limitesc2

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Proyecto MaTEX

Lmites de Funciones

Fco Javier Gonzalez Ortiz

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c 2004 [email protected]

11 de junio de 2004 Versin 1.00
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Tabla de Contenido

1. Introduccion

2. Infinitesimos

2.1. Algebra de infinitesimos2.2. Orden de un infinitesimo2.3. Infinitesimos equivalentes2.4. Principio de Sustitucion

3. Infinitos3.1. Orden de un infinito

3.2. Los infinitos: potencial, exponencial y logartmico4. Calculo de lmites f(x)g(x)

4.1. Casos indeterminados de lmites f(x)g(x)

5. Regla de LHopital

Caso

Caso 0 Caso

Soluciones a los EjerciciosSoluciones a los Tests
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Seccion 1: Introduccion 3

1. Introduccion

Si has llegado hasta aqu suponemos que has superado el captulo deLmites de Funciones I. En este captulo vas a profundizar en el calculo de

lmites con funciones:trigonometricas,

exponenciales y

logartmicas

que no se han tratado en el captulo anterior.Para ello introduciremos los conceptos de infinitesimo e infinito. Esto nos

permitira calcular el tipo de lmite indeterminado de la forma 00

que es el

mas importante y es objeto esencial del Calculo diferencial.El nivel de este captulo es adecuado para alumnos de 2o de Bachillerato.
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Seccion 2: Infinitesimos 4

2. Infinitesimos

Toda variable f(x) se llama infinitamente pequena o infinitesimo cuandotiende a 0.

f(x) 0La condicion esencial es la variabilidad y tener por lmite 0.

No hablamos de numeros infinitamente pequenos, sera un contrasentido.El numero 102002 es realmente pequeno pero no infinitamente pequeno.

La condicion esencial del infinitesimo es que se pueda hacer tan pequenocomo queramos, por lo que debe ser una expresion variable.

Decimos que x2

es infinitesimo en x = 0, pues x2

0 en x = 0. Perodecimos que 1 + x2 no es infinitesimo , pues 1 + x2 1 en x = 0.Tambien sen x es infinitesimo en x = 0, pues sen x 0 en x = 0. Pero

decimos que 2 + sen x no es infinitesimo , pues 2 + sen x 2 en x = 0.As mismo, sen(1 + x) no es infinitesimo en x = 0, pues sen(1+ x) sen1

en x = 0, pero si lo es en x = 1.Y as sucesivamente.

Ejemplo 2.1. Las siguientes funciones son infinitesimos en los puntos que seindican

a) lmx1

x 1 b) lmx

1

xc) lm

x0x2

d) lmx0

sen x e) lmx/2

cos x f) lmx0

tan x

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g) lmx0

ex 1 h) lmx0

(1 cos x i) lmx0

ln(1 + x)

2.1. Algebra de infinitesimos

Regla I La suma finita de infinitesimos es un infinitesimo.(x) 0 (x) 0 = (x) + (x) 0lmx0

x2 + sen x = 0 lmx0

x4 + sen x2 = 0

Regla II EL producto de un infinitesimo por una constante, o por una vari-able acotada, es un infinitesimo.

k R, (x) 0 = K(x) 0z(x) acotada , (x) 0 = z(x)(x) 0

2.2. Orden de un infinitesimo

Cuando x 0 las variables:x, x2, x3, , xm,

son infinitesimos y estas se toman como tipos de comparacion de otros in-finitesimos. Decimos que f(x) es un infinitesimo en el punto x = a de ordenn cuando

lmxa

f(x)

(x

a)n= Cte = 0

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2.3. Infinitesimos equivalentes

Dos infinitesimos se dicen equivalentes ( ) cuando el lmite de sucociente es 1. Si 0 y 0 son infinitesimos.

lim

= 1

Teorema 2.1. Los infinitesimos x sen x tan x son equivalentes en x = 0.

