LAS VIBRACIONES MECANICAS Y SU APLICACION AL MANTENIMIENTO PREDICTIVO GENARO MOSQUERA (COORDINADOR) MARGARITA DE LA VICTORIA PIEDRA DIAZ RAUL ANTONIO ARMAS CARDONA CENTRO DE ALTOS ESTUDIOS GERENCIALESISIDCaracas, Venezuela, 2001.- LAS VIBRACIONES MECANICAS Y SU APLICACION AL MANTENIMIENTO PREDICTIVO Centro de Altos Estudios Gerenciales Instituto Superior de Investigacin y Desarrollo Caracas, 2001. Copyright, 2001. ISBN 980 00-1490-X980 07 5678-7 2. Edicin Adaptada como herramienta computacional. Centro de Altos Estudios Gerenciales ISID Empresa de la Fundacin Educativa Mara Castellanos Femaca e-mail: femaca@telcel.net.ve En convenio con Cybercentrum Las Mercedes C.A. yEdukami U.S.A. AGRADECIMIENTO A la Universidad Central de Venezuela, Consejo de Desarrollo Cientfico y Humanistico quien en convenio con el Instituto Superior de Ciencias y Tecnologas Nucleares publicaron la primera edicin de este texto como resultado de un proyecto de Investigacin sobre Gerencia Tcnica. As mismo, al Ing. Luis A. Martnezquien digitaliz y reviso el contenido de esta obra.- INDICEGENERAL PROLOGO I. EL MANTENIMIENTO PREDICTIVO POR VIBRACIONES MECANICAS ................1 1.1 Introduccin.................................................................................................................1 1.2 El Mantenimiento predictivo frente a otros tipos de mantenimiento ..........................1 1.2.1 El mantenimiento preventivo planificado. Desmontajes peridicose inspecciones.......................................................................................................2 1.2.2 El mantenimiento predictivo .............................................................................4 1.3 Aspectos bsicos del mantenimiento predictivo..........................................................5 1.4 Ventajas y desventajas del anlisis por vibraciones aplicado al mantenimiento de las mquinas...................................................................................7 1.5 Justificacin econmica del mantenimiento predictivo porvibraciones mecnicas .................................................................................................9 1.6 Instruccin del personal y condiciones de la eficacia en la ejecucin del mantenimiento predictivo ..........................................................................................10 1.7 Pasos para la aplicacin del mantenimiento predictivo por vibraciones mecnicas...................................................................................................................12 1.8 Determinacin de los niveles de vibracin................................................................15 II. ANALISIS DE SEALES................................................................................................23 2.1 Introduccin...............................................................................................................24 2.2 Seales peridicas......................................................................................................28 2.2.1 Seales peridicas complejas ..........................................................................33 2.2.2 Combinacin de oscilaciones de igual frecuencia...........................................35 2.2.3 Combinacin de movimientos oscilatorios de frecuencias diferentes .........................................................................................................36 2.2.4 Combinacin de oscilaciones perpendiculares entre s de iguales frecuencias......................................................................................39 2.2.5 Combinacin de oscilaciones perpendiculares entre s de frecuencias diferentes .................................................................................43 2.3 Seales determinsticas no peridicas .......................................................................43 2.3.1 Vibraciones cuasiperidicas............................................................................44 2.3.2 Seales Transitorias.........................................................................................44 2.3.2.1 Vibracin libre amortiguada.............................................................45 2.3.2.2 Fuerzas impulsivas ...........................................................................54 2.4 Vibraciones forzadas..................................................................................................62 2.4.1 Vibraciones forzadas no amortiguadas ...........................................................63 2.4.2 Vibraciones forzadas amortiguadas ................................................................67 2.5 Seales aleatorias.......................................................................................................74 2.5.1 Valor medio cuadrtico ...................................................................................78 2.5.2 Funcin de densidad de probabilidad..............................................................78 2.5.3 Funcin de autocorrelacin.............................................................................83 2.5.4 Funcin de densidad de potencia espectral .....................................................88 III. SISTEMAS DE ADQUISICION DE LA INFORMACION.............................................93 3.1 Introduccin...............................................................................................................94 3.1.1 El acelermetro piezoelctrico........................................................................96 3.1.1.1 Principio de operacin .......................................................................96 3.1.1.2 Ecuaciones bsicas de operacin.......................................................98 3.1.1.3 Distorsiones de seales ....................................................................106 3.1.1.4 Materiales y efectos piezoelctricos ................................................111 3.1.1.5 Obtencin del material piezoelctrico artificial...............................114 3.1.1.6 La curva de respuesta de frecuencia del acelermetro ....................117 3.1.1.7 Nociones sobre la seleccin de acelermetros.................................121 3.1.2 Otros instrumentos de medicin....................................................................126 3.1.2.1 Instrumentos para medir la velocidad de la vibracin.....................127 3.1.2.2 Instrumentos para medir el desplazamiento de la vibracin............130 3.2 Instrumentacin secundaria .....................................................................................133 3.2.1 Amplificadores de carga................................................................................134 3.2.2 Uso del osciloscopio catdico y el registro en banda magntica..................143 3.2.3 El conversor anlogo-digital .........................................................................149 3.3 Sistemas primarios de adquisicin de la informacin .............................................153 3.3.1 El sensor y el vibrmetro ..............................................................................153 3.3.2 Sensor, analizador de frecuencias y graficador.............................................155 3.3.3 El captador digital de informacin y la MCD...............................................158 3.4 Sistemas avanzados de adquisicin de la informacin. ...........................................161 IV.APLICACIONES ...........................................................................................................165 4.1 Sistemas de Unidades ..............................................................................................166 Ejemplo 4.1 ..............................................................................................................170 Ejemplo 4.2 ..............................................................................................................176 Ejemplo 4.3 ..............................................................................................................179 Ejemplo 4.4 ..............................................................................................................181 4.2 Defectos ms comunes en mquinas .......................................................................184 4.3 Algunas mquinas y sus defectos ms comunes......................................................186 4.4 Anlisis de fase ........................................................................................................191 4.5 A manera de conclusin...........................................................................................192 BIBLIOGRAFIA...................................................................................................................195 PROLOGO Laeficaciatcnicayeconmicaenlaadministracindelmantenimientodeunaorganizacinindustrial dependeengranpartedelosmtodosyherramientasdesoportedisponibles,ascomodelnivelde capacitacin del personal para su aplicacin. En la misma medida que la tecnologa produce instrumentos de apoyo a la labor gerencial cada vez ms sofisticados,serequieremayorperfeccionamientodelosadministradoresydelpersonaltcnico involucrado en las operaciones de mantenimiento. Labsquedadenuevosconceptos,mtodosytcnicasaplicablesalmantenimientoindustrialyla elaboracin de material para entrenamiento de tcnicos y profesionales del rea, motiv, a partir de 1982, larealizacindevariosestudiosauspiciadosporlaComisindePostgradodelaFacultaddeCiencias EconmicasySocialesdela U.C.V., para el programa de Maestra en Ciencias Administrativas. Dichos estudios,dirigidosporelDr.GenaroMosqueraC.,profesortitulardelaUniversidadCentralde Venezuela, pusieron de manifiesto la situacin del mantenimiento en Venezuela y fueron posteriormente ampliadosporungrupoconstituidoporespecialistasvenezolanosydelInstitutoSuperiordeCienciasy TecnologaNucleares,paracubrir,entreotros,algunosaspectosfundamentalmentetcnicosdela planificacindelmantenimientoydelaprevencindefallasdeequiposeinstalaciones,comolo constituyeelMantenimientoPreventivoporVibracionesMecnicas,conocidotambincomo Mantenimiento Predictivo, o Monitoreo de la Condicin. Esta publicacin incorpora los principios ms importantes de la teora de vibraciones, desarrolla las bases terico-prcticas del diagnstico por vibraciones mecnicas, describe los sistemas e instrumentos de ms reciente aparicin en el mercado, empleados para captar y procesar la informacin vibroacstica, contiene losconceptosfsicosylosmodelosmatemticosqueconstituyenelsoportedelsoftwareSISDE,creado especialmenteporlosautoresparaelestudiodelcomportamientodeequiposyestructurassometidosa vibracin. Losanlisisvibroacsticossonelementosconaltovalordediagnstico,especialmenterecomendados cuando se trata de monitorear equipos sumamente costosos, sometidos a operacin continua, cuya parada o salida de servicio comporta costos de penalizacin sumamente elevados, y ello justifica que se recurra a las tcnicas ms sofisticadas para prevenir el riesgo de prdidas econmicas y tecnolgicas. Estelibroeselresultadodeaosdeexperienciaprofesionalydocenteacumuladaporsusautores,y constituyeunapublicacindecarcternicoensugnero,seaporlaprofundidadconquesetratanlos temas que lo componen, que por lo novedoso de su contenido. Dr. Genaro Mosquera Castellanos Coordinador del Proyecto de Investigacin sobre Gerencia de Mantenimiento y APS. El Mantenimiento Predictivo por VibracionesMecnicas 1 Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 11.1Introduccin El objetivo del mantenimiento es lograr que la maquinaria opere sin problemas, especialmente aquellaqueesfundamentalenelprocesodeproduccin.Esbienconocidoquelasaveras catastrficaseinesperadasdanlugaraelevadoscostospor:prdidasenlaproducciny reparaciones.

