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Liceo Experimental Bilingüe José Figueres Ferrer

Departamento de Matemática

Prof. Pamela Granados Vargas

Geometría - Undécimo Año

Unidad 1: Círculo y Circunferencia

Estudiante

_____________________________

Sección ____________

Matemática Undécimo Año

L.E.B. José Figueres Ferrer Prof. K. Pamela Granados V.

1

Círculo y Circunferencia

Conceptos Básicos

Definición: se llama circunferencia a una curva cerrada cuyos puntos están en un mismo plano y a la misma

distancia “r” del punto fijo O, que esta en el centro. (“r ”es un número positivo) y se denota como ( , )O r

Definición: se denomina radio a cualquier segmento cuyos extremos sean un punto de la circunferencia y el

centro de está.

Definición: La ecuación de una circunferencia de centro O(a, b) y radio r, es (x - a)2 + (y - b)2 = r2, con

P(x,y) un punto cualquiera de la circunferencia.

Definición: se llama cuerda de una circunferencia a un segmento cuyos extremos están en la circunferencia.

Definición: se denomina diámetro a la mayor cuerda de la circunferencia, la cual pasa por el centro de ésta.

Definición: se denomina círculo o región circular a la reunión de una circunferencia y su interior.

Definición: el interior de una circunferencia es el conjunto de puntos coplanares a ésta, que se encuentran a

una distancia del centro menor que el radio.

Sea P(x, y) un punto cualquiera y (x - a)2 + (y - b)2 = r2 la ecuación de una circunferencia de centro O(a, b)

y radio r, entonces se cumple que:

Punto Interior Punto Exterior Punto sobre la circunferencia (x - a)2 + (y - b)2 < r2 (x - a)2 + (y - b)2 > r2 (x - a)2 + (y - b)2 = r2

Definición: se llama secante de una circunferencia a cualquier recta que corta a ésta en dos puntos.

Definición: una tangente a una circunferencia, es una recta en el mismo plano que interseca a la

circunferencia en un solo punto, el cual se llama punto de tangencia o de contacto.

Definición: se dice que una recta es exterior a una circunferencia si se encuentra en el mismo plano que ésta

pero no la interseca.

l : secante

m: tangente

P: pto tangencia

O: centro

CD : cuerda

AB : diámetro

OC : radio

m

l

D

C

C

B

O

AP

n

n: exterior



2

Sea l una recta cualquiera de ecuación y = mx + b y (x - a)2 + (y - b)2 = r2 la ecuación de una circunferencia

de centro O(a, b) y radio r. Se sustituye la ecuación de la recta en la de la circunferencia para determinar

si éstas se intersecan, para eso se analiza el discriminante de la ecuación resultante de la siguiente manera:

Recta secante Recta Tangente Recta Exterior > 0 = 0 < 0

Definición: dos circunferencias son congruentes si sus radios son congruentes.

Ejemplos:

1) Determine si los siguientes puntos son interiores, exteriores o se encuentran sobre la circunferencia

de ecuación (x - 2)2 + (y + 7)2 = 8

P(2,-3) P(4,-5) P(3,-7)

2) Determine si las siguientes rectas son secantes, exteriores o interiores con respecto a la

circunferencia de ecuación (x + 2)2 + (y + 1)2 = 2

y = 2x + 3 y = -3x - 1 x + y = -1

Arcos de la Circunferencia

Se llama arco de una circunferencia a una parte de la misma, entonces si A y B son dos puntos de una

circunferencia, el arco AB se denota AB

Observe que A y B son extremos de dos arcos distintos de la misma circunferencia, por lo que definimos

dos tipos de arco.

B

A



3

OD

B

A

Definición: Sea C una circunferencia de centro O con A, B y D puntos que están en C, pero que no son los

extremos de un diámetro, entonces:

El arco menor AB es la unión de A y B con todos los puntos de C que se encuentran

entre A y B.

El arco mayor ADB es la unión de los puntos A, B y D con todos los puntos de la

circunferencia que se encuentran entre A y D, así como entre D y B.

Definición: Los puntos extremos de un diámetro dividen a la

circunferencia en dos arcos congruentes llamados

semicircunferencias.

Definición: A las porciones del círculo limitadas por el diámetro y la

semicircunferencia se les denomina semicírculos.

