limites
TRANSCRIPT
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Juan Carlos Ballabriga
Departamento de Matemáticas
IES Benjamín de Tudela
IDEA INTUITIVA DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
LÍMITE TIENDE A….
Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se aproxima a un valor a, podemos
escribir:
Lf(x)limax
Lo leeremos así: “ límite de f(x) cuando x tiende a a es L”
a
L
y=f(x)
Veamos un ejemplo: Sea la función dada por:
2
1)(
3
x
xxf
x f(x)
4
7
2
1)(lim
3
2
x
xxf
x
1,9 1,50231,99 1,7245
1,999 1,74741,99999 1,74997
2 ?2,00001 1,75003
2,001 1,75262,01 1,7757
2,1 2,0149
xx
LÍMITES
Lf(x)
Lf(x)
f(x)lim
limlim
ax
ax
ax
Si L es finito y ambos límites laterales coinciden, se dice que el límite existe y vale
L
a
L
xa+xa-
y=f(x)
Propiedades para el cálculo de límites
n
ax
n
ax
axax
axaxa x
axaxa x
axaxa x
f(x)limf(x)lim )
g(x)limKg(x)Klim )
g(x)lim/f(x)limf(x)/g(x)lim )
g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim b)
g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim a)
e
d
c
Cálculo de límites• Para el cálculo de límites 1º se sustituye la
variable x por el punto en el que queremos calcular el límite (incluso si es ):– Si da un valor finito ese es el límite– Si el valor es uno de los siguientes:
Diremos que hay una indeterminación que intentaremos resolver con el procedimiento adecuado
,1,,
0
0,
0
k
Ejemplos
aciónindetermin una es 0
0
1
32lim
132lim
12
lim)(lim
232
22
)(
límite el es este 2
9
2
16413lim
2
1
2
2
22
2
2
2
x
xx
xx
xxf
xx
xx
xxf
x
xx
x
x
xx
xa)
Por tanto el límite es 1
b)
c)
EJERCICIO 1
Lim f(x) no existe
x 1
y
x1 5
2
1
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
EJERCICIO 2
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
Lim f(x) = L =2
x 1
y
x
1 5
3
2
EJERCICIO 3
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)
x 1
x1
y
5
2
1
EJERCICIO 4
Dado el gráfico de f(x) :
3
5
-3
3
-2x
f(x)
3.5
f(x)d)f(x)c)
f(x)b)f(x)a)
limlim
limlim
2x0x
3x3x
Encuentre:
PASOS A SEGUIR PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES
# 1:• Evaluar para saber si se trata de un límite directo o
estamos en presencia de una forma indeterminada
# 2:• INTENTAR desaparecer la indeterminación a través
de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica ...si fuera el caso...
PROBLEMA 1
3xsi,1x1/
3 xsi2,xf(x)dondef(x);4)
2
3
2
3:Rpta;
3x4xx
2xx3)
1:Rpta,x
x1x12)
1/4:Rpta,x
24x1)
2
3x
1/31/3
23
2
1x
0x
0x
lim
lim
lim
lim
3
Evalúe los siguientes límites:
PROBLEMA 2
0x1,x
0x4,2xf(x)f(x);lim5)
x2
x4xlim4)
ba,ax
babxlim3)
x-4
2xlim2)
1-x1x
lim1)
0x
2
4x
22ax
22x
4
1x
Utilice las reglas para calcular límites para determinar:
PROBLEMA 3
• Utilice propiedades para hallar los siguientes límites:
2)(x
2x3)(xlimb.
1x1)(x2x
lima.
2x
1x
LÍMITES INFINITOS
• Utilice propiedades para hallar los siguientes límites:
2)(x
2x3)(xlimb.
1x1)(x2x
lima.
2x
1x
PROBLEMA 4
• Con la información que aparece a continuación, construya el gráfico de F(x):
12)3;F(F(3)
2F(x)lim4;F(x)lim3x3x
PROBLEMA 5
• Con la información que aparece a continuación, construya el gráfico de F(x):
indefinida1;F(0)F(2)
0F(x)lim1;F(x)lim
1F(x)lim-1;F(x)lim
2x2x
0x0x
TEOREMA DEL SANDWICH • En caso de que se cumpla la siguiente
relación (para toda x perteneciente a algún intervalo abierto que contenga a c):
• y además se cumple:
• Entonces:
h(x)f(x)g(x)
Lh(x)limg(x)limcxcx
Lf(x)limcx
TEOREMA DEL SANDWICH
h(x)
g(x)
f(x)
c
L
x
y
PROBLEMA
• 1. Si
• 2. Dada la función g(x)=xsen(1/x). Estime :
(trabaje gráficamente)
f(x)limHalle
xtodapara2cosx,f(x)x2
0x
2
g(x)lim0x
A partir de la gráfica de la función:
Estime, haciendo zoom en el origen, el valor de:
*Confirma tu resultado con una demostración
)x
1cos(xf(x) 32
f(x)lim0x
PROBLEMA
PROBLEMA
24)(x
5f(x)
24x
24x24x
4)(x
5lim
4)(x
5lim
4)(x
5lim
Analice el comportamiento de la función dada
cerca de x = - 4
Esta función muestra un comportamiento consistente alrededor de x = - 4,
se puede decir que este límite vale
Gráficamente...
x
y
-8 -6 -4 -2 0 2 4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
x
5/(x+4)^2