lmx0

sen x

x= 1 lm

x0

tanx

x= 1 (1)

Para su aplicacion se puede sustituir x por cualquier variable (x) quetambien sea un infinitesimo. Estos son algunos ejemplos:

Ejemplo 2.2. Las siguientes infinitesimos equivalentes en los puntos que seindican

a) limx0

sen2x2x

= 1 b) limx0

sen5x5x

= 1 c) limx0

sen3x23x2

= 1

d) limx0

tan6x

6x= 1 e) lim

x0tan(x3)

x3 = 1 f) limx1tan(x 1)

x 1 = 1
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Ejercicio 1. Escribir el infinitesimo equivalente en x = 0 a:

a) sen x3 b) tan(x + x2) c) sen17 x3

Teorema 2.2. Los infinitesimos 1

cos x

1

2x2 son equivalentes en x = 0.

limx0

1 cosx12x2

= 1 (2)

Para su aplicacion se puede sustituir x por cualquier variable (x) que

tambien sea un infinitesimo. Ejemplos de esto son:

a) limx0

1 cos2x12 4x

2= 1 b) lim

x01 cos5x2

12 25x

4= 1

c) limx0

1 cos x12 x

= 1 d) limx0

1 cos2x12 4x

2= 1


a) 1 cos x2 b) 1 cos3 c) 1 cos x2

d) 1

cos

x3 e) 1

cos3x7 f) 1

cos(sen x)

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Teorema 2.3. Cuando x 0, ln(1 + x) x son equivalentes

limx0

ln(1 + x)

x= 1 (3)

Para su aplicacion se puede sustituir x por cualquier variable (x) quetambien sea un infinitesimo. Ejemplos de esto son:

a) limx0

ln(1 + 2x)

2x= 1 b) lim

x0ln(1 x)

x = 1

c) limx0 ln(1 + x

2

)x2 = 1 d) limx0 ln(1 + 5

x)5x = 1

e) limx0

ln(1 + sen x)

sen x= 1 f) lim

x0ln(1 + tan x)

tan x= 1


a) ln(1 +

x3) b) ln(1 + 3x7) c) ln(1 + sen x)

d) ln(1 3x) e) ln(1 + x3

) f) ln(1 + 2 tan x)

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Teorema 2.4. Cuando x 0, ex 1 x son equivalentes

limx0

ex 1x

= 1 (4)

Para su aplicacion se puede sustituir x por cualquier variable (x) quetambien sea un infinitesimo. Ejemplos de esto son:

a) limx0

e2x 12x

= 1 b) limx0

ex 1x = 1

c) limx0 ex2

1x2 = 1 d) limx1 ex

1

1x 1 = 1


a) e2x3 1 b) esenx 1 c) etanx2 1

Recogemos en una tabla las equivalencias de infinitesimos que hemos visto

anadiendo las inversa del seno y la tangente. Es conveniente aprenderlas parafacilitar el calculo de lmites con infinitesimos.

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Equivalencias

sen (x)

(x)

1 cos (x) 12

(x)2

tan (x) (x)

ln (1 + (x))

(x)

e(x) 1 (x)

arc sen (x) (x)

arctan (x) (x)

Tabla de Infinitesimos

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Responde a las siguientes cuestiones sobre infinitesimos:

Test. Responde a las siguientes preguntas.

1. La funcion f(x) = (x 1)2 es un infinitesimo en:

(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1

2. La funcion f(x) = (x a)2 es un infinitesimo en:

(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = a

3. La funcion f(x) =1

x es un infinitesimo en:

(a) x = 0 (b) (c) Nunca4. La funcion f(x) = 1 + x2 es un infinitesimo en:

(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 15. La funcion f(x) = ln x es un infinitesimo en:

(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1

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Test. Responde a las siguientes preguntas.

