algebra lineal libro

Notas de Algebra Lineal

Edwin Giovanny Villalba Urrea

Ivan Leonardo Galeano Saavedra

Julian Ariel Romero Barbosa

Julio 2008

Indice

1 Espacios Vectoriales 11.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Anillos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 Cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.1.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.2 Espacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Dependencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.1 Independencia Lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.3.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.1 Sistema de Generadores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4.2 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.4.3 F.L.M. y S.M.G. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.4.4 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.5 Subespacios Vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.5.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2 Transformaciones Lineales 372.1 Transformaciones Lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.1.1 Teorema Fundamental del Algebra Lineal . . . . . . . . . 442.1.2 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

2.2 Transformaciones Lineales y Matrices . . . . . . . . . . . . . . . 532.2.1 Forma Normal Natural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632.2.2 Forma normal de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . 642.2.3 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

3 Determinantes 753.1 El Grupo Simetrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

3.1.1 Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.2 Formas n-lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.3 El Determinante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

A Algunas aplicaciones en Derive 87

iii

iv INDICE

Introduccion

La matematica actual se caracteriza por el predominio del algebra, inclusolos expertos hablan de la algebrizacion de todas las ramas tradicionales de lamatematica, tendencia que como es sabido se origino con los geniales trabajosde Galois en donde nacio la nocion de grupo. Mas tarde aparecieron la teorıaabstracta de grupos y otras teorias como la de los cuaterniones de Hamilton ola de matrices, a partir de las cuales se fue edificando lo que acutalmente seconoce como Algebra Lineal.

El Algebra Lineal es paradojicamente una de las ramas de las matematicasmas antigua y una de las mas nuevas, pues aborda problemas que datan desdelos tiempos de los babilonios como lo son los sistemas de ecuaciones lineales ycuriosamente uno de sus conceptos fundamentales, el de espacio vecotrial solovio la luz hasta 1888 de manos del matematico italiano Giussepe Peano.

La mayoria de los matematicos importantes del los siglos XVII y XIX es-tan vinculaddos de una u otra manera con las ideas y conceptos mas impor-tantes del Algebra Lineal pero el papel protagonico lo ocuparon definitivamenteWilliam Hamilton, Hunter Grasmmann , Charles Hermite, y especialmenteJhosep Sylvester y Arthur Cayley.

Actualmente existe la tendencia de omitir las partes engorrosas en la pre-sentacion de una teorıa para concentrarse fundamentalmente en los resultados,esto con la intencion de facilitar y agilizar su comprencion por parte del es-tudiante. Sin embargo el curso de Algebra Lineal impartido por el profesorIvan Castro en la Univerisdad Nacional prueba que este objetivo solo puede serobtenido por medio de una exposicion clara, detallada, pausada y sin omisionesde los contenidos que la conforman la teoria en cuestion (Algebra Lineal en nue-stro caso), ademas de un intenso y constante trabajo por parte del estudiante.

Las presentes notas constituyen en terminos generales un resumen de los temasfundamentales a tratar en un primer curso de Algebra Lineal. Aunque, comoel mismo Hilbert lo diria, axiomatizar una teorıa es saber realmente de loque se esta hablando, siempre que es posible, los temas que son tradicional-mente introducidos axiomaticamente (determinantes por ejemplo) tienen aquiun tratatamiento constructivo.

v

vi INTRODUCCION

.

Oigo y olvido

Leo y entinedo...

Hago y aprendo

George Polya.

Capıtulo 1

Espacios Vectoriales

El Algebra Lineal es tal vez unos de los temas mas trascendentales (por no decirdifıciles) de un estudiante de primeros semestres de Matematicas, llenandolo deTeoremas y Definiciones que no son tan palpables a primera vista (como tal vezlo es un curso de Calculo I en sus inicios) y los cuales estan en una terminologıacasi nueva, generando en el estudiante los primeros pasos dentro del denominadoReflejo Simbolico. Debido a esto, este capıtulo es de vital importancia para queel estudiante de Algebra Lineal empiece con el pie derecho sus estudios, y logrecompletar exitosamente el curso. Daremos a continuacion unas preliminarespara tener muy buenas bases y solidificar la teorıa que se va a desarrollar.

1.1 Preliminares

Definicion 1 - 1 - 1 Una Ley de Composicion Interna en un conjunto Aes una aplicacion

∗ : A×A −→ A(a, b) 7−→ a ∗ b

Tal como el estudiante encontro en sus primeros cursos de matematica, decimosque ∗ es asociativa si a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c y conmutativa si a ∗ b = b ∗ a paratodos a, b, c ∈ A.

Ejemplo 1 - 1 - 1 Sea A = {], [, \} definimos

∗ : A×A −→ A(a, b) 7−→ [

Es ∗ asociativa y/o conmutativa?

Ejemplo 1 - 1 - 2 Las operaciones suma y producto usuales en R , son leyesde composicion interna.

1

2 CAPITULO 1. ESPACIOS VECTORIALES

1.1.1 Anillos

Definicion 1 - 1 - 2 Sea A un conjunto, y +,· dos leyes de composicion in-ternas sobre A. Un Anillo es una terna (A,+, ·), que cumple las siguientescondiciones:

1. a+ (b+ c) = (a+ b) + c para todo a, b, c de A.

2. a+ b = b+ a para todo a, b de A.

3. Existe un elemento 0 en A tal que a+ 0 = a para todo a en A.

4. Para todo a en A existe −a, tambien en A, tal que a+ (−a) = 0.

5. a · (b · c) = (a · b) · c para todo a, b, c en A.

6. a · (b+ c) = a · b+ a · c y (a+ b) · c = a · c+ b · c para todo a, b, c en A.

Hay que resaltar que los sımbolos + y · no siempre se utilizan como la suma yproducto ( aunque los llamaremos ası por comodidad ) usuales de R, se usaranpara cualquier terna (A,+, ·) sin implicar que los operadores sean siempre losmismos. Llamaremos Neutro al 0 de A e Inverso Aditivo de a el elemento −a,estos dos elementos son unicos puesto que si 0 y 0’ son neutros de A, entonces0 = 0 + 0′ = 0′ + 0 = 0′, y si -a y b son inversos aditivos de a, entoncesb = 0+b = (−a)+a+b = (−a)+0 = −a. En general notaremos a+(−b) = a−b.

Ejemplo 1 - 1 - 3 Sea A = Z2 = {0, 1}, definimos

+ 0 10 0 11 1 0

· 0 10 0 01 0 1

La tripla (Z2,+, ·) es un anillo. La demostracion se deja al lector como ejercicio.

Observe que en el anterior ejemplo se cumple que 1 · 0 = 0 = 0 · 1, y ademasque 1 · 1 = 1, las cuales son propiedades muy importantes, tan importantes quemerecen dar una definicion.

Definicion 1 - 1 - 3 Sean (A,+, ·) un anillo,

• Si a · b = b · a para todo a, b ∈ A, decimos que el Anillo es Conmutativo.

• Si existe 1 ∈ A tal que para todo a ∈ A, 1 · a = a entonces decimos que elAnillo es Unitario.

Ejemplo 1 - 1 - 4 Sea A = {], [, \}, definimos

+ \ ] [\ \ ] [] ] [ \[ [ \ ]

· \ ] [\ \ \ \] \ ] [[ \ [ ]

(A,+, ·) es un anillo conmutativo y unitario. Cuales son 1 y 0 en A?.

1.1. PRELIMINARES 3

Definicion 1 - 1 - 4 Sean (A,+, ·) un anillo unitario y a ∈ A, si existe b ∈ Atal que a·b = 1, decimos que a es unaUnidad. En particular, a b lo denotaremoscomo a−1 y lo llamaremos inverso de a.

Note que si b y a−1 son inversos de a, entonces b = b·1 = b·a·a−1 = 1·a−1 = a−1,ademas que si a ∈ A, 0a = (0 + 0)a = 0a + 0a implicando 0a = 0, de donde esimposible que 0 sea una unidad.

Definicion 1 - 1 - 5 (A,+, ·) es un Anillo de Division, si es unitario, con1 6= 0 donde todo elemento de A es una unidad exceptuando al cero.

Ejemplo 1 - 1 - 5 (A,+, ·) del Ejemplo 1-1-4 es un anillo de division.

Ejemplo 1 - 1 - 6 Sea Z3 = {0, 1, 2} y (A,+, ·) del Ejemplo 1-1-4. Definimos

σ : Z3 −→ A0 7−→ \1 7−→ ]2 7−→ [

τ : A −→ Z3

\ 7−→ 0] 7−→ 1[ 7−→ 2

Por lo tanto, sean

⊕ : Z3 × Z3 −→ Z3

(a, b) 7−→ τ(σ(a) + σ(b))¯ : Z3 × Z3 −→ Z3

(a, b) 7−→ τ(σ(a) · σ(b))

(Z3,⊕,¯) es un anillo de division. Por que?.

1.1.2 Cuerpos

Definicion 1 - 1 - 6 Llamamos Cuerpo a un Anillo de Division Conmuta-tivo. Notaremos en general a los cuerpos con la letra K.

Note que si K es un cuerpo y a, b, c ∈ K con a 6= 0, entonces

ab = ac

a−1ab = a−1ac

b = c

De donde, si a 6= 0, entonces ab = 0 implica ab = a0, por lo tanto b = 0. Y noexisten a, b ∈ K ambos diferentes de cero, tales que ab = 0.

Ejemplo 1 - 1 - 7 Los conjuntos R y Q son un cuerpos.

Ejemplo 1 - 1 - 8 La tripla (Z4,+, ·) con Z4 = {0, 1, 2, 3}, donde

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

· 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

No es un Cuerpo, puesto que 2 no es una Unidad


Hemos visto que se han utilizado los conjuntos Z2,Z3,Z4, estos conjuntos sonla base de la llamada Aritmetica Modulo n. Decimos que a ≡ b (mod n) (dichocomo, a congruente con b modulo n) si y solo si a = b + kn para algun k ∈ Z,por ejemplo 1 ≡ 1566 (mod 1565). Si formamos el conjunto

a = {x ∈ Z| x ≡ a (mod n)}

a a lo llamamos clase de equivalencia, o Clases residuales modulo n. Note quesi a 6= b entonces a ∩ b = ∅, si a ≡ b (mod n) entonces a = b y que

Z = 0 ∪ 1 ∪ . . . ∪ n− 1

Por lo tanto, al denotarZn = {0, 1, . . . , n− 1}

y definir la leyes de composicion internas

+ : Zn × Zn −→ Zn(a, b) 7−→ a+ b

· : Zn × Zn −→ Zn(a, b) 7−→ a · b

De donde la tripla (Zn,+, ·) es un anillo conmutativo.

Teorema 1 - 1 - 1 Sea n > 1 un natural no primo, la tripla (Zn,+, ·) no esun cuerpo.

Dem.Como n no es primo, existen a, b entre 1 y n tales que n=ab, de donde ab = 0,lo cual inmetiatamente impide que (Zn,+, ·) sea un cuerpo.

Ejemplo 1 - 1 - 9 Se puede demostrar que si p es primo, la tripla (Zp,+, ·)es un cuerpo, donde Zp = {1, 2, . . . , p − 1}, pero sale del objetivo principal dellibro. Si el estudiante desea una prueba, la puede consultar en (biblio... TNpPJimenez Gordillo Rubiano, pag 112)

La definicion de Cuerpo es la mas corta que hemos dado hasta ahora, pero a suvez, era el objetivo principal de esta seccion, puesto que de esta vamos a construirla principal definicion de nuestra siguiente seccion, Espacios Vectoriales.

1.1.3 Ejercicios

1. Demuestre que (Zn,+, ·) es un anillo conmutativo.

2. Demuestre que (Z5,+, ·) es un cuerpo, sin utilizar lo enunciado en el Ejem-plo 1-1-9.

3. Demuestre que la tripla (Q′,+, ·) no es un cuerpo, donde Q′ representa alconjunto de los Irracionales. Cuales propiedades de cuerpo no se cumplen?

4. Halle todas las soluciones posibles sobre Z3 a la ecuacion

x+ y + z = 2

x+ y = 1

1.2. ESPACIOS VECTORIALES 5

5. Llamamos Ley de Composicion Externa definida en A, con operadoresde B a toda aplicacion

∗ : B ×A −→ A(b, a) 7−→ b ∗ a

De 2 ejemplos de leyes de composicion externa.

6. Sea B ⊂ A de un anillo (A,+, ·). Se dice que B es un subanillo de A si

• a− b ∈ B, ∀a,b∈B

• a · b ∈ B, ∀a,b∈B

(a) Muestre que el conjunto B = {1, 2, 3} no es un subanillo de (Z4,+, ·).

(b) Demuestre que si 0 /∈ B, B ⊂ A no puede ser un subanillo de (A,+, ·).

1.2 Espacios Vectoriales

Definicion 1 - 2 - 1 Sean V un conjunto no vacio, K un cuerpo y

+ : V × V −→ V(v, w) 7−→ v + w

· : K × V −→ V(α, v) 7−→ α · v = αv

Leyes de Composicion Interna y Externa respectivamente (Ver ejercicio (5) dela seccion Preliminares). Llamamos a la tripla (V,+, ·) como K-espacio Vec-torial V, si y solo si, para todos x, y, z ∈ V y α, β ∈ K se cumple:

1. (x+y)+z=x+(y+z)

2. Existe 0 ∈ V tal que x+ 0 = x

3. Existe −x ∈ V tal que x+ (−x) = 0.

4. x+ y = y + x

5. α(x+ y) = αx+ αy

6. (α+ β)x = αx+ βx

7. α(βx) = (αβ)x

8. Existe 1 ∈ K tal que 1 · x = x

Mas aun, si el lector esta familiarizado con el concepto de Grupo, podriamoshaber definido a un Espacio Vectorial como (V,+, ·), donde (V,+) es un grupoabeliano que ademas cumple con las propiedades (5) hasta (8) sobre el cuerpoK. En general, llamaremos a los elementos v ∈ V como vectores y a los α ∈ Kcomo escalares. Note que las propiedades (1) a (4) son las mismas dadas enla defnicion de anillo para la ley de composicion interna +, de donde podemosconcluir que los elementos 0 y (−v) (para cada v) de V son unicos. El siguienteteorema es una consecuencia inmediata de la definicion de espacio vectorial.


Teorema 1 - 2 - 1 Sea V un K-espacio vectorial, entonces:

1. α · 0 = 0 para todo α ∈ K.

2. 0 · v = 0 para todo v en V .

3. Si α · v = 0 entonces α = 0 o v = 0

4. (−1)v = −v para tado v ∈ V

Dem.

1.

α(0) = α(0 + 0)

= α(0) + α(0)

0 = α(0)

2.

(0)v = (0 + 0)v

= (0)v + (0)v

0 = (0)v

3. • Si α 6= 0 entonces

αv = 0

α−1αv = α−1 0

1 v = 0

v = 0

• Si v 6= 0, entonces

αv = 0

= v − v

(α+ 1)v = v

α+ 1 = 1

α = 0

4. Puesto que el inverso es unico, bastarıa demostrar que v+(−1)v = 0. Porlo tanto

v + (−1)v = (1 + (−1))v

= (0)v

= 0

1.2. ESPACIOS VECTORIALES 7

¥

Ejemplo 1 - 2 - 1 Espacio vectorial Trivial es la tripla ({0},+, ·).

Ejemplo 1 - 2 - 2 La tripla ({1},+, ·), con la suma usual, y el producto es-calar de R no es un R-espacio vectorial puesto 0 · 1 = 0 y 0 /∈ V .

Ejemplo 1 - 2 - 3 Sea V = {(x, y)/ y = mx} Donde m es cualquier real dadoy x es un numero real arbitrarioV consiste en todas los puntos sobre la recta y = mx que pasa por el origen yposee pendiente m.

Suponga (x1, y1) y (x2, y2) ∈ V . Entonces y1 = mx1 y y2 = mx2.

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1,mx1) + (x2,mx2)

= (x1 + x2,m(x1 + x2))

Tenemos que (x1 + x2,m(x1 + x2)) ∈ V . El axioma (I) de esta manera secumple. Axiomas II, III y IV son obvios.Tenemos −(x,mx) = (−x,−mx) = (−x,m(−x)) ∈ VAdemas (x,mx) + (−x,m(−x)) = (0, 0) = 0 ∈ VLas otras propiedades son de facil verificacion, por lo tanto V es un espaciovectorial.

Ejemplo 1 - 2 - 4 Sea V = {(x, y)/ y ≥ 0}, V consistente de los puntos enR2 en los dos primeros cuadrantes.

Si y1 ≥ 0 y y2 ≥ 0 entonces y1 + y2 ≥ 0. Dado (x1, y1) ∈ V y (x2, y2) ∈ V ,entonces (x1 + x2, y1 + y2) ∈ V .De lo anterior V no es un espacio vectorial, puesto que, dado el vector (1, 1) ∈ V ,por ejemplo, no posee inverso (−1,−1) /∈ V . Aun mas el axioma VI falla cuando(x, y) ∈ V entonces α(x, y) /∈ V si α < 0.

Ejemplo 1 - 2 - 5 Sea V = Rn = {(x1, x2, . . . , xn)/ xi ∈ R ∀i = 1, 2, . . . n}

Los espacios de la forma Rn, son comunmente denominados Espacios Euclıdeos,debido tal vez a que en estos espacios la representacion vectorial cobra un sentidomuy geometrico, es por esto que la mayoria de textos de algebra lineal (mas quetodo de aplicacion y de igenierıa) ponen a este espacio como el pilar de su teoria.Ahora mostraremos ejemplos que no siempre son puestos en estos textos.

Ejemplo 1 - 2 - 6 Sea

F(A,B) = {f : A→ B| f es funcion }

la tripla (F,+, ·) es un K-espacio vectorial.


Es de facil comprobacion, donde (f + g)(a) = f(a) + g(a) y · es el productopor escalar. En particular veremos un tipo muy importante de fuciones, lasTransformaciones Lineales, las cuales discutiremos profundamente en el Capıtulo2.

Ejemplo 1 - 2 - 7 En particular, si (V,+, ·) es un K-espacio vectorial, el con-junto

V m = {(v1, v2, . . . , vm)| vi ∈ V ∀i=1,2,...,m}

(V m,+, ·) es un espacio vectorial, donde

+ : V m × V m −→ V m

((v1, v2, . . . , vm), (w1, w2, . . . , wm)) 7−→ (v1 + w1, v2 + w2, . . . , vm + wm))

· : K × V m −→ V m

(α, (w1, w2, . . . , wm)) 7−→ (αw1, αw2, . . . , αwm))

Note que V puede ser cualquier espacio vectorial y que ademas podemos formarinfinitos espacios vectoriales.

Definicion 1 - 2 - 2 Una matriz es una coleccion de objetos dispuestos enforma rectangular, con cierto numero de filas y columnas. Denotaremos a lasmatrices con letras mayusculas A,B,C, . . ., diremos que A = (aij)n×m es unamatriz de n filas y m columnas con elementos aij ∈ K ∀i=1,2,...,n∀j=1,2,...,m

donde el elemento aij se encuentra en la fila i-esima columna j-esima.

Denotaremos al conjunto de todas la matrices de orden n ×m como Kn×m, ydefiniremos la suma A+B = (aij+ bij)×m y el producto por escalar α ·A = (α ·aij), entonces la tripla (Kn×m,+, ·) sera un K-espacio vectorial, la importanciade este espacio se dara a notar en el siguiente capıtulo, donde podremos definirel producto entre matrices y veremos propiedades importantes.

