194 ley de faraday

y se hace variar un campo magnético introduciendo un imán, se produce'una desviación en el galvanómetro lo que es equivalente a producirse Unacorriente en la bobina, pero este fenómeno sucede únicamente cuando climán está en movimiento. Ahora podemos tratar de investigar de quéfactores depende la intensidad de la corriente producida, es decir, ~depende de la magnitud del campo magnético, del área de la bobina, delnúmero de vueltas de la bobina, de la rapidez de cambio del campo

'magnético, etc.

Fig. 8.2.

Primeramente consideremos que tenemos una bobina con cierto númersde vueltas N, una sección transversal A y un imán que nos puede dar uncampo magnético B máximo que se puede determinar;, ahora bien,.sivariamos la rapidez con la que acercamos el imán a la bobina y realizamosestos movimientos con diferente rapidez llegamos a la conclusión de queentre más rápido sea el movimiento de acercar el imán a la bobina, mayorserá la corriente registrada por el galvanómetro, si aumentamos el n4·mero de vueltas, observamos que a mayor número de vueltas mayor serála corriente que se registra cuando se acerca e! imán, lo mismo sucede~ponemos una bobina de mayor sección transversal; si en lugar de tenerun imán que lo estemos moviendo tenemos otra bobina como se muestraen la Fig. 8.2, conectada a una fem que tiene un interruptor, observamosque cuando cerramos el interruptor el galvanómetro marca e! paso de unacorriente y que esta corriente va disminuyendo a medida que transcurree! tiempo hasta que prácticamente marca cero; ahora, si abrimos el inte-rruptor observamos que el galvanómetro nuevamente registra una corrientepero en sentido opuesto a la anterior. De estos experimentos concluimos(al igual que Faraday) que se induce una fuente electromotriz en labobina donde está conectado e! galvanómetro y cuya magnitud va a de-pender de la variación del campo y del área con respecto al tiempo, loque equivale a decir: ,al cambio del flujo magnético con respecto altiempo, que lo podemos expresar por:

ley de faraday 195

depBdt

(8.'1 )¡¡=

A la Ec. 8.1 se le conoce como la "Ley de la Inducción de Faraday", donde

E es la fem inducida y ~B es la razón del cambio del flujo magnético,

con respecto al tiempo, el signo menos tiene una relación con la polaridadde la fem inducida como lo veremos en la siguiente sección. Cu¡mdotenemos una bobina con N vueltas como las que se muestran en la Fig: 8.2donde por cada vuelta pasa el mismo flujo, entonces teneinos que el flujototal es igual al flujo c'! una espira por el número de espiras que tambiénse conoce con el nombre de encadenamiento de flujo o enlaces de flujo.Por último ,insistiremos en 'que es la rapidez de! cambio del flujo con res-pecto al tiempo lo que nos induce la fem y para que varíe el flujo puedecambiar el campo magnético o el área con respecto al tiempo.

Ejemplo 1

Un solenoide de .2.0 m de longitud como se muestra en la Fig. 8.3tiene 200 vueltas, el radio de una de las vueltas es de .05 m y su resistencia,es de 40 ohms. En su interior hay un solenoide de igual longitud y de 400vueltas con un radio". 02 m cada una de las vueltas. Si se conecta elsolenoide interior a una fuente de corriente senoidal i = io sen 27rft dondef es la frecuencia de la fuente de corriente y es de 60 ciclos/seg, determinela máxima corriente que circula por el solenoide exterior:

~ = 10 amperes.

.--------4(\))--------.

Fig. 8.3.

196 ley de faraday

Solución:

De la Ec. 7.6 calculamos el campo magnético f''1 el solenoide interior

el flujo magnético lo determinamos a partir de la Ec. (6.1).

de la Ec. (8.1) tenemos que la fem inducida en el solenoide exterior es:

Para el cálculo de la fem inducida' se toma el radio del solenoide interior'ya que podemos despreciar el campo magnético fuera de esta región.

De la Ec. (4.5) calculamos la corriente máxima inducida" esto es:

Sustituyendo valores:

i",", = 5.95 X 10-" amperes.

8.2 LEY DE LENZ

En la sección anterior analizamos cómo se inducen las fem pero nomencionamos nada acerca de la dirección de las fem inducidas ni de lascorrientes inducidas. Fue H. F. Lenz, contemporáneo de Faraday, quienen una forma sencilla, estableció el sentido de las corrientes inducidasmediante el siguiente enunciado que se conoce con el nombre de Ley deLenz: "La corriente que es inducida en un circuito tendrá una direcciónde tal forma qz:.ese oponga a la causa que la produce"; que es una conse-cuencia directa del principio de la conservación de la energía, ya que si elflujo inducido en la bobina de la Fig. 8.4 estuviera en la misma direcciónque el flujo que lo induce, entonces, la corriente inducida podría seguirinduciendo corriente y a la vez awnentándola, algo que es evidentementefalso. Una mejor forma de comprender el enunciado de la Ley de Lenz espor medio de un experimento como el siguiente: En la Fig. 8.5 tenemos unabobina y movemos un imán hacia el centro de la bobina de tal forma que

ley de lenz 197

L- ~~\/~·~-----------J

Fig.8.4.

observamos que comienza a generarse una fem inducida, es decir, que segenera una corriente inducida en la bobina que produce un campo magné-tico que se opone al campo B del imán; podemos decir, en otras palabrasque en la bobina se induce un dipolo magnético cuyo. polo magnético norteestá enfrente del polo norte del imán, que se representa esquemáticamenteen la Fig. 8.5a.

/- ...•( \

\ I

a)

s-,::

N s

Fig. 8.5. El campo magnético inducido esta representado por líneas punteadas.

donde vemos que el cambio del flujo magnético que pasa por la espira va enaumento a medida que se mueve el imán hacia la espira, este movimientolo representamos por una flechita (!-;vvt.): de acuerdo a la Ley de Lenz,se induce una corriente en la dirección que se indica en la figura, la cualproduce un campo magnético en dirección opuesta al campo del imán quese acerca a la espira. En la Fig. 8.5b, se indica con un polo norte y unpolo sur la dirección del campo magnético producido por la corrienteinducida.

200 ley de faraday

La fuerza que aparece en los segmentos al y be son iguales en magnitu~pero tienen direcciones opuestas, como se muestra en la Fig. 8.7.

Ejemplo 2

Demuestre que la potencia desarrollada por la fuerza externa equivalea.la energía disipada por unidad de tiempo producida durante el procesopor medio del efecto Joule, cuando una espira rectangular de lados l y \dentro de un campo magnético B es jalada hacia afuera de B por unafuerza externa F. Como se muestra en la Fig. 8.7.

Solución:

Para que la espira se desplace a velocidad constante es necesario quela fuerza externa sea -igual a la fuerza magnética que experimenta el ladoab, como se muestra en la Fig. 8.7, esto es:

F externa = ilB

La potencia desarrollada por el agente externo es igual a la fuerza exta.na por la velocidad esto es:

P = F ext u = ilBu

sustituyendo la corriente de la Ec. (8.4) tenemos que

La potencia disipada en el circuito de acuerdo a la Ec. (4.13) es igual a:

Sustituyendo la corriente inducida. de la Ec. (8.4):

Con lo que se demuestra que el trabajo realizado por unidad de tiempopor la fuerza externa equivale a la energía disipada por unidad detiempo en el circuir).

Ahora supongamos que la espira rectangular no está cerrada, que I(falta el segmento que está fuera del campo; ¿ qué sucede, ya no se induce

fem inducida 201

X X X X X X X X X

X X X X X X X X

X X X X X X X X~u

X X X X

~n

X X X X

X X X X X X X X

X X X X X X X X X

Fig.8.8.

una fem? Sí, se induce una fem entre los dos puntos en que se encuentraabierta la espira; esto quiere decir que si nosotros movemos una barrametálica en un campo magnético nos aparece una fem en sus extremos,por ·la siguiente razón: Cuando la barra se mueve con una velocidad u,como se muestra en la Fig. 8.8, los electrones libres en la barra. comien-zan a moverse, de tal forma que en un momento dado' existe unexceso de electrones en el extremo inferior y una deficiencia de electronesen el extremo superior creándose un campo eléctrico inducido uniforme enla barra que de acuerdo a la ecuación 3.2 Is, diferencia de potencial es:

r- -Va - V b = O E . dl

Ahora consideremos una espira circular cuyo eje es paralelo al campomagnético y la espira se encuentra en movimiento perpendicular a ladirección de B con una velocidad constante, como se muestra en laFig. 8.9.

X X X X X X X X/BX X X X X X

X X X X X X~

X X X X X X

X X X X X X

X X X X X X X X X

Fl~. 8.9.

202 ley de faraday

De acuerdo a la Ley de Faraday no se induce una fem al seguir elmismo razonamiento que para la barra de la Fig: 8:8, la fem producidaes iguala la integral cerrada de la trayectoria del" campo eléctrico indu_cido, ya que de ~cuerdo a la Ec. (8.1) el cambio de flujo por uI!idadde tiempo que cruza la sección transversal de la espira es cero, debidoa que el flujo magnético es constante. '

Ejemplo 3

Determine la diferencia de potencial entre el centro y uno de los"extremos de una barra metálica" de longitud L que gira con velocidadangular constante w dentro de un campo magnético B uniformecom; semuestra en la Fig. 8.10.

x X X X X X X X X

X X X X X X X X

>' X X

",/ X X.r-:

X X X

X X X X X X

X X X X X X X X X

Fig. 8.10.

Solución;

Si escogemos un pequeño diferencial de longitud de la barra a unadistancia x del centro de rotación tendrá una velocidad tangencialv = <iJX, entre el centro y sus extremos se producirá una diferencia depotencial. De acuerdo a la Ec. (8.3) tenemos que:

de = Bvdx = Bexdxentonces:

¿Tendrán los extremos de la barra el mismo potencial?

campos eléctricos inducidos 203

4 CAMPOS ELECTRICOS INDUCIDOS POR CAMPOSMAGNEllCOS VARIABLES CON EL 11EMPO

En la sección anterior analizamos dos de las formas en las que varía,flojo.magnético que son: variación del área "con respecto al tiempo,, lo estudiamos en" la misma sección, otro caso es cuando varía el campognético, que es lo que vamos ~_estudiar en esta sección, y una últimaa es' cuando" varía el ángulo entre el vector área y el vector campo

!!I1éticoque se analiza en la sección 8.5.oEn la Fig. 8.9 teníamos una espira, por la cual pasa un flujo mag-

~co gue no "cambia con respecto al tiempo, encontramos que no seuce una Tem alguna salvo cuando está entrando o saliendo de la'ón donde hay campo magnético; si en lugar de mover la espira'amos el campo magnético de tal forma que si hay cambio de flujognétiCo con respecto al tiempo, entonces se induce una fem deerdo a la Ec. (8.1), al inducirse la fem .en Ia espira a'parece tambiéncampo eléctrico inducido en toda la espiras de la Ec. 3.2 tenemos que ~femes igual a la integral cerrada de la trayectoria del campo eléctricoucido que es constante y uniforme a lo largo de la trayectoria circularla espira, esto es:

(8.5)

forma más general de expresar la Ley de Faraday es a partir de lasbinaciones de las ecuaciones (8. 1) Y (8.5), esto es:

~' - - dcpBE·dl=--

dt(8.6)

aquí concIuÍmos en que "un campo magnético que varía en funcióntiempo nos induce un campo eléctrico". De acuerdo a laEc. (8.6)

os que el área encerrada por la trayectoria lineal cerrada sobre. elpo eléctrico inducido equivale al área del flujo magnético.La dirección del campo eléctrico inducido lo podríamos obtener artir de la Ley de Leriz, considerando que el campo eléctrico que pro-

la corriente inducida está "en la misma dirección que está en la, 8.11a, tenemos un campo magnético entrando al plano de la hoja yrazón de cambio respecto al tiempo es positivo, es decir, que B estáentando, entonces se produce un campo eléctrico tangente a una tra-

toria circular con una dirección que es contraria" a la dirección devirniento de las manecillas del reloj.

204 ley de faraday eléctricos inducidos 205campos

x x x x x dB x X X X X X dB~dt(+) E /dt('li ~¡TIplo 4

x x x X' X x.•. E Demuestre que el campo eléctrico inducido es constante en una

x X x X metálica de longitud L, que se encuentre en una región cilíndricaE radio R en el espacio donde el campo magnético cambia con una

x X x X dBpidez- como se ilustra en la Fig. 8.12.

x X x x b).at

alE

X X x X X X X X X X X X

Fig. 8.11. En a) la razón de cambio es positrva, la dirección E es en sentid,¡contrario al de las manecillas del reloj y en b) es negativo, y la dirección de R

I'S en el sentido de las manecillas del reloj.

dBdt

En la Fig. 8.11b, la razón del cambio del campo magnético respectal tiempo es negativo, es decir, que B está decreciendo, entonces, la direc.ción de E es igual a la dirección del movimiento de las manecillas' dclreloj. Si queremos damos una idea más exacta y real de la dirección deución:E, supongamos una espira cerrada en el campo magnético variable y ~ Para cualquier puntodirección de la corriente está en dirección contraria a las manecillas d~ tro, el campo eléctricoreloj en la Fig. 8.11a, que es la misma dirección del campo eléctriinducido' ¡que E'S el responsable de 'la corriente que se induce.

Algo que es muy importante hacer notar es la diferencia entre caropos eléctricos producidos por carga eléctrica y los campos eléctricos indciclos que son producidos al variar un campo magnético con respectotiempo. Esta diferencia consiste en conceptos que ya hemos estudiadmientras que los campos eléctricos que son producidos por carga eléctri"son conservativos"," es decir, que cualquier integral de línea cerradsobre el campo E es cero, esto es:

Fig. 8.12.

dentro de la región cilíndrica con respecto alse puede ohtener de la Ec. (8.6):

J, - - . d<p"'f E· di = --

dt

Ec. (8.6) se puede expresar también de la siguiente manera:

J,- - dJ_-'f ~ . di = - dt B· ds

valuando ambas integrales tenemos:

dBE . 27TT = -7TT2--

dten los campos eléctricos inducidos la integral de línea cerrada sobre

,. dcfíBcampo E es igual a - -- de acuerdo a la Ley de Faraday, que

dtdefine matemáticamente por:

plificando y despejando el campQ eléctrico:

E=T dB

2 dtd<p¡¡

dt perpendicular entre la barra y el centro de la regionpuede determinar del teorema de Pitágoras y de la

es decir, que los campos eléctricos producidos por campos magnéticosfunción del tiempo "no son conservativos".

206 ley de jaraday

xx

I \x\ IdB\ / dt\ /" /'...._-_/-')( X

Fig. 8.13.

X

Para cualquier trayectoria circular- de radio d < r < R' seel campo E sobre la barra. De la Figi 8.13 vemos que:

ÓEbal'ra·= Ecos () ::.t i

puede obtener

d r dBdonde el cos () = - Y E = - - sustituyendo en la expresión ante.

r 2 dt 'rior :

Simplificando:d dB----

2 dt

Sustituyendo el valor de d obtenemos:

1 dB ~Ebarra = - -- R2 - V/4. 2 dt .

de esta expresión observamos que el campo eléctrico para cualquier pun·to de la barra es constante.

8.5 APLICACIONES DE LA LEY DE FARADAY

Generador de corriente alterna. Todos los generadores de corrienlalterna se basan en el principio de la indu ión l ctromagnótica o Leyde Faraday. Un g n rador d rri nt alt rna sirnpl (V:1. j rnplo 5)consist d une I I in. unclrn ln n N vll('l(fI/l q\ll flif'[~ n 11M i'da

. In: lH'I\(;i l / ('1\ (111 ('HIIIJIO IIIIH" 'tlCII 11 (11111'1111111', ('Olllt) I n 111I' 1m rll

aplicaciones de la ley de jaraday 207

B(t) B(t)

b)

Fig. 8.14.

la Fig. 8.15. De acuerdo a la Ley de Faradav al variar el flujo magnéticose "induce una diferencia de potencial en las terminales de la espira.Observe que el potencial que se obtiene es una función senoidal, la cualse debe a la variación del ángulo entre el vector área de la espira con'respecto al vector campo magnético, esta relación la yernos. de la ecua-ción del flujo magnético Ec (6. 1), y habrá un voltaje máximo cuandoB y A son paralelos y están en la misma dirección y mínima cuando sonparalelos pero en direcciones opuestas:

Betatrón. El principio de operación del Betatrón se basa en la Ley deFaraday. El Betatrón que fue desarrollado por D. W. Kerst en 1940, esun acelerador de electrones que consiste en un tubo en forma de dona

x X X X X X X

X X X X X

1!J_

X X X X

X X X X X

X X X X X X

X X X X X X

1" • 11.1 11.

