UNIVERSIDAD NACIONAL DEL SANTA

FACULTAD DE INGENIERÍA

ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE INGENIERÍA CIVIL

“ LINEALIDAD Y PRINCIPIO DE

SUPERPOSICIÓN”

CURSO : ANALISIS ESTRUCTURAL II

DOCENTE : ING. IVAN LEON MALO

NUEVO CHIMBOTE - SEPTIEMBRE , 2012

Además de los principios básicos de equilibrio y compatibilidad, gran parte de los

métodos que se emplean en estructuras se basan en el principio de linealidad.

El problema de determinar los esfuerzos y movimientos que se producen en una

estructura por acción de las cargas es “LINEAL”, esto es, la respuesta estructural

es una función lineal de la solicitación si se admiten dos hipótesis adicionales:

UNS / AE-II / IVAN

LINEALIDAD

Linealidad Geométrica: Es decir, que los movimientos (traslaciones y

rotaciones) que se producen son pequeños. Se entiende que los desplazamientos

son pequeños comparados con las dimensiones geométricas de la estructura

(espesor, luz, etc.) Los giros son pequeños comparados con la unidad.

UNS / AE-II / IVAN

LINEALIDAD

Linealidad Material: Es decir, que la relación entre tensiones y deformaciones es

elástica y lineal, o sea, que los materiales de la estructura cumplen la ley de Hooke

generalizada.

UNS / AE-II / IVAN

LINEALIDAD

UNS / AE-II / IVAN

Es necesario precisar que ninguna de estas hipótesis son principios

fundamentales, sino que se consideran porque su adopción se traduce en dos

consecuencias importantes:

Desde el punto de vista formal, en la garantía de que la solución del

problema estructural, que satisface a la vez las condiciones de equilibrio y de

compatibilidad, existe y es única, independientemente del procedimiento

empleado para hallarla.

Desde el punto de vista metodológico, en la posibilidad de adoptar

importantes simplificaciones en el planteamiento del problema estructural, en la

imposición de las condiciones de equilibrio como de compatibilidad.

UNS / AE-II / IVAN

La validez de la aplicación de estas hipótesis a cada caso debe considerarse

cuidadosamente, aunque en la mayoría de los casos de interés viene avalada

por la práctica. Así la hipótesis de linealidad geométrica, también llamada

hipótesis de pequeños movimientos o principio de rigidez, establece que la

geometría de la estructura deformada no difiere sensiblemente de la geometría

original, lo cual permite plantear las ecuaciones de equilibrio sobre la geometría

original, en vez de tener que plantearlo sobre la geometría real, deformada, y

desconocida a priori. Por ejemplo en la Figura 1 se observa cómo el considerar

que los movimientos del extremo del voladizo son pequeños frente a las

dimensiones del elemento permite calcular momentos sin conocer el valor de

éstos. Así, el valor del momento de empotramiento es:

FIGURA 1

M = F1x(L – Δx) + F2 x Δy ≡ F1x L

UNS / AE-II / IVAN

Donde: Δx: Es el acortamiento de la barra por efecto de la carga axial.

Δy: Es el movimiento vertical del extremo del voladizo.

L : Longitud nominal de la viga.

Se ha considerado que, en la forma habitual, que “Δx” es despreciable

frente a “L” y que “Δy” es despreciable frente al canto del elemento.

Si la hipótesis de pequeños desplazamientos no fuera válida, el problema

de determinación de las reacciones y esfuerzos sería “No Lineal”.

En la Figura 2 se ve otro ejemplo de la aplicación del principio de rigidez,

en este caso , en la deformación de una estructura articulada. Nótese que

se ha considerado que los giros de las barras AB y BC respecto de los

puntos, B y C, respectivamente, son pequeños y, en consecuencia, los

arcos de circunferencia que en realidad describe el punto A al girar las

barras se pueden sustituir por las correspondientes rectas tangentes,

perpendiculares a las direcciones de los elementos. Además, al ser

pequeñas las variaciones de longitud de las barras frente a sus

dimensiones originales, se puede escribir, por ejemplo, para el giro de la

barra AC respecto del punto C:

θAC Tan θAC A'1A' A'1A' Δy

A'1C AC L1

≡ ≡ ≡ =

UNS / AE-II / IVAN

Donde: Δy: Es la flecha del punto A

L1 : Es la longitud nominal de la barra AC.

Esta linearización de los giros facilita enormemente la determinación de la posición

del punto A„, posición del punto A sobre la estructura deformada.

La consecuencia directa de las hipótesis de linealidad es el “Principio de

Superposición”, que establece que los efectos que un sistema de fuerzas origina

sobre una estructura son iguales a la suma de los efectos que originan cada una de

las fuerzas del sistema actuando por separado. Alternativamente, se puede enunciar

diciendo que los efectos que un sistema de fuerza origina sobre una estructura no

dependen del orden de aplicación de las fuerzas del sistema sobre la estructura.

FIGURA 2

UNS / AE-II / IVAN

“PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN”

El principio de Superposicion constituye la base de gran parte de la teoria del

analisis estructural y se interpreta como:

“El desplazamiento o esfuerzo total en un punto de la estructura sometida a

varias cargas se puede determinar sumando los desplazamientos o

esfuerzos que ocasiona cada una de las fuerzas por separado”.

UNS / AE-II / IVAN

“PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN”

Es fácil ver que sin las hipótesis de linealidad geométrica y linealidad

material, el “Principio de Superposición” no sería válido.

Dos requisitos deben imponerse para que el principio de superposición

sea aplicable:

1)El material estructural debe comportarse de manera elástica lineal , a

fin de que sea valida la ley de hooke y la carga sea proporcional a la

deformación

2)La geometría de la estructura no debe sufrir cambios importantes

cuando se aplican las cargas. Si los desplazamientos son grandes ,

entonces cambian considerablemente la posición y orientación de las

cargas.

0

1000

3000

2000

fs f„c .001 .002 .003

100

0

200

300

.0014

CURVA ESFUERZO-DEFORMACION UNITARIA .

Es fácil ver que sin las hipótesis de linealidad geométrica y linealidad

material, el “Principio de Superposición” no sería válido.

Rango

Elástico.