1.2.1 Ejercicios

1. Demuestre que cualquier cuerpo es un espacio vectorial sobre si mismo.

2. Demuestre todos los ejemplos dados son efectivamente espacios vectoriales.

3. Comunmente se nota al conjunto de todos los polinomios de variable xde grado menor o iual a n ∈ N como Kn [x], donde K es un cuerpo.Demuestre que la tripla (Kn [x] ,+, ·) es un K-espacio vectorial.

4. Sea V = {(x, y) | x, y ∈ K} con K un cuerpo cualquiera. Defina paraα ∈ K y (x1, y1), (x2, y2) ∈ V

(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) α ∗ (x1, y1) = (x1, 0)

Es la tripla (V,+, ∗) un espacio vectorial?

1.3. DEPENDENCIA LINEAL 9

1.3 Dependencia Lineal

Definicion 1 - 3 - 1 Sean v1, v2, . . . , vn vectores en un espacio vectorial V .Entonces alguna expresion de la forma a1v1 + a2v2 + · · · + anvn es unaCombinacion Lineal, donde a1, a2, . . . , an son escalares. Es llamada Combi-nacion Lineal de los vectores v1, v2, . . . , vn.

1.3.1 Independencia Lineal

Definicion 1 - 3 - 2 Sea A = {v1, v2, . . . , vn} ⊆ V diremos que A es Lin-ealmente Dependiente si existen λ1, λ2, . . . , λn escalares no todos nulos talesque:

n∑

i=1

λivi = 0

Definicion 1 - 3 - 3 Sea A ⊆ V diremos que A es Linealmente independi-ente si no es Linealmente Dependiente.

Para los conjuntos Linealmente Dependientes los notaremos con las inicialesL. D. y para los conjuntos Linealmente Independientes los notaremos con lasiniciales L. Ind.

Ejemplo 1 - 3 - 1 Sea V = {f / f : R −→ R, f es derivable} y A ={f1, f2, f3}.

Tenemos entonces que f1(x) = sin2 x, f2(x) = cos2 x, f3(x) = α donde este αes un escalar.

(−α)f1 + (−α)f2 + f3 = 0

(−α) sin2 x+ (−α) cos2 x+ α = 0

(−α)(sin2 x+ cos2 x) + α = 0

De donde vemos claramente que A es L. D.

Ejemplo 1 - 3 - 2 Sea A = {ei / ei = (0, . . . , 0, 1︸︷︷︸

Puesto i

, 0, . . . , 0) ∀i = 1, . . . , n}

donde A ⊆ Kn.

Sean λ1, λ2, . . . , λn ∈ K tales que:

n∑

i=1

λiei = 0

n∑

i=1

λiei = (λ1, λ2, . . . , λn)

n∑

i=1

λiei = (0, 0, . . . , 0)


Entonces λi = 0 ∀i = 1, . . . , n de donde A es L. Ind.

Ejemplo 1 - 3 - 3 Sea A = {0, v2, . . . , vn} ⊆ V .Tenemos de esta manera 1 · 0 + 0 · v2 + · · · + 0 · vn = 0. En donde es evidenteque como los escalares no son todos nulos A es L. D.

Ejemplo 1 - 3 - 4 Sea el conjunto vacıo φ.Supongamos que sea linealmente dependiente, entonces deberıan existir vectoresen el tales que exista una combinacion de escalares no todos nulos que sea iguala cero. Pero esto es imposible porque en el vacıo no podemos encontrar vectoresde modo que hay una contradiccion →←.Como no hay nadie que incumpla la definicion este conjunto es L. Ind.

Ejemplo 1 - 3 - 5 Sea A = {v1,−v1, v2, . . . , vn} ⊆ V .enemos de esta manera 1 · v1 + 1 · (−v1) + 0 · v2 + · · ·+ 0 · vn = 0. En donde esevidente que como los escalares no son todos nulos A es L. D.

Ejemplo 1 - 3 - 6 Tenemos que V = {f / f : R −→ R, f es derivable}Sean α1, α2, α3 ∈ R, cumplen que αi 6= αi , ∀i 6= ∀jFunciones definidas f1(x) = eαx, f2(x) = eαx, f3(x) = eαx y A = {f1, f2, f3}.

Sean λ1, λ2, λ3 ∈ R tales que:

λ1f1(x) + λ2f2(x) + λ3f3(x) = 0

λ1eαx + λ2e

αx + λ3eαx = 0

λ1α1eαx + λ2α2e

αx + λ3α3eαx = 0 (Derivando)

λ1α21eαx + λ2α

22eαx + λ3α

23eαx = 0 (Derivando)

Evaluando en x = 0

λ1 + λ2 + λ3 = 0 (1.3.1)

λ1α1 + λ2α2 + λ3α3 = 0 (1.3.2)

λ1α21 + λ2α

22 + λ3α

23 = 0 (1.3.3)

Realizando α1 · (1)− (2):

(α1 − α2)λ2 + (α1 − α3)λ3 = 0 (1.3.4)


Realizando α21 · (1)− (3):

(α21 − α

22)λ2 + (α2

1 − α23)λ3 = 0 (1.3.5)

Realizando −(α1 + α2) · (4)− (5):

(−(α1 + α2)(α1 + α3) + (α21 − α

23))λ3 = 0

(α1α3 − α1α2 + α2α3 − α23)λ3 = 0

(α3(α1 − α3)− α2(α1 − α3))λ3 = 0

(α3 − α2)(α1 − α3)λ3 = 0

Esto se tiene por la condicion inicial Sii λ3 = 0.En (4) (α1 − α2)λ = 0 ⇐⇒ λ2 = 0En (1) λ1 + λ2 + λ3 = 0 ⇐⇒ λ1 = 0Por lo tanto A es L. Ind.

Teorema 1 - 3 - 1 Si existe un vector en A que es Combinacion Lineal deotros vectores de A, entonces A es Linealmente dependiente.

Dem.Sea A = {v1, . . . , vn}. Existe vj ∈ A tal que es combinacion lineal de los otrosvectores de A.Existen escalares λ1, . . . , λj−1, λj+1, . . . , λn tales que:

vj =

j−1∑

i=1

λivi +

n∑

j+1

λivi

Luegoj−1∑

i=1

λivi + (−1)vj +

n∑

j+1

λivi = 0

De donde A es L. D.

¥

Teorema 1 - 3 - 2 A es linealmente dependiente Sii existe un vector en A quees combinacion lineal de los anteriores.

Dem.

⇒) Probaremos que existe por lo menos un vector en A que es combinacionlineal de los otros:


Sea A = {v1, v2, . . . , vn}, existen λ1, λ2, . . . , λn escalares no todos nulos talesque:

λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn = 0

Sea J = max{i ∈ In / λi 6= 0}, tenemos ası:

λ1v1 + · · ·+ λj−1vj−1 + λjvj = 0

λjvj =

j−1∑

i=1

(−λi)vi

vj =

j−1∑

i=1

((λ−1)(−λi))︸︷︷︸

αi

vi

λjvj =

j−1∑

i=1

(−λi)vi

vj =

j−1∑

i=1

αivi

⇐)Si vj es combinacion lineal de los anteriores entonces existen λ1, . . . , λj−1

escalares tales que:j−1∑

i=1

λi)vi = vj

Luegoj−1∑

i=1

λi)vi + (−1)vi = 0

Entonces tenemos que A es L. D.

¥

Teorema 1 - 3 - 3 Si un conjunto A es Linealmente Independiente entoncestodos sus subconjuntos tambien lo son.

Dem.Supongamos que existe B ⊆ A, donde B es linealmente dependiente.Sea B = {v1, . . . , vs} y sea A = {v1, . . . , vs, vs+1, . . . , vn}

Como B es Linealmente dependiente, existen escalares λ1, . . . , λs, estos escalaresson no todos nulos tales que:

λ1v1 + · · ·+ λsvs = 0


Extendiendo tenemos:

λ1v1 + · · ·+ λsvs + 0 · vs+1 + · · ·+ 0 · vn = 0

De donde A es L. D., Esto contradice las condiciones del teorema→←.

¥

Corolario 1 - 3 - 1 Si un subconjunto B de A es linealmente dependiente Aes linealmente dependiente.

Dem.La demostracion sigue en esencia la misma idea de la demostracion del teoremaanterior por ello nos permitimos oviarla.

¥

Teorema 1 - 3 - 4 Si A = {v1, v2, . . . , vn} es Linealmente Independiente yv =

∑ni=1 λivi en donde los λi ∈ K ∀i ∈ In entonces los λi son unicos.

Dem.Supongamos que existen α1, . . . , αn ∈ K tales que:

v =

n∑

i=1

αivi

Entonces:

n∑

i=1

αivi =n∑

i=1

λivi

Luego

n∑

i=1

αivi −n∑

i=1

λivi = 0

n∑

i=1

(αivi − λivi) = 0

n∑

i=1

(αi − λi)vi = 0

Como A es Linealmente Independiente entonces (αi − λi) = 0 ∀i de donde(αi = λi) ∀i.


¥

Definicion 1 - 3 - 4 Un conjunto A es Infinito si existe B ⊆ A en dondeB 6= A y una funcion ϕ : B −→ A biyectiva.

Definicion 1 - 3 - 5 Un conjunto Infinito A es linealmente independiente si:∀(B ⊆ A), σ(B) < +∞ es Linealmente Independiente.

Ejemplo 1 - 3 - 7 : Sea A = {xn / n ∈ N}, demostraremos que A es Lineal-mente Independiente.

Dem.Sea B ⊆ A tal que σ(B) < +∞. Existe n ∈ N tal que B ⊆ An dondeAn = {1, x, . . . , xn}. Veamos que es linalmente independiente:Sean α0, α1, . . . , αn escalares tales que:

α0 + α1x+ · · ·+ αnxn = 0

En particular evaluamos en x = 0. De donde −→ (α0 = 0)Derivando hasta llegar a la derivada enesima:

α1x+ · · ·+ αnxn = 0 (donde −→ (α1 = 0))

...

αn = 0

Como todos los escalares son nulos tenemos que A es L. Ind.

1.3.2 Ejercicios

1. Determine si el primer vector de cada conjunto de tres vectores de R3 yR2 [x] se puede expresar como combinacion de los otros dos restantes

• (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 24, 78)

• (−465279 , 696

79 ,−635158 ), (24, 48, 35), (224, 48, 68)

• 1, x, 24x+ 78x2

• x+ x2, 2x− x2, 34x2

2. Puede econtrar el lector un conjunto L.D., tal que ningun vector sea mul-tiplo de otro del mismo conjunto?

3. Muestre que las matrices(

1 00 0

)

,

(0 10 0

)

,

(0 01 0

)

,

(0 00 1

)

Son L.Ind.

1.4. BASES 15

4. Demuestre que el conjunto {fp(x) = epx, fs(x) = esx} es linealmente in-dependienete en el espacio F(R,R).( Sugerencia: Recuerde que la indepe-dencia lineal se tiene para todo x ∈ R, en particular para x = 0 y quepuede derivar ).

1.4 Bases

1.4.1 Sistema de Generadores

Definicion 1 - 4 - 1 Sea V un K-espacio vectorial, un conjunto A = {v1, v2, . . . , vn} ⊆V es un Sistema de Generadores de V, si para todo v ∈ V existen escalaresλ1, λ2, . . . , λn en K tales que

v =

n∑

i=1

λivi

En general, si A = {v1, v2, . . . , vn}, llamaremos Generado de A al conjunto

〈A〉 = {n∑

i=1

λivi λi ∈ K∀i=1,...,n}

Teorema 1 - 4 - 1 Si A ⊆ B, entonces 〈A〉 ⊆ 〈B〉

Dem.Sea v ∈ 〈A〉, por lo tanto existen v1, v2, . . . , vn en A y λ1, λ2, . . . , λn en K talesque

v =

n∑

i=1

λivi

Pero como A ⊆ B, entonces v1, v2, . . . , vn ∈ B, de donde

v =n∑

i=1

λivi ∈ 〈B〉

〈A〉 ⊆ 〈B〉

¥

Teorema 1 - 4 - 2 〈A〉 = 〈〈A〉〉

Dem.Por el teorema anterior, la inclusion 〈A〉 ⊆ 〈〈A〉〉 es inmediata. Ahora, seaw ∈ 〈〈A〉〉, por lo tanto existen w1, w2, . . . , wm ∈ 〈A〉 y α1, α2, . . . , αm en Ktales que

w =

m∑

i=1

αiwi


para cada j existen λ1j , λ2j , . . . , λnjj en K y v1j , v2j , . . . , vnjj en A tales que

wj =

nj∑

ij=1

λijjvijj

De donde

w =m∑

j=1

αj

nj∑

ij=1

λijjvijj

=

m∑

j=1

nj∑

ij=1

αjλijjvijj

Por lo tanto w ∈ 〈A〉, 〈〈A〉〉 ⊆ 〈A〉, y

〈A〉 = 〈〈A〉〉

¥

Teorema 1 - 4 - 3 Si vj es combinacion lineal de los vectores v1, v2, . . . , vj−1

y A = {v1, v2, . . . , vn}, entonces

〈A〉 = 〈A− {vj}〉

Dem.⇒)Claramente A− {vj} ⊆ A, de donde 〈A− {vj}〉 ⊆ 〈A〉.⇐)Sea v ∈ 〈A〉, existen α1, α2, . . . , αn en K tales que

v =

n∑

i=1

αivi

Como

vj =

j−1∑

i=1

λivi

Para algunos escalares λi i = 1, . . . , j − 1, entonces

v =

j−1∑

i=1

αivi + αj(

j−1∑

i=1

λivi) +

n∑

i=j+1

αivi

=

j−1∑

i=1

(αivi + αjλi)vi +

n∑

i=j+1

αivi

Y por lo tanto v ∈ 〈A− {vj}〉, 〈A〉 ⊆ 〈A− {vj}〉 y

〈A〉 = 〈A− {vj}〉

1.4. BASES 17

¥

Corolario 1 - 4 - 1 Si un conjunto A es L.D. entonces existe v ∈ A tal que

〈A〉 = 〈A− {v}〉

Dem.Consecuencia inmediata del anterior teorema.

¥

Definicion 1 - 4 - 2 Sea V un K-espacio vectorial y A ⊆ V , se dice que A esun Sistema de Generadores de V si

〈A〉 = V


A = {ei | i = 1, . . . , n}

ei = (01, . . . , 0i−1, 1i, 0i+1, . . . , 0n)

Demostrar que 〈A〉 = Kn

Dem.Sean λ1, λ2, . . . , λn ∈ K y V = (a1, a2, . . . , an) ∈ K

n, si hacemos

n∑

i=1

λiei = (λ1, λ2, . . . , λn)

Bastaria con poner

λi = ai i = 1, . . . , n

Implicando que A sea un sistema de generadores de Kn


B = {Ei | i = 1, . . . , n}

Ei = (1, 2, 3, . . . , i, 0, . . . , 0)

Demostrar que 〈B〉 = Kn

Dem. Sean λ1, λ2, . . . , λn ∈ K y V = (a1, a2, . . . , an) ∈ Kn, si hacemos

n∑

k=1

λkEk =

(n∑

k=1

kλk,

n∑

k=2

kλk, . . . ,

n∑

k=n−1

kλk, nλn

)


Al ponern∑

k=i

kλk = ai i = 1, . . . , n

Donde es claro que ∀1≤h≤n−1

n∑

k=h

kλk = hλh +n∑

k=h+1

kλk = hλh + ah+1 = ah

Por lo tanto, si hacemos

λi =

{ai−ai+1

isi i ≤ n− 1

ann

si i = n

Queda demostrado que 〈B〉 = Kn


D = {1, (x+ 1), (x+ 1)2, . . . , (x+ 1)n, . . .}

Demuestre que D es un sistema de generadores de K [x]

Dem.Sean λ0, λ1, . . . , λn ∈ K y a0 + a1x+ a2x

2 + . . .+ anxn ∈ K [x], si hacemos

λ0 · 1 + λ1 · (x+ 1)1 + . . .+ λn · (x+ 1)n + 0 · (x+ 1)n+1 + 0 · (x+ 1)n+2 + . . . =

= λ0 + λ1 · (x+ 1)1 + . . .+ λn · (x+ 1)n

Que gracias al Teorema del Binomio es

λ0 +

(1

1

)

λ1 +

(1

0

)

λ1x+

(2

2

)

λ2 +

(2

1

)

λ2x+

(2

0

)

λ2x2 + . . .

. . .+

(n

n

)

λn +

(n

n− 1

)

λnx+ . . .+

(n

1

)

λnxn−1 +

(n

0

)

λnxn

Y al factorizar

n∑

i=0

λi+x ·n∑

i=1

(i

i− 1

)

λi+x2 ·

n∑

i=2

(i

i− 2

)

λi+ . . .+xn−1 ·

n∑

i=n−1

(i

1

)

λi+xnλn

Ahora, al poner

n∑

i=k

(i

i− k

)

λi = ak k = 1, . . . , n

1.4. BASES 19

Es claro que

λn = an

Y si 1 ≤ h ≤ n− 1, tenemos que

ah =

n∑

i=h

(i

i− h

)

λi = λh +

n∑

i=h+1

(i

i− h

)

λi

ah+1 =n∑

i=h+1

(i

i− h− 1

)

λi

Luego

ah − ah+1 = λh +n∑

i=h+1

[(i

i− h− 1

)

−

(i

i− h− 1

)]

λi

Luego podemos definir los λk de forma recursiva asi:

λk = ak si k = n

Si k ≤ n− 1

λk = ak − ak+1 −

(n∑

i=k+1

[(i

i− k − 1

)

−

(i

i− k − 1

)]

λi

)

Y como de esta manera se pueden encontrar todos los λk, D es un Sistema deGeneradores de K [x]

Teorema 1 - 4 - 4 Si un espacio vectoral tiene un sistema de generadores 〈A〉,existe B ⊆ A tal que B genera al espacio vectorial y B es L.Ind.

Dem.La demostracion se deja al lector, como sugerencia, realice el procedimientorealizado en el Teoema 1-4-3 hasta que quede un conjunto L.Ind, recuerde queel vacıo es L.Ind.

¥

1.4.2 Bases

Definicion 1 - 4 - 3 Un subconjunto de un espacio vectorial es una Base si ysolo si es un Sistema de Generadores que ademas es L.Ind.


La anterior definicion hace parte de los conceptos ’importantes’ que enmarcare-mos a lo largo del libro. Es importante que el estudiante entienda la trascenden-cia de este concepto puesto que esta definicion se van a utilizar en la mayoria delos teoremas dados, de aqui hasta el final del libro. Existen una clase de basesespeciales que son de mucha ayuda debido a su facil manejo, por ejemplo, siV = Rn sabemos que cualquier v ∈ V lo podemos expresar como (a1, a2, . . . , an)con ai ∈ R ∀i=1,2,...,n, pero

v = (a1, a2, . . . , an) = a1(1, 0, . . . , 0) + (0, a2, . . . , an)

= a1(1, 0, . . . , 0) + a2(0, 1, 0, . . . , 0) + (0, 0, a3, . . . , an)

...