1. La funcion f(x) = ln(x 1) es un infinitesimo en:

(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 2 (d) x = 12. La funcion f(x) = ex 1 es un infinitesimo en:

(a) x = 0 (b) Nunca (c) x = 1

3. El orden del infinitesimo 5 x3 en x = 0, es:

(a) 3 (b) 2 (c) 5

4. El orden del infinitesimo 4 3x en x = 0, es:

(a) 3 (b) 1/3 (c) 1 (d) 4

5. El orden del infinitesimo 4 5

x2 en x = 0, es:

(a) 5 (b) 2 (c) 2/5 (d) 4

6. El orden del infinitesimo x2 1 en x = 1, es:

(a) 0 (b) 2 (c) 1 (d) Ninguno

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Inicio del Test Buscar el infinitesimo equivalente en cada caso:

1. En x = 0, f(x) = sen x2 equivale a:

(a) x (b) x

2

(c) Ninguno de losotros

2. En x = 0, f(x) = sen 2x equivale a:

(a) x (b) x2 (c) Ninguno de losotros

3. En x = 0, f(x) = 1 cos4x equivale a:

(a) 8x2 (b) 4x2 (c) 4x (d) Ninguno delos otros

4. En x = 0, f(x) = 1 cos x equivale a:

(a) x (b) 12

x (c) Ninguno

Final del Test Puntos:

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1. En x = 0, ln(1 + x2) equivale a:

(a) x (b) x

2

(c) 1 + x

2

2. En x = 0, ln(1 3 x2) equivale a:

(a) x2 (b) x2 (c) 3 x2

3. En x = 0, ln(1 +

x3) equivale a:

(a) x3 (b) x3 (c) 1 + x34. En x = 0, ln(1 + sen x) equivale a:

(a) x (b) tan x (c) senx (d) Todos losanteriores

5. En x = 1, ln(x) equivale a:

(a) x 1 (b) x (c) x2 (d) NingunoFinal del Test Puntos:
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1. En x = 0, ex2 1 equivale a:

(a) x (b) x

2

(c) 1 + x

2

2. En x = 0, ln(cos x) equivale a:

(a) x 1 (b) cos x (c) cos x 13. En x = 0, e

x 1 equivale a:

(a) x (b) x (c) x 14. En x = 0, esenx

2 1 equivale a:

(a) x2 1 (b) senx (c) x25. En x = 1, ln(ex) equivale a:

(a) ex 1 (b) x (c) senx (d) Todas ellasFinal del Test Puntos:
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Ejercicio 5. Aplicar equivalencias a los siguientes infinitesimos en el puntoindicado

a) (sen5x)x=0 b) [tan(1 x)]x=1c) 1 cos x2x=0 d) [arcsin3x]x=0e) [ln x]x=1 f) [arctan sen x]x=0

g) [esenx 1]x=0 h) [ln(cos x)]x=0i)

sen3

xx=0

Ejercicio 6. Determinar el orden de los siguientes infinitesimos en x = 0a) sen x b) tan x

c) 1 cos x d) 4x3 + x50

e) ln(1 x) f) ex 1

g) e3x2

1 h) ln(1 x3

)i) sen3x2

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2.4. Principio de Sustitucion

A la hora de aplicar equivalencias de infinitesimos en los lmites hay quetener en cuenta que la sustitucion no se puede hacer literalmente. Para hacerlo

hay que limitarse al siguiente principio:

[P.S.] Si en una expresion de un lmite se sustituye un factor o divisorpor otro equivalente, el lmite de la expresion no vara si se sustituye

Un factor finito por su lmite, no nulo

Un factor infinitesimo por otro equivalente

Tengase presente este principio de sustitucion para los infinitesimos queesten multiplicando o bien dividiendo. Si la sustitucion se realiza cuando estansumando o restando es facil cometer errores.

