep P1..p v qEjemplo-1Premisa: Los economistas predicen el futuroConclusin: Los economistas predicen el futuro o analizan el presenteEjemplo-2 El plan Colombia fue un fracasoConclusin: El plan Colombia fue un fracaso o un xito8. Regla del Silogismo Hipottico (SH)Esquemticamentep q P1q r P2.. p r 20. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto20Ejemplo-1Premisa-1: Si tengo problemas de obesidad entonces tendr problemas dehipertensinPremisa-2: Si tengo problemas de hipertensin entonces puedo morir del coraznConclusin: Si tengo problemas de obesidad entonces puedo morir del coraznEjemplo-2:Premisa-1: Si el Unin Magdalena tiene buenos jugadores entonces juega bien elfutbolPremisa-2: Si Unin Magdalena juega bien el futbol entonces subir de categoraConclusin: Si el Unin Magdalena tiene buenos jugadores entonces subir decategora9. Regla del Silogismo Disyuntivo (SD)Esquemticamentep r P1q s P2p v q P3.. r v sEjemplo-1:Premisa-1: Si aumenta el precio de la gasolina entonces sube el precio deltransporte urbanoPremisa-2: Si se incrementa el cultivo de palma entonces utilizaremosbiocombustiblePremisa-3: Aumenta el precio de la gasolina o se incrementa el cultivo de palmaConclusin: Sube el precio del transporte urbano o utilizaremos biocombustibleEjemplo-2Premisa-1: Si se incrementa el desempleo entonces las empresas estnquebrandoPremisa-2: Si se aplican nuevos impuestos entonces la economa decrecePremisa-3: Se incrementa el desempleo o se aplican nuevos impuestosConclusin: Las empresas estn quebrando o la economa decrece10. Regla de la Simplificacin DisyuntivaEsquemticamentep v p.. pEjemplo-1Premisa-1: Aprueba el curso o aprueba el cursoConclusin: Aprueba el curso 21. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto21Ejemplo-2:Premisa: Se opera o se operaConclusin: Se opera11. Conmutativas (LC)p v q P1 p q P1.. q v p .. q p12. Leyes de Morgan (LM)(p v q) P1 p q P1..p q ..(p v q)(p q) P1 p v q P1..p v q ..(p q)13. Reglas de las Proposiciones Bicondicionales(p q) P1 (p q) (q p) P1..(p q) (q p) ..(p q)EjerciciosEscriba la conclusin que se puede deducir de cada uno de los siguientes conjuntos depremisas y represntela simblicamente:1. Si no hay inyeccin de capital, entonces la empresa debe cerrar2. Si en Venezuela continan los cierres a las empresas privadas y los apagonesentonces Chvez baja en su popularidad o no ser re-elegido3. Hoy es el ltimo da del mes. Si hoy es ltimo da del mes entonces solo habrbanco hasta las once de la maana4. a > b y k > 0. Si a > b y k > 0 entonces a x k > b x kEjercicioEscriba la conclusin en cada uno de los siguientes conjuntos de premisas y determinela regla de inferencia utilizadap q P1p P2p q P1q r P2(p q P1p r P1q s P2p v q P3(p q) v r P1p v q P2p (r s) P1q s P2p v q P3p P1q P2(p q) (q p) P1 (p v q) r P1(p v q) P2 22. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto22EjercicioAplique las leyes de Morgan para establecer la conclusin(p v q) [(p v q) r] (p q)p q p v q [(p v (q r)EjercicioVerifique si la conclusin dada es correctaa. Si Pedro llama entonces Mara regresa. Pedro llama. Por lo tanto Pedro llamab. Es falso que: estudio y trabajo. Por lo tanto ni estudio ni trabajo.c. Si a es mltiplo de b y b es mltiplo de c entonces a es mltiplo de c. a no esmltiplo de c. Por lo tanto, concluyo que a no es mltiplo de b o b no es mltiplo decp q P1p P2.. qp q P1q r P2.. r p(p v q) P1.. p qp r P1q s P2p v q P3.. r s(p q) v r P1P v q P2.. r(p q) r P1r P2.. p v q 23. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto23TallerEscriba la conclusin que se puede deducir de cada uno de los siguientes conjuntos depremisas y represntela simblicamente e indique la regla inferencia que aplica:1. Un maestro es bueno si solo si tiene el conocimiento y quiere su profesin2. Si Santa Marta tiene el menor ndice de desempleo entonces la mayor parte de lostrabajadores no son informales. La mayor parte de los trabajadores de santa Martason informales.3. Si la escuela est preparada la renovacin de la acreditacin entonces nosacreditarn nuevamente. La escuela esta prepara para la renovacin de laacreditacin4. Si Junior es campen entonces es un buen equipo. Si junior es un buen equipoentonces representar a Colombia5. Las escuelas normales las acreditan o desaparecen. Las escuelas normales nodesaparecen.6. Si Santos es presidente entonces Uribe se perpeta en el poder. Si Mockus espresidente se acabar la corrupcin en Colombia. Santos o Mockus sernpresidentes.7. No es cierto que, todos los estudiantes son irresponsables y no respetan a losdocentes8. No es cierto, que la educacin pblica no es buena.9. Los argentinos no son los mejores jugadores de futbol o no son las personas mshumildes.10. Si se cuentan con los recursos para cancelar las deudas entonces no continua laanormalidad acadmica. Se cuenta con los recurso para cancelar la deudas 24. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto24CUANTIFICACIN DE ENUNCIADOSAristteles considera que todos los enunciados (simples) tienen la forma S es Pdonde S es el sujeto, y P el predicado que se atribuye a S. El predicado P siempre es unconcepto o entidad abstracta, pero el sujeto S puede ser tanto un individuo o entidadconcreta como un concepto o entidad abstracta. Si ocurre lo primero, tenemos unenunciado singular, mientras que en el segundo caso sera un enunciado conceptual ogeneral.En los Analticos Anteriores slo se consideran los enunciados conceptuales ogenerales, que a su vez se dividen en universales, particulares e indefinidos.El enunciado es una oracin que afirma o niega algo de algo, y es universal, particularo indefinido. Llamo universal al pertenecer a todo o a ninguno; particular, al pertenecer a alguno o no a todo; indefinido, al pertenecer o no pertenecer, sin indicar universalidad o particularidadCuantificador Universal: se representa con el smbolo que se lee para todo.Contiene una expresin lingstica como todos o para todo, y atribuye el predicadouniversalmente al sujeto, es decir, afirma que el concepto-predicado es aplicable atodas las cosas a las que se aplica el sujeto.Simblicamente ( ) La expresin afirmativa es todo S es P y la expresinnegativa ningn S es PCuantificador Existencial: Se simboliza con se lee existe. Contiene una expresinlingstica como algn o hay o para algn y atribuye el predicadoparticularmente al sujeto, es decir es decir solo afirma que el concepto que el conceptodel predicado es aplicable a algunos casos a las que tambin se aplica el conceptosujeto.Simblicamente ( ) La expresin afirmativa es Algn S es P, la expresinnegativa algn S no es PNegacin de los CuantificadoresSimblicamente( ( )) ( ( ))( ( )) ( ( )) 25. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto25Ejercicio. Identifique el cuantificador que aplica y niegue cada una de las siguientesproposiciones Todos los polticos son corruptos Algunos futbolistas son profesionales Ningn hombre es racional Existen buenas polticas de estado Todos los jvenes siente atraccin hacia la tecnologa Algunos guerrilleros no son delincuentes Ningn programa de televisin ensea Existen profesores malos Todo el que se educa es culto Algunos mototaxistas son delincuentesCLASIFICACIN DE LAS PROPOSICIONES CATEGRICAS POR LA CUALIDAD Y LACANTIDAD. EXTENSIN DE SUS RESPECTIVOS SUJETOS Y PREDICADOSLas proposiciones categricas Proposicin Universal Afirmativa: Todos los gatos son mamferos (A) Proposicin Universal Negativa: Ningn gato es mamfero (E): Proposicin Particular Afirmativa: Algn gato es mamfero (I) Proposicin Particular Negativa: Algn gato no es mamfero (O)EjercicioIdentifique las siguientes proposiciones y determine si el sujeto y el sujeto y elpredicado son universales o particulares. Algunos polticos son candidatos presidenciales Ningn msico es boxeador Todo locutor es poseedor de un permiso para ejercer su profesin Algunos de tus poemas no estn bien logrados Todos los artefactos que necesitan gasolina son contaminantes del aire Algn miembro de ese consejo no apoyo la medida Ninguna de las decisiones emanadas de organismo tan ineficientes son eficaces Todos los integrantes del equipo son menores de doce aos Ningn desinfectante es inofensivo para la salud Algunos escritores de novelas de ciencia-ficcin no son detectives 26. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto26EL CUADRADO DE LA OPOSICIN DE LAS PROPOSICIONES. INFERENCIAS QUE SEBASAN EN L Si A es verdadera: E es falsa, I es verdadera y O es falsa Si E es verdadera: A es falsa, I es falsa y O es verdadera Si I es verdadera: E es falsa, A y O quedan indeterminadas Si O es verdadera: A es falsa, E e I quedan determinados Si A es falsa: O es verdadera, E e I quedan indeterminadas Si E es falsa: I es verdadera, A y O quedan indeterminados Si I es falsa: A es falsa, E es verdadera y O es verdadera Si O es falsa: A es verdadera, E es falsa e I es verdaderaQu puede inferirse acerca de las siguientes proposiciones, en cada uno de losconjuntos dados, si suponemos que la primera de ellas es verdadera? Y si suponemosque es falsa?N Proposiciones Valores deVerdad1 Todos los filsofos son inteligentes 1 0Ningn filosofo es inteligenteAlgn filosofo es inteligenteAlgn filosofo no es inteligente2 Ningn poltico es mentiroso 1 0Todos los polticos son mentirososAlgn poltico es mentirosoAlgn poltico no es mentiroso3 Algunos titulares de prensa estn mal redactados 1 0Ningn titular de prensa est mal redactadoTodos los titulares de prensa estn mal redactadosAlgunos titulares de prensa no estn mal redactados4 Ningn mamfero es roedor 1 0Todos los mamferos son roedoresAlgunos mamferos son roedoresAlgunos mamferos no son roedores 27. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto275 Algunos ejercicios de lgica no son difciles de resolver 1 0Todos los ejercicios de lgica son difciles de resolverNingn ejercicio de lgica es difcil de resolverAlgunos ejercicios de lgica son difciles de resolverINFERENCIAS INMEDIATAS: CONVERSIN, OBVERSIN Y CONTRAPOSICINCONVERSINConvertiente ConversaA: Todo S es P I: Algn P es S (por limitacin)E: Ningn S es P E: Ningn P es SI: Algn S es P I: Algn P es SO Algn S no es P (no hay, en general, equivalenciaOBVERSINObvertiente ObversaA: Todo S es P E: Ningn S es no-PE: Ningn S es P A: Todo S es no-PI: Algn S es P O: Algn S no es no-PO Algn S no es P I: Algn S es no PCONTRAPOSICINPremisa Contra-positivaA: Todo S es P A: Todo no-P es no SE: Ningn S es P O: Algn no-P no es no S Por Lim.I: Algn S es P En general noequivalenteO Algn S no es P O: Algn no P no es no SEjercicio. Enuncie, cuando haya, las conversas, obversas y contra-positivas decada una de las siguientes proposicionesN Proposicin Inferencia1 Todo periodista es mentiroso2 Ningn cientfico es holgazn3 Algunos soldados son tcnicos superiores4 Algunos conservadores no son Uribistas 28. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto28TEORA DE CONJUNTOIntuitivamente un conjunto es una coleccin de elementos bien definidosNotacin de Conjunto Los nombres de los conjuntos se enuncian con letras maysculasy sus elementos con letra minscula.Los conjuntos se enuncian por extensin (Se enuncian cada uno de los elementos) ypor comprensin (Se enuncia una o ms propiedades del conjunto)A = {a, e i, o, u}; por extensinA= {x/x es una letra vocal}; por comprensinTipos de Conjuntos: Los conjuntos pueden ser: Finitos: Se pueden contar sus elementos. Infinitos: No se pueden contar sus elementos. Vacio: No tiene elementos. Universal: Conjunto de referenciaRelacin entre Conjuntos: Dos conjuntos pueden ser: Subconjunto Subconjunto propio Iguales Disjunto o disyuntos: No tienen elementos en comunesDiagrama de Venn-EulerEs una herramienta que ilustra las relaciones entre conjuntos, se representa en unrea plana, por lo general delimitada por un crculo. 29. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto29Operacin entre Conjuntos Unin: A U B = {x x A v x B} Interseccin: A n B = {x x A ^ x B} Diferencia: A B = {x x A ^ x B} Complemento: Ac = {x x U ^ x A} Diferencia Simtrica: A B = {x x (A U B) ^ x (A n B)}Ejercicio. Sean U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9},A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, B = {6, 7, 8, 9} C= {2, 4, 6, 8, 10}DeterminarA U C C n B B C AcC A Ac n Bc (A n B) c Bc U Cc(B U C) c (C - B) c A c (B n Cc)A n (C B) cNmero de Elementos de un ConjuntoEl conjunto A es finito si podemos determinar su nmero de elementos. Notamos n(A)al nmero de elementos o cardinal de un conjunto ADados dos conjuntos finitos A y B podemos considerar 2 posibilidades1. Si A y B son disyuntos es decir A n B = , entonces n(A U B)=n(A) + n(B)2. Si A y B tienen elementos comunes es decir A n B , n(A U B)=n(A) + n(B) n(An B)Si tenemos 3 conjuntosn(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) n(A n B)- n(A n C)- n(C n B)+ n(A n B n C)Problemas1. En una batalla campal intervinieron 1200 hombres, de los cuales: 420 fueron heridos en la cabeza 430 fueron heridos en los brazos 320 fueron heridos en las piernas 80 fueron heridos en ambos miembros (brazos y piernas) 50 fueron heridos en la cabeza y en brazos 60 fueron heridos en piernas y cabezas 20 fueron heridos en las tres partes 200 no fueron heridos 30. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto30a. Cuntos fueron heridos solo en un lugar?b. Cuntos fueron heridos por lo menos en dos lugares?Consideremos el conjunto C los heridos en la cabeza, B los heridos en losbrazos y P los heridos en las piernas, Representamos grficamente el problemaasPor datos1) n(CUBUP)=r1+r2+r3+r4+r5+r6+r7+r8=12002) r1+r2+r4+r5=4203) r2+r3+r4+r6=4304) r4+r5+r6+r7=3205) r4+r6=806) r2+r4=507) r4+r5=608) r4=209) r8=200Remplazando en (7) r4: 20 + r5 = 60; r5=60-20; r5=40Remplazando en (6) r4: r2 + 20 = 50; r2=50-20; r2=30Remplazando en (5) r4: 20 + r6 = 80; r6=80-20; r6=60Remplazando en (4) r4, r5 y r6: 20 + 40 + 60 + r7 = 320; 120 + r7=320;r7=320 - 120; r7=200Remplazando en (3) r2, r4 y r6: 30 + r3 + 20 + 60 = 430; 110 + r3=430;r3=430 110; r3=320Remplazando en (2) r2, r4 y r5: r1 + 30 + 20 + 40 = 420; r1 + 90=420;r1=420-90; r1=330Verificando:r1 +r2 +r3 +r4+r5+r6 +r7 +r8 =1200330+30+320+20+40+60+200+200=12001200=12002. Una encuesta a un grupo de 100 estudiantes acerca de los gustos en la lecturaaporta los siguientes datos; 65 leen novelas, 75 poesa, 55 leen novelas y poesa, 20novelas y diarios, 30 diarios y poesa; 10 leen los tres temas y 5 no leen ninguno delos tres temas 31. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto31Se preguntaCuntos estudiantes leen solo poesa?Cuntos estudiantes leen solo diario?Cuntos estudiantes leen solo novela?Grficamente(1) r1+r2+r3+r4+r5+r6+r7+r8=100(2) r4+r5+r6+r7=65(3) r1+r2+r4+r5=75(4) r5+r4=55(5) r6+r4=20(6) r2+r4=30(7) r4=10(8) r8=5Por (7) y (4): r5 + 10 = 55; r5 = 55 10= 45 (9)Por (7) y (5): r6 + 10 = 20; r6 = 20 10 = 10 (10)Por (7) y (6): r2 + 10 = 30; r2 = 30 10=20 (11)Por (7), (9) y (10): 10 + 45 + 10 + r7 = 65; r7 = 0 (12)Por (11), (7) y (9):r1 + 20 + 10 + 45 = 75; r1 = 0 (13)Por todo: 0 + 20 + r3 + 10 + 45 + 10 + 0 + 5 = 100; r3=10Respuesta: 10 estudiantes leen solo diario, y ningn estudiante lee solo poesa onovelas3. En una encuesta realizada a un grupo de empleados donde todos tenan por lomenos formacin tcnica, revel que 297 tenan formacin tcnica; 273 formacintecnolgica; 405 formacin profesional; 165 tecnolgica y profesional; 120 tcnicay tecnolgica; 190 tcnica y profesional y 15 tcnica, tecnolgica y profesional.Se pregunta:a. Cuntas personas fueron encuestadas?b. Cuntas personas tienen solo formacin profesional?c. Cuntas personas tienen solo formacin tecnolgica?d. Cuntas personas tienen solo formacin tcnica?4. Un grupo de jvenes fue entrevistado acerca de sus preferencias por ciertosmedios de transporte (bicicleta, motocicleta y automvil) los datos de la encuestafueron los siguientes Motocicleta solamente: 5 Motocicleta: 38 No gustan del automvil: 9PDr8 32. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto32 Motocicleta y bicicleta, pero no automvil: 3 Motocicleta y automvil pero no bicicleta: 20 No gustan de bicicleta: 72 Ninguna de las tres cosas: 1 No gustan de la motocicleta: 61Se preguntaa. Cul fue el nmero de personas entrevistadas?b. A cuntos les gusta la bicicleta solamente?c. A cuntos les gusta el automvil solamente?d. A cuntos les gusta las tres cosas?e. A cuntos les gusta la bicicleta y el automvil pero no la motocicleta?5. De 1000 televidentes encuestados se obtiene la siguiente informacin 391 ven programas deportivos 230 ven programas cmicos 545 ven programas sobre el mundo animal 98 ven programas cmicos y deportivos 152 ven programas cmico y deportivos 152 ven programas cmicos y sobre el mundo animal 88 ven programas deportivos y sobre mundo animal 90 ninguno de los tres programas 50 ven programas deportivos y cmicos pero no sobre el mundo animalSe preguntaa. Cuntos de los entrevistados ven los tres tipos de programas?b. Cuntos de los entrevistados ven slo uno de los tres tipos de programas?6. En una seccin de 45 alumnos, 24 juegan futbol, de los cuales 12 solo juegan futbol,25 juegan basquetbol, 10 solo basquetbol, 19 juegan vley bol y 9 juegan futbol ybasquetbol. Si todos prctica por lo menos un deporte, se pregunta Cuntos juegan basquetbol y vley bol? Cuntos juegan futbol y no basquetbol? Cuntos juegan vley bol y no basquetbol?7. Un colegio realiza tres pruebas a 100 estudiantes y sta arroja los siguientesresultados 2 Estudiantes fracasaron en las tres pruebas 7 Estudiantes fracasaron en la primera y segunda prueba 8 Estudiantes fracasaron en la segunda y tercera 33. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto33 10 Estudiantes fracasaron en la primera y tercera 25 Estudiantes fracasaron en la primera prueba 30 Estudiantes fracasaron en la segunda prueba 25 Estudiantes fracasaron en la tercera pruebaEncuentreCuntos fracasaron solamente en la primera prueba?Cuntos fracasaron en la segunda y en la tercera pero no en la primera?Cuntos aprobaron las tres pruebas?8. En una encuesta realizada a un grupo de empleados revel que 297 tenan casapropia; 273 posean automvil; 405 televisor; 165 automvil y televisor; 120automvil y casa; 190 casa y televisor 15 tenan casa, automvil y televisor.Se pregunta:a. Cuntas personas fueron encuetadas?b. Cuntas personas tienen solo casa propia?c. Cuntas personas tienen solamente casa y televisor?9. Hay 100 atletas y tres estaciones diferentes en que se presentan deportes: futbol enel otoo, basquetbol en el invierno y beisbol en la primavera. Algunos de los atletasjuegan solamente un deporte, otros dos y otros tres. 40 personas juegan futbol, 15los tres deportes, 5 basquetbol y futbol pero no beisbol y 10 solamente futbol.Cuntas personas juegan tanto beisbol como futbol?10. Una empresa de servicios va a ampliar su red comercial y por ello necesitaincorporar a 25 asesores. La empresa requiere fundamentalmente personas queposean, al menos, una de las caractersticas siguientesa. Alguna experiencia en el rea de ventasb. Formacin tcnicac. Conocimiento del inglsEn concreto, la empresa ofrece 12 plazas para los de la caracterstica a; 14 para lalos de caractersticas b; 11 plazas para los de caracterstica c. Ahora bien laempresa quiere que 5 asesores posean caractersticas a y b, que 3 poseancaractersticas a y c, que 6 asesores posean b y c, y 3 asesores con b y c y no con a.Cunto de esos 25 asesores quiere la empresa que posean las tres caractersticascitadas?A cuntos asesores se les exige tener solo conocimientos del ingls?Cuntos tienen experiencia en ventas y conocimiento en ingls y no tienenformacin tcnica? 34. Mis Notas de Clase Lic. Esp. Jos F. Barros TroncosoManual de Lgica y Conjunto34BIBLIOGRAFA Francisco Soler Reinaldo Nez. Fundamentos de Matemtica. Tercera edicin.Editorial ECOE. 2009 Corina Yoris. Introduccin a la lgica. Camacho, Luis ngel. Lgica Simblica Bsica. Editorial Limusa, S.A. Balderas 95,Mxico, D.F. 2005. Irving, M. Copi, Cohen, Carl. Introduccin a la Lgica. Editorial Limusa, S.A. Balderas95, Mxico, D.F. 2000. Miranda Alonso, Toms. El juego de la Argumentacin. Ediciones de la Torre.Madrid, Espaa, 2000. Lukasiewicz, J. Estudios de Lgica y Filosofia. 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