soluciones libro de algebra lineal

Notas de

Algebra Lineal

Respuestas a ejercicios escogidos

Sebastian Castaneda HernandezAgustın Barrios Sarmiento

Rafael Martınez Solano

Grupo Marea

Ediciones Uninorte

Barranquilla - Colombia

Capıtulo 1

Vectores en IR2 y IR3

1.1 Introduccion

Ejercicios 1.1.1 (pagina 5)

Ejercicio 2:(a). Si ~x = (x, y) se tiene

(x, y) + (2, 5) = 3(−3, 6)

(x + 2, y + 5) = (−9, 18)

de donde

x + 2 = −9

y + 5 = 18,

por lo que ~x = (x, y) = (−11, 13). Utilizando las propiedades de espaciovectorial de IR2, se tiene:

~x = 3~b − ~a

= 3(−3, 6) − (2, 5)

= (−9 − 2, 18 − 5)

= (−11, 13).

3

4 NOTAS DE ALGEBRA LINEAL

1.2 Sistema bidimensional de coordenadas


Ejercicio 1: ( Las respuestas en este ejercicio no son unicas.)

(a.) {(x, y) |x2 + y2 = 4} si escogemos un sistema rectangular de coordenadascuyo origen sea el punto P . Si el sistema se escoge, por ejemplo, de formaque el eje x sea tangente a la circunferencia y el eje y pase por el centro (verfigura) se tiene (en el caso mostrado) que la circunferencia queda descrita porla ecuacion x2 + (y − 2)2 = 4.

b.) Una ecuacion sencilla para la recta se obtiene escogiendola como uno delos ejes de coordenadas. Si, por ejemplo, la recta es el eje x su ecuacion esy = 0.c.) Escojamos el sistema de forma que los catetos queden sobre los ejes de co-ordenadas. Por ejemplo, consideremos el caso mostrado en la figura siguiente.

Entonces los lados del triangulo quedan descritos por:Cateto de 3 cms: {(x, 0) | 0 ≤ x ≤ 3}Cateto de 4 cms: {(o, y) | 0 ≤ y ≤ 4}Hipotenusa: {(x, y) | y = −4

3x + 4, 0 ≤ x ≤ 3}.

Capıtulo 1. Vectores en IR2 y IR3

5 Barrios / Castaneda / Martınez

Ejercicio 2:a.) Un semiplano.

e) Una circunferencia

Ejercicio 3:

(a.) En el plano, fijado un punto O, el conjunto de los puntos que esta a unamisma distancia, no nula, de O, es un conjunto infinito (una circunferencia)por lo que un mismo real positivo estarıa describiendo a un conjunto infinitode puntos del plano.b.) Para una recta fija L, el conjunto de los puntos del plano que estan auna misma distancia, no nula, de L es la union de dos rectas paralelas a L yes, por lo tanto, un conjunto infinito. Si consideramos distancias con signo,dependiendo de los semiplanos en los cuales queda dividido el plano por L, elconjunto de puntos correspondiente a un numero real es el conjunto de puntosde una recta paralela a L o L misma.

1.2 Segmentos dirigidos y vectores en IR2.


1.3 Segmentos dirigidos y vectores en IR2


Ejercicio 1:

(b.)−→PQ = (1,−4), si X es el punto final de un segmento equivalente a 〈P, Q〉,

entonces:X = (6,−4), si el segmento se ancla en R.X = (3,−7), si el segmento se ancla en Q.X = (0, 2), si el segmento se ancla en S.Si X es el punto inicial, entonces:X = (4, 4) si el punto final es R.X = (1, 1) si el punto final es Q.X = (−2, 10), si el punto final es S.(d.)Perımetro= 2

√17 + 3

√2.

Ejercicio 3:

(a.) (0, 2) (b.) (0,−2) (c.) 2(

cos(

π4

)

, sen(

π4

))

= (√

2,√

2) (d.) ±(2, 0)

(e.) (−2, 0).

Ejercicio 5:

Un punto S como el pedido satisface:−→RS = t

−→PQ, donde t es un real cualquiera.