Ejemplo 2.3. Aplicar el principio de sustitucion a los lmites:

a) lmx0

sen2x

sen5x b) lmx0

sen3x

sen5xSolucion:

a) lmx0

sen2x sen5x = limx0

(2x) (5x) = 0

b) lmx0

sen3x

sen5x= lim

x03x

5x=

3

5

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Aviso Tener mucho cuidado en no sustituir un infinitesimo queeste sumando por otro equivalente, los resultados pueden ser absurdos.

Por ejemplo

limx0

x sen xx

= limx0

x xx

= 0 falso

limx0

tan x sen xx3

= limx0

x xx3

= 0 falso

limx0

tan x (sen x + 2x3)x3

= limx0

x (x + 2x3)x3

= 2 falso

limx0

tan x sen x2x3

= limx0

x x2x3

= 1 correcto

Ejercicio 7. Aplicar equivalencias al calculo de los siguientes lmites:

a) 3sen2x4x

b) 1 cos4x5x2

c) sen x tan x1 cos x

d)ln x

2 2x e)ln(1 + x)

1 ex f)x sen xln(cos x)

g)ln(1 + 5 x)

1

e3x

h)sen2 x

1

cos2x

i)5x sen2x

4x2

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Seccion 3: Infinitos 19

3. Infinitos

Toda variable f(x) se llama infinitamente grande o infinita para x = acuando tiende a .

limxa f(x) Ejemplo 3.1. Las siguientes funciones son infinitos:

a) limx1

1

x 1 b) limxx c) limx01

x2

d) limx

3x2 e) limx/2

tan x f) limx

0+ln x

Ejercicio 8. Indicar si las siguientes funciones son infinitos:

a) limx1

1 + x

1 x b) limx 2x c) lim

x01

sen xd) lim

x+2x e) lim

x+ex f) lim

x+ln x

3.1. Orden de un infinitoCuando x las variables:

x, x2, x3, , xm, son infinitos y estas se toman como tipos de comparacion de otros infinitos.En la comparacion caben cuatro casos:

f(x) g(x)

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Si limf(x)

g(x)= Se dice f(x) es de orden superior a g(x)

Si limf(x)

g(x)= 0 f(x) es de orden inferior a g(x)

Si limf(x)

g(x)= finito = 0 son del mismo orden

Si limf(x)

g(x)= no existe , no son comparables

Ejemplo 3.2. Veamos el orden de algunos infinitos:

a) El polinomio 3x + 5 es un infinito de orden 1, pues

limx

3x + 5

x= 3

b) El polinomio x3 + 5x es es un infinito de orden 3, pues

limx x3 + 5x

x3 = 1c) El polinomio

4x + 5 es un infinito de orden 1/2, pues

limx

4x + 5

x= 2

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d) En general, el polinomio an xn + an1x

n1 + + a0 es un infinito deorden n, pues

limx

an xn + an1xn1 + + a0

xn

= an

3.2. Los infinitos: potencial, exponencial y logartmico

Cuando x + las funciones :

xn(n > 0) ax(a > 1), logb x(b > 1)

son infinitos pero de distinto orden.Cuando x +, la exponencial ax con (a > 1) es un infinito de ordensuperior a la potencial, xn con (n > 0), cualquiera que sea n. Lo escribiremoscon la expresion

ax xn (5)Cuando x

+

, la potencial xn con (n > 0), es un infinito de orden

superior al logaritmo de x , logb x para cualquier base (b > 1) . Lo escribimoscon la expresion

xn logb x (6)

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Aviso La comparacion del crecimiento potencial exponencial puedesorprender. Si construimos una tabla para las funciones 1,001x con x4.

Comparacion de 1,001x con x4

x 1,001x

x4 1,001

x

x4

1 1.001 1 1.001

100 1,11E+00 1,00E+08 1,11E-08

5000 1,48E+02 6,25E+14 2,37E-13

30000 1,05E+13 8,10E+17 1,30E-05

47000 2,52E+20 4,87E+18 5,17E+01

100000 2,55E+43 1,00E+20 2,56E+23

vemos como 1,001x llega a superar a x4, y el cociente se hace tan grandecomo queramos.

