lecturas

Lecturas

PRIMER NIVELPROGRAMA DE ACTUALIZACIN PERMANENTE

LA ENSEANZA DE LAS

EN LA ESCUELA SECUNDARIAMATEMTICAS

LECTURAS.CAP.I-IX 10/2/01 1:02 PM Page 1

La enseanza de las Matemticas en la escuela secundaria. Lecturas. Primer nivel. Programa Nacionalde Actualizacin Permanente fue elaborado en la Direccin General de Materiales y MtodosEducativos de la Subsecretara de Educacin Bsica y Normal, de la Secretara de Educacin Pblica.

CoordinacinJess Alarcn BortolussiRenato Sergio Rosas Domnguez

Compilacin, adaptacin y traduccinAlfonso Arriaga CoronillaHiginio Barrn Rodrguez

Coordinacin editorialMara ngeles Gonzlez

Cuidado de la edicinTeresa Mira Hatch

Diseo y formacinArte Inteligente, S.A. de C.V.Jorge Amaya LpezGuadalupe Garca DomnguezJ. Jess Garca MoralesRicardo Morales Pozos

Diseo de portadaStega Diseo

Primera edicin, 1995Primera edicin revisada, 1996Cuarta reimpresin, 2001

D.R. Secretara de Educacin Pblica, 1995Argentina 28, Centro, 06020, Mxico, D.F.

ISBN 968-29-7519-0

Impreso en Mxico

DISTRIBUCIN GRATUITA-PROHIBIDA SU VENTA


PRESENTACIN

La Secretara de Educacin Pblica ha elaborado el presentematerial, que forma parte del paquete didctico de Matemticas,destinado a los maestros que laboran en los planteles deeducacin secundaria.

Los paquetes didcticos son uno de los componentes delPrograma Nacional de Actualizacin Permanente para maestrosde educacin bsica en servicio, el cual desarrollan conjunta-mente la SEP y las autoridades educativas de los estados; supropsito es apoyar al personal docente en la puesta al da desus conocimientos y en el fortalecimiento de sus recursos didc-ticos, para que alcancen una mayor calidad en el desarrollo desu ejercicio profesional.

Los paquetes didcticos son el principal medio para que losmaestros de los distintos niveles, grados y asignaturas realicen con xito programas y cursos relacionados con la aplicacin delos planes vigentes de educacin bsica.

Los maestros podrn utilizar estos materiales de diversasmaneras, conforme a sus preferencias y al tiempo del quedispongan: podrn estudiar sistemticamente de manera indi-vidual: organizar grupos autnomos con sus compaeros de tra-bajo; laborar en grupo con asesora del personal de centros deformacin y actualizacin de maestros; o participar en cursosescolarizados ofrecidos por instituciones especializadas.


La Gua de estudio que forma parte de este paquete didctico sertil para que el maestro logre sistematicidad y flexibilidad en elestudio y utilizacin de los diversos componentes de cadapaquete: las Lecturas, los Libros para el maestro, las orientacionesde autoevaluacin y otros recursos complementarios.

Los maestros que as lo deseen podrn obtener la acreditacindel curso al cual corresponde el presente paquete, que sertomada en cuenta para la Carrera Magisterial y otros mecanismosde estmulo profesional. Con la finalidad de que los maestrostengan las mismas oportunidades, independientemente de laforma de estudio que hayan utilizado, la acreditacin serrealizada por un rgano tcnico, con los criterios objetivos,estandarizados y de validez nacional.

La Secretara de Educacin Pblica y las autoridades educativasconfan en que este material corresponda a los intereses y lasnecesidades reales de los maestros en servicio y que sea de uti-lidad en la elevacin de la calidad de la educacin que recibenlos nios y jvenes mexicanos.

Secretara de Educacin Pblica


NDICE

Introduccin9

IDos concepciones de resolucin

de problemas de matemticasBlanca M. Parra

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IIEstimacinRobert E. Reys

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IIIConstructivismo y educacin matemtica

Luis Moreno Armella y Guillermina Waldegg

49

IVlgebra en el mercado?

Terezinha N. Carraher y Analcia D. Schliemann69

VLa calculadora en la enseanza de las matemticas

Elfriede Wenzelburger Guttenberger89


VIHacia una propuesta de evaluacin

en la resolucin de problemasLuz Manuel Santos Trigo

99

VIIDimensiones psicosociales de la evaluacin

Carlos Rosales117

VIIIReconocimento y anlisis de figuras

geomtricas bidimensionales. La teora de van HieleGary L. Musser y William F. Burger

141

IXAzar y probabilidad. Fundamentos didcticosJuan Daz, Mara del Carmen Batanero y Mara Jess Caizares

163

XConstruccin del conocimiento desde el aprendizaje significativo-cognitivo

Antonio Ontoria, A. Ballesteros, M. C. Cuevas, L. Giraldo, I. Martn, A. Molina, A. Rodrguez y U. Vlez

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INTRODUCCIN

Este libro de Lecturas forma parte del paquete didctico para la actualizacinde los maestros de Matemticas de educacin secundaria. Contiene diezartculos previamente publicados, cuya referencia se incluye al final de cada uno.

Sus propsitos son:

Proporcionar informacin necesaria para el desarrollo de las activi-dades planteadas en la Gua de estudio.

Brindar elementos que favorezcan una mejor comprensin delenfoque vigente para la enseanza de las matemticas, en la edu-cacin secundaria.

Presentar materiales que propicien en el maestro la reflexin sobre suprctica y, en consecuencia, contribuyan a su formacin acadmica ypedaggica.

La seleccin de materiales no es de ninguna manera exhaustiva. Se realiza partir de los temas de los programas vigentes tratados en la Gua deestudio. Los artculos abordan distintos aspectos de la enseanza de lasmatemticas, como son: la resolucin de problemas; la estimacin; elproceso de la evaluacin; las matemticas aplicadas a contextos cotidianos;el papel de la calculadora en la enseanza; los fundamentos didcticos de laprobabilidad y el azar; la aplicacin de la teora de Van Hiele a la enseanzade la geometra en la escuela secundaria; y la relacin entre aprendizajesignificativo y constructivismo en la educacin matemtica.

Para un mejor aprovechamiento del contenido de los artculos, serecomienda al maestro que cada lectura sea analizada a partir de lassugerencias contenidas en la Gua de estudio.


IDOS CONCEPCIONES DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS DE MATEMTICASBlanca M. Parra


DOS CONCEPCIONES DE RESOLUCIN DE PROBLEMAS

DE MATEMTICASBlanca M. Parra

Presentacin

Este documento es producto del proyecto Formacin de profe-sores sobre reas fundamentales de la educacin bsica, quecon apoyo del CONACYT se desarroll en dos escuelasprimarias (a las que llamaremos A y B), durante el ao escolar1988-1989. El proyecto fue coordinado por investigadores delDepartamento de Investigaciones Educativas del CINVESTAV yen l particip como investigadora.

Para llevar a cabo el proyecto se planearon y desarrollarontalleres mensuales con los maestros de cada una de las escuelas,as como observaciones de clase, una por mes y por maestro, dealgunos de esos mismos maestros. Durante los talleres sepropusieron a los maestros problemas para ser resueltos porellos mismos y lecturas acerca de las caractersticas de losproblemas escolares y las modificaciones posibles de estascaractersticas, el trabajo en equipo, la importancia de la confron-tacin de las estrategias producidas por los alumnos en laresolucin de un problema, etc. Las estrategias y las solucionesde los maestros a los problemas propuestos, y sus reflexiones entorno a los materiales de lectura, fueron el objeto de las discu-siones dentro de los talleres.

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Siendo pues el problema el objeto central de este proyecto, eneste documento trataremos de caracterizarlo, en un sentidoamplio, y de caracterizar tambin las etapas por las cualesatraviesa su resolucin. Coincidimos con Halmos y Krygowskaen que el problema es el corazn de la actividad matemtica(citados por Bouvier, 1981) y con Brousseau (1983) en que unalumno no hace matemticas si no se plantea y no resuelveproblemas y es en trminos de estas premisas que examinamosla prctica escolar de la resolucin de problemas.

1. El problema como ncleo del quehacer matemtico

Qu es un problema? Un problema plantea una situacin quedebe ser modelada para encontrar la respuesta a una preguntaque se deriva de la misma situacin (Parra, 1989). Pero tambin,un problema debera permitir derivar preguntas nuevas, pistasnuevas, ideas nuevas como lo seala Bouvier (ibid).

Sin embargo, un problema lo es en la medida en que el sujeto alque se le plantea (o que se lo plantea l mismo) dispone de loselementos para comprender la situacin que el problemadescribe y no dispone de un sistema de respuestas totalmenteconstituido que le permita responder de manera casi inmediata.Ciertamente, lo que es un problema para un individuo puede noserlo para otro sea porque est totalmente fuera de su alcance oporque para el nivel de conocimientos del individuo, elproblema ha dejado de serlo.

En qu consiste la resolucin de problemas? Puede conside-rarse que un problema ha sido resuelto por un individuocuando ste cree, explcita o implcitamente, que ha obtenido laverdadera solucin.

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La resolucin de problemas se refiere a la coordinacin deexperiencias previas, conocimiento e intuicin, en un esfuerzopara encontrar una solucin que no se conoce. A grandes rasgos,puede decirse que, al resolver un problema, el sujeto:

formula el problema en sus trminos propios; experimenta, observa, tantea; conjetura; valida.

La etapa de validacin es central en este proceso, porque a travsde ella la conjetura puede ser reformulada, ajustada para dar mejorcuenta de la situacin planteada por el problema, o puedemostrarse falsa, encontrarse un contraejemplo que la invalide,con lo que ser necesario construir una nueva conjetura teniendoen cuenta los errores anteriores, que valen como ensayos. Dentrode la actividad matemtica, la validacin se da en un procesodialctico entre el que resuelve y el conocimiento matemticoestablecido, representado por los colegas o los profesores, o porla misma teora matemtica.

Caractersticas de la resolucin de problemas escolares. Elproceso de resolucin descrito se traduce, para los problemasescolares, en un proceso de tres pasos, a saber:

entender el problema; desarrollar y llevar a cabo una estrategia, y evaluar la solucin.

Dentro de este proceso, el desarrollo de una estrategia puedeser, a su vez, sujeto de otro proceso durante el cual la estrate-gia evoluciona, se afina, y se formaliza. Es decir, si se concedeun tiempo suficiente, es posible que la reflexin del sujetoderive hacia el proceso de la resolucin misma, buscando sim-plificar o hacer ms comprensible el camino de resolucin, o bienpasando de una resolucin basada en la visualizacin, a unaformalizada por los algoritmos.

