Download - LÍMITES
Facultad de Ciencias
e
Ingeniería
E.A.P. de:
Ingeniería de Sistemas
Ingeniería Electrónica
UCH CICLO I
MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA I 2016 II
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email – [email protected]
1 | P á g i n a
TEMA: SOLUCIONARIO http://jacobiperu.com/
TURNO: NOCHE AULA: FECHA:
Examen parcial tomado en la UCH 2015 - I
1. Calcula los siguientes límites:
a) x
xlimx 110
b)
xxxxlimx 2
2
2
3222
c) x
x
x x
xx2
23
2
2
2
1
1lim
d) xx
xtag
x cos3
4lim
2
2
0
2. Sea
12
1
12
xsi
xsib
xsiaxx
xfx
, hallar a y b
para que xf sea continua.
3. Dadas las funciones 1
1
xxf y
9
12
x
xxg , calcular:
a) xgf b) xfg
c) xf 1 d)
xgf
1
4. Representa gráficamente la siguiente función
definida a trozos:
12
111
12
2 xsixx
xsi
xsix
xf
5. Halla el dominio de las siguientes funciones:
a) 1
2
x
xxf b) 13 xxg
c) 1
42
x
xxh
6. En la gráfica de la figura, halla:
a) Los siguientes límites cuando: 2x , 2x , 2x , 0x , 0x , 0x ,
2x , 2x , 2x , x , x .
b) Dominio, imagen, ¿es continua?
7. Halla las asíntotas de las siguientes funciones y
sitúa las curvas respecto a las asíntotas:
a) 12
3
x
xy b)
54
522
2
xx
xy
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Solución
0
0
0
0) lim
01 1
1 1lim
1 1 1 1
1 1lim
1 1
x
x
x
xa
x
x x
x x
x x
x
0 0
1 1lim lim 1 1
1 1 2
x x
x xx
x
2 22
2
3 2) lim
2 2
3 2lim
1 2 2
x
x
bx x x x
x x x x
2
2
3 2 1lim
1 2
2 1lim
1 2 6
x
x
x x
x x x
x
x x x
2
2
2
3 2
22
2
3 21 2
2 2
2
3 2
2 4
2
1) lim 1
1
1lim
1
1lim 1 1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x xc
x
x x
x
x x
x
23 2
2 2 4
2
1 1lim 1
1
x
x
x
x x x
x
2
2
3 2
4
2
3 2
4
2
lim 11
1lim 1
1
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
2 2
2
2
2 2
3
3
1 3 2
41
2
3 2
1 41
2
3 2 3lim
4 4 4
1lim 1
1
1lim 1
1
x
x x x
x xx
x
x x
x xx
x
x
x x
x x
x
x
x
x
e e
2
20
2
2 20
2 20
4 0) lim
3 cos 0
4lim
cos 4 3 cos
4 4lim
cos 4 3 cos
x
x
x
tag xd
x x
sen x
x x x
sen x sen x
x x x
2 20
2 20
4 4 4 4lim
4 4 cos 4 3 cos
4 41 1 lim
cos 4 3 cos
x
x
sen x sen x x x
x x x x x
x x
x x x
2
2 20
2
161 1 lim
cos 4 3 cos
16 16 16
cos 0 3 cos0 1 3 1 3
x
x
x x x
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2. Se mira en primer lugar la continuidad de cada
trozo en su dominio:
axxy 2 , es una función polinómica,
luego es continua en 1,
xy 2 , es una función exponencial, luego
es continua en ,1
Se estudia la continuidad en el punto de unión
1x :
bf 1
121222lim
1lim
1
1
22
1
aaaaxx
x
x
x
, ya que tienen que coincidir los límites laterales
21lim11
abxffx
2
1
b
a
2
2
2 2
2
2 2
2
13. )
9
1 1
1 1 91
9 9
1 9
10 10
9
xa f g x f
x
x x x
x x
x
x x x x
x
2
2
2
2
1)
1
1 1 11
1 111 9911
1
1 9 1
1
b g f x g f x gx
x
x x
xx
x
x
x
x
2
2 2
2
2
2 2
11
1 9 1 1 1 9 2 1
1
1 1
1 1 9 18 9 9 18 8
xxxx
x x x x
x
x xx x
x x x x x
c) Para calcular la inversa de f se intercambian
x e y y se despeja la y :
1 1
; 1 1;1 1
11;
y x x yx y
xx xy y
x
x
xxf
11
2
2
2 2
1 9 1)
911
1
1 1
9 1 10
1
xd f f
xg x x
x
x
x x x x
x
4. Se tiene
12
111
12
2 xsixx
xsi
xsix
xf
Primer trozo, 2 xy , es una función lineal en
valor absoluto, para valores de x mayores de 1. Tiene forma de V, hay que localizar el vértice de la V, que se da cuando 0y .
