lÍmites

Facultad de Ciencias

e

Ingeniería

E.A.P. de:

Ingeniería de Sistemas

Ingeniería Electrónica

UCH CICLO I

MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA I 2016 II

Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email – [email protected]

1 | P á g i n a

TEMA: SOLUCIONARIO http://jacobiperu.com/

TURNO: NOCHE AULA: FECHA:

Examen parcial tomado en la UCH 2015 - I

1. Calcula los siguientes límites:

a) x

xlimx 110

b)

xxxxlimx 2

2

2

3222

c) x

x

x x

xx2

23

2

2

2

1

1lim

d) xx

xtag

x cos3

4lim

2

2

0

2. Sea

12

1

12

xsi

xsib

xsiaxx

xfx

, hallar a y b

para que xf sea continua.

3. Dadas las funciones 1

1

xxf y

9

12

x

xxg , calcular:

a) xgf b) xfg

c) xf 1 d)

xgf

1

4. Representa gráficamente la siguiente función

definida a trozos:

12

111

12

2 xsixx

xsi

xsix

xf

5. Halla el dominio de las siguientes funciones:

a) 1

2

x

xxf b) 13 xxg

c) 1

42

x

xxh

6. En la gráfica de la figura, halla:

a) Los siguientes límites cuando: 2x , 2x , 2x , 0x , 0x , 0x ,

2x , 2x , 2x , x , x .

b) Dominio, imagen, ¿es continua?

7. Halla las asíntotas de las siguientes funciones y

sitúa las curvas respecto a las asíntotas:

a) 12

3

x

xy b)

54

522

2

xx

xy

mailto:[email protected]


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2 | P á g i n a

Solución

0

0

0

0) lim

01 1

1 1lim

1 1 1 1

1 1lim

1 1

x

x

x

xa

x

x x

x x

x x

x

0 0

1 1lim lim 1 1

1 1 2

x x

x xx

x

2 22

2

3 2) lim

2 2

3 2lim

1 2 2

x

x

bx x x x

x x x x

2

2

3 2 1lim

1 2

2 1lim

1 2 6

x

x

x x

x x x

x

x x x

2

2

2

3 2

22

2

3 21 2

2 2

2

3 2

2 4

2

1) lim 1

1

1lim

1

1lim 1 1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x xc

x

x x

x

x x

x

23 2

2 2 4

2

1 1lim 1

1

x

x

x

x x x

x

2

2

3 2

4

2

3 2

4

2

lim 11

1lim 1

1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

2 2

2

2

2 2

3

3

1 3 2

41

2

3 2

1 41

2

3 2 3lim

4 4 4

1lim 1

1

1lim 1

1

x

x x x

x xx

x

x x

x xx

x

x

x x

x x

x

x

x

x

e e

2

20

2

2 20

2 20

4 0) lim

3 cos 0

4lim

cos 4 3 cos

4 4lim

cos 4 3 cos

x

x

x

tag xd

x x

sen x

x x x

sen x sen x

x x x

2 20

2 20

4 4 4 4lim

4 4 cos 4 3 cos

4 41 1 lim

cos 4 3 cos

x

x

sen x sen x x x

x x x x x

x x

x x x

2

2 20

2

161 1 lim

cos 4 3 cos

16 16 16

cos 0 3 cos0 1 3 1 3

x

x

x x x



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3 | P á g i n a

2. Se mira en primer lugar la continuidad de cada

trozo en su dominio:

axxy 2 , es una función polinómica,

luego es continua en 1,

xy 2 , es una función exponencial, luego

es continua en ,1

Se estudia la continuidad en el punto de unión

1x :

bf 1

121222lim

1lim

1

1

22

1

aaaaxx

x

x

x

, ya que tienen que coincidir los límites laterales

21lim11

abxffx

2

1

b

a

2

2

2 2

2

2 2

2

13. )

9

1 1

1 1 91

9 9

1 9

10 10

9

xa f g x f

x

x x x

x x

x

x x x x

x

2

2

2

2

1)

1

1 1 11

1 111 9911

1

1 9 1

1

b g f x g f x gx

x

x x

xx

x

x

x

x

2

2 2

2

2

2 2

11

1 9 1 1 1 9 2 1

1

1 1

1 1 9 18 9 9 18 8

xxxx

x x x x

x

x xx x

x x x x x

c) Para calcular la inversa de f se intercambian

x e y y se despeja la y :

1 1

; 1 1;1 1

11;

y x x yx y

xx xy y

x

x

xxf

11

2

2

2 2

1 9 1)

911

1

1 1

9 1 10

1

xd f f

xg x x

x

x

x x x x

x

4. Se tiene

12

111

12

2 xsixx

xsi

xsix

xf

Primer trozo, 2 xy , es una función lineal en

valor absoluto, para valores de x mayores de 1. Tiene forma de V, hay que localizar el vértice de la V, que se da cuando 0y .

202 xx . Damos un valor a la

izquierda y otro a la derecha de 2x :

x y

2 0

1 1 4 2



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4 | P á g i n a

Segundo trozo, 1y , es una función lineal, una

recta horizontal que pasa a la altura 1, para valores comprendidos entre -1 y 1.

Tercer trozo, xxy 22 , es una función

cuadrática, para valores de x menores de -1. Tiene forma de parábola, hay que localizar el vértice de la parábola, que se calcula

112112

2

2

2

vv y

a

bx

Damos algunos valores más a la izquierda de

1x :

5. a) 1

2

x

xxf , es una función racional, hay que

quitar de su dominio el valor que anula el

denominador(x=1) 1fdom .

b) 13 xxg , es una función irracional, el

radicando tiene que ser mayor o igual a cero:

3

1013 xx

,

3

1gdom .

c) 1

42

x

xxh , es una función racional, hay

que quitar de su dominio el valor que anula el

denominador(x=-1), además es una función

irracional, el radicando tiene que ser mayor o igual

a cero:

;022;042 xxx No hay que quitar

x=-1, ya que está en el intervalo 2,2 que no

está en el dominio.

,22,hdom .

6.- En la gráfica de la figura, halla:

a) Los siguientes límites cuando: 2x ,

2x , 2x , 0x ,

0x , 0x , 2x ,

2x , 2x , x , x .

b) Dominio, imagen, ¿es continua?

a)

xfexistenoxf

xf

xx

x

22

2 limlim

lim

;

xfexistenoxf

xf

xx

x

22

2 limlim

lim

0lim0lim

0lim

00

0

xfxf

xf

xx

x ;

0lim

0lim

xf

xf

x

x

x y

-1 1

-2 0 -3 -3

-4 -8

+ -- +

-2 2



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5 | P á g i n a

b) 2,2fdom ; fIm ; Es

continua en 2,2 .

a) 12

3

x

xy

Asíntotas horizontales: 1

lim2

3

x

x

x, no

hay asíntotas horizontales.

Asíntotas verticales:

11lim

1lim

3

12

3

1 xx

x

x

x

xx, hay

dos A.V.: 1x Estudiamos la posición de la curva respecto de las

asíntotas, para ello analizamos los límites a la

derecha y a la izquierda de las asíntotas:

3

21

3

21

lim1

1

lim1

1

x

x

x

x

a la izquierda de x se va a

x

x

a la derecha de x se va a

3

21

3

21

lim1

1

lim1

1

x

x

x

x

a la izquierda de x se va a

x

x

a la derecha de x se va a

Asíntotas oblicuas: Se hace la división.

11 22

3

x

xx

x

x, hay una A.O.: xy

Estudiamos la posición de la curva respecto de la

asíntota, para ello analizamos el signo de 12 x

x

para valores grandes y pequeños de x .

Para valores grandes de x , por ejemplo

1000x , queda 0001,011000

10002

,luego

la curva se aproxima a la asíntota por arriba.

Para valores pequeños de x , por ejemplo 1000x , queda

0001,0

11000

10002

,luego la curva

se aproxima a la asíntota por abajo.

b) 54

522

2

xx

xy

Asíntotas horizontales: 254

52lim

2

2

xx

x

x, hay

una asíntota horizontal, 2y

Estudiamos la posición de la curva respecto de la

asíntota, para ello analizamos el valor de

54

522

2

xx

x para valores grandes y pequeños de

x .

Para valores grandes de x , por ejemplo 1000x , queda

2008,25100041000

5100022

2

, luego la curva

se aproxima a la asíntota por arriba.



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6 | P á g i n a

Para valores pequeños de x , por ejemplo

1000x , queda

2992,15100041000

5100022

2

, luego la

curva se aproxima a la asíntota por abajo.

Asíntotas verticales:

54

52lim

2

2

xx

x

kx, este

límite nunca se hace , ya que el denominador no se anula:

2

44

2

20164;0542

xxx ,

no tiene solución no tiene A.V.

Asíntotas oblicuas no tiene ya que numerador y denominador son del mismo grado.


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