Dos concepciones de resolucin de problemas de matemticas

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Evidentemente, este tipo de proceso slo puede ocurrir cuandoel problema es suficientemente interesante como para que elalumno se apropie de l y lo considere casi como un hallazgoque debe ser comunicado.

La etapa de validacin que, como ya se dijo, es central en elproceso de resolucin de problemas en matemticas, es prcti-camente inexistente en el proceso tradicional de enseanza.Generalmente, el maestro valida (o invalida) las solucionesaportadas por los alumnos en trminos de una, generalmente

Considrese, por ejemplo, el problema siguiente:Hay 6 personas en una reunin. Si cada una saluda de mano a todas las dems personas partici-pantes, cuntos apretones de mano tienen lugar?

Una primera estrategia de resolucin puede estar dada por la figura siguiente y el conteode los segmentos:

As, hay en total 15 apretones de mano.Pero esta estrategia puede evitar al alumno buscar las relaciones aritmticas equiva-lentes. Esto es:

la primera persona saluda a 5 invitados;la segunda, saluda a 4;la tercera, saluda a 3;la cuarta, saluda a 2;la quinta, saluda a 1.De modo que en total hay 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15 apretones de mano.

En una segunda etapa reflexiva, la resolucin puede tomar una forma ms acabada, sus-ceptible de ser generalizada:

Hay 6 personas; cada una estrecha, una sola vez, la mano de las otras cinco personas. Ashabra 6 x 5 = 30 apretones de mano. Pero de esta manera se cuenta dos veces cada saludo, unavez de b a c y otra vez de c a b; luego, el nmero de apretones de mano es la mitad de lo que sehaba encontrado, esto es (6 x 5)/2 = 15 apretones en total.

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a

b

c

f

e

d

ad, ab, af, ae, ac,bc, bd, be, bf

cd, ce, cf,de, df y ef


nica, respuesta esperada. Es decir, la solucin de un problemaes calificada por el maestro de correcta o de incorrecta sin que seconsidere el proceso completo de resolucin y sin que el alumnotenga la oportunidad de explicitar su concepcin del problemaresuelto y de la estrategia que lo condujo a tal solucin.

Mucho se ha discutido acerca de la importancia de la resolucininteligente de problemas en la enseanza elemental (Skemp, 1981;Alarcn y Parra, 1978; y Parra, 1989a). Esto es, la importanciade permitir que los alumnos construyan sus propios caminosde razonamiento, sus propias estrategias de resolucin y, sobretodo, la importancia de que puedan explicitar el porqu de esaresolucin. El proceso de resolucin, como se ha descrito, es unmedio para desarrollar el razonamiento matemtico y unaactitud positiva hacia las matemticas, al mismo tiempo que seponen en juego los conceptos que interesa afianzar.

Tambin se ha visto que cuando esta actividad se propone a losalumnos, el tiempo que tardan en abandonar los esquemas deresolucin tradicionales es realmente muy corto, y que lavariedad de estrategias correctas que resultan es muy grande ypermite detectar diferentes momentos en la construccin de unconcepto (Parra, 1989b). As, por ejemplo, en Dvila y Martnez(1989) se muestran diferentes momentos en la constitucin de laoperacin de sustraccin -en nios de tercer ao- que aparecieronen la resolucin de un problema por dems tradicional.

La deteccin de estos momentos es posible merced a que en laresolucin del problema no se considera solamente el resultadode manera dicotmica (correcto-incorrecto), sino que se obser-van, analizan y validan los caminos de resolucin que hanseguido los alumnos. Evidentemente, para que esto sea posible,se ha abandonado el modelo de resolucin datos-operacin-resultado para permitir la libre produccin de estrategias y uti-lizacin de recursos.


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Por otra parte, uno de los aspectos que se presentan en elproceso de la resolucin de problemas, y que debera conside-rarse como parte inherente a l, es el error. El error que elalumno comete al resolver un problema o llevar a cabo unalgoritmo merece ser considerado como fuente de conocimien-to. Al maestro le permite detectar dificultades conceptualesde las que no haba sido consciente y que pueden afectar abuena parte de sus alumnos, o dificultades de comprensin enla lectura, trminos desconocidos para los alumnos y que ad-miten una significacin distinta de la que el contexto del pro-blema supone. Por su parte, si al alumno se le invita a discutirsu resolucin, si se le permite explicitar sus concepciones,sus estrategias, buscar la manera de validar su resultado -en unambiente propicio para el dilogo-, es capaz de percatarse delerror cometido y de buscar y proponer una resolucin o unaestrategia alternativa, y en esta bsqueda puede aclararse unconcepto, comprenderse mejor.

El error puede tambin esconder una estrategia valiosa. Consi-drese, por ejemplo, el problema de los saludos intercambiadosen una reunin de seis personas. Cuando se le propuso a unnio de 10 aos, su respuesta inicial fue tiene que ser 6 x 6, alresponder a la pregunta de por qu tiene que ser 6 x 6, se hizo evi-dente el razonamiento y el error fue corregido por el propionio: porque cada persona saluda a todas las dems... entoncesson 6 x 5. La consideracin del doble conteo implcito surgiposteriormente, para dar lugar a una respuesta totalmente co-rrecta en los trminos que aparece reseada anteriormente.

Importancia del papel jugado por el maestro. Debe reiterarseque el desarrollo de estrategias y la observacin, anlisis yvalidacin de las mismas slo son posibles si se proponen a losalumnos problemas interesantes desde el punto de vista de loque demandan de l. Por su parte, la discusin de los errores y

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la consideracin del papel didctico que ellos juegan slopueden tener lugar si se abandona el modelo de resolucindatos-operacin-resultado.

Un factor esencial para que la resolucin de problemas seconvierta en una actividad interesante y productiva para losalumnos es, sin duda, el maestro. Sus acciones y el ambiente quelogre crear dentro de su clase darn significado a la prctica dela resolucin de problemas.

Charles (1982) seala que la componente ambiente del aulaidentifica comportamientos que el maestro debiera modelarpara desarrollar una atmsfera de clase propicia para la resolu-cin de problemas de matemticas. La componente acciones delmaestro identifica algunos comportamientos tiles para ayudara desarrollar las habilidades del alumno para seleccionar y uti-lizar estrategias de resolucin.

En efecto, segn algunas experiencias, el objetivo ms impor-tante de las prcticas de resolucin de problemas debera ser lacreacin de una atmsfera propicia para la resolucin de pro-blemas, principalmente al inicio del ao escolar. Entre loscomportamientos con los que el maestro puede ayudar a crearesta atmsfera, dos merecen destacarse:

animar a los estudiantes a explorar cualquier idea oestrategia que pueda ayudarlos a entender y/o resolverun problema, sin censurar las ideas generadas;

reconocer y reforzar los diferentes tipos de habilidad oexcelencia de los estudiantes.

La resolucin de problemas es un proceso, y como tal debeconsiderarse. Consistentemente con esto, las acciones delmaestro deberan encaminarse a, primero, asegurarse de queel problema ha sido comprendido por los alumnos antes de


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que stos procedan a la resolucin, discutiendo las palabras deltexto que eventualmente causen dificultades; luego, durante laresolucin, observar el trabajo de los alumnos e interrogarlospara identificar las dificultades que enfrentan, animarlos adesarrollar una o varias estrategias y, si es necesario, hacerlesalguna sugerencia. Una vez que los alumnos han obtenido unasolucin, discutir las diferentes estrategias utilizadas, ancuando no hayan conducido a una solucin correcta; si esposible, relacionar el problema con otros resueltos anterior-mente y/o discutir posibles extensiones de l.De estos dos puntos se infiere que los objetivos perseguidos alcrear un buen ambiente son:

lograr la buena disposicin del alumno frente a la tarea deresolver un problema;

la perseverancia al intentar la resolucin y la seleccin de una estrategia para llevar a cabo la resolu-

cin aun cuando la estrategia seleccionada no conduzca auna resolucin correcta.

2. La concepcin escolar del problema

En el proceso escolar tradicional, el problema y su resolucinrevisten caractersticas distintas a las que sealamos en las selec-ciones anteriores. La diferencia ms significativa est tal vez enla intencin con la que se propone un problema. Si dentro de laactividad matemtica el problema es algo que provoca alespritu, que incita a la bsqueda de una respuesta, a satisfaceruna necesidad de conocimiento, en la enseanza, y sobre todoen la elemental, un problema es generalmente un medio decontrol de la adquisicin de conocimientos.

En el mejor de los casos, un problema se plantea para dar pie aun nuevo tema de estudio, en un afn motivacional. Pero en estecaso es el maestro quien resuelve, quien plantea y responde las

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preguntas que habrn de conducir al alumno a admitir lanecesidad de ampliar sus conocimientos o sus recursos algort-micos. Ejemplo de ello es el inicio del estudio de los decimales,donde los problemas de medicin son propuestos por elprofesor para hacer sentir la necesidad de contar con fraccionesde la unidad de medicin, con la afirmacin implcita de que lamanera ms eficiente de hacerlo es fraccionando en diez partesesta unidad.

En general, los problemas que se proponen a los alumnos se de-finen en relacin con el contenido matemtico que se quiereevaluar: se trata de aplicar algoritmos y procedimientos estu-diados en clase, y casi siempre inmediatamente despus de la olas sesiones que les han sido dedicadas. Son, adems, problemasestructurados de tal manera que la o las operaciones que serequieren para su resolucin estn prcticamente indicadas en eltexto del problema, en el orden en que tienen que realizarse. Enesta situacin, los problemas no provocan la interaccin delalumno con situaciones que los obliguen a comprometer sus co-nocimientos, a revisarlos, a modificarlos, o rechazarlos para for-mar un conocimiento nuevo.

Evidentemente, a travs de esta propuesta de problemas nose espera desarrollar en el alumno una actitud de bsqueda,de formulacin de preguntas o de elaboracin de respuestas. Eneste sentido los problemas no reflejan, en lo absoluto, lo queocurre en la actividad matemtica verdadera.