Ejercicio 1:

(a.)‖−→PQ‖ =√

17, ‖−→PR‖ =√

13, ‖−→QR‖ =√

10. Las direcciones respecti-vas, como angulos en grados, son aproximadamente 72.96375, 123.69006 y198.43494.(b.) La no colinealidad de P, Q y R se sigue porque los vectores

−→PQ y

−→PR,

anclados en el mismo punto, P , no son paralelos por no ser multiplos entre sı.(d.) Una ecuacion vectorial es (x, y) = (−1 + t, 2 + 4t), t ∈ IR.

(e.)(

65, −1

5

)

,(

75, 3

5

)

,(

85, 7

5

)

,(

95, 11

5

)



Ejercicio 2:

(a.)(2, 0) (b.) 3√26

(−1, 5) (d.) 3√13

(−2, 3)

Ejercicio 4:

(a.) Eje X: (x, y) = (t, 0), t ∈ IR Eje Y : (x, y) = (0, s), s ∈ IR.(b.) (x, y) = (−1 + t, 5), t ∈ IR o (x, y) = (s, 5), s ∈ IR.(c.) (x, y) = (2 + t, 3 + 2t), t ∈ IR.(d.) (x, y) = (3t, 2 − 2t), t ∈ IR.(e.) (x, y) = (1 + 5t,−3 − t), t ∈ IR.(f.) (x, y) = (4 + 2t,−5t), t ∈ IR.

1.4 Sistema tridimensional de coordenadas


Ejercicio 2:

(b.)



(d.)

(h.)

(i.)



(l.)

Ejercicio 3:

(a.)Eje X : {(x, 0, 0) | x ∈ IR},Eje Y : {(0, y, 0) | y ∈ IR},Eje Z : {(0, 0, z) | z ∈ IR}

(b.)Plano XY : {(x, y, 0) | x, y ∈ IR},Plano Y Z : {(0, y, z) | y, z ∈ IR},Plano XZ : {(x, 0, z) | x, z ∈ IR}

(c.) {(x, y, 0) | (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1}. (d.) {(x, y, 2) | x2 + y2 = 4}.

Ejercicio 4:

(b.)−→PQ = (−2, 1,−1),

−→PR = (−1, 0, 2),

−→QR = (1,−1, 3).

(c.)√

6 +√

5 +√

11 ≈ 8.

(f.)(

13, 7

3, 8

3

)

,(

−13

, 83, 7

3

)

.

(i.) Una solucion se obtiene con el punto S cumpliendo la condicion−→PQ =

−→RS,

de donde S = R +−→PQ = (−2, 3, 4). Existen, por supuesto, otras soluciones.

Ejercicio 6:Si ~v = (x, y, z) 6= (0, 0, 0) y θ, ρ son los angulos directores, se tienen:

x = ‖~v‖Cos(ρ)Cos(θ)



y = ‖~v‖Cos(ρ)Sen(θ)

z = ‖~v‖Sen(ρ)

Ejercicio 7 (Las soluciones dadas abajo no son las unicas posibles:)

(a.) (x, y, z) = (1 − 2t, 3t, 2 + 2t), t ∈ IR.(c.) (x, y, z) = (1,−1, 3) + t(3,−1, 2), t ∈ IR.(d.) (x, y, z) = (0, 2,−1) + t(5, 1, 0), t ∈ IR.(f.) (x, y, z) = (0, t, 0), t ∈ IR.

1.5 El producto escalar


Ejercicio 1:

(a.) −6 (b.) (36, 72) (c.) −78 (d.) 105.25511, 164.74488, y 90 (grados).(e.) Cualquier vector de la forma (−5t, t) = t(5,−1), con t ∈ IR.(f.) ± 5√

5(1, 2).

Ejercicio 3:

Sugerencia: Escoja un sistema de coordenadas de modo que los vertices delcuadrado sean (0, 0), (L, 0), (0, L) y (L, L), donde L es la longitud de los ladosdel cuadrado.

Ejercicio 7:

(a.) Los puntos R y S deben satisfacer:

1.−→PR es un vector ortogonal a

−→PQ y con la misma norma.

2.−→QS =

−→PR

(b.) Encuentre R tal que−−→MR sea ortogonal a

−→PQ y cuya norma sea la mitad de

la norma del vector indicado. M es el punto medio del segmento con extremosen P y Q.



Ejercicio 8:

(a.)(

−2117

, 8417

)

,(

−6417

,−1617

)

. (b.) (−5, 0), (0, 4). (c.)(

413

, 613

)

,(

−6913

, 4613

)

.