Elconceptotradicionaldemantenimiento,esdecir,elmantenimientopreventivo,apesarde haberse mecanizado, la nica estrategia que establece para evitar las averas es realizar: - desmontajes peridicos para inspeccin y reparacin, siprocede y, - montaje posterior. Debe sealarse que en ocasiones, el desmontaje peridico trae como consecuencia el cambio de piezas, partes y elementos exigidos por cartas tcnicas de mantenimiento y que en realidad pueden estar en buen estado. Debidoalaltocostodeestametodologa,soloseaplicaaaquellasmquinasqueconstituyen agregados fundamentales de la empresa industrial. La moderna tecnologa proporciona una serie de mtodosquepermitenunaevaluacinexteriordelascondicionesinternasdelamaquinaria;sin desmontajes previos y sin afectar su funcionamiento normal. Hoy en da es conocido, y se tiene una ampliaexperienciamundial,queelmsefectivodelosmtodoseselanlisisporvibraciones mecnicas.Esteanlisisdevibraciones,juntoconotrosparmetrosespecficosdecadamquina, constituyen la base del moderno mantenimiento predictivo. 1.2El mantenimiento predictivo frente a otros tipos demantenimiento. Entodaslasinstalacionesyplantasindustrialesdondeexistemaquinariadeproduccincon elementosdotadosdemovimientorotativooalternativo,sehacenecesarioefectuarun mantenimientodeestasmquinasparaconservarlasencorrectoestadodeservicioygarantizarla seguridadyfiabilidaddelaplanta.Estemantenimientopuedesermsomenossofisticado, Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 2dependiendo de la naturaleza e importancia de las mquinas que se consideren, agrupadas en varios estados que van desde el ms simple, hasta el ms complejo. Para formarse un mejor criterio de lo quesignificayaportaelmantenimientopredictivosercomparadoconsuantecesor:el mantenimiento preventivo. 1.2.1Mantenimiento preventivo planificado. Desmontajes peridicos e inspecciones Enestametodologa,quizslamsextendidaactualmenteenLatinoamrica,cadamquina principal,despusdeundeterminadoperododeoperacinsesometeaundesmontajetotalo parcialparasuinspeccinyencasosdequeexistandefectos,procederalareparacindelos mismos. Aunque el mtodo pueda ser automatizado, presenta los inconvenientes siguientes: 1.El desmontaje peridico, total o parcial, de una mquina con la inevitable interrupcin de la produccin y reposicin de partes y piezas, es excesivamente costoso para la seguridad yfiabilidaddefuncionamientoqueaportan.Noesmenosciertolosmltiplescasos conocidos, por los ingenieros de plantas, donde averas mayores han tenido lugar de forma sbita e inesperada al transcurrir horas de funcionamiento despus de estos chequeos. 2.El intervalo entre inspecciones peridicas, si bien esta basado en la teora de la fiabilidad yvidamedia,esdifcilde definir. Si no se producen fallos durante este intervalo puede pensarsequeelmismoesdemasiadocortoyportantoseestperdiendodinero.Este planteamiento se ilustra en la Fig. 1.1. En ella se representa el tiempo de trabajo seguro y el tiempo de trabajo hasta la falla de un gran nmero de mquinas idnticas, que permiti establecerlaestadsticadefallasqueseobserva.Siunamquinaessometidaaun programademantenimientopreventivoplanificadodadoporeltiempot=ta,paratodas las mquinas, cuya estadstica de fallas est por debajo de ta, representar un trabajo hasta larotura.Paraelresto,dondesuscorrespondientesestadsticasdefallasestnpor encima de tA significa dejar de producir estando an en buenas condiciones tcnicas para el trabajo. Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 3 Fig. 1.1 Comportamiento estadstico de mquinas. Paraelcasoenquet=tBlasituacinseracatastrfica,yaquelagranmayoradeesas mquinas alcanzaran antes la rotura. 3.Avecesunamquinaqueoperabacorrectamente al ser sometida a inspeccin peridica puedequedar,porerroresenelmontaje,en peores condiciones que las iniciales, siendo as ms propensa al fallo, como se muestra en la Fig. 1.2. Fig. 1.2 Comportamiento estadstico de fallas en mquinas sometidasa mantenimiento preventivo. Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 44.Existendefectosenlasmquinasquenicamentepuedenserdetectadosduranteel proceso de operacin, como: desbalances, resonancias, desalineamientos, etc. Conrelacinalmantenimientodemquinas,talycomotradicionalmenteseentiendeyviene aplicndose,puedeafirmarseenresumen,quelaprogramacineneltiempoderevisionesy/o reparacionesesINSEGURAeIMPRECISA.Esinsegura,porquelanecesidadderepararsolose ponedemanifiestodesmontandola mquina y revisando sus elementos; si un defecto grave no se aprecia por inspeccin el dao ser irremediable y la parada inminente en el proceso de produccin. Esimprecisa,porquesinmediosquepermitandeterminarelestadotcnicoocondicindela mquinadesdeelexteriorysinafectarsunormalfuncionamientosedesmontarnyrevisarn mquinas en perfecto estado y otras con peligro de avera y parada inminente, pueden no ser tenidas en cuenta. 1.2.2Mantenimiento predictivo. Dosaspectosprincipaleslograelmantenimientopredictivoporvibracionesmecnicassobre otros mtodos generales de mantenimiento, -La reduccin de costos y, - Elaumentodelaseguridadsobreelfuncionamientodelosequipos.Estoconsisteenla configuracindeunametodologaquepermitalavigilanciacontinuadelasmquinas, especialmenteaquellasquesonlasprincipalesylasdeimportanciarelativaenel proceso productivo de la empresa industrial. Paraqueestanuevametodologa,basadaenlavigilanciacontinua,seaeficazfrentealos conceptos tradicionales de mantenimiento, deber abarcar los objetivos siguientes: 1.No impedir o limitar el funcionamiento de la mquina durante su ejecucin; 2.Sucostodeimplantacindebesermenorqueelocasionadoporotrotipode mantenimiento; Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 53.Debepermitirladeteccindelaaveraenfaseincipienteantesdeconvertirseen catastrfica, as como la identificacin o diagnstico de la causa que la origina. Sepuedeafirmarqueelmantenimientopredictivoporvibracionesmecnicas,atravsdela medicincontinuaoperidica,elanlisisycontroldedeterminadosparmetrosylaopinin tcnicadelosoperadoresdeexperienciaconformanlosindicadoresdel"estadodesalud"o condicin de la mquina que cumple con los objetivos anteriores. Lasmquinasidealesnovibran. Toda la energa que intercambia es empleada para efectuar el trabajoparaelcualfuediseada.Enlaprcticalavibracinapareceproductodelatransmisin normaldefuerzascclicasatravsdelosmecanismos.Loselementosdelamquinadisipanuna parte de la energa que se le entreg dando a la estructura una vibracin caracterstica. Una buena concepcin de fallas es el nivel de vibracin. Son muchos los factores de operacin, diseo y montaje que provocan el surgimiento de los diferentes niveles de vibracin. El hecho de que la condicin de la mquina est ntimamente ligada con las vibraciones que ella producehacequelamedicin,elanlisisdevibraciones,elanlisisdesealesyelanlisis mecnico sean las herramientas bsicas del mantenimiento predictivo por vibraciones mecnicas. 1.3Aspectos bsicos del mantenimiento predictivo. Elmtodogeneraldemantenimientopredictivoporvibracionesmecnicastieneelobjetivo finaldeasegurarelcorrectofuncionamientodelasmquinasatravsdelavigilanciacontinuade los niveles de vibracin en las mismas, siendo estos ltimos, los indicadores de su condicin; y se ejecutasinnecesidadderecurriradesmontajesyrevisionesperidicas.Estemtodoconsiderade antemano que la empresa industrial opera con la suficiente disciplina tecnolgica en su maquinaria, esto es: el usuario debe observar las normas de explotacin del fabricante. De aqu se desprende la importanciadelaconductadebuenasprcticasdeoperadoresydemspersonaltcnicoenla industria. Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 6Estametodologaconsideraacadamquinaindividualmente.Esreemplazadalarevisin peridica del mantenimiento preventivo, por la medicin regular con la cual se obtiene la evolucin totaldelfuncionamiento.Lasvibracionesmecnicassonunexcelenteindicadordeestas condiciones,porestaraznelmantenimientoporcondicinsebasaenesteparmetro.Elaxioma delmantenimientoporcondicinconsisteenquelasrevisionessonefectuadasjustamenteenel momentoenquelasmedicionesindicanquesonnecesarias. Esta precisamente es la confirmacin delaintuicindelpersonaldeexplotacinexperimentado,quecomoresultadodesuexperiencia piensan,quelasmquinasnodebensertocadassifuncionanbien.Sinembargo,aestostcnicos calificadosleseraimposiblejustificarelmomentoderoturadelamquina.Lasmediciones regularespermitendeterminarlosnivelesinaceptablesydefinirlacorrespondienteparadadela mquina. Como ya se conoce, las vibraciones son normalmente el producto de la transmisin de fuerzas loqueprovocaeldesgastey/odeteriorodelasmquinas.Atravsdedeterminadoselementosde lasmismas,unafraccindeestasfuerzasesdisipadahaciaelexterior,porejemplo,mediantelos apoyos, uniones, etc. Lo que permite medir la vibracin debida a las fuerzas excitadoras. As, si las fuerzasdeexcitacinsemantienenconstantesdentrodeciertoslmites,elniveldevibracin medidosemantienedentrodelosmismoslmitesproporcionalmente.Cuandolosdefectos comienzan a aparecer, los procesos dinmicos de la mquina son alterados, alterndose las fuerzas que, como resultado, darn una modificacin al espectro de vibracin. Si se es capaz de transformar el movimiento mecnico, proporcional a las fuerzas actuantes, en seal elctrica, entonces, la seal de vibracin contendr la informacin relativa a las condiciones de funcionamiento de la mquina, quedeporscaracterizaelestadotcnicodesuspartesycomponentes,puescadaunatienela particularidad de vibrar a una frecuencia caracterstica. Lateoramecnicaarribaexpuestaconduceadefinirquelaherramientabsicadelpresente mantenimientoes,portanto,elanlisisdevibracionesy,losprincipiosenquesebasasonlos siguientes: Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 71.Todamquinaencorrectoestadodeoperacintieneunciertoniveldevibracionesyruidos,debido a los pequeos defectos de fabricacin. Esto puede considerarse como el patrndereferencia,nivelbasecaractersticooestadobsicodeesamquinaensu funcionamiento satisfactorio. 