lugar geom Étrico

1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008

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LUGAR GEOMÉTRICO

Mediatriz de un segmento

d(P, A) = d(P, B)

Lugar geométrico del plano es el conjunto de puntos que cumplen una condición determinada.

Bisectriz de un ángulo

d(P, r) = d(P, s)

= A x + By + C

A2

+ B2

A' x + B'y + C '

A'2

+ B'2



CIRCUNFERENCIA

• Si a2 + b2 – p > 0 la circunferencia existe

• Si a2 + b2 – p = 0 la circunferencia es un punto

• Si a2 + b2 – p < 0 la circunferencia no existe

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan R de otro punto llamado centro C(a, b)

Ecuación:

Elevando al cuadrado: x2 – 2ax + a2 + y2 – 2by + b2 = R2

Reordenando: x2 + y2 + mx + ny + p = 0

donde: m = -2a

n = -2b

p = a2 + b2 – R2

El centro tiene como coordenadas:

El radio es:

C(- m

2 ,

- n

2 )

R = 1

2 m

2 + n

2 - 4 p

( x - a )2

+ ( y - b )2

= R



ELIPSE

La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, F y F’, es constante.

• distancia focal = 2c

semidistancia focal = c

• vértices: A, A’, B y B’

• eje mayor = 2a

semieje mayor = a

eje menor = 2b

semieje menor = b

• centro: O

Se cumple que:

PF + PF’ = constante

Operando y reordenando nos queda la ecuación de

una elipse centrada en el origen de coordenadas:

x2

a2 +

y2

b2 = 1

excentricidad de la elipse:

e se aproxima más a 1 cuanto más achatada sea la elipse

e = c

a < 1



HIPÉRBOLA

La hipérbola es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados focos, F y F’, es constante.

• distancia focal = 2c

semidistancia focal = c

• vértices: A y A’

• eje focal pasa por los focos F F’

• eje secundario mediatriz de FF’

• centro: O

Se cumple que: |PF - PF’| = cte

Operando y reordenando nos queda la ecuación de una hipérbola

centrada en el origen de coordenadas:

donde

• a semieje real

• b semieje imaginario

x2

a2 -

y2

b2 = 1

excentricidad de la hipérbola:

cuanto mayor sea e más cerradas estarán sus ramas

e = c

a > 1



PARÁBOLA

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de una recta, llamada directriz y de un punto, llamado foco F.

• parámetro = p

• vértices: V

• eje: perpendicular a la directriz

parábola de eje vertical

• y = ax2 + bx + c

• V =

• si a > 0 las ramas de la parábola

dirigidas hacia arriba

• si a < 0 las ramas de la parábola

dirigidas hacia abajo

parábola de eje horizontal

• x = ay2 + by + c

• V=

• si a > 0 las ramas de la parábola

dirigidas hacia la derecha

• si a < 0 las ramas de la parábola

dirigidas hacia la izquierda

(- b

2 a ,

b2

- 4a c

4a )

( - b

2 - 4a c

4a ,

- b

2 a )

foco:

directriz:

Se cumple que d(P, d) = d(P, F)

Operando y ordenando nos queda la ecuación de una parábola con

vértice en (0,0) y directriz vertical:

y2 = 2px

x = - p

2

F (p

2 , 0)

lugar geom Étrico

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