(d.)(

413

, 613

)

,(

−6913

, 4613

)

. (e.)(

−2117

, 8417

)

,(

−6417

,−1617

)

.

Ejercicio 9:

(a.) 15√29

≈ 2.78543... (b.) 3√34

≈ 0.514495... (c.) 0.

Ejercicio 10:

Verifique que−→PQ • −→PR = 0.

Ejercicio 11:

(a.) 0. (b.) 1. (c.)√

10. (d.)√

29. (e.)√

26. (f.)√

5.

1.6 La ecuacion del plano


Ejercicio 1:

(a.) Ecuacion cartesiana 2x + 5z = 12. Una ecuacion vectorial es

(x, y, z) =(

t, s,12

5− 2

5t)

.

(b.) Una ecuacion cartesiana es x − y − z = −3. Son ecuaciones vectoriales

(x, y, z) = (t, s, 3 + t − s), t, s ∈ IR

o

(x, y, z) = (1 + 2t − s,−1 + 3t + s, 5 − t − 2s), t, s ∈ IR

(c.) 12x − y + 2z = 5 es una ecuacion cartesiana. Una ecuacion vectorial es

(x, y, z) = (s, 3 + 2t + 2s, 4 + t − 5s), t, s ∈ IR.



(d.) Una vectorial es (x, y, z) = (t + 2s, 2t − s, 3t + 4sw), t, s ∈ IR. Unacartesiana es 11x + 2y − 5z = 0.(e.) Ecuacion Cartesiana: 2x − z + 1 = 0. Una ecuacion vectorial es

(x, y, z) = (t, s, 2t + 1), t, s ∈ IR.

Ejercicio 2:

(b.) (i) (0,−5, 3). (ii) (24, 14,−9). (iii) (0, 1, 0). (iv) (0, 0, 0).

Ejercicio 6:(a.) De x−y +3z = 0 se obtiene x = y−3z y de aquı la ecuacionvectorial

(x, y, z) = (t − 3s, t, s) = t(1, 1, 0) + s(−3, 0, 1), t, s ∈ IR.

Los vectores (1, 1, 0), (−3, 0, 1) son un par de generadores del plano. Los demasson similares.

Ejercicio 7: Haga los calculos directamente aplicando las definiciones.

Ejercicio 8: Haciendo calculos directos puede probarse que

‖~u × ~v‖2 = ‖~u‖2‖~v‖2 − (~u • ~v)2

lo que equivale a

‖~u × ~v‖2 = ‖~u‖2‖~v‖2 − ‖~u‖2‖~v‖2Cos2(θ)

= ‖~u‖2‖~v‖2(1 − Cos2(θ))

= ‖~u‖2‖~v‖2Sen2(θ)

de donde se obtiene lo deseado.

Si ~u y ~v no son paralelos, el area del paralelogramo determinado por dosrepresentantes anclados en el mismo punto es

‖~u|‖~v‖Sen(θ) = ‖~u × ~v‖.



Para un vector ~w como el indicado, la altura del paralelepıpedo determinadopor los tres vectores es

‖Proy~u×~v ~w‖ =|(~u × ~v) • ~w|‖~u × ~v‖ ,

de donde se sigue que el volumen generado es |(~u × ~v) • ~w|.

Ejercicio 9:Los vectores no nulos ~u y ~v son paralelos si, y solo si ~u × ~v = (0, 0, 0). Sededuce que el area generada por dos vectores no nulos es nula si, y solo si sonparalelos. De igual forma se tiene que el volumen generado por tres vectores nonulos es cero si y solo si el triple producto escalar es cero. De allı se concluyen:

• Tres puntos P, Q, R son colineales si, y solo si ~PQ × ~PR = (0, 0, 0).

• Los puntos P, Q, R y S son coplanares si, y solo si

~PQ •(

~PR × ~PS)

= 0.

Ejercicio 13:

Si Qes un punto cualquiera del plano, entonces la distancia del punto P (x0, y0, z0)al plano de ecuacion ax+by+cz = d (con vector normal ~n = (a, b, c) 6= (0, 0, 0))es

D = ‖Proy~n−→QP‖

=|~n • −→QP |

‖~n‖

=|~n • P − ~n • Q|

‖~n‖

=|ax0 + by0 + cz0 − d|√

a2 + b2 + c2


Capıtulo 2

Matrices y sistemas deecuaciones lineales

2.1 El espacio IRn


Ejercicio 1:

(a.) (−5,−2, 15, 2). (b.) −45. (c.) 3√

3 ≈ 5.19615.... (d.)√

53 ≈ 7.2801....(e.) Cualquier vector de la forma

(t − 3s − 4r, t, s, r) = t(1, 1, 0, 0) + s(−3, 0, 1, 0) + r(−4, 0, 0, 1)

donde t, s y r son reales arbitrarios.