=

n∑

i=1

aiei

Donde ei = (0, 0, . . . , 0, 1︸︷︷︸

Puesto i

, 0, . . . , 0). Observe que en general el conjunto

B = {e1, . . . , en} es L.Ind, ademas, como pudimos expresar a v en combinacionlineal de los ei, entonces B es una base de Rn. Observe la simplicidad de los ei,solo 1s y 0s!!, por ello merece bautizo, con lo cual la llamaremosBase Canonicade Rn. El lector podra ahora intuir una base canonica para Rn [x] (los polinomiosde grado n en la variable x), el conjunto B = {1, x, x2, . . . , xn}. Lo siguientesera dar ejemplos que no sean tan simples como lo es la base canonica.

Ejemplo 1 - 4 - 4 Encuentre 5 bases para Kn.

Solucion.Sea V = (v1, v2, . . . , vn)∈ K

n para todas las cinco bases.

1. Dado un vector W = (w1, w2, . . . , wn) wi 6= 0 ∀i=1,2,...,n y 2 ≤ n podemosdefinir INFINITAS bases como sigue. Sea

$ = {Wi|i = 1, 2, . . . , n} Wi = (w1, w2, . . . , wi−1, 0, wi+1, . . . , wn)

Claramente si hacemos λ1, λ2, . . . , λn ∈ K,

n∑

j=1

λjWi =

w1

n∑

j=2

λj , w2(λ1 +

n∑

j=3

λj), . . . , wn

n−1∑

j=1

λj

Ahora supongamos para a1, a2, . . . , an ∈ K

1.4. BASES 21

w1(λ2 + λ3 + . . .+ λn) = a1

w2(λ1 + λ3 + . . .+ λn) = a2

...

wn(λ1 + λ2 + . . .+ λn−1) = an

De donde para todo aj

ajwj

=

(n∑

m=1

λm

)

− λj

Ademas tenemosn∑

m=1

amwm

= (n− 1) ·n∑

m=1

λm

Y con ambas ecuciones obtenemos

ajwj

=

(∑nm=1

amwm

(n− 1)

)

− λj

De donde para todo λj

λj =

(∑nm=1

amwm

(n− 1)

)

−ajwj

Ahora, CLARAMENTE! si hacemos aj = 0 ∀j entonces λj = 0 ∀j dedonde $ es l.ind, ademas si hacemos aj = vj ∀j entonces $ es una basede Kn.

2. Sea ξ = {Hi|i = 1, 2 . . . , n}, entonces

Hi = (01, 02, . . . , 0i−1, 1, 2, . . . , n)

Sean tambien λ1, λ2, . . . , λn ∈ K, luego

n∑

i=1

λiHi =

(

λ1, 2λ1 + λ2, . . . ,n∑

i=1

(n+ 1− i)λi

)

Luego si igualamos para a1, a2, . . . , an ∈ K, tenemos

λ1 = a1 , λ2 = a2 − 2a1


y para todo ai con 3 ≤ i ≤ n,

ai = iλ1 + (i− 1)λ2 + . . .+ λi

Que podemos simplificar a

ai = ai−1 +

i∑

m=1

λm

Luego

λi +

i−1∑

m=1

λm = ai − ai−1

λi + (ai−1 − ai−2) = ai − ai−1

λi = ai − 2ai−1 + ai−2

Que claramente prueba, haciendo lo mismo que en (1), que ξ es l.ind yademas es base de Kn.

3. Sea ϕ = {Si|i = 1, 2 . . . , n} donde

Si = (21, 22, . . . , 2i, 0, . . . , 0)

Claramente si hacemos λ1, λ2, . . . , λn ∈ K,n∑

j=1

λjSi = (2λ1 + . . .+ 2λn, 22λ2 + . . .+ 22λn, . . . , 2

nλn)

Y si suponemos para a1, a2, . . . , an ∈ K

2(λ1 + λ2 + . . .+ λn) = a1

22(λ2 + λ3 + . . .+ λn) = a2

...

2n−1(λn−1 + λn) = an−1

2n(λn) = an

Que podemos expresar

λ1 + λ2 + . . .+ λn =a1

2

λ2 + λ3 + . . .+ λn =a2

22

...

λn−1 + λn =an−1

2n−1

λn =an2n

1.4. BASES 23

De donde, para todo i ≤ n− 1

ai+1

2i+1−ai2i

= λi

Que claramente prueba, haciendo lo mismo que en (1), que ϕ es l.ind yademas es base de Kn.

4. y (5) Bastaria con tomar el vector Y = (1, 1, 1, . . . , 1); y los vectoresZp = (1, 2, 1, 2, . . . , 1, 2) o Zi = (1, 2, 1, 2, . . . , 2, 1) dependiendo de n par oimpar (respec.) y tomarlos en (1) para formar bases de Kn.

.

Ejemplo 1 - 4 - 5 Encuentre 5 bases para K [x].

Solucion. Sea V = v0+v1x+v2x2, . . . , vnx

n∈ K [x] para todas las cinco bases.

1. Sean ρ = {1, x, 2x2, . . . , nxn} = {R0, R1, R2, . . . , Rn} y λ0, λ1, . . . , λn ∈K, al hacer

n∑

i=0

λiRi = λ0 + λ1x+ . . .+ nλn

= a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx

n

Obtenemos queλ0 = a0

λi =aii

Luego al hacer ai = 0 para todo i, obtenemos λi = 0, por lo tanto ρ esl.ind., ademas es facil ver que es una base de K [x] cambiando ai = vi

2. Sean ψ = {1, 1+x, 1+x+x2, . . . , 1+x+x2+. . .+xn} = {P0, P1, P2, . . . , Pn}y λ0, λ1, . . . , λn ∈ K, al hacer

n∑

i=0

λiPi = λ0 + (λ1 + λ1x) + . . .+ (λn + λnx+ . . .+ λnxn)

= (λ0 + . . .+ λn) + (λ1 + . . .+ λn)x+ . . .+ λnx2

= a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx

n

Obteniendoλn = an


Y para i ≤ n− 1

n∑

k=i

λk = ai = λi +

n∑

k=i+1

λk = λi + ai−1

λi = ai − ai−1

Que muestra que, haciendo como en (1),ψ es l.ind. y ademas es base deK [x].

3. Sea θ = {Ti|i = 0, . . . , n}, donde

Ti =

n∑

k=i

(−1)f(k)xk f(x) =

{

2 si ∃m∈N tal que x = i− 2m

1 en otro caso

y λ0, λ1, . . . , λn ∈ K, entonces al hacer

n∑

k=0

λkTk = (λ0)+ (λ1−λ0)x+(λ2−λ1 +λ0)x2 + . . .+(

n∑

k=0

(−1)f(k)λk)xn

Y al igualar con a1, a2, . . . , an ∈ K, tenemos el sistema

λ0 = a0

λ1 − λ0 = a1

λ2 − λ1 + λ0 = a2

...

n−1∑

k=0

(−1)f(k)λk = an−1

n∑

k=0

(−1)f(k)λk = an

Y para 1 ≤ i tenemos

i∑

k=0

(−1)f(k)λk = ai = λi +

i−1∑

k=0

(−1)f(k)λk = λi − ai−1

Luegoλi = ai + ai−1

De donde claramente podemos deducir que θ es l.ind. y ademas es unabase de K [x].

1.4. BASES 25

.

Ejemplo 1 - 4 - 6 Encuentre 3 bases para Kn×m.

Solucion. Encontraremos una forma de tener INFINITAS bases para Kn×m,dada una matriz Wn×m = (vij) con vij 6= 0 ∀ij , y 2 ≤ n ·m.

Definimos Φ = {Wls|1 ≤ l ≤ n 1 ≤ s ≤ m} con

Wls = (wij) wij =

{

0 si i = l y j = s

vij en otro caso

Sean, An×m = (aij) y, λij con 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ m, si hacemos

n∑

l=1

m∑

s=1

λlsWls = A

Claramente para todo apq,

apq = vpq

n∑

i=1

m∑

j=1

λij − vpqλpq

apqvpq

=

n∑

i=1

m∑

j=1

λij

− λpq

Y ademasn∑

i=1

m∑

j=1

aijvij

= (nm− 1)

n∑

i=1

m∑

j=1

λij

De donde, reemplazando

λpq =

∑ni=1

∑mj=1

aijvij

(nm− 1)−apqvpq

Que nos deja demostrar muy facilmente la independencia lineal de Φ, ademasde mostrar que es una base de Kn×m, exceptuando el caso de n = m = 1.

1. Si hacemos W = (vij) con vij = 1 para todo ij, dada la matriz An×m

anterior y λij con 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ m, la forma de los λij usando elconjunto Φ seria:

λij =

∑nf=1

∑mg=1 afg

(nm− 1)− aij


2. Si hacemos W = (vij) con vij = i+ j, y con lo mismo que en el anterior,tenemos que la forma de los λij usando el conjunto Φ seria:

λij =

∑nf=1

∑mf=1

afgf+g

(nm− 1)−

aiji+ j

3. Si hacemos W = (vij) con vij = ij, y con lo mismo que en el anterior,

tenemos que la forma de los λij usando el conjunto Φ seria:

λij =

∑nf=1

∑mf=1

g·afgf

(nm− 1)−j · aiji

.

Teorema 1 - 4 - 5 La expresion de un vector como combinacion lineal de losvectores de una base finita es unica

Dem.SeaA = {v1, v2, . . . , vn} una base de V . Si v ∈ V , existen escalares λ1, λ2, . . . , λnen K tales que

v =

n∑

i=1

λivi (1)

Supongamos que existan α1, α2, . . . , αn en K tales que

v =

n∑

i=1

αivi (2)

Entonces, de (1) y (2) se tiene que

v =

n∑

i=1

λivi =

n∑

i=1

αivi

n∑

i=1

(λi − αi)vi = 0

Y como A es una base, λi − αi = 0, implicando λi = αi ∀i=1,2,...,n

¥

1.4.3 F.L.M. y S.M.G.

Definicion 1 - 4 - 4 Sea A = {v1, v2, . . . , vn} ⊆ V

1. A es una Familia Libre Maximal si

1.4. BASES 27

(a) A es L.Ind.

(b) ∀vi∈A ∀i=1,...,n, v 6= vi, A ∪ {v} es L.D.

Denotaremos a una familia libre maximal como F.L.M.

2. A es un Sistema Minimal de Generadores si

(a) 〈A〉 = V

(b) ∀vi∈A 〈A− {vi}〉 6= V

Notaremos a un sistema minimal de generadores como S.M.G.

Teorema 1 - 4 - 6 A es base si y solo si es sistema minimal de generadores

Dem.Sea A = {vi . . . , vn}. Demostraremos primero que si A es base, entonces esun sistema minimal de generadores. En efecto, por ser base es un sistema degeneradores. Falta ver que es mınimo. Pero como A es base, es linealmente inde-pendiente; por tanto, para algun vj ∈ A, A−{vj} es linealmente independiente.Ahora,

V = 〈A〉

= {n∑

i=1

αivi | αi ∈ K ∧ vi ∈ A}

6= {k−1∑

i=1

αivi + 0.vk +∑

i = k + 1nαivi | αi ∈ K ∧ vi ∈ A}

= {k−1∑

i=1

αivi +

n∑

i=k+1

αivi | αi ∈ K ∧ vi ∈ V }

= 〈A〉 − {vk}

Por tanto, 〈A〉 − {vk} 6= B. Ası que si A es una base, entonces es un sistemaminimal de generedores. Ahora tenemos que mostrar que si A es un sistemaminimal de generadores, entonces es una base. La demostracion consistira enmostar la independencia lineal de A. Prueba por contradiccon. Supongamos queA es linealmente dependiente. Supongamos que v1 =

∑ni=2 αivi ∈ A. Podemos


decir que λi = β1αi + βi ∀i = 2, . . . , n. Veamos que

〈A− v1〉 = {n∑

i=2

λivi}

= {n∑

i=2

(αi + βi)vi}

= {n∑

i=2

αivi +

n∑

i=2

βivi}

= {v1 +n∑

i=2

βivi}

= {n∑

i=1

βivi} = 〈A〉

Lo que supone una contradiccion porque A es un S.M.G . Por tanto, A es lineal-mente independiente. Ya que A es un sistema de generadores y es linealmenteindependiente, es un base.

¥

Teorema 1 - 4 - 7 A es base si y solo si es una familia libre maximal

Dem.Al igual que en el teorema anterior es necesario demostrar dos cosas. En primerlugar, supongamos que A es una base, entonces es linealmente independiente.Por ser base, para todo v en V , se tiene que v =

∑ni=1 αivi. Por tanto ∀v ∈

V − A, A ∪ v es linealmente dependiente por el corolario 1.1. Ahora debemosdemostrar que si A es una familia libre maximal, entonces es una base. Lo quese reduce a mostrar que A es un sistema de generadores. Como A es familialibre maximal, para todo v en V − A A ∪ {v} es linealmente dependiente. Dedonde, v =

∑ni=1 λivi. Por tanto,

V = 〈A〉

Teniendo que A es una base.

¥

Corolario 1 - 4 - 2 A es base sii es F.L.M sii es S.M.G.

Teorema 1 - 4 - 8 Sea A ⊆ V con A = {wi . . . , wn} L.Ind, y B = {vi . . . , vn}una base caulqiera de V . Entonces

n ≤ m

1.4. BASES 29

Definicion 1 - 4 - 5 Si un espacio vectorial V tiene un base con n elementos,diremos que la Dimension del espacio es n. Esto lo notaremos como

dim V = n

Teorema 1 - 4 - 9 Si dim V = n y B = {w1, . . . , wm} es L.Ind., entoncesexisten n−m vectores en V wm+1, wm+2, . . . , wn tales que

B ∪ {wm+1, wm+2, . . . , wn}

es una base de V

Dem. Supongamos que no es posible que existan, luego si anadimos un vectorw ∈ V diferente de cualquier vector de B, entonces

B1 = B ∪ {w} es L.D.

por lo tanto B seria una F.L.M., lo cual es una contradiccion, suponiendo n < m.De donde

B1 es L.Ind

Definimos w = wm+1. Ahora, supongamos que el conjunto

Bk = {w1, w2, . . . , wm, wm+1, . . . , wk}

con k < n−m es L.Ind. Demostremos que Bk+1 es tambien L.Ind.Supongamos que para todo w ∈ V −Bk,

Bk+1 = Bk ∪ {w} es L.D.

por lo tanto Bk seria una F.L.M., lo cual es una contradiccion, suponiendok < n−m. De donde

Bk+1 es L.Ind

Definimos luego w = wk+1. Gracias alPIM, existiran n−m vectores wm+1, wm+2, . . . , wnen V tales que

B ∪ {wm+1, wm+2, . . . , wn} es L.Ind

Y por lo tanto una base de V

¥

1.4.4 Ejercicios

1. Genera el conjunto {x3 + 2x2 + 3x, 1 + 2x+ 3x2, 3x+ 4x3} a R3 [x]?

2. Trate de extender el Ejemplo 1-4-6 para crear infinitas bases del conjuntode las matrices em la m-dimension Mn1×n2×...×nm .

3. Suponga que el conjunto {x1, x2, x3} es una base del espacio V . Demuestreque el conjunto {x1 + x2 + x3, x2 + x3, x3} es una base de V. Podrıageneralizar este resultado para un espacio n-dimensional

4. De dos ejemplos de parejas conjuntos A,B en las cuales podriamos hallarbases para el conjunto F(A,B).

5. De un ejemplo de un espacio infinito-dimensional.


1.5 Subespacios Vectoriales

Sea V un k−espacio vectorial y S ⊆ V

Definicion 1 - 5 - 1 S es un subespacio vectorial de V si (S,+, ·) es un espaciovectorial.

Teorema 1 - 5 - 1 S es un subespacio vectoial de V ⇐⇒ :

1. ∀u,v ∈ S se tiene que u+ v ∈ S

2. ∀λ ∈ K ∧ ∀u ∈ S se tiene que λu ∈ S

Dem:⇒) Se tiene por definicion de subespacio.⇐) Falta probar modulativa e invertiva puesto:

1. Las propiedades asociativa y conmutativa para la suma se tienen por serinvariantes

2. Sea u ∈ S como 0 ∈ K por la segunda condicion del teorema 0 · u ∈ Spero 0 · u = 0 es decir 0 ∈ S.

3. Como −1 ∈ K entonces (−1) · u ∈ S de donde obtenemos que −u ∈ S.

4. las propiedades del producto por escalar se tienen porque se cumplen enV

¥

Los subespacios vectoriales los notaremos de la siguiente manera S ¹ V endonde S es subespacio de V .

Corolario 1 - 5 - 1 S ¹ V ⇐⇒ ∀λ,µ ∈ K ∧ ∀u,v ∈ S se tiene queλu+ µv ∈ S

Dem:⇒) Se tiene por definicion de subespacio.⇐)

1. Sean λ = µ = 1 y u, v ∈ S tenemos que u+ v = λu+ µv ∈ S

2. Sea µ = 0 entonces λu+ 0 = µv + λu ∈ S

¥

bla....S1, S2 ¹= {s1 + s2/ s1 ∈ S1 ∧ s2 ∈ S2}

1.5. SUBESPACIOS VECTORIALES 31

Teorema 1 - 5 - 2 S1 + S2 ¹ V

Dem:Sean s1 y s∗1 ∈ S1 s2 y s∗2 ∈ S2 tenemos:

λ(s1 + s2) + µ(s∗1 + s∗2) = λ(s1 + µs∗1)︸︷︷︸

∈S1

µ(s∗1 + s∗2)︸︷︷︸

∈S2

Luego λ(s1 + µs∗1) + µ(s∗1 + s∗2) ∈ (S1 + S2), de donde S1 + S2 ¹ V

¥

Teorema 1 - 5 - 3∑n

i=1 Si ¹ V

Dem:Sean u y v en

∑ni=1 Si y λ, µ ∈ K. Existen si y s

∗i ∈ Si ∀i = 1, . . . , n tales que

u =∑n

i=1 si y v =∑n

i=1 s∗i .

λu+ µv = λn∑

i=1

si + µn∑

i=1

s∗i

=

n∑

i=1

λsi + µs∗i

Pero como Si ¹ V entoncesλsi + µs∗i ∈ Si ∀i = 1, . . . , n.Luego

∑ni=1 λsi + µs∗i ∈

∑ni=1 Si, lo cual implica que

λu+ µv =n∑

i=1

Si

de donde∑n

i=1 Si ¹ V .

¥

Teorema 1 - 5 - 4 〈A〉 ¹ V

Dem:Sean u,w ∈ 〈A〉 y α, β ∈ K. Existen v1, v2, . . . , vn ∈ A y λ1, . . . , λn, λ

∗1, . . . , λ

∗n ∈

K tales que u =∑n

i=1 λivi y w =∑n

i=1 λ∗i vi.

αu+ βw = α

( n∑

i=1

λivi

)

+ β

( n∑

i=1

λ∗i vi

)

=

n∑

i=1

(αλi+ βλ∗i )vi

luego αu+ βw ∈ 〈A〉 de donde 〈A〉 ¹ V .


¥

Teorema 1 - 5 - 5 Si Si ¹ V ∀i ∈ I entonces⋂

i∈I Si ¹ V

Dem:Sean u, v ∈

⋂

i∈I Si y λ, µ ∈ K.Entonces u y v estan en Si ∀i∈I , pero como Si ¹ V ∀i∈I ,entonces λu+ µv ∈ Si ∀i∈I , de donde

λu+ µv ∈⋂

i∈I

Si

esto es Si ¹ V .Note que si tenemos y1 = mx y y2 = nx en donde n 6= m 6= 0, los dos

subespacios en R2 (prueba para el lector), al realizar la diferencia entre ellos elresultado no es subespacio, puesto que y1 ¹ R2 y y2 ¹ R2 pero tenemos quey1 − y2 = {v ∈ y1/ v /∈ y2} de manera que el unico vector que pertenece a lainterseccion es el cero, de manera que no puede ser un subespacio puesto que leharıa falta dicho vector. De manera similar dejamos al lector hacer el analisisde cual es el motivo de que la union de subespacios no puede ser subespacio.

