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Repaso de Teoría de ConjuntosRepaso de Lógica Booleana

Idea de Conjunto Difuso

Lógica Difusa

Hugo Franco, PhD

25 de abril de 2011

Hugo Franco, PhD Lógica Difusa

Repaso de Teoría de Conjuntos



Conjuntos Clásicos

Conjunto: colección de objetos de características similares extraídosde un universo de elementos

Relación de pertenencia ∈: indica que un elemento es parte de unconjunto

Relación de contenencia ⊂: indica que todos los elementos de unconjunto son también elementos de un conjunto mayor. ⊆indica contenencia no estricta (el subconjunto puede serigual al conjunto). A = B ⇐⇒ A ⊂ B∧ B ⊂ A,

Conjunto universal U: todos los objetos del universo en cuestión

EjemplosU = N, U = RA = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . . }, B = {1, 3, 5, 7, 9, 11 . . . }




Notación

Representación por extensión: se indican todos los elementos delconjunto en secuencia

Representación por comprensión: dada una propiedad P común a todoslos elementos de un conjunto A, éste se puede representarmediante la descripción

A = {x|x satisface P}

Conjunto vacío ∅: conjunto que carece de elementos

Notación (ejemplos):U = NB = {1, 2, 3, 5, 7, 11, . . . }A = {a ∈ N|a es primo},




Operaciones entre conjuntos clásicos I

Unión ∪ : Conjunto que tiene todos los elementos que están en unou otro de los conjuntos operados,A = {1, 2, 4, 8, 16}, B = {1, 3, 5, 7, 11, 13}A ∪B = {1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16}

Intersección ∩: Conjunto que tiene todos los elementos que están a la vezen el primer conjunto y en el segundo conjunto operadosA = {1, 2, 4, 8, 16}, B = {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13}A ∩B = {1, 2}

Diferencia entre conjuntos A\B := {x|x ∈ A ∧ x /∈ B}Complemento de A, A : El complemento es el conjunto construido con

todos los elementos del universo que no están en elconjunto, es decir, U\AU = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {1, 2, 3, 5, 7},A = {0, 4, 6, 8, 9}




Notación y Propiedades de la Unión y la Intersección

Theorem

Dados los conjuntos A, B y C de U, se tienen las propiedades

Conmutatividad: A ∪B = B ∪A; A ∩B = B ∩AAsociatividad: (A ∪B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C);(A ∩B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

Distributividad: (A ∪B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C);(A ∩B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)




Colección de Conjuntos y Generalización de Operaciones

Sea Λ ⊆ N un conjunto de índices y λ ∈ Λ un elemento cualquiera de eseconjunto. Una familia de conjuntos es una colección Aλ, potencialmentein�nita, de conjuntos en U

Generalización de la Unión:⋃λ∈Λ

Aλ = {x|∃λ ∈ Λ, x ∈ Aλ}

Generalización de la intersección⋂λ∈Λ

Aλ = {x|x ∈ Aλ∀λ ∈ Λ}




Leyes de de Morgan

En general, se puede probar que

(A ∪B) = A ∩B

y(A ∩B) = A ∪B

Generalizando: (⋃λ∈Λ

Aλ

)=⋂λ∈Λ

Aλ

y (⋂λ∈Λ

Aλ

)=⋃λ∈Λ

Aλ




Producto Cartesiano

Dados dos conjuntos universales U y V, el producto cartesianoU×V se de�ne como el conjunto de todas la parejas{(u, v)|u ∈ U, v ∈ V}. Ejemplo

U = {0, 2, 4},V = {1, 2}U×V = {(0, 1), (0, 2), (2, 1), (2, 2), (4, 1), (4, 2)}

Los subconjuntos de U×V de�nidos a partir de característicasespecí�cas de pertenencia se conocen como Relaciones. Ejemplo (delanterior)

R = {(2, 1), (4, 2)}

que equivale a escribir

R = {(u, v) ∈ U×V|v = 2u}




Función Característica

Dado un conjunto A y un elemento x ∈ U, en lógica booleana

(binaria) se tiene que ∀x, x ∈ A ∨ x /∈ AAsí, la función característica de un conjunto A, denotada por µA(x),se de�ne como

µA(x) =

{0 si x /∈ A1 si x ∈ A

Ej, sea U = {1, 2, 3, 4, 5}, A = {1, 2, 3, 5}, B = {2, 4}

1 2 3 4 5

1 1 1 0 1

0 1 0 1 0

μ (u)A

μ (u)B

U={ }




Representaciones mediante la Función Característica �

Producto Cartesiano I

Se puede representar matricialmente una relación mediante la funcióncaracterística asociada a la misma. Del ejemplo anterior

U = {0, 2, 4},V = {1, 2}U×V = {(0, 1), (0, 2), (2, 1), (2, 2), (4, 1), (4, 2)}

R = {(u, v) ∈ U×V|v = 2u}

Entonces

U,V 1 2

0 0 02 1 04 0 1

µR(u, v)




Representaciones mediante la Función Característica �

Producto Cartesiano II

Ejemplo: sobre el anterior, sea la relación

S = {(u, v) ∈ U×V|u+ v ≤ 4}

Entonces

UV 1 2

0 1 12 1 14 0 0

U,V 1 2

0 1 12 1 14 0 1

U,V 1 2

0 0 02 0 04 1 1

µS(u, v) µR∪S(u, v) µS(u, v)




Composición

Se dice que dos espacios U y V están �relacionados� si existe unarelación R de�nida sobre U×V. Al de�nir un conjunto A ⊂ U, sepuede establecer el conjunto B ⊂ V �re�ejado� por la relación R

B = A ◦REn términos de la función característica, se tiene que

µB(v) = max (min (µA(u), µR(u, v)))

Ejemplo: Haciendo sobre el ejemplo anterior A = {0, 2}V

µA(u) U 1 2

1 0 0 0

1 2 1 0

0 4 0 1

µR(u, v)

µB(v) 1 0

Luego el re�ejo (imagen) de A a través de R se de�ne, según sufunción característica como B ⊂ V , B = {1}


Repaso de Lógica Booleana



Proposiciones, Valores de verdad, Disyunción

Sea U un universo y A ⊂ U. Dado un x ∈ A se de�ne la función deverdad V como

V (x es A) =

{0 si x /∈ A1 si x ∈ A

Disyunción: Sea a la vez B ⊂ U, x ∈ A ∪B ⇐⇒ (x es A) ∨ (x es B),luego

V ((x es A) ∨ (x es B)) =

{0 si x /∈ A ∪B1 si x ∈ A ∪B

luego

V ((x es A) ∨ (x es B)) = max {µA(x), µB(x)}= max {V ((x es A), (x es B))}




Proposiciones, Valores de verdad, conjunción y negación

Conjunción: x ∈ A ∩B ⇐⇒ (x es A) ∧ (x es B), luego

V ((x es A) ∧ (x es B)) =

{0 si x /∈ A ∩B1 si x ∈ A ∩B

y

V ((x es A) ∧ (x es B)) = min {µA(x), µB(x)}= min {V ((x es A), (x es B))}

Negación: x /∈ A ⇐⇒ x no es A, luego

V (x no es A) = 1− µA(x)

= 1− V (x es A)




Sentencias condicionales

Permiten establecer relaciones de dependencia lógica entre proposicionesEstructura: SI [antecedente] ENTONCES [consecuente]Notación: p→ qInferencia clásica: V (p→ q) = V (∼ p ∨ q), esto es:

p q ∼ p ∼ p ∨ q0 0 1 10 1 1 11 0 0 01 1 0 1




Inferencia Clásica

Sean U y V dos espacios, tal que A ⊂ U y B ⊂ V.La sentencia x es A→y es B, según la inferencia clásica, es

evaluada como:

V (x es A→ y es B) = V ((x no es A) ∨ (y es B))

= max{1− µA(x), µB(y)}

La inferencia clásica de�ne una relación




Inferencia Mínimo

Inferencia mínimo: V (p 99K q) = {p, q}, esto es:

p q p 99K q

0 0 00 1 01 0 01 1 1

Sean U y V dos espacios, tal que A ⊂ U y B ⊂ V.La sentencia x es A 99Ky es B, según la inferencia mínima, es

evaluada como:

V (x es A→99K y es B) = min{V (x no es A), V (y es B)}

La inferencia mínimo es más exigente que la inferencia clásica(equivalente a una conjunción)




Conjunto Difuso

Cuando se piensa en conjuntoscuyos elementos tienen una funcióncaracterística que no es binaria, sehabla de conjuntos borrosos odifusos

µA : U→ [0, 1]

De los elementos de tales conjuntosse dice que pertenecen al conjuntoen una cierta proporción (grado depertenencia)

Ej:

µA(a) = 0

µA(b) = 0,4

µA(c) = 1




De�nición formal

Conjunto difuso:

Un conjunto difuso A ⊂ U se de�ne como

A = {x, µA(x)|x ∈ U, µA(x) ⊂ [0, 1]}


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