Ángulo Central:

Definición: un ángulo central de una circunferencia es un ángulo cuyo vértice es el centro de la

circunferencia y los lados de éste son dos radios de dicha circunferencia.

El POQ es un ángulo central de la circunferencia de centro O

Se dice que el POQ subtiende al PQ .

Medida de un Ángulo Central

La medida en grados de un ángulo central es igual a la medida en grados de su arco menor y viceversa.

La medida del arco mayor, en grados, es igual a la diferencia entre 360º y la medida en grados del arco

menor.

Ejemplo 1: El TOR mayor, es un ángulo central de la circunferencia de centro O. Si OS es bisectriz del

TOR y el TOR mide 285º, ¿cuál es la medida de TS TSR ? R/ 37,5º y

75º

semicircunferencia

semicírculo

O: centro

O

Q

P

O

O

P

R

S

T



4

Ejemplo 2: Si la 17ºm BAC , determine la medida de BC . R/ 34º

Ejemplo 3: En la figura P es el centro de la circunferencia y RQ PS . Determinar las medidas respectivas

de los arcos ,RQ RS RSQ R/60º, 120º y 300º

Posiciones Relativas entre dos Circunferencias

Dos o más circunferencias pueden presentar diferentes posiciones entre sí.

Exteriores: No tienen puntos en común,

es decir no se intersecan.

Interiores: Una de las circunferencias

está contenida en la otra.

Concéntricas: Dos o más circunferencias

son concéntricas si comparten el mismo

centro y son coplanares.

O

O: centro

A

B

C

SQP

R

d(A,B) > r1 + r2r2

r1

B

B: centroA: centro

A

A y B: centros

d(A,B) < r1 - r2 , r1 > r2

r2B

A

d(A,B) = 0r1

B

B: centro de ambas

circunferenciasr2

r1



5

Tangentes: Se intersecan en un solo punto, se representan de dos maneras

Tangentes exteriormente: Dos circunferencias son tangentes

exteriormente, si una de ellas se

encuentra en el exterior de la otra y se

intersecan en un solo punto.

Tangentes interiormente: Dos circunferencias son tangentes

interiormente, si una de ellas se

encuentra en el interior de la otra y se

intersecan en un solo punto.

Secantes: Se intersecan en dos puntos

solamente.

Ejemplo 1: Si dos circunferencias tienen radios cuyas medidas son respectivamente 10cm y 5cm, hallar la

medida del segmento de recta que une los dos centros si las circunferencias son

1) Tangentes exteriormente 2) Tangentes interiormente

3) Concéntricas 4) Distancia entre sí 6cm

Ejemplo 2: Averigüe, cuáles de los pares de circunferencias con centros |O O y de radios R r son

secantes, tangentes interiormente o exteriormente, concéntricas, interiores o exteriores, según sea el caso.

1) | 11 , 6 8mOO cm r cm R cm 2) | 9 , 8 18mOO cm r cm R cm

3) |( , ) 6 , 2 4d O O cm r cm R cm 4) |( , ) 12 , 16 28d O O cm r cm R cm

A y B : centrosBA

r2 r1 d(A,B) = r1 + r2

A y B : centrosBA

r2 d(A,B) = r1 - r2 , r1 > r2

r1

r2

r1



6

Ejemplo 3: En la figura, cada una de las circunferencias con centros A, B y C es tangente a las otras dos. Si

10 , 14 18AB cm AC cm BC cm , determine la medida del radio de cada circunferencia. R/3, 7,11

Teoremas sobre las relaciones métricas entre segmentos y rectas del círculo

Teorema 1: Un radio perpendicular a una cuerda biseca a dicha cuerda y viceversa.

Ejemplo 1: En una circunferencia de radio 25cm de longitud, se traza una cuerda que mide 48cm . ¿Cuál

es la distancia del centro de la circunferencia a la cuerda? R/ 7cm

Ejemplo 2: Determine la distancia del centro O de una circunferencia de ecuación (x - 3)2 + (y - 2)2 = 144

a la cuerda AB de longitud 8 cm. R/ 8√2cm

C

B

A

O: centro

O



7

Ejemplo 3: Determine las coordenadas del centro O de una circunferencia, si los puntos A(-4.1,2.3),

B(-1.3,5.1), C(-4.1,1.7) y D(-1.3,-1.1) pertenecen a ella y son los extremos de las cuerdas AB CD .