20n ley de faraday

__________________________~.H

Fig, 8.15b.

que se encuentra al vacío donde circulan los electrones que son acelera-dos periódicamente por los incrementos del campo magnético como semuestra en la figura 8.14. Los incrementos en el flujo magnético a travésdel centro de la dona, induce un campo eléctrico alrededor de la dona ytangente a la órbita circular que acelera a los electrones; como se incre-menta simultáneamente el campo magnético a la velocidad de los electro-nes, el radio de la órbita circular que describen perm<lrnece constante.

Ejemplo 5

Una bobina rectangular de N vueltas de lados l y h gira con unafrecuencia f en un campo magnético uniforme B como se muestra en laFig. 8.l5a. Determine el voltaje inducido en las terminales de la bobina.

Solución:

El flujo magnético está dado por la Ec. (6.1):

Evaluando la integral:cf>B = NAB cos e.

El ángulo e = wt que es el ángulo entre B y el vector área A (Fig.8.15b) está variando con respecto al tiempo, entonces:

</>/1 = NHA ('OS uit

derivando con respecto al tiempo obtenemos la fem que se induce:

aplicaciones de la ley de faraday 209

lO =dcf>B

= BAw sen u-tdt

Sustituyendo el valor de la frecuencia angular w =211"f y el área de laespiraA = Ih Y considerando que la bobina tiene N vueltas, obtenemos la feminducida:

e = (271" lh. BfN) sen 271" ftdefiniendo a

C() = voltaje máximo inducidoo sea:

entonces la fem inducida se puede escribir nuevamente por:

Ejemplo 6

En una región cilíndrica en el espacio de radio a, un campo magnéticovaría con una rapidez dBI dt. Calcule el campo eléctrico para trayectoriascirculares con radio r mayor que a. Fig. 8.16.

Solución:

De la ecuación 8.6 tenemos:

El flujo magnético se determina de la Ec. 6.1. Esto es:

/-:--- ......••.•••

/'/

/f\\ -, '-... ./---

dBdt

Fig. B.l •.

210 ley de faraday

Para este caso:CPB = BA

Sustituyendo en la Ec. 8.6 y considerando que sólo B varía con el tiempo,obtenemos que:

~. - - d(BA) (-d~. E'dl= ---=A --

dt dtevaluando:

Simplificando y despejando:

E=2r dt

Este es el valor del campo eléctrico que actúa sobre los electrones que seencuentran en la dona del Betatrón.

EXAMEN DE AUTOEVALUACION

8.1 La Ley de Faraday

___ a) Establece que un campo eléctrico variable induce a un campomagnético.

___ b) Se expresa matemáticamente por

dCPBe=

dt

___ c) Establece que U!! campo magnético variable induce un campoeléctrico.

___ d) Se basa en el principio de la conservación de la carga.

8.2 De acuerdo a la Ley de Lenz la dirección de' la corriente en elsolenoide conectado al galvanómetro en la Fig. 8.17.

___ a) Va en la dirección de las manecillas del reloj cuando se cierrael interruptor.

___ b) Va contra la dirección de las manecillas del reloj cuando secierra el interruptor.

___ c) Va en la dirección de las manecillas del reloj cuando se abreel interruptor después de haber permanecido cerrado.

___ d) Va contra la dirección de las manecillas del reloj cuando se 8.5abre el interruptor después de haber permanecido cerrado.

examen de autoevaluación 211

Fig. 8.17.8.3 Ley de Lenz

a) Equivale a la primera ley de Kirchhoff.~b) Y la Ley de Faraday nos conducen al cálculo de la magnitud

y dirección de cualquier corriente inducida.___ c) Es una consecuencia del principio de la conservación de la

energía.___ d) Establece que "la corriente que se induce en un circuito tendrá

una dirección, de tal forma que se oponga a la causa que loproduce".

8.4 Una barra de longitud L se desplaza con velocidad constante enun campo magnético B como se ilustra en la Fig. 8.18.

___ a) El extremo superior de la barra es positivo.___ b) La fem inducida es igual a Blo,___ c) No se induce ninguna fem en la barra.___ d) La fem inducida es igual a Vz Blu,

B

X X X xrxX X X X X

xLI g v~X X X

\( X X X X

Fig. 8.18.

En la Fig. 8.19 se muestra un disco de radio a que gira con unavelocidad angular IJ) dentro de un campo magnético