ANLISIS NUMRICO I.Unidad 3. Sistemas de Ecuaciones Lineales. Actividad 1. Resolucin de Sistemas Lineales.

. UNADMX

LICENCIATURA EN MATEMTICAS

ANLISIS NUMRICO I.UNIDAD 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES.Evidencia de Aprendizaje. Sistemas Numricos.

EVIDENCIA DE APRENDIZAJE. SISTEMAS NUMRICOS.

1. Contesta las siguientes preguntas. Qu mide el condicionamiento de una matriz? El nmero de condicin (k), nos calcula esa sensibilidad que existe entre los datos de entrada y los datos de salida de la matriz.Una matrizAestbien condicionadasiK(A) se aproxima a 1 y estmal condicionadasiK(A) es significativamente mayor que 1. Cul es su expresin?El nmero de condicin est definido por:

Qu es una matriz?Una matriz es un rectngulo de nmeros, considerado como una entidad. Se le delimita con parntesis o corchetes. Cuando la matriz tiene m filas y n columnas se dice que es una matriz m x n. Normalmente designamos a una matriz por letras negritas maysculas, como A, B, y as sucesivamente. Sin embargo, cuando una matriz tiene solamente una fila se le considera como un vector fila y se le designa por una letra negrita minscula.

Cul es la expresin de la norma infinita y la norma 2 de Hlder?La norma infinita dice que un vector se define como Similarmente, la norma infinito de una matriz , se defino como

La norma 2 de Hlder mejor conocida como la de desigualdad de Hlder que dice: Si p y q son nmeros reales tales que entonces:

En el caso particular en que p=2la desigualdad de Hlder se convierte en una desigualdad bien conocida:

2. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones:

Usando sustitucin Gaussiana y el Mtodo de Gauss-Seidel., identifica cul es n el vector para la aproximacin inicial y el criterio de paro ms adecuado:

MTODO DE SUSTITUCIN GAUSSIANA.Representamos en primer trmino, el sistema de ecuaciones en la forma de matriz principal y tenemos:

Haciendo las operaciones correspondientes:

Obtenemos las siguientes ecuaciones:

MTODO DE GAUSS-SEIDEL.De la matriz principal obtenemos las siguientes ecuaciones:

Tabla de iteraciones para alcanzar la convergencia.

Lo que indican las columnas de esta tabla es iteracin, primera, segunda y tercer y cuarta entrada del vector calculado, error relativo respecto de la solucin anterior y una funcin que calcula si todas las entradas fueron iguales a la solucin de la iteracin anterior con un umbral de 0.001.La solucin por la que optaremos es y es que a partir de m=12 , el error relativo se estabiliz. Este ser el criterio por el que optaremos para escoger la mejor solucin, en caso de que el error no se estabilice nunca (algo que bien podra suceder) entonces escogeremos la iteracin para la que el vector tuvo todas sus entradas iguales. El resultado expreso al que llegamos en la 10 iteracin es:

3. Considera los siguientes datos: En las primeras dos columnas se presenta la cantidad de municipios que tiene el estado de la Repblica Mexicana y del lado derecho est la cantidad de municipios reordenada de mayor a menor representados en la grfica 1.Estadode MxicoCantidad de municipiosndiceCantidad de Municipios

1111570

252217

3103212

4114125

5385125

6106118

71187113

8678106

916984

10391081

11461172

12811267

13841360

141251458

151251558

161131651

17331746

18201843

19511939

205702038

212172133

22182220

2392318

24582418

25182517

26722616

27172711

28432811

29602910

302123010

31106319

3258325

No se puede hacer un ajuste lineal sobre esos datos pero s sobre los mismos datos transformados. Considera hacer un cambio de variable de la siguiente forma:

Si no te convence puedes proponer tu propio cambio de variable. Una vez que tengas los datos convertidos has un ajuste lineal y reporta la ecuacin de la recta que mejor se ajusta a los datos con el cambio de variable y con la variable original (Para esto tendrs que aplicar la funcin inversa de la que hayas propuesto para hacer el cambio de variable). Reporta todo en un documento de texto de manera clara y concisa. Escribe las consideraciones que hayas tenido que tomar en cada problema para llegar a su solucin.Tabla de ajustes que muestran los clculos realizados.

Haciendo el ajuste correspondiente:

Por lo tanto, tenemos que la ecuacin de la recta es:

http://books.google.com.mx/books?id=XlpLXmLrt20C&pg=PA320&dq=QUE+ES+UNA+MATRIZ&hl=es&sa=X&ei=LkJ3UfaRCojQ2AWbvoCwCg&ved=0CEUQ6AEwAw#v=onepage&q=QUE%20ES%20UNA%20MATRIZ&f=falseAnlisis Numrico, Richard L. Burden, sptima edicin, 2011.

Hoja1mx_1x_2x_3x_4error_religual00.00000.00000.00000.000011.40001.40001.40002.30003.3422no20.89000.89000.89001.88002.4374si31.03401.03401.03402.03301.9408no40.98990.98990.98991.98982.0253si51.00301.00301.00302.00301.9931no60.99910.99910.99911.99912.0021si71.00031.00031.00032.00031.9994no80.99990.99990.99991.99992.0002si91.00001.00001.00002.00001.9999si101.00001.00001.00002.00002.0000si111.00001.00001.00002.00002.0000si121.00001.00001.00002.00002.0000si131.00001.00001.00002.00002.0000si141.00001.00001.00002.00002.0000si151.00001.00001.00002.00002.0000si161.00001.00001.00002.00002.0000si171.00001.00001.00002.00002.0000si

Hoja1XYX=xy=ln(y_i)x^2x*yn157016.345636360816.34563636081221725.3798973535410.75979470712321235.3565862747916.0697588243412544.82831373731619.31325494924512554.82831373732524.14156868655611864.77068462453628.62410774686711374.72738781874933.0917147317810684.66343909416437.3075127529898494.43081679888139.877351189691081104.394449154710043.9444915467101172114.27666611912147.0433273092111267124.204692619414450.4563114327121360134.094344562216953.2264793089131458144.060443010519656.8462021476141558154.060443010522560.9066451582151651163.931825632725662.9092101236161746173.828641396528965.0869037403171843183.761200115732467.7016020825181939193.663561646136169.6076712765192038203.637586159740072.7517231945202133213.496507561544173.4266587908212220222.995732273648465.9061100182222318232.890371757952966.4785504316232417242.833213344157667.9971202573242516252.772588722262569.314718056252611262.397895272867662.3452770928262711272.397895272872964.7431723656272811282.397895272878467.1410676384282910292.30258509384166.7749676968293010302.30258509390069.077552789830319312.197224577396168.113961897431329322.1972245773102470.3111864748322458528120.4266480452114401677.6416107781suma