R/(-1,2)

Teorema 2: Una recta perpendicular a un radio en su punto externo, es tangente a la circunferencia y

viceversa.

Ejemplo 1: De acuerdo con los datos de la figura adjunta, si “ l ” es tangente a la circunferencia en el

exterior del radio que mide 4ul . Determine el valor de “x”.

R/ 1ul

Ejemplo 2: Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia de ecuación (x - 4)2+(y +1)2=10,

si el punto de tangencia entre ambas figuras en (1,-2) R/ 2x + 5y - 25=0

punto

externo

O: centro

O

O: centro

O

l

x

3x



8

Ejemplo 3: Desde un punto P exterior a una circunferencia de centro O, se traza una semirrecta cuyo

extremo es el punto P y que es tangente a la circunferencia en el punto Q. si el punto P, está a 16cm del

punto Q y el diámetro de la circunferencia es 24cm. Determine la distancia del punto P al centro de la

circunferencia. R/ 20

Teorema 3: Considere los segmentos AP y AQ tangentes a una circunferencia de centro O en P y Q

respectivamente que se intersecan en el punto A, entonces se cumple que:

AP AQ , es decir

Las tangentes trazadas desde un mismo punto

exterior a una circunferencia, son congruentes.

OA es bisectriz del PAQ , es decir La recta que une al centro de la circunferencia

con un punto exterior, es bisectriz del ángulo que

forman las tangentes trazadas por ese punto a la

circunferencia. Ejemplo 1: De acuerdo con los datos de la siguiente figura, si ,AP BQ AB son tangentes a la

circunferencia de centro O. Hallar la medida del BQ . R/ 8cm

A

Q

P

O

B

A

AB = 14 cm

PA = 6 cm

O

R

Q

P



9

D

E

P

C

A B

Ejemplo 2: De acuerdo con la figura adjunta AP AQ son tangentes a la circunferencia de centro O.

Hallar la m POQ , si 35ºm OAQ . R/110º

Teorema 4: En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes, cuerdas de igual medida

(congruentes) equidistan del centro y viceversa.

Ejemplo: En una circunferencia de centro O, cuyo radio mide 10cm , trazamos dos cuerdas congruentes. Si

la medida de cada una de estas cuerdas es de 16cm , determine la distancia respectiva de cada cuerda al

centro de la circunferencia. R/ 6cm

Ejemplos:

En la figura adjunta, P es el centro de la circunferencia y AB CD

1) Si 10 8mPD cm mAE cm mCE ______ R/ 4

2) Si 34 30mCD cm mAB cm mAC ______ R/3 34

3) Si 6 , 2 5 2mAC cm mAB cm mEP mCE

______ mCD y mBD ______ R/ 6 y 30

A

O

Q

P

O: centroO

E

D

B

A

AB DE



10

Proposiciones sobre las relaciones métricas en la circunferencia

Proposición 1: En una misma circunferencia o en circunferencias congruentes se cumple que

A arcos congruentes se oponen cuerdas congruentes y viceversa

A mayor arco le corresponde mayor cuerda y viceversa.

A ángulos centrales congruentes se oponen cuerdas congruentes y viceversa

A ángulos centrales congruentes subtienden arcos iguales.

Proposición 2: Todo diámetro perpendicular a una cuerda biseca la

cuerda y los arcos que ésta determina.

Ejemplo: Una cuerda de 16cm de longitud está a 15cm del centro de la circunferencia, determine la

medida del diámetro de la circunferencia. R/34cm

Proposición 3: Toda tangente es perpendicular al radio que pasa por el punto de tangencia.

Ejemplo: De acuerdo con los datos de la siguiente figura, si el radio de la circunferencia es de 8cm,

determine el área de la región sombreada, considerando que AC BC son rectas tangentes a la

circunferencia en los puntos A B respectivamente. R/ 2(64 16 )cm

Proposición 4: Arcos comprendidos entre paralelas son congruentes y

viceversa

O: centro

O

O

O: centro



11

Medida de arcos y ángulos en radianes

Para medir un ángulo en radianes, se traza una circunferencia con centro en el vértice del ángulo, para

encontrar una relación entre el arco que subtiende a ese ángulo y el radio que se forma con los lados de

éste, como se observa en la siguiente figura

La medida del ángulo central y la amplitud del arco subtendido en

radianes es el cociente entre la longitud del arco en grados y el radio.

longitud arco

longitud radio

am radianes

r

Conversión de grados a radianes y viceversa

Si consideramos un ángulo central cuyo arco subtendido mide lo mismo que su radio tenemos que

longitud arco1

longitud radio

rm rad

r

Si el arco mide el doble que su radio, entonces 2

2 r

m radr

y así sucesivamente.