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Ejemplo 3.3. Con la comparacion de infinitos podemos hacer de forma in-mediata algunos lmites :

limx

e3x

4x2

=+

+=

e3x

x2

limx

e3x

4x2=

++ = e

3x x2

limx

x2 1ex

=++ = 0 e

x x2

limx

ex x8 = limx

x8

ex= 0 ex x8

limx

x

ln x=

++ = + x ln x

limxx15 + 2x7

2x =

+

+ = 0 2x

x15

Ejercicio 9. Usar la comparacion de infinitos para hallar los lmites:

a) limx+

ln(1 + x6)

x2b) lim

x+x5

exc) lim

x+ln x3 ex

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Inicio del Test Cuando x +, comparar el orden de los infinitos:1. Indica el infinito de mayor orden:

(a) x2 (b) x3 (c) x (d) x2,56

2. Indica el infinito de mayor orden:

(a) x3 (b) x(1 + 4x) (c) ln x4


(a) x22 (b) ln x100 (c) ex

4. Indica el infinito de mayor orden:(a) 4x (b) 2x (c) ex


(a) x3 (b) x2,75 (c) x2,99

6. El lmite limx+x1,002

ln x es

(a) + (b) 0 (c) 1Final del Test Puntos:

MATEMATICAS

7/30/2019 LimitesC2

25/73

MATEMATICAS

2 Bachillerato

A

s = B + m v

r = A + l u

B

d

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MaTEX

L

mites

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Ejemplo 3.4. Aplicamos cuando sea necesario los anteriores resultados parael calculo de los siguientes lmites:

limx

ln(1 + x6)

x2

=+

+= 0 x6

ln(1 + x6)

limx

x5

ex=

+0

= +

limx

ex ln x3 = 0 = 0 ex ln(x3)

limx x

1,002

ln x = +

+ = + x1,002 ln x

limxo+

x2 ln x = 0 () = 0 x2 ln x

limx

x54

ex=

++

= 0 ex x54

Test. El lmite limx+

x200

exes

(a) + (b) 0 (c) 1

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( )

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Seccion 4: Calculo de lmites f(x)g(x) 26

4. Calculo de lmites f(x)g(x)

Si no hay problemas de indeterminacion , el calculo de dichos lmites serealiza por paso al lmite

limxa

f(x)g(x) = limxa

f(x) limxa g(x)Ejemplo 4.1.

limx+

2x + 1

x

x= (2)+

= +

limx+

2x + 13x

x = 23+ = 0

limx+

2x + 1

3x

2x=

2

3

= +

lim

x+5x + 1

3x 1x

= 5

3

= 0

limx+

5x + 1

8x 1

x=

5

8

= +

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( )

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4.1. Casos indeterminados de lmites f(x)g(x)

Teniendo en cuenta que toda potencia se puede escribir como una potencia

de base el numero e, ya que ab = eb ln a, podemos escribir

f(x)g(x) = eg(x) ln f(x)

Y de esta forma expresar el lmite

limxa

f(x)g(x) = elimxa

g(x) ln f(x)(7)

De esta forma sabremos cuando tenemos casos indeterminadosCasos Indeterminados

(0)0 e0 ln 0 e0 () e? Indeterminado

(0)+ e+ ln 0 e+ () e 0

(0) e ln 0 e () e+ +

()0 e0 ln e0 () e? Indeterminado

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( )

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Ejemplo 4.2. Hallar lmx0+

x1/x

Solucion:

lim

x0+

x1/x = 0+ de la ecuacion 7

= elimx0+

ln x

x = e/0+ = e = 0

Ejemplo 4.3. Hallar lmx0+

xlnx

Solucion:

limx0+

xlnx = 0 de la ecuacion 7

= elim

x0+ln x ln x

= e() = e+ = +

Ejemplo 4.4. Hallar lmx+

( 1x

)lnx

Solucion:

limx+

(1

x)lnx = 0+ = 0

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( )