2.Cualquierdefectoenunamquina,inclusoenfaseincipiente,llevaasociadoun incremento en el nivel de vibracin perfectamente detectable mediante la medicin. 3.Cadadefecto,anenfaseincipiente,llevaasociadocambiosespecficosenlas vibraciones que produce (espectros), lo cual permite su identificacin. La importancia del mtodode Anlisis por Vibraciones Mecnicas, sustentado en los avances de la moderna tecnologa de medicin y en el anlisis dinmico temporal y frecuencial de seales, y utilizadocomoherramientadelmantenimientopredictivo,permitehoyenda,detectarcongran precisindesdedesgastesdecojinetesantifriccin,hastaqudientedeunreductordeengranajes est daado. El alcance atribuido al mantenimiento predictivo por vibraciones mecnicas est supeditado a la mayor rentabilidad, seguridad y precisin en el diagnstico. 1.4VentajasydesventajasdelAnlisisporVibracionesaplicadoalmantenimientodelas mquinas. Yaseconocequeconlosmtodosdemantenimientoanterioressegarantizaelproceso productivo,peroelcostodelosmismosesmayordebidoaloselementosqueacontinuacinse resumen: sustitucin completa de mquinas y elementos de mquinas; largos perodos de mantenimiento; elevado nmero de personal de mantenimiento; elevado nmero de mquinas de recambio y piezas de repuestoenalmacenes; grandes daos en la produccin en casos de fallas o averas inesperadas. Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 8Veamos,entonces,lasventajasquereportaelanlisisporvibracionesaplicadoal mantenimiento de las mquinas: a.deteccin precoz e identificacin de defectos sin necesidad de parar ni desmontar la mquina; b.seguirlaevolucindeldefectoeneltranscursodeltiempohastaqueestese convierta en un peligro; c.programacin,consuficientetiempo,delsuministrodelrepuestoylamanode obra para acometer la reparacin particular; d.programacinde la parada para correccin dentro de un tiempo muerto o parada rutinaria del proceso productivo; e.reduccin del tiempo de reparacin, ya que se tienen perfectamente identificados los elementos desgastados, averiados o, en general, posibles a fallar; f.reduccindecostoseincrementodelaproduccinpordisminucindelnmero de paradas y tiempos muertos; g.permite una seleccin satisfactoria de las condiciones deoperacindela mquina;h.funcionamiento ms seguro de la planta y toma de decisiones ms precisas de los ejecutivos de la empresa industrial. Resultaconvenientemencionar,queenlospasesdesarrolladosesexigidoya,porley,queel funcionamientodelamaquinariahadeestarencorrectascondicionesdeoperacin,conbajos niveles de vibracin y ruidos, como ventajas ambientales para el personal de operacin. Sobre las desventajas que obviamente enfrentar la empresa que decida aplicar este mtodo de trabajosepuedeplantearlosiguiente.Elempleodeestatcnicarequieredeunmnimopersonal calificado,seleccionadoentrelosmismostrabajadoresdelaempresa,ascomodelempleode equipamiento de alta tecnologa; por lo que su utilizacin se ve limitada aparentemente, en algunos casos,porlainversininicial.Sinembargo,alcompararlosresultadosquesepuedenalcanzar, inclusive a corto plazo, stos superansatisfactoriamente la inversin en estas tcnicas. Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 9Deestamanera,acontinuacinserelacionanlasactividadesquerequiereninversionesiniciales: investigacindelequipamientoamonitorear(lmitesdevibracin,determinacinde espectros patrones, seleccin de puntos de medicin, etc.); seleccinyadquisicinde la instrumentacin; formacin del personal encargado de las mediciones de rutina (seleccionado de la misma planta); especializacindelpersonalejecutivoydeingenieraencargadodeprocesarlas mediciones y de la toma de decisiones. 1.5Justificacin econmica del mantenimiento predictivo por vibraciones mecnicas. Es evidente que el criterio ahorro ser el que mueva o decida a los ejecutivos de empresas a la realizacindelainversinquesupone la implantacin de este mtodo de mantenimiento. Esto es, es necesario realizar una evaluacin de la rentabilidad de esta inversin. Elproblemaqueseenfrentapararealizarestatarea,esqueparaevaluarlafactibilidaddel nuevo mtodo de mantenimiento es imprescindible partir de su ejecucin o implantacin. Una vez efectuadoelcmputoentrminosdecostosporparadasimprevistasycostosporaveras(enel procedimientoconvencionaldemantenimiento),seprocedealaimplantacindelmantenimiento predictivo.La suma de costos a posteriori, correspondiente, ser la mejor evaluacin que se pueda realizardelainversin.Porconsiguiente,enunaprimeraetapaesfundamentalapelarala credibilidadtcnicaporpartedelosfuturosusuariosyalacomparacinoilustracinde experiencias acontecidas en otras empresas industriales del mismo pas u otros pases. En los pases desarrolladoselmtododemantenimientoporvibracionesmecnicasconstituyeunatcnicatan extendida en la industria, que actualmente no requiere de muy amplia fundamentacin econmica. Los beneficios econmicosque se han logrado en la prctica internacional, aunque han sido de una forma u otra, mencionados anteriormente, sern expuestos de forma resumida a continuacin: Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 101.reduccindelasmquinasdereserva; 2.reduccinnotabledelperododemantenimiento; 3.reduccin del personal de mantenimiento propio y el contratado; 4.reduccindelosgastos(capitalinmovilizado)porequipos,mquinasmenores, elementos de mquinas y piezas de repuesto en almacenes; 5.eliminacindelasaverasporroturasinesperadas,estoes,fiabilidady productividad superiores; 6.eliminacindelosdaosenlaproduccinfinaldealtocostodebidoafallasde elementos de poco valor. 1.6Instruccindelpersonalycondicionesdelaeficaciaenlaejecucindelmantenimiento predictivo. Sonprecisamentelascondicioneshumanasymaterialeslasquedeterminanelnivelde aplicacin del mantenimiento predictivo. Frecuentementeocurrequealpersonaldeldepartamentodemantenimiento,especializadoy dedicadocompletamentealasintervencionestradicionales,seleasignaunatareaadicional:la medidadelasvibraciones,delaqueenlamayoradeloscasosdesconocesusfundamentosy utilidadprcticafinal.Estoprovocaqueelmantenimientopredictivoporvibracionesmecnicas, quede reducido a una inspeccin rutinaria ms y, a que su eficacia no pueda ser evaluada. Porotrolado,setienenloscasosdeempresasdondesedisponedeinstrumentacinsuficiente pararealizarestastareas,einclusomquinasmonitoreadasininterrumpidamenteparalasquela operatividad del mtodoes nula. Esto es, se hacen inversiones que estn totalmente subutilizadas. Lassituacionesmenosfrecuentessonaquellasempresasqueconelequipamientomnimo logran los mayores beneficios econmicos (ejemplos: CTE de Mariel, La Habana; Planta Industrial de Fertilizantes, Cienfuegos; etc.). Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 11La lnea ms conveniente para salvar las situaciones negativas arriba descritas y poder situar al departamento tcnico o de mantenimiento, segn el caso,alaalturadelasnuevastecnologasen cuanto a su asimilacin correcta y eficiente, consiste en los pasos de instruccin siguientes: calificacin del personal directivo y ejecutivo, fundamentalmente; formacinadecuadadelpersonaltcnicoespecializado,queselevaaasignar estatarea. En lo que se refiere al primer proceso instructivo, el grado de sensibilizacin cada vez es mayor. En cuanto al segundo, no es menos cierto que las ventajas econmicas y de seguridad que aporta el plandemantenimientopredictivocorrectamenteintroducidoenunaempresaindustrialsontan grandesquejustificanlapresenciade,porlomenos,unaodospersonasespecializadas(segnla escala de la empresa) en la medida y anlisis de vibraciones: el analista de vibraciones. Enestesentido,sondedestacarlasiniciativasadoptadasenmuchospasesyregiones industrialesconvistasadesarrollarprogramasdeformacinycursosadaptadosasusmquinas paralograrunentrenamientoaceleradodesupersonaldemantenimiento,ascomola reestructuracin y modernizacin de las direcciones o secciones de mantenimiento. Losaspectosbsicosquecondicionanlaeficaciadeunplandemantenimientopredictivoporvibraciones mecnicas son: el volumen de informacin obtenido; su procesamiento y tratamiento; la rpida disponibilidad de resultados para la toma de decisiones. Estos acondicionamientos y la limitacin derivada de una incompleta calificacin del personal, quedansubsanadosconlaincorporacindelosordenadoresalaejecucindelastareasdel mantenimientopredictivoporvibracionesmecnicas.Lascapacidadesrealesdelossoftwares analizadores de seales hacen que el plan de mantenimiento predictivo quede reducido simplemente a la obtencin de datos. 