Ejercicio 4:

(b.) ‖α~x‖ =√

(α~x) • (α~x) =√

α2(~x • ~x) = |α|‖~x‖(c.) Utilizando (d.) (siguiente demostracion) se tiene:

‖~x + ~y‖2 = (~x + ~y) • (~x + ~y)

= ‖~x‖2 + 2(~x • ~y) + ‖~y‖2

≤ ‖~x‖ + 2‖~x‖‖~y‖ + ‖~y‖2

= (‖~x‖ + |~y‖)2

15


de donde se sigue la desigualdad triangular.(d.) Para todo real λ se tiene

(~x − λ~y) • (~x − λ~y) = ‖~y‖2λ2 − 2(~x • ~y)λ + ‖~x‖2 ≥ 0.

Si ~y 6= ~O, entonces escogiendo λ = ~x•~y‖~y‖2 se sigue que

‖~x‖2‖~y‖2 ≥ |~x • ~y|2

de donde se tiene la desigualdad pedida. Si ~y es el vector cero, el resultado estrivial.

Ejercicio 5:

Si ~x, ~y son vectores no nulos, se sigue de la desigualdad de Cauchy-Schwarzque

−1 ≤ ~x • ~y

‖~x‖‖~y‖ ≤ 1,

definiendo

θ = Cos−1

(

~x • ~y

‖~x‖‖~y‖

)

se sigue lo pedido.

Ejercicio 6:

(a.) Para ~x distinto del vector cero, se tiene

∥

∥

∥

∥

∥

1

‖~x‖~x

∥

∥

∥

∥

∥

=

∣

∣

∣

∣

∣

1

‖~x‖

∣

∣

∣

∣

∣

‖~x‖

= 1.

(b.) Suponga que ~x y ~y son paralelos, muestre que uno de los dos

(

1

‖~x‖~x − 1

‖~y‖~y

)

•(

1

‖~x‖~x − 1

‖~y‖~y

)

o

(

1

‖~x‖~x +1

‖~y‖~y

)

•(

1

‖~x‖~x +1

‖~y‖~y

)

Capıtulo 2. Matrices y sistemas de ecuaciones lineales


es cero. Concluya que1

‖~y‖~y = ± 1

‖~x‖~x,

de donde se sigue que ~x, ~y son multiplos el uno del otro.Recıprocamente, demuestre que si uno de ellos es multiplo del otro, entonces

~x • ~y = ±‖~x‖‖~y‖(

o que~x • ~y

‖~x‖‖~y‖ = ±1

)

.

Ejercicio 7:

(a.) 1√27

(1,−1, 3, 4), 1√22

(3, 0,−3, 2), 1√10

(0, 0,−1, 3).

(b.) ± 2√27

(1,−1, 3, 4).

(c.) 2 1‖~v‖~v, donde ~v = (x, y, z, w) con 3x − 3z + 2w = 0.

(d.) 56.789089... grados, aprox.

Ejercicio 8:

La recta que “pasa” por X0 ∈ IRn y es paralela a ~x ∈ IRn−{ ~O} es el conjuntode puntos X que satisfacen:

X = X0 + t~v, t ∈ IR.

2.2 La ecuacion lineal en n variables


Ejercicio 1:

(a.) Lineal en u = x2, y y z, con u ≥ 0.(c.) Lineal en u = sen(3x), v = cos(2y), w = tan(z), con u, v ∈ [−1, 1],w ∈ [−2, 2].

Ejercicio 2:

2.2 La ecuacion lineal en n variables


(a.) No son equivalentes: Para cualquier t ∈ IR − {53}, se tiene que (0, t) es

solucion de (2x + 3y)x = 5x pero no lo es de 2x + 3y = 5.(b.) No son equivalentes.(c.) Son equivalentes si, y solo si c 6= 0.