No debe entenderse con esto que los problemas que Mialaret(1985) llama guiados -esto es, problemas cuya resolucin slodemanda del alumno la aplicacin de una o varias operacionesaritmticas que deben realizarse en el orden solicitado en elenunciado-, deban excluirse de la enseanza. Por el contrario,Mialaret seala que estos problemas familiarizan al estudiantecon la aplicacin de lo aprendido al nivel de las operaciones, a


la resolucin de problemas. Seala tambin que los problemasen los que hay varias operaciones, varias etapas de resolucin,suelen verse como la concatenacin de problemas elementales deun paso (guiados y de una operacin) y se considera entoncesque su resolucin es simplemente la de estos problemas elemen-tales, pero que debe tenerse en cuenta las dificultades de ordenpsicolgico que estos problemas presentan para los alumnos delciclo elemental. En otras palabras, el nio que sabe resolver se-paradamente los problemas A, B y C, no resuelve forzosamente(por lo menos en un primer momento) el problema constituidopor A+B+C. De ah el inters en conservar estos problemas, enla enseanza. Debe reiterarse aqu la importancia que tiene elpapel desempeado por el maestro para que estos problemas sevean realmente como problemas.

Desde la perspectiva del problema como ejercicio de aplicacinde algoritmos, la resolucin no se entiende como un procesosino como un reactivo en el que se enfatiza la seleccin yrealizacin del algoritmo correcto.

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Durante uno de los talleres en la escuela A, una profesora, Marina, al cuestio-narse la formulacin de los problemas, hace la siguiente reflexin sobre la prcticadocente:

Es muy frecuente en nosotros como maestros. Nuestros objetivos tienen que abarcar ms loque son las operaciones que el texto del problema. Porque nunca me he puesto a analizar conlos nios el contenido del problema. Nunca. Porque siempre estamos abocndonos a lasoperaciones, que aprendan a multiplicar, a dividir, todo eso. Y como que siempre hacemoshasta la pregunta, como que la remarcamos para que sea suma, resta. Como que se da muchonfasis en la voz del maestro al marcar las preguntas para que el nio llegue a la operaciny, que sepa que tiene que utilizar tal operacin.


Curiosamente, como se registra en Dvila y Martnez (ibid)cuando se pregunta, cul es el objetivo que el maestro per-sigue al plantear problemas a sus alumnos?, las respuestasson de este estilo:


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Durante el mismo taller, la maestra Carmen propone el siguiente problema ycomenta el objetivo que persigue:

Una seora fue al Mercado de la Bola compr 5 montones de naranjas. Cada montn le cost$3 000. La seora llevaba un billete de a $10 000; cunto pag por las naranjas?

Sus compaeros reconocen el texto como el de un problema al que le faltan datos;aun cuando lo que realmente cuestionan son las condiciones del problema; esto es, sila seora llevaba monedas adems del billete, o si regate con el comerciante.Entonces la maestra aclara:

Lo que yo quera es que se dieran cuenta de que no pudo comprarlas; yo planteaba que a lomejor las podan sumar, que es un paso para la multiplicacin, pero lo que yo quera es quemultiplicaran 5 x 3 y no 3 veces 5 (...). O sea que fue ah en la multiplicacin,que es lo que quiero (...).

Otro profesor, Camilo, lee el problema que construy y a continuacin mencionatambin los objetivos explcitos:

Pedro compr un terreno de 10 m de frente por 8 m de lado, y quiere clavar un poste cada6 m en su patio. Si tena 10 postes, cuntos postes le faltaron para cercar todo el terrenoque le vendieron?

Objetivos:

a) reafirmar el conocimiento sobre permetros;b) mecanizacin de la operacin de divisin;c) anlisis del problema e interpretacin de algunas palabras


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Para obligar a los nios a razonar.

Para hacerlos unos pensantes.

Para desarrollar su capacidad de razonamiento.

entre otras que manifiestan la preocupacin por desarrollar elmanejo de algoritmos.

La pregunta que surge entonces, de manera natural es, en quconsiste, para el maestro, esta capacidad de razonamiento?Basndonos en la actuacin del maestro frente a la resolucin deproblemas, en lo que solicita a los alumnos, en las recomenda-ciones y sugerencias para ayudarlos a resolver los problemas quel mismo plantea, y los ejemplos que l mismo desarrolla paramostrar en qu consiste la resolucin de problemas, podemosafirmar que lo que el maestro llama razonamiento consiste en:

la identificacin de los datos del problema, los cualesgeneralmente son numricos y aparecen ordenados, sinque sobren o falten, en el texto del problema;

la identificacin de la pregunta: se trata de una preguntanica, generalmente, pero en el caso de haber ms de una,la segunda depende casi evidentemente de la primera, y

la determinacin de la operacin, u operaciones, quesirve(n) para responder la pregunta.

Estos tres elementos constituyen el esquema de razonamientoque conducir a la solucin del problema. Y en trminos de esose disean estrategias o mtodos para producir este esquema.En sntesis, desde la concepcin escolar el problema es, bsica-mente, un ejercicio de aplicacin de algoritmos o frmulas es-tudiadas en clase que tienen la ventaja de disfrazar lo rutinarioy que, adems, obligan al alumno a identificar los datos delproblema y la pregunta planteada, y a determinar el algorit-mo o frmula a ser empleada para responder a tal pregunta.Este trabajo de identificacin es lo que en la escuela se llamarazonamiento.



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De esta concepcin se deriva que ciertos modelos de resolucinsean privilegiados, as como la manera en que el maestro piensaque se construye la capacidad de razonar.

En lo que sigue veremos cmo, efectivamente, los problemasque plantean los maestros responden a esta concepcin.

3. El problema escolar como objeto de anlisis

El problema escolarizado es una historia que nos cuenta algntipo de actividad en la que el protagonista tiene que contar o quemedir (Parra, 1989a). Los problemas que generalmente se pro-ponen son de la vida real o se refieren a situaciones quepudieran ser vividas por los alumnos; en ocasiones, se trata in-cluso de situaciones que ocurren en el dominio de la fantasa.Pero aquellos puramente matemticos no son reconocidos siem-pre como problemas.

En lo que se refiere al contenido matemtico del problema,puede observarse que los maestros privilegian los aspectos pura-mente aritmticos en detrimento de los geomtricos, combinatorioso lgicos, por ejemplo. En este sentido es interesante detallar lasreacciones de los maestros ante diferentes problemas que lesfueron propuestos. En una sesin de taller en el mes de junio sepropusieron los siguientes problemas:

1) el de ubicar un lugar para construir una fbrica que tiene queestar a ms de 3 km de cada una de varias casas (representadaspor puntos) y a menos de 1 km de cada una de dos carreterasque se intersectan (representadas por rectas);2) el de determinar el rea de un jardn de forma irregular;3) el de determinar cuntos frijoles hay en un kilogramo.


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Durante la resolucin del primer problema, el coordinador deltaller trata de mostrar la riqueza del mismo y de hacer evidenteslos conceptos involucrados en la resolucin. Gilda, maestra de5 ao, comenta:

Gilda: No, est bien diferente, no es matemtico, pero es un problema.

Coord.: !Ah! Por qu no es matemtico?Gilda: Bueno, porque no tiene nmeros, no? O sea,

estamos acostumbrados a que es matemticas si lleva nmeros.

Ms adelante reitera: Pero yo creo que no es matemtico sinogeomtrico, no? O sea, manejndolo as. Pero aclara, luego, elproblema es geomtrico en cuanto a medidas de longitud,porque no hubo que hacer operaciones complicadas sino medircon una regla.

Para Rosario, otra de las maestras del grupo, el problemaes para razonar, ms que nada, usar el razonamiento, parapoder resolver el problema, dejando de lado el manejo de losconceptos de circunferencia, paralelismo, etctera, necesariospara la resolucin.

En cambio, el problema del jardn no es cuestionado comoel anterior. Calcular un rea, aunque no se usen frmulas,s cae dentro de los problemas matemticos.

El problema del kilo de frijoles enfrenta un cuestionamientodistinto. No se trata de si es matemtico o no, sino de su utili-dad. De nuevo, es la maestra Gilda quien cuestiona:

Gilda: Yo, yo,... bueno, no s, qu objeto tiene el problema?

Coord.: Buena pregunta.Gilda: Yo se los dejo (a los alumnos) y digo para qu?

Todava ste (el de la fbrica) se ve ms... La verdad, yo no le veo objeto al problema.


Y ms adelante:

Gilda: En ste tambin (el del jardn) estaba bien canijo sacarlo, pero as al de los frijoles no le veo objeto. Qu caso tiene? Un kilo es un kilo y,... s, no le veo nada prctico.

Despus de una larga discusin sobre lo que el problema aporta,el coordinador comenta: S, es una posibilidad, podra ser...para Lupita... convertir el problema de la bolsa (del kilo) de losfrijoles en algo que se parezca un poquito ms a la vida, no?Sugerencia que es rpidamente aceptada por el grupo de maes-tros. Otra maestra, Irene, sugiere pasar a las canicas... Y ya lesinteresa (a los nios) porque son canicas.

En lo que respecta a otras caractersticas del contenido, puedesealarse que en los problemas que usualmente son propuestosen la escuela:

la historia se inicia regularmente con el protagonista; los datos del problema estn ordenados, son numricos,

explcitos y ni sobran ni faltan; los verbos que describen las acciones del protagonista y

la esencia de la misma pregunta son generalmente pala-bras clave para la resolucin;

hay una nica pregunta, con la que termina el enunciado; la respuesta esperada es numrica y nica.

Respecto a cundo se proponen problemas en la enseanza,encontramos tres momentos:

para iniciar un tema; como ejercicio de aplicacin; como evaluacin.

Ya se haba sealado que el momento privilegiado es el se-gundo; esto es, la mayor parte de los problemas se presentancomo aplicacin del contenido matemtico que acaba de serpresentado a los alumnos. Muchas veces sirven de disfraz paralos ejercicios algortmicos rutinarios.


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En este sentido, al analizar los problemas que los maestros dela escuela B propusieron a lo largo del ao que dur el proyec-to, encontramos slo problemas que buscan reforzar algoritmosya estudiados.

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En la misma sesin de noviembre, propone:

Paquita tiene un arbolito; su arbolito tiene 120 ramitas pero slo tiene 45 esferas. Cuntasesferas tiene que comprar?

Luego, en febrero del ao siguiente, propone:

Quiero llenar un lbum de animales. Ya tengo 1 256 estampas. El lbum se llenar cuandojunte 1 500 estampas. Cuntas necesito reunir todava?

Por ejemplo, Irene, maestra de 3er ao, en una sesin en el mes de noviembre cuentael problema siguiente:

Haba una vez un conejito que sali a buscar zanahorias, iba brinca y brinca y brinca y nopudo coger ni una zanahoria porque ah estaba el lobo. Al segundo da que sali pesc una yotra y otra, fueron 8 zanahorias. El tercer da sali el sol, el conejito se dijo me tengo queapurar ms, ms rpido, antes de que vaya a llegar el lobo, y junt 14 zanahorias. Al dasiguiente, nada ms 10 zanahorias junt. Resulta que dijo Ahora voy a comer, y se comi 6zanahorias. Le ayudan al conejito a contar sus zanahorias?