1.7Pasos para la aplicacin del mantenimiento predictivo porvibraciones mecnicas. Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 12 Elprogramademantenimientopredictivocomienzaconlarelacindeaquellasmquinasque debernserincluidas.Ladecisindelainclusindelamquinasefundamentaen:elgradode incidencia econmico que esta tiene en el proceso de produccin como consecuencia de los costos por parada o interrupcin, as como por reparacin. Estossonlosfactoresqueestablecenelvolumendeejecucineinstrumentacintcnicadel programa. Sobre la base del anterior criterio se definen las necesidades: humanas y materiales, para cubrir los objetivos. Seleccionadas las mquinas se procede a obtener, si es posible, la siguiente informacin: 1.Espectros de referencia; caractersticos de la mquina en diferentes puntos cuando esta opera correctamente. 2.Historialdemantenimiento;datosdelfabricantesobrecausasdeaveras, vibracionescaractersticas;datosdelexplotadorenestosmismostpicos (reforzando el conocimiento en tipos de averas ms frecuentes). 3.Datostcnicosespecficos:r.p.m.,potencia,nmerodelabes,cojinetes(datos geomtricoscaractersticos),reductor(nmerodedientes,relacionesde transmisin), etc. 4.Conocimiento de la mquina: condiciones de operacin, funcin de la mquina en elproceso,alteracindelosnivelesdevibracinconloscambiosenlas condiciones de operacin (temperatura, carga, velocidad y otros), etc. 5.Codificacineidentificacindelasmquinasseleccionadas:lacodificacin deber indicar lugar, posicin, tipo de mquina, nmero de ellas, etc. A continuacin, para cada mquina seleccionada se le definen los aspectos siguientes: puntos y direcciones de medicin (axiales, radiales); magnitud a medir (desplazamiento, velocidad, aceleracin); tipo de sensor adecuado; Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 13definicin del intervalo de frecuencia a medir. Una vez cumplimentados los pasos anteriores, es conveniente que se ejecuten varias mediciones de pruebas que permitan: I.la familiarizacin con los espectros caractersticos de cada mquina; II.la optimizacin de puntos de medicin y direcciones; III. encasoquenosehayanpodidoconseguirlosespectrosdereferencia, previamentedelfabricante,seprocedernaobtenerconlaayudadelos operadores ms experimentados; IV. dem, para el caso de los niveles de amplitud de vibracin total; V.enlamedidadelasposibilidadesseobtendrnloscambiosdeespectrosy amplitudes ante variaciones o desviaciones de las condiciones de operacin; VI. estudiodelaconvenienciaeneltratamientodelainformacinmanualo computarizada, de lo que se desprende la existencia del: protocolodemediciones,ficheroocuadernodemquinas;dondeseirn clasificando y ordenando de forma cronolgica los datos relativos a cada mquina juntoconsuscaractersticasyespectrodereferencia.Enelcasodequeesta informacin sea tratada en microcomputadora se dispondr de un disquete con el cdigo de identificacin asignado a la mquina. Lapreparacindelprotocolodemedicionesoelficheroocuadernodemquinadestinadoa cadaunaadscriptaalplandemantenimientopredictivo,esindispensableparaalcanzarlamejor organizacinyresultadodelmtodoencuestin.Dichoprotocolo,ficheroocuadernodeber contener como datos principales, los siguientes: a.cdigo de identificacin de la mquina; b.puntos y direcciones de medicin (esquema de la mquina); c.condiciones de operacin relativas al proceso como: velocidad en el momento de la medicin, temperatura del cojinete, temperatura de gases de escape, presin del fluido, etc. Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 14d.espectros de referencia; e.espectrosobtenidosdurantelaaplicacindelprograma,esdecir,espectrosde frecuenciadelavibracincaractersticadelamquinaparacadapuntode medicin en sus correspondientes direcciones; f.amplituddelavibracintotalparacadapuntodemedicinensus correspondientes direcciones; g.fecha y hora de ejecucin de las mediciones; h.criterios de severidad o normas iniciales aplicadas; i.curvasdetendenciaparalasfrecuenciastpicas,armnicosylaamplituddela vibracin total; j.intervalo de frecuencia a medir; k.frecuencia de muestreo o intervalo de las mediciones. Paracadamquinaesprecisoestablecerloscriteriosdeseveridad,considerados,porejemplo, de la siguiente manera: ALARMA-nivel de vibracin severo PARADA-nivel de vibracin no aceptable Encasodenodisponerdecriteriosdelsuministradorseacudir,comoprimerareferenciade partida,alasnormasexistentes.Elconocimientodelamquinaysucorrespondientehistorial, sern la base ms segura para la redefinicin de los niveles ptimos de la mquina en uso. Noexisteningunareglaqueestablezcaculdebeserelintervaloentredosmediciones consecutivas en cada mquina. Esta frecuencia de muestro est sujeta a factores tales como: importancia de la mquina en el proceso de produccin; caractersticas especficas de la propia mquina; estabilidad de las grficas de tendencia; historial de averas, etc. Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 15Endefinitiva,estafrecuenciaseestableceprimeramentedeacuerdoaestoscriteriosyserel proceso dinmico de optimizacin del programa quien defina el intervalo ms adecuado para cada mquina. Sobre la base de la informacin que se obtenga y como sntesis para la toma de decisiones, se elaborarn los resmenes siguientes: curva deanlisisdetendencia querepresenta la variacin de la amplitud de la vibracin total en el tiempo; curvasdeanlisisdetendenciadefrecuenciastpicasyarmnicosms significativos del espectro; mapas espectrales en funcin de las condiciones de operacin. Elordendelospasosparalaaplicacindelmtododemantenimientopredictivopor vibraciones mecnicas arriba esbozado, no constituye una indicacin metodolgica rgida, ni mucho menos una norma invariable a seguir. Las condiciones objetivas de la empresa industrial establecer, en la prctica, proceder en el orden consecutivo ms conveniente. 1.8Determinacin de los niveles de vibracin. Ladeterminacindelosnivelesnormalesdevibracinesunodelosaspectosmsimportantes dentrodelastareasdeorganizacinparalaimplementacindeldiagnsticopredictivopor vibracionesmecnicasenunaindustria.Unaincorrectadeterminacindeesteparmetropuede conducir a consecuencias fatales para la mquina y la industria en general. Enladeterminacindelnivelnormaldevibracinparaunamquinadada,loselementosque decidirn cul debe ser el valor que se tomar como referencia estn relacionados con la experiencia deloperadoreneltrabajoconellas,lascaractersticasvibracionalesdelamismaylarapidezcon queevolucionansusparmetrosvibracionales.Comoreferenciadebenconocerselosvalores,que para estas mquinas tienen otras de su tipo, o cules son los valores recomendados por las Normas Internacionales sobre vibraciones mecnicas. Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 16Unmtodomuyempleadoparaladeterminacindelosnivelesnormalesdevibracinesel anlisisdetendencia.Esteesunmtodomuysimpleelcualsebasaenlagraficacindelos parmetrosvibracionalesdelamquinadurantelaexplotacin.Elmismopuedeimplementarsede forma automtica o manual. Sielestadotcnicoesbueno,losnivelesdevibracinmantienensusvaloresconstantes.Si aparece alguna falla, entonces estos valores comienzan a crecer en la medida que sta se desarrolla. Lasmquinasposeencaractersticaspropiasdadaslascondicionesenquefueronconstruidasy montadas(suacabadosuperficial,rigidez,ajustes,etc.).Estascondicionesdeterminanunnivel vibracionalcaractersticoenlamisma.Siunadeestascaractersticasvara,inmediatamentese reflejarenelnivelvibracional,loqueindicarquehaocurridounaalteracinenlascondiciones originales de la misma. La alteracin del nivel vibracional no significa que necesariamente ocurrir una avera inmediata, por ejemplo, las Normas de Severidad ISO 2372 establecen que el nivel de vibracin de 0,71 mm/s es satisfactorio para mquinas rotatorias con potencia menor de 75 Kw. Sin embargo, una mquina puedeencontrarseenbuenestadotcnicoytenerunniveldevibracinporencimadeestevalor. Este hecho significa que el valor del nivel normal de vibracin no es absoluto, sino que depende de muchos factores, por lo que para su determinacin debe establecerse un compromiso entre ellos. Comoelementoauxiliarenellogrodeesteobjetivo,elanlisisdetendenciatieneunagran aplicacin.Esporello,queenelestudiopreliminardelamquina,seestablececomoreglala realizacindemedicionesperidicasparaobtenerlatendenciadelosvaloresvibracionalesdela misma.Conelanlisisdetendenciasepuede,adems,determinarelmomentodeposiblerotura tomando como referencia el valor mximo permisible del nivel vibracin.El anlisis de tendencia exige que las mediciones se efecten sobre los mismos puntos de medicin, los que deben ser seleccionados de acuerdo a la estrategia establecida para el estudio de la mquina, mantenindosesiempre,lasmismascondicionesdelmuestreo.Elanlisispuederealizarsetanto sobre los valores globales de la vibracin, como sobre los espectros vibracionales. Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 17