202 xx . Damos un valor a la
izquierda y otro a la derecha de 2x :
x y
2 0
1 1 4 2
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Segundo trozo, 1y , es una función lineal, una
recta horizontal que pasa a la altura 1, para valores comprendidos entre -1 y 1.
Tercer trozo, xxy 22 , es una función
cuadrática, para valores de x menores de -1. Tiene forma de parábola, hay que localizar el vértice de la parábola, que se calcula
112112
2
2
2
vv y
a
bx
Damos algunos valores más a la izquierda de
1x :
5. a) 1
2
x
xxf , es una función racional, hay que
quitar de su dominio el valor que anula el
denominador(x=1) 1fdom .
b) 13 xxg , es una función irracional, el
radicando tiene que ser mayor o igual a cero:
3
1013 xx
,
3
1gdom .
c) 1
42
x
xxh , es una función racional, hay
que quitar de su dominio el valor que anula el
denominador(x=-1), además es una función
irracional, el radicando tiene que ser mayor o igual
a cero:
;022;042 xxx No hay que quitar
x=-1, ya que está en el intervalo 2,2 que no
está en el dominio.
,22,hdom .
6.- En la gráfica de la figura, halla:
a) Los siguientes límites cuando: 2x ,
2x , 2x , 0x ,
0x , 0x , 2x ,
2x , 2x , x , x .
b) Dominio, imagen, ¿es continua?
a)
xfexistenoxf
xf
xx
x
22
2 limlim
lim
;
xfexistenoxf
xf
xx
x
22
2 limlim
lim
0lim0lim
0lim
00
0
xfxf
xf
xx
x ;
0lim
0lim
xf
xf
x
x
x y
-1 1
-2 0 -3 -3
-4 -8
+ -- +
-2 2
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b) 2,2fdom ; fIm ; Es
continua en 2,2 .
a) 12
3
x
xy
Asíntotas horizontales: 1
lim2
3
x
x
x, no
hay asíntotas horizontales.
Asíntotas verticales:
11lim
1lim
3
12
3
1 xx
x
x
x
xx, hay
dos A.V.: 1x Estudiamos la posición de la curva respecto de las
asíntotas, para ello analizamos los límites a la
derecha y a la izquierda de las asíntotas:
3
21
3
21
lim1
1
lim1
1
x
x
x
x
a la izquierda de x se va a
x
x
a la derecha de x se va a
3
21
3
21
lim1
1
lim1
1
x
x
x
x
a la izquierda de x se va a
x
x
a la derecha de x se va a
Asíntotas oblicuas: Se hace la división.
11 22
3
x
xx
x
x, hay una A.O.: xy
Estudiamos la posición de la curva respecto de la
asíntota, para ello analizamos el signo de 12 x
x
para valores grandes y pequeños de x .
Para valores grandes de x , por ejemplo
1000x , queda 0001,011000
10002
,luego
la curva se aproxima a la asíntota por arriba.
Para valores pequeños de x , por ejemplo 1000x , queda
0001,0
11000
10002
,luego la curva
se aproxima a la asíntota por abajo.
b) 54
522
2
xx
xy
Asíntotas horizontales: 254
52lim
2
2
xx
x
x, hay
una asíntota horizontal, 2y
Estudiamos la posición de la curva respecto de la
asíntota, para ello analizamos el valor de
54
522
2
xx
x para valores grandes y pequeños de
x .
Para valores grandes de x , por ejemplo 1000x , queda
2008,25100041000
5100022
2
, luego la curva
se aproxima a la asíntota por arriba.
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Para valores pequeños de x , por ejemplo
1000x , queda
2992,15100041000
5100022
2
, luego la
curva se aproxima a la asíntota por abajo.
Asíntotas verticales:
54
52lim
2
2
xx
x
kx, este
límite nunca se hace , ya que el denominador no se anula:
2
44
2
20164;0542
xxx ,
no tiene solución no tiene A.V.
Asíntotas oblicuas no tiene ya que numerador y denominador son del mismo grado.