En el pizarrn, la maestra escribe:El conejito: el 1er da no pudo tener nada2 da 8 zanahorias3er da 14 zanahorias4 da 10 zanahorias

(En un dilogo, la maestra pregunta a los nios cuntas se comi el conejito; los niosresponden que 6 zanahorias, entonces ella termina de escribir) Cuntas lequedaron?


Aun cuando la maestra incorpora al texto del problemaelementos que lo hacen interesante -como es el hecho de nopreguntar, en el segundo de los problemas citados, cuntasesferas faltan sino cuntas esferas tiene que comprar-, supreocupacin est centrada en hacer comprender y ejercitar losmecanismos de la sustraccin.

De hecho, en ninguna de las dos escuelas en las que sedesarroll el proyecto, los maestros mostraron una utilizacinespontnea del problema como medio para abordar un temanuevo, por lo menos en las sesiones de clase que fueron ob-servadas y registradas. Cabe sealar que esta posibilidadtampoco fue explorada o desarrollada durante los talleres, enlos que el inters se centr ms en el problema como objetode exploracin.

En la escuela A, lo ms generalizado fue la adaptacin de losproblemas propuestos en los talleres para los fines que ahmismo se especificaron: trabajo en equipos, confrontacin,validacin de estrategias, anlisis del texto del problema,etctera. Tambin se propusieron algunos problemas quetrataban de seguir los lineamientos desprendidos de las discu-siones dentro de los talleres. Sin embargo, no parece claro queun ao de trabajo sea suficiente para favorecer la aparicin deproblemas, en tanto que aplicaciones de clase, ms atractivospara los alumnos. Al finalizar el proyecto, durante el cualse dedicaron varias sesiones de taller a discutir la conveniencia depropiciar una reflexin entre los alumnos acerca del texto del pro-blema, sobre la importancia de garantizar la comprensin de laspalabras del texto, de la conveniencia de enfrentar a los alumnosa problemas no estereotipados, problemas donde sobren ofalten datos, donde estos datos no sean siempre numricos,donde haya ms de una pregunta, donde no haya palabrasclave para la resolucin, etctera, los problemas propuestospor los maestros de la escuela A son ms bien del tipo de los que


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construyeron Camilo y Carmen, que citamos aqu mismo,aunque hay maestros ms prontos a adoptar estas sugerencias,como en los casos de Antonia y Marina, que proponen los pro-blemas que aparecen a continuacin:

Lecturas

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En el Estadio Azteca hubo un partido de futbol, se vendieron 7 672 boletos y solamenteasistieron 6 379 personas, ms 11 jugadores de cada equipo. En el primer tiempoexpulsaron a 3 jugadores, y en el segundo tiempo se salieron 125 espectadores. Contestalas siguientes preguntas:

1. Cuntas personas quedaron al final del juego?2. Cuntas personas no asistieron al partido?3. Cuntas personas haba al inicio del partido?4. Si el boleto cost $7 000.00 M/N. Cunto dinero se recaud?

Un avin sale del aeropuerto de la Ciudad de Mxico con destino a la ciudad de NuevaYork con 175 pasajeros. El vuelo hace escala en Los ngeles, donde bajaron 98 pasajerosy subieron 47.

1. Cuntos pasajeros llegaron a la ciudad de Los ngeles?2. Cuntos pasajeros viajaron en ese avin?3. Cuntas personas llegaron a la ciudad de Nueva York?

Se va a organizar un torneo de futbol en el que participarn cuatro equipos: DeportivoTepic, Club Puga, Club Bellavista y Seguro Social. Cada equipo debe jugar contodos los dems, una vez en su cancha y otra en la del equipo contrario. El torneoempezar el domingo 24 de septiembre de 1989 y se realizar un partido cada domingoy uno cada mircoles.

1. Cuntos partidos se realizarn en total?2. Cuntas personas presenciarn los partidos?3. En qu fecha ser la final?4. Cunto tiempo de juego efectivo hicieron todos los equipos juntos?


En la escuela B, por su parte, adems de adaptar los problemaspropuestos en el taller para llevarlos a sus alumnos, produjeronmayores problemas cuyo denominador comn es el reforzamientode algoritmos y procedimientos aprendidos en clase. Aquellosproblemas adaptados de los talleres son, en su mayora, los quepueden catalogarse dentro de los problemas de la vida cotidiana,como es el caso del problema de la propaganda, en el cual, a partirde una hoja de ofertas de un supermercado, se propone a losalumnos hacer una lista de artculos que se puedan comprar con$20 000 de manera que sobre lo menos posible de dinero. Este pro-blema tuvo una gran aceptacin entre los profesores, porque traducesituaciones que los nios enfrentan o pueden enfrentar en su vidadiaria. Otro problema, propuesto por los mismos maestros, se refiereal conocimiento y manejo del calendario; se trata, de hecho, de unasituacin de la cual pueden derivarse diferentes problemas paracada uno de los grados escolares, desde el conocimiento de los nom-bres de los meses, el orden en que se presentan, el nmero de das decada uno, hasta problemas relativos a edades, das laborables, por-centajes de asistencia, etctera. De nuevo, se trata de situaciones queeventualmente son vividas por el nio. Como ya vimos, los proble-mas que traducen situaciones puramente matemticas son losmenos aceptados.

Es muy probable que el trabajo necesario para hacer que los pro-fesores reconozcan en la resolucin de problemas una fuente deconocimiento, para permitirles optar por un acercamiento a losdiferentes temas de estudio del programa de matemticas a travsde problemas, sea un trabajo que requiera de muchos aos depaciente labor en los que, tal vez, sea el mismo maestro el que seadentre en reas de la matemtica que hasta ahora le son desco-nocidas, a travs del planteamiento de algunos problemas claveque despierten su inters y su curiosidad por saber cul podra serla solucin y cul la manera o las maneras de encontrarla. Es evi-dente que un ao de labor en esta direccin no es suficiente.

Tomado de la revista: Educacin Matemtica, vol. 2, nm. 3.Grupo Editorial Iberoamrica, Mxico, 1990.


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Lecturas

ALARCN, J., PARRA, B. (1978). Cmo losnios resuelven problemas. Comunicacininterna. SME-CINVESTAV. Mxico.

BOUVIER, A. (1981). La mystification math-matiques. Herman. Pars.

BROUSSEAU, G. (1983). Obstacles piste-mologiques en mathmatiques. Recherches enDidactique des mathmatiques. Vol. 4. LaPense Sauvage. Grenoble.

CHARLES. I. (1982). An instructional system formathematical problem solving, en Problemsolving in the mathematics classroom.Mathmonograph, nm. 7. Mathematics council ofThe Alberta Teachers Association. Calgary.

DVILA, M.; MARTNEZ, P. (1989). Qu pien-sa el maestro sobre los problemas de matemti-cas? DIE-CINVESTAV. Mxico.

MIALARET, G. (1985). La resolucin de pro-blemas matemticos. Psicologa Educativa,nm. 9. CEIPA. Medelln.

PARRA, B. (1989a). Acerca del papel de la repre-sentacin en la resolucin de problemas.Pedagoga. Vol. 6, nm. 17. UniversidadPedaggica Nacional. Mxico.

PARRA, B. (1989b). La resolucin de problemasen la construccin de esquemas de razonamiento.Primera reunin sobre razonamiento matemtico.SME-CINVESTAV. Mxico.

SKEMP, R. (1981). What is a good environment forthe inteligent learning of mathematics? Do schoolsprovide it? Can they?. Recherches en Didactiquedes Mathmatiques, vol. 2, nm. 2. La PenseSauvage. Grenoble

BIBLIOGRAFA

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IIESTIMACINRobert E. Reys


ESTIMACINRobert E. Reys

La estimacin y el razonamiento matemtico van de la mano.Ambos son complejos y cada uno involucra muchos procesosdiferentes. Siento que el adiestramiento en la estimacin proveeun contexto natural, dentro del cual no slo se puedendesarrollar sino tambin practicar muchas habilidades impor-tantes para razonar.

Cules son estas habilidades importantes para razonar?

Un examen de los artculos de cualquier revista de educacinmatemtica muestra que lo que constituye el razonamiento matemti-co est sujeto a muchas interpretaciones diferentes. En lugar detratar de formular una definicin explcita de razonamiento ma-temtico, consideramos algunas caractersticas suyas. Por ejem-plo, una persona, al razonar matemticamente:

1. Estudia un problema y decide qu tipo de respuesta serequiere.

2. Usa su flexibilidad mental al trabajar con diferentes clasesde nmeros.

3. Selecciona las estrategias apropiadas.4. Reconoce que existen varias soluciones y no tiene temor de

abandonar una estrategia en favor de otra.5. Revisa si los resultados son razonables.

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Si estos pasos parecen los apropiados para resolver proble-mas, es porque lo son. La resolucin de problemas y el razo-namiento matemtico son inseparables. Aun as, esta lista noes exhaustiva, ni son las caractersticas mutuamente exclu-yentes. Sin embargo, bosquejan algunos procesos clave del ra-zonar que pueden ser desarrollados por la enseanza de la es-timacin. El resto de este artculo abarca las habilidades yprovee unos cuantos ejemplos especficos de cmo la esti-macin puede ayudar a afianzar mejor las habilidades.

Observemos

Muchas veces necesitamos una respuesta exacta a un problema;sin embargo, la mayora de las veces una estimacin tambinservir. Ya que las estimaciones son a menudo ms fciles y msrpidas de obtener, debemos usarlas. Los nios necesitan darsecuenta de que el mundo actual es bombardeado con datosnumricos, algunos exactos y otros estimativos. Es til, y a

Lecturas

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Actividad 1

Leer cada cabeza periodstica. Decidir si las cifras representan datos exactos o estimaciones.

DEPORTESGRAN TRIUNFO 189 - 180

TIMES2 500 MILLONESEN VENTAS

TIMESEL MERCADO CAE 7.25 PUNTOS

CINE Y TEATROESTRELLA FIRMACONTRATO POR$ 5 000 000

EXTRA369 MUERTOS ENAVIONAZO

DEPORTESASISTENCIA A LA SERIE MUNDIAL:325 000

LECTURAS.CAP.I-IX 10/3/01 11:32 AM Page 36

menudo muy importante, saber distinguir cul es cul. Losencabezados periodsticos mostrados en la Actividad 1 puedenusarse para ayudar a los alumnos a distinguir mejor entre estima-ciones y respuestas exactas. Al discutirse estos encabezados, noestarn de acuerdo en cmo clasificar cada uno de ellos, pero estaexperiencia promover que los nios cuestionen y defiendan, o almenos expliquen, sus interpretaciones.

Por supuesto que muchas veces se necesitan respuestas exactas(v. g., La estacin est en el 102 de FM. De cunto es tu recibode luz este mes?) y muchas veces se reportarn estimaciones(v. g., La estacin est por el 100 de FM. De cunto ser tucuenta de luz este mes?). Preguntas como las de la Actividad 2dan oportunidad de mejorar la decisin de si se necesitanrespuestas exactas o estimaciones. Observar y decidir eltipo de respuesta necesaria en un problema es una parteimportante del razonamiento matemtico. No slo promueveque los alumnos se den cuenta del poder y la utilidad de laestimacin, sino que a menudo muestra la direccin para lasolucin del problema.

Estimacin

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DEPORTESESTADIO VENDIDO PARA LA SERIE MUNDIAL

CUENTA POR UNA CENAcomida $ 1 362.50impuesto ?

TOTAL ?

Es suficiente la estimacin cuando:- el contador calcula cunto dinerose sacar de la venta de boletos?- el peridico reporta cunta genteasisti al juego?

Es suficiente una estimacin cuando:- la mesera calcula el 15% de impuesto?- la mesera encuentra el total?- el cliente calcula el 15% de propina?- el cliente revisa la cuenta?

Actividad 2

LECTURAS.CAP.I-IX 10/3/01 11:34 AM Page 37

Flexibilidad mental con los nmeros

Reconocer qu tipo de respuesta se necesita es el primer pasohacia una flexibilidad mental, y un buen sentido de los nmeroses el prximo. Consideremos, por ejemplo, el siguienteproblema:

Los estudiantes con un buen sentido de los nmeros recono-cern que estas fracciones son cercanas a 1 y a 2 respectiva-mente. Tal razonamiento convierte una solucin por algoritmopotencialmente larga y engorrosa, en una respuesta rpida:casi 3. Los estudiantes brillantes frecuentemente exhiben estetipo de razonamiento ellos mismos, pero la mayora de losalumnos necesitan una enseanza cuidadosa para desarro-llar un sentido de los nmeros y una flexibilidad. La Activi-dad 3 muestra una manera en la cual la flexibilidad puede serreforzada.

Es esencial que la enseanza sea diseada para ofrecer, enconjunto, actividades que aumenten la flexibilidad de losalumnos con los nmeros. Estas actividades incluyenrelacionar diferentes nmeros, tal como traducir Venta: 35%de descuento a descuento de , o reconocer que no sloest cerca del 0.0897, sino que es mucho ms fcil de usarlos alobtener una estimacin. La flexibilidad mental tambin esesencial al estimar y representar un elemento importante delrazonamiento matemtico.

Lecturas

38

Estime :


Estimacin

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Actividad 3

Estas fracciones sonmenores que 1

Supn que se suman dos de ellas

menos que2

exactamente 2

ms que 2

Juntos sonmenos quedos pasteles

Supn que se suman tres de estas fracciones.La suma debe ser:_______________________

La suma debe ser...

Piensa por qu


Seleccionemos una estrategia

Muchas estrategias diferentes son tiles para obtener estima-ciones. Aunque el redondeo ha sido la estrategia estimativapredominante en la enseanza, otras estrategias poderosasy tiles estn disponibles, tales como extremos, promediar ynmeros compatibles (Reys y Reys 1983; Trafton 1976). Cadauna de estas estrategias se ilustra en la Figura 1.

La investigacin ha demostrado que cuando stas y otrasestrategias son enseadas, el desempeo de los alumnosaumenta significativamente (Reys et al. 1984). Es esencial que una variedad de estrategias para estimar se ensee sis-temticamente dentro de los programas de matemticas. La in-

arroz $ 419.00huevo 86.00leche 139.00sal 29.00azcar 214.00impuesto 23.00

N$ 10.00

Lecturas

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FIGURA 1

EXTREMOS

4 + 1 + 2

Las centenas suman $ 700.00

AJUSTE

Las centenas son como $ 200.00

29 y 86 son ms que 100. El restotambin suman ms que 100.

ESTIMACIN

$ 700.00 + 200.00 = $ 900.00

1

2

3

EXTREMOSEstime el total de esta cuenta de abarrotes


Estimacin

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vestigacin ha demostrado que a menos que las estrategias espec-ficas sean enseadas, pocos estudiantes desarrollarn stas pors mismos. Al aumentar su repertorio de estrategias estimativasa travs de la enseanza y la prctica, los estudiantes se dan msy ms cuenta de las opciones disponibles. Un anlisis de lascondiciones del problema, junto con las propias preferencias delos alumnos y estilos, conducir a un proceso de resolucin queligue una estrategia a un problema. Estos procesos analticos, dejuicio y de toma de decisiones estn en el corazn del razona-miento matemtico.

PROMEDIAR

Estime la asistencia total

lunes 72 250 martes 63 891 mircoles 67 490jueves 73 180 viernes 74 918 sbado 68 490

Las cifras se aglomeran alrededor de 70 000, entonces 70 000personas asistieron cada da. 6 x 70 000 = 420 000Estimacin al promediar: 420 000

NMEROS COMPATIBLESEstime los pagos mensuales

Es ms fcil pensar el problema como:Estimacin por nmeros compatibles: $ 30 000.00

Costo financiado $ 1 562 900.00pago a 48 meses


Estrategias mltiples al resolver

El refrn: Todos los caminos conducen a Roma se aplicaespecialmente bien a la estimacin. A menudo, una estimacinpuede ser obtenida de diferentes maneras, como se muestra enel problema de la Figura 2. Cada una de estas estrategias esdiferente, pero cualquiera de ellas es apropiada. El discutir y elcompartir diferentes aproximaciones en el saln de clasesno slo disminuir la visin de tnel (la nocin de que lascosas slo pueden hacerse de una manera), sino que tambindisminuir el sndrome de la nica respuesta correcta.

Junto con la adquisicin de una variedad de estrategias de esti-macin debera venir el reconocer que varias de ellas puedan seraplicadas al mismo problema. Si una estrategia se vuelve engo-rrosa o se presenta improductiva, intenta otra. La estimacin debeser rpida, y si se vuelve laboriosa, una nueva estrategia debe seraplicada. Esta flexibilidad al razonar y la disposicin para in-tentar otro enfoque ayudan a crear la confianza en uno mismo.No slo es una parte importante, sino esencial para desarrollarun razonamiento matemtico.

Lecturas

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Estima este total: $ 949936

1 0191 035

9271 042

FIGURA 2

REDONDEAR900 + 1 000 + 1 000 + 1 000 + 900 + 1 000son como 5 800

EXTREMOS900 + 900 + 1 000 + 1 000 + 900 + 1 000son 5 700 ms otro poco, o sea 5 900

PROMEDIARtodos estn alrededor de 1 000o sea 6 x 1 000 = 6 000


Pruebas de razonabilidad

Es razonable un resultado? Esa pregunta debe ser hecha cadavez que se obtiene un resultado. Cada uno de nosotros tiene suspropias historias de horror sobre respuestas sin sentido.Ocurren tanto dentro como fuera de la escuela. A menudo estasrespuestas irracionales estn ligadas a soluciones para acabarpronto, pero no siempre. Una respuesta puede acercarse alresultado y al mismo tiempo ser irracional. Un ejemplo vvidode este fenmeno me sucedi revisando una cuenta en unatienda de departamentos. Se vendan pelotas de tenis a $199.00la lata. Compr exactamente 15 latas de pelotas y ninguna otracosa. El subtotal en la registradora (antes del impuesto) era de$3 194.00. Era ilgica esta respuesta? Para m, s; pero no parael cajero. Tal vez lo ms desconcertante de todo fue la forma enque el cajero manej este conflicto. En lugar de razonar con losnmeros involucrados (i. e., 15 latas a $199.00 cada una) el cajeroopt por volver a marcar todos los objetos. Este comportamientoalgortmico y la dependencia total respecto de la tecnologa porparte de una persona que termin bachillerato exitosamenteeran decepcionantes.

Cmo puede uno decir si el resultado es razonable?Generalmente se utilizan dos tipos de criterios. Uno se relacionacon el contexto del problema. La Actividad 4 provee oportu-nidades para revisar si las respuestas son realistas para lasituacin dada. Un segundo criterio a menudo requiere estimary se relaciona con la manipulacin de los nmeros. La Actividad5 ejemplifica una manera de practicar y desarrollar este modode razonamiento. Fomentar revisiones rutinarias, pero nosuperficiales, en busca de resultados razonables debe ser unobjetivo central de la instruccin matemtica. Slo a travs de laenseanza sistemtica y el fomento constante, la revisinconsciente en busca de resultados razonables llegar a ser parteintegral del razonamiento matemtico de los estudiantes.

Estimacin

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Lecturas

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Cuntos dgitos?

Estudia cada problema. No des respuestas exactas.

Estima cuntos dgitos deben tener las respuestas.

Problema Nmero de dgitos

1. 134 + 689 _______________

2. 134 + 989 _______________

3. 12 x 234 _______________

4. 9 x 38 x 19 _______________

Actividad 5

Escoge el nmero ms razonable:

Un guante nuevo de beisbol cuesta:$140.00 $1 400.00 $14 000.00

El nmero de estudiantes de la escuela Benito Jurez es:5 50 500

Actividad 4

La familia Gonzlez (4 personas) fue a comer hamburguesas y gast:

$12.00 $120.00 $1 200.00

Escribe una cantidad razonable:Nuestra escuela tiene ms o menos ___________ estudiantes.El nmero promedio de personas en una familia es de ________Alrededor de ________ personas viven en Mxico.


Conclusin

El proceso de estimacin no slo es compatible con el razonamientomatemtico, sino que conduce a l. A menudo tenemos uno odos minutos en clase antes de un descanso, almuerzo o reunin;una reserva disponible de estimaciones relmpago nos ayudaa aprovechar esos minutos. Vea la Figura 3. Aunque estosproblemas piden una solucin rpida, ofrecen una prctica enestimacin y razonamiento matemtico simultneamente.Muchos otros problemas interesantes y desafiantes estndisponibles, por ejemplo, ver Reys y Reys (1983).

Estimacin

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ESTIMACIONES RELMPAGO

En una semana las ganancias de la pelcula x fueron: $51 165 285.00.Aproximadamente cunto se gan en un da?

$ 46.00 $ 65.00

Cul es la mejor compra?

Si cada estudiante de nuestro grupo se subiera en una bscula, cunto pesara el grupo, ms o menos?

FIGURA 3


Cada componente de una estimacin decidir el tipo derespuesta requerida, escoger y llevar a cabo las estrategias apro-piadas, y revisar la sensatez de la respuesta refleja la clase depensamiento a alto nivel, asociado con la solucin de problemas yrazonamiento matemtico. Las habilidades estimativas son esen-ciales y deben tener gran prioridad dentro de cada programaescolar. Pocos tpicos matemticos ofrecen la riqueza de bene-ficios, tanto a corto como a largo plazo, como lo hace la es-timacin.

Tomado de: Matemticas y enseanza, vol. 1, nm. 1Revista de la Sociedad Matemtica Mexicana, Mxico, 1986.

Lecturas

46

DRISCOLL, MARK J. (1981). Estimation andMental Arithmetic. In Research whithin Reach.Elementary School. National Council of Teachersof Mathematics, pp. 107-11. Reston, Va.

ODAFFER, PHARES. (February 1979).Arithmetic Teacher, 26 A Case and Techniques forEstimation: Estimation Experiences in ElementarySchool Mathematics Essential, Not. Extra, pp. 46-51.

REYS, BARBARA J. y REYS, ROBERT E. (1983).A Guide to Understanding Estimation Skills andStrategies. Boxes 1 and 2. Palo Alto,Calif.: Dale Seymour Publications.

REYS, ROBERT E. (May. 1984). MentalComputation and Estimation: Past, Present andFuture. Elementary Scool Journal, 84, pp. 547-557.

REYS, ROBERT E. y BESTGEN, BARBARA J.(1981). Computational Estimation is a Basic Skill. InMathematics Education in the Eighties. NationalEducation Association. Washington, D.C.

REYS, ROBERT E. y BESTGEN, BARBARA J.(November 1981). Teaching and AsessingComputational Estimation Skill. Elementary SchoolJournal 82, pp. 117-128.

REYS, ROBERT E., TRAFTON PAUL R., REYSBARBARA y ZAWOJEWSKI. (1984). DevelopingComputational Estimation Materials for the MiddleGrades. Final report, No. NSF-8113601. NationalScience Fondation, Washington D.C.

SEYMOUR, DALE G. (1981). Developing Skills inEstimation. Books A and B. Dale SeymourPublications, Palo Alto, Calif.

TRAFTON, PAUL R. (1978) Estimation and men-tal Arithmetic. In Developing Computational Skills,1978 Yearbook of The National Council ofTeachers of Mathematics, edited by Marilyn N.Suydam and Robert E. Reys. The Council,Reston, Va.

BIBLIOGRAFA


IIICONSTRUCTIVISMO YEDUCACIN MATEMTICALuis Moreno Armella y Guillermina Waldegg


CONSTRUCTIVISMO YEDUCACIN MATEMTICA

Luis Moreno Armella y Guillermina Waldegg

El papel de la epistemologa en la prctica educativa

Cada vez son ms los autores que reconocen explcitamente elhecho de que las posiciones filosficas y las teoras episte-molgicas relativas al conocimiento matemtico ejercen unainfluencia determinante sobre la educacin matemtica.

Entendemos educacin matemtica en un sentido amplio, esdecir, no slo la labor que realiza el profesor dentro del saln declase, sino que nos referimos, adems, a aquellos otros factoresque intervienen y hacen posible que la matemtica se ensee yse aprenda; estos factores son, por ejemplo, el diseo y eldesarrollo de planes y programas de estudio, los libros de texto,las metodologas de la enseanza, las teoras del aprendizaje, laconstruccin de marcos tericos para la investigacin educativa.

El actor, o los actores, que intervienen para dar cuerpo a losfactores mencionados arriba, lo hacen, explcita o implcita-mente, desde sus personales convicciones filosficas yepistemolgicas respecto a la matemtica. Es decir, lasconcepciones que ellos tienen ya sea individualmente ocomo grupo o corriente sobre lo que es la matemtica ylo que es el conocimiento matemtico, permean loselementos que conforman los procesos de enseanza y deaprendizaje de las matemticas.

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Intuicionismo, formalismo, logicismo, constructivismo, empiri-cismo, estructuralismo, y dems ismos, han tenido, en sumomento, una influencia significativa aunque no siempreexplcita para guiar las ideas y demarcar los principios querigen la educacin matemtica.

No quiere decir esto que todos los profesionales de la educacinmatemtica estn inscritos en alguna escuela filosfica. Enmuchos casos se trata simplemente de las opiniones privadasdel profesor, del autor de textos, del profesional que disea losplanes y programas o del investigador, acerca de la naturalezade la matemtica y del conocimiento matemtico, y a sus convic-ciones de cmo stas se relacionan con la labor de la enseanzay con el aprendizaje de los estudiantes. A menudo, estasopiniones han sido indirectamente adquiridas o heredadas atravs de su propia formacin; pero frecuentemente tambinobedecen a tendencias o modas de corrientes internacionalesque, en ocasiones, son incompatibles con las primeras.

Desde esta ptica, es pertinente plantearse las siguientespreguntas:

A qu didctica conduce una cierta concepcin de la matem-tica y del conocimiento matemtico?

A qu concepcin de la matemtica y del conocimiento ma-temtico obedece una cierta prctica educativa?

En lo que sigue, trataremos de dar algunos elementos de anlisisque nos permitan acercarnos a las respuestas, contrastando dosmaneras distintas de concebir la matemtica.

Lecturas

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Un breve bosquejo histrico

La epistemologa es una disciplina cuyo objeto de estudio es elconocimiento cientfico, su construccin, su estructuracin enteoras, las bases sobre las que descansa, su naturaleza, sus al-cances. Aunque originalmente la epistemologa era consideradauna rama de la filosofa, en la actualidad hay acercamientos queproclaman su independencia y autonoma.

Los filsofos pre-socrticos, los primeros filsofos dentro de latradicin occidental, no pusieron especial atencin a los asuntosde la epistemologa; su inters estaba centrado en la naturalezay la posibilidad del cambio. Dentro de sus reflexiones daban porsentado que era posible el conocimiento de la realidad, aunquealgunos sugirieron que este conocimiento podra obtenersemejor de unas fuentes que otras. Herclito, por ejemplo, enfa-tizaba la importancia de los sentidos para conocer la realidad,mientras que Parmnides privilegiaba el papel de la razn. Sinembargo, ninguno de ellos dud que el conocimiento de la rea-lidad fuese posible. A partir del siglo V a. C. empezaron a sur-gir estas dudas y fueron los sofistas los principales respons-ables de ello.

Durante el siglo V a. C. las instituciones y las prcticas humanasse enfrentaron, por primera vez en la historia, a un examencrtico. Muchas cosas que se haban pensado como parte de lanaturaleza se empezaron a separarse de ella. Las preguntas episte-molgicas centrales que preocupaban a los sofistas eran: Qutanto de lo que pensamos que conocemos sobre la naturaleza esparte objetiva de ella, y qu tanto es contribucin de la mentehumana? Hasta qu punto podemos estar seguros de quetenemos un conocimiento en los sentidos? Puede la raznproducir conocimiento?

Constructivismo y educacin matemtica

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Algunos fueron ms radicales afirmando que no hay talrealidad, y que si la hubiera no podramos conocerla y que, aunsi la pudiramos conocer, no podramos comunicar nuestro cono-cimiento de ella.

Este escepticismo general condujo al surgimiento de la episte-mologa tal y como fue conocida tradicionalmente: el intentopor justificar que el conocimiento es posible y por establecer laparte que juegan los sentidos y la razn en la adquisicin delconocimiento. Es a Platn a quien se le considera el verdaderoiniciador de la epistemologa, porque fue l quien por primeravez hizo intentos sistemticos por explicar las cuestiones bsicasde esta disciplina: Qu es el conocimiento?, En dnde sefundamenta y qu tanto de lo que pensamos que conocemos esrealmente conocimiento? Dan conocimiento los sentidos?Puede la razn producir conocimiento?

La matemtica como objeto de enseanza

En lo que va del presente siglo y hasta hace poco tiempo, laconcepcin filosfica dominante sobre la matemtica ha sidoformalista que, grosso modo, nos presenta a esta disciplina comoun cuerpo estructurado de conocimientos; dicho cuerpo estconformado por los objetos matemticos, las relaciones entreellos y los criterios para validar resultados dentro de un marcoaxiomtico-deductivo. El formalismo exige extirpar elsignificado de los objetos a fin de trabajar exclusivamente conlas formas y con las relaciones entre dichos objetos que sederivan de la base axiomtica de las teoras. La actividadmatemtica, producto de esta concepcin, ha sido sumamentefructfera, baste observar la gran cantidad de resultadossurgidos en el presente siglo. Sin embargo, esto mismo no sepuede decir de la prctica educativa que se deriva de unaconcepcin formalista de la matemtica.

Lecturas

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Respecto a la epistemologa de la matemtica que domina laenseanza tradicional, sta tiene races histricas mucho mslejanas, que se remontan a la poca de la antigua Grecia.

Para Platn, los objetos matemticos, as como las relacionesentre ellos, tienen una realidad externa e independiente dequien conoce, en el mundo de las ideas. Conocer para Platnsignifica re-conocer, trasladar este cuerpo de objetos yrelaciones preexistentes en un mundo exterior e implantarlos enel intelecto del individuo. La tesis fundamental de esta posturaepistemolgica que llamaremos realismo matemtico es laseparacin explcita entre el sujeto cognoscente y el objeto deconocimiento.

Este realismo epistemolgico es modificado por Aristteles,quien le da un matiz emprico, al trasladar los objetos de la ma-temtica del mundo de las ideas de Platn a la Naturalezamaterial: conocer ahora significa re-conocer los objetos matem-ticos mediante procesos de abstraccin y generalizacin enlos objetos corpreos de la Naturaleza.

Ambas concepciones la idealista de Platn y la empiristade Aristteles parten de la premisa fundamental de que losobjetos de la matemtica y sus relaciones estn dados, suexistencia no depende del sujeto que conoce, ya que preexisten a l.

Bajo esta concepcin, la matemtica puede ser vista como unobjeto de enseanza: el matemtico la descubre en unarealidad externa a l, una vez descubierto un resultadomatemtico, es necesario justificarlo dentro de una estructuraformal y queda listo para ser enseado. Esta concepcin episte-molgica, en una especie de simbiosis con el formalismo, encajadentro de la oposicin formulada por el empirismo lgico del


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siglo veinte, contexto de descubrimiento/contexto de justifi-cacin: el realismo suministra el contexto de descubrimiento,mientras que el formalismo nos da el contexto de justificacin.

La transmisin del conocimiento

Considerando que la matemtica es un objeto de enseanza,ste puede transmitirse. Quien posee el conocimiento puedeofrecerlo a quien no lo posee , sin riesgo de que el conocimientose modifique en el proceso de transmisin.

La tarea del profesor consiste en inyectar el conocimiento en lamente del estudiante a travs de un discurso adecuado. Elestudiante, por su parte, no puede modificar la estructura deldiscurso, su tarea consiste en decodificarlo. La didctica, bajoeste punto de vista, busca optimizar la tarea del profesormediante una especie de combinatoria de contenidos,generalmente apoyada en preceptos universales como el pasode lo simple a lo complejo, de lo particular a lo general, delo concreto a lo abstracto, del anlisis a la sntesis y poniendoespecial nfasis en el contexto de la justificacin, como esta-do superior del conocimiento.

La evaluacin del aprendizaje, bajo esta concepcin, quedadefinida de manera clara: los mismos contenidos que el profesortransmite inequvocamente mediante su discurso, sern deman-dados al estudiante quien deber responder con un discursoanlogo. Aunque se reconocen diferencias entre los estudiantes(de inteligencia, de actitud, de motivacin), estas diferencias seborran al solicitar respuestas nicas y universales, centradas,principalmente, en el contexto de justificacin.

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1 Ofrecer un curso, dictarun curso, dar una leccin,

son expresiones reminiscentes

de esta concepcin.

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Frente a un formalismo exacerbado en la educacin matemtica,como el que se dio alrededor de los aos cincuenta, han habidoreacciones significativas: aquellas que admiten un cierto trabajoheurstico previo a la formalizacin, en particular nos referimosa la llamada pedagoga del descubrimiento, impulsada demanera brillante por Plya . Sin embargo, esta pedagoga nologr escapar de una concepcin realista, claramente explicitadaen la idea de que la matemtica se descubre, es decir, preexiste enalgn lugar.

Algunas otras teoras del aprendizaje, desarrolladas enpocas recientes, propiciaron la introduccin de innovacionesen la didctica que ofrecan optimizar el proceso de trans-misin y adquisicin del conocimiento. Por ejemplo, lasdidcticas basadas en las teoras conductistas, que alcanzaronsu auge en la dcada de los setentas, proponan una serie detcnicas mquinas de enseanza, textos programados, pro-gramacin por objetivos, etctera bajo el supuesto de que elaprendizaje consiste en la modificacin de ciertas conductasobservables, provocada por un programa de enseanza basadoen el binomio estmulo-reforzamiento. Estas teoras conductis-tas tampoco lograron escapar de la concepcin realista de lamatemtica; detrs de la tecnologa educativa derivada de ellas,est la idea de que el conocimiento es una especie de paqueteque se transmite y se adquiere tanto mejor cuanto mejores seanlos vehculos que lo transportan.

La conjuncin realismo-formalismo ha dominado la educacinmatemtica durante el presente siglo: subyace a la mayora delos textos y de los planes de estudio de todos los niveles esco-lares, a la actividad de muchsimos profesores, a los mtodosde evaluacin y clasificacin y a muchos de los trabajos de in-vestigacin educativa. No obstante, los resultados no han sidodel todo satisfactorios: el sentimiento de fracaso en profesores yestudiantes parece ir en aumento. Parece necesario revisar las


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2 Vase, por ejemploPlya, G., MatemathicalDiscovery,Wiley, N. York,. 1962.

3 La expresin procesode enseanza aprendizaje empleadaindiscriminadamente en laactualidad, proviene deestas teoras: hay un pro-ceso nico en cuyosextremos estn la ense-anza y el aprendizajeque, en trminos genera-les, vienen a ser una y lamisma cosa.


hiptesis (explcitas e implcitas) sobre las que se apoyan nues-tros esfuerzos.

La primera pregunta al ver el esquema tradicional:

profesor alumno

es: Qu es el conocimiento? Eso que no ha resultado sertan fcil de transmitir quiz se deba a que no es algo que pueda trans-mitirse, debido a que el profesor no lo tiene hecho para consumode sus alumnos, sino que los alumnos lo construyen. Esta lti-ma es la tesis de las epistemologas constructivas que trataremosa continuacin.

La matemtica como objeto de aprendizaje

Un cambio fundamental en la tesis del realismo matemtico sepresenta con la Crtica de la razn pura, de Immanuel Kant(1724-1804), en donde de manera brillante entra en cuestiona-miento la objetividad del conocimiento, sin caer en la trampade la autoconciencia que impona el racionalismo cartesiano. Latesis kantiana postula que cuando el sujeto cognoscente seacerca al objeto de conocimiento (sea ste material o ideal), lohace a partir de ciertos supuestos tericos, de tal manera queel conocimiento es el resultado de un proceso dialctico entre elsujeto y el objeto, en donde ambos se modifican sucesivamente.Conocer para Kant significa crear a partir de ciertos a prioris, quepermiten al sujeto determinar los objetos en trminos del propioconocimiento y no, como suponan los filsofos griegos, elconocimiento en trminos de los objetos.

La concepcin epistemolgica de Kant sirve como punto departida aunque las teoras despus difieren sustancial-mente para las reformulaciones constructivistas del presente

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conocimiento

4 En una formulacinclebre, Kant, en el prlo-go de la segunda edicinde la Crtica de la razn

pura, ha expresado elnuevo significado del

experimento para la inda-gacin cientfica:

Entendieron [los hombresde ciencia] que la razn

slo reconoce la que ellamisma produce segn su

bosquejo, que la razntiene que anticiparse con

los principios de susjuicios de acuerdo a leyes

constantes y que tienenque obligar a la naturaleza

a responder sus pregun-tas... De lo contrario, lasobservaciones fortuitas y

realizadas sin un plan pre-vio no van ligadas a

ninguna ley necesaria, leyque, de todos modos, larazn busca y necesita.

La razn debe abordar lanaturaleza llevando en

una mano los principiossegn los cuales slopueden considerarsecomo leyes los fen-

menos concordantes, y enla otra, el experimento

que ella hayaproyectado a la luz de

tales principios...Kant, I. Crtica de la raznpura. Ediciones Alfaguara,

Madrid, 1987, p. 18


siglo. Notablemente, Jean Piaget establece su EpistemologaGentica sobre la base de que el conocimiento se construyemediante la actividad del sujeto sobre los objetos. Los objetosmatemticos ya no habitan en un mundo eterno y externo aquien conoce, sino que son producidos, construidos por lmismo en un proceso continuo de asimilaciones y acomoda-ciones que ocurren en sus estructuras cognoscitivas.

Para Piaget (y, en esencia, para todos los constructivistas),el sujeto se acerca al objeto de conocimiento dotado de cier-tas estructuras intelectuales que le permiten ver al objetode cierta manera y extraer de l cierta informacin, mismaque es asimilada por dichas estructuras. La nueva informa-cin produce modificaciones acomodaciones en las es-tructuras intelectuales, de tal manera que cuando el sujetose acerca nuevamente al objeto lo ve de manera distinta acomo lo haba visto originalmente y es otra la informacinque ahora le es relevante. Sus observaciones se modificansucesivamente conforme lo hacen sus estructuras cognosci-tivas, construyndose as el conocimiento sobre el objeto.

De una forma u otra, el propsito de todas las epistemologasha sido el anlisis de las relaciones entre el sujetocognoscente y el objeto de conocimiento, y la forma en que segenera el conocimiento mediante tal interaccin. El modelode enseanza tradicional soportada por el realismo mate-mtico que hemos descrito anteriormente, privilegia el objetode conocimiento y concede un papel pasivo al sujeto. En laperspectiva constructivista, es la actividad del sujeto lo queresulta primordial: no hay objeto de enseanza, sino objetode aprendizaje.


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La construccin del conocimiento

Diversos estudios relativos a la forma en que los estudiantesresuelven problemas matemticos, han llevado a la explicacin, decorte constructivista, de que la estructura de la actividadde resolucin de problemas surge como un objeto cognoscitivo(un esquema) a partir de la reflexin que el sujeto hace sobre suspropias acciones. El conocimiento matemtico, para la episte-mologa gentica, es resultado de esta reflexin sobre accionesinteriorizadas la abstraccin reflexiva. La matemtica no esun cuerpo codificado de conocimientos (as como una lengua noes el texto de su enseanza), sino esencialmente una actividad.

El conocimiento, desde la perspectiva constructivista, essiempre contextual y nunca separado del sujeto; en el procesode conocer, el sujeto va asignando al objeto una serie de signifi-cados, cuya multiplicidad determina conceptualmente al objeto.Conocer es actuar, pero conocer tambin implica comprenderde tal forma que permita compartir con otros el conocimientoy formar as una comunidad. En esta interaccin, de natu-raleza social, un rol fundamental lo juega la negociacin designificados.

Una tesis fundamental de la teora piagetiana es que todo actointelectual se construye progresivamente a partir de estruc-turas cognoscitivas anteriores y ms primitivas. La tarea deleducador constructivista, mucho ms compleja que la de sucolega tradicional, consistir entonces en disear y presentarsituaciones que, apelando a las estructuras anteriores de que elestudiante dispone, le permitan asimilar y acomodar nuevossignificados del objeto de aprendizaje y nuevas operacionesasociadas a l. El siguiente paso consistir en socializar estos sig-nificados personales a travs de una negociacin con otrosestudiantes, con el profesor, con los textos.

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Al poner el nfasis en la actividad del estudiante, una di-dctica basada en teoras constructivistas exige tambin unaactividad mayor de parte del educador. sta ya no se limita atomar el conocimiento de un texto y exponerlo en el aula, o enunas notas, o en otro texto, con mayor o menor habilidad. Laactividad demandada por esta concepcin es menos rutinaria,en ocasiones impredecible, y exige del educador una constan-te creatividad.

Temporalidad y viabilidad del conocimiento

Si la matemtica fuera un cuerpo codificado de conocimien-tos y por lo tanto un objeto de enseanza, como lo hemosdefinido en los captulos precedentes entonces la matem-tica estara compuesta de verdades atemporales y la historianos dara cuenta de ello.

No hay duda de que las ciencias naturales han evolucionado yque, con tal evolucin, ha ocurrido un cambio en sus norma-tividades, es decir, en la forma en la que se conciben y validanlos resultados. Ejemplos de esta evolucin son la revolucincopernicana, la revolucin darwiniana del siglo diecinuevey, en el siglo veinte, las revoluciones relativista y cuntica.La pregunta que nos interesa contestar es si no ha habido uncambio equivalente en la matemtica.

Hermann Hankel, matemtico notable del siglo diecinueve, dijoen una ocasin que en la mayora de las ciencias una generacindeshace lo que hizo la generacin precedente, y que slo en ma-temticas cada generacin construye una nueva historia sobrela vieja estructura . La epistemologa gentica, mediante sumtodo histrico-crtico (que considera a la historia como unlaboratorio epistemolgico en el que se ratifican o rectificanciertas hiptesis) invalida parcialmente este punto de vista

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5 Un intento, aunque yarebasado de lo que podraser una didcticaconstructivista, ha sido eldesarrollo por Hans Aeblien su libro Una didcticafundada en la psicologade Jean Piaget, Kapelusz,B. Aires, 1973.

6 Citado por Grabiner, J. V.en Is Mathematical TruthTime-Dependent?American MathematicalMonthly 81 (1974) pp.354-365.


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y muestra que hay cambios en el desarrollo de la matemticaque no corresponden a una mera acumulacin de nuevosdescubrimientos. Como resultado de estos cambios, la colec-tividad matemtica, vista como sujeto cognoscente, crea en suactividad una nueva semntica, una nueva manera de ver a losobjetos y a la misma disciplina.

Tomemos, por ejemplo, la axiomatizacin de la geometraeuclideana en la Grecia antigua. Tal axiomatizacin transformla actividad matemtica emprica, tal y como se realizaba enEgipto y Mesopotamia, en una actividad terica. Los resultadosgeomtricos y aritmticos encontrados a partir de mltiplesobservaciones mediciones y sistematizaciones de ensayos yerrores por egipcios y babilonios, fueron concebidos por losgriegos como conceptos abstractos, cuyo tratamiento requerade un marco metodolgico y conceptual diferente.

Asimismo, la creacin (no el descubrimiento) de las geometrasno-euclideanas y de las lgebras no conmutativas duranteel siglo diecinueve, transform la actividad matemtica enuna actividad sobre lo posible, ya no sobre lo necesario. Esdecir, la idea predominante en un momento dado de queexiste un nico modelo matemtico para describir una realidadfsica nica, se desplom ante la evidencia de ciertos modelos,igualmente coherentes y vlidos dentro de la estructura de lamatemtica, que no parecan describir al mundo fsico. Elmodelo tradicional abandon su carcter de necesidad, y seconcibi slo como uno de los modelos entre otros posibles.

De acuerdo a la interpretacin constructivista, todo esto permitecambiar las concepciones de la colectividad (sujeto cognoscente)sobre la disciplina: la matemtica se reconoce como una acti-vidad esencialmente abstracta, en donde la abstraccinreflexiva es el eje de la actividad, y la interiorizacin de las accio-nes es su punto de partida.



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Estos ejemplos tomados de la historia llevan a sostener queel conocimiento matemtico es siempre contextual: como acti-vidad de una sociedad, la matemtica no puede desprendersede su condicionamiento histrico. Consideremos, para reforzaresta idea, la evolucin histrica de la nocin de axioma (opostulado). Esta nocin, asociada a las formas de ver, a lanormatividad de la disciplina , ha experimentado cambios a lolargo de la historia. En la matemtica euclideana, un postuladoexpresa una verdad evidente por s misma. Subrayamos verdadpara hacer notar el contenido semntico de la axiomtica griega,por oposicin al sistema hilbertiano en donde los postuladosno se refieren a verdades, sino a relaciones entre los con-ceptos involucrados. El desalojo del contenido semntico deun sistema axiomtico, fue resultado de un largusimo procesode anlisis sobre la axiomtica euclideana, desarrollado en tor-no del postulado de las paralelas, que muestra claramente elcambio en la normatividad que subyace a la propia evolucinde la disciplina.

De este desarrollo de la matemtica se desprende que el conoci-miento matemtico no necesariamente es verdadero: ms biendiremos que es viable en el sentido que cuadra con laexperiencia. Aclaremos esto con un ejemplo: los esquemas queuna persona desarrolla para conducir un automvil pueden serdiferentes a los desarrollados por otra persona. No tiene sentidoconsiderar que unos son ms verdaderos que los otros; slotiene sentido preguntarse cules esquemas de conduccin sonms adecuados a las condiciones de manejo a las que esaspersonas se ven enfrentadas. Diremos entonces que cierta formade conduccin es ms viable que la otra, que una de estaspersonas ha construido una forma de conduccin viable. sta esuna forma de conocimiento viable en cuanto a la experienciapertinente.

7 Decimos normatividady no criterios de justifica-cin porque la forma devalidar es consustancial ala naturaleza de los obje-tos matemticos, naturaleza vinculada orgnicamente a la formade actividad del sujeto.

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La concepcin educativa enraizada en las modalidades delformalismo matemtico a que hemos aludido, no slo concibe elconocimiento matemtico como un cuerpo de conocimientos queanteceden al estudiante, sino que adems traslada la normativi-dad de la matemtica al proceso de evaluacin del aprendizaje.El estudiante debe asimilar el conocimiento que le es transmitidoy simultneamente debe desarrollar un comportamiento cognos-citivo acorde con la normatividad de la disciplina matemtica.Este grado de exigencia olvida que la normatividad de una cien-cia es consustancial al proceso histrico de su desarrollo. Latemporalidad de las verdades matemticas viene en apoyoa esta posicin. Los criterios normativos no le pueden serimpuestos desde fuera a una ciencia. El riesgo de hacerlo, endidctica, consiste en imponer un proceso lgico la justifica-cin a un proceso cognoscitivo la construccin del conoci-miento matemtico. Este ltimo tiene su propia lgica.

La construccin del significado

El ncleo de la actividad constructiva por parte del estudianteconsiste en construir significados asociados a su propia expe-riencia, incluyendo su experiencia lingstica. La socializacinde este proceso consiste en la negociacin de tales significados enuna comunidad el saln de clase que ha hecho suyo ese procesoconstructivo. La sensacin de objetividad que se desprende delproceso negociador, induce a la creencia que este conocimientocompartido preexiste a la comunidad que se dedica a suconstruccin. Es necesario analizar con cuidado las relacionesentre matemtica y lenguaje. Este ltimo es un campo de expe-rimentacin para el estudiante.

Para el constructivismo es importante distinguir entre concep-ciones y conceptos. Estos trminos se emplean con un sentidoprximo a lo que Freudenthal denomina objetos mentales y

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8 Vase por ejemplo,Sfard, Anna: On the Dual

Nature of MathematicalConceptions: Reflections

on Processer and Objets as Differents

Sides of the Same Coin.Educational Studies,

22 pp. 1-36, 1991.


objetos formales. La experiencia del estudiante, su punto departida, es una red de informacin, de imgenes, de relaciones,de anticipaciones y de inferencias alrededor de una idea. Estecomplejo cognoscitivo es lo que llamamos su concepcin. Eltrabajo del estudiante consiste entonces, en extraer de talconcepcin relaciones y patrones: un conjunto coordinado deacciones y esquemas que conducen al conocimiento viable, alos conceptos y a la generacin de algoritmos. El proceso deconstruccin de significados es gradual, pues el conceptoqueda, por as decirlo, atrapado en una red de significaciones.

A lo largo del proceso constructivo que es permanente elestudiante encuentra situaciones que cuestionan el estadoactual de su conocimiento y le obligan a un proceso de reorga-nizacin; con frecuencia el estudiante se ve obligado a rechazar,por inviable, mucho de lo que ya haba construido.

Durante el proceso de construccin de significados, elestudiante se ve forzado a recurrir a nociones ms primitivasque expliquen la situacin que estudia. Esta situacin es anlogaal desarrollo de una ciencia durante la bsqueda de susprincipios. En la fsica, por ejemplo, el estudio de las leyesgenerales del movimiento condujo a la formulacin de la ley dela inercia; en matemticas, el estudio de la geometra condujoprimero a las organizaciones locales y, posteriormente, a laaxiomtica de Euclides. Claro que esto slo es una analoga: elestudiante no est conscientemente buscando esquemas lgicos.Ms bien, est tratando de encontrar el sentido de aquello a loque se ve enfrentado.

Esta bsqueda del sentido es una necesidad cognoscitiva, por-que la matemtica se desarrolla en un escenario ideal. Los tr-minos conjunto, funcin, etctera, corresponden a experien-cias mentales. Es imposible, en este punto, dejar de reconocer el


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9 Freudenthal, H., DidacticalPhenomenology ofMathematical Structures,Holanda, Ridel, 1983.

10 Vase Bromberg, S.,Moreno, L. Tres hitos enla historia de la funda-mentacin de lageometra. Mathesis,vol. VI, No. 3, pp. 281-306,Agosto 1990.


papel central de la abstraccin reflexiva, como el mecanismoque da lugar a las experiencias del mundo matemtico.

Las ciencias naturales dan cuenta de fenmenos que se observansiempre desde una interpretacin preliminar por parte del su-jeto en el mundo material; la matemtica, por su parte, dacuenta de la estructura de un mundo ideal, cuya materia primason las acciones interiorizadas del sujeto. Es necesario el empleode un lenguaje formal para hablar de este mundo ideal. En laversin de la didctica derivada del formalismo, existe la ten-dencia a identificar los objetos de la matemtica (que son obje-tos epistmicos, pues ellos constituyen nuestro saber) con losnombres que usamos para referirnos a tales objetos en la lenguaformal. De este modo, la realidad epistmica queda oculta; perola necesidad de construir el sentido la trae de vuelta. Por quno aprovechar plenamente esta situacin ineludible?

Concrecin y representacin

Hemos aludido ya a la sensacin de concrecin que sueleacompaar a los objetos matemticos cuando cedemos alimpulso de identificarlos con los trminos del lenguaje formalmediante el cual los denotamos. Tomando en cuenta que ellenguaje natural y los lenguajes formales son parte de laexperiencia del sujeto el sujeto posee un impulso simblicocabe entonces la pregunta: En qu sentido son abstractos losobjetos matemticos?

Mediante el lenguaje formal (simblico) se opera un cambioen el plano de representacin que, en primera instancia, permiteexplicar que las acciones, que en el plano material se realizancon objetos concretos, en el plano ideal se realizan con smbolos.Parece desprenderse de aqu un criterio sobre el grado de

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abstraccin de los objetos de la matemtica: la abstraccin esresultado de un cambio en el nivel de representacin.

Los objetos de la matemtica se m

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