Teorema 1 - 5 - 6 Si S1 y S1 son subespacios de V , entonces

dim(S1 + S2) = dim(S1) + dim(S2)− dim(S1 ∩ S2)

.Dem.

Sea A = {v1, v2, . . . , vn} una base de S1 ∩ S1, luego existen w1, w2, . . . , wmen S1 tales que

B = A ∪ {w1, w2, . . . , wm} es una base de V

y existen u1, u2, . . . , us en S2 tales que

C = A ∪ {u1, u2, . . . , us} es una base de V

Luego, sea D = A ∪ {w1, w2, . . . , wm} ∪ {u1, u2, . . . , us}, demostraremos que Des una base de S1 + S2.

• (〈D〉 = S1 + S2)

Sean k1 ∈ S1 y k2 ∈ S2, por lo tanto existen escalares λi,ηj ,βi y δpcon i = 1, . . . , n, j = 1, . . . ,m, p = 1, . . . , s, tales que

k1 =

n∑

i=1

λivi +

m∑

i=1

ηiwi


k2 =

n∑

i=1

βivi +

s∑

i=1

δiui

k1 + k2 =

n∑

i=1

(λi + βi)vi +

m∑

i=1

ηiwi +

s∑

i=1

δiui

Y por lo tanto 〈D〉 = S1 + S2

• (D es l.indep.)Supongamos queD es l.dep., por lo tanto existen escalares λ1, λ2, . . . , λn, β1, β2, . . . , βm,µ1, µ2, . . . , µs, no todos nulos tales que

n∑

i=1

λivi +m∑

i=1

βiwi +s∑

i=1

µiui = 0

De donde

s =

n∑

i=1

λivi +

m∑

i=1

βiwi = −s∑

i=1

µiui

s ∈ S1 s ∈ S2

Por lo tanto s ∈ S1 ∩ S2, y puesto que A es base de S1 ∩ S2, existenescalares α1, α2, . . . , αn, tales que

s =

n∑

i=1

αivi =

n∑

i=1

λivi +

m∑

i=1

βiwi = −s∑

i=1

µiui

Y por lo tanton∑

i=1

αivi +

s∑

i=1

µiui = 0

Con escalares no todos nulos; →← pues C es l.ind.

.

Por lo tanto D es l.indep. y ademas es una base de S1 + S2, luego

dim(D) = a+m+s = (a+m)+(a+s)−a = dim(S1)+dim(S2)−dim(S1∩S2)

¥

Ejemplo 1 - 5 - 1 Sea S ∩T = {0} si dim(S+T ) = dim S+ dim T entoncestenemos S ⊕ T


Dem:Tomamos B = {v1, . . . , vn} Linealmente indepediente en donde dim V = n,Ademas m ≤ n.Si m < n existen vm+1, . . . , vn vectores en V tales que D = {B∪{vm+1, . . . , vn}en donde D es una base de V .Sea S1 = 〈B〉 y S2 = 〈{vm+1, . . . , vn}〉 de manera que

S1 ∩ S2 = {0}S1 + S2 = V

de manera que obtenemos que S1 ⊕ S2 = v.

Claramente observamos que siempre que se tenga un conjunto L.Ind suman-dole un subespacio de V esta nueva suma (Directa) genera el espacio V .

Definicion 1 - 5 - 2 El espacio S2 es un espacio suplementario,

Despues de que el estudiante tenga una formacion en teorıa de conjuntos pormedio del Axioma de Eleccion podremos probar que Todo espacio vectorialtiene una Base.

Ejemplo 1 - 5 - 2 Tomemos v1 6= 0, dim V = n y v1 ∈ V

Sea {v1, v2} donde v2 /∈ 〈{v1}〉. Llamemos D1 = 〈{v1, v2〉 de maera que deno-tamos S2 = 〈{v2}〉. Por lo tanto D1 = S1 ⊕ S2.Si D1 6= V, ∃v3 ∈ V tal que v3 /∈ D.Tenemos que D2 = {v1, v2, v3} son linealmente independientesde donde D1 ⊕〈{v3}〉︸︷︷︸

S3

. Entonces

D2 = S1 ⊕ S2 ⊕ S3

De manera que podemos generalizar este resultado de la siguiente manera (de-jando como un bonito ejercicio la prueba de dicho resultado)

Dim V =

n∑

J=1

dim Sj

Ejemplo 1 - 5 - 3 Sean S1, T, T∗ tres subespacios de V la dimension de V es

finita entonces se satisface:

1. S1 ∩ T = S ∩ T ∗

2. S + T = S + T ∗

3. T ⊆ T ∗


Dem:

dim(S + T ) = dim(S + T ∗)

dim S + dim+ T − dim(S ∩ T ) = dim S + dim+ T ∗ − dim(S ∩ T ∗) (Simplificando)

dim T = dim T ∗

ComoT ⊆ T ∗ y el espacio V es finito dimensional ambas serıan bases del mismoVPor lo tanto T = T ∗.

Por lo tanto para la segunda parte S⊕T = S⊕T ∗ Sin que T = T ∗ entoncesserıa el caso que hemos visto de las rectas. La tercera parte ya es evidente porlo visto en la primera.

Ejemplo 1 - 5 - 4 Si V = w1⊕w2 demostraremos que se tiene w = (w∩w1)⊕(w ∩ w2) si partimos de

1. w ¹ V

2. w1 ¹ w

Dem:

{0} = w1 ∩ w2 (1)

= w1 ∩ (w ∩ w2)

= (w1 ∩ w2) ∩ w

= {0} ∩ w

= {0}

w ⊇ w ∩ w1 (2)

= w1 ∩ (w ∩ w2)

= (w ∩ w2) + (w ∩ w1) (I)

Si w ∈ W entonces w ∈ V pero como V = w1 ⊕ w2. etonces ∃w1 ∈W1 ∧ ∃w2 ∈W2 tales que w = w1 + w2.

Entonces w1 ∈ (w1 ∩ w) porque W1 ⊆ W . Ademas w2 = w −W1 ∈ W dedonde podemos deducir que w2 ∈ (W ∩W2), de manera que w ∈ (w ∩ w2) +(w ∩ w1) es decir W ⊆ (w ∩ w2) + (w ∩ w1)(II); de manera que por (I), (II)se tiene que W = (W ∩W1) + (W ∩W2) podemos afirmar hora que:

(W ∩W1)⊕ (W ∩W2) =W


1.5.1 Ejercicios

1. Sea W un subespacio de un K-espacio vectorial V . Si v ∈ V , demuestreque el conjunto {v}+W es un subespacio de V sii v ∈W . A este conjuntose le suele llamar como Co-conjunto de W que contiene a v y se notasimplemente como v +W .

2. (Continuacion) Demuestre que

v1 +W = v2 +W ⇐⇒ v1 − v2 ∈W

3. (Continuacion) Sea S = {v +W | v ∈ V }, definamos las operaciones

⊕ : S × S −→ S(v1 +W, v2 +W ) 7−→ (v1 + v2) +W

¯ : K × S −→ S(α, v +W ) 7−→ αv +W

Demuestre que la tripla (S,⊕,¯) es un K-espacio vectorial. Este espaciose denomina como Espacio Cociente de V modulo W y se expresamediante V/W .

4. (Continuacion) Encuentre una base para el espacio V/W .

Capıtulo 2

Transformaciones Lineales

En este capıtulo daremos definicion a un concepto que venıa evolucionandodesde desde el siglo XVIII con los trabajos de Cauchy, Weierstrass y Kronecker,entre otros, y que adoptarıa su forma actual en 1918 de la mano del matematicoaleman Hermann Weyl (1885-1955), este concepto es el de Transformacion Lin-eal.

2.1 Transformaciones Lineales

Sean U y V espacios vectoriales sobre el mismo cuerpo K.

Definicion 2 - 1 - 1 Una Transformacion Lineal σ de U hacia V es unaaplicacion uniforme de U en V que asocia a cada elemento a ∈ U , un elementounico σ(a) ∈ V tal que, para todos a, b ∈ U y todos α, β ∈ K, se tiene

σ(αa+ βb) = ασ(a) + βσ(b)

Definicion 2 - 1 - 2 Llamaremos

L(U, V ) = {σ|σ es una Transformacion Lineal de U a V }

.

Teorema 2 - 1 - 1 Sea σ ∈ L(U, V ), entonces

1. σ(0) = 0

2. σ(u− v) = σ(u)− σ(v)

3. σ(∑n

i=1 λiui) =∑n

i=1 λiσ(ui)

Dem.

37

38 CAPITULO 2. TRANSFORMACIONES LINEALES

1.

σ(0) = σ(0 + 0)

= σ(0) + σ(0)

0 = σ(0)

2. Para demostrar (2), mostraremos lo siguiente

0 = σ(0)

= σ(v + (−v))

= σ(v) + σ(−v)

−σ(v) = σ(−v)

Por lo tanto

σ(u− v) = σ(u+ (−v))

= σ(u) + σ(−v)

= σ(u)− σ(v)

3. Esta demostracion la haremos por induccion.

• Para n = 2 claramente se tiene (por definicion de T.L)

• Supongamos que

σ(n−1∑

i=1

λiui) =n−1∑

i=1

λiσ(ui)

• Tenemos que

σ(

n∑

i=1

λiui) = σ(λnun +

n−1∑

i=1

λiui)

= λnσ(un) +

n−1∑

i=1

λiσ(ui)

=

n∑

i=1

λiσ(ui)

Y por principio de induccion matematica, se tiene para todo n > 1con n ∈ N.

.

¥

2.1. TRANSFORMACIONES LINEALES 39

Note que de (3) del teorema anterior podemos concluir lo siguiente. SeaB = {u1, u2, . . . , un} una base del espacio vectorial U , y σ ∈ L(U, V ); si u ∈ U ,existen escalares λ1, λ2, . . . , λn tales que

u =

n∑

i=1

λiui

σ(u) =

n∑

i=1

λiσ(ui)

Lo cual nos indica que bastarıa con conocer las imagenes de la base del espaciode salida para conocer la transformacion lineal. Esto nos podra ayudar a crearuna base para el espacio vectorial L(U, V ), la cual veremos mas adelante (lademostracion de que L(U, V ) es un espacio vectorial se deja al lector).Ahora nos dispondremos a dar ejemplos para familiarizar al lector con el con-cepto de Transformacion Lineal.

Ejemplo 2 - 1 - 1 Homotecia vectorial de razon α. Sea α ∈ K, definimos

σ : U −→ Uu 7→ σ(u) = αu

Vemos claramente que σ(λ1u1+λ2u2) = α(λ1u1+λ2u2) = λ1(αu1)+λ2(αu2) =λ1(σ(u1)) + λ2(σ(u2))

Ejemplo 2 - 1 - 2 Inyeccion canonica de Kn en Km con n < m. Definimos

σ : Kn −→ Km

(x1, x2, . . . , xn) 7→ σ((x1, x2, . . . , xn)) = (x1, x2, . . . , xn, 0, . . . , 0)

Sean u = (x1, x2, . . . , xn), v = (y1, y2, . . . , yn) ∈ Kn, y α, β ∈ K, entonces

σ(αu+ βv) = (αx1 + βy1, . . . , αxn + βyn, 0, . . . , 0)

= (αx1, αx2, . . . , αxn, 0, . . . , 0) + (βy1, βy2, . . . , βyn, 0, . . . , 0)

= α(x1, x2, . . . , xn, 0, . . . , 0) + β(y1, y2, . . . , yn, 0, . . . , 0)

= α(σ(u)) + β(σ(v))

Ejemplo 2 - 1 - 3 Sea n > m, entonces

σ : Kn −→ Km

(x1, x2, . . . , xn) 7→ σ((x1, x2, . . . , xn)) = (x1, x2, . . . , xm)

Es una T.L.Sean u = (x1, x2, . . . , xn), v = (y1, y2, . . . , yn) ∈ K

n, y α, β ∈ K, entonces

σ(αu+ βv) = (αx1 + βy1, . . . , αxm + βym)

= (αx1, αx2, . . . , αxm) + (βy1, βy2, . . . , βym)

= α(x1, x2, . . . , xm) + β(y1, y2, . . . , ym)

= α(σ(u)) + β(σ(v))


Ejemplo 2 - 1 - 4 Sea A = (aij)n×m en Kn×m, demuestre que

σA : Km −→ Kn

v 7→ σA(v) = A · v

es una T.L.

Sean u = (x1, x2, . . . , xm), v = (y1, y2, . . . , ym) ∈ Km, y α, β ∈ K, entonces

σ(αu+ βv) = A · (αu+ βv)

= A · (αx1 + βy1, . . . , αxm + βym)

= (bi)n×1 con bi =

m∑

i=1

aij(αxj + βyj)

Pero

bi =

m∑

i=1

aij(αxj + βyj)

= α

m∑

i=1

aijxj + β

m∑

i=1

aijyj

= αci + βdi

De donde

σ(αu+ βv) = (αci + βdi)n×1

= (αci)n×1 + (βdi)n×1

= α(ci)n×1 + β(di)n×1

= α(σ(u)) + β(σ(v))

Teorema 2 - 1 - 2 Sean U y V K-espacios vectoriales de dimension n y m,respectivamente. Sean A = {a1, a2, . . . , an} una base de U y B = {b1, b2, . . . , bn}una base de V . Sea σij la transformacion lineal de U hacia V tal que

σij(ak)

{0 si k 6= jbi si k = j

Entonces el conjunto {σij |i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n}, es una base del espa-cio L(U, V ).

Dem.Del Teorema 2-1-1 habıamos concluido que dada una transformacion lineal τ ∈L(U, V ), esta se podia definir conociendo una base de U y las imagenes segun τde los componentes de tal base. Es claro entonces, que si B es una base de V ,τ estara definida por los βik escalares, en donde para cada ak ∈ A

τ(ak) =

m∑

i=1

βikbi


Definamos

τ∗(u) =

m∑

i=1

n∑

j=1

λijσij(u)

donde los λij son escalares (esta es una combinacion lineal de los σij), podemosver claramente que

τ∗(ak) =

m∑

i=1

n∑

j=1

λijσij(ak) =

m∑

i=1

λikbi

Si hacemos

λik = βik ∀i=1,2,...,m∀k=1,2,...,n

Tenemos que para todo ak ∈ A

τ(ak) =

m∑

i=1

n∑

j=1

βijσij(ak)

Esto implica 〈{σij |i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n}〉 = L(U, V ), es trivial ver queeste conjunto es linealmente independiente (si el estudiante no lo ve, entoncesdemuestrelo utilizando a σ = 0 y concluyendo que los escalares λij son todoscero), por lo tanto {σij |i = 1, 2, . . . ,m; j = 1, 2, . . . , n} es una base de L(U, V ).

¥

Definicion 2 - 1 - 3 Sea σ ∈ L(U, V ), definimos Imagen de σ (Im (σ)) yNucleo o Kernel de σ (N( σ)) como sigue

Im(σ) = {v ∈ V |∃u∈U con σ(u) = v}

N(σ) = {u ∈ U |σ(u) = 0}

Estas dos definiciones son de importante cuidado, el estudiante debe tener claroque no siempre el Kernel de una transformacion es 0. Por ejemplo en la transfor-macion lineal σ ∈ L(R2,R) tal que σ(x, y) = x−y, N(σ) = {(x, y) ∈ R2|x = y}.Observe, que si nos hubieran pedido hallar todas las soluciones reales al sistema

2x+ y = 0

x− 2y = 0

3x− y = 0

Es lo mismo que hallar N(σ) con σ ∈ L(R2,R3) tal que σ(x, y) = (2x + y, x −2y, 3x− y) y viceversa, osea, hallar la solucion al sistema es hallar el kernel dela transformacion ‘asociada al sistema’ (si es que existe esta asociacion, esto lodiscutiremos en la siguiente seccion).


Teorema 2 - 1 - 3Im(σ) ¹ V

Dem.Sean v1, v2 ∈ Im(σ) y λ1, λ2 ∈ K, por lo tanto, existen u1, u2 ∈ U tales que

v1 = σ(u1) y v2 = σ(u2)

luego

λ1v1 + λ2v2 = λ1σ(u1) + λ2σ(u2)

= σ(λ1u1) + σ(λ2u2)

= σ(λ1u1 + λ2u2)

Por lo tanto λ1v1 + λ2v2 ∈ Im(σ), esto demuestra que Im(σ) ¹ V .

¥

Teorema 2 - 1 - 4N(σ) ¹ U

Dem.Sean u1yu2 en N(σ), y λ1, λ2 en K, luego

σ(λ1u1 + λ2u2) = σ(λ1u1) + σ(λ2u2)

= λ1σ(u1) + λ2σ(u2)

= 0

Luego λ1u1 + λ2u2 ∈ N(σ), lo cual demuestra que N(σ) ¹ U .

¥

Definicion 2 - 1 - 4 Sea v0 ∈ Im(σ), llamamos Imagen Inversa de v0 a

σ−1(v0) = {u ∈ U |σ(u) = v0}

Teorema 2 - 1 - 5 Sea σ(u0) = v0, entonces,

σ−1(v0) = {u0 + u|u ∈ N(σ)}

Dem.Llamemos N(σ) + {u0} = {u0 + u|u ∈ N(σ)},⇒)


Sea w ∈ N(σ) + {u0}, entonces, existe u ∈ N(σ) tal que w = u + u0, luegoσ(w) = v0, esto implica w ∈ σ−1(v0), y por lo tanto

N(σ) + {u0} ⊆ σ−1(v0)

⇐)Sea w ∈ σ−1(v0), definamos u = w − u0, de donde

σ(u) = σ(w − u0)

= v0 − v0

= 0

por lo tanto, u ∈ N(σ), y u0+u = u0+w−u0 = w ∈ N(σ)+{u0}, esto implica

σ−1(v0) ⊆ N(σ) + {u0}

De donde concluimosσ−1(v0) = N(σ) + {u0}

¥

Ahora, el lector podra facilmente (teoricamente hablando) resolver las ecua-ciones del estilo

2x+ y = 35

x− 2y = 1258

3x− y = 1293

hallando una solucion particular, y teniendo en cuenta el resultado anterior.

Teorema 2 - 1 - 6 Sea σ ∈ L(U, V ), luego

σ es uno a uno sii N(σ) = {0}

Dem.⇒)Sea σ uno a uno, luego si u1, u2 ∈ U , entonces

σ(u1) = σ(u1) =⇒ u1 = u2

Luego, sea u ∈ N(σ), por lo tanto

σ(u) = 0 = σ(0) =⇒ u = 0

Esto implica N(σ) = {0}.⇐)Sea N(σ) = {0}, por lo tanto, si u1, u2 ∈ U y ademas

σ(u1) = σ(u2)

σ(u1 − u2) = 0

u1 − u2 = 0

u1 = u2


Y σ es uno a uno, de donde podemos concluir

σ es uno a uno sii N(σ) = {0} ¥

2.1.1 Teorema Fundamental del Algebra Lineal

Teorema 2 - 1 - 7 Teorema Fundamental del Algebra Lineal (T.F.A.L).Sea σ ∈ L(U, V ), si dim U <∞, entonces

dim N(σ) + dim Im(σ) = dim U

Dem. Sea A = {u1, u2, . . . , us} una base de N(σ), puesto que N(σ) ⊆ U ,existen vectores w1, w2, . . . , wp tales que

B = A ∪ {w1, w2, . . . , wp} es una base de U

Demostraremos que el conjunto D = {σ(w1), σ(w2), . . . , σ(wp)} es una base deIm(σ).