FIG. 1.3Grfica de tendencia de una mquina rotatoria. En la Fig. 1.3 se muestra el grfico de tendencia de una mquina rotatoria de baja potencia. En la grficaseofreceunaorientacinsobreloscriteriosdeseveridadydondeloscambiossereportan comoetapasenlaevolucindelnivelvibracional.Elprimerincrementodenivel,querepresenta aproximadamentedosveceselnormal,seregistracomoiniciodecambios.Enellacomienzaa desarrollarse la falla, la cual debe ser liquidada, con pequeos ajustes o mantenimiento de rutina. La segunda etapa exige una mayor investigacin de las causas que han originado el aumento del nivel de vibracin y la tercera, donde los niveles de vibracin han alcanzado valores de hasta ocho veces el valor de nivel normal, exige una accin inmediata. Los cuadernos de mquinas ocartas de control son elementos auxiliares de mucha ayuda, como expedientedelosvaloresglobalesdelosnivelesdevibracinenlamquina.Enellospuedenser registradosperidicamentelosvalores medidos en los puntos seleccionados y todas las incidencias ocurridas durante las mediciones. Un ejemplo se muestra en la Fig. 1.4 Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 18 Fig. 1.4Ejemplo de cuaderno de mquina o carta de control. Otro mtodo que puede ser empleado para la determinacin de los niveles normales de vibracin, es el anlisis estadstico. Este mtodo es muy utilizado para el control de la calidad en la fabricacin demquinasrotatorias.Enloscasosenqueelfabricantenoaportelosnivelesdevibracin caractersticosdeunamquinaesposiblerealizaruntrabajodepruebasestadsticas,cuandoel nmerodemquinasidnticas(relativamentegrande)trabajanbajolasmismasoparecidas condicionesdeexplotacin.As,mediantelamedicinperidicadelasmquinasysusrestantes parmetrosdetrabajo,esposibleestablecerloscorrespondientesnivelesnormalesyanormalesde vibracin de las mquinas en cuestin. En las mquinas rotatorias pueden ocurrir fallas que son muy comunesdurante la operacin. Este comportamiento se refleja en el nivel normal de vibracin que ellas presentan durante el trabajo. Sin embargo,elvalorqueestenivelpuedetomardependerdelaclasificacinalaquepertenezcala Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 19mquina,dentrodelostiposestablecidosporrecomendacionesdealgunasnormas(verTabla1.1). Realmente, es muy difcil establecer a priori cul es el valor mximo de vibracin despus del cual habr una rotura inminente. TABLA 1.1Recomendaciones para la clasificacin de las mquinas Clase I Mquina con potencia< 15 Kw Clase III Mquinas grandes en rotacin con fundamentos rgidos Clase II Mquinas con potencia entre 175 Kw Clase IV Mquinas grandes en rotacin con fundamentos flexible Las mquinas se diferencian por su tamao, por su rigidez, as como por su amortiguamiento, lo que incide en que los valores de los niveles de vibracin no sean iguales, inclusive, entre mquinas idnticas operando bajo las mismas condiciones. Actualmente se toman como gua numerosas cartas deseveridadquesonelresultadodemuchosaosdeexperienciaenlaimplementacindelas tcnicas de diagnstico por vibraciones mecnicas en la industria. Estas recomendaciones unidas al controldelcomportamientodelamquinaduranteunperodoprolongadodeoperacin,permiten determinar con mayor certeza, el valor que se debe tomar como referencia. En la figura 1.5 se muestra un ejemplo de carta de severidad para la seleccin del nivel mximo permisibledevibracindeacuerdoalaclasificacindelasmquinasdadaporlaTabla1.1,yen donde los valores de amplitud de la vibracin se expresan en mm/s. Parallevarabuentrminounprogramadeverificacindelestadotcnicodelasmquinas basadoenelnivelmximopermisibledelavibracin,sedebentomarreglasgeneralesquehaganrealeslospronsticos.Porejemplo,conquvelocidadaumentlaamplituddelavibracin,en cuntas veces aument, entre otros aspectos. Silamquinamantieneinvariablesuniveldevibracinporunperododetiempoquepuede extenderse hasta un ao, es innegable que estos valores representan su nivel normal de vibracin. Si porelcontrario,estenivelseincrementaenmsdedosvecesrespectoasuvalorinicial,nohay dudas que se ha originado una falla y se hace necesario su correccin. Fig. 1.5Carta de severidad, segn Norma ISO 2372 Mantenimiento Predictivo por Vibraciones Mecnicas 20 Deloantesexpuestoseinfierequeelanlisisvibracionaleslabasesobrelacualsesustentael mantenimiento predictivo en las empresas industriales, por lo que se hace evidente la necesidad que tienetodoelpersonalencargadodeintroducirestastcnicasenlaindustriadelconocimientodela teora sobre las vibraciones y su relacin con las seales que emiten los sistemas mecnicos durante la operacin, lo que permitir la interpretacin correcta de los resultados del procesamiento. 21 AnlisisdeSeales 2 Adquisicin de la informacin 242.1 Introduccin.- Enunsistemamecnicoidealnoexistedisipacindeenergadurantelosprocesosde transmisinoconversindelamisma.Enellosestnausenteslascausasqueprovocanesas prdidas. Por el contrario, en los sistemas mecnicos reales surgen fuerzas excitadoras causantes de la disminucin de la energa til que es entregada por el sistema. Lasvibracionesqueexperimentanlossistemasmecnicosmanifiestanlapresenciadefuerzas excitadoras. Lossistemasrealesademsdetenermasa,tienenenmayoromenorgradoelasticidad.Luego, cuandoelsistemaesdesplazadodesuposicininicialproductodelaaccindeesasfuerzas, surgeotraensentidocontrarioquetrataderetornarloasuposicininicial,provocandodeesta forma un movimiento oscilatorio alrededor de las condiciones de equilibrio. Duranteestemovimientooscilatorioelsistemadisipadaciertacantidaddeenerga,tomando especial inters su comportamiento en resonancia. Sobreelcomportamientovibracionaldelossistemasinfluirntantosuscaractersticas constructivas como sus caractersticas de trabajo, pues de ellas dependen las particularidades que presentanlasfuerzasexcitadorasquesurgenenlosdistintoscomponentesestructuralesdelos mismos durante la operacin. Ahora bien, las vibraciones no son slo propiedad de los sistemas mecnicos. Todos los sistemas fsicostienenlapropiedaddevibraryestasvibracionessernelreflejodesucomportamiento dinmico.Porestarazn,lasvibracionesemitidastendrnunaformaderepresentacinque caracterizar al sistema del cual procede. En la medida que los sistemas sean ms complejos, la Adquisicin de la informacin 25forma que adquiere la representacin de sus movimientos tambin lo ser, necesitndose para su descripcin ms de una coordenada independiente. Lascoordenadasindependientes,tambinllamadasgradosdelibertad,estncaracterizadasen los sistemas oscilatorios por tener un modo principal de vibracin. Los sistemas con ms de un gradodelibertadpuedenserrepresentadosporlasuperposicindesusmodosprincipalesyen loscasosenqueelsistemasealosuficientementergidopuedesimplificarseaungradode libertadreducindoseaselnmerodecoordenadasindependientesnecesariasparasu descripcin.