Entonces, cuál sería la medida de una revolución completa de 360º

22

rm rad

r

El resultado anterior nos permitirá determinar una fórmula para convertir grados en radianes y viceversa,

usando proporciones.

medida en medida en

360º 2

grd rad

Entonces

medida en medida en

180º

grd rad

Por lo tanto

180º m grd m rad

180ºm rad m grd

Ejemplo1: Determine la medida en radianes para los ángulos cuyas medidas respectivas en grados son

1) 30º 2) 225º 3) 175º 4) 53º

B: centro

mAC = a

a

r

r

C

B

A



12

Ejemplo2: Determine la medida en grados para los ángulos cuyas medidas respectivas en radianes son

1) 5

6

2)

3

3) 2 4)

2

5

La longitud de un arco

Como la longitud de la circunferencia es 2C r y corresponde a una revolución completa (360º) se

puede definir la siguiente razón:

2

360º

longitud r

amplitud

De manera similar se puede establecer la razón para un arco de longitud arbitraria AB , cuya medida en

grados es ºn , ie º

AB

n

Igualando ambas razones obtenemos la proporción 2

360º º

r AB

n

, entonces la longitud del arco esta dada por

º

180º

r nAB

La medida de un arco

En una circunferencia de centro O, la medida de sus arcos es la siguiente

360ºmABC m AOC

mAC m AOC

Ejemplo1: Si un ángulo central de 60º determina un arco AB en una circunferencia cuyo radio mide 3cm.

¿Cuál es la longitud de dicho arco? R/ cm

O : centro

O

C

BA



13

Ejemplo2: Expresar la fórmula de la longitud de un arco º

180º

rn, cuando la amplitud del ángulo central

está dada en radianes. R/ r n

Ejemplo 3: Una circunferencia de radio 10dm se ha dividido en 6 arcos congruentes, utilizando la longitud

de su radio. Luego se ha trazado las seis cuerdas congruentes definiendo así un hexágono regular inscrito

en dicha circunferencia.

3.1) Hallar la longitud de cada arco. 10

/3

R dm

3.2) Hallar la diferencia entre el perímetro del hexágono y la longitud de la circunferencia. R/ 2,83dm

Ángulos en la circunferencia

Ángulo Inscrito: es un ángulo formado por dos cuerdas o

secantes cuyo vértice se encuentra sobre la circunferencia.

Mide en grados la mitad del arco que subtiende

2

mACm ABC

Ejemplo1: En la figura adjunta el ángulo central alfa mide 70º. ¿Cuál es la medida del ángulo beta? R/35º

B

C

A

C

BA



14

Ejemplo2: Hallar la medida en grados de los arcos que subtienden el ángulo menor y el ángulo mayor de

los ángulos de un triángulo inscrito en una circunferencia, cuyos ángulos internos subtienden arcos que

están en la razón 1:2:3 R/60º, 120º y 180º

Ángulo semi-inscrito: es un ángulo cuyo vértice se encuentra

sobre la circunferencia y está formado por una cuerda (puede

ser una secante) y una tangente. Mide en grados la mitad del

arco que subtiende

2

mABm ABC

Ejemplo: En la siguiente figura se tiene que AD es tangente a la circunferencia en A, si la 48ºm ACB

y AC BC , halle la medida del DAC . R/ 66º

Ángulo exterior: es un ángulo formado por dos tangentes o secantes o bien por una tangente y una secante,

cuyo vértice se encuentra en el exterior de la circunferencia. Mide en grados la semidiferencia (mitad de la

resta) de los arcos que subtiende

2

AD ACm ABD

B

C

A

D

C

B

A

D

C

B

A



15

Si el ángulo exterior está formado por dos tangentes este se denomina ángulo circunscrito a la

circunferencia.