Ejercicio 3:

(a.) S = {(2 − t − 3s, t, s) | t, s ∈ IR}. Generadores: {(−1, 1, 0), (−3, 0, 1)}.

(b.) S ={(

3 + 32t, t)

| t ∈ IR}

={(

s, 23s − 2

)

| s ∈ IR}

. Un conjunto de

generadores es {(3, 2)}(

o{(

32, 1)}

, o{(

1, 23

)})

.

(c.) S = {5}. Generador: {0}.

(d.) S = {(5, t, s, r) | t, s, r ∈ IR}.Generadores: {(0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}.

(e.) S ={(

t, 32, s, r

)

| t, s, r ∈ IR}

.

Generadores: {(1, 0, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}.

(f.) S = {(t, s, r, 6 − 2t − 3s + 4r + u, u) | t, s, r, u ∈ IR}.Generadores: {(1, 0, 0,−2, 0), (0, 1, 0,−3, 0), (0, 0, 1, 4, 0), (0, 0, 0, 1, 1)}.

Ejercicio 4:

La afirmacion es verdadera si, y solo si la ecuacion es homogenea.

2.3 Sistemas m × n


Ejercicio 1:

(a.) (a, b) es una solucion de a + 2b = 3. Ası, a = 3 − 2b donde b es un realarbitrario.(c.) a = 1, b = 2.



Ejercicio 2:

(a.) a 6= −3. (b.) a 6= 1. (c.) a es un real cualquiera.(d.) a 6= 0 y a 6= −6. (e.) Para ningun valor de a.

Ejercicio 3:

(a.) Infinitas soluciones para a = −3. El sistema es siempre consistente.(b.) Infinitas soluciones si a = 1. El sistema es consistente siempre.(c.) El sistema tiene solucion unica para todo valor de a.(d.) Infinitas soluciones si a = −6, inconsistente si a = 0.(e.) Infinitas soluciones si a = 6, inconsistente si a 6= 6.

Ejercicio 4:

(a.) S ={(

53, 10

3+ t, t

)

| t ∈ IR}

.

(b.) S = {(1, 2 − t, t,−1) | t ∈ IR}.

(c.) S ={(

−6710

, 4710

, −185

, 465

)}

.

(d.) S ={(

t, 0,−49

+ 13t, 5

3− 1

6t,−26

3+ 6t

)

| t ∈ IR}

.

(e.) Inconsistente: S = ∅.

Ejercicio 5:

(a.) Sh = {(0, t, t) | t ∈ IR}. Generado por (0, 1, 1).

(c.) Sh = {(0, 0, 0, 0)}. Generado por (0, 0, 0, 0).

(e.) Sh ={(

t, s, 13t + 1

9s, 5

6s − 1

6t, 6t + 2

3s)

| t, s ∈ IR}

.

Generado por: (6, 0, 2,−1, 36) y (0, 8, 2, 15, 12).

Ejercicio 6:

2.3 Sistemas m × n


(a.) Todo sistema formado por ecuaciones lineales de la forma ax+by+cz = d,donde (a, b, c, d) es una solucion de la ecuacion homogenea a+2b+3c−d = 0.

(c.) La forma escalonada reducida es

1 0 0 10 1 0 20 0 1 30 0 0 0

, realizando operaciones

elementales adecuadas sobre esta se logra que el ultimo renglon no sea nulo.

(e.) Un sistema “mınimo” es x = 2, z = 0, w = 3 + y.

Ejercicio 7:

(a.) Solucion unica si |a| 6= 3.

(b.) Infinitas soluciones si a = 3.

(c.) Inconsistente si a = −3.

Ejercicio 9:

(a.) Geometricamente, es claro que no. Algebraicamente, se tiene que elsistema homogeneo

x + y + 2z = 0−x + 2y + 5z = 02x + 4y − z = 0

tiene como unica solucion la trivial (0, 0, 0).

(b.) {t(1,−7, 3) | t ∈ IR}.

(c.) ± 2√59

(1,−7, 3).

Ejercicio 11:

(a.) (x, y, z) =(

−2 + 133t, 4 − 11

3t, t)

, t ∈ IR.

(b.) (x, y, z) =(

1319

− 219

t,− 919

+ 3519

t, t)

, t ∈ IR.



Ejercicio 14:

(a.) y (d.) L.I , en los demas la respuesta es L.D.

