lizandro eugeniotarea2

7/23/2019 Lizandro EugenioTarea2

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SISTEMAS DE ECUACIONES NO LINEALES

1. DATOS GENERALES

NOMBRE: LIZANDRO EUGENIO CODIGO:1347

DOCENTE:

Dr. Mario Audelo G.

[email protected]



1. Determine las raíces reales de f(x) = 0.5x2 + 2.5x + 4.5:a) Gráfic amen te

b) Empleando la fórmula cuadrática

= − ± √ − 4

2

=

− 2.5 ± 2.5 − 4(− 0.5)(4.5)

2(− 0.5)= − 1.4051= 6.4051

c) Usando el método de bisección con tres i teraciones para determinar la raíz

más g rande. Emp lee como val or es i ni ci al es a = 5 y b = 10

i a b aprox

1 5 10 7,5

2 5 7,5 6,25

3 6,25 7,5 6,875

La raíz es 6.875

2. La ecuación e^x- 3x = 0 tiene por raíz a r = 0.61906129: Comenzando con el intervalo[0;1], realizar seis iteraciones por el Método de Bisección para encontrar la raízaproximada. ¿Cuántos decimales significativos tiene dicha aproximación?. ¿Cuántasiteraciones son necesarias para que la raíz obtenida tenga un error menor que 10^-4?



i a b aprox

1 0 1 0,5

2 0,5 1 0,75

3 0,5 0,75 0,625

4 0,5 0,625 0,5625

5 0,5625 0,625 0,59375

6 0,59375 0,625 0,609375

La raíz aproximada es 0.609375, posee 6 decimales significativos

Se necesita 9 iteraciones, para obtener una raiz aproximada con una tolerancia de 10^-4

3. Utilizar el Método de Bisección para encontrar una solución aproximada con un error menor que 10^-2 en el intervalo [4,4,5] para la ecuación x = tan(x).

4. Sabiendo que existe una raíz de la ecuación x3 + x = 6 entre 1,55 y 1,75, ¿cuántasiteraciones son necesarias hasta obtener mediante el método de bisección, un intervalode amplitud menor o igual que contenga a la raíz? Calcular todas las iteraciones

necesarias.

i a b aprox

1 1,55 1,75 1,65

2 1,55 1,65 1,6

3 1 1,65 1,625

4 1,625 1,65 1,6375



5 1,625 1,6375 1,63125

6 1,63125 1,6375 1,634375

La raíz es 1,634375

5.- Aplicar el Método de Bisección a f(x) = x^3-17 = 0, a fin de determinar la raíz cúbica de17 con un error menor que 0,125

6.- Aplicando el Método de Newton, encontrar una raíz próxima a x0 = 0 para la ecuación

f(x)= . Redondear los cálculos a cinco cifras significativas e iterar

hasta que se cumpla .

i f(x) f’(x) Xi+1 Tolerancia

0 -1 3 1/3 1/3

1 -0,0684 2,549 0,36022 0.0269

2 0,0006 2,502 0,36042 0.002

3 -5,625E-08 2,502 0,36042 0

La raíz es 0,36042

7.- L a func ión t iene una raí¬z en x =1.75. Uti l izar el método de

Newton con las siguientes aproxim aciones inicia les, estudiando en cada caso,

previ amente, si se pr odu ce un pro ceso con vergent e o no a la raíz.



a) x0 = 1,6

i X(i+1) Error

1 1.840000 0.1500002 1.782400 0.0313043 1.754199 0.015822

4 1.750071 0.0023545 1.750000 0.000040

Raíz = 1.7501Esta respuesta converge a la raíz en 5 iteraciones

b) x0 = 1,5

c) x0 = 3

i X(i+1) Error

1 8.000000 1.6666672 158.000000 18.750000

3 97658.000000 617.088608

Basta con tres iteraciones para darse cuenta que el valor diverge de la raíz dada.



X(i+1) Error

1 1.013358 0.125954

2 0.987324 0.0256913 0.985077 0.0022774 0.985061 0.000016

8.-Compárese la velocidad de convergencia del algoritmo de bisección en el intervalo[0,1] y el de Newton-Raphson con valor inicial 0.9 para la función.

Método Newton-Raphson

i

Raíz =

0.9851Método de Bisección

i a b aprox error

1 0.0000000000 1.0000000000 0.5000000000 0.89218750002 0.5000000000 1.0000000000 0.7500000000 0.7665161133

3 0.7500000000 1.0000000000 0.8750000000 0.50730409624 0.8750000000 1.0000000000 0.9375000000 0.26349922795 0.9375000000 1.0000000000 0.9687500000 0.09927754356 0.9687500000 1.0000000000 0.9843750000 0.00437949467 0.9843750000 1.0000000000 0.9921875000 0.04657767888 0.9843750000 0.9921875000 0.9882812500 0.02079699029 0.9843750000 0.9882812500 0.9863281250 0.0081339672

10 0.9843750000 0.9863281250 0.9853515625 0.001858633611 0.9843750000 0.9853515625 0.9848632813 0.001265069712 0.9848632813 0.9853515625 0.9851074219 0.000295620713 0.9848632813 0.9851074219 0.9849853516 0.000485014614 0.9849853516 0.9851074219 0.9850463867 0.0000947695La raíz es 0.9850463867

Conclusión: El método de Newton-Raphson converge con la respuesta con mayor celeridad que el de la Bisección

9. Hacer dos iteraciones del algoritmo de la secante para la función f(x) = tan x+0.5 convalores iniciales 0 y 0.1

Programa evaluar x el método de la secanteingrese la función g(x) = tan(x)+0.5ingrese punto inicial xo = 0ingrese punto final x = 0.1ingrese la tolerancia tol = 0.001ingrese el número de iteraciones n = 2La raíz es -0.4573534313



a b aprox error

1 0.0000000000 1.0000000000 0.6127141569 0.07080160182 0.0000000000 0.6127141569 0.5722013824 0.00788603343 0.0000000000 0.5722013824 0.5677242898 0.00087704764 0.0000000000 0.5677242898 0.5672268049 0.00009752385 0.0000000000 0.5672268049 0.5671714921 0.00001084406 0.0000000000 0.5671714921 0.5671653418 0.00000120587 0.0000000000 0.5671653418 0.5671646579 0.0000001341

10. Calcular mediante los métodos de bisección y regula falsa la raíz de la ecuación x =e^-x con una precisión de 10^-6. Tomar [0; 1] como intervalo de partida.

Métodos De Bisección

Ingrese la función = (2.718^(-x))-xingrece el limite inferior a =0Ingrese el limite superior b = 1

ingrese la torerancia tol =0.000001i a b aprox error

1 0.0000000000 1.0000000000 0.5000000000 0.10656210442 0.5000000000 1.0000000000 0.7500000000 0.27759671313 0.5000000000 0.7500000000 0.6250000000 0.08970388404 0.5000000000 0.6250000000 0.5625000000 0.00731605685 0.5625000000 0.6250000000 0.5937500000 0.04146355076 0.5625000000 0.5937500000 0.5781250000 0.01714221357 0.5625000000 0.5781250000 0.5703125000 0.00493032908 0.5625000000 0.5703125000 0.5664062500 0.0011885344

9 0.5664062500 0.5703125000 0.5683593750 0.001871977510 0.5664062500 0.5683593750 0.5673828125 0.000341991911 0.5664062500 0.5673828125 0.5668945313 0.000423203612 0.5668945313 0.5673828125 0.5671386719 0.000040589013 0.5671386719 0.5673828125 0.5672607422 0.000150705714 0.5671386719 0.5672607422 0.5671997070 0.000055059415 0.5671386719 0.5671997070 0.5671691895 0.000007235516 0.5671386719 0.5671691895 0.5671539307 0.000016676717 0.5671539307 0.5671691895 0.5671615601 0.000004720618 0.5671615601 0.5671691895 0.5671653748 0.000001257519 0.5671615601 0.5671653748 0.5671634674 0.0000017316

20 0.5671634674 0.5671653748 0.5671644211 0.0000002371

la raíz es 0.5671644211

Métodos De Posición Falsa

Ingrese la función = (2.718^(-x))-x ingrese el límite inferior a =0Ingrese el límite superior b = 1ingrese la tolerancia tol

=0.000001

i



X(i+1) Error

1 1.500000 0.5000002 1.403509 0.0643273 1.395657 0.0055944 1.395612 0.000032

la raíz es 0.5671646579

11. Comparar las primeras 5 iteraciones del método de la régula falsi y de la secante parala ecuación del ejercicio anterior.

