manual analisis grafico 1

1. Introducción a la pendiente y ángulo de inclinación.

1.1. Sistemas de coordenadas rectangulares.

Este sistema también se denomina cartesiano en honor a René Descartes, por haber sido

quien lo empleara en la unión del álgebra y la geometría plana para dar lugar a la geometría

analítica.

El sistema de coordenadas rectangulares consta de dos rectas dirigidas XX´ y YY´

llamadas ejes de coordenadas y que son perpendiculares entre sí; la recta XX´ se llama eje X, la

recta YY´ se llama eje Y; su punto de intersección o es el origen del sistema.

Estos ejes coordenados dividen el plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes, los

cuales se ordenan en sentido contrario al giro de las manecillas del reloj.

Todo punto P del plano se localiza por medio del sistema rectangular; se traza PQ

perpendicular al eje X y PR perpendicular al eje Y, la longitud del segmento dirigido OQ se

representa por X y se llama abscisa de P; la longitud del segmento OR se representa por Y y se

llama ordenada de P. Los números reales x y y se llaman coordenadas rectangulares de P y se

representan por: P (x, y).

Figura 1. Sistema coordenado rectangular.

Las abscisas medidas sobre el eje X a la derecha del origen son positivas, y a la izquierda

del origen son negativas; las ordenadas medidas sobre el eje y hacia arriba del origen son

positivas y hacia abajo del origen son negativas.

La localización de un punto por sus coordenadas se llama trazado del punto.

EJERCICIOS 1.

Contesta las siguientes preguntas.

1.- ¿Cuál es la razón por la que el sistema de coordenadas rectangulares se denomina también cartesiano?2.- ¿Cómo está conformado el sistema de coordenadas rectangulares?3.- ¿Cómo se ordenan los cuadrantes del sistema de coordenadas rectangulares?4.- Explica cuándo las abscisas y ordenadas son positivas.5.- Explica cuándo las abscisas y ordenadas son negativas6.- ¿Cuál es la representación de las coordenadas de un punto de manera general?7.- Explica el proceso para trazar un punto.

1.2 Distancia entre dos puntos.

La distancia entre dos puntos se puede presentar en tres formas, las cuales explicaremos a

continuación:

DEMOSTRACIÓN: Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos localizados de manera general en

un plano y que pertenecen a una misma recta horizontal (paralela al eje X), la distancia entre

los dos puntos es:

P1P2 = x2 - x1 = x1 - x2

2

P1(x1, y1) P2(x2, y2)

x

DEMOSTRACIÓN: Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos pertenecientes a una misma recta

vertical (paralela al eje Y), la distancia entre los dos puntos es:

P1P2 = y2 - y1 = y1 - y2

Ejemplo 1

Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1 ( - 7 , 2 ) y P2 ( 8 , 2 ).

Se utiliza la fórmula para calcular distancia entre dos puntos de una recta horizontal.

P1P2 = x2 - x1=

La longitud de esta recta horizontal es de 15 unidades.

Ejemplo 2

Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son: P1 ( - 2 , 4 ) y P2 ( - 2 , - 6 ).

3

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

x

P1(x1, y1)

DEMOSTRACIÓN: Sean P1(x1, y1) y P2(x2, y2) dos puntos que no se hallan sobre una misma

recta horizontal o vertical pero si se encuentran sobre una recta inclinada, la distancia entre los

dos puntos es:

4

Se utiliza la fórmula para calcular distancia

entre dos puntos de una recta vertical.

P1P2 = y2 - y1=

La longitud de esta recta vertical es de 10

unidades.

EJERCICIO 2:

a) P1 (-7, 2) y P2 (8, 2).

b) P1 (-2, 4) y P2 (- 2, - 6).

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

Q2(x2, y1)

Esta fórmula se puede utilizar para demostraciones de triángulos equiláteros, isósceles o

escálenos, triángulos rectángulos, paralelogramos, demostración de puntos colíndales (tres o más

puntos que deben estar sobre la misma recta) etc.

Ejemplo 3Encuentra la distancia entre los puntos A(2,-3) y B(-1,2) e indícalos en el plano cartesiano.

EJERCICIO 3: Hallar la distancia entre los puntos cuyas coordenadas son:

a) A( - 6, 3) y B (2, -3)

b) A(6, 1) y B( - 4, - 2)

5

Primeros consideraremos que las coordenadas del

punto A son y respectivamente, y las coordenadas de

B

son y , ahora sustituimos en la fórmula

y esta es la longitud del segmento .

Ejemplo 4. Demuestre que el triángulo formado por los vértices , y es un isósceles e indique la figura en el plano cartesiano.

Como podemos observar tenemos dos lados del triángulo con longitudes iguales lo que

nos demuestra que efectivamente se trata de un triángulo isósceles.

6

Primero encontraremos las longitudes de los

lados del triángulo, de y , para

posteriormente comparar y demostrar que dos de

estas longitudes deben ser iguales, de lo contrario no

cumpliría con dicha demostración:

=4.1cm

=4.1cm

=4.2

EJERCICIO 4: Resuelve los siguiente ejercicios.

Demuestre que los siguientes puntos son los vértices de un triangulo isósceles.

1.- A ( -2 , 2 ), B ( 3 , 1 ), C ( -1 , -6 )

a).- El triángulo es:

2.- A ( -2 , -4 ), B ( -5 , -1 ), C ( -6 , -5 )


7

Resuelve los siguiente ejercicios.

Demuestre que los siguientes puntos son los vértices de un triangulo isósceles.

3.- A ( -6 , -6 ), B ( -2 , 2 ), C ( 2 , -2 )

4.- A ( -6 , 4 ), B ( -5 , -3 ), C ( -1 , -1 )



8

Ejemplo 5: Demuestre que el triángulo de vértices , y es rectángulo en .

Como se pudo observar en este ejercicio que para comprobar si es o no un

triángulo rectángulo por medio de distancia entre dos puntos, se tuvo que calcular la longitud de

los lados del triángulo y aplicar el teorema de Pitágoras (en un triángulo rectángulo, el cuadrado

de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos) al resultado.

9

Primero sacamos las distancias entre los vértices

Para demostrar que estos puntos son

los vértices de un triángulo rectángulo se

plantea de la siguiente manera:

Sustituyendo las distancias conocidas

Eliminando los radicales con el

exponente al cuadrado tenemos que

Sumando los términos de la derecha

Y como la suma nos da el mismo valor que el

de la izquierda, queda comprobado.

EJERCICIO 5:


Demuestre que el triángulo es rectángulo

1.- A (-3 , 1), B (-3 , -4 ), C ( 5 , -4 )


b).- Usa el Teorema de Pitágoras para determinar c).- Encuentra su Área.que el triángulo es rectángulo.

10



2.- P (-2 , -8 ), Q (-6 , -1 ), R ( 0 , -4)



11



3.- A (-9 , -2 ), B (-3 , -2 ), C (-3 , -10 )



12



4.- A (-2 , 5 ), B (-6 , 1 ), C (-2 , 1 )



13

Ejemplo 6: Demuestre que los puntos , y son colíndales (que están sobre la misma recta).

14

Primero sacamos la distancia de

, y . Y verificamos que la

distancia del segmento mayor sea igual a la

suma de los segmentos menores

=

Ahora observamos que la distancia

mayor es luego entonces:

Ahora descomponemos el radical

de la izquierda para igualarlo a la suma de

los de la derecha

Ejercicios de los temas vistos: Resuelve en tu libreta y grafica en hoja milimétrica.

1. Halla el perímetro de los triángulos cuyos vértices son:

a). L (–2, 5), M (4, 3) y N (7, –2)

b). H (–1, –2), J (4, 2) y K (–3, 5)

2. Demuestra que los puntos dados son colineales, es decir, que están sobre una misma línea

recta

a). M (12, 1), P (–3, –2) y R (2, –1).

b). P (–2, 3), Q (–6, 1) y R (–10, –1)

3. Demostrar que los puntos siguientes son los vértices de un paralelogramo:

a). A (1, 1), B (3, 5), C (11, 6) y D (9, 2)

b). M (–1, 5), N (2, 1), O (2, 5) y P (–2, –1)

4. Halla el punto de abscisa 3 que diste 10 unidades del punto P (–3, 6). (Da dos soluciones).

5. Uno de los extremos de un segmento de longitud es A (2, 3) si la ordenada del otro

punto es 5 halla su abscisa.

6. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a es el punto A(-1, -

5); si la abscisa del otro extremo es 2, hallar su ordenada (dos soluciones).

7. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud igual a 17 u es el punto A ( 1 ,

- 11 ); si la ordenada del otro extremo es 4 halla su abscisa (Dos soluciones).

8. Dos de los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (7, 2) y B (2, 2), halla las

coordenadas del tercer vértice (dos soluciones).

15

OPCIONAL.

1. El extremo del diámetro de una circunferencia de centro P (7, -6) es P2 (2, 2); halla las

coordenadas P1 (x, y) del otro extremo.

1.3 Pendiente y Ángulo de Inclinación.

Angulo de inclinación de una recta: Angulo que forma una recta medido desde el eje x en

sentido contrario a como giran las manecillas de un reloj. El valor del ángulo de inclinación a

partir de la ecuación m = Tan , despejando para el ángulo de inclinación, tenemos:

Pendiente de una recta: Tangente trigonométrica de su ángulo de inclinación. La pendiente se

define matemáticamente por el siguiente, Teorema: Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) dos puntos

diferentes cualesquiera de una recta, la pendiente de dicha recta es:

Ángulo de Inclinación. 180°

Y

l

O A X

_ Sea l una recta no paralela al eje x y que la intersecta en el punto A.

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= arc tan m

; Siendo x1 x2

_ Se denomina pendiente o coeficiente angular de una recta a la tangente de su ángulo de

inclinación. La notación de pendiente es por la letra m y de acuerdo con la definición, se

expresa por:

m = Tan

El ángulo () de inclinación de la recta puede tomar cualquier valor entre 0°

180°, por lo que los siguientes criterios facilitan la compresión del comportamiento de la

pendiente en el sistema de coordenadas rectangulares:

En las siguientes figuras se representan los cuatro casos:

17

a. m es un número positivo, si 0° 90°

b. m = 0 (recta horizontal), si = 0°

c. m es un número negativo, si 90° 180°

d. m = no definida (recta vertical), si = 90°

Ejemplo 7

Encuentra la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa por los puntos y .

EJERCICIO 6: Resolver en tu libreta y graficar en hojas milimétricas.

1. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que se forma con los puntos A (- 6, -

4) y B (8, 3).

2. Una recta de pendiente (-2) pasa por el punto A (5, - 2); la abscisa de otro punto de la recta es

(1); hallar su ordenada.

3. Hallar la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que une a los puntos A (12, - 5) y B

(2, 1).

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Sabemos que al igual que los temas

anteriores, , , y

, sustituyendo en la fórmula

tenemos:

Debemos mencionar que es indistinto

tomar el orden de la fórmula ya que

Finalmente la respuesta es la misma.

Y el ángulo de inclinación por lo tanto

4. Traza la recta que pasa por el punto A (- 3, - 2) y que tiene una pendiente igual a (4/5).

5. Una recta de pendiente (-2) pasa por el punto A (5, - 2); la abscisa de otro punto de la recta es

(1); hallar su ordenada.

Ejemplo 8

Demuestra mediante la fórmula de la pendiente que los puntos , y son colineales.

EJERCICIO 11: Resolver y graficar en hojas milimétricas.

Demuestre por medio de las pendientes que los siguientes puntos son colineales.

a) A (-2, 3), B (2/3, 1) y C (6, -3)

b) K (-4, 7), L (2, 2) y M (5, -1/2)

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Se cumple la misma condición que con dos

rectas paralelas, es decir, al encontrar la

pendiente de debe ser igual a la pendiente

de :

y queda demostrado que

1.4.Condiciones de paralelismo y perpendicularidad.

1. Dos rectas que son paralelas : sus pendientes son iguales. Dos rectas, y , son paralelas sólo si sus inclinaciones son idénticas; si las pendientes de las rectas son y , la condición de paralelismo establece que =

Como y son paralelas, sus inclinaciones y son iguales, es decir, = y en

consecuencia tan = tan , por lo tanto = .

2. Rectas perpendiculares : Cuando dos rectas son perpendiculares, el ángulo que se forma entre

ellas es de 90°; es decir, dos rectas son perpendiculares entre sí cuando el producto de sus

pendientes es igual a – 1, tenemos:

Y da lugar a lo siguiente: Dos rectas son perpendiculares entre sí, cuando la pendiente de

una de las rectas es recíproca y de signo contrario de la pendiente de la otra recta.

y/o

Sean y dos rectas perpendiculares, la inclinación de una excede de la otra en 90°; es

decir, = +90°.

3. Toda recta perpendicular al eje X no tiene pendiente, es decir, la pendiente de una recta

paralela al eje Y no existe.

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Dos rectas paralelas respectivamente a los ejes X y Y, que son, por supuesto,

perpendiculares, se hace notar que la pendiente de la recta paralela al eje X es cero, pues que tan

0° = tan 180° = 0; en tanto que la pendiente de la otra recta paralela al eje Y es indefinida, puesto

que tan 90° = .

Ejemplo 9:

Demuestra que los puntos , y son los vértices de un triángulo rectángulo.

21

En este ejercicio se cumple la condición que dos

rectas perpendiculares, tienen pendientes

recíprocas y de signo contrario

y queda demostrado que

, es decir es la recíproca y de

signo contrario de

EJERCICIO 7: Resuelve los siguiente ejercicios.

Demuestra que los puntos son los vértices de un triángulo rectángulo.(Condición de Perpendicularidad)

1.- A (-5 , 3 ), B (-1 , -2 ), C (-1 , 3 )


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2.- A ( 1 , -1 ), B ( 4 , -5 ), C ( 4 , -1 )


23



3.- A ( 2 , 7 ), B ( 8 , 2 ), C ( 2 , 2 )


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1.8 Angulo que se forman entre dos rectas que se intersecan.

Angulo entre dos rectas: Es el ángulo formado entre dos rectas que se intersectan en un punto.

Teorema: Sean l1 y l2 dos rectas que tienen pendientes m1 y m2, respectivamente; si

es el ángulo dirigido de l1 a l2, se establece que:

Recta final

y

l2 l1 Recta inicial

´

1 2

x o

A esta fórmula se le conoce como fórmula de la tangente del ángulo comprendido entre

dos rectas que se intersecan en función de sus pendientes.

Conociendo el valor de la tangente, estará dado por la fórmula:

NOTA: Es interesante observar que si el numerador m2 - m1 = 0 entonces m2 = m1 la recta l1

es paralela a l2 y si el denominador 1+ m1m2 = 0 entonces m1m2 = -1 la recta l1 es

perpendicular a la recta l2.

También es interesante observar que si en el numerador tomamos m1 - m2 en lugar de

m2 - m1, entonces obtenemos la Tan ´ (suplemento).

EJERCICIO 8:

25


Busca las medidas de los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son:

1.- A ( 2 , 5 ), B ( 8 , -1 ), C ( -2 , 1 )

Ángulo A = Ángulo B= Ángulo C=

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2.- A ( -6 , 4 ), B ( -5 , -3 ), C ( -1 , -1 )


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Busca las medidas de los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son:.

3.- A ( 2 , 0 ), B ( 6, 0), C ( 4 , )


28



4.- A ( 2 , 3 ), B ( 7, 4 ), C ( 4 , 7 )


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Ejercicios de los temas vistos: Resuelve en tu libreta y grafica en hoja milimétrica.

1. Dadas las siguientes rectas que pasa por los puntos A y B, Así como definidas por los puntos

M y N; determina si son paralelas o perpendiculares entre sí:

a) A (4, 1), B (-2, 5) y M (3, 7), N(-1,1)

b) A(-7, 1), B (1, -6) y M (-4, -6), N(3, 2)

c) A (2, 2), B (9, 9) y M (6, 5), N (5, 6)

2. Halla los ángulos interiores del triángulo de vértices , y .

3. Una recta pasa por los dos puntos , . Si un punto de abscisa 10 pertenece a la

recta, cual es su ordenada.

4. Traza la siguiente recta que pasa por el punto R (2, -7) y cuya pendiente es (-4).

5. Dos rectas se cortan formando un ángulo de 45º, la recta final tiene una pendiente de ,

calcula la pendiente de la recta inicial.

6. Demostrar, por medio de pendientes, que los puntos A (3, -6), B (11, -5), C (9, 2) y D (1, 1)

son vértices de un paralelogramo.

OPCIONALES

7. Halla la pendiente de una recta que forma un ángulo de 45º con la recta que pasa por los

puntos de coordenadas y .

8. El ángulo formado por la recta que pasa por los puntos y con la que pasa

por y es de 135º. Halla el valor de y.

9. Demuestra que los puntos , , y son vértices de un

cuadrado y que sus diagonales son perpendiculares y se dividen mutuamente en partes iguales

10. Demuestra que el punto A (-5, 3) está sobre la mediatriz del segmento cuyos extremos son P

(2, 5) y Q (-3, -4). (Colineal)

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