Estareadelespecialistapoderidentificarydeterminarlosfenmenosquetienenlugarenlos sistemasmecnicosobservandoymidiendolosparmetrosvibracionalesatravsdel procesamiento y anlisis de las seales emitidas por los mismos durante su funcionamiento. Por ejemplo,sielsistemaestenperfectascondicionestcnicaslasealemitidaporelmismo reflejaresecomportamiento,resultandosurepresentacinunaondadepequeaamplitud cuandoescomparadaconotrosgrficospatronesbrindadosporlasnormasoconstruidosal efecto. Precisamente,atravsdeestarelacinhasidoestablecidaunaclasificacinparalasseales resultandodosgrandesgrupos.Elprimergrupoestintegradoportodasaquellassealesque representanunfenmenoquepuedeserdescritoporunaexpresinmatemticarelativamente sencillaencualquierinstantedetiempoysondenominadasdeterminsticas.Elrestodelas seales se denomina no determinsticas o aleatorias. Las seales determinsticas pueden subdividirse a su vez en dos grupos: a) seales peridicasb) seales no peridicas. Adquisicin de la informacin 26 Enestecontextosernestudiadaslassealesemitidasportressistemasmecnicosbsicos mediante modelos que se comportan linealmente respecto a la excitacin recibida. De esta forma podrn ser determinadas las soluciones exactas de las ecuaciones que rigen los movimientos en estos sistemas mediante el empleo de las propiedades de las ecuaciones diferenciales lineales. Silosdesplazamientosquetienenlugarenlossistemasmecnicoscuandosobrelactan fuerzas excitadoras son pequeos, puede considerarse que el comportamientodel mismo es lineal ante esa perturbacin, como se muestra en la figura 2.1. Fig. 2.1. Representacin de un Sistema Lineal Sisobreelsistemaactamsdeunafuerzaexcitadora,elprincipiodesuperposicinpermitir determinar su respuesta de acuerdo a: a) ( ) ( ) ( )| |( )| |x t f F t F t F tx t f F tmnnm( ) . . . . .( )= + + +==1 21 donde : F t ( ); representa a la fuerza excitadorax t ( ); la respuesta del sistema. Adquisicin de la informacin 27Lasolucindelaecuacin(a)puedeobtenerseconsiderandoacadafuerzaFi(t)comoel productodeunafuncinf()denominadafuncindepeso,porlafuncinderespuestadel sistema representada como h(t-). Esta solucin es igual, matemticamente a la integral de convolucin, ecuacin (2.1) y representa elprincipiodesuperposicincuandoelnmerodefuerzasexcitadorasessuficientemente grande. x t h t F d ( ) ( ) ( ) = 0(2.1)donde: ( )h t ; es la funcin respuesta del sistema b) ( ) ( )| |x t f F t F tx t f F t f F t( ) ( . ( ) . ( ))( ) ( ) ( )= += + 1 21 1 2 2 Lasecuacionesplanteadasenelinciso(b)describenlapropiedadconmutativaquetambines muy utilizada en la interpretacin de los sistemas fsicos reales. En este caso ### es una magnitud constante que tiene la peculiaridad de preservar la frecuencia de la funcin de entrada, o sea, la frecuencia con que la fuerza excitadora perturba el sistema. Paracomprobaresteplanteamientosedescribirelcomportamientodelsistemamedianteel parmetrovelocidadyaceleracinapartirdelaecuacin(2.1).Silarespuestadelsistemase expresa como su desplazamiento, la respuesta en velocidad o aceleracin se obtendrn derivando esa expresin, la cual tomar la forma representada por (2.2). ddF dt hdtt x dnnnn =0) () () ( (2.2) donde n es el orden de la derivacin. Adquisicin de la informacin 28 Si se asume que la funcin de entrada al sistema es igual a una funcin seno, entonces se tendr que: F t A f t ( ) sen( . . ) = + 2 que al ser representada en forma compleja ser igual a: ( )F F ei t=0. .(2.3) a)para la respuesta expresada en velocidad ser igual a: ( )dx tdth t i F e di t( )( ). .= 00 b) y la respuesta expresada en aceleracin ser igual a: ( )d x tdth t i F e di t22020( )( ). .= de donde se puede resumir a partir del resultado obtenido en los incisos (a) y (b) que la expresin general para la respuesta del sistema ser igual a: ( )d x tdti h t Fe dnnni t( )( ). .= 00 (2.4) De la ecuacin (2.4) se puede concluir que la respuesta de los sistemas lineales tiene el mismo comportamientoquelafuncindeentrada,osea,larespuestaesunaoscilacindeigual frecuencia, slo ha sido modificada la amplitud (trmino constante) y la fase expresada porin 2.2 Seales Peridicas. Lassealesdeterminsticasperidicassonlasquecaracterizanalossistemasmecnicoscuyos movimientososcilatoriosserepitencadaciertoperododetiempocompletndoseuncicloen cadaintervalo.DentrodeestaclasificacinelMovimientoArmnicoSimple(MAS)reviste Adquisicin de la informacin 29graninters,yaqueapartirdelestudiodeestesencillomodelopuedenestablecerserelaciones para aquellos sistemas que resulten ms complejos. Apartirdeesteanlisissepodrestablecerquetodoslossistemasdescritosporunaestructura matemticasimilartendrnunmovimientoarmnicosimpleyserndescritosporunasola coordenada independiente, o sea, tendrn un slo grado de libertad. Esto significa que el sistema formadoporunasolamasaalserexcitadosetrasladaralolargodeunasoladireccin,luego para describir su movimiento slo ser necesario determinar la coordenada a travs de la cual se traslada. Enlafigura2.2semuestraelclsicosistemamasaresortededondesonobtenidaslas propiedades de los sistemas con movimiento armnico simple.