1. Sea v ∈ Im(σ), por lo tanto, existe un u ∈ U , y escalares α1, α2, . . . , αs, β1, β2, . . . , βptales que

v = σ(u)

= σ(

s∑

i=1

αiui +

p∑

j=1

βjwj)

= σ(

s∑

i=1

αiui) + σ(

p∑

j=1

βjwj)

=

p∑

j=1

βjσ(wj)

esto es, 〈D〉 = Im(σ).

2. Sean β1, β2, . . . , βp escalares tales que existen α1, α2, . . . , αs escalares, con

0 =

p∑

j=1

βjσ(wj)

= σ(

p∑

j=1

βjwj)

s∑

i=1

αiui =

p∑

j=1

βjwj (pues

p∑

j=1

βjwj ∈ N(σ) )

0 =

s∑

i=1

(−αi)ui +

p∑

j=1

βjwj


De donde concluimos βj = 0 ∀j=1,...,p pues B es base de U , y ademasconcluimos que D es linealmene independiente.

De 1) y 2) concluimos que D es una base de Im(σ), dim Im(σ) = p y

dim N(σ) + dim Im(σ) = dim U

¥

Teorema 2 - 1 - 8 Sean σ ∈ L(U, V ) y τ ∈ L(V,W ), entonces

τ ◦ σ ∈ L(U,W )

Dem.* Denotaremos τ ◦ σ simplemente como τσSean u1, u2 ∈ U y λ1, λ2 ∈ K, luego

τσ(λ1u1 + λ2u2) = τ(λ1σ(u1) + λ2σ(u2))

= λ1τσ(u1) + λ2τσ(u2)

Esto esτσ ∈ L(U,W )

¥


ρ(σ) = ρ(τ ◦ σ) + dim(Im(σ) ∩N(τ))

Dem.Definimos

τ ′ : Im(σ) −→ Wv 7→ τ ′(v) = τ(v)

Luego τ ′ ∈ L(Im(σ),W ), de acuerdo con el T.F.A.L

dim(Im(σ)) = dim(N(τ ′)) + dim(Im(τ ′))

ρ(σ) = dim(N(τ ′)) + dim(Im(τ ′))

Pero

N(τ ′) = {v ∈ Im(σ) | τ ′(v) = 0}

= {v ∈ Im(σ) | τ(v) = 0}

= Im(σ) ∩N(τ)


Ademas

Im(τ ′) = {τ(v) | v ∈ Im(σ)}

= {τ(σ(u)) |u ∈ U}

= {τσ(u) |u ∈ U}

= Im(τσ)

Por lo tantoρ(σ) = ρ(τσ) + dim(Im(σ) ∩N(τ))

¥

Corolario 2 - 1 - 1

ρ(τσ) = dim(Im(σ) +N(τ))− ϑ(τ)

Dem.Tenemos que

dim(Im(σ) +N(τ)) = dim(Im(σ)) + dim(N(τ))− dim(Im(σ) ∩N(τ))

por Teorema 3 - 8

dim(Im(σ) +N(τ)) = ρ(τσ) + dim(N(τ))

De donde se concluye

ρ(τσ) = dim(Im(σ) +N(τ))− ϑ(τ)

¥

Corolario 2 - 1 - 2 Si N(τ) ⊆ Im(σ) entonces

ρ(σ) = ρ(τσ) + ϑτ

Dem.Como N(τ) ⊆ Im(σ)

N(τ) ∩ Im(σ) = N(τ)

Y por Teorema 3 - 8ρ(σ) = ρ(τσ) + dim(N(τ))

ρ(σ) = ρ(τσ) + ϑ(τ)

¥


Corolario 2 - 1 - 3ρ(τσ) ≤ min(ρ(τ), ρ(σ))

Dem.Es claro que si

ρ(σ) = ρ(τσ) + dim(Im(σ) ∩N(τ))

Entoncesρ(τσ) ≤ ρ(σ)

Ahora, tenemos que

Im(σ) ⊆ V

τ(Im(σ)) ⊆ τ(V )

τ(σ(U)) ⊆ τ(V )

dim(τσ(U)) ≤ dim(τ(V ))

dim(Im(τσ)) ≤ dim(Im(τ))

ρ(τσ) ≤ ρ(τ)

En conclusion,ρ(τσ) ≤ min(ρ(τ), ρ(σ))

¥

Corolario 2 - 1 - 4 Si σ es un epimorfismo, entonces

ρ(τσ) = ρ(τ)

Dem.

σ(U) = V

τσ(U) = τ(V )

Imτσ = Imτ

ρ(τσ) = ρ(τ)

¥

Corolario 2 - 1 - 5 Si τ en uno a uno, entonces

ρ(τσ) = ρ(σ)


Dem.Puesto que τ es uno a uno

N(τ) = 0

Pero

ρ(σ) = ρ(τσ) + dim(Im(σ) ∩N(τ))

= ρ(τσ) + dim({0})

= ρ(τσ)

¥

Corolario 2 - 1 - 6 No se cambia el rango de una transformacion lineal si semultiplica por un isomorfismo por cuaquiera de los lados.

Dem.Consecuencia inmediata de los Corolarios 3 - 4 y 3 - 5.

¥

Teorema 2 - 1 - 10 Sea σ ∈ L(U, V ) y τ ∈ L(V,W ), entonces

τ es uno a uno, sii, τσ ⇒ σ = 0.

Dem.⇒) Supongamos τσ = 0, pero σ 6= 0, para alguna σ ∈ L(U, V ). Entonces, existeu ∈ U tal que σ(u) 6= 0, luego

(τσ)(u) = 0

= τ(σ(u)) 6= 0

−→←−

Por lo tanto σ = 0

⇐) Supongamos que τσ = 0 ⇒ σ = 0, pero τ no es uno a uno, luego existev0 ∈ V , con v 6= 0 tal que

τ(v0) = 0

Sea A = {u1, u2, . . . , un} una base de U , y sea

χ : U −→ Vu 7→ χ(u)


Tal que si u =∑n

i=1 λiui, entonces χ(u) =∑n

i=1 λiv0χ ∈ L(U, V )*, pero, χ 6= 0, pues χ(u1) = v0 6= 0, y

(τχ)(u) = τ(χ(u))

= τ(

n∑

i=1

λiv0)

=

n∑

i=1

λiτ(v0)

=

n∑

i=1

λi · 0

= 0

Es decir τχ = 0, lo cual contradice la hipotesis. Por lo tanto τ es uno a uno,quedando demostrado el teorema.

¥


σ es epimorfismo, sii, τσ = 0⇒ τ = 0

Dem.⇒) Supongamos que exista τ ∈ L(V,W ) tal que τσ = 0 pero τ 6= 0. Luegoexiste v ∈ V tal que τ(v) 6= 0. Como σ es sobreyectiva, existe u ∈ U tal queσ(u) = v, luego

(τσ)(u) = τ(σ(u))

= τ(v) 6= 0

→←

Luego τ = 0

⇐) Supongamos que τσ = 0 ⇒ τ = 0, pero que σ no es sobreyectiva, estoes

Im(σ) ( V

Sea B = {v1, v2, . . . , vs} una base de Im(σ), existen vectores vs+1, vs+2, . . . , vnen V , tales que

B ∪ {vs+1, vs+2, . . . , vn} es base de V

Sea w0 ∈W , w0 6= 0, si v ∈ V , existen λ1, λ2, . . . , λn escalares tales que

v =

s∑

i=1

λivi +

n∑

i=s+1

λivi


Seaτ : V −→ W

v 7−→ τ(v) =∑n

i=s+1 λiw0

Es facil ver que τ ∈ L(V,W ), claramente τ 6= 0 pues τ(vs+1) = w0 6= 0.Sea u ∈ U , entonces σ(u) ∈ Im(σ), existen escalares λ1, λ2, . . . , λs tales que

σ(u) =s∑

i=1

λivi

τ(σ(u)) = 0

→←

Por lo tanto σ es un epimorfismo.

¥

Corolario 2 - 1 - 7 Si σ1 y σ2 estan en L(U, V ) y τ ∈ L(V,W ), entonces,

τ es monomorfismo, sii, τσ1 = τσ2 ⇒ σ1 = σ2

Dem: Sea σ∗ = σ1 − σ2 ∈ L(U, V )

τes monomorfismo ↔ τσ∗ = 0⇒ σ∗ = 0

↔ τ(σ1 − σ2) = 0⇒ σ1 − σ2 = 0

↔ τσ1 − τσ2 = 0⇒ σ1 − σ2 = 0

↔ τσ1 = τσ2 ⇒ σ1 = σ2

¥

Corolario 2 - 1 - 8 Si σ ∈ L(U, V ) y τ1 y τ2 estan en L(V,W ), entonces,

σ es epimorfismo, sii, τ1σ = τ2σ ⇒ τ1 = τ2

Sea τ∗ = τ1 − τ2,

σes epimorfismo ↔ τ∗σ = 0⇒ τ∗ = 0

↔ (τ1 − τ2)σ = 0⇒ τ1 − τ2 = 0

↔ τ1σ − τ2σ = 0⇒ τ1 − τ2 = 0

↔ τ1σ = τ2σ ⇒ τ1 = τ2

¥


Teorema 2 - 1 - 12 Sean U, V espacios vectoriales, A = {u1, u2, . . . , un} unabase de U , y B = {v1, v2, . . . , vn} ⊆ V . Existe una unica σ ∈ L(U, V ) tal

∀i=1,2,...,n σ(ui) = vi

Dem.Sea u ∈ U , luego existen λ1, λ2, . . . , λn ∈ K escalares tales que u =

∑ni=1 λiui.

Definimosσ : U −→ V

u 7−→ σ(u) =∑n

i=1 λivi

1. σ es una funcion

Sea u = u∗ ∈ U , de donde existen escalares λ1, λ2, . . . , λn, α1, α2, . . . , αn ∈K, tales que

u =

n∑

i=1

λiui =

n∑

i=1

αiui = u∗

n∑

i=1

λiui −n∑

i=1

αiui = 0

n∑

i=1

(λi − αi)ui = 0

λi = αi ∀i=1,2...,n (Pues A es base de U)

Por lo tantoσ(u) = σ(u∗)

Y σ es una funcion de U en V .

2. σ ∈ L(U, V )Sean u, u

′

∈ U , β, χ ∈ K, existen escalares λ1, λ2, . . . , λn, α1, α2, . . . , αn ∈K, tales que u =

∑ni=1 λiui y u

′

=∑n

i=1 αiui. Tenemos que

σ(βu+ χu′

) =

n∑

i=1

(βλi + χαi)vi

= β

n∑

i=1

λivi + χ

n∑

i=1

αivi

= βσ(u) + χσ(u′

)

Luego σ ∈ L(U, V ).

3. Veamos que para todo i = 1, 2, . . . , n

ui =n∑

j=1

δijuj

σ(ui) =

n∑

j=1

δijvj

= vi


Luego σ cumple con la condicion dada.

4. σ es unica

Supongamos que exista τ ∈ L(U, V ) tal que ∀i=1,2,...,n τ(ui) = vi. Seau ∈ U , luego existen escalares λ1, λ2, . . . , λn ∈ K tales que.

τ(u) = τ(

n∑

i=1

λiui)

=n∑

i=1

λiτ(ui)

=

n∑

i=1

λivi

= σ(u)

τ = σ

¥

Corolario 2 - 1 - 9 Si B es L.Ind entonces σ es monomorfismo.

Corolario 2 - 1 - 10 Si B es una base de V , entonces σ es biyectiva

Corolario 2 - 1 - 11 Sea U un K-espacio vectorial, si dim U = n entonces Ues isomorfo a Kn. Esto se nota como

U ∼= Kn

2.1.2 Ejercicios

1. Supongase D denota el operador de derivacion

D(y) =dy

dx, D2(y) = D[D(y)] =

d2y

dx2, etc.

Demuestre que Dn es una transformacion lineal y tambien que p(D) esuna transformacion lineal si p(D), es un polinomio en D con coeficientesconstantes.

2. Demuestre los Corolarios 2-1-9, 2-1-10 y 2-1-11.

3. Sea V un espacio vectorial y sea σ : V → V . Se dice que un subespacioW de V es σ-invariante, si

σ(W ) ⊆W

Demuestre que los subespacios {0}, V,N(σ), Im(σ) son todos σ-inveriantes.

2.2. TRANSFORMACIONES LINEALES Y MATRICES 53

4. (Continuacion) Sea W un subespacio de V que ademas es σ-invariante,definamos

σW : W −→ Wx 7−→ σW (x) = σ(w)

Demuestre que σW es una transformacion lineal, luego halle N(σw) eIm(σw).

2.2 Transformaciones Lineales y Matrices

Las matrices surgieron como consecuencia del estudio del estudio de los de-terminates (materia del siguiente capıtulo) como una manera mas comoda derepresentarlos. La palabra matriz fue empleada por primera vez por Sylvester.Actualmente es comun encontrar que muchos objetos son representados pormedio de matrices como es el caso de los sistemas de ecuaciones o los grafos. Enesta seccion seran introducias a partir de las transformaciones lineales.

Sean σ ∈ L(U, V ), A = {u1, u2, . . . , un} y B = {v1, v2, . . . , vm} bases de Uy V respetivamente. Existen escalares aij ∈ K ∀i=1,...,m∀j=1,...,n tales que

σ(uj) =

m∑

i=1

aijvi

definamos

σ(uj) =

a1j

a2j

...amj

Y construyamos la siguiente matriz

σ (u1) σ (u2) · · · σ (un)↓ ↓ ↓

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amn

=MBA (σ)

Definicion 2 - 2 - 1 Llamaremos Matriz Asociada a σ mediante las basesA y B a la matriz

MBA (σ)

Ejemplo 2 - 2 - 1 Sean

σ : R2 −→ R3

(x, y) 7→ (2x− 3y, x+ y, y − x)

A = {(1, 1), (1,−1)} B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}


Observe que

σ(1, 1) = (−1, 2, 0) σ(1,−1) = (5, 0,−2)

De otra parte, al resolver el sistema

α+ β + χ = x

α+ β = y

α = z

obtenemos que β = y − z y χ = x− y, de donde

σ(1, 1) = 0(1, 1, 1) + 2(1, 1, 0)− 3(1, 0, 0)

σ(1,−1) = −2(1, 1, 1) + 2(1, 1, 0) + 5(1, 0, 0)

Y por lo tanto

MBA (σ) =

0 −22 2−3 5

Ejemplo 2 - 2 - 2 Halle MAA (id) donde id ∈ L(U,U) es la identica, y A =

{u1, u2, . . . , un} es una base de U .

Es claro que, para todo ui ∈ A, se tiene

id(ui) =

n∑

j=1

δijuj

por lo tanto

MAA (id) =

1 0 · · · 00 1 · · · 0...

.... . .

...0 0 0 1

Ejemplo 2 - 2 - 3 Sea σ ∈ L(R4,R3), con

σ(x, y, z, w) = x(2, 5,−1) + y(−3, 1, 4) + z(4,−6,−7) + w(−1,−2, 8)

Sean

A = {e1, e2, e3, e4}

A′ = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}

B = {e1, e2, e3}

B′ = {(1, 2, 1), (3,−1, 0), (1, 0, 0)}

Halle todas las posibles matrices asociadas a σ por las bases dadas anteriormente


Tenemos que

σ(e1) = (2, 5,−1) = −1(1, 2, 1)− 7(3,−1, 0) + 24(1, 0, 0)

σ(e2) = (−3, 1, 4) = 4(1, 2, 1) + 7(3,−1, 0)− 28(1, 0, 0)

σ(e3) = (4,−6,−7) = −7(1, 2, 1)− 8(3,−1, 0) + 35(1, 0, 0)

σ(e4) = (−1,−2, 8) = 8(1, 2, 1) + 18(3,−1, 0)− 63(1, 0, 0)

Por lo tanto

MBA (σ) =

2 −3 4 −15 1 −6 −2−1 4 −7 8

MB′

A (σ) =

−1 4 −7 8−7 7 −8 1824 −28 35 −63

Ahora

σ(1, 1, 1, 1) = (2,−2, 4) = 4(1, 2, 1) + 10(3,−1, 0)− 32(1, 0, 0)

σ(1, 1, 1, 0) = (3, 0,−4) = −4(1, 2, 1)− 8(3,−1, 0) + 31(1, 0, 0)

σ(1, 1, 0, 0) = (−1, 6, 3) = 3(1, 2, 1) + 0(3,−1, 0)− 4(1, 0, 0)

σ(1, 0, 0, 0) = (2, 5,−1) = −1(1, 2, 1)− 7(3,−1, 0) + 24(1, 0, 0)

Por lo tanto

MBA′(σ) =

2 3 −1 2−2 0 6 54 −4 3 −1

MB′

A′ (σ) =

4 −4 3 −110 −8 0 −7−32 31 −4 24

Ejemplo 2 - 2 - 4 Sea σθ ∈ L(R2,R2) tal que

σθ(x, y) = (x cos θ − y sen θ, x sen θ + y cos θ)

Sea A = {e1, e2}. Halle MAA (σθ) , M

AA (σθσα) , M

AA (σθ) ·M

AA (σα).

Tenemos que

σθ(1, 0) = (cos θ, sen θ)

σθ(0, 1) = (−sen θ, cos θ)

Por lo tanto

MAA (σθ) =

(cos θ −sen θsen θ cos θ

)

Ahora, sabemos que

σθσα(1, 0) = (cos (θ + α), sen (θ + α))

σθσα(0, 1) = (−sen (θ + α), cos (θ + α))

Y por lo tanto

MAA (σθσα) =

(cos (θ + α) −sen (θ + α)sen (θ + α) cos (θ + α)

)


y es facil verificar que

MAA (σθσα) =MA

A (σθ) ·MAA (σα)

La utilidad de la matriz asociada a una transformacion lineal recae en el hechode que por medio de ella se puede encontrar la imagen de cualquier elemento delespacio de partida, o por lo menos su representacion como combinacion linealde los elementos de la base de llegada como mostramos a continuacion.

Seaσ : U −→ V

u 7→ σ(u)

y A = {u1, . . . , un}, B = {v1, . . . , vn} bases de U y V repectivamente.

Si u ∈ U , existen escalares λ1, . . . , λn en K tales que u =∑n

j=1 λjuj , y ademas

como σ(uj) ∈ V , existen escalares a1j , a2j , . . . , amj tales que σ(uj) =∑m

i=1 aij ,es decir

σ(u) =

n∑

j=1

λjσ(uj) =

n∑

j=1

λj

m∑

i=1

aijvi

el ultimo termino de estas igualdades puede ser escrito como

m∑

i=1

n∑

j=1

aijλj

vi (3.1)

Siendo σ(u) un elemento de V, existen escalares α1, . . . , αm tales que

σ(u) =m∑

i=1

αivi (3.2)

por (3.1) y (3.2) se tiene que

αi =

m∑

i=1

aijvj

es decir

α1 = a11λ1 + a12λ2 + · · ·+ a1nλn

α2 = a21λ1 + a22λ2 + · · ·+ a2nλn...

α1 = am1λ1 + am2λ2 + · · ·+ amnλn

de donde

α1

α2

...αm

=

a1 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

am1 am2 · · · amm

λ1

λ2

...λn


Con lo cual hemos mostrado que σ(u) =MBA (σ) · u

Se preguntara el lector que matriz se asocia a una transformacion obtenidade la adicion y composicion de dos transformaciones lineales. Observe que siτ, σ ∈ L(U, V ) y A = {u1, . . . , un} y B = {v1, . . . , vn} son bases de U y Vrepectivamente. Existen escalares a1j , · · · , amj y b1j , · · · , bmj tales que

σ(uj) =

m∑

i=1

aijvj y τ(uj) =

m∑

i=1

bijvj

luego

(σ + τ)(uj) =

m∑

i=1

(aij + bij)vj

de donde concluimos que

(σ + τ)(uj) = σ(uj) + τ(uj)

es decir, cada elemento cij de MBA (σ + τ) se obtiene sumando los correspondi-

entes aij y bij de MBA (σ) y MB

A (τ) respectivamente.

Estudiaremos ahora la cuestion de la matriz que representa la tranformacionobtenida de la composicion de otras dos. Tomemos σ ∈ L(U, V ) y τ ∈ L(V,W ).Sean

A = {u1, . . . , un}, B = {v1, . . . , vm} y C = {w1, . . . , ws}

bases de U, V y W respectivamente. Puesto que σ(uj) ∈ V ∀j=1,...,n existenescalares a1j , . . . , amj los cuales forman la j-esima columna de MB

A (σ) y sontales que

σ(uj) =

m∑

i=1

aijvi

tambien existen escalares b1i, . . . , bsi ∀i=1,...,m los cuales forman la i-esima columnade MC

B (τ) y son tales que

τ(vi) =

s∑

l=1

bliwl

De otra parte, puesto que (τσ)(uj) ∈W , existen escalares c1j , . . . , csj tales que

(τσ)(uj) =

s∑

l=1

cljwl


Pero ademas (τσ)(uj)=τ(σ(uj)) que es lo mismo que

τ

(m∑

i=1

aijvi

)

=m∑

i=1

aijτ(vi)

=

m∑

i=1

aij

(s∑

l=1

bliwl

)

=s∑

l=1

(m∑

i=1

bliaij

)

wl

De donde se concluye que clj = (∑m

i=1 bliaij). Es decir, elemento de la l-esimafila y j-esima columna deMC

A (τσ) se obtiene multiplicando temino a termino loselemetos de la l-esima fila deMC

B (τ) y la j-esima columna deMBA (σ) y efectuando

su suma. Hemos definido pues, el producto de matrices como consecuencia dela comoposocion de matrices. Simbolicamente se expresara como:

MCA (τσ) =MC

B (σ) ·MBA (σ)

Segurmente el lector encontrara mas satisfactorio desde el punto de vista matematicola construccion de las operaciones suma y producto entre matrices aqui dada, quesi simplemente se hubiesen definido (injustificadamente) la manera de ralizarlas.

Ejemplo 2 - 2 - 5 Sea σ ∈ L(R3,R2),τ ∈ L(R2,R4) con

σ(x, y, z) = x(3, 4)+y(−2, 1)+z(1,−1) τ(x, y) = x(2,−5, 3,−1)+y(1, 1, 1, 4)

Sean

A = {(1, 1), (−1, 1)}

B = {(1, 2, 3), (1, 3, 0), (2, 0, 0)}

C = {(1, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 0), (1, 0, 0, 0)}

HalleMC

A (τ) NAB (σ) OC

B(τσ) P =M ·N

Tenemos que

σ(1, 2, 3) = (2, 3) =5

2(1, 1) +

1

2(−1, 1)

σ(1, 3, 0) = (−3, 7) = 2(1, 1) + 5(−1, 1)

σ(2, 0, 0) = (6, 8) = 7(1, 1) + 1(−1, 1)

Por lo tanto

NAB (σ) =

(52 2 712 5 1

)


Ahora

τ(1, 1) = (3,−4, 4, 3) = 3(1, 1, 1, 1) + 1(1, 1, 1, 0)− 8(1, 1, 0, 0) + 7(1, 0, 0, 0)

τ(−1, 1) = (−1, 6,−2, 5) = 5(1, 1, 1, 1)− 7(1, 1, 1, 0) + 8(1, 1, 0, 0)− 7(1, 0, 0, 0)

Por lo tanto

MCA (τ) =

3 51 −7−8 87 −7

Faltaria por hacer

τσ(1, 2, 3) = (7,−7, 9, 10) = 10(1, 1, 1, 1)− 1(1, 1, 1, 0)− 16(1, 1, 0, 0) + 14(1, 0, 0, 0)

τσ(1, 3, 0) = (1, 22,−2, 31) = 31(1, 1, 1, 1)− 33(1, 1, 1, 0) + 24(1, 1, 0, 0)− 21(1, 0, 0, 0)

τσ(2, 0, 0) = (20,−22, 26, 26) = 26(1, 1, 1, 1) + 0(1, 1, 1, 0)− 48(1, 1, 0, 0) + 42(1, 0, 0, 0)

De donde

OCB(τσ) =

10 31 26−1 −33 0−16 24 −4814 −21 42

Y finalmente es claro que

MCA (τ)NA

B (σ) =

3 51 −7−8 87 −7

·

(52 2 712 5 1

)

=

10 31 26−1 −33 0−16 24 −4814 −21 42

MCA (τ)NA

B (σ) = OCB(τσ)

Sean A y B bases de U un espacio vecorial.

Definicion 2 - 1 - 5 la matriz MBA (id) recibe el nombre de matriz de paso

de la base A a la base B, donde id es la tranformacion que a cada vector de Ulo envia en sı mismo

Segun acabamos de ver si A y B son bases de un espacio vectorial, enoncesMB

A (id) ·MAB (id) =MB

B (id · id), esto ultimo a su vez, es lo mismo que MBB (id)

donde segun el ejemplo 3-6

MBB (id) =

1 0 0 · · · 00 1 0 · · · 00 0 1 · · · 0...

......

. . ....

0 0 0 · · · 1


Matriz que se notara como In. Segun se menciono en el ejemplo 2-6, kn×n es unespacio vectorial. Sin embargo solo ahora, con las operaciones suma y productodefinidas, esta afirmacin puede ser comprobada, ası como que la matriz In es elmodulo para el producto.De ahi que

(MB

A (id))−1

=MAB (id)

Sean σ ∈ L(U, V ), A y A′

bases de U , B y B′

bases de V. Tomemos MBA (σ) y

MAA′ (id). se tiene que

MBA (σ) ·MA

A′ (id) =MB

A′ (σ × id) =MB

A′ (σ)

tomemos ahora MB′

B (id) y MBA (σ), se tiene que

MB′

B (id) ·MBA (σ) =MB

′

A (id · σ) =MBA (σ)

Esto muestra como, dada MBA (σ), con σ ∈ L(U, V ), obtener matrices que rep-

resenten la misma tranformacion lineal pero respecto a diferentes bases enU o en V.

Teorema 2 - 2 - 1 Km×n es isomorfo a L(kn,Km)

Dem.Sean A y B bases de Kn y Km respectivamente y

µ : L (Kn,Km) → Km×n

σ → µ (σ) = Q =MBA σ

1. µ es funcion pues claramente si σ = τ , σ(uj) = τ(uj) para todo j =1, · · · , n, luego MB

A (σ) =MBA (τ)

2. µ es lineal, para verlo tomemos σ, τ ∈ L(Kn,Km), por definicion

MBA (ασ + βτ) es αMB

A (σ) + βMBA (τ)

3. µ es biyectiva

(a) µ es uno a uno, pues si MBA (σ) = MB

A (τ), entonces las respectivascolumnas de estas matrices son iguales, es decir σ(uj) = τ(uj)∀uj∈A;j=1,...,n,lo que a su vez implica que σ(u) = τ(u) ∀u ∈ Kn


(b) µ es sobre. Dada Q = (aij)m×n se define.

wj =

m∑

i=1

aijvi

donde los vi son los elementos de la base B de Km, segun el teorema3-11 existe una unica transformacion lineal σ tal que σ(uj) = wj ,claramente Q =MB

A (σ) para σ ası definida

Ası termina la demostracion

¥

Sea σ ∈ L(U,U) transformacion lineal biyectiva. se tiene que σ−1 es lineal,pues, dados u1, u2 ∈ U , existen unicos v1, v2 ∈ U tales que σ(v1) = u1 yσ(v2) = u2, luego

σ−1(αu1 + βu2) = σ−1(ασ(v1) + βσ(v2))

= σ−1(σ(αv1 + βv2))

= αv1 + βv2

= ασ−1(u1) + βσ−1(u2)

Tomemos ahora C una base de U , MCC (σ) y MC

C (σ−1), vemos que

MCC (σ) ·MC

C (σ−1) = MCC (σ · σ−1)

= MCC (id)

= MCC (σ−1 · σ)

= MCC (σ−1) ·MC

C (σ)

Lo que significa que

MCC (σ−1) es

(MC

C (σ))−1

Teorema 2 - 2 - 2 Sean σ ∈ L(Kn,Km), y MBA (σ) su matiz asociada para

A y B bases de Kn y km respectivamente. Dada Q una matriz no singular deorden m existe D base de Km tal que

Q ·MBA (σ) =MD

A (σ)

Dem.

Sea B = {v1, . . . , vm}, tomemos Q−1 = (qij)m×m y hagamos D = {w1, . . . , wm}con wj =

∑mi=1 qijvi. Veamos que D es linealmente independiente:


Supongamos que D es l. dep., esto es, que existen λ1, . . . , λm, escalares notodos nulos tales

m∑

j=1

λjwj = 0

es decirm∑

j=1

λj

(m∑

i=1

qijvi

)

= 0

o lo que es lo mismom∑

i=1

m∑

j=1

λjqij

vi = 0

en donde por la independencia lineal de B, debe ser

m∑

j=1

λjqij = 0 ∀i

de donde

0000

=

λ1q11 + λ2q12 + · · ·+ λmq1mλ1q21 + λ2q22 + · · ·+ λmq2m

...λ1qm1 + λ2qm2 + · · ·λmqmm

= λ1

q11q21...

qm1

+ λ2

q12q22...

qm2

+ · · ·+ λm

q1mq2m...

qmm

esto ultimo es una evidente contradiccion pues se trata de las columnas de unamatriz no singular.

Luego D es una base de Km, entonces Q−1 ası definida resulta ser MBD (id),

por lo que Q =MDB (id) quedando demostrado el teorema.

¥

Teorema 2 - 2 - 3 Sean σ ∈ L(Kn,Km), y MBA (σ) su matiz asociada para A

y B bases de Kn y Km respectivamente. Dada Q una matriz no singular deorden m existe E base de kn tal que

MBA (σ) ·Q =MB

E (σ)

Dem julian o ejercicio propuesto para el lector


Definicion 2 - 2 - 2 dos matricesM y N se denominan semejantes si y soloexiste Q matriz no singular tal que

M = QNQ−1

Note el lector que el que dos matrices sean semejantes significa que estanasociadas a la misma transformaion lineal pero respecto a bases distintas.

2.2.1 Forma Normal Natural

Si A ∈ Km×n y A es una base de Kn, existen σ ∈ L(Kn,Km) y B base deKm tales que

A =MBA (σ)

Recuerde que si ademas A′ y B′ son bases de Kn yKm respetivamente entonces

MB′

A′ (σ) =MB′

B (id) ·MBA (σ) ·MA

A′(id)

siendo MB′

B (id) y MAA′(id) matrices no singulares.

Sea N = {v1, . . . , vϑ} una base de N(σ), existen u1, . . . , uρ tales que

A′ = {u1, . . . , uρ} ∪N es una base de Kn

Tenemos que I = {σ(u1), . . . , σ(uρ)} es una base de Imσ, por lo que existenw1, . . . , wm−ρ vectores en Km tales que

B′ = I ∪ {w1, . . . , wm−ρ}

es una base de Km.Para A′ y B′ asi construidos encotraremos que

MB′

A′ (σ) =fila ρ→

1 0 0 . . . 0 0 . . . 00 1 0 . . . 0 0 . . . 00 0 1 . . . 0 0 . . . 0...

......

. . ....

.... . .

...0 0 0 . . . 1 0 . . . 00 0 0 . . . 0 0 . . . 0...

......

. . ....

.... . .

...0 0 0 . . . 0 0 . . . 0

Diremos que esta matriz esta en la forma normal natural


Definicion 2 - 2 - 3 Sea A una matriz, llamaremos rango de la matriz alnumero de filas con elementos no todos nulos de su forma normal natural.

Note que el rango de la matriz coincide con el rango de la trasformacin linealque representa

2.2.2 Forma normal de Hermite

Sea σ ∈ L(U, V ) tal que dim(U)=n y dim(V )=m y A = {u1, . . . , un} unabase de U .Llamemos In al conjunto {1, 2, . . . , n } y definamos los Ki como sigue:

K1 = min{i ∈ In\σ(ui) 6= 0}

K2 = min{i ∈ In\i > k1 ∧ σ(ui) /∈ 〈uk1〉}

K3 = min{i ∈ In\i > k2 ∧ σ(ui) /∈ 〈uk1, uk2〉}

...

Kρ = min{i ∈ In\i > ρ− 1 ∧ σ(ui) /∈

⟨uk1

, . . . , ukρ−1

⟩}

Definamos vj = σ(ukj ). Puesto que D = {v1, . . . , vρ} es una base de Im(σ),existen en V vectores vρ+1, . . . , vm tales que B = D ∪ {vρ+1, . . . , vm} es unabase de V .

Tomemos j ∈ In, si j = Ki para algun i ∈ Iρ, se tiene que

σ(uj) =

0...010...0

← puesto j


Si por el contrario j 6= ki ∀i∈Iρ se toma l = max ({i\ki < j}), luego

σ(uj) =

a1j

...al−1j

alj0...0

← puesto l

Esto indica que MBA tiene la siguienta forma.

Note ademas que si σ es biyectiva, entonces

MBA (σ) = In

Por lo tanto si A =MDA (σ), entonces

In = MBD (id) ·MD

A (σ)

= QA

es decir, si A representa a σ tranformaion lineal biyectiva, entonces existe A−1.

A continuacion mostraremos que de hecho, la matriz de la forma normal deHermirte de una matriz, puede ser obtenida por medio del producto por unamatriz no singular.

Teorema 2 - 2 - 4 Dada una matriz A ∈ Km×n de rango ρ, existe Q ∈ Km×m

invertible tal que para A′ = QA se cumple que:

1. Existe al menos un elemento difente de 0 en cada una de las priemras ρfilas de A′, las restantes m−ρ filas tienen todos sos elementos iguales a 0

2. Existen k1, . . . , kρ ∈ N tales que 1 6 k1 < k2 < · · · < kρ 6 n y el unicoelemento distinto de 0 en la columna ki es un 1 que esta en la fila i ∀i=1,...,ρ

3. El primer elemento distinto de 0 en la fila i (i 6 ρ) es un 1 que esta en lacoluma ki

4. A′ queda determnada de manera unica por A


Dem.Sean A y B bases de kn y km respectivamente, segun el teorema 3-13, existeσ ∈ L(Kn,Km) tal que A =MB

A (σ), y segun la construccion anterior, eixste Dbase de Km tal que MD

A (σ) satisface las condiciones del teorema, siendo

MDA (σ) =MD

B (id)MBA (σ) = QA

Supongamos que existen A′ y A′′ en Km×n que satisfacen las condiciones delteorema, existen entonces B = {v1, . . . , vm} y B

′ = {w1, . . . , wm} bases de Km

tales que

MBA (σ) = A′

MB′

A (σ) = A′′

Sean 1 6 k1 < · · · < kρ 6 n las columnas pivote de A′ y 1 6 h1 < · · · < hρ 6 nlas columnas pivote de A′′

• Para i < k1 se tiene que σ(ui) = 0 ademas σ(uk1) = v1

Para i < h1 se tiene que σ(ui) = 0 ademas σ(uh1) = w1

Ahora si suponemos que h1 < k1 se tendrıa w1 = σ(uh1) = 0 lo que

es una contradiccion. O si k1 < h1, entonces v1 = σ(uk1) = 0 que tambien

es contradictorio. Ası pues se tiene que

h1 = k1 y v1 = w1

• Si k1 < i < k2, entonces σ(ui) = a1iv1, ademas σ(uk2) = v2

Si h1 < i < h2, entonces σ(ui) = a′1iw1, ademas σ(uh2) = w2

Si suponemos que h2 < k2 se tendrıa

σ(uh2) = a1iv1

= a1iw1

= w2 →←

Si suponemos que k2 < h2 se tendrıa

σ(uk2) = a′1iw1

= a′1iv1

= v2 →←

De donde se concluye que

h2 = k2 y v2 = w2


• Supongamos ahora que ∀i=1,...,j−1 se cumple que vi = wi y hi = ki, setiene entonces que:

Si kj−1 < l < kj , entonces σ(ul) =∑j−1

k=1 aklvk y σ(ukj ) = vj

Si hj−1 < l < hj , entonces σ(ul) =∑j−1

t=1 btlwt y σ(uhj ) = wj

Por lo tanto si hj < kj

σ(uhj ) =

j−1∑

t=1

athjvt

=

j−1∑

t=1

athjwt

= wj →←

O si kj < hj

σ(ukj ) =

j−1∑

t=1

btkjwt

=

j−1∑

t=1

btkjvt

= vj →←

Por lo tanto se concluye que

hj = kjwj = vj

∀i=1,...,ρ

De aqui es inmediato A′ = A′′.

¥

La matiz A′, que a cada matriz A le corresponde de manera biunıvoca sedenomina matriz de la forma normal de Hermite

Surge entonces la pregunta de como, dada una matriz A, obtener la matriz Qtal que QA da la forma normal de Hermite (en adelante FNH). Cueston cuyasolucion se presenta a continuacion.

Sea A = (aij)n×m. Es claro que

n∑

l=1

m∑

s=1

alsEls = A


siendo Els = (αij)n×m con αij = δilδsj.

Claramente

ElsA =

0 0 · · · 0...

.... . .

...as1 as2 · · · asm...

.... . .

...0 0 · · · 0

← fila l − esima

Por lo tanto

(Im + λEls)A =

a11 a12 · · · a1m

......

. . ....

al1 + λas1 al2 + λas2 · · · alm + λasm...

.... . .

...as1 as1 · · · as1

← fila l − esima

es la igual a la matriz A salvo que los elementos de la fila l son los de la originalmas λ veces los correspondientes de ElsA.

Observe el lector que

(Im + λEls)(Im − λEls) = (Im − λEls)(Im + λEls) = Im

Definamos Fls(λ) = Im + λEls, de modo que (Fls(λ))−1 = Fls(−λ)

Se comprueba tambien que

EslA+ElsA− EllA− EssA+ ImA = (Esl + Els − Ell − Ess + Im)A

produce en la matriz A un intercambio de sus filas l-esima y j-esima como semuestra en el siguiente esquema.

(Els + Esl − Ell − Ess + Nm)A =

a11 a12 · · · a1m

......

. . ....

as1 as2 · · · asm...

......

al1 al2 · · · alm...

.... . .

...an1 an2 · · · anm

← fila l − e sima

← fila s− e sima

Definamos entonces Tls = Esl+Els−Ell−Ess+Im. Note que Tls tiene inversa,y que esta es Tsl


Por ultimo es facil comprobar que

(Im + (λ− 1)Ell)A

produce una matriz ”similar” a A pero con su fila l-esima multiplicada por λ

Se llamara Rl(λ) a la matriz Im + (λ− 1)Ell. Rl(λ) tiene inversa (cual?).

Realizar el producto de alguna de las matrices Fls(λ), Tls o Tls por una matrizdada es los que comunmente se denominan operaciones elementales. Paraello Dada una matriz A ∈ Km×n se le adjunta Im y a la matriz obtenida yse efectuan las convenientes operaciones elementales de modo que para A seobtenga la FNH, la matriz resultante en donde se empieza con Im es la matrizQ tal que QA = A′. Se ilustra el procedimietno mediante el siguiente ejemeplo


A =

4 2 3 6 1 −15 10 4 8 3 −1−2 −4 −2 −4 −1 211 22 6 12 4 1

Formamos la matriz

4 2 3 6 1 −15 10 4 8 3 −1−2 −4 −2 −4 −1 211 22 6 12 4 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

A partir de la cual

4 2 3 6 1 −15 10 4 8 3 −1−2 −4 −2 −4 −1 211 22 6 12 4 1

∣∣∣∣∣∣∣∣

1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1

R1(1/4)F12(−5)F13(2)F14(−11)↓

1 2 34

32

12 − 1

40 0 1

412

12

14

0 0 − 12 −1 0 3

20 0 − 9

4 − 92 − 3

2154

∣∣∣∣∣∣∣∣

14 0 0 0− 5

4 1 0 012 0 1 0− 11

4 0 0 1

R2(4)F21(−3/4)F23(1/8)F24(9/4)↓

1 2 0 0 −1 −10 0 1 2 2 10 0 0 0 1 20 0 0 0 3 6

∣∣∣∣∣∣∣∣

4 −3 0 0−5 4 0 0−2 2 1 0−14 −9 0 1

F31(1)F32(−2)F34(−3)↓


Aplicaciones de la forma normal de Hermite

• Determinar el Nucleo de una Tranformacion Lineal

Dada σ ∈ L(kn, km) con A y B bases de kn y km respectivamente, medi-ante la FNH de la matriz asociada es posible determinar N(σ).

Sea σ ∈ L(kn, km). Si σ(v) = 0, es porque MBA (σ)

︸︷︷︸

A

·v = 0. Por lo tanto se

debe hallar v tal que

Av = 0

Puesto que existe Q no singular tal que A′ = QA esta en la FNH es sitemaa resolver es entonces

A′x = 0

en donde

x =

x...

xk1−1

γ1

xk1+1

...xkρ−1

γρ...xn

siendo γi ∈ 〈H〉 ∀i con H = {x1, . . . , xn} −{xk1

, . . . , xkρ}


σ : R6 → R4

v → σ(v)

con

σ(v) = x1(4, 5,−2, 11) +

x2(8, 10,−4, 22) +

x3(3, 4,−2, 6) +

x4(6, 8,−4, 12) +

x5(−2, 3,−1, 4) +

x6(−1,−1, 2, 1)


Se empieza por encontrar la matriz asociada respecto a las bases canonicasesta es

4 8 3 6 −2 −15 10 4 8 3 −1−2 −4 −2 −4 −1 211 22 6 12 4 1

A

la matriz de la FNH es

1 2 0 0 0 10 0 1 2 0 −30 0 0 0 1 20 0 0 0 0 0

A′

Tenemos que resolver A′x = 0, donde las variables dependientes sonx1, x3, x5 siendo el resto las independientes. Claramente

dimN(σ) = 3

Al realizar A′x = 0 se encuentra que

x1 + 2x2 + x6 = 0

x3 + 2x4 − 3x6 = 0

x5 + 2x6 = 0

de donde

x1 = −2x2 − x6

x3 = −2x4 + 3x6

x5 = −2x6

por lo tanto, el nucleo de la transformacion es

{(x1, . . . , x6)/x1 = −2x2 − x6;x3 = −2x4 + 3x6;x5 = −2x6}

En ralidad hallar x tal que Ax = 0 hace parte de el problema mas generalde dada σ tranformacion lineal hallar σ−1(v0) para cualquier v0 del codo-minio de la transformacion. Estudieos mas detenidamente la situacion.

• Hallar la imagen inversa de un elemento de codominio

Sea σ ∈ L(kn, km) y A = MBA (σ) su matriz asociada para A y B bases

de kn y km respectivamente. Hallar v tal que σ(v) = w, es equivalente ahallar v tal que Av = w. para ello se construye la matriz

(A |v )


formada al adjutarle a A la columna w. Note que hallar v tal que σ(v) = wse convierte ahora en el problema de hallar v′ = (x1, . . . , xn+1) ∈ kn+1

con xn+1 = −1 tal que(A |v ) v′ = 0

Se empieza por hallar la FNH de (A |v ) (que llamaremos A′).ρ(A) no puede ser mayor que ρ(A′) y si ρ(A) < ρ(A′)), es porque existej; ρ < j 6 m tal que ajn+1 6= 0. En este caso el problema no tiene solucionpues el producto A′v′ no sera nunca nulo pues su j-esima componente es−ajn+1.

Si finalmente ρ(A) = ρ(A′), entonces A′v′ con v′ = (x1, . . . , xn,−1) dalugar un sistema de la forma.

xk1+ + 0 + + · · ·+ + 0 + = b′1

xk2+ + · · ·+ + 0 + = b′2

...

xkρ + = b′ρ

Note quex0 = (0, . . . , 0, b′1, 0, . . . , 0, ’¯r

ho, . . . , 0)

es una solucion del problema.

• A partir de un sistema de generadores de W 4 V , hallar una basede W

Sean V un k-espacio vectorial, W 4 V , B = {w1, . . . , wm} un sistemde generadores de W y A = {u1, . . . , un} una base de V . se tiene que:

wi =

n∑

j=1

aijvj ∀i=1,...,m

Construimos la matriz

A =

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . . . . .ai1 ai2 · · · ain...

.... . .

...am1 am2 · · · amn

en la que la i-esima fila correponde a las coordenadas de wi respecto a labase A.


Sea Q la matriz no singular tal que A′ = QA esta en la FNH, se tieneque B′ = {w′1, . . . , w

′ρ} es una base de W siendo w′i la i-esima fila de A′

Ejemplo 2 - 1 - 6 Sea B{(1+x)2, (2−x)3, (1−x)4}, hallar una base de〈B〉.

Se tiene que

w1 = 1 + 2x+ x2

w2 = 8− 12x+ 6x2 − x3

w3 = 1− 4x+ 6x2 − 4x3 + x4

Por lo tanto tomando E como la base canonica de R5[x] se halla que

A =

1 2 1 0 0 08 −12 6 −1 0 01 −4 6 −4 1 0

matriz cuya FNH es

A′ =

1 0 0 1019 − 3

19 00 1 0 13

152 − 176 0

0 0 1 − 5376

738 0

por lo que

C ={1 + 10

19x3 − 3

19x4, x+ 13

152x3 − 1

76x4, x2 − 53

76x3 + 7

38x4}

es una base de 〈B〉

2.2.3 Ejercicios

1. Sea σ ∈ L(R3),R3 y B = {e1, e2, e3}, tenemos que

MBB (σ) =

a+ 2b a− b− 3c a− b+ 3ca− b+ c a+ 2b+ c a− b− 2ca− b− c a− b+ 2c a+ 2b− c

Sean b1 = e1 + e2 + e3, b1 = e1 − e2, b3 = e1 − e3

(a) Demuestre que B′ = {b1, b2, b3} es una base de R3

(b) Halle MB′

B′ (σ),MBB′(σ) y M

B′

B (σ)

2. Solucione el sistema

1 1 −32 1 −21 1 11 2 −3

abc

=

−1131


3. Considerese el sistema de ecuaciones lineales

AX = B (∗)

Donde A es una matriz cuadrada. Demostrar que (∗) tiene solucion unicapara todo valor de B si y solo si el sisitema homogeneo AX = 0 no tienemas solucion que la trivial.

4. Sea σ ∈ L(R3),R3 y B la base canonica.

MBB (σ) =

1 2 10 −1 11 1 2

Encuentre bases para N(σ) e Im(σ).

Capıtulo 3

Determinantes

3.1 El Grupo Simetrico

Definicion 3 - 1 - 1 Sea In = {1, 2, . . . , n}, una Permutacion es una fun-cion biyectiva

σ : In → In

Por convencion, es mas facil notar a una permutacion como la matriz

σ =

(1 2 · · · n

σ(1) σ(2) · · · σ(n)

)

Recuerde que en el Capıtulo 1, hablamos de poder dar una definicion ‘alter-nativa’ para Espacios Vectoriales, y utilizamos la palabra Grupo, mas aun uti-lizamos la palabra Abeliano. UnGrupo es una pareja (G, ∗), con G un conjuntoy ∗ una ley de composicion interna, tales que existe neutro e en G, ∗ es asociativay todo elemento de G tiene inverso. Por ejemplo, considere el conjunto

Sn{σ/ σes permutacion en In}

Es claro que si σ, τ ∈ Sn tenemos que στ ∈ Sn y existe id ∈ Sn, donde

id =

(1 2 · · · n1 2 · · · n

)

Ademas, note que para cada σ ∈ Sn existe σ−1 ∈ Sn. Como la composicion esasociativa, la conclusion es obvia: la pareja (Sn, ◦) es un grupo, que llamaremosGrupo Simetrico.

Ejemplo 3 - 1 - 1 Construimos el grupo simetrico de permutaciones S2 ={id, τ} de la siguiente manera

id =

(1 21 2

)

τ =

(1 22 1

)

75

76 CAPITULO 3. DETERMINANTES

Ejemplo 3 - 1 - 2 Construimos el grupo simetrico de permutacionesS3 = {id, τ1, τ2, τ3, τ1τ2, τ1τ3}de la siguiente manera

id =

(1 2 31 2 3

)

τ1 =

(1 2 32 1 3

)

τ2 =

(1 2 31 3 2

)

τ3 =

(1 2 33 2 1

)

τ1τ2 =

(1 2 32 3 1

)

τ1τ3 =

(1 2 33 1 2

)

La tabla de multiplicar de S3

◦ id τ1 τ2 τ3 τ1τ2 τ1τ3id id τ1 τ2 τ3 τ1τ2 τ1τ3τ1 τ1 id τ1τ2 τ1τ3 τ2 τ3τ2 τ2 τ1τ3 id τ1τ2 τ3 τ1τ3 τ3 τ1τ2 τ1τ3 id τ1 τ2τ1τ2 τ1τ2 τ3 τ1 τ2 τ1τ3 idτ1τ3 τ1τ3 τ2 τ3 τ1 id τ1τ2

Definicion 3 - 1 - 2 τ ∈ Sn es una Transposicion si existen i, j ∈ Sn ∴

i 6= j tales que:

τ(k) =

i si k = jj si k = ik si k 6= i ∧ k 6= j

Como consecuencia inmediata de la definicion, observe que si τ es una trasposi-cion entonces ττ = id. En el Ejemplo 3-1-2 vimos que habian dos permutacionesque podıamos escribir como composicion de dos transposiones, esto no es nadararo. Imagine el lector una matriz que represente una permutacion cualquierade Sn, busque el numero 1 en la segunda fila e intercambielo con el numero quese encuentra en la primera columna segunda fila por medio de una transposicion,ahora intercambie la posicion en la cual se encuentra el numero 2 e intercambielocon el numero que se encuentra en la segunda columna segunda fila por mediode una transposicion, . . . , hasta que al final obtenga la permutacion id. Si σdenota la permutacion inicial, este proceso lo podrıamos haber visto como

στ1τ2 . . . τm = id

de dondeσ = τmτm−1 . . . τ1

Ohhh, esto nos lleva al siguiente teorema.

Teorema 3 - 1 - 1 Toda permutacion en Sn es el producto de un numero finitode trsposiciones.

Dem.1) Si n = 2 tenemos id = ττ ademas τ = τττ

3.1. EL GRUPO SIMETRICO 77

2) Supongamos que se tiene para n− 1 veamoslo para n:Sea σ ∈ Sn 2.1) Si σ(n) = n, sea σ

′

∈ Sn−1 tal que σ′

(k) = σ(k) ∀k ∈ In−1.Por H.I. existen τ

′

1, τ′

2, . . . , τ′

n trasposiciones en Sn−1 tales que

σ′

= τ′

1, τ′

2, . . . , τ′

m

Sea 1 ≤ j ≤ m, definimos:

τi(k) =

{

τ′

i (k) si 1 ≤ k ≤ n− 1n si k = n

Entonces τi es una trasposicion con:

(τ′

1, τ′

2, . . . , τ′

m)(k) =

{

σ′

(k) si 1 ≤ k ≤ n− 1n si k = n

De manera que σ(k) = (τ′

1, τ′

2, . . . , τ′

m) ∀k ∈ In.2.2) Si σ(n) = j ∴ j 6= n definimos τ ∗ ∈ Sn tal que

τ∗(k) =

j si k = nn si k = jk si k 6= n ∧ k 6= j

τ@ = τ∗σ

τ@(n) = (τ∗σ)(n)

= τ∗(σ(n))

= τ∗(j)

= n

Por lo visto en 2.1) tenemos que existen τ1, τ2, . . . , τm trasposiciones en Sn talesque

τ@ = τ1, τ2, . . . , τm

τ∗σ = τ1, τ2, . . . , τm

σ = τ∗τ1, τ2, . . . , τm

De donde σ es un producto de trasposiciones .

¥

Definicion 3 - 1 - 3 Sea σ ∈ Sn, definimos

ξ(σ) =∏

i<j

σ(j)− σ(i)

Si ξ(σ) > 0, entonces σ es una Permutacion ParSi ξ(σ) < 0, entonces σ es una Permutacion Impar


Definicion 3 - 1 - 4 Llamamos Signo de una permutacion σ a

sig σ =|ξ(σ)|

ξ(σ)

Ejercicio: Por que ξ(σ) 6= 0 ?El siguiente Teorema es un resultado, al parecer muy ‘intuitivo’ que nos ayudaraa encontrar una propiedad muy importante para las transposiciones en Sn

Teorema 3 - 1 - 2 Si σ, τ ∈ Sn, entonces

sig(τσ) = sig(τ)sig(σ)

Dem.En general, con i < j solo podemos formar estas 4 clases de conjuntos:

A1 = {(i, j) ∈ In × In | σ(i) < σ(j) , (τσ)(i) < (τσ)(j)}

A2 = {(i, j) ∈ In × In | σ(i) < σ(j) , (τσ)(i) > (τσ)(j)}

A3 = {(i, j) ∈ In × In | σ(i) > σ(j) , (τσ)(i) < (τσ)(j)}

A4 = {(i, j) ∈ In × In | σ(i) > σ(j) , (τσ)(i) > (τσ)(j)}

Ahora, veamos cual es la cantidad de signos negativos aportados para cada ξ(σ),ξ(τ) y ξ(τσ) (notado por #fac(−)(ξ)(φ))de los anteriores conjuntos.

Conjunto #fac(−)(σ) #fac(−)(τ) #fac(−)(τσ)A1 0 0 0A2 0 #(A2) #(A2)A3 #(A3) #(A3) 0A4 #(A4) 0 #(A4)

Por lo tanto

#fac(−)(σ) = #(A3) + #(A4)

#fac(−)(τ) = #(A2) + #(A3)

#fac(−)(τσ) = #(A2) + #(A4)

#fac(−)(σ)#fac(−)(τ) = #(A2) + #(A4) + 2#(A3)

Por consiguiente, el numero de factores negativos de ξ(σ)ξ(τ) difiere del numerode factores negativos de ξ(τσ) de un numero par, por lo tanto

sig(τσ) = sig(τ)sig(σ)

¥

.

3.1. EL GRUPO SIMETRICO 79

Teorema 3 - 1 - 3 Si τ ∈ Sn es una transposicion, entonces sig(τ) = −1

Dem.Existen i, j ∈ Inn, i < j tales que τ(i) = j,τ(j) = i y τ(k) = k ∀k 6=j,k 6=i

Mostraremos que el producto

ε(τ) =∏

l<s

(τ(l)− τ(s))

tiene un numero impar de signos negativos. Tenemos siete opciones:

1. l 6= i, l 6= j, s 6= i y s 6= jDe donde

τ(s)− τ(l) = s− l > 0

2. 1 ≤ l < i, s = iDe donde

τ(s)− τ(l) = j − l > 0

3. 1 ≤ l < i, s = jDe donde

τ(s)− τ(l) = i− l > 0

4. l = i y i < s ≤ jDe donde

τ(s)− τ(l) = s− j < 0

Y hay j − i factores negativos

5. l = i, j < sDe donde

τ(s)− τ(l) = s− j > 0

6. i < l < j y s = jDe donde

τ(s)− τ(l) = i− l < 0

Y hay (j − i)− 1 factores negativos

7. l = j, j < sDe donde

τ(s)− τ(l) = s− i > 0

Por lo tanto, el numero de factores negativos de ε(τ) es de 2(j−i)−1. De donde

sig(τ) = −1


¥

Corolario 3 - 1 - 1 Sean φ ∈ Sn y τ1, τ2, . . . , τm transposicones tales que

φ = τ1τ2 . . . τm

Entonces

sign(φ) = (−1)m

3.1.1 Ejercicios

1. Cuantas transposiciones hay en Sn?

2. Haga la tabla de multiplicar de S4 y S5.

3.2 Formas n-lineales

Definicion 3 - 2 - 1 Sea V un k-espacio vectorial, llamamos Espacio Dualde V al conjunto

V ∗ = L(V,K)

Donde si σ ∈ V ∗, llamamos a σ como Forma Lineal

Definicion 3 - 2 - 2 Sea V n = {(v1, v2, . . . , vn)|vi ∈ V ∀i=1,2...,n}. La fun-cion

µ : V n −→ K

se deomina Forma n-lineal si µ es lineal en cada una de las variables vi.

Esto mas claramente significa que si considermos a (v1, . . . , vi−1, x, vi+1, . . . , vn) ∈V n y hacemos

µi(x) = µ(v1, . . . , vi−1, x, vi+1, . . . , vn)

entonces, para todo i, para todo α, β ∈ K y x, y ∈ V

µi(αx+ βy) = αµi(x) + βµi(y)

Sea B = {e1, e2, . . . , en} una base de V y µ n-lineal, entonces existen escalaresaijj ∀j=1,...,n∀ij=1,...,n tales que

vj =

n∑

ij=1

aijjeij

3.2. FORMAS N-LINEALES 81

Donde

µ(v1, . . . , vj , . . . , vn) = µ(

n∑

i1=1

ai11ei1 , . . . ,

n∑

ij=1

aijjeij , . . . ,

n∑

in=1

ainnein)

=

n∑

i1

ai11µ(ei1 , . . . ,

n∑

ij=1

aijjeij , . . . ,

n∑

in=1

ainnein)

=n∑

i1

ai11

n∑

i2

ai22 . . .n∑

in

ainnµ(ei1 , ei2 , . . . , ein) (1)

Definicion 3 - 2 - 3 Una forma nlineal µ de V n en K, se llama Alternadasi siempre que vi = vj con i < j, se tiene

µ(v1, v2, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vn) = 0

Note que si µ es n-lineal alternada, la ecuacion (1) que determinada por laspermutaciones de todos los ei, mas aun, hagamos

In = {i1, i2, . . . , in}

Existe por lo tanto φ ∈ Sn tal que φ(k) = ik ∀k=1,...,n, y podemos escribir a (1)de la siguiente manera

∑

φ∈Sn

aφ(1)1aφ(2)2 . . . aφ(n)nµ(eφ(1), eφ(2), . . . , eφ(n))

Teorema 3 - 2 - 1 Sea µ una forma n-lineal, entonces µ es alternada si y solosi

µ(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vn) = −µ(v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vn)

Dem.⇒)

0 = µ(v1, . . . , vi + vj , . . . , vj + vi, . . . , vn)

= µ(v1, . . . , vi, . . . , vj + vi, . . . , vn) +

µ(v1, . . . , vj , . . . , vj + vi, . . . , vn)

= µ(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vn) +

µ(v1, . . . , vj , . . . , vj , . . . , vn)︸︷︷︸

0

+

µ(v1, . . . , vi, . . . , vi, . . . , vn)︸︷︷︸

0

+

µ(v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vn)

µ(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vn) = −µ(v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vn)


⇐)Sea vi = vj = x, entonces

µ(v1, . . . , x, . . . , x, . . . , vn) = −µ(v1, . . . , x, . . . , x, . . . , vn)

2µ(v1, . . . , x, . . . , x, . . . , vn) = 0

µ(v1, . . . , x, . . . , x, . . . , vn) = 0

Y por lo tanto µ es una forma n-lineal alternada.

¥

3.3 El Determinante

Los determinantes surgieron como consecuencia del estudio de las ecuacioneslineales, pero su tratamiento moderno se le debe en gran parte a Cayley quienresume la situacion en las siguientes palabras:”‘Logicamente la idea de matrizprecede a la de determinante, pero historicamente el orden fue inverso, estose debe a que las propiedades basicas de las matrices ya estaban claras cuandofueron introducidas”’

Sea τ ∈ Sn una traspasicion y µ una forma n-lineal alternada. Es claro que

µ(vtau(1), . . . , vtau(n)) = −µ(v1, . . . , vn

)

de donde si ϕ ∈ Sn es una permutacion y ϕ = τ1, . . . , τm donde las τi sontrasposiciones, entonces

µ(vϕ(1), . . . , vϕ(n)

)= (−1)mµ (v1, . . . , vn)

luegoµ(vϕ(1), . . . , vϕ(n)

)= sig(ϕ)µ (v1, . . . , vn)

Tomemos ahora una base B = {e1, . . . , en} de V . Se tiene entonces por defini-cion de forma n-lineal alternada que

µ(v1, . . . , vn) =∑

ϕ∈Sn

aϕ(1)1, . . . , aϕ(n)nµ(vϕ(1), . . . , vϕ(n)

)

= µ(e1 . . . , en)∑

ϕ∈Sn

aϕ(1)1, . . . , aϕ(n)n

= α∑

ϕ∈Sn

aϕ(1)1, . . . , aϕ(n)n

3.3. EL DETERMINANTE 83

Definicion 3 - 3 - 1 detB(v1, . . . , vn) =∑

ϕ∈Snaϕ(1)1, . . . , aϕ(n)n

Es inmediato a partir de la definicion que si vj = 0 para algun j ∈ In. entoncesdetB(v1, . . . , vn) = 0

Teorema 3 - 3 - 1 detB es una forma n-lieal alternada

Dem.

1. detB es forma n-linealSea B = {e1, . . . , vn} una base de V y (v1, . . . , vn) ∈ V n. Supongamosque vj = αx + βy para algunos x, y ∈ V ,j ∈ In y α, β ∈ K. Tendremosentonces que

detB(v1, . . . , vj , . . . , vn) =∑

ϕ∈Sn

sig(ϕ)aϕ(1)1, . . . , aϕ(j)j , . . . , aϕ(n)n

=∑

ϕ∈Sn

sig(ϕ)aϕ(1)1, . . . , (αxϕ(j)j + βyϕ(j)j), . . . , aϕ(n)n

=∑

ϕ∈Sn

sig(ϕ)aϕ(1)1, . . . , αxϕ(j)j , . . . , aϕ(n)n +

∑

ϕ∈Sn

sig(ϕ)aϕ(1)1, . . . , βxϕ(j)j , . . . , aϕ(n)n

= αdetB(v1, . . . , x, . . . , vn) + βdetB(v1, . . . , y, . . . , vn)

2. detB es alternadaejercicio para el lector (solo hace falta demostrar que detB(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vn) =−detB(v1, . . . , vj , . . . , vi, . . . , vn), porque? )

Una consecuencia interesante y futuramente util de este teorema es el siguiente

Corolario 3 - 3 - 1 detB(v1, . . . , vi, . . . , vj . . . . , vn) = detB(v1, . . . , vi+αvj , . . . , vj , . . . , vn)

Cuando se halla detB(v1, . . . , vn), este depende de la reprenetacion de v1, . . . , vncomo combinaciones lineales de B asi que de ahora en adelante notaremosdetB(v1, . . . , vn) como detB(A) siendo A la matriz cuyas columnas son las coor-denadas de los correspondientes, diremos que A es la matriz de coeficientesvi. Con esta notacion los resultados anteriores se traducen como sigue:

• Si A y A′ son matrices y A′ se obtiene permutando dos columnas de A,entonces detB(A) = −detB(A

′)

• Si i 6= j, y A′ se obtiene a partir de A cambiando la columna i-esima poresta sumada a la j-esima, entonces detB(A) = detB(A

′)


Sea A = (aij)n×n, recuerde que

AT = (bij)n×n; bij = aji

entonces

det(AT ) =∑

ϕ∈Sn

sig(ϕ)bϕ(1)1, . . . , bϕ(n)n

=∑

ϕ∈Sn

sig(ϕ)a1ϕ(1), . . . , anϕ(n)

.Ahora, puesto que sig(στ)=sig(σ)sig(τ) y ademas ϕϕ−1 = id, se sigue que

sig(ϕ) = sig(ϕ−1)

por lo tanto

∑

ϕ∈Sn

sig(ϕ)a1ϕ(1), . . . , anϕ(n) =∑

ϕ∈Sn

sig(ϕ−1)aϕ−1(ϕ(1))ϕ(1), . . . , aϕ−1(ϕ(n))ϕ(n)

Permutando de manera adecuada esto puede ser escrito como

∑

ϕ−1∈Sn

sig(ϕ−1)aϕ−1(1)1, . . . , aϕ−1(n)n

que es lo mismo que

∑

ϕ∈Sn

sig(ϕ)aϕ(1)1, . . . , aϕ(n)n = det(A)

con lo cual hemos probado el siguiente teorema:

Teorema 3 - 3 - 2 det(A) = det(AT )

Esto significa que las propiedades anteriormete deducidas del determinante deuna matriz respecto a sus filas son validas tambien para sus columnas. El sigu-iente resultado es util tambien en la practica

Teorema 3 - 3 - 3 Si A = (aij)n×n es una matriz diagonal, es decir, conaij = 0 si j < i, entonces det(A) es igual al producto de los elementos de ladiagonal principal

Dem. Consecuencia inmediata de la definicion

Teorema 3 - 3 - 4 Sea B = {v1, . . . .vn} ⊆ V y A = {e1, . . . , en} una base.detA(v1, . . . .vm) = 0 si y solo si B es linealmente dependiente

3.3. EL DETERMINANTE 85

⇐ Sea C la matriz de coeficientes de B, luego detA(v1, . . . , vm) = detA(B).Tomamos BT y hallamos su forma normal de Hermite, (BT )′. Por hipotesis estadebera tener alguna fila con elementos nulos luego detA((B

T )′) = 0 , es decir

detA(B) = detA(BT ) = detA((B

T )′) = 0

⇒ supongamos que B es linealmente independiente, luego B es una base, deesta manera

det (e1, . . . , en) = det

(n∑

i1=1

ai11vi1 ,

n∑

i2=1

ai22vi1 , · · ·n∑

in=1

ainnvin

)

=

n∑

i1=1

ai11

n∑

i2=1

ai22 · · ·n∑

in=1

ainn det (vi1 , vi2 , · · · , vin)

=∑

σ∈Sn

aσ(1)1aσ(2)2 · · · aσ(n)n det(vσ(1), vσ(2), · · · , vσ(n)

)

= det (v1, · · · , vn)∑

σ∈Sn

sig (σ) aσ(1)1aσ(2)2 · · · aσ(n)n

luego si detA(B) = 0 se tendıa detA(A) = 0 →←

¥

A continuacion, nos dispondremos a dar una propiedad muy importante dedeterminantes. Sea σ ∈ L(V, V ) y B = {e1, e2, . . . , en} una base de V, definimos

σ : V n −→ V n

(v1, v2, . . . , vn) 7−→ (σ(v1), σ(v2), . . . , σ(vn))

Claramente σ es una transformacion n-lineal, por lo tanto tomemos detB : V n →V n y hagamos

detBσ : V n −→ K(v1, v2, . . . , vn) 7−→ detB(σ(v1), σ(v2), . . . , σ(vn))

entonces detBσ es una forma n-lineal, ademas observe que como σ es transfor-macion lineal, por lo tanto funcion, de donde si vi = vj entonces σ(vi) = σ(vj)de donde (detBσ)(v1, . . . , vi, . . . , vj , . . . , vn) = 0 y detBσ es alternada. Esto nosindica que existe α ∈ K tal que

detBσ = αdetB

Lo cual nos lleva a pensar en el valor de α, veamos que

(detBσ)(e1, e2, . . . , en) = αdetB(e1, e2, . . . , en)

= α · 1

detB(σ(e1), σ(e2), . . . , σ(en)) =

detB(MBB (σ)) = α


Y por lo tantodetBσ = detB(M

BB (σ)) · detB

Si A ∈ Kn×n existe σA ∈ L(Kn,Kn) tal que

σA = A · v = (MCC (σA)) · v

donde C es la base canonica de Kn. Sean B ∈ Kn×n y σB la transformacionque la representa, por lo visto en el capıtulo anterior

σAσB = σAB

Teorema 3 - 3 - 5σA σB = σAB

Dem.

σA σB(v1, . . . , vn) = σA(σA(v1, . . . , vn))

= σA(σB(v1), . . . , σB(vn))

= (σAB(v1), . . . , σAB(vn))

= σAB(v1, . . . , vn)

Y por lo tantoσA σB = σAB

¥

Aunque parece bastante obvio el anterior resultado, nos brinda este importan-tısimo colorario.

Corolario 3 - 3 - 2det(AB) = det(A)det(B)

Dem.

detC σAB = detC σA σB

= (detC σA) σB

= (det(MCC (σA))detC)σB

= (det(A)detC)σB

= det(A)(detCσB)

= det(A)(det(B)detC)

det(AB)detC = det(A)det(B)detC

Evaluando a ambos lados por elementos de C (e1, . . . , en), se tiene lo querido

det(AB) = det(A)det(B)

¥

Apendice A

Algunas aplicaciones en

Derive

Elprograma derive es una poderosa herramienta de calculo si la sabemos mane-jar ya que este es un programa de algebra computacional con el cual podemosllevar a simplificar los procesos de calculo de una manera eficiente y sobre todoteniendo en cuenta la facilidad para trabajar con el.En este orden de ideas para trabajar en dicho programa debemos conocer unoscomandos basicos para la programacion de este, a continuacion mostraremos loscomandos basicos y unos pequenos ejemplos que pueden clarificar su empleo.

Podemos construir vectores en forma implıcita de la siguiente manera:

V ECTOR(f(k), k,m, n, s)

En este caso diremos que la componente k-esima del vector es f(k), adi-cionalmente toma los valores comprendidos entre m y n incrementados de s ens. Cuando el programador omite el S, Derive asume que s = 1.

Ejemplo A - 1 Expanda el siguiente vector: V ECTOR(3k3−5k2+17k, k,−14, 37, 3)DERIVE muestra

[−9450,−4785,−1992,−585,−78, 15, 180, 903, 2670, 5967,

11280, 19095, 29898, 44175, 62412, 85095, 112710, 145743]

Ahora vamos a mostrar algunos comandos que son muy utiles en la practicaen las operaciones matriciales de manera que dados dos vectores v ∈ C y w ∈ C

el producto escalar se calcula mediante la siguiente instruccion

v · w.

Ejemplo A - 2 Sean V := V ECTOR(k2−3k, k, 1, 25) yW := V ECTOR(2k3+5k, k, 1, 25) calcule v · w.DERIVE nos muestra VW = 78994630

87

88 APENDICE A. ALGUNAS APLICACIONES EN DERIVE

Sean v ∈ C3 y w ∈ C3 el producto vectorial se calcula mediante la istruccion

CROSS(v,w).

Ejemplo A - 3 Sean f := [a, b, c] y g := [a, , ?] calcule CROSS(f, g) DERIVEnos muestra CROSS(f, g) = [b?− c, ca− a?, a− ba]

Sean v ∈ C3 y w ∈ C3 el producto exterior se calcula mediante la istruccion

OUTER(v, w).

Ejemplo A - 4 Sean f := [a, b, c] y g := [a, , ?] calcule OUTER(f, g) DERIVEnos muestra OUTER(f, g) = [aa, a, a?; ba, b, b?; ca, c, c?]

Nuestro problema ahora es como identificar un elemento n en un vector vque le hemos dado a expandir a derive, de esta manera el rpoblema se solucionapor medio de la instruccion:

ELEMENT (v, n).

Ejemplo A - 5 Calcule el elemento 7 de v := V ECTOR(3k3−5k2+17k, k,−14, 37, 3).DERIVE nos muestra ELEMENT (v, 7) = 180.

Para calcular la dimension de un vector V , se emplea la siguiente instruccion

DIMENSION(v).

Ejemplo A - 6 Calcule la dimension delvector del ejercicio anterior.DERIVE nos muestra DIMENSION(v) = 18

Para calcular el modulo (o norma) de un vector v se emplea la instruccion.

DIMENSION(v).

Ejemplo A - 7 Calcule la norma de a := [3,−7, 4,−8, 9, 5].DERIVE nos muestra |a| = 2v61

Para construir matrices en forma implıcita tenemos

V ECTOR(V ECTOR((f(k, t), k,m, n, s), t, p, q, r).

Ejemplo A - 8 Construya en derive la siguiente aplicacion y diga M(6):E(i, n) := V ECTOR(IF (k = i, 1, 0), k, 1, n)M(n)V ECTOR(E(i, n), i, 1, n)

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En este momento vamos a aprender a operar matrices con Derive. Sean Ay B dos matrices de ordenes tales que las operaciones que a continuacion sepresentan son permitidas tenemos entonces:

SUMA: A+B

PRODUCTO POR ESCALAR: α ·B, en donde α ∈ C

PRODUCTO: A ·BDETERMINANTE: DET (A)TRAZA: TRACE(A)TRASPUESTA: A‘MATRIZ INVERSA: (A)( − 1)MATRIZ (A)n con n ∈ Z: (A)n

NORMA DE LA MATRIZ A: ABS(A)

Para solucionar el sistema Ax = B a su forma escalonada reducida, se em-plea la instruccion:

ROW REDUCE(A,B)

Para calcular el polinomio caracterıstico de una Matriz A escribiremos:

CHARPOLY (A, x)

Para calcular los valores caracteristicos de una Matriz tenemos:

EIGENV ALUES(A, x)

Para obtener el elemento aij de una matriz A tenemos la siguiente instruc-cion:

ELEMENT (A, i, j)

Ejemplo A - 9 sea la Matriz A := [1, 1; 1, 0] construya:

FIBONACCI(n) := ELEMENT (An, 1, 1)FIBONACCI S(M) := V ECTOR(FIBONACCI(n), n, 0,m)

Ahora con la funcion calculamos param = 16 y obtenemos FIBONACCI S(16) =[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597]

Para poder nombrar una fila de una matriz tenemos:

FILA(A, k,m) := V ECTOR([ELEMENT (A, k, I)], i, 1,m)‘


Para obtener una columna de una matriz tomamos:

COLUMNA(B, k, n) := V ECTOR([ELEMENT (B, i, k)], i, 1, n)

Para tener los vectores de la base canonica de mathbbR3 derive los nota:

i := [1, 0, 0]j := [0, 1, 0]k := [0, 0, 1]

Ejemplo A - 10 construya la siguiente funcion f(x, y, z) := (3x− 2y + z)i +(4x− y − z)j + (−2x+ 3y − z)kSimplifique f(a, a, a):de donde DERIVE nos muestra f(a, a, a) = [2a, 2a, 0]

Otra funcion muy interesante es

KRONECKER(i, j) := IF (i = j, 1, 0)

Construyendo las siguientes funciones tenemos:

γ(i, j, k, s) := KRONECKER(i, k)KRONECKER(j, s)E(k, s, n,m)?V ECTOR(V ECTOR(?(i, j, k, s), j, 1,m), i, 1, n)

Ejemplo A - 11 Simplifique E(2, 3, 3, 4):de donde DERIVE nos muestra

E(2, 3, 3, 4) = [0, 0, 0, 0; 0, 0, 1, 0; 0, 0, 0, 0]

Sean u, v vector es de la misma dimension o matrices del mismo orden, lafuncion siguiente nos permite agregar en forma matricial al vector u y al vector v:

APPEND(u, v)

Ejemplo A - 12 Costruya las siguientes funciones:

F (a, b) := APPEND([a‘; b‘])‘

G(a, b, c, d) := APPEND([F (a, b);F (b, d)])

θ(α, i, r, k) := If(k = i+ r, α, 0)

M(α, r, n) := V ECTOR(V ECTOR(θ(α, i, r, k), k, 1, n), i, 1, n) +

IDENTITYMATRIX(n)

H(α, β, δ, σ, r, s, t, p, n) := G(M(α, r, n),M(β, s, n),

M(δ, t, n),M(σ, p, n))

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Ejemplo A - 13 Construya la siguiente funcion

D(q, i, j) := SIN(p/q(i− 1))KRONECKER(j, q − i+ 2)

MM3(q) := V ECTOR(V ECTOR(D(q, i, j), i, 1, q), j, 1, q)

C(q, i, j) := COS(p/q(i− 1))KRONECKER(i, j)

MM4(q) := V ECTOR(V ECTOR(C(q, i, j), i, 1, q), j, 1, q)

R(q) := MM3(q) +MM4(q)

R(q) := MM3(q) +MM4(q)

MAT2(q) := f(IDENTITYMATRIX(q), R(q))

MAT3(q) := f(IDENTITYMATRIX(q),−R(q))

M0(q) := APPEND([MAT2(q);MAT3(q)])

H(q) := f(M0(q), 0IDENTITYMATRIX(2q),M0(q))

T (q) := f(0IDENTITYMATRIX(2q),M0(q))

M0(q) := APPEND([MAT2(q);MAT3(q)])

H2(q) := f(M1(q), 0IDENTITYMATRIX(4q))

T2(q) := f(0IDENTITYMATRIX(4q),M1(q))

M2(q) := APPEND([H2(q);T2(q)])v

M(n, q) := If(n = 0,M0(q), APPEND([f(M(n− 1, q), 0IDENTITYMATRIX(2nq));

f(0IDENTITYMATRIX(2nq),M(n− 1, q))]))

HH(k,Q) := If(k = 2,M(0, 2(Q− 1))M(1, 2(Q− 2)), HH(k − 1, Q)M(k − 1, 2(Q− k)))

HR(q) := 1/2qIF (q = 1,M(0, 1), HH(q, q))

Bibliografıa

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algebra lineal libro

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