ABC es un ángulo circunscrito

CB

A

OO: centro

Ejemplo: En la figura AB AC son tangentes a la circunferencia en P y Q respectivamente, si la

56º 82ºm D m BPD , determine la medida del ángulo BAC. R/ 68º

Ángulo interior: es un ángulo formado por dos cuerdas o

secantes que se intersecan en el interior de la

circunferencia, su vértice se encuentra en el interior de la

misma ya que es el punto de intersección entre las cuerdas o

secantes. Mide en grados la semisuma de los arcos que

subtiende

2

AB CDm AEB

Ejemplo: En la figura adjunta PA PD son tangentes en A y D respectivamente. Si 50º ,m BEC

170º 60ºmABC mAD , determine la medida del , APD R/ 85º, 20º, 120º

56º

82º

Q

P

D

C

B

A

E

D

C

B

A

E

P

D

CB

A



16

Ejemplos

1. En la figura, se tiene que , , 40º , 70ºAB CD EB DF mAC m CDF y CD es un diámetro.

Halle x y , alpha, beta, gamma y m ABE R/ 140º

2. En la figura, O es el centro de la circunferencia, 2m OCB x m OAB x .Determine la medida

del ABC en términos de x. R/ 3x

3. En la figura AC BD son tangentes a la circunferencia, AC CD , 40º 50ºm ADB mEF .

Halle la .m DAC m BDC R/ 10º

4. En la figura se tiene que 60º 20ºm CBD mAB , determine la medida del .CPD R/50º

y

x

40º

70º

F

E

DC

BA

O C

B

A

E

D

BA C

F

PM

D

C

B

A



17

Teoremas

Teorema 5: Un ángulo cualquiera inscrito en una semicircunferencia es un ángulo recto.

Ejemplo: De acuerdo con los datos de la siguiente figura, si BC = AO y AC es un diámetro, ¿cuál es la

medida del DAB? R/ 150º

Teorema 6: Ángulos inscritos en el mismo arco son congruentes.

Ejemplo: Considere la circunferencia de centro O. Si 35ºm B , hallar la medida de los ángulos A y O.

R/ 35º,70º

Teorema 7: Si dos cuerdas se intersecan en el interior de una circunferencia, el producto de los segmentos

definidos en una de ellas es igual al producto de los segmentos determinados sobre la otra.

O: centroO

O: centro

ODC

B

A

O: centro

OD

C

B

A

O

D

C

B

A

E

D

C

BA

A B

AE EC BE ED



18

P

C

B

A

Ejemplo: Dos cuerdas de un círculo se cortan en un punto, la longitud de una de ellas es de 44cm y las

longitudes de la otra son 24cm y 16cm. Determine la longitud de las dos partes de la primera cuerda.

R/ 12 y 32

Teorema 8: Si una tangente y una secante se intersecan en el exterior de la circunferencia, la tangente es

medio proporcional1 entre la secante y su segmento exterior.

Ejemplo: Dada la siguiente figura y sabiendo que PA es tangente, determine

1. PC si 9 8PA cm PB cm R/81

8

2. PC si 8 20PA cm BC cm R/10 2 41

Teorema 9: Si dos secantes se intersecan en el exterior de una circunferencia, el producto de una de ellas por su segmento exterior es igual el producto de la otra por su segmento exterior

1 Si en una proporción los medios o los extremos son iguales, entonces éstos reciben el nombre de medio proporcional.

D

C

BA

E

D

C

BA

2DC AC BC

AC BC EC DC



19

Ejemplo: Dada la siguiente figura, determine:

1. PD si 6 , 15 8PA cm PB cm PC cm R/45

4 cm

2. PC si 24 , 16 32PB dm PA dm PD dm R/ 12dm

3. PB si 20 , CD 12 27PD ul ul AB ul R/ 32ul

Ejemplos

1. En una circunferencia se consideran dos cuerdas 12 15AB cm CD cm , las cuales se cortan en el

punto medio P de AB . Calcule la longitud de los segmentos PC PD R/3cm y 12cm.