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Inicio del Test Por la comparacion de infinitos, determinar los lmites:

1. El limx+

(x4 x3) es:

(a) 0 (b) +

(c)

2. El limx+

(x4 5x6) es:

(a) 0 (b) + (c) 3. El lim

x+(ex x30) es:

(a) 0 (b) + (c) 4. El lim

x+x4

2xes:

(a) 0 (b) + (c) 5. El lmite lim

x0+

x0,002 ln x40 es

(a) + (b) 0 (c) 1Final del Test Puntos:

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( )g(x)

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Inicio del Test Determinar de forma directa los lmites:

1. El limx0+

x ln x es:

(a) 0 (b)

(c)

(d) 1

2. El limx0+

sen1

xes:

(a) 0 (b) (c) No existe (d) 13. El lim

x

0+

x sen 1x

es:

(a) 1 (b) 0 (c) (d) 4. El lim

xx sen 1

xes:

(a) 1 (b) 0 (c) (d)

5. El lmite limx+ x

200

exes

(a) + (b) 0 (c) 1Final del Test

Puntos: Correctas

MATEMATICAS

S Cl l d l f( )g(x)

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Ejercicio 10. Indicar si las siguientes funciones son infinitos:

a) limx0

3sen2x

4xb) lim

x01 cos4x

5x2

c) limx0sen x

tan x

1 cos x d) limx1ln x

2 2x

e) limx0

ln(1 + x)

1 ex f) limx0x sen xlncos x

Ejercicio 11. Usa infinitesimos equivalentes, cuando sea posible, para hallar:

a) limx0tan x

x2 b) limx0arcsenx2

ln(1 x2)

c) limx0

x

sen(tan x)d) lim

x0cos x

x

e) limx

0

1 cos xx2

f) limx

0

sen x tan x

x sen x

Ejercicio 12. Usa infinitesimos equivalentes, cuando sea posible, para hallar:

a) limx+

x3/2 sen1

xb) lim

x1(x 1) sen(x 1)

1 cos(x 1)

c) limx

+

x sen(x2 + x)3x

sen x

d) limx

0

x2 sen2 3x

x sen3 2x

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S i 4 Cl l d l i f( )g(x) 32

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Ejercicio 13. Usa el orden de infinitos, cuando sea posible, para hallar:

a) limx+

x2 + 2x b) limx

x2 + 2x

c) limx

+

4x

2x d) lim

x

4x

2x

e) limx+

ln x5 x2 f) limx+

ex ln x

Ejercicio 14. Resolver por la tecnica del numero e cuando sea necesario:

a) limx+

(1 +1

x)x b) lim

x+(

1 + 2x

2x)x

c) limx+

( 1 + 2xx

)x d) limx+

( 1 + 2x5x

)x

e) limx+

(1 + x

2 + x)5x f) lim

x+(

1 x2 x )

x

Ejercicio 15. Hallar:

a) limx+3x + 23x 1

x

b) limx0+

(x)senx

Ejercicio 16. Hallar limx0+

(cos x)1/x

Ejercicio 17. Hallar limx

0+1

xtg x

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S i 5 R l d LH it l 33

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Seccion 5: Regla de LHopital 33

5. Regla de LHopital

En este apartado se explica un metodo para el calculo de lmites con ayudade la derivada. Por ello es conveniente que lo realices cuando hayas estudiadoel captulo de derivadas

Teorema 5.1. (Regla de LHopital)Sean f(x) y g(x) dos funciones derivables en el intervalo (a, b) y tal que

g(x) no se anula en (a, b).