Ejercicio 15:

Resuelva los sistemas

1 0 32 2 03 5 05 −1 −3

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

357−4

,

6 3 31 −2 02 5 03 −1 6

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

357−4

,

3 1 0 95 2 2 37 3 5 0−4 −8 −1 10

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

∣

357−4

.

~v = (3, 5, 7,−4) sera, en cada caso, combinacion lineal de los vectores dados,si el sistema correspondiente es consistente.

Ejercicio 17:

(a.) Demuestre que el sistema(

1 22 3

∣

∣

∣

∣

xy

)

tiene solucion unica para todo par

(x, y) ∈ IR2.

(b.) Dos vectores de IR3 generan o a {(0, 0, 0)}, o a una recta ( si son paralelos)o a un plano (si son no nulos y no paralelos).

(c.) Si ~v = (v1, v2), ~w = (w1, w2) son l.i, entonces

∣

∣

∣

∣

v1 w1

v2 w2

∣

∣

∣

∣

6= 0, por lo que

todo sistema(

v1 w1

v2 w2

∣

∣

∣

∣

xy

)

tiene solucion (unica, ademas).

Ejercicio 18:

Si ~v1, . . . , ~vm son vectores de IRn, con m > n, entonces el sistema ho-mogeneo (en las variables α1, . . . , αm)

α1 ~v1 + α2 ~v2 + . . . + αm ~vm = ~O

tiene infinitas soluciones, de donde se sigue que los vectores son l.d.

2.3 Sistemas m × n


Ejercicio 19:

(a.) Las coordenadas de P, Q y R deben satisfacer la ecuacion x2 + y2 + dx +ey + f = 0. Reemplazando dichas coordenadas en la ecuacion indicada seobtiene un sistema 3 × 3 en d, e y f . La ecuacion pedida queda determinadacon la solucion del sistema.

(b.) Como en el ejercicio anterior, la circunferencia existe si el sistema obtenidoes consistente.

(c.) Muestre que el sistema obtenido (como en los ejercicios anteriores) paraP (x0, y0), Q(x1, y1) tiene infinitas soluciones.

(d.) Analice el sistema obtenido para los tres puntos dados.

Ejercicio 21:

(a.)Si P (x0, y0), Q(x1, y1), R(x2, y2) son tres puntos distintos de la parabolade ecuacion y = ax2 + bx + c y Ax + By = C es la ecuacion de una rectaque contiene a los tres puntos, entonces el sistema 6 × 6 (en a, b, c, A, B, C),obtenido al reemplazar por las coordenadas de los puntos en las ecuaciones,es inconsistente a menos que dos de los puntos sean iguales. Puede tambienresolverse mostrando que los vectores

−→PQ y

−→PR no son paralelos a menos que

x1 = x2.

(c.) Como en el anterior.

2.4 Matrices y operaciones matriciales


Ejercicio 1:

(a.)



(i)(

3 96 27

)

(ii)(

7 −615 14

)

(iii)(

10 −624 20

)

(iv)(

7 36 14

)

(v)(−2 5−5 3

)

(vi) (6, 27) (vii)(−15

8

)

(viii) (0, 4)

(ix)(

13−1

)

(x)(

29

)

(b.)

(i) X = 2A − C =(

1 4−1 9

)

.

(ii) Y =(

1 3−6 2

)

− 23X, donde X ∈ IR2×2.

(iv) Y =(

8 15−9 16

)

− X, X ∈ IR2×2.

Ejercicio 2:

(a.)

(i)(

12 14 136 14 40

)

(ii) No esta definida. (iii) No esta definida.

(iv)

−1 010 −721 20

(v) No esta definida (vi) (6, 14, 40)

(vii)

094

(viii) (−3, 7, 19) (ix)(

2−24

)

(x)

7−211

(b.)



(i) X = 2A − C =(

5 4 22 7 12

)

.

(ii) Y =(

2 0 −20 4 0

)

− 23X, donde X ∈ IR2×3.

(iv) No existen matrices que cumplan la condicion.

Ejercicio 4:

(c.) Sean A = (aij), AT = (bij), si A es antisimetrica entonces bij = aji = −aij ,

de donde se sigue lo pedido.

(d.)

(

1

2(A + AT )

)T

=1

2(AT + (AT )T )

=1

2(A + AT )

(

1

2(A − AT )

)T

=1

2(AT − (AT )T )

= −1

2(A − AT )

Por otra parte, A es claramente la suma de las dos matrices consideradas.

(e.) Las matrices cuadradas nulas.

Ejercicio 5:

Para buscar un conjunto de generadores observe que, en el caso 2 × 2, lasmatrices simetricas son de la forma

(

a11 a12

a12 a22

)

= a11

(

1 00 0

)

+ a12

(

0 11 0

)

+ a22

(

0 00 1

)

.

Ejercicio 6:



(a.) Es una base pues los tres vectores son l.i.(b.) Sı(d.) No, los vectores son l.d.

Ejercicio 7:

Muestre que tanto la suma de dos combinaciones lineales de los vectores da-dos como el producto de un escalar por una combinacion lineal de ellos, soncombinaciones lineales de los mismos.

Ejercicio 11:

(b.) Para toda A =(

a11 a12

a21 a22

)

∈ IR2×2 se tiene:

A = a11B1 + a12B2 + a21B3 + a22B4.

(d.) Ninguna matriz(

a11 a12

a21 a22

)

, con a22 6= 0 puede obtenerse como combi-

nacion lineal de B1, B2 y B3.

Ejercicio 13:

(a.)

AB =(−2 −11

33 12

)

, BA =

4 7 0−1 0 −1413 22 6

,

BC =

4 −3 11 −1−1 6 −1 −513 −12 35 −1

, CB no esta definida.

(b.) 15.

(c.)



(ii) X =

1 − 14t −6 − 14s 1 − 14u 5 − 14v8t 3 + 8s 8u + 1 8v − 3t s u v

, (iv) No hay solucion

t, s, u, v ∈ IR

(vi) X =

3649

−5749

27449

−143490

451490

−16949

− 12245

19245

−1549

. (viii) No hay solucion.

Ejercicio 17:

Si Ai = (0, 0, . . . , 0) ∈ IRn es una fila de A ∈ IRm×n, entonces para toda matrizB ∈ IRn×p se tiene

(AB)i = AiB = (0, 0, . . . , 0) ∈ IRp.

En forma similar si B(j) es una columna nula de B, entonces

(AB)(j) = AB(j)

es una columna nula del producto.

Ejercicio 18:

Es claro que una tal matriz A es cuadrada. Sea D =

δ1 0 0 . . . 00 δ2 0 . . . 00 0 δ3 . . . 0...

......

...0 0 0 . . . δn

una matriz diagonal n × n, entonces los elementos de la fila i, columna j deAD y DA son iguales. Es decir:

AiD(j) = DiA

(j)



(ai1, ai2, . . . , aij , . . . , ain)

00...δj

...0

= (0, 0, . . . , δi, . . . , 0)

a1j

a2j

...aij

...anj

δjaij = δiaij

para todo i, j ∈ {1, 2, . . . , n}. Puesto que vale para todo matriz diagonal, siδi 6= δj siempre que i 6= j se sigue que aij = 0 si i 6= j. Ası, A es una matrizdiagonal.

Ejercicio 21:

(a.) X = I2 (b.)(

1 − 2t 2 − 2st s

)

, t, s ∈ IR.

(c) X = I3

2.5 Matrices invertibles


Ejercicio 1:

(a.)( 1

21

0 32

)

. (b.)( 5

3283

23

133

)

. (c.)( 2

343

0 23

)

. (d.)( 1

30

−23

13

)

.

Ejercicio 2:

(a.) λ /∈ {1,−2}. (b.) λ 6= ±√

33. (c.) λ 6= 0.

Ejercicio 3:

2.5 Matrices invertibles


(a.)(

2 3−3 4

)−1

=( 4

17− 3

17317

217

)

,(

2 34 6

)

es singular. (b.)

1 −14

14

0 −74

−54

0 54

34

.

(c.)

−19

−16

118

509

−136

− 518

−103

32

16

. (d.)

297

− 597

−2097

3997

−1297

3097

2397

−4097

2297

−5597

−12397

13897

−3797

4497

7997

−9197

Ejercicio 5

(a.) Si. (b.) No. (c.) Si. (d.) Si.

Ejercicio 7

Se tiene que (In + A)T = In + AT = In − A, por lo que esta ultima esinvertible por ser transpuesta de una matriz invertible. Para demostrar que(In+A)−1(In−A) es ortogonal, debe probarse que su inversa es su transpuesta;es decir que

(In + A)−1(In − A)(In − A)T ((In + A)−1)T

= (In + A)−1(In − A)(In + A)(In − A)−1

= In

pero esto se sigue facilmente si In − A e In + A conmutan lo que, en efecto,sucede

(In − A)(In + A) = In(In + A) − A(In + A)

= In + A − A − AA

= (In + A)In − (In + A)A

= (In + A)(In − A)

De manera similar se puede probar la ortogonalidad de (In − A)−1(In + A)


Capıtulo 3

Determinantes

3.1 Introduccion

3.2 Permutaciones


Ejercicio 1:

(a.) α es impar (5 inversiones), β es impar (3), π es par (10).

(b.) α−1 = ( 4 1 3 5 2 ) , β−1 = ( 1 4 2 5 3 ) , π−1 = π.

(c.)

αβ = ( 3 4 5 1 2 )

βα = ( 2 3 4 5 1 )

απ = ( 4 1 3 5 2 )

πβ = ( 4 2 5 3 1 )

3.3 Determinante de una matriz cuadrada


Ejercicio 1:

(a.) 16. (b.) 0. (c.) 0.

29


Ejercicio 3:

(a.) −1±2√

2. (b.) −2±2√

3i. (c.) 2, 5. (d.) 1, 12(1±

√15i).

3.4 Teoremas basicos


Ejercicio 1:

(a.) −12. (b.) 0. (c.) 0. (d.) 28. (e.) 14.

Ejercicio 2:

(a.) −64. (b.) −4. (c.) 4. (d.) −64. (e.) −64. (f.) −2. (g.) 8.

Ejercicio 3:

(a.) −30. (b.) −5. (c.) −5.

Ejercicio 7:

(a.) p(x) = 43π

x − 43π2 x

2. (b.) p(x) = 1 − 143π

x + 83π2 x

2.

(c.) p(x) = 1+ e2−12e

x+ (e−1)2

2ex2. (d.) p(x) = 16

3πx− 8

π2 x2 + 8

3π3 x3

3.5 Otras propiedades del determinante


Ejercicio 1:

(a.) −545. (b.) − 1

10. (c.) −135

4. (d.) −2

5. (e.) −5

2.

Capıtulo 3. Determinantes


Ejercicio 2:

(a.) Para todo real λ /∈ {0, 5,−32}.

(b.) Para todo real λ /∈ {0, 5,−32, 3,−3}.

(c.) Para los mismos valores del ejercicio anterior.

Ejercicio 4:

Si A es ortogonal, entonces A−1 = AT . Aplique determinante en ambos miem-bros de la identidad anterior para obtener el resultado pedido.

Ejercicio 5

De AT = −A se sigue que 2det(A) = 0, de donde det(A) = 0.

3.6 Cofactores y regla de Cramer


Ejercicio 1:

(a.) x = −1013

. (b.) y = 1. (c.) w = 0.

3.6 Cofactores y regla de Cramer


Capıtulo 3. Determinantes

Capıtulo 4

Espacios vectoriales

4.1 Introducion

4.2 Definiciones y propiedades basicas


Ejercicio 1:

(a.) Sı (b.) No. (c.) Lo es si, y solo si b = 0. (d.) No. (e.) No.

Ejercicio 3:

Si ~O ∈ S, la combinacion lineal 1 ~O = ~O es una combinacion lineal nula notrivial de elementos de S.

Ejercicio 6:

(a.) No (b.) Sı. (c.) Sı. (e.) Sı. (f.) Sı.

Ejercicio 9:

33


(a.)(i) {(t, 3t) | t ∈ IR}

(ii) IR2

(iii) {(0, 0)}.

(iv) IR2

(c.)(i) {(t, 2t, 3t) | t ∈ IR}

(iii) El plano xy.

(v) El plano generado por (2,−1, 5) y (3, 2, 4).

(d.)(i) {p(x) = a + bx | a, b ∈ IR} = P1.

(iii) P2.

(iv) P1.

Ejercicio 15:

(a.) (i) l.d. (ii) l.d. (iii) l.i.

(b.) (i) l.i (ii) l.i. (iii) l.i (iv) l.i. (v) l.d.

(c.) (i) l.d. (ii) l.i. (iii) l.i.

Capıtulo 4. Espacios vectoriales

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