D

C

BA P



20

2. Si GU es un diámetro de una circunferencia de centro Q, UV GR son rectas tangentes a la

circunferencia tales que GV interseca a la circunferencia en W. Si el GW mide el doble que UW y el

radio de la circunferencia mide 12cm, calcule la medida de GV . R/16 3

3. Considere una circunferencia de centro A y 8cm de radio, y otra de centro B y 10cm de radio. Si M es

un punto en la circunferencia de centro A, y N es un punto de de la circunferencia de centro B, tales que

la MN es tangente a ambas circunferencias. Si 24AB cm , calcule la medida de MN . R/ 6 7

4. En la siguiente figura, O es el centro de la circunferencia, además 70º , 25ºmAE m CBA y

60ºm EPD . Calcule la medida del arco menor DC ED . R/170º

AB

O P D

C

E

B

A



21

5. En la siguiente figura AB es un diámetro y la DC es tangente en C a la circunferencia de centro E.

Si 3

10 2

AB cm DC DA , calcule la medida de DA R/ 8cm

6. Considere la circunferencia de centro A, en la cual FH DE y los arcos menores DG GF son

congruentes. Si 4 10EH cm AG cm , calcule la medida de FH . R/8cm

Área y perímetro

El área de un circunferencia de radio “r ” y diámetro “d ” está dada por 2

2

4

dA r

y su longitud viene

dada por 2C r d

Porciones del círculo

Definición: La porción del plano comprendida entre dos circunferencias concéntricas recibe el nombre de

corona circular o anillo. Su área se calcula con la fórmula 2 2( )A R r

D

C

EB A

D

G

F

E

H

A

O: centro

r: radio de la circunferencia menor

R: radio de la circunferencia mayor



22

Ejemplo: El diámetro de un círculo de radio 2r se aumenta en 6cm. Halle el aumento de su área.

R/ 23 (2 1)r cm

Definición: un sector circular es una fracción del círculo limitada por dos radios y el arco de la

circunferencia que ellos subtienden. Su área se calcula con la fórmula 2 º

360º

r nA

Ejemplo: Calcular el área de un sector circular cuyo radio mide 5cm y su arco subtendido tiene una

longitud de 16cm. R/240cm

Definición: la región del círculo limitada por una cuerda y el arco cuyos extremos son los mismos de la

cuerda recibe el nombre de segmento circular.

Si el arco menor que forma el segmento circular esta limitado por dos radios, entonces su área es la

diferencia entre el área del sector y el triángulo que se forma entre los radios y la cuerda, es decir 2

360

r nA A

El área del triángulo se puede calcular con cualquiera de las fórmulas conocidas.

O: centro

r: radio de la circunferencia

no: medida del ángulo central

O: centro

r: radio de la circunferencia




23

Ejemplo: De acuerdo con los datos de la figura adjunta, determine al área sombreada. R/ 22

4cm

Definición: la porción de una corona circular comprendida entre dos radios se denomina trapecio circular.

Su área se calcula con la fórmula 2 2( ) º

360º

R r nA

Ejemplo: De acuerdo con los datos de la figura, si R es el radio de la circunferencia mayor, los radios

R r se encuentran en la razón 3:2 respectivamente y el área de la región sombreada es 245 cm , determine

la medida de cada uno de los radios. R/ 18 cm y 27cm

Ejemplos

1. Hallar el área de cada una de las siguientes regiones sombreadas.

A)

R/2(18 18 3)dm

O: centro, r =1cm

r

O

O: centro

r: radio de la circunferencia menor

R: radio de la circunferencia mayor


60º

120º

6

mAB

mCD

r dm



24

12

16

mAB

mBC

R/ 2(100 96)ul

7

40º

5

mOC cm

m

r cm

R/ 2224

9cm

2. En la figura A, B y C son centros de las circunferencias menores y DE es un diámetro de la

circunferencia de centro B. Si el área de la región sombreada es 224 cm , calcule la mEC . R/12cm

E DCBA



25

3. En la figura adjunta el ABC es equilátero, la longitud de cada uno de sus lados es de 6cm, los puntos

P, Q y R son los puntos medios de cada uno de los lados del triángulo. Los arcos ,PQ PR QR tienen

como centros los vértices del triángulo. Determine el área y el perímetro de la región sombreada.

R/ 218 3 9, 3

2A cm P cm

4. Determine el área de la región sombreada, considerando que las circunferencias tienen centro en el

punto medio de los lados de un cuadrado de lado 8cm. R/ 2(32 64)cm

5. Considere el siguiente cuadrado de lado 6cm. Determine el área de la región sombreada.

R/ 2(9 18)cm

Fuentes: Geometría y Trigonometría 11º, Reinaldo Jiménez

Matemática 10º- Enseñanza Aprendizaje, Roxana Meneses Folleto de Geometría, ITCR

Matemática para la Enseñanza Media Ciclo Diversificado, UCR

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