12. Resolver la ecuación ln(2 – x^2) = x^2, utilizando el método de Newton-Rapson,partiendo de x0 = 0 y calculando la raíz con una precisión de 0.0001

13. Resolver mediante el método de Newton la ecuación partiendo de x0= 1 e iterando hasta que el error sea menor de 10^-4. Comparar con la solución exacta.

i

Raiz =

1.3957

SOLUCIÓN EXACTA

1+ln(x)=2-2ln(x)

3ln(x)=1

ln(x)=1/3

x=e^1/3

x=1,3959

La raíz exacta con la calculada es igual no existe diferencia



14. Probar que la ecuación e^x - 2e^-x = 0 tiene una unica solucion real. Obtenerlamediante el método de Newton-Raphson (3 iteraciones). Utilizar 5 cifras decimales en loscálculos.

Xo=0i X(i+1) Error

1 0.333333 Inf

2 0.346573 0.0397183 0.346574 0.000002

Raíz = 0.3466

15) Suponga el lector que está diseñando un tanque esférico (véase la figura) paraalmacenar agua para un poblado pequeño en un país en desarrollo. El volumen delíquido que puede contener se calcula con:

donde V = volumen [m3], h = profundidad del agua en el tanque [m], y R = radio deltanque [m]. Si R= 3m, ¿a qué profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga30 m3? Haga tres iteraciones con el método de la falsa posición a n de obtener larespuesta. Determine el error relativo aproximado después de cada iteración

i a b aprox error

1 1.00000 4.00000 1.54545 6.085652 1.54545 4.00000 1.99693 5.012223 1.99693 4.00000 2.31056 3.342034 2.31056 4.00000 2.49664 1.90432

5 2.49664 4.00000 2.59569 0.98649

La raíz es 2.59569

16. Encontrar un valor aproximado de √ mediante el método de bisección y el métodode la secante.

No tiene solución ya que no existe una variable para resolverla ademas es constante y nuncava a converger.

17.Determinar una solución aproximada de la ecuación ln x - x + 2 = 0 en el intervalo [3,4],utilizando 3 iteraciones con el método de Newton-Raphson.

Xo=3i X(i+1) Error

1 3.147918 0.0493062 3.146193 0.0005483 3.146193 0.000000



Raíz = 3.1462

18. La concentración c de una bacteria contaminante en un lago decrece según laexpresión:

siendo t el tiempo en horas. Determinar el tiempo que se necesita para que el número debacterias se reduzca a 7. (Utilizar el Método de Newton).

El tiempo necesario es de 4.13938 horas

19. Suponga el lector que está diseñando un tanque esférico (véase la figura) paraalmacenar agua para un poblado pequeño en un país en desarrollo. El volumen delíquido que puede contener se calcula con:

donde V = volumen [m3], h = profundidad del agua en el tanque [m], y R = radio deltanque [m]. Si R= 3m, ¿a qué profundidad debe llenarse el tanque de modo que contenga30 m3? Haga tres iteraciones con el método de la falsa posición a fin de obtener la

respuesta. Determine el error relativo aproximado después de cada iteración.



20. Suponga el lector que está diseñando un tanque esférico (véase la figura)para almacenar agua para un poblado pequeño en un país en desarrollo. Elvolumen de

líquido que puede contener se calcula con

Donde V = volumen [ m^3], h = profundidad del agua en el tanque [m], y R = radiodel tanque [m]. Si R = 3m, ¿A qué profundidad debe llenarse el tanque de modoque contenga 30 ? Haga tres iteraciones con el método de la falsa posición a finde obtener la respuesta. Determine el error relativo aproximado después de cadaiteración.

MÉTODOS DE la posición falsaIngrese la función = ((pi*x^2)*((9-x)/3))30ingrese el límite inferior a =0

Ingrese el límite superior b = 3ingrese la tolerancia tol =0.001

a b aprox error

1 0.0000000000 3.0000000000 1.5915494309 10.34847452132 1.5915494309 3.0000000000 1.9865750054 1.01530673693 1.9865750054 3.0000000000 2.0239040642 0.0759130909

la raíz es 2.0239040642

lizandro eugeniotarea2

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