m. cuantica 5 - ppio de ncertidumbre y ec. schroedinger
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En este capitulo se observa el Principio de incertidumbre de Heisenberg y la ecuacion de Schrödinger aplicada a los distintos casos de particula libre, pozo cuadrado infinito, barrera de potencial y escalon potencial.TRANSCRIPT
MECÁNICA CUÁNTICA
• Dualidad Onda Partícula: clásicamente partículas y ondas representanconceptos diferentes y mutuamente excluyentes. La materia y la radia-ción presentan propiedades de partícula y onda. Aspectos corpusculares-> predominan en la absorción y emisión de la radiación. Aspectosondulatorios se observan al estudiar el movimiento a través de unsistema.
Papel fundamental de “h ”: la pequeñez de h es lo que hace imper-ceptible el papel de las ondas de materia en el mundo macroscópico.
En lo microscópico las partículas tienen masas pequeñas -> impulsos pequeños aunque las velocidades sean altas -> longitudes de onda de De Broglie comparables con las dimensiones características de los sistemas de interés (átomos por ej.) -> propiedades ondulatorias observablesSin embargo al ser detectadas las propiedades de las corpusculares son dominantes aún cuando sus longitudes de onda sean apreciables
HIPOTESIS de DE BROGLIE
h
E
kp p
h
.
Es necesario un modelo más general que permita describir este comportamien-to dual. Interpretación probabilística de la dualidad onda-partícula - > conexión entre los modelos corpuscular y ondulatorio. Einstein unifica ambas teorías p/ la radiación, Max Born p/materia
(x,t) -> onda asociada al fotón ψ(x,t) -> onda asociada a la partícula
A partir de: I = (1/2oc) < 2> = N h < 2> ~ N
N : flujo promedio medio de fotones
|ψ(x,t)|2 medida de la probabilidad de encontrar una partícula por unidad de
longitud, en un determinado lugar y tiempo dado.
Principio de incertidumbre de HeisenbergEn mecánica clásica el análisis estadístico es usado para describir sistemas complejos (ej. gas de partículas) pero gobernados por leyes básicas deterministas (Newton).Conocidas las condiciones iniciales de posición e impulso, el movimiento futuro se determina en forma exactaProceso de medición: interacción del observador con el sistema. Física clásica: esta interacción puede minimizarse todo lo que se quiera.
Es cierto esto para sistemas microscópicos?? NO (Heisenberg)
En un experimento no se puede determinar en forma simultánea el valor exacto de una componente del impulso, por ej. “px”, y su coordenada asociada “x”. La precisión depende del proceso de medición pero debe cumplirse :
2.
xpx 2/h
• Esta limitación no tiene que ver con la calidad de los instrumentos demedición• Existen relaciones semejantes para otras componentes del impulso:
• 2da. parte del ppio. de incertidumbre:
E incertidumbre con la que se conoce la energía del sistema. t intervalo de tiempo característico de la medición o rapidez de cambio del sistema.
2.
ypy
2.
zpz
2.
tE
El ppio de incertidumbre se basa en los experimentos. Puede derivarse del
postulado de De Broglie (verificado experimentalmente) y de propiedades
de las ondas
Puesto que x y px no pueden conocerse simultáneamente en forma
exacta no se puede determinar con precisión el futuro del sistema.
En lugar de ello sólo se pueden predecir resultados probables
dando probabilidades relativas de que ocurran
Como el hecho de observar un sistema lo perturba de una forma
no predecible, la observación cambia el movimiento del sistema a
un nuevo estado que no puede especificarse completamente ->
origen de la interpretación probabilística.
Ejemplo: Ejemplo: se mide la coordenada “y” de un electrón que pertenece a un haz de electrones que se mueve a lo largo de la dirección “x”, haciendo pasar el haz a través de una rendija delgada
1m
2m
msena . 1)(m a .
a
X
Y
p
p
Xp
h
; pa
h
ap
p
Xx
y
.
py
h
p
p
XX
Y
.
hpy
Y .
Por la relación de De Broglie
Por otro lado
La onda asociada a la partícula es difractada por la rendija. El intentar medir la coordenada “y” introduce una incertidumbre en el impulso py del electrón que se deflecta por un ángulo entre - y . Antes de pasar por la rendija, py era cero (exacto) y se sabía poco de su posición “y”. Luego de pasar por la rendija el impulso y está entre –py y py
ya
(py~ py)
El fenómeno de difracción implica interferencia entre partes de la onda de una misma partícula y no entre partes diferentes de ondas correspondientes a
distintas partículas
* http://www.youtube.com/watch?v=DfPeprQ7oGc (exp. de Young c/electrones)* http://www.raulbarrachina.com.ar/otros/young/index.html (Interf. por 2 rendijas)
Propiedades de las ondas de materia
El principio de incertidumbre de Heisenberg puede ser derivado combinando las relaciones de De Broglie con propiedades válidas para todas las ondas.
Para ondas que viajan sin distorsión: ).( tvxf
Onda que se propaga hacia la derecha.
Onda que se propaga hacia la izquierda
F (x)
x
La onda viaja sin distorsión
Caso Particular: ondas armónicas
).(2
cos.).(2cos.)cos(.),( 000 vtxyT
txywtkxytxy
Frecuencia:T
1
Velocidad de fase
λ: Longitud de ONDA
Los ceros de y(x,t) se encuentran en:
kwtknxnwtkx nn /2/)12(2/)12(
kwdtdxv n // Velocidad con que se mueven los nodos y todos los puntos de la onda
)cos(0 tkxyy )(0 tkxsenyy ó
En forma más general: )(exp.),( 0 tkxiytxy
en tres dimensiones: )(exp),( 0 trkiytry
k
Vector de ondas, indica la dirección de propagación de la onda
2k
Si se trata de una onda de partículas monocromática en 1D no existe incertidumbre -> el impulso (h/) está definido y px = 0. La
incertidumbre en la posición “x” será x= pues la amplitud es constante en todo el eje “x”
Si se quiere una onda con amplitud variable para generar un pulso o paquete de ondas localizado en el espacio se debe superponer ondas
armónicas mezclando frecuencias
PAQUETE DE ONDAS ONDA LOCALIZADA
Superposición de ondas con frecuencias y longitudes de onda diferentes ->análisis de
Fourier
2/1.
2/1.
t
xk
)..(.),( txksenAtxyiii dkkAAi )(
Para distribuciones continuas
Velocidad del paquete velocidad de grupoi
ig
kdk
dV
Medios dispersivos ( por ej.: Luz en vidrio)
• ONDAS DE PARTÍCULAS
onda defunción :),(),( txtxy
dxtx2
),( Probabilidad de encontrar una partícula entre x y x+dx en un dado tiempo t 1D
partícula la de velocidadg
V
V
Ppio. de incertidumbre
VIBRACIÓN DE PUNTO CERO
Cuando T 0 ºK => EK = 0 ?
NO !! Es incompatible con el principio de incertidumbre.
Si los átomos de un cristal están quietos
En realidad para T= 0 ºK el estado de mínima energía para un oscilador armónico es que existiendo cierta vibración alrededor del punto de equilibrio.
K
Ex p 0
MÍNIMOEUK
Ejemplo: Se sabe que un electrón existe dentro de una región de 10-10
m. de extensión, que es el diámetro de un átomo de H. ¿Cuál es la incertidumbre en la cantidad de movimiento y su energía cinética aproximada?
]/[1025.5][102
].[1005.1
2
25
10
34
skgmm
sJ
xp
].[9.1][1005.322
1922
VeJm
p
m
pEk
Postulados de la mecánica cuántica
1. La partícula tiene asociada una función de onda compleja
2. Ecuación de Schrödinger:
3. Deben ser finitas, continuas y simplemente valuadas para todo x y t.
4. Densidad de probabilidad de encontrar a la partícula en x en el tiempo t
),( tr
t
)t,x(i)t,x().t,x(V
x
)t,x(
m2 2
22
x
t)(x,y ),(
tx
2* ),(),().,( txtxtx
1),(2
dxtxCONDICIÓN DE NORMALIZACIÓN:
),( tx
E
Autovalores de Energía.