Si limxc

f(x) = 0

y limxc g(x) = 0

y limxc

f(x)

g(x)= L

= limxc f(x)g(x)

= L

Si no existe limxc

f(x)

g(x)no podemos afirmar nada sobre lim

xcf(x)

g(x)

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Ejemplo 5.1. Hallar limx0

3sen2x

4xcon la regla de LHopital

Solucion: Como

limx0

3sen2x

4x=

0

0

(LH)= lim

x0

6 cos 2x

4=

6

4


1 cos2xx2

con la regla de LHopital

Solucion: Como

limx0

1

cos2x

x2 =

0

0(LH)

= limx0

2 sen 2x

2x=

0

0(LH)

= limx0

4 cos 2x

2= 2


xx + sen x

con la regla de LHopital

Solucion: Como

limx0

x

x + sen x=

0

0

(LH)= lim

x01

1 + cos x=

1

2

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Caso Cuando lim

xaf(x) = y lim

xag(x) = , en los lmites de la forma:

lmxaf(x)

g(x) = tambien podemos aplicar la regla de LHopital.

Ejemplo 5.4. Hallar limx+

x3

excon la regla de LHopital

Solucion: Como

limx+

x3

ex=

(LH)= lim

x3x2

ex=

(LH)= lim

x+6x

ex=

(LH)= limx+

6ex

= 6 = 0

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Caso 0 Si lim

xaf(x) = 0 y lim

xag(x) = , podemos aplicar la regla de LHopital,

pasando a uno de los casos anteriores, dividiendo por el inverso de uno de losfactores de la siguiente forma

limxa

f(x)g(x) = 0 = limxa

f(x)1

g(x)

=0

0

Ejemplo 5.5. Hallar limx

+0

x2 ln x con la regla de LHopitalSolucion: Como

limx+0

x2 ln x = 0

= limx+0

ln x

x2=

(LH)

= limx+01/x

2x3= lim

x+01

2x2 = 0

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Seccion 5: Regla de L Hopital 37

Caso Si lim

xaf(x) = y lim

xag(x) = , podemos aplicar la regla de LHopital,

pasando a uno de los casos anteriores de la siguiente forma

limxa

f(x) g(x) = = limxa

1g(x)

1f(x)

1

f(x)g(x)

=0

0

Ejemplo 5.6. Hallar limx

0+

1

x

1

sen xcon la regla de LHopital

Solucion: Como

limx0+

1

x 1

sen x=

= limx0+

sen x xx sen x =

0

0(LH)

= limx0+cos x

1

sen x + x cos x =0

0(LH)

= limx0+

sen x2cos x x sen x = 0

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1

x 1

ln(1 + x)con la regla de LHopital

Solucion: Como

limx0

1

x 1

ln(1 + x) = = lim

x0ln(1 + x) xx ln(1 + x) =

0

0

(LH)= lim

x0

11+x

1ln(1 + x) + x1+x

= limx0

x(1 + x) ln(1 + x) + x = 00

(LH)= lim

x01

ln(1 + x) + 1 + 1= 1

2

Ejercicio 18.a) lim

x1x2 1x 1 b) limx0

(x 1)21 cos x

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Ejercicio 19. Hallar los siguientes lmites con la regla de LHopital.

(a) limx0

sen x

5 x. (b) lim

x11 cos(x 1)

(ln x)2

(c) limx0ln(1 + x)

sen x

x sen x (d) limx01 + sen x

ex

(arctan x)2

(e) limx0

1

tan x 1

x(f) lim

x0x sen x

tan x sen x

(g) limx0

ex x 1x2

(h) limx0

x2 sen 1xsen x

(i) limx

cos

1

x

x(j) lim

x0(cos 2x)

1x

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Soluciones a los Ejercicios 40

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Soluciones a los Ejercicios 40

Soluciones a los Ejercicios

Prueba del Teorema 2.1. Cuando x 0, x y sen x son equivalentes.Observese la figura de radio 1

0

x

C

B

A

T CB < AB < ATsen x < x < tan x

Dividiendo por sen x

1

limitesc2

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