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Licenciatura en Enseñanza de la Matemática
tesis
Para optar por el grado de Licenciatura en Enseñanza de laMatemática
Uso de la historia como recurso metodológico para la enseñanzade las funciones exponenciales y logarítmicas, en el Colegio
Internacional Canadiense, durante el tercer trimestre del 2014
Mauricio José Ramírez Herrera
San José, Costa RicaJunio, 2015
Índice general
Introducción 11. Planteamiento del problema de estudio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12. Delimitación Temática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63. Justificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84. Antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95. Objetivos de la investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5.1 Objetivo General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155.2 Objetivos Específicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
6. Alcances y Limitaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177. Referentes Institucionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1 Marco Teórico 251.1. Educación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.2. Sistema Educativo Costarricense . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.3. La Didáctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.4. Didáctica de las Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 361.5. Aprendizaje Significativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 381.6. Historia de las Matemáticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 411.7. Uso de la historia como recurso metodológico para la enseñanza . . . . 48
1.7.1. Orientaciones Metodológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481.7.2. Hechos Históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 511.7.3. Papel del docente y del alumno . . . . . . . . . . . . . . . . . . 531.7.4. Diseño de Unidades Didácticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.8. Función Exponencial y Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.8.1. Función . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 581.8.2. Función Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591.8.3. Función Logarítmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2 Marco Metodológico 622.1. Método . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 622.2. Tipo de Investigación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.3. Sujetos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.4. Variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
2.4.1. Orientaciones Metodológicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
i
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2.4.2. Hechos históricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 672.4.3. Papel del docente y el alumno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.4.4. Diseño . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 702.4.5. Descripción de instrumentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
2.5. Población y Muestra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 742.6. Tratamiento de la información . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3 Anexos 76
Bibliografía 80
Introducción
“La vida entera es una escuela”. — Comenius
1. Planteamiento del problema de estudio
Por siglos la educación ha jugado un papel importantísimo en la re-
producción cultural, el cambio social y el progreso económico de las
sociedades humanas. (Picado, 2003, p.10)
No es de extrañar por tanto que algunos teóricos conciban la educación
desde diferentes dimensiones.
Inicialmente la educación es acción. Desde una visión etimológica,
del término nace el verbo educare, ex: afuera y ducare: conducir o llevar
(Picado, 2003, p.5).
Por tanto la educación mueve a acción, es decir conduce a la persona a
externar su pensamiento – lo que lleva dentro – con el fin de confrontarlo
1
2
con el ambiente y generar nuevas ideas.
El vocablo en un inicio se acuñó para referirse a la crianza de animales,
a partir del siglo III a.C. el término “adoptó la idea de conducción y
crianza de niños. En el siglo I antes de Jesucristo ya se refería a la ‘acción’
de conducir el proceso de creación propio de los seres humanos”. (Picado,
2003, p.5)
Toda acción expresa un proceso, una sucesión de pasos deliberados,
en la consecución de un objetivo. En el caso de la educación el objetivo
está enfocado en el “hacer humano” o un “hacer cultural”.
La educación entonces no busca informar o conformar el compor-
tamiento, más bien busca formar, a través de la transformación de la
realidad humana. El individúo que participa en este proceso, donde se
interrelaciona con otros y con el entorno, se descubre a si mismo y a
partir de ese hecho va construyendo su nueva realidad, configurando un
estado comúnmente conocido como desarrollo humano pleno.
Al calor de dicha interacción la educación se torna encomunicación,
3
pues crea un espacio donde el diálogo permita al individuo ser consciente
de sus ideas y concepciones (preconcebidas), le permite no solo expresar
y defender dichas ideas sino que propicia la reflexión de estas, lo que
generará la elaboración de nuevos significados e ideas. (Picado, 2003,
p.31)
En todo este proceso la intervención del docente, más que enseñar o
dirigir, debe encaminarse a “estimular y facilitar el proceso de análisis,
de reflexión y de construcción conjunta del conocimiento”. (Picado, 2003,
p.81)
El sistema y método que el docente utiliza para que surja este espacio
de interacción es lo que se conoce como Enseñanza.
Al menos la mayoría de los docentes de matemáticas coinciden en que
la forma de enseñar matemáticas se basa en la concepción constructivista
donde los estudiantes construyen su conocimiento a partir de la resolución
de ejercicios y problemas. Los estudiantes aprenden matemáticas por
medio de las experiencias que les proporcionan los profesores.
4
Por tanto, la comprensión de las matemáticas por parte de
los estudiantes, su capacidad para usarlas en la resolución de
problemas, y su confianza y buena disposición hacia las mate-
máticas están condicionadas por la enseñanza que encuentran
en la escuela.(Godino, Batanero & Font, 2004, p.68)
Se debe considerar que las matemáticas al igual que otras ciencias no
se construyen del vacío, es decir, necesitan de un sustento conceptual
previo. Donde el alumno no solo se vea involucrado en la resolución
de problemas, sino que además tenga un sustento teórico para poder
abordarlos.
Puede concluirse que si se desea el logro de un aprendizaje significa-
tivo por medio de la enseñanza de la matemática, el docente requiere
comprender lo que el estudiante conoce y por tanto, lo que necesita
aprender. La enseñanza debe suponer un desafío al estudiante, buscando
que ante el reto pueda construir nuevos conocimientos.
Es imposible negar, eso sí, que estos ideales se quedan muchas veces
5
en el papel, pues en la realidad no se logran.
Por ejemplo, la enseñanza de las funciones exponenciales y logarítmi-
cas – que es el tema que nos ocupa en este estudio – se realiza de manera
mecánica y ciertamente sin brindar un espacio para que el estudiante
enriquezca el proceso por medio de la contextualización.
Generalmente se parte de la definición, se dan algunos ejemplos, luego
se enuncian y ejemplifican las propiedades y finalmente se realizan los
ejercicios. Estos, no son mas que largas listas donde hay que calcular de
manera directa o valiéndose de las propiedades.
Además, muchos docentes omiten – o hasta desconocen el significado
que puede tener para los estudiantes – el problema histórico que llevó a
concebir las funciones logarítmicas y exponenciales.
Si se integrase a la enseñanza el componente histórico del contenido,
el estudiante sería capaz de valorar la relevancia del tema, entender los
antecedentes sociales que lo generaron y así lograr darle real sentido a
lo que se enseña.
6
La perspectiva histórica no sólo permite conocer cómo se
crearon y construyeron los conceptos y las teorías que hoy
manejamos, producto de un trabajo acumulativo, sino también,
faculta para comparar técnicas y métodos actuales con otros
que se utilizaron en el pasado. Así, el quehacer matemático se
torna valioso al poner de manifiesto que un mismo problema se
resolvió de maneras diferentes en distintas épocas. (Abrate &
Pochulu, 2006 , p. 112)
2. Delimitación Temática
Con la entrada en vigencia de los nuevos programas de estudio del
Ministerio de Educación Pública de Costa Rica, se desea dar una visión
más humana a la enseñanza de la matemática mediante cinco ejes. Uno
de estos ejes es precisamente el Uso de la Historia de las Matemáticas.
De esta manera, el presente estudio se abocará a analizar “El uso de la
historia como recurso metodológico para la enseñanza de las funciones
exponenciales y logarítmicas” incluyendo las ecuaciones exponenciales
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y logarítmicas, así como las propiedades de los logaritmos. Se llevará a
cabo en el Colegio Internacional Canadiense, en Curridabat, durante el
tercer trimestre de 2014.
Durante este proceso se buscará exponer el clima social que llevó al
surgimiento del estudio de las funciones exponenciales y logarítmicas,
con el fin de que los estudiantes valoren el quehacer matemático propio
del tema y sus contenidos adquieran relevancia.
El presente estudio busca investigar los méritos de emplear el enfoque
histórico en la enseñanza y el aprendizaje de las funciones exponenciales
y logarítmicas, un contenido que forma parte del nivel de décimo, y que
da cierre a los contenidos de dicho año escolar.
Se revisó material, en las etapas previas, referente al tema que permi-
tiese replicar durante las lecciones los eventos históricos que llevaron al
descubrimiento de las funciones exponenciales y logarítmicas.
Aún más, se desea construir al menos cuatro unidades didácticas
que se integren de manera definitiva en la enseñanza de las funciones
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exponenciales y logarítmicas en el Colegio Internacional Canadiense; y
que a su vez sirva para motivar el diseño de unidades similares para los
demás contenidos del programa de matemáticas.
Ya que por lo general el tiempo máximo con que se cuenta es de 80
minutos para las lecciones de matemáticas, cada unidad didáctica no
excederá dicho periodo.
3. Justificación
Este estudio reviste gran interés por dos motivos: primero la modi-
ficación al programa de matemáticas por parte del mep presenta una
oportunidad para integrar el aspecto histórico como vector de la ense-
ñanza de la disciplina; y segundo logra dar una dimensión humana a
las matemáticas, presentándola como solución a una problemática so-
cial o económica, lo cuál ratifica su vigencia como herramienta para el
desarrollo.
En primera instancia, con la reforma curricular del programa de ma-
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temáticas se busca motivar a los estudiantes para que abandonen la
concepción de que las matemáticas son frías y lejanas y comiencen a
considerarlas como parte del mundo que les rodea.
De igual manera, cuando el alumno considera la historia de las mate-
máticas, logra entender la utilidad que tuvo entonces la disciplina y las
posibilidades que se abren ante él.
La propuesta se considera factible, pues en este momento las dos
secciones del nivel de décimo año del Colegio Internacional Canadiense
se encuentran a cargo de un único docente, quién ha expresado todo
su interés en que se lleve a cabo. Así mismo se cuenta con el aval de la
dirección del centro educativo.
4. Antecedentes
Del presente tema es posible encontrar dos tesis. La primera trata de
forma exclusiva el Teorema de Pitágoras y la segunda se enfoca en el
programa de matemática para sétimo año.
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En el primer estudio, realizado por Juan Luis Garro Acosta, titulado
“¿Cómo utilizar de manera efectiva la Historia de la Matemática como
recurso metodológico en los procesos de enseñanza y aprendizaje de los
estudiantes de la sección 7–2 del Colegio Técnico Profesional de Guácimo
de forma coherente con el desarrollo curricular de la educación media
costarricense vigente en el año 2011?”, se desprende que
los docentes no han hecho de forma significativa, uso de
la historia de la matemática en la enseñanza de la misma, y
que en algunos niveles de ninguna forma se ha empleado, se
une a esta limitación la falta de material tecnológico que pueda
ser empleado en la enseñanza de la historia de la matemática.
(Garro, 2011, p.p. 165 - 166)
El estudio más adelante concluye
un correcto uso de la Historia no es sencillo para los profe-
sores pues carecen por lo general de una formación al respecto
y que, por ende, tampoco es fácil para los estudiantes. La re-
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flexión no puede limitarse a afirmar que usar la Historia en la
enseñanza de las Matemáticas es buena, sino que es necesario
explicitar algunos de los beneficios que reporta ese uso. (Garro,
2011, p. 171)
Por su parte, el segundo estudio, ejecutado por Ronny Pizarro Leal,
titulado “Propuesta didactica para la enseñanza del teorema de pitágoras
con base en su desarrollo histórico y evolución, dirigido a estudiantes
de Noveno Año del Colegio María Auxiliadora, San José, 2011”, se de-
canta más por las bondades de integrar la historia en la enseñanza de
contenidos matemáticos.
El estudio concluye en primer instancia que “las estudiantes están
de acuerdo con que el estudio del desarrollo histórico del Teorema de
Pitágoras logra una mejor comprensión de este resultado.” (Pizarro, 2011,
p. 113)
No obstante, llama la atención la conclusión final, donde asevera que
el aprendizaje no fue exactamente significativo pues “tienen deficiencias
12
en cuanto a los orígenes del teorema de Pitágoras” (Pizarro, 2011, p.
113), lo que a todas luces parece indicar que se erró por completo en la
consecución del objetivo, enseñar el teorema de Pitágoras mediante su
desarrollo histórico.
Tomando como referencia las dos tesis que se encontraron en la insti-
tución, es posible concluir que el uso de la historia en la enseñanza de la
matemática es aún asignatura pendiente.
Los teóricos en general han sido prolíficos al estudiar el uso de la
historia en los salones de clases.
Wilson & Chauvot (2000) identifican cuatro beneficios principales de
la inclusión de la historia de las matemáticas en la enseñanza “afina las
habilidades de la solución de problemas, coloca un fundamento para
un mejor entendimiento, ayuda a los estudiantes a realizar conexiones
matemáticas, y resalta la interacción entre las matemáticas y la sociedad”
(Wilson & Chauvot, 2000, p. 642).
Bidwell (1993) por su parte reconoce la habilidad de la historia para
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darle una dimensión humana a las matemáticas. Inicia aceptando que
los estudiantes perciben la enseñanza de las matemáticas como una isla
“cerrada, muerta, carente de emociones y completamente descubierta”
(Bidwell, 1993, p. 461).
Al incluir la historia de las matemáticas en la enseñanza “se puede
rescatar a estos estudiantes de la isla de las matemáticas y reubicarlos
en el continente de la vida, que contiene matemáticas que son abiertas,
vivas, llenas de emoción y siempre interesantes” (Bidwell, 1993, p. 461).
Adicionalmente, Jankvist identifica mas beneficios del uso de la his-
toria de las matemáticas. Como son el aumento en la motivación de los
estudiantes (el que se genera a través del interés y el entusiasmo) y una
disminución en la intimidación que la disciplina les causa, al caer en
cuenta que las matemáticas no son más que una creación humana y que
quienes iniciaron su estudio muchas veces vivieron la misma frustración
que los estudiantes experimentan (Jankvist, 2009, p. 244).
Jankvist también dimensiona la historia como una herramienta peda-
gógica, que puede abrir nuevas perspectivas y la capacidad de entender
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la verdadera naturaleza de las matemáticas y aún más puede servir como
guía de las dificultades que los estudiantes pueden encontrar conforme
aprenden un tema en particular. (Jankvist, 2009, p. 242)
Es así como se puede asegurar que
la historia juega un papel vital en las lecciones de matemá-
ticas. Permite a estudiantes y docentes pensar y hablar sobre
las matemáticas en maneras sumamente significativas. Despoja
del carácter mítico a las matemáticas al mostrar que es creación
de seres humanos. La historia enriquece el currículo matemáti-
co. Profundiza y ensancha el conocimiento que los estudiante
construyen en las lecciones. (Marshall & Rich, 2000, p. 706)
Bidwell menciona tres formas en las que se puede utilizar la historia
de las matemáticas. La primera es presentarla de forma anecdótica,
mostrando fotos de famosos matemáticos o hechos históricos. La segunda
es introducir material anecdótico conforme se desarrolla la lección; a
manera de referencia histórica. El tercer uso es integrar en las lecciones
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eventos históricos completos; “donde el contenido matemático puede
replicarse a escala en el aula” (Bidwell, 1993, p. 462).
En el presente estudio la tercera forma es la que interesa desarrollar.
Pues se considera que las primeras dos ya fueron abordadas previamente.
Así mismo, presenta un atractivo especial gracias a su novedad.
5. Objetivos de la investigación
En el presente estudio, se pretende concretar los siguientes objetivos.
5.1 Objetivo General
Plantear el uso de la historia como recurso metodológico para la
enseñanza de funciones exponenciales y logarítmicas en el Colegio Inter-
nacional Canadiense durante el tercer trimestre de 2014.
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5.2 Objetivos Específicos
Determinar las orientaciones metodológicas que brinda el programa
de estudio de matemática de décimo año, para el tema funciones
exponenciales y logarítmicas.
Examinar los hechos históricos que llevaron al descubrimiento de
las funciones exponenciales y logarítmicas.
Determinar el papel del docente y del estudiante con respecto al
uso de la historia como método para la enseñanza de las funciones
exponenciales y logarítmicas.
Diseñar unidades didácticas que involucren el uso de la historia
como recurso metodológico para el aprendizaje del tema de las
funciones exponenciales y logarítmicas.
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6. Alcances y Limitaciones
Dentro de los alcances y limitaciones de la presente investigación,
deberá tenerse claro que los resultados obtenidos, serán aplicables sólo
a los estudiantes de décimo año del Colegio Internacional Canadiense.
Dejando abierta la opción para que en futuras consultas el lector pueda
adaptarlo a su realidad.
Inicialmente, los resultados serán de dominio del docente de matemá-
ticas del nivel de décimo año, no obstante estarán disponibles para cual-
quier otro docente del Colegio Internacional Canadiense. Posteriormente,
se integrará a la colección regular de la biblioteca de la Universidad
Americana para que docentes, estudiantes y público en general pueden
consultarlo.
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7. Referentes Institucionales
Se eligió para realizar el presente estudio al Colegio Internacional
Canadiense, institución educativa privada, ubicada en el cantón de Curri-
dabat, San José, Costa Rica. Su estandarte una lámpara dorada, como
símbolo de la sabiduría.
Misión
“La misión de la institución es la formación de jóvenes solidamente
preparados para el competitivo mundo de hoy, con un buen dominio
del idioma inglés como complemento necesario a todo buen profesional,
aunado a un eficiente manejo de los recursos que la informática y la
telemática ponen a su disposición.
“El colegio se propone igualmente, dotar a sus alumnos de una escala
de valores que les permita asumir su cultura en el marco de una visión
amplia del mundo, con tolerancia y respeto hacia otras culturas y pueblos.
“Facilitar una sana y eficiente práctica deportiva que sumada a otras
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manifestaciones del quehacer humano, den forma a una verdadera for-
mación integral de nuestros alumnos.
“Finalmente nos imponemos como parte fundamental de nuestra mi-
sión, el mantener y propiciar en el colegio, un ambiente grato, democrá-
tico y participativo que facilite en nuestros padres, docentes y alumnos
una atmósfera cálida con un alto sentido de pertenencia, acompañado
de un compromiso de ayuda y solidaridad hacia el prójimo como parte
importante de todo ser humano cabalmente formado.”
Visión
“El Colegio Internacional Canadiense es una institución Educativa
Privada, que cubre desde Preescolar hasta el Bachillerato, propiciando
un eficiente aprendizaje del idioma inglés y de la informática, como he-
rramientas fundamentales que complementen un alto nivel de exigencia
académica en el desarrollo de los programas oficiales que se imparten en
el idioma español.
“Con programas e instalaciones que favorezcan en nuestros alumnos
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el desarrollo de actividades deportivas, culturales y recreativas que les
aseguren una educación integral, el colegio está abierto a toda persona,
sin distinción de credo, raza o nacionalidad.
“Se procura una visión abierta al mundo, con la tolerancia y el respeto
hacia otras culturas como valor fundamental, afianzada en una adecuada
comprensión y conocimiento de los valores culturales costarricenses.”
El objetivo primordial del Colegio Internacional Canadiense es el
fomentar en el estudiante un fuerte sentido de identidad personal, con-
fianza, dignidad y orientar a cada estudiante para que llegue a ser un
miembro contribuyente en la sociedad.
Porque todas las naciones, grandes y pequeñas están llegando a ser
interdependientes y el mundo en si mismo como una Aldea Global, el
Colegio Internacional Canadiense reconoce el interés que tiene el ser
humano de sentirse cómodo en sus relaciones culturales y actuar recí-
procamente con el mundo de habla inglesa en forma competente y en
confianza. Por lo tanto, la meta de la institución es educar a los estu-
diantes, no solamente con un fuerte sentido de identidad y orgullo de la
21
herencia costarricense, sino también con la gran ventaja de que puedan
ser bilingües y biculturales.
La filosofía del Colegio Internacional Canadiense es que cada estu-
diante tiene una identidad. El estudiante trae consigo lo que sabe de su
familia, su cultura, el pasado y las futuras esperanzas que su familia tiene
para el. Además, trae consigo su idioma, el lenguaje que aprendió en su
hogar y con el cual ha aprendido a pensar. Él trae sonidos, visualizaciones,
sensaciones para tocar sobre las cuales el construye.
Cada estudiante es un individuo único. Dos niños no se desarrollan
de la misma forma o exactamente de la misma manera. Todo estudiante
necesita satisfacer sus necesidades básicas y de amor propio antes de
comenzar a aprender.
El Colegio Internacional Canadiense comprende el crecimiento y desa-
rrollo del estudiante y lo acepta y respeta como ser humano único. Ade-
más, provee variadas y múltiples oportunidades para estimular el apren-
dizaje en el estudiante. Reconociendo el potencial de cada estudiante
con el fin de atraerlo y enseñarle en forma significativa el contenido del
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curso.
Entre los objetivos de la institución se encuentran el desarrollar en el
estudiante conciencia de que él es una persona única y especial. Promover
oportunidades para aumentar la confianza en si mismo y el desarrollo
positivo de su propia imagen. Estimular al estudiante para su desarrollo
social ayudándoles a respetar, comprender, cooperar y relacionarse con
sus compañeros y con los adultos.
Respaldado por su experiencia como educador y un extenso bagaje
cultural obtenido mediante el contacto con múltiples culturas alrededor
del mundo, el señor John H. Ovens llega a Costa Rica, hace poco más
de 15 años. Entre sus maletas un sueño: fundar la mejor institución
educativa privada del país.
Con el sacrificio y esfuerzo característicos del inicio de toda empresa,
en 1991 se funda la Escuela Internacional Canadiense ofreciendo los
niveles de Maternal, Prekinder, Kinder, Preparatoria y Primaria.
No obstante, y como era de esperar el funcionamiento de estos niveles
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conllevaría a la pronta apertura de niveles superiores. Con la limitante que
las instalaciones donde hasta ese momento había operado la institución
no podían albergar una secundaria.
De esta forma en 1994, junto con el traslado de la institución a su
ubicación actual en Lomas de Ayarco Sur, se inicia con el proyecto de
secundaria, el cual se mantiene hasta hoy.
Fiel a la concepción inicial del Sr. John H. Ovens – o como el prefiere
que se le llame “Mr. John” – la institución se ha dado a la tarea de brindar
servicios y opciones educativas de calidad a sus estudiantes.
Entre ellos es notable el programa “English Immersion”, sistema de
aprendizaje del idioma Inglés como segunda lengua, desarrollado en
Canadá.
El éxito del programa ha sido tal, que en muchas instituciones de
educación superior costarricenses es utilizado como parte de programas
de estudio de sus carreras y programas de capacitación a profesionales.
Así mismo, el programa de estudio que ofrece el Colegio Internacional
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Canadiense se caracteriza por incluir materias poco tradicionales como es
el caso de la enseñanza del latín y cursos de arte enfocados a la pintura,
escultura y grabado.
Dentro de los servicios que presta la institución están: aula de Apoyo
Psicopedagógico, Biblioteca, Centro de Audiovisuales, Taller de Teatro,
Banda de Conciertos, Laboratorio de Computación, Laboratorio de Cien-
cias, Áreas Deportivas y un Zoológico.
Todos estos aspectos, además de la mística del personal docente y
administrativo de la institución han logrado que el sueño de “Mr. John”
sea hoy una realidad; pues como el mismo lo expresa “[. . . ] este colegio es
un lugar donde nos ocupamos por la individualidad de cada alumno, por
el desarrollo y donde el aprendizaje es una experiencia verdaderamente
feliz”.
Además, la institución se ha dado a la tarea de proyectarse a la co-
munidad nacional por diferentes medios, el más notable es el premio
“Lámpara Dorada”. Ceremonia anual que reconoce la labor de costarri-
censes destacados en distintas áreas sociales.
Capítulo 1Marco Teórico
“Hay alguien tan inteligente que aprende de la experienciade los demás”. — Voltaire
1.1. Educación
Ningún otro concepto genera tanta pasión y polémica al considerarse
– desde cualquier perspectiva – como lo hace la educación.
Sin embargo, desde la perspectiva social y cultural la educación es un
elemento fundamental que no solo perpetua la identidad de la nación
sino que permite su evolución.
De esta manera aunque se conciba la educación como una acción
meramente personal o individual es necesario ser consciente de que sus
resultados trascienden esta individualidad, pues “se afirma que no hay
sociedad sin educación ni educación sin sociedad”. (Bolaños, 1990, p.17)
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26
Se hace necesario concebir la educación como un proceso enteramente
social, donde se consideran las capacidades, intereses y motivaciones
del individuo con el fin de generar un espacio donde considere su situa-
ción presente, se genere reflexión, y logre evolucionar y perfeccionar su
desarrollo personal.
Bajo esta concepción, al estimular el progreso individual se logra a su
vez propiciar el progreso social.
Es por tanto acertado afirmar que la educación está vinculada a di-
ferentes fundamentos políticos y culturales, los cuales responden a las
necesidades y expectativas individuales y sociales.
Se logra identificar entonces una relación fundamental entre Estado
y educación; donde el primero genera la política que rige a la segunda,
mediante políticas estatales, con miras a la formación de un determinado
tipo de individuo y sociedad.
En Costa Rica la política educativa se ha ido construyendo de forma
paulatina, desde inicios del siglo XIX, con el trabajo de grandes hom-
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bres y mujeres quienes lograron hacer una lectura precisa de la escena
mundial impulsando con sus ideas distintas reformas educativas que han
construido el sistema educativo costarricense tal como se conoce hoy.
1.2. Sistema Educativo Costarricense
La educación se dimensiona entonces como un sistema fundamental-
mente dinámico y consciente del medio donde se desenvuelve.
Debe nutrirse de sus necesidades para adecuar sus objetivos
y ajustar su funcionamiento a los cambios que se producen
en el medio, según momento y espacio determinados. A su
vez, el sistema educativo debe establecer relaciones entre sus
componentes internos, para responder eficientemente a las ne-
cesidades de la sociedad. (Picado, 2003, p.20)
De lo citado previamente es posible deducir que la educación se pre-
senta como un fenómeno continuo ligado a las exigencias y cambios de
la sociedad. De igual forma, su funcionamiento no puede concebirse de
28
manera aislada sino dentro de un contexto global que evoluciona de
forma dinámica.