Autofunciones.
DATOS: V(r) + las condiciones de contorno
)(.)().())()()(
.(2 2
2
2
2
2
22
rErrVz
r
y
r
x
r
m
En tres dimensiones:
Si V(x,t) es independiente del tiempo (x,t) es separable en su dependencia temporal y espacial:
)/exp()(),( iEtxtx
)(.)().()(
.2 2
22
xExxVx
x
m
Ecuación de Schrödinger independiente del tiempo
Partícula Libre
Para una partícula libre 0)( rV
1D:
..2 2
22
Exm
0..222
2
Em
x
Para una partícula libre
m
k
m
pE
.2
.
.2
222
)1(
)1(
Por lo tanto de
0.2
2
2
k
x
ikxAx exp.)(
ikxAx exp.)(
Soluciones:
)(exp.)( kxiAx
x
•POZO CUADRADO INFINITO
Partícula en una caja
L xó 0 x
Lx0 0)(
V(x)
xV
Por Ej.: movimiento de un electrón libre en un metal
)(. )(
. 2 2
22
xEdx
xd
m
0)(..2
)(
22
2
xmE
dx
xd
2
2 ..2
Emk
Solución:xkikxi eBeAx ... ..)(
(2)
Condiciones de contorno:
0)( x L y x 0 xpara 0)( x
)(...2)( kxseniAx BA
0)(...2)( kLseniAL
.1,2,3,....n .
k .. n L
nnLk
• Los k están discretizados LA ENERGÍA ESTA CUANTIZADA!!
)2( de
m
kE n
n.2
.22
• Las autofunciones son de la forma
)(xnLx0
...2
L
xnsen
L
L xó 0 x 0
• EN región (II)
• En x=L
•Pozo cuadrado finito
“La probabilidad de encontrar la partícula fuera del pozo NO es
nula”
“EFECTO TUNEL” (E<V0)
E<V0
ESTADOS LIGADOS, ENERGIAS DISCRETAS
n = 1 estado fundamental
Región x<0, Ep(x)=0 Región x>0, Ep(x)=E0
Escalón de potencial
Caso: E < Eo
Condiciones de continuidad:
en el punto x=0, la función
de onda debe ser
continua y también lo debe ser su derivada.
Partículas Función de
onda
Probabilidad
incidentes
reflejadas
transmitidas
A diferencia del resultado clásico esperado existe probabilidad
de encontrar a la partícula en la región x > 0
|A|2=|B|2 todas las partículas que alcanzan el escalón de potencial rebotan, incluyendo las que penetran en la región x > 0.
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/escalon2/escalon2.htm#
Barrera de Potencial
“Efecto Túnel”
•Región x<0
•Región 0<x<a, aquí E<E0
Región x>a
E < Eo
Condiciones de continuidad de la función de onda y de su derivada
primera en los puntos x=0, y x=a:
Se denomina coeficiente de transmisión a la proporción de
partículas incidentes que son transmitidas
Cuando a >> 1 el coeficiente de transmisión se reduce a:
T~ 16 E/Eo (1 – E/Eo) exp(-2a) ; 2 = 2m ( E - Eo) / ħ2
El coeficiente de transmisión disminuye a medida que se incrementa la anchura de la barrera de potencial y/o crece
•Pozo cuadrado finito
“La probabilidad de encontrar la partícula fuera del pozo NO es nula”
“EFECTO TUNEL” (E<V0)E<V0
ESTADOS LIGADOS, ENERGIAS DISCRETAS
Estados NO-LIGADOS Energías continuas
E > V0
1- Resolución del escalón de potencial para Energías mayores y menores que la altura del potencial. Coeficientes de reflexión y transmisión.
2- Resolución de la barrera de potencial. Coeficientes de reflexión y transmisión. Efectos túnel