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PROFESOR: CELSO SOTO

LGEBRA MDULO I: CONJUNTOS


Introduccin

En este mdulo se darn a conocer los elementos matemticos conocidos como conjuntos, elementos esenciales en el estudio de grandes cantidades de objetos, categorizacin de ellos y comportamiento de stos.

Se darn las herramientas elementales para el trabajo en conjuntos, como son el lgebra de conjuntos y el diagrama de Venn.

Objetivos

Dar a conocer las propiedades y operatoria de conjuntos, de una manera en su mayora prctica.

Resolver situaciones cotidianas con las herramientas que nos entrega la teora de conjuntos en su nivel elemental.

Descripcin Mdulo I

1. Conjunto y pertenencia, ideas primitivas.

2. Conjunto por extensin y por comprensin.

3. Subconjuntos, igualdad de conjuntos, conjuntos de partes.

4. Operaciones entre conjuntos: unin, interseccin.

5. Diferencia, complemento.

6. Propiedades de los conjuntos.

7. Problemas de aplicacin.


Desarrollo del Mdulo I

Para iniciar el mdulo I, motivaremos su estudio con el uso en un caso prctico de teora de conjuntos, donde trabajaremos con Doa Juanita, duea de un carrito de venta de completos a la salida de una estacin de metro.

Analizaremos una encuesta, y en base a herramientas de la teora de conjuntos podremos sacar conclusiones que ayudarn a Doa Juanita a tomar decisiones con el propsito de atraer ms clientes a su negocio, y consolidar los que ya tiene.


Caso a resolver

Doa Juanita ha visto con agrado que con el tiempo la venta de completos ha ido en aumento, y con ello tambin ha aumentad la venta de productos afines. Tanto as, que Doa Juanita decidi aplicar herramientas de estudio de mercado para traer ms clientes a su carrito, y fidelizar a sus clientes habituales, ofrecindoles las bebidas que ellos prefieren.

De esta manera fue que Doa Juanita realiz una encuesta a 180 personas, entre clientes y potenciales clientes, sobre sus preferencias por tres bebidas, de marcas A, B y C.

Los resultados que arroj la encuesta fueron:

40])[( )7

20])[( 6) 35)]([ )5

50)( 4) 175]))[(( )3

15)( 2) 25])[( )1

c

c

CBAn

BCAnBACn

BAnCBAn

BAnACBn


Doa Juanita, confiada en los conocimientos matemticos que usted posee, le pide ayuda con la encuesta, para responder algunas preguntas fundamentales y operar con eficiencia su negocio.

A Doa Juanita le gustara saber, en base a los datos obtenidos, lo siguiente:

1) Cuntas personas prefieren slo la marca A?

2) Cuntas personas prefieren slo la marca B?

3) Cuntas personas prefieren slo la marca C?

4) Cuntas personas prefieren A y B?

5) Cuntas personas prefieren A y C?

6) Cuntas personas prefieren B y C?

7) Cuntas personas prefieren A, B y C?


Solucin del caso

Para resolver este caso usaremos propiedades y frmulas bsicas de teora de conjuntos, elementos que sern representados en un diagrama de Venn.

Recordamos las frmulas importantes a tener en cuenta de la teora bsica de conjuntos.

)()()( )

)()()( )

)()()( )

)()()()( )

)()( )

)()(B )

0)( )

BAnAnBAng

cAnAnUnf

BnAnBAnBAe

BAnBnAnBAnd

BnAnBAc

BnAnAb

na


Lo primero recomendable es hacer un diagrama de Venn para los tres conjuntos involucrados, y a travs de la representacin grfica ir ocupando cada uno de los datos entregados.

El diagrama de Venn para este ejercicio es:

A

B C

Conjunto universo

Conjunto A

Conjunto B

Conjunto C


Ahora vamos analizando los datos uno por uno, usando las propiedades antes listadas, para ir completando el diagrama.

El primer dato es

Es decir, la cardinalidad del conjunto formado por la interseccin de B y C, menos el conjunto A, es 25.

Grficamente, tenemos:

25])[( )1 ACBn

A esa interseccin le quitamos la parte

del conjunto A

A

B C

)( CB

A

B C

ACB )(


En ese espacio tachado tenemos 25 personas.

