maestría en matematica

7/17/2019 Maestría en Matematica

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Ciencias Matemáticas 1

Escuela de PosgradoUNMSM PROSPECTO DE ADMISIÓN 2014

MAESTRÍA ENMATEMÁTICAAPLICADACódigo:147801

Perfil

El egresado de la maestría en Matemática Aplicada con mención en Matemática Computacional estará en capacidad de:

Elaborar, desarrollar y aplicar modelos matemáticos y computacionales a la solución de problemas reales. Sustécnicas le permiten sintetizar, teorizar, modelar, evaluar la realidad, así como integrarse a equipos multidisci- plinarios de investigación.

Desempeñarse eninstituciones con necesidades de manejo de grandes volúmenes de información, predicción y optimización de procesos, investigación en entidades financieras, educativas, industriales, etc.

Plan de estudios

Primer SemestreN78110 Álgebra lineal 4.0N78111 Cálculoen Rn 4.0N78112 Métodos numéricos I 3.0N78113 Fundamentos de computación 3.0N78114 Seminario de Investigación I 3.0

Segundo SemestreN78120 Análisis funcional aplicado 3.0N78121 Matemática computacional I 4.0

N78122 Ecuaciones diferencialesordinarias 4.0N78123 Seminario de investigación II 5.0

Tercer SemestreN78130 Matemática computacional II 4.0N78131 Seminario de Tesis I 6.0N78132 Seminario de Investigación III 6.0

Curso electivo 4.0

Cuarto Semestre

N78140 Seminario de Tesis II 8.0N78414 Seminario de Investigación IV 8.0

Curso electivo 3.0

Total de créditos 72.0

Cursos electivosN78170 Modelaje numérico y simulación 4.0N78171 Métodos numéricos II 3.0N78172 Métodos numéricos III 4.0N78173 Análisis y complejidad de algoritmos 3.0N78174 Modelaje en computación gráfica 3.0N78175 Análisis complejo 4.0

N78176 Algoritmos de matemática discreta 3.0

N78177 Geometría computacional 3.0N78178 Ecuaciones diferenciales parciales 4.0N78179 Matemática computacional III 4.0

Sumillas

Álgebra linealEspacios vectoriales, Matrices y sistemas lineales. Trans-formaciones lineales. Autovalores y autovectores. Valoresy formas canónicas para matrices. Teorema deHamilton -Cayley. Formas multilineales. Productos tensoriales. De-terminación. Producto interno. Norma.

Cálculo en Rn

Funciones continuas, teoremas. Convergencia. Teoría desucesiones, series e integrales. La integral de Riemann.Diferenciación. Integral de línea, integral de superficie.Teoremasrelacionados.

Métodos numéricos ISolución numérica de ecuaciones y sistemas no lineales,iteración de un punto. Métodos de Newton. Métodos deBroyden. Consistencia, convergencia y estabilidad de losalgoritmos. Solución numérica de sistemas de ecuaciones

lineales. Métodos directos. Eliminación de Gauss y des-composición LU y otros. Consistencia, convergencia yestabilidad de los algoritmos. Teoría de aproximación.Interpolación de Hermite. Aproximación de mínimos cua-drados. Transformada rápida de Fourier (FFT). Análisis delos errores de interpolación. Núcleo de Peano.

Fundamentos de computaciónEl curso presenta resultados fundamentales sobre hard-ware, software, computación paralela para programacióncientífica, manejos de datos.





Seminario de investigación IDiversos tópicos de investigación propuestos por el profe-sor para el curso, de acuerdo a su especialidad y al inte-rés de los alumnos, dirigidos a desarrollar trabajos deinvestigacióncomplementarios a la tesis.

Análisis funcional aplicadoEspacios de Banach. Teoremas del punto fijo. Aplicacio-nes a las ecuaciones integrales y a las ecuaciones dife-renciales ordinarias. Operadores lineales. Espacio dual.Espacios de Hilbert. Formas bilineales. El método de Ritz.El teorema de Riesz. Proyecciones ortogonales. Dualidadpara problemas variacionales cuadráticos. Operadoresmonótonos no lineales. Aplicaciones del teorema de Lax–Milgram no lineal.

Matemática computacional I

Derivación numérica. Integración numérica. Métodos deNewton – Cotes. Métodos gaussianos. Métodos de deextrapolación de Richardson. Análisis de los errores delos algoritmos. Cuadraturas adaptativas. Solución numéri-ca a problemas de valor inicla (PVI). Métodos de un paso:Euler y sus modificaciones, Runge - Kutta, métodos adap-tativos. Método lineal multipaso: Adams - Bashfoth, Adams - Moulton. Análisis cualitativo de los métodos:consistencia, convergencia y estabilidad.

Ecuaciones diferenciales ordinariasTeoremas de existencia y unicidad. Sistemas de ecuacio-

nes lineales. Matrices fundamentales. Matriz exponencial,sistemas no lineales, sistemas autónomos planos, teoríade estabilidad. Soluciones periódicas. Alternativa deFredholm.

Matemática computacional IISolución numérica de ecuaciones diferenciales parciales.Método de diferencias finitas explícitas e implícitas paraecuaciones hiperbólicas, elípticas y parabólicas. Análisiscualitativo de los algoritmos. Teorema de equivalencia deLax. Criterios para la estabilización de los algoritmos: VonNeumann, de la energía, etc. Métodos de los mínimos

cuadrados, de Rayleigh-Ritz, Galerkin, Petrov. Construc-ción de la matriz de rigidez.

Seminario de Tesis IEl curso está dirigido a elaborar y desarrollar un proyectode tesis de acuerdo a la línea de trabajo propuesta por elasesor.

Seminario de Tesis IIEn este curso, se continúa y concluye el proyecto de tesisplanteado en elSeminario de Tesis I.

Seminario de investigación II, III y IVEl profesor desarrolla, amplía y profundiza los tópicospropuestos en el curso previo hasta la conclusión de suinvestigación.

Modelaje numérico y simulaciónEl objetivo del curso es integrar metodologías de modelajecon simulación numérica para E.D.O. y E.D.P., enfatizan-do en la solución de problemas, usando técnicas y softwa-reempleados en lasáreas de ingeniería y comercio.

Métodos numéricosSistemas no singulares. Matrices con rango total (full rank ). Caracterización de una solución. Condición de unamatriz general. La pseudoinversa. Forma triangular rank-revealing . La factorización LU. La factorización QR, uso.Solución de un sistema triangular rank-revealing . La facto-

rización ortogonal completa. La descomposición valor singular. Formulación del problema de mínimos cuadra-dos. Propiedades de la solución del problema de mínimoscuadrados. Caracterización del residuo óptimo. Condicióndel problema de mínimos cuadrados.

Métodos numéricos III Aproximación e interpolación, diferenciación e integraciónnumérica, solución numérica de problemas de valor inicialen ecuaciones diferenciales ordinarias y ecuaciones dife-renciales parciales.

Análisis y complejidad de algoritmosEl curso proporciona técnicas y conocimientos del análisisde complejidad de los algoritmos: Análisis asintótico, delímites superior e inferior, clases de complejidad. Comple- jidad espacio-tiempo, problemas tratables e intratables,corroboración de complejidad teórica de algoritmos deordenamiento.

Modelaje en computación gráficaEl curso introduce los conceptos y fundamentos matemá-ticos en los que se basa la computación gráfica, represen-tación y modelaje de objetos geométricos, determinación

de superficies visibles, modelos de iluminación, reflexión ysombreado, despliegue en pantalla de objetos sólidos“Renderización” técnicas de despliegue avanzadas.

Análisis complejoSe realiza una introducción a la teoría de funciones devariable compleja. Transformaciones de Möbius, seriesinfinitas, integración. El teorema del residuo. Aplicacioneso problemas matemáticos en diversas áreas.

Algoritmosde matemática discretaEn el curso se suministra los conocimientos y algoritmos

de matemática discreta imprescindible y computación





combinatoria, relaciones, grafos, árboles y recurrenciaasintóticas.

Geometría computacionalInterfaz con el sistema operativo. Manejo de interrupcio-nes. Programas resistentes. Entornos gráficos – APIs-interfaces para programas de aplicación. Construcción deherramientas de desarrollo.

Ecuaciones diferenciales parciales Análisis de problemas de valor en la frontera. La ecuaciónde Laplace. Problemas de valor inicial para las ecuacio-nes del calor y de onda. Soluciones fundamentales. Méto-dos de energía. Soluciones débiles. Distribuciones. Trans-formada de Fourier.

Matemática computacional III

Solución numérica de ecuaciones integrales. Solución dela ecuación integral mediante la resolvente. Método de lasaproximaciones sucesivas. Resolución de una ecuaciónintegral mediante la trasformada de Laplace. Integrales deEuler. Problemas de Abel. Ecuaciones de Abel y sus ge-neralizaciones. Ecuaciones de Fredholm. Método de lasaproximaciones sucesivas. Método de Galerkin. Métodosaproximados de determinación de las raíces característi-cas: método de Kellog. Estimación de los errores en losmétodos aproximados.

Líneas de Investigación Ecuaciones diferenciales. Análisis numérico.

Requisitos de admisiónPoseer grado académico de bachiller en Matemática Pu-ra, Estadística, Investigación operativa, Computación,Ingenierías, Física, Química, Educación matemática o enáreas relacionadas con la matemática computacional.

Temario del examen de admisión

Vectores en el espacio. Transformaciones linea-les y matrices.

Funciones de varias variables reales: gráficos,curvas de nivel, límite y continuidad, derivadasparciales y direccionales. Diferenciabilidad, reglade la cadena. Gradiente y sus propiedades.

Teorema de la función implícita y sus conse-cuencias.

Teorema de la función inversa. Aplicaciones.

Planadocente

Dr. Renato Mario Benazic TomeDr. Eugenio Cabanillas LapaDr. Víctor Rafael Cabanillas ZanniniDr. Efraín Carbajal PeñaDr. LuisEnriqueCarrillo DíazDr. PedroCelso Contreras ChamorroDr. Agripino García ArmasDr. Raúl Moisés Izaguirre MaguiñaDra. Roxana López CruzDr. JoséRaúl Luyo SánchezDr. Néstor AdolfoMamani MacedoDr. Rolando Mosquera RamírezDra. Nancy RosaMoya LázaroDr. Alfonso Pérez SalvatierraDr. OswaldoNapoleónRamosChumpitaz

Dra. YolandaSilvia Santiago AyalaDr. Edgar DiógenesVera SaraviaDra. María Natividad Zegarra GarayMg. Alfredo Alva BravoMg. Johnny Avendaño QuirozMg. Jenny Carbajal LicasMg. JorgeIcaro Condado JáureguiMg. Edinson Montoro Alegre.Mg. Tomás Núñez LayMg. JoséDel CarmenPérez ArteagaMg. Teófanes Quispe MéndezMg. Soledad Ramírez Carrasco

Mg. Teodoro Sulca ParedesMg. Luis Javier Vásquez Serpa

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