En Costa Rica la educación ha sido controlada principalmente por el
Estado, sin que se presente monopolio de este por coexistir la educación
privada que está garantizada constitucionalmente por la libertad de
enseñanza.
Lo anterior determina que el sistema educativo haya sido predominan-
te de la educación pública, hasta los últimos años en que desde hace unas
tres décadas ha venido creciendo de manera sistemática la educación
privada.
El fundamento legal del sistema está sustentado por la Constitución
Política de 1949, por la Ley Fundamental de Educación de 1957 y por una
enorme cantidad de decretos y reglamentos emanados por el Consejo
Superior de Educación.
De esta manera, al ser parte de la política estatal, responde a las
necesidades e intenciones de dicho régimen; específicamente reproduce
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los valores fundamentales contemplados en la Constitución Política.
El sistema político constitucional del país se edifica sobre los valores
de la democracia representativa, la división de los poderes, la garantía
de los derechos individuales, sociales y políticos, el sufragio universal y
secreto, el respeto a la dignidad humana, entre otros.
Consecuentemente, el sistema educativo responde a esos valores y
finalidades del régimen político constitucional. Por lo tanto, el sistema
educativo garantiza la libertad de enseñanza, la libertad de pensamiento,
la libertad de asociación, la libertad de culto, el respeto a los derechos
humanos, el respeto a los valores del régimen democrático constitucional,
fortaleciendo así el Estado Social de Derecho.
Un punto alto en el sistema educativo nacional es la obligatoriedad de
la enseñanza hasta el III Ciclo de la Enseñanza General Básica. Asimismo,
la gratuidad de la enseñanza, que lo es desde la preescolar hasta la
educación diversificada, con el consecuente deber del Estado de facilitar
la prosecución de estudios superiores a las personas que carezcan de
recursos para cursarlos.
30
Con el propósito de limitar la influencia del mundo político partidista
en la educación, se crea un órgano técnico, a nivel constitucional, al que
le corresponde dirigir la enseñanza oficial y que está presidido por el
Ministro del ramo, a saber el Consejo Superior de Educación.
Otro principio del sistema educativo costarricense es el que consagra el
artículo 77 de la Carta Magna, que literalmente dice lo siguiente: “La edu-
cación pública será organizada como un proceso integral correlacionado
en sus diversos ciclos, desde la preescolar hasta la universitaria.”
Este artículo, sin duda alguna, es de extraordinaria importancia, ya que
por primera vez se define el carácter orgánico que debe tener la educación
pública; es decir, la integración de los niveles y modalidades del sistema.
Pues no sólo establece un rasgo esencial del proceso educativo, sino que
traza la estructura del sector educación.
En las dos últimas décadas se ha apuntado a la crisis que atraviesa
el sistema educativo nacional. Diferentes actores sociales han apuntado
las posibles causas, algunas motivadas más por el prejuicio que por el
fundamento científico.
31
No obstante, sería irresponsable ignorar o minimizar las voces que
apunta la existencia de una crisis; eso sí es necesario aclarar que todas
fallan al apuntar a la educación como responsable. Existe una marcada
problemática social que en formas variadas afecta a la educación por
estar íntimamente relacionada con la sociedad.
Como parte de la respuesta que el Ministerio de Educación Pública
ha concebido para enfrentar la ‘crisis’ surge el proyecto ética, estética y
ciudadanía, el cuál ha concretado la reforma educativa que se inevita-
blemente se gesta desde hace varios años. Como consecuencia, se han
impulsado nuevos programas de estudio para la mayoría de las materias.
Huelga decir que los cambios han generado reacciones variadas: mien-
tras unos aplauden el cambio considerándolo necesario otros lo critican
fuertemente pues encuentran un divorcio entre el contexto educativo y
los cambios curriculares.
Este es el caso del Programa de Estudio de Matemáticas, presentado
por el MEP en el 2012, donde se abandona el paradigma curricular
presente en el contexto educativo por más de una década y se abraza a
32
un currículo vertebrado en cinco ejes.
Estos cinco ejes son específicos a la materia y tienen como objetivo
potenciar dimensiones curriculares relevantes para la enseñanza efectiva
de las matemáticas.
Los cinco ejes se presentan a continuación
1. La resolución de problemas como estrategia metodológica
principal.
2. La contextualización activa como un componente pedagó-
gico especial.
3. El uso inteligente y visionario de tecnologías digitales.
4. La potenciación de actitudes y creencias positivas en torno
a las Matemáticas.
5. El uso de la Historia de las Matemáticas. (MEP, 2012, p.35)
La integración de estos surgen de la lectura de la realidad educativa y
social, no solo costarricense sino mundial.
33
Para el desarrollo del presente estudio es de suma importancia el últi-
mo de los ejes transversales: el uso de la Historia de las Matemáticas, en
especial por que el mismo Ministerio de Educación Pública ha reconocido
que su ausencia total en la práctica educativa.
1.3. La Didáctica
El sistema educativo costarricense da énfasis a la función social y
mediadora que posee el educador en el aula, donde se concentran los
contenidos propios de cada disciplina académica definidos en los res-
pectivos programas de estudio del MEP, los saberes del docente y de los
adolescentes. Como parte de esta interacción aparecen diferentes con-
cepciones de mundo lo cuál hace que la dinámica del aula y el proceso
de enseñanza y aprendizaje sea único.
Es aquí donde se hace imprescindible considerar a la didáctica.
Acudiendo a su raíz etimológica “didáctica se deriva del griego didaktiké,
que significa enseñar o enseñanza”. (Picado, 2003, p. 102)
34
Otros teóricos la definen como la ciencia o el arte de enseñar, teniendo
como fin el aprendizaje para alcanzar el fin último el desarrollo pleno
del hombre en su dimensión social e individual.
De lo citado anteriormente se puede concluir que la didáctica tiene
como objeto de estudio el proceso de enseñanza y aprendizaje, la relación
que se produce entre los actores de dicho proceso y la preparación de la
persona para alcanzar las aspiraciones sociales.
La didáctica se manifiesta al investigar, experimentar y generar teorías
sobre como enseñar para alcanzar determinadas metas en el alumno. Es
así como Castillejo (1987) la concibe como una ciencia.
Por otra parte, Gimeno (1998) dimensiona la didáctica como un arte,
al considerar que el docente debe utilizar su creatividad y conocimiento
científico educativo para establecer normas de acción o comportamiento
didáctico que estén de acuerdo con el contexto sociocultural del centro
educativo y la realidad de su práctica educativa.
Más específicamente, el autor comenta
35
. . . todas práctica docente tiene algo de creador aunque sólo
sea por el hecho de que en pedagogía tiene que traducirse de
acuerdo con la situación concreta en la que se opera, pero la
práctica será tanto más eficiente en cuanto que dispongamos
de una acumulación de principios comprobados, engarzados
en un edificio teórico coherente (Gimeno, 1988, pp.29-30)
Se concluye de lo citado, que la didáctica no solo provee de estructura
y respaldo científico a la labor del docente, sino que le brinda un espacio
para abordar con total libertad las particularidades del contexto social
donde tiene lugar su practica educativa.
Además es necesario reconocer que cada disciplina a enseñar es dife-
rente de las demás y tiene una especificidad propia, por esto es imperativo
considerar la existencia de didácticas especificas a cada una de estas ma-
terias.
La enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas también necesita
un estudio diferente, pues la actividad matemática es distinta de otras
36
actividades educativas.
Es así como se considera la didáctica de las matemáticas cómo el
campo científico cuyo objeto de estudio son los procesos de enseñanza y
aprendizaje de las matemáticas.
1.4. Didáctica de las Matemáticas
La didáctica de las matemáticas es un campo científico bastante re-
ciente. Es posible trazar sus orígenes alrededor de los años 50.
En este periodo Freinet con su corriente pedagógica la escuela activa.
Así mismo se publican obras que trataban acerca de la enseñanza heuristica
o la enseñanza a través de los problemas, por autores como Polya, “donde
ya no se trata de enseñar matemáticas a partir de respuestas sino a partir
de preguntas, pues no importa tanto la transmisión de informaciones
como la estructuración mental de esas informaciones”. (Sotos, 1993,
p.178)
Esta condición no es limitante para brindar una definición
37
La didáctica de la matemática estudia las actividades di-
dácticas, es decir las actividades que tienen por objeto la en-
señanza, evidentemente en lo que ellas tienen de específico
de la matemática. Los resultados, en este dominio, son cada
vez más numerosos; tratan los comportamientos cognitivos de
los alumnos, pero también los tipos de situaciones empleados
para enseñarles y sobre todo los fenómenos que genera la co-
municación del saber. La producción o el mejoramiento de los
instrumentos de enseñanza encuentra aquí un apoyo teórico,
explicaciones, medios de previsión y de análisis, sugerencias y
aun dispositivos y métodos. (Brousseau, 1986, p. 33)
De lo citado anteriormente se puede concluir que la didáctica de las
matemáticas es la ciencia que estudia todos los aspectos pedagógicos,
psicológicos, epistemológicos, sociológicos, históricos y filosóficos que
influyen en el aprendizaje y asimilación de la matemática escolar; es decir,
en los contenidos y métodos reconocidos actualmente por la comunidad
científica como apropiados para determinado nivel educativo.
38
Así mismo, su objeto de estudio es el sistema didáctico formado por
el docente, el alumno, y el saber matemático. El determinismo de este
objeto lo constituyen las distintas estrategias pedagógicas mediante las
cuales la ciencia matemática se transforma en un objeto de conocimiento
para el alumno.
1.5. Aprendizaje Significativo
Tomando en cuenta la realidad educativa nacional – resultados de las
pruebas nacionales, el desempeño de los estudiantes una vez que alcanza
la educación superior, entre otros – es posible concluir que en promedio
el aprendizaje de los alumnos es superficial y no se consigue desarrollar
su potencial intelectual.
Se podrían enumerar múltiples causas: las metodologías utilizadas por
el profesor, hasta las formas de evaluar, pasando por muchas otras. Se ha
determinado que es frecuente que la enseñanza se centre en la entrega y
medición de conocimientos, que finalmente serán reproducidos memorís-
ticamente por los alumnos sin una reelaboración y profundización de su
39
parte.
La educación moderna, pretende el desarrollo de habilida-
des y destrezas que finalmente redunden en la adquisición de
capacidades, que le permitirán ser una persona competente,
con una visión tal que le permita el desarrollo de un proyecto de
vida, que contribuirá al desarrollo social del país (MEC, 1998,
p. 23)
Una habilidad es un paso mental estático o potencial, tiene que ver
con la capacidad de desempeño o de realización de procedimientos. El
componente fundamental es cognitivo.
La capacidad es una actividad intelectual internalizada y reproducible
en diversos campos de conocimiento. Se manifiesta mediante la puesta
en práctica de los contenidos, su componente fundamental es cognitivo.
Por lo general se expresan en desempeños del sujeto, el nivel de
desarrollo sólo se visualiza en acciones, se evalúan, por tanto, a través
de los aprendizajes esperados. Las competencias son definidas como un
40
conjunto de capacidades.
Así mismo se establecen como aspectos fundamentales, dentro del
complejo mundo del proceso cognitivo, la capacidad que el alumno tiene
para construir relaciones y contar con representaciones mentales. Todo
el quehacer humano, está sujeto a este proceso, aún cuando este no sea
consciente que se está llevando a cabo.
Desde un simple recuerdo anterior que permita establecer
una relación con un nuevo conocimiento o situación, hará que
éste tenga sentido para el sujeto y sea incluido en el conocimien-
to, sustituyendo o ampliando al anterior, dependiendo del nivel
de motivación o necesidad que se establezca, en esta inclusión
durante el proceso. Lo que es claro, es que si este nuevo conoci-
miento no significa nada para el individuo, su aprendizaje será
débil e inútil y se olvidará con rapidez. (Fonseca, 2009, p.25)
De lo citado anteriormente, es posible concluir que el proceso de ense-
ñanza y aprendizaje debe orientarse hacia el desarrollo de las habilidades
41
necesarias, que permitan al estudiante no sólo acumular información,
que de no ser significativa olvidarán, sino a desarrollar destrezas que le
permitan usar esta nueva información, adaptarla y aplicarla eficazmente
a la solución de situaciones nuevas.
1.6. Historia de las Matemáticas
La Historia de la Matemáticas permite conocer las cuestiones que
dieron lugar a los diversos conceptos, las intuiciones e ideas de donde
surgieron, el origen de los términos, lenguajes y notaciones singulares
en que se expresaban, las dificultades que involucraban, los problemas
que resolvían, el ámbito en que se aplicaban, los métodos y técnicas que
desarrollaban.
Además cómo nacieron las definiciones, los teoremas y demostraciones,
la relación entre ellos para conformar teorías, los fenómenos físicos o
sociales que explicaban, el marco espacial y temporal en qué hicieron su
aparición, cómo fueron evolucionando hasta su estado actual, con qué
temas culturales y sociales guardaban vínculo así como las necesidades
42
cotidianas que solventaban.
Para Nolla (2001)
Los conceptos y las ideas matemáticas que se tratan en la
Enseñanza Secundaria, son presentados a los alumnos de una
forma cerrada y acabada. Se olvida que han surgido después de
un largo proceso de gestación, en las que las intuiciones más
fecundas con otras estériles, han configurado sus presentacio-
nes sucesivas. A lo largo de la Historia, estas ideas han sido
generadas por diversos tipos de problemas, prácticos o teóricos,
pertenecientes a la propia matemática o a otras disciplinas. El
conocimiento de estos problemas, y el estudio de la evolución
de su tratamiento y de los nuevos problemas que han generado,
proporciona los fundamentos para la comprensión de las ideas
y conceptos que de ellos han resultado. (p. 1)
Según Guzmán (1992):
la historia nos proporciona una magnífica guía para enmar-
43
car los diferentes temas, los problemas de los que han surgido
los conceptos importantes de la materia, nos da luces para en-
tender la razón que ha conducido al hombre para ocuparse de
ellos con interés. Si conocemos la evolución de las ideas de las
que pretendemos ocuparnos, sabremos perfectamente el lugar
que ocupan en las distintas consecuencias, aplicaciones intere-
santes que de ellas han podido surgir, la situación reciente de
las teorías que de ellas han derivado. (p. 16)
A pesar de la riqueza didáctica que presenta el uso de la historia en
la enseñanza de la matemática, el programa de matemáticas vigente
reconoce que este ha sido completamente desaprovechado.
En muchas ocasiones los docentes simplemente la presentan como
una ‘anécdota’, un hecho que no se profundiza, pues es más importante
trabajar con el contenido resultante de esta situación histórica, para
alcanzar el objetivo planteado.
Por muchas razones, no resulta fácil concretar las formas de aplicar la
44
Historia de las Matemáticas en el ámbito escolar, ya que depende, entre
otros muchos factores, del nivel educativo, de los temas y problemas
concretos, de los conocimientos históricos del profesor, de su interés
por la interdisciplinariedad, de su iniciativa y capacidad para realizar la
transposición didáctica.
Algunos teóricos definen la transposición didáctica como
la adaptación, reconstrucción, recreación y transformación
del saber histórico institucionalizado (como conocimiento útil)
en saberes a enseñar, dentro de los recursos históricos seleccio-
nados previamente como viables en el aula, y, además, sin caer
en exposiciones anacrónicas que falsean el pasado en el intento
de describirlo e interpretarlo con los instrumentos actuales de
nuestra notación, lenguaje y términos matemáticos (González,
1992, pp.16-17).
De lo citado previamente se puede concluir que la perspectiva histórica
permite, por una parte, dar una visión más completa de los problemas
45
matemáticos para considerar de forma más precisa la importancia de los
diversos contenidos, identificando su valor en el contexto general.
Es decir, la historia puede dar la perspectiva global del contenido,
relacionarlos con contenidos de otras ramas y, más importante aún, vin-
cularlos con las líneas generales del pensamiento matemático.
Así mismo permite conocer las dificultades que enfrentaron en el mo-
mento histórico sus actores, trazar un paralelo con las condiciones que
atraviesan los estudiantes en la actualidad contribuyendo a “la determi-
nación de obstáculos epistemológicos en el aprendizaje de los alumnos,
que como cuestión filosófica general sobre la didáctica es, sin duda, de
gran importancia”. (Maza, 1994, p.24)
El uso de la Historia de las Matemáticas como un instrumento didáctico
colaborador puede llevarse a cabo de muy diversas maneras. Se puede,
por ejemplo, preceder mediante una introducción histórica la exposición
de cada tema, situando en los contextos científico y cultural el origen y la
evolución de los problemas que se van a abordar. Se pueden añadir a los
apuntes que se entregan a los alumnos indicaciones, breves resúmenes
46
o notas históricas. Se puede también a lo largo del desarrollo de la
clase y en cualquier momento indicar brevemente a qué matemáticos o
corriente matemática se debe la introducción de un concepto nuevo, la
demostración de un teorema o la resolución de un problema.
Pero quizá la forma más directa de implicar a la Historia de las Mate-
máticas en su didáctica sea ensayar en algunos temas que se presten a ello,
a juicio del profesor, la aplicación del método genético, que extraído de
la Biología, intenta reconstruir el clima psicológico que envuelve a cada
momento creador que haya supuesto un salto cualitativo en la Historia
de las Matemáticas.
Los zoólogos pretenden que el desarrollo embrionario de
un animal resume en un tiempo muy corto toda la historia
de sus antepasados desde los tiempos geológicos [principio
biogenético]. Parece que sucede lo mismo en el desarrollo de
los espíritus. El educador debe hacer pasar al niño por donde han
pasado sus padres; más rápidamente pero sin saltarse ninguna
etapa. De esta manera la historia de la ciencia debe ser nuestra
47
primera guía. (Poincare, 1963, p.99)
De lo citado previamente se puede concluir que el método genético
pretende demostrar que, para la perfecta comprensión de un concepto
determinado, el alumno ha de repetir a grandes rasgos el proceso histórico
que se ha desarrollado hasta la formulación actual del concepto.
No sólo se plantean condiciones similares sino que los estudiantes
deben superarlas aproximadamente de la misma manera en que lo hicie-
ron los matemáticos a lo largo de la historia, familiarizándose de forma
gradual con los nuevos problemas, empezando por el nivel intuitivo, que
va generando de forma progresiva métodos, técnicas, ideas y conceptos.
Naturalmente esta repetición del proceso histórico no debe entenderse
al pie de la letra. Se debe tener muy claro que en la construcción de las
Matemáticas se toman decisiones u opciones que resultan en caminos sin
salida, de modo que el curso didáctico del desarrollo de las Matemáticas
no puede cumplir con todas sus ‘estaciones históricas’.
No se debe ocultar, eso sí, al alumno la forma paulatina y en ocasiones
48
mal encaminada de la creación científica; más bien hay que guiarlo por
caminos rectos, para aprovechar el tiempo lectivo.
Según Nolla (2001) la aplicación del método genético en el bino-
mio enseñanza y aprendizaje realiza una reconstrucción de la Historia
que permite encontrar las preguntas esenciales que generan las ideas y
conocer las necesidades que motivaron en su momento histórico la in-
troducción de un concepto nuevo, así como las dificultades relacionadas
al surgimiento de algunas ideas y a la resolución de algunos problemas,
dificultades, que se manifiestan también en el aprendizaje de los mismos
conceptos y en la resolución de los mismos problemas.
1.7. Uso de la historia como recurso metodológico para
la enseñanza
1.7.1. Orientaciones Metodológicas
La manera cómo el alumno da los primeros pasos hacia la adquisición
de un nuevo conocimiento es otro de los grandes problemas a resolver.
49
Al referirse al concepto de Orientaciones Metodológicas, Matthews
indica que estas son “una serie de pautas para la intervención pedagó-
gica” que realiza el docente con el fin de acercar al estudiante al nuevo
conocimiento. (Matthews, 1994, p.8).
Desde el punto de vista constructivista – modelo que promueve el
programa de matemáticas y la sistema educativa costarricense – se con-
sidera que los alumnos aprenden y se desarrollan en la medida en que
pueden construir significados en torno a los contenidos curriculares; esta
construcción requiere un papel activo por parte del estudiante, además
de su motivación y conocimientos previos en el marco de una situación
interactiva; el docente se limita a ser guía y mediar entre el estudiante y
el conocimiento.
Es importante considerar que las orientaciones metodológicas no se
pueden separar del concepción epistemológica que tiene el docente ni de
la manera en que el cree que aprenden los alumnos. Ambas condicionan
la acción que el docente ejecute.
En el marco del programa de matemáticas propuesto por el MEP en el
50
2012, se reafirma el enfoque constructivista como generador no solo de
aprendizaje significativo sino también de interés en el estudiante que lo
lleve a “motivar acciones mentales de mayor nivel” (MEP, 2012, p. 27).
El documento además recalca el aporte docente, definiendo los ele-
mentos que deben estar presentes en las orientaciones metodológicas
que proponga en sus lecciones
Si las lecciones se organizan siempre de manera magistral
y sin participación activa de cada estudiante, o si no se propo-
nen tareas para el aprendizaje que desafíen su inteligencia, no
se provoca interés y compromiso activo, con lo que se debili-
tan las posibilidades para motivar acciones mentales de mayor
nivel.[. . . ] El diseño de la tarea matemática y la conducción
docente en el aula son instrumentos clave para que se realicen
esos procesos matemáticos. Eso implica una planificación y un
diseño cuidadosos de la lección. [. . . ] La mediación pedagógica
es la clave para que en las actividades se logre el dominio de ha-
bilidades específicas y de esta forma se desarrollen capacidades
51
y la competencia matemática. (MEP, 2012, p. 2)
De lo citado previamente, se puede concluir que aunque el alumno se
concibe como actor principal en el proceso de enseñanza y aprendizaje
el docente es quien delimita mediante las orientaciones metodológicas el
escenario para que se presenten las acciones mentales de mayor nivel,
las cuales claramente conllevan implícito el aprendizaje significativo.
1.7.2. Hechos Históricos
A lo largo de la existencia humana se han presentado eventos que
han generado modificaciones importantes tanto de orden social, como
político y biológico.
Puesto que estos acontecimientos han dado forma a la sociedad actual,
es mezquino concebir la historia como el simple recuento de hechos del
pasado. Con frecuencia al tratar la historia como recurso pedagógico se
comete este mismo error.
En realidad todo incide sobre los eventos, pero generalmente se en-
52
tiende como hecho histórico a aquel acontecimiento que ha influido
decisivamente sobre la historia.
Un hecho histórico, es
“la interpretación de parte de los especialistas en la historia,
de algún evento donde están involucrados los seres humanos; y
acontecidos en algún lugar y tiempo determinados. El hecho
histórico no es el suceso en si mismo, sino que este hecho es
una construcción intelectual hipotética, de parte del historiador,
partiendo de los datos de la realidad social” (Barja, 2010, p.11).
De lo anterior, se puede concluir que un hecho histórico no es un
acontecimiento aislado ni sucede porque sí, se relaciona con muchos
otros hechos históricos, anteriores y posteriores. Es decir, está entretejido
en una compleja red de causas y consecuencias múltiples.
Al usar la historia como recurso metodológico, es necesario que el
alumno comprenda que lugar ocupa el hecho histórico considerado, pues
esto no solo revestirá de importancia el objetivo, habilidad o contenido
53
que se le presenta sino que además le acercará más al elemento humano
que tiene toda ciencia, en este caso las matemáticas.
1.7.3. Papel del docente y del alumno
Aunque se ha comentado previamente lo que se requiere del docen-
te a la hora de orientar a los alumnos en el proceso de enseñanza y
aprendizaje, es importante delimitar cuál es el papel de ambos actores.
Algunos teóricos consideraban al docente como actor principal y al
estudiante como un simple depositario de los conocimientos que este
transmite. Así mismo, se considera que el docente al estar supeditado a
un programa de estudio debe presentar los contenidos de una manera
rígida, con el afán de estandarizar el conocimiento que transmite a sus
alumnos.
Brosseau se separa de esta idea y considera
El trabajo del profesor está en cierta medida inmerso en
el trabajo del investigador, debe producir una contextualiza-
54
ción y una personalización de los conocimientos. Ellas van a
convertirse en el conocimiento de un alumno, es decir en una
respuesta bastante natural a condiciones relativamente particu-
lares, condiciones indispensables para que tengan un sentido
para él. Cada conocimiento debe nacer de la adaptación a una
situación específica, pues no se crean las probabilidades en el
mismo género de contexto y relaciones con el medio, que aque-
llas que inventa o utiliza la aritmética o el álgebra (Brosseau,
1986, p.36)
De lo citado anteriormente, se puede concluir que el papel del docente
es generar en su clase una micro sociedad científica, donde se busca
que los conocimientos sean medios para el planteamiento de situacio-
nes problema, donde el alumno formule soluciones y dé sentido a sus
conclusiones.
Brosseau respalda esta última idea cuando afirma que al generar estas
micro sociedades se brinda un espacio para que el alumno construya “lo
que es el saber cultural y comunicable que se ha querido enseñarles”
55
(1986, p.36).
De esta forma se puede concluir que el profesor debe imaginar y
proponer a los alumnos situaciones que puedan vivir y en las que los
conocimientos van a aparecer como la solución óptima en los problemas
planteados.
Considerando lo anterior, el alumno debe actuar, formular, probar, cons-
truir modelos, lenguajes, conceptos, teorías, lograr establecer vínculos con
sus compañeros para alcanzar resultados y aplicarlos a su cotidianeidad.
1.7.4. Diseño de Unidades Didácticas
Se entenderá por diseño, el planteamiento o plan de acción escrito,
elaborado por el docente y dirigido a los estudiantes.
En éste, se considerarán los objetivos y contenidos del plan de estudios
vigente para el contenido específico, junto con las orientaciones metodo-
lógicas que el docente proponga y que se formulen haciendo uso de la
historia como herramienta metodológica.
56
La característica más sobresaliente del diseño enfocado desde la pers-
pectiva de la Teoría del Aprendizaje Significativo será, la de considerar
el uso de la Historia de las Matemáticas desde el enfoque del método
genético. En otras palabras reconstruir y recrear las condiciones en el
aula, de modo que éstas adquieran un carácter más humano, se revistan
de significado y logren integrarse a toda la estructura cognitiva previa
del estudiante.
Reforzando lo planteado previamente, el diseño deberá estar com-
puesto en primera instancia, por los objetivos y contenidos que dicta
el programa de estudios vigente para el tema de función logarítmica y
exponencial.
El docente asumirá el papel de agente motivador, facilitador, guía y
por supuesto evaluador del proceso.
Este último aspecto reviste mucha importancia, ya que se detectará el
éxito de las orientaciones metodológicas utilizadas; así como la necesidad
de un replanteamiento de las mismas.
57
Eso sí es necesario aclara que el docente no debe presente todo el con-
tenido a los alumnos; sino más bien generar un espacio donde estos logren
– por su curiosidad investigativa – construir, a partir de conocimientos
previos, el nuevo conocimiento.
A este respecto Fonseca aclara
Se motivará al estudiante a estructurar la información re-
cibida. Si sus teorías o hipótesis fallan, se deberá hacerles ver,
que los esquemas pueden rechazarse, modificarse, reempla-
zarse o se les puede dar sólo una aceptación temporal. En la
medida que se logre modificar la teoría, se podrá llegar a la
comprensión.
La participación en el aprendizaje necesita de la regulación
de muchos factores, tales como: motivación, creencias, conoci-
miento previo, interacciones (con docentes, familia y pares),
nueva información, habilidades y estrategias.
Determinar cómo los alumnos descubren y utilizan el nuevo
conocimiento, no es tarea fácil, requiere esfuerzo y destreza
58
de parte del docente; donde éste tendrá que tener presente
que el aprender exige que el estudiante manipule mentalmente
el conocimiento; necesitará sentirse parte de la construcción,
elaboración y solución de la situación establecida. (Fonseca,
2009, pp. 48-49)
1.8. Función Exponencial y Logarítmica
A continuación se definirán algunos conceptos matemáticos necesa-
rios para el desarrollo del presente estudio, especificamente la Función
Exponencial y Logarítmica.
1.8.1. Función
Una función, en matemática, es el término usado para indicar la
relación o correspondencia entre dos omás cantidades. El término función
fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René
Descartes para designar una potencia xn de la variable x.
59
Dos variables x y y están asociadas de tal forma que al asignar un
valor a x entonces, por alguna regla o correspondencia, se asigna auto-
máticamente un valor a y, se dice que y es una función (unívoca) de
x.
Más formalmente se define una función f deA enB, como una relación
tal que cada elemento de A se relaciona con uno y solo un elemento de B.
Es necesario que el elemento asignado sea único.
1.8.2. Función Exponencial
Dada una función de la forma f(x) = ax, con a > 0, a 6= 1 (a ∈ R+),
se denomina función exponencial y esta definida ∀x ∈ R.
La variable independiente “x” se encuentra en el exponente de la base
numérica positiva diferente de 1, para su estudio es importante un buen
conocimiento de las propiedades de las potencias.
La función exponencial mas estudiada en secundaría es f(x) = ax,
aun cuando no es la única.
60
Todas las leyes de potencias enunciadas hasta el momento, son válidas
para todo los exponentes reales siempre que cada expresión este definida.
Si se hubiese permitido a = 1, en la definición de la función expo-
nencial, entonces se habría tenido f(x) = 1x = 1, la que es una función
constante cuya gráfica es una recta horizontal.
Por esa razón se supondrá siempre a 6= 1, entonces la gráfica de
f(x) = ax, puede ser uno de los dos tipos básicos, según 0 < a < 1 ó
a > 1.
1.8.3. Función Logarítmica
Dada una función de la forma f(x) = loga x, con a > 0, a 6= 1, se
denomina función logarítmica y esta definida ∀x ∈ R+, es decir x > 0.
La variable “a” recibe el nombre de base y define los comportamientos,
0 < a < 1 y a > 1, es decir un número real positivo diferente de 1.
La variable “x” recibe el nombre de argumento y debe satisfacer que
sea un número real positivo, o en su caso particular si es un polinomio
61
entonces p(x) > 0.
La expresión loga x recibe el nombre de “logaritmo en base a de x”
Además, el logaritmo de cero o de un número negativo no define un
número real y la base del logaritmo no puede ser negativa, cero ni uno.
Aunque existen otras características para las funciones exponenciales
y logarítmicas, no son condicionantes para el presente estudio por tanto
no se consideran en el presente capítulo.
Capítulo 2Marco Metodológico
“El camino no es un método; esto debe quedar claro. El mé-todo es una técnica, un procedimiento para obtener el controldel camino y lograr que sea viable”. — Jacques Derrida
2.1. Método
La investigación se concibe bajo el método deductivo – inductivo. Se
entiende el deductivo como el procedimiento que toma sus premisas
en lo general y las traslada hacia lo específico; es así como la situación
investigada se contextualiza dentro de un todo ubicado en el sistema
educativo costarricense y se traslada al estudio de una situación especifica,
dentro de una institución educativa privada.
No obstante, presenta características del método inductivo, pues la eva-
luación de los indicadores, con instrumentos que posibilitan, la traslación
de los resultados específicos, hacia la problemática general; planteada
62
63
en la investigación.
2.2. Tipo de Investigación
La investigación se ha iniciado como exploratoria que es lo que ocu-
rre “cuando el objetivo de estudio es examinar un tema o problema de
investigación poco estudiado, del cual se tienen muchas dudas o no se ha
abordado antes” (Hernández, 2010, p. 152); situación que se presenta
en la institución educativa donde se realizó el mismo.
En el Colegio Internacional Canadiense, no existen antecedentes que
indiquen que la problemática en estudio, relacionada con el uso de la
historia como recurso metodológico para la enseñanza de las funciones
exponenciales y logarítmicas, en estudiantes de décimo año, haya sido
abordada anteriormente; por docentes o personas ajenas a la institución.
Luego, continúa como descriptiva, por cuanto pretende describir los
beneficios que el estudiante y el docente obtienen al adoptar este mé-
todo de enseñanza; buscar los hechos que originaron descubrimientos
64
matemáticos y caracterizar el papel que cada uno de los actores asume
al emplear este recurso metodológico para desarrollar el contenido de
las funciones exponenciales y logarítmicas.
En su sustento teórico, una investigación descriptiva pretende “buscar,
especificar propiedades, características y rasgos importantes de cualquier
fenómeno que se analice. Describe tendencias de un grupo o población”
(Hernández, 2010, p. 153). Se deberá, como investigador, tener la ca-
pacidad de establecer qué se medirá y sobre qué sujetos se obtendrá la
información.
2.3. Sujetos
En procura de la obtención de información que permita el análisis y
comprensión de la temática planteada en la presente investigación, se ha
consultado un grupo de estudiantes, de décimo año, del Colegio Inter-
nacional Canadiense. Se ha seleccionado esta población, dado que los
objetivos y contenidos a ser considerados en la investigación se encuen-
tran en el programa de matemática dispuesto para el nivel de décimo;
65
como lo son, los relacionados con la unidad de funciones exponenciales
y logarítmicas.
Al mismo tiempo, se ha considerado la opinión de dos profesores del
área, docentes de la institución.
2.4. Variables
Debe tenerse presente que una variable “es aquello acerca de lo cual
se desea obtener información” (Brenes, 1987, p. 124). En este caso espe-
cífico, las cuatros variables en estudio son: orientaciones metodológicas;
hechos históricos, papel del docente y el alumno; y el diseño. Cada una
de ellas será definida en los apartados indicados a continuación.
2.4.1. Orientaciones Metodológicas
Constituye la primera variable a ser analizada en la investigación,
vinculada con el planteamiento del primer objetivo específico. Para ella,
se establecen las siguientes definiciones.
66
2.4.1.1. Definición Conceptual
Se entenderá por orientaciones metodológicas, aquellos “modelos o
pautas, ejecutadas por el docente, como intervención pedagógica con
el fin de desarrollar el proceso de enseñanza y aprendizaje” (Matthews,
1994, p.8).
2.4.1.2. Definición Instrumental
Se aplicará análisis de contenido, entendido éste como el “método
de investigación para hacer inferencias válidas y confiables de datos con
respecto a su contexto” (Hernández, 2010, p. 356); en los programas
de estudio vigentes para décimo año, específicamente a los contenidos y
objetivos relacionados con la unidad de funciones.
Lo anterior, buscando información sobre los indicadores registrados
en la definición conceptual: modelos y pautas pedagógicas.
Se aplicará, además, un cuestionario constituido por dos preguntas
abiertas; dirigido a profesores. La finalidad del mismo, será la de obtener
67
información que sirva de cierre y que acompañe al análisis de contenido,
descrito.
2.4.1.3. Definición Operacional
Se considerará orientación metodológica aquellas que se manifiestan
y se repita formando una tendencia; alcanzando un mínimo de 75% de
escogencia entre los sujetos consultados.
2.4.2. Hechos históricos
Representa la segunda variable, asociada al segundo objetivo específico.
Para ella, se establecen las siguientes definiciones.
2.4.2.1. Definición Conceptual
En el caso de la segunda variable, debe entenderse por hecho histórico
“un suceso del pasado que el historiador considera relevante. Podemos
decir que son acciones, sucesos, acontecimientos. Los hechos históricos
68
se caracterizan por ser de de corta duración (horas, días, semanas)”
(Álvarez, 2011, p.11).
2.4.2.2. Definición Instrumental
Esta variable, será medida con la aplicación de entrevistas. Primero,
dirigida a los estudiantes involucrados en el estudio y; luego, destinado
a los profesores de matemática del Colegio Internacional Canadiense. Se
pretende establecer el grado conocimiento que tienen los sujetos de los
hechos históricos que rodean los contenidos estudiados.
2.4.2.3. Definición Operacional
Se considerará que existe conocimiento de hechos históricos relevantes,
cuando se repitan y formen una tendencia entre los sujetos consultados
de al menos un 70%.
69
2.4.3. Papel del docente y el alumno
Representa la tercera variable, asociada al tercer objetivo específico.
Para ella, se establecen las siguientes definiciones.
2.4.3.1. Definición Conceptual
El papel del docente “son todas aquellas técnicas que el docente em-
plea para que los educandos puedan estar obteniendo un aprendizaje
significativo, además de que son las mismas que el docente recomienda
para el estudio en la casa” (Morua, 2013, p.25).
Así mismo, el papel del alumno son las acciones que el alumno asume
como actor principal del proceso de enseñanza y aprendizaje.
2.4.3.2. Definición Instrumental
Esta variable, será medida con la aplicación de un cuestionario; se
estará identificando cuales son las técnicas que los docentes del Colegio
Internacional Canadiense emplean a la hora de enseñar el tema de
70
funciones exponenciales y logarítmicas. Se aplicará por igual a docentes
y estudiantes.
2.4.3.3. Definición Operacional
Se consideran técnicas que los docentes del Colegio Internacional Ca-
nadiense, emplean a la hora de enseñar el tema de la función exponencial
y logarítmica, si se repiten y forman una tendencia de al menos un 75%
entre los sujetos consultados.
2.4.4. Diseño
Cuarta y última variable, relacionada con el cuarto objetivo específico.
La misma será evaluada, desde el planteo de las tres definiciones dadas
a continuación.
71
2.4.4.1. Definición Conceptual
Se entenderá por diseño, aquel escrito, consistente en una propuesta
de objetivos, contenidos y estrategias, para alcanzar aprendizajes efecti-
vos, mediados por el docente, en el ejercicio de la enseñanza del álgebra,
con estudiantes de décimo año.
2.4.4.2. Definición Instrumental
Se aplicará un cuestionario estructurado con preguntas abiertas, diri-
gido a los docentes incluidos en la investigación; cuyas respuestas luego
serán categorizadas. Se pretende obtener información sobre los objetivos
de la propuesta y los medios para aplicarla; en cuanto a método y estra-
tegias se refiere; y las características generales que deberá poseer, como
son: la de ser flexible, dinámica, entre otras.
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2.4.4.3. Definición Operacional
Se considerará como recomendación positiva, para la elaboración de
la propuesta, aquella que alcance un 75% de escogencia entre los sujetos
consultados.
2.4.5. Descripción de instrumentos
Como ya se ha indicado, la primera variable será trabajada, haciendo
uso del análisis de contenido; técnica que permite estudiar la comunica-
ción, de una manera objetiva, sistemática y cuantitativa. Su aplicación es
por medio de la codificación, es decir,
El proceso en virtud del cual las características relevantes
del contenido de un mensaje se transforman a unidades que
permitan su descripción y análisis precisos. Lo importante del
mensaje se convierte en algo susceptible de describir y analizar.
Para codificar es necesario definir el universo, las unidades de
análisis y las categorías de análisis. (Hernández, 2010, p. 397).
73
Desde esta definición, se considerará como universo el Programa de
Estudio 2005, Matemática, Educación Diversificada. La unidad de análisis,
es constituida por los cinco objetivos, incluidos en la segunda unidad de
dicho programa, dirigida a décimo año; a saber, funciones.
En tres de las cuatros variables, se han propuesto cuestionarios. Se
entenderá por este, el instrumento que se aplica en una investigación
cuantitativa y con el que se pretende recolectar los datos, “consiste en
un conjunto de preguntas respecto de una o más variables a medir”
(Hernández, 2010, p.352).
En ellos, se han planteado preguntas cerradas que contienen opciones
de respuesta previamente delimitadas y que se han obtenido como re-
sultado de la prueba piloto aplicada a un grupo de estudiantes del nivel,
no necesariamente incluidos en el grupo de estudio. Se han agregado
preguntas abiertas, con la intención de ampliar el margen de opinión de
los jóvenes o de los docentes involucrados en el estudio.
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2.5. Población y Muestra
En este estudio no se trabajará con población sino con un conjunto
investigado el cuál está compuesto por 50 estudiantes de décimo año, del
Colegio Internacional Canadiense. Dentro de esta conjunto, no se han
considerado, estudiantes con adecuación significativa, ni no significativa.
Se consideran además, los datos aportados por los docentes de la
institución, incluidos en la investigación.
2.6. Tratamiento de la información
Para efectos de analizar la información, se procederá a determinar los
aspectos más esenciales que se presentan en cada una de las variables
en estudio, analizando e interpretando críticamente, aquellos datos que
enfoquen directamente, la problemática estudiada.
Los datos obtenidos, producto de las opiniones facilitadas por los
docentes, serán tabulados y se presentarán en tablas. La información
75
aportada por los estudiantes, será presentada en cuadros, con su respec-
tiva interpretación y presentación gráfica.
Capítulo 3Anexos
Cuestionario aplicado a profesores
Mauricio Ramírez Herrera
24 Agosto 2014
Resumen
El siguiente cuestionario tiene como objetivo analizar el grado de conocimientode los hechos históricos que rodean el estudio de las funciones exponenciales ylogarítmicas; así como las técnicas que emplean los docentes en el proceso deenseñanza y aprendizaje de estos contenidos, con el objeto de obtener informaciónpara elaborar la tesis como requisito de graduación de la Universidad Americanapara obtener el grado de licenciatura, se agradece su colaboración y se aseguratotal confidenciabilidad con los datos que reporte.
Objetivo: Determinar las orientaciones metodológicas empleadas porel docente en el aprendizaje del estudiante.
1. ¿Qué metodología emplea para enseñar el tema de funciones expo-nenciales y logarítmicas
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77
2. ¿Cree usted que la metodología que emplea a la hora de dar laslecciones influye en el aprendizaje de las funciones exponenciales ylogarítmicas?
( ) Mucho
( ) Poco
( ) Suficiente
( ) No influye
3. ¿Qué factores afectan negativamente el aprendizaje del estudiante?Puede seleccionar más de una opción, si procede.
( ) Falta de interés en la materia.
( ) Forma de explicar la materia departe del profesor.
( ) Problemas familiares.
( ) Amigos
( ) Hiperactividad
( ) Otro(s)
4. ¿Ha utilizado alguna vez la historia como recurso metodológico paraenseñar estos temas?
( ) Sí
( ) No
Si marca sí, brinde una pequeña descripción de los resultados:
5. En su opinión, ¿es beneficioso el uso de la historia a la hora deenseñar matemáticas?
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Objetivo: Diseñar una propuesta metodológica para la enseñanza delas funciones exponenciales y logarítmicas, utilizando la historia comorecurso metodológico.
1. Seleccione el método en el que los estudiantes aprenden mejor lasfunciones exponenciales y logarítmicas Por medio de
( ) Aprendizaje Auditivo
( ) Aprendizaje Visual
( ) Aprendizaje Táctil
( ) Aprendizaje Kinestético (Explican la materia gesticulando muchoy moviéndote de aquí para allá como si representaras una obrade teatro)
( ) Trabajos en equipo
( ) Trabajo Individual
( ) Trabajo cooperativo
( ) Método de competencias (Antorcha)
2. ¿Qué factores negativos hay que considerar para que sean superadospor la propuesta?
( ) Falta de interés en la materia.
( ) Forma de explicar o presentar la materia por parte del profesor.
( ) Problemas familiares.
( ) Amigos
( ) Otro(s)
3. ¿Qué tipo de técnica recomienda para la enseñanza de las funcioneslogarítmicas y exponenciales?
79
4. ¿Considera que es viable emplear el método histórico para la ense-ñanza del tema?
( ) Sí
( ) No
Justifique
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