Luego, nuestro diagrama de Venn nos queda:

A

B C

25


De la misma manera usamos el dato 6, que dice

Grficamente, tenemos:

20])[( 6) BCAn

)( CA

A esa interseccin le quitamos la parte

del conjunto B

BCA )(

A

B C

A

B C


En ese espacio tachado tenemos 20 personas.

Luego, nuestro diagrama de Venn nos queda:

A

B C

25

20


Tomamos el dato nmero 5 para desarrollar el mismo anlisis, y tenemos:

35)]([ )5 BACn

Al conjunto C le quitamos la parte

de la unin entre A y B

)( BAC

A

B C

C

A

B C


En esa zona achurada ponemos 35 elementos.

Tenemos:

A

B C

25

20

35


Usamos ahora dato nmero 7, que es

recordando que la letra c que est como exponente representa al complemento del conjunto. Es decir, y en este caso, lo que est afuera de la unin entre A, B y C.

Grficamente tenemos:

40])[( )7 cCBAn

A

B C

CBA cCBA )(

A

B C


En la segunda regin achurada, entonces, ponemos 40.

Tenemos:

A

B

25

20

35

40

C


Usamos el dato 3, que dice

Para usar este dato, nos fijamos en la propiedad f de las propiedades descritas al inicio de la solucin del caso.

Tal propiedad es

Para nuestro caso, escribimos la propiedad como sigue:

175]))[(( )3 cCBAn

)()()( ) cAnAnUnf

]))[((])[()( cCBAnCBAnUn


Usando los datos del enunciado, tenemos que

De esta manera concluimos que

Grficamente:

175])[(180 CBAn

5])[( CBAn

Al la interseccin de A con B

le quitamos la parte del conjunto C

)( BAC

)( BA CBA )(

A

B C

A

B C


As, en la segunda regin achurada ponemos 5.

Tenemos:

A

B

25

20

35

40

5

C


El dato 2 lo usamos de dos maneras.

Primero, fijndonos en lo siguiente: En la interseccin

de A y B hay 15 elementos, y ya tenemos 5

A

B

25

20

35

40

5

C

10 Entonces nos quedan 10 elementos que

asignar


Luego, tenemos el siguiente diagrama

A

B

25

20

40

5

C

10

35


La segunda manera en que usamos el dato 2 es relacionndolo con el dato 4, mediante la propiedad

Reemplazando los datos que nos entrega el enunciado, tenemos que

As, nos queda que

Esto es, A tiene 65 elementos en total.

)()()( ) BAnAnBAng

15)(50 An

65)( An


Si volvemos a mirar el diagrama

nos fijamos que A ya tiene

elementos.

20 +10 +5 =35

A

B

25

20

40

5

C

10

35

De esta forma, los 30 elementos restantes

van 30


As, si sumamos las cantidades que ya tenemos en el diagrama

hemos distribuido

de los 180 datos.

35 +20 +30 +10 +5 +25 +40 =165

A

B

25

20

40

5

C

10

35

30 De esta forma, los

15 elementos restantes van

15


De esta manera hemos completado nuestro diagrama, quedndonos como sigue:

As, las respuestas a las preguntas son:

A

B

25

20

40

5

C

10

35

30

15


1) Cuntas personas prefieren slo la marca A?

2) Cuntas personas prefieren slo la marca B?

3) Cuntas personas prefieren slo la marca C?

35

15

30

A

B

25

20

40

5

C

10

35

30

15


4) Cuntas personas prefieren A y B?

A

B

25

20

40

5

C

10

35

30

15 15


5) Cuntas personas prefieren A y C?

A

B

25

20

40

5

C

10

35

30

15

30


6) Cuntas personas prefieren B y C? 35

A

B

25

20

40

5

C

10 15

35

30


7) Cuntas personas prefieren A, B y C?

10

A

B

25

20

40

5

C

10 15

35

30


Cierre del Mdulo IV

As, hemos ayudado a Doa Juanita, en base a la teora de conjuntos, sus herramientas y propiedades, a tener una idea clara de las preferencias de sus clientes, y tambin a las preferencias de potenciales clientes.

Esto, sin duda alguna, ser de mucha ayuda para que Doa Juanita consolide su carrito de completos, y con ello tenga cada da un mejor bienestar.


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