Fig. 2.2. Sistema masa resorte con MAS Cuando la masa del sistema mostrado en la figura 2.2 es desplazada de su posicin de equilibrio una pequea distancia x, surge sobre ella una fuerza que se opone al movimiento. Esta fuerza de naturalezaelsticaleimprimiralsistemaunaciertavelocidadparaquerecuperesuposicin inicial de equilibrio AplicandolasegundaleydeNewtonalsistemamostrado(considerandolamasadelmuelle despreciableylaausenciadefriccinconelairequelorodea)puedeplantearseelbalancede fuerzas que actan sobre el mismo. F mxx =.. ;F k x mgx = + + ( ) (2.5) Adquisicin de la informacin 30 + = kx k mg mx ..(2.6) donde: K; constante de rigidez del sistema (muelle) k mg = ;para el equilibrio esttico. por lo tanto, la ecuacin (2.6) tomar la siguiente forma: mx kx..+ = 0(2.7) que reagrupando quedar igual a: xkmx..+ = 0 ;x x..+ = 020(2.8)donde : 02=km ;representa la frecuencia angular natural del sistema.

Laecuacin(2.8)puedeserresueltaaplicandolaspropiedadesdelasecuacionesdiferenciales lineales homogneas de segundo orden. En este caso la solucin general es del tipo sinusoidal. x t B t C t ( ) sen( ) cos( ) = + 0 0(2.9) donde las constantes B y C pueden ser evaluadas por las condiciones iniciales del sistema. ( )( )para tx C Bx== =0000..sustituyendo los valores de A y B en la ecuacin general se tendr lo siguiente: x txt x t ( ) sen cos( ).( )= +000 0 0 (2.10) Adquisicin de la informacin 31 Analizandoesteresultadosepuedeplantearqueelsistemaalcomenzarsumovimientopuede partirdeunaposicininicial ( )x0ytenerunavelocidadinicial.Comomedioderepresentacin grfica del MAS ser utilizado el diagrama fasorial mostrado en la figura 2.3, lo que facilitar el anlisis de la seal en el tiempo.Delafigura2.3seobservaquelostrminos ( )x yx000( )representanlasproyeccionesenla direccin horizontal y vertical de la posicin del sistema en el instante inicial. Estos desplazamientos iniciales pueden ser expresados, por lo tanto, en dependencia del ngulo de fase inicial 0 y de la amplitud A. xAx Asen==( )( )cos0000 0(2.11) Fig. 2.3. Representacin del movimiento armnico simple Esteresultadofacilitarlasolucingeneraldelaecuacindiferencial(2.9)querepresentael desplazamientodeunsistemaconMAS,tomandofinalmentelaformadadaporlaecuacin (2.12). x t A t ( ) sen( . ) = + 0(2.12) Adquisicin de la informacin 32Laamplitudyelngulodefaseinicialsondosmagnitudesindependientesypuedenser evaluadasapartirdelascondicionesiniciales.Delasecuaciones(2.11)y(2.12)setienelo siguiente: xAsen( ) 00= ;xA=( )cos00sen cos20201 + = de donde la amplitud A ser igual a: A xx= +( )( )( )0202(2.13) y el ngulo de fase inicial: 000=arctan( )( )xx(2.14) Conocidalaecuacinquedescribeeldesplazamientopuedenserdeterminadaslasecuaciones que describan la velocidad y la aceleracin: velocidadx t A t= + ( ) cos( . ) 0(2.15) aceleracinx t A sen t= + ( ) ( . ) 20(2.16) Otro parmetro importante del MAS es el perodo de la oscilacin T. El periodo de la oscilacin Tsedefinecomoeltiempoquedemoraelsistemaenretornarasuscondicionesiniciales describiendo de esta forma un ciclo. Para el movimiento descrito anteriormente significa realizar un recorrido igual a 2 radianes. Siparat = 0laposicindelsistemaestdadaporelngulo( ) . t +0parauntiempo posterior igual a un perodo la posicin ser igual a ( )| | . t T + +0 Adquisicin de la informacin 33de donde se tendr que: ( ) . t T t + + = + +0 02 (2.17) que al simplificar quedar como: T = 2T = 2/(2.18) Apartirdelperododeoscilacinsedefineotroparmetrocaractersticodelmovimiento oscilatorio, la frecuencia. La frecuencia propia o frecuencia natural del sistema oscilatorio es el nmero de repeticiones por segundo que efecta el mismo durante el movimiento y ser igual al valor inverso del perodo T. fT01=sustituyendolaecuacin(2.18)enestadefinicinseobtendrlaexpresinquepermite determinarelvalordelafrecuenciaendependenciadelaconstantederigidezylamasadel sistema. fkm012=(2.19) Del anlisis anterior se puede concluir que las magnitudes , y T son propiedades del sistema oscilatorio por depender solamente de su masa y rigidez. 2.2.1. - Seales peridicas complejas.Los sistemas fsicos reales pueden estar sometidos a la accin simultnea de ms de una fuerza excitadora. Las caractersticas de estas fuerzas pueden ser tales que provoquen en el sistema un movimiento que resulte de la combinacin de varios MAS con frecuencias que resultan mltiplo del modo principal de vibracin. La trayectoria resultante del sistema oscilatorio, o sea, la forma delaondadelaseal,dependerentoncesdelaformaenqueestasoscilacionessean combinadas. Adquisicin de la informacin 34 Con pocas excepciones, la representacin matemtica de estos sistemas puede venir dada por la serie de Fourier: x taa n f t b sen n f tnnn( ) cos( . . . ) ( . . ).= + +=011 122 2 (2.20) donde : f1 ; es la frecuencia fundamental, o sea la frecuencia del primer armnico a0 , an Y; son los coeficientes de la serie Simplificandolaecuacin(2.20)setendrentonceslaecuacindelmovimientoparala combinacin de n oscilaciones: x t X X nf tnnn( ) cos( ) = + =0112 (2.21) donde: X0 ; es el coeficiente constante de la serie X a bn n n= +2 2 ; representan la amplitud de la seal nnnarctnba= .( ) ; representa el ngulo de fase Comoejemplosdesealesperidicascomplejasseestudiarnsistemasoscilatorioscondos oscilaciones armnicas combinadas. 2.2.2 - Combinacin de oscilaciones de igual frecuencia. Losdesplazamientosdelosmovimientosarmnicosqueserncombinadosenesteestudio estarn descritos por las ecuaciones cosenoidales dadas por (2.22). Adquisicin de la informacin 35x A t1 1 1= + cos( . ) x A t2 2 2= + cos( . ) (2.22) Sustituyendo en la serie de Fourier para (n) igual a 2, el desplazamiento resultante ser: x t ( ) = A t A t1 1 2 2cos( . ) cos( . ) + + +x t X tnnn( ) cos( . ) = +=12 (2.23) Delaecuacin(2.23)seobservaqueelmovimiento resultante de esta combinacin tambin es unmovimientoarmnicodeigualperodo,slohanvariadolaamplitudylafase.Aqula componente esttica no es considerada, ya que slo se estudia el comportamiento oscilatorio del sistema. Para lograr una mayor claridad en el estudio de estos sistemas, ser empleada la notacin fasorial mostrada en la Fig. 2.4. Fig. 2.4Composicin de dos sistemas de igual frecuencia. Delafigura2.4seapreciaquemedianterelacionestrigonomtricasesposibleobtenerla amplitud y el ngulo de fase del movimiento resultante. A A A A A212221 2 2 12 = + + cos( ) (2.24) Adquisicin de la informacin 36A A A sen sen sen = +1 1 2 2(2.25) 2.2.3. - Combinacin de movimientos oscilatorios de frecuencias diferentes. Enestecasonosetomarnencuentalosngulosdefaseparasimplificarelanlisisdelos resultados, siendo las ecuaciones de las ondas que se combinan, iguales a: x A t1 1 1= cos( ) ;x A t2 2 2= cos( ) (2.26) por lo que para el movimiento combinado el desplazamiento resultante vendr dado por la suma de ambas como: x t A t A t ( ) cos( ) cos( ) = +1 1 2 2 (2.27) El grfico fasorial para esta combinacin ser igual al mostrado en la figura 2.4, pero ahora las frecuencias 1 2y sondiferentes.Estadesigualdadenlasfrecuenciaspuedeprovocarenel movimientoresultanteunaformamuycompleja,conunaamplituddependientedelaposicin instantnea del fasor que representa a cada una de las amplitudes de las ondas combinadas.En la figura2.5semuestraelgrficodelacombinacindedosondasconfrecuenciasdiferentes,as como su diagrama fasorial. En este se puede apreciar la combinacin de las mismas dando como resultado una nueva onda de amplitud A. A A A A A t t212221 2 1 22 = cos( ) Adquisicin de la informacin 37 Fig. 2.5. Oscilacin resultante para la combinacin de dos MAS con diferentes frecuencias. Paraqueelmovimientoresultantepuedaserdescritocomounmovimientoperidico,ser necesarioquelosperodosdelasoscilacionescombinadasseanmltiplosdelaoscilacin resultante, para lo que deber cumplirse a siguiente condicin: T n T n T = =1 1 2 2 donde : n1,2n; son los valores ms pequeos que satisfacen esa relacin. T T1 2,;son los perodos de las oscilacionesx x1 2, Existenvaloresdelarelacinentrelasfrecuencias 1 2y queinfluyennotablementeenla caracterstica del movimiento oscilatorio resultante. Por ejemplo, sean consideradas dos oscilaciones cuyas frecuencias tienen valores cercanos. Si las amplitudes son iguales el resultado ser el siguiente: Adquisicin de la informacin 38x t A t tx t A t t( ) [cos( ) cos( )]( ) cos( ) . cos( )= +=+ 1 21 2 1 222 2(2.28) Analizando la ecuacin (2.28) se puede apreciar que existe una combinacin dada por una onda defrecuenciaiguala 1 22+yotradefrecuenciaiguala 1 22enlarespuestadel sistema.Alcompararestasdosfrecuencias, 1 22+y 1 22seobservaqueexisteun rango de valores para los cuales ocurre el fenmeno de la pulsacin, que se caracteriza porque la ondademayorfrecuenciaesmoduladaporlademenorfrecuencia.Estosignificaqueparaun perodocompletodelaondademayorfrecuenciaocurreunsemiperiododelaondademenor frecuencia. Silasondascombinadassonsonoras,elsonidoresultantetendrunafrecuenciaiguala ( 1 22+)/2pasandoporunmximocada/( 1 22)segundos.Silasvibraciones provienen de un sistema mecnico, las vibraciones pulsantes pueden acelerar el deterioro de los elementos estructurales, sobre todo si son excitadas las frecuencias naturales. Adquisicin de la informacin 39 Fig. 2.6. Pulsaciones obtenidas de la combinacin de ondas con frecuencias prximas. 2.2.4.Combinacin de oscilaciones perpendiculares entre s con igual frecuencia. Anteriormentefueronestudiadascombinacionesdesistemasoscilatoriosdondelasondas viajaban en la misma direccin. Cuando las ondas viajan en direcciones perpendiculares entre s seobtienencombinacionesqueresultandeunagrancomplejidad.Sinembargo,este comportamientoesdegranutilizacinprcticaporquepuedeserutilizadoparaelestudiode sistemas estticos. En este caso es posible determinar una frecuencia desconocida conocindose la otra frecuencia y la forma de onda del movimiento resultante. Para los desplazamientos dados por las ecuaciones (2.28) se podrn obtener diferentes formas de ondas resultantes en dependencia de la relacin entre las frecuencias 1 2yas como entre los ngulos. x t A ty t A t( ) cos( . )( ) cos( . )= += +1 12 2 (2.29) Adquisicin de la informacin 40Si las frecuencias de las oscilaciones son iguales, las trayectorias sern slo funcin de las fases. Transformando las ecuaciones (2.29) se obtiene la expresin de la trayectoria resultante, que ser igual a: xAyAxyA Asen2122221 22 122 12+ = cos( ) ( ) (2.30) La ecuacin (2.30) representa la ecuacin general de la elipse, la cual toma la forma de figuras geomtricas conocidas al sustituir valores significativos en la relacin de los ngulos de fases. a) Para ( ) 2 12 = n n= 0, 1, 2, 3, ........ xAyAxyA AyAAx2122221 21220 + ==(2.31) como se aprecia de este resultado, la ecuacin (2.31) representa a una recta con pendiente igual a larelacinentrelasamplitudes.Quedapordemostrarsilaoscilacinresultanterespondealas propiedadesdelmovimientoarmnico.Comolasoscilacionessonperpendicularesentres,el desplazamiento resultante puede ser escrito de forma general mediante la relacin trigonomtrica siguiente: z t x y A A tz t A A tz t A t( ) ( ) cos ( . )( ) cos( . )( ) cos( )= + = + += + += +2 21222 21222 (2.32) donde : A; es la amplitud de la onda resultante Adquisicin de la informacin 41 ; es el ngulo de fase resultante de la combinacin de las ondas iniciales con ngulos de defasaje 1y2. con lo que queda demostrado que el movimiento resultante es tambin armnico. b) Para la relacin ( ) ( ) 2 12 1 = + nel anlisis es similar al anterior, slo que la recta obtenida es de pendiente negativa. c) Para la relacin ( ) ( ) 2 12 12 = + nse tendr lo siguiente: xAyA2122221 + = (2.33) Elresultadodadoporlaecuacin(2.33)representalaecuacindeunaelipse,cuyosejes principalescoincidenconlasdireccionesdelasoscilacionescombinadas.Tambinpueden encontrarse las condiciones dadas por 1 y 2. 1) Para ( ) 2 1 > Elmovimiento mediante el cual se describe la elipse tendr el mismo sentido que el movimiento de las agujas del reloj. 2) Para: El sentido del movimiento mediante el cual se describir a la elipse ser opuesto al movimiento de las agujas del reloj. Sienamboscasossecumplequelasamplitudesdelasdosondassoniguales,entoncesla trayectoria obtenida ser igual a una circunferencia. Adquisicin de la informacin 42Cualquierotracombinacinentre( ) 2 1 darcomoresultadounaelipse,cuyosejes principalesestarnrotadosrespectoalasdireccionesdelasoscilacionescombinadas,comose muestra en la figura 2.7(b). a)Desarrollodeunaelipseapartirdedososcilacionesdefrecuenciasdiferentesdesfasadas entre s. b) Fig. 2.7. Desplazamiento resultante para una combinacin de dos oscilacionesperpendiculares. a) generacin de la elipse. b) Diversas relaciones de ( ) 2 1 Adquisicin de la informacin 432.2.5. - Combinacin de oscilaciones perpendiculares entre s de frecuencias diferentes CuandolosMASquesecombinantienenamplitud,faseyfrecuenciadiferentes,lasfiguras geomtricas que describen la trayectoria del sistema pueden tomar formas inimaginables. FueJ.A.Lissajous(1822-1880)elprecursordelestudiodelcomportamientodeestas oscilaciones,deahqueestasfigurasrecibanelnombredefigurasdeLissajous.Laformade construccin de estas figuras sigue el mismo principio descrito en la figura 2.7. Fig. 2.8. Figuras de Lissajous Enlafigura2.8seobservaungrupodefigurasobtenidasparadiferentesrelacionesentrelos ngulosdefase( ) 2 1 ylasfrecuencias. Las figuras de la primera fila corresponden a las analizadas cuando 1 2y son iguales. 2.3 - Seales determinsticas no peridicas. A este grupo corresponden las seales que provienen de los sistemas que presentan movimientos oscilatorios cuasi peridico y de los sistemas donde se producen movimientos transitorios. Adquisicin de la informacin 442.3.1-Vibraciones cuasiperidicas. Lasvibracionescuasiperidicaspuedenserdescritasporunasumadesenosycosenoscuyas frecuencias no guardan relacin alguna entre s. Silatrayectoriaresultantedelmovimientooscilatoriocuasiperidicovienedadaporunasuma de cosenos, como por ejemplo x t A t A t A t ( ) cos( ) cos( ) cos( ) = + + + + +1 1 2 2 3 32 3 7 (2.34) entonces se puede plantear que la misma responde a la forma general de la serie de Fourier, pero con la caracterstica de que las frecuencias no se relacionan entre ellas. x t X f tnnmn n( ) cos( . ) = +=12 (2.35) donde: ffnm a un nmero entero Un ejemplo de un sistema portador de este movimiento es el motor asincrnico. 2.3.2. - Sealestransitorias. Lassealestransitoriastienenlugarcuandoelsistemaessometidoalaaccindefuerzas excitadorasqueactanunbreveperododetiempo.Lasfuerzasexcitadorasprovocan vibracionesquetiendenadesapareceruntiempodespusquecesalaaccindelasmismas. Debido a este comportamiento, la amplitud de la vibracin variar desde un valor mximo a un valor mnimo. Como ejemplos de seales transitorias pueden citarse las emitidas por los sistemas con vibraciones amortiguadas. Adquisicin de la informacin 452.3.2.1 - Vibracin libre amortiguada. Lossistemasconmovimientoarmnicosimplenodisipanenergadurantelaoscilacin.Sin embargo, todo sistema real lleva implcita la existencia de fuerzas disipativas debido a lo cual el movimientoarmnicosimplecesadespusquehatranscurridociertoperododetiempo.Estas fuerzas disipativas son el reflejo de la existencia del amortiguamiento en el sistema. Lavibracinlibreamortiguadaesunmodelosimplificadodelcomportamientodelossistemas realescuandosobrelosmismosactanfuerzasexcitadorasconperodosmuypequeosde duracin. De esta forma el sistema es estudiado a partir del cese de esa accin. Laspropiedadesdeestossistemasserndeterminadasconsiderandoelamortiguamientode carcter viscoso que es proporcional a la velocidad. Si a la figura 2.2 que representa el modelo de un sistema con movimiento armnico simple se le agrega el efecto del amortiguamiento, la misma quedar como se muestra la figura 2.9. Fig. 2.9. Sistemas con vibracin libre amortiguada Aplicando la segunda ley Newton al sistema se obtiene lo siguiente: F kx c x m xm x c x kxx x xx = =+ + =+ + =& &&&& && &002 (2.36) donde: Adquisicin de la informacin 46c ; es el amortiguamiento del sistema. =cm ;representa al coeficiente de amortiguamiento del sistema. La ecuacin (2.36) puede ser resuelta empleando la ecuacin caracterstica (2.37) y considerando que la solucin viene dada por la ecuacin de Euler. scmskmest 20 + +|\

|.|= (2.37) Esta ecuacin tiene dos races y pueden ser obtenidas mediante la expresin siguiente: sb b ad1 222 244, = |\

|.| |\

|.|(2.38) donde: bcmdkm== ;son los coeficientes de la ecuacin diferencial (2.37). sustituyendo los coeficientes en la ecuacin (2.38) se tendr lo siguiente: scmcmkm1 2222 4, = (2.39) cuya solucin responde a la forma general dada por: x Ae A es t s t= +1 21 2(2.40) Adquisicin de la informacin 47Delaecuacin(2.40)seobservaquedeacuerdoalarelacinqueguardenlosvaloresbajola raz, as ser el comportamiento del sistema con vibraciones libres amortiguadas. A continuacin sern analizados esos casos. a) si se cumple que cmkm224las races sern reales y desiguales, por lo que la solucin ser igualalasumadedosexponenciales.Enestecasoelsistemanooscila,sinoqueretorna lentamente a su posicin de equilibrio y recibe el nombre de sistema sobreamortiguado. x Ae A es t s t= +1 21 2 donde : Adquisicin de la informacin 48 scmcmkm122 2= |\

|.| (2.42) scmcmkm222 2= +|\

|.| sustituyendolaexpresindelasracesenlaecuacin(2.40)seobtienelaecuacindel movimiento oscilatorio del sistema sobreamortiguado. x t e A e A ecmtcmkmtcmkmt( ) = +

|\

|.| +|\

|.| +212222 2(2.43) c)Sisecumpleque cmkm224=elsistematendrcomorespuestaunmovimientoquetiende exponencialmenteadesaparecer,perolaposicindeequilibrionosealcanzatanlentamente como en el caso anterior. Los sistemas que as se comportan reciben el nombre de sistemas con amortiguamiento crtico y la solucin de la ecuacin diferencial ser iguala: ( ) x t A A t ecmt( ) . = +1 22 dondeloscoeficientesA y A1 2puedenserevaluadosapartirdelascondicionesiniciales. Entonces la ecuacin del movimiento ser igual a: ( ) ( )x t xxx t ecmt( )..= + +|\

|.||

0000 02(2.44) En la figura 2.10 se muestran graficadas las trayectorias del sistema para los casos analizados. Adquisicin de la informacin 49Partiendodelacondicin cmkm224= puedenobtenersedescriptoresquecaracterizanel comportamiento de los sistemas con vibraciones amortiguadas. Amortiguamiento crtico: El amortiguamiento crtico es aquel que presentan los sistemas oscilatorios cuando son igualados los efectos de las fuerzas restauradoras elsticas y las fuerzas disipativas. Su expresin puede ser obtenida a partir de la igualdad anterior como sigue: cmkmc kmcc2242 = =a) Adquisicin de la informacin 50b) c) Fig. 2.10. Desplazamientos del sistema con oscilaciones libres amortiguadasa) subamortiguadob) con amortiguamiento crticoc) sobreamortiguado Adquisicin de la informacin 51Razn de amortiguamiento La razn de amortiguamiento se obtiene de la relacin entre el amortiguamiento del sistema y su valor crtico. =ccc Partiendo de esta definicin se puede establecer su dependencia con respecto a las caractersticas amortiguadoras del sistema mecnico descritas anteriormente. = 0no existe amortiguamiento 1sobreamortiguado = 1Amortiguamiento crtico Frecuencia angular de amortiguamiento Tomandocomobaselasdefinicionesdeamortiguamientocrticoyrazndeamortiguamiento puedeserdeterminadaunaexpresinquecaractericealafrecuenciadelsistemacuandoest presente el amortiguamiento. De estas relaciones se obtienelo siguiente: cmcmc2 20= =. quealsersustituidaenlaecuacin(2.42)permitirestablecerunanuevarelacinentrela trayectoria y las propiedades del sistema Adquisicin de la informacin 52 ( )( )ss i1 2 0 02021 2 0201,,.= = (2.45) de donde por similitud con la solucin dada por s i( , 1 2 = se puede concluir que la frecuencia angular del sistema con oscilaciones libres amortiguadas ser igual a: ( ) c = 120.(2.46) Sustituyendoenlaecuacin(2.41)enla(2.46)seobtienelaexpresinquedescribeel movimiento de los sistemas con vibraciones libres amortiguadas. ( ) x t Ae sen tt( ) . = + 0120(2.47) Enelanlisisdelossistemassubamortiguadosesmuyutilizadoelcriteriodedecrecimento logartmico. Esta magnitud es un nmero adimensional que permite determinar la velocidad del decaimientodelaoscilacincomounafuncindelamortiguamientodelsistemaysedefine como el logaritmo de la relacin de dos amplitudes sucesivas como se muestra en la figura 2.11. En esta figura se aprecia que las amplitudesx y x1 2 corresponden a los valores que toma la ecuacindeldesplazamiento(2.47)cuandoeltiempoesiguala.Porestaraznelcoeficiente decremento logartmico puede ser calculado como: Adquisicin de la informacin 53 = = =ln lnxxeeTtt1200 10 2(2.48) donde T=( )2120 . ; es el perodo de la oscilacin amortiguada

Fig. 2.11. Determinacin del decrecimento logartmico Sustituyendolaexpresindelperodoenlaecuacin(2.48)laecuacinparaelclculodel decrecimento logartmico tomar la siguiente forma: ( )=212 (2.49) Adquisicin de la informacin 54Como los valores de la razn de amortiguamiento son muy pequeos, con bastante aproximacin se puede establecer la siguiente relacin para el clculo del decremento logartmico: = 2 la cual plantea una dependencia lineal entre ambas magnitudes. 2.3.2.2. Fuerzas impulsivas Los sistemas reales pueden estar sometidos a fuerzas excitadoras causantes del comportamiento transitorio del mismo. Entre esas fuerzas excitadoras ocupa un lugar muy importante la del tipo impulsivo que surgen, entre otras causas, debido a los golpes entre las estructuras de un sistema mecnico. Unadelascaractersticasdelasfuerzasimpulsivasesquetienenuntiempodeduracinmuy pequeo, pero son de elevada magnitud por lo que le imprimen al sistema una velocidad inicial queserproporcionalasumasayasuamortiguamiento.Lafuerzaimpulsivapuedeser representada mediante la segunda ley de Newton de acuerdo a: F t ma F t m dv dt ( ) ( ) . / = = (2.50) de donde se puede evaluar el impulso provocado por la fuerza F(t) como sigue: I F t dttt t=+ ( )(2.51) De la figura (2.12) se observa que si t 0, la fuerza impulsiva tiende a valores infinitos para un impulso dado. Si el impulso I es igual a la unidad, entonces la fuerza impulsiva ser unitaria cuando t 0 y tomar las caractersticas de una funcin Delta( ) t . Adquisicin de la informacin 55 Fig. 2.12. Representacin de la fuerza impulsiva Las fuerzas impulsivas provocan un desplazamiento inicial mximo a partir del cual el sistema se comportaconoscilacioneslibresamortiguadasalafrecuenciadeamortiguamiento.Las oