límites y continuidad
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Límites y continuidad. Cálculo 1. Razones de cambio y límites. La rapidez promedio de un móvil es la distancia recorrida durante un intervalo de tiempo dividida entre la longitud del intervalo. Ejemplo 1. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
Límites y continuidad
Cálculo 1
Razones de cambio y límites
La rapidez promedio de un móvil es la distancia recorrida durante un intervalo de tiempo dividida entre la longitud del intervalo.
Ejemplo 1Una piedra cae desde una altura de 50 metros. ¿Cuál es la rapidez promedio durante a) los 2 primeros segundos de la caída y durante b) 1 segundo del segundo 1 al segundo 2?
La caída esta gobernada por la siguiente ecuación
y = 5.1 t2 m
a) los primeros 2 segundos: m/s2.10
0201.521.5 22
ty
b) del segundo 1 al 2: m/s4.20
1211.521.5 22
ty
Ejemplo 2Hallar la rapidez de la piedra en t = 1 y en t =2.
La rapidez promedio en el intervalo [t0 , t0 + h] es
Como no se puede dividir entre 0, hacemos h = 1, 0.1, 0.01, 0.001 y 0.0001 y obtenemos la siguiente tabla
h
thtty 2
02
0 1.51.5
Longitud del intervalo de tiempo h
Rapidez promedio en un intervalo de tiempo de longitud h, empezando en t0 = 1
Rapidez promedio en un intervalo de tiempo de longitud h, empezando en t0 = 2
1 15.3 25.5
0.1 10.71 20.91
0.01 10.251 20.451
0.001 10.2051 20.4051
0.0001 10.20051 20.40051
Los valores tienden a 10.2 en t = 1 y 20.4 en t =2.
Rectas secantesLa razón de cambio promedio de y = f(x) con respecto a x en el intervalo [x1, x2] es
h
xfhxfxx
xfxfty 11
12
12
x1 x2
x
ysecante
P(x1,f(x1))
Q(x2,f(x2))
y = f(x)
x
y
Límites de funciones
Analicemos la función: 112
xx
xf
La función está definida para toda x diferente de 1.
Podemos simplificar la función de la siguiente manera:
1
111
112
x
xxx
xx
xf x 1
x
y
1
1
–1
0
112
xx
xfy
2
x
y
1
1
–1
0
y = x + 1
2
Valores de x menores y mayores 1ue 1
0.9
1.1
0.99
1.01
0.999
1.001
0.999999
1.000001
1.9
2.1
1.99
2.01
1.999
2.001
1.999999
2.000001
1112
x
xx
xf x 1
Decimos que f8x) está muy cercano a 2 conforme x se aproxima a 1.
211
lim2lim2
11
xx
oxfxx
Definición informal de límiteSea f(x) definida en un intervalo alrededor de x0, posiblemente excepto en x0. Si f(x) se acerca de manera arbitraria a L para toda x suficientemente cerca de x0, se dice que f se aproxima al límite L conforme x se aproxima a x0, y se escribe
Lxfx
10
lim
x
y
1
1
–1
0
11
)2
xx
xfa
2
x
y
1
1
–1
0
1) xxhc
2
x
y
1
1
–1
0
1,1
1,11
)
2
x
xxx
xgb
2
Funciones sin límite en un punto
0,1
0,0)
x
xyb
La función salta
-3 -2 -1 0 1 2 3-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
x
y
0,0
0,1
)x
xxyb
Crece demasiado
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0,1
sen
0,0)
xx
xyc
Oscila demasiado
Ejercicio
1
1
2 3
y = g(x)
y
x
xgx 1lim
Encontrar
xgx 2lim
xgx 3lim
Tarea #9
Haga una tabla con los valores de g(x) en los puntos –5.9, –5.99, –5.999, ... y para –6.1, –6.01, –6.001, ... ¿Cual es el limx–6 g(x)?
124
62
xx
xxg
Haga tablas con los valores de G en valores de t que se aproximan a t0 = 0 por arriba y por abajo. Luego estime limt0 G(t).
2
cos1t
ttG
Reglas para calcular límites
Teorema #1
Las reglas siguientes son válidas si limxc f(x) = L y limxc g(x) = M (L y M son números reales)
1. Regla de la suma: limxc [f(x) + g(x)] = L + M
2. Regla de la resta: limxc [f(x) – g(x)] = L – M
3. Regla del producto: limxc f(x) ∙ g(x) = L ∙ M
4. Regla del producto: limxc k f(x) = kL
por una constante
5. Regla del cociente: limxc f(x) / g(x) = L / M, M 0
6. Regla de la potencia: limxc [f(x)]m/n = Lm/n
Límites de Polinomios
Teorema #2
Los límites de polinomios pueden ser calculados por sustitución
Si P(x) = anxn + an–1 xn–1 +...+ a0, entonces
limxc P(x) = P(c) = ancn + an–1 cn–1 +...+ a0
Teorema #3
Los límites de las funciones racionales pueden calcularse por sustitución si el límite del denominador no es cero.
Si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(c) 0, entonces
limxc P(x) / Q(x) = P(c) / Q(c)
Eliminación de denominador cero
Si en el cálculo del límite de una fracción el denominador es cero, se puede en algunos casos simplificar la fracción y calcular el límite.
xxxx
x
2
2
1
2lim
hh
h
22lim
0
Teorema del emparedado
supóngase que g(x) f(x) h(x) para toda x en algín intervalo abierto que contenga a c, excepto posiblemente en x = c. Supóngase tambien que
Lxhxgcxcx
limlim
Entonces Lxfcx
lim
g
f
h
c
L
y
x
ejemplos
yy
y 5lim
2
5
245
5lim
0 hh
5103
lim2
5
xxx
x
23
1lim
1
x
xx
Uso del teorema del emparedadoDemostración del límite de sen()/ cuando tiende a 0
1
P
T
tan
sen
cos
1
A(1, 0)QO
arco de longitud
De la figura se ve que:
sen tan
Dividiendo entre sen :
1 /sen tan sen = 1/cos
Invirtiendo cada término
1 sen / cos
Tomando el límite
lim0 1 lim0 sen / lim0 cos
pero
lim0 cos = 1
Por el teorema del emparedado lim0 sen = 1
Límites de razones de cambio
En cálculo aparecen límites de la forma:
h
xfhxfh
0
lim
Ejemplo:
Sea f(x) = x2 encuentre el límite de la razón de cambio en x = –2
xhx
hhhx
hxhx
hxfhxf
hhhh22lim
2limlimlim
0
2
0
22
00
Sustituyendo valores
422lim0
h
xfhxfh
Tarea #10
652
lim 22
yyy
y
x
xxx
2
4lim
2
4
232 242
limxx
xx
138
lim2
1
xx
x
h
xfhxfh
0
lim
Evalúe el límite de la razón de cambio para:
f(x) = 3x – 4, x = 2
f(x) = 1/x , x = –2
Valores objetivoControl de una función lineal
¿Qué tan cerca de x0 = 4 debemos mantener el valor de entrada x para estar seguros de que el resultado de y = 2x – 1 a menos de 2 unidades de y = 7?
Para que valores de x es | y – 7 | < 2
| y – 7 | = | (2x – 1) – 7 | = | 2x – 8 |
o | 2x – 8 | < 2
Resolviendo
3 < x < 5 o –1 < x – 4 < 1
3 4 5
9
7
5
Restringe esto
Par
a co
ntro
lar
esto
y = 2x – 1
Cota superior
Cota inferior
y
x
ejemplo¿Por qué las marcas de una taza de medir de un litro miden alrededor de un milímetro de ancho?
Si la taza es un cilindro circular recto de 6 cm de radio, el volumen es
V = 62h = 36h
¿Con qué precisión se debe medir h para medir 1 L(1000 cm3) con un error no mayor de 1% (10 cm3)?
Para que valores de h se satisface
| V – 1000 | = | 36h – 1000 | 10
| 36h – 1000 | 10
–10 36h – 1000 10
990 36h 1010
990 /36 h 1010 /36
8.8 h 8.9
8.9 – 8.8 = 0.1 cm = 1 mm
h
r = 6 cm
Proceso del cálculo de un límite
x0
L
L +1/10
L–1/10
y = f(x)
O
hacer que | f (x) – L| < = 1/10
x0
L
L +1/10
L–1/10
y = f(x)
O
Respuesta: | x – x0 | < 1/10 (un número)
x0+1/10x0+1/10
x0
LL +1/100
L–1/100
y = f(x)
O
hacer que | f (x) – L| < = 1/100
x0
LL +1/100
L–1/100
y = f(x)
O
Respuesta: | x – x0 | < 1/100
x0+1/100x0+1/100
x0
L
L +1/1000
L–1/1000
y = f(x)
O
hacer que | f (x) – L| < = 1/1000
x0
L
L +1/1000
L–1/1000
y = f(x)
O
Respuesta: | x – x0 | < 1/1000
x0+1/1000x0+1/1000
x0
L
L +1/1000000
L–1/1000000
y = f(x)
O
hacer que | f (x) – L| < = 1/1000
x0
L
L +1/1000000
L–1/1000000
y = f(x)
O
Respuesta: | x – x0 | < 1/1000000
x0+1/1000000x0+1/1000000
Definición de límite
Sea f(x) definido sobre un intervalo abierto alrededor de x0, excepto posiblemente en x0. Decimos que f(x) tiende al límite L cuando x tiende a x0 y escribimos
si, para cada número > 0, existe un número correspondiente > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < | f(x) – L | <
Lxfxx
0
lim
Como encontrar una Cómo encontrar algebraicamente una para f, L, x0, y > 0 dados
Para hallar una > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < | f(x) –L | <
Deben seguirse dos pasos
Paso1. Resolver la desigualdad | f(x) –L | < para encontrar un intervalo abierto (a, b) alrededor de x0, en el cual se cumpla la desigualdad para toda x ≠ x0.
Paso 2. Hallar un valor > 0 que haga que el intervalo abierto (x0 – , x0 + ) con centro en x0 esté contenido en (a, b). La desigualdad | f(x) –L | < se cumplirá para toda x ≠ x0 en este intervalo determinado por .
Tarea #11Hallar una > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < | f(x) – L | <
Dados f(x) = 2x – 2, L = – 6, x0 = – 2, = 0.02
f(x) = 19 – x , L = 3, x0 = 10, = 1
Paso1. Resolver la desigualdad | f(x) –L | < para encontrar un intervalo abierto (a, b) alrededor de x0, en el cual se cumpla la desigualdad para toda x ≠ x0.
Paso 2. Hallar un valor > 0 que haga que el intervalo abierto (x0 – , x0 + ) con centro en x0 esté contenido en (a, b). La desigualdad | f(x) –L | < se cumplirá para toda x ≠ x0 en este intervalo determinado por .
Demostración de teoremasRegla para el límite de una sumaDado que lim xc f(x) = L y limxc g(x) = M, demostrar que
lim xc (f(x) + g(x)) = L + M
Sea > 0, se quiere hallar un número positivo tal que para toda x
0 < | x – x0 | < | f(x) + g(x) – (L + M)| < Reagrupando
| f(x) + g(x) – (L + M)| = | (f(x) – L) + (g(x) – M)| ≤ | f(x) – L | + |g(x) – M |
Ya que limxc f(x) = L, Existe 1 > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 | < 1 | f(x) – L | < /2Análogamente
0 < | x – x0 | < | g(x) – M| < /2Sea = min(1, ) por lo tanto
| f(x) + g(x) – (L + M)| < /2 + /2 = Esto muestra que
lim xc (f(x) + g(x)) = L + M
Límites por un ladoDefinición informal de límite por la izquierda y límite por la derecha
Sea f(x) una función definida en un intervalo (a, b) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de L cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que L es el límite por la derecha de f en a, y escribimos
Lxfax
lim
Sea f(x) una función definida en un intervalo (c, a) donde a < b. Si f(x) está arbitrariamente cerca de M cuando x tiende a a desde dentro del intervalo, decimos que M es el límite por la izquierda de f en a, y escribimos
Mxfax
lim
Límites por un lado y bilateralesUna función f(x) tiene un limite cuando x tiende a c si y sólo si tiene límites por la derecha y por la izquierda en ese punto y éstos son iguales:
Limx c f (x) = L Limx c– f (x) = L y Limx c+ f (x) = L
Ejemplo
1lim0
xfx
existennoxfyxfxx 00limlim
0lim1
xfx
1lim1
xfx
existenoxfx 1lim
1lim2
xfx
1lim2
xfx
1lim2
xfx
23limlimlim333
fxfxfxfxxx
1lim4
xfx
existennoxfyxfxx 44limlim
1 2 3 4
1
2
0
y
x
y = f (x)
Tarea #12¿cuáles límites son verdaderos y cuales son falsos?
1lim1
xfx
0lim0
xfx
1lim0
xfx
xfxfxx
00
limlim
existexfx
0
lim 0lim0
xfx
1lim0
xfx
1lim1
xfx
0lim1
xfx
2lim2
xfx
existenoxfx
1
lim 2lim2
xfx
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
i)
j)
k)
l)
Límites infinitosSi el valor de una función crece rebasando el valor de cualquier real positivo, se dice que la función tiende a un límite infinito positivo.
xfcx
lim
Similarmente si el valor de la función disminuye rebasando el valor de cualquier real negativo, se dice que la función tiende a un límite infinito negativo.
xfcx
lim
-3 -2 -1 0 1 2 3-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Ejemplos
xx
1lim
0
x
y
xx
1lim
0
y = 1/x
-6
-4
-2
0
2
4
6
-2 -1 0 1 2 3
11
lim1 xx
11
lim1 xx
x
y
y = 1/(x – 1)
0
5
10
15
20
25
-3 -2 -1 0 1 2 3
x
y
20
1lim
xx
20
1lim
xx
2
1x
y
0
5
10
15
20
25
-6 -4 -2 0 2 4 6
x
y
23 3
1lim
xx
23 3
1lim
xx
23
1
xy
Límites de funciones racionales
0
22
lim22
2lim
42
lim2
2
22
2
2
xx
xxx
xx
xxx
41
21
lim22
2lim
42
lim2222
xxxx
xx
xxx
223
lim43
lim222 xx
xxx
xx
223
lim43
lim222 xx
xxx
xx
existenoxx
xxx
xx
223
lim43
lim222
223232 2
1lim
2
2lim
2
2lim
xx
x
x
xxxx
Definición formal de límite lateral
Límite por la derecha
Decimos que f(x) tiene un límite por la derecha L en x0, y escribimos
Si para cada número > 0 existe un número > 0 tal que para toda x
x0 < x < x0 + | f(x) – L | <
Lxfxx
0
lim
Límite por la izquierda
Decimos que f(x) tiene un límite por la izquierda L en x0, y escribimos
Si para cada número > 0 existe un número > 0 tal que para toda x
x0 – < x < x0 | f(x) – L | <
Lxfxx
0
lim
Definición formal de límites infinitos
Límites infinitos
Decimos que f(x) se aproxima a infinito cuando x tiende a x0, y escribimos
Si para cualquier número real positivo B existe un número > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 |< f(x) > B
xfxx 0
lim
Decimos que f(x) se aproxima a menos infinito cuando x tiende a x0, y escribimos
xfxx 0
lim
Si para cualquier número real negativo –B existe un número > 0 tal que para toda x
0 < | x – x0 |< f(x) < –B
ContinuidadContinuidad en un punto
Una función f es continua en un punto interior x = c de su dominio, si
cfxfcx
lim
Ejemplos
1
1
0
y
x
y = f(x)
1
0
y
x
y = f(x)
1
0 x
y = f(x)
y = f(x)
y
x
2
0
5
10
15
20
25
-3 -2 -1 0 1 2 3
2
1
xxfy
Tipos de discontinuidades
xy Discontinuidad escalonada
xseny
1 Discontinuidad oscilante
21
x
y Discontinuidad infinita
2
22
x
xy Discontinuidad removible
Continuidad en los extremosUna función f es continua en el extremo izquierdo x = a de su dominio, si
afxfax
lim
Una función f es continua en el extremo derecho x = b de su dominio, si
bfxfbx
lim
y = f(x)
a c b
Criterio de continuidad
Una función f es continua en un punto x = c si y solo si cumple las tres condiciones siguientes:
1. f(c) existe (c está en el dominio de f)
2. Limx c f(x) existe (f tiene un límite cuando xc)
3. Limx c f(x) = f(c) (el límite es igual al valor de la función)
Ejemplo
1 2 3 4
1
2
0
y
x
y = f (x)
Continua
Discontinua
Reglas de continuidadTeorema 6
Si las funciones f y g son continuas en x = c, entonces las siguientes funciones son continuas en:
1. f + g y f – g
2. f g
3. kf, donde k es cualquier número
4. f/g (si g(c) ≠ 0)
5. (f(c))m/n (si f(x) está definida en un intervalo que contenga a c, y m y n son enteros)
Continuidad de polinomiosTeorema 7
Todo polinomio es continuo en cualquier punto de la recta real. Toda función racional es continua en todo punto donde el denominador sea distinto de cero.
25
20x4
xxxg
xfxr
Ejemplo:
Es continua para toda x, excepto en x = 0 y x = 2.
La función f(x) = | x | es continua dado que f(x) = x (un polinomio) si x>0 y f(x) = –x (un polinomio) si x < 0 y además limx0| x | = 0.
Continuidad de la composición
Teorema 8
Si f es continua en c, y g es continua en f(c), entonces g ° f es continua en c.
f g
g ° f
f (c) g(f (c))Continua en c Continua en f(c)
Continua en c
Ejemplos
1033
2 xx
xy
211 2x
xy
xx
ycos
2
xsenx
y 2
4
11
Tarea #14
1
1
20
Diga si la función es continua y porque en x = –1 , 0, 1 y 2.
¿En qué puntos son continuas las siguientes funciones?
341
2 xx
xy xsenxy 1 1
tan2
x
xxya) b) c)
-1
Extensión continua en un punto
Para una función racional f(x), si f(c ) no está definida, pero limxc f(c ) = L, se puede definir una función F(x) usando la regla
f(x) si x está en el dominio de fF(x) =
L si x = c
Ejemplo:
4
62
2
xxx
xf
Se puede simplificar en:
2
32232
46
2
2
xx
xxxx
xxx
xf
Que es continua en x = 2
Teorema del valor intermedioTeorema 9
Suponga que f(x) es continua en un intervalo I, y que a y b son dos puntos en I. Entonces, si y0 es un número entre f(a) y f(b), existe un número c entre a y b tal que f(c) = y0.
f(a)
f(b)
f(c)
a b c x
y
0
Consecuencias del teorema del valor intermedio
Conexidad
La gráfica de una función continua no debe tener salto, debe ser conexa, una curva ininterrumpida.
Búsqueda de raíces
Una raíz es una solución a la ecuación f(x) = 0. Si el valor de la función f(x) cambia de signo en algún intervalo, entonces debe tener una raíz dentro del intervalo.
EjemplosDefinir g(3) de modo que extienda a g(x) = (x2 – 9)/(x – 3) y sea continua en x = 3.
Definir g(4) de modo que extienda a g(x) = (x2 – 16)/(x2 – 3x – 4) y sea continua en x = 4.
Explicar por qué la ecuación cos x =x tiene al menos una solución
Demuestra que la ecuación x3 – 15x + 1 = 0 tiene 3 soluciones en el intervalo [-4, 4].
Dar un ejemplo de funciones f y g, ambas continuas en x = 0, para las cuales la composición f ° g sea discontinua en x = 0. ¿Contradice el teorema 8?
Tarea #15¿Para que valor de a, f(x) es continua para toda x?
x2 – 1 x<3 f(x) =
2ax x ≥ 3
Definir f(4) de modo que extienda a f(x) = (x3 – 1)/(x2 – 1) y sea continua en x = 1.
Demuestra que la función f(x) = (x – a)2 (x – b)2 + x toma el valor (a + b)/2.
Rectas tangentes
P
L
O
La recta L es tangente al círculo en el punto P.La tangente es perpendicular al radio OP.
Definición de tangente(?)1. L pasa por P y es perpendicular a la recta que pasa por P y por el centro de C.
2. L pasa por un solo punto de C, a saber, P.
3. L pasa por P y queda de un solo lado de C.
P
L
C
P
LC
P
L
C
L toca un solo punto de C L es tangente a C en P, pero toca a C en varios puntos
L es tangente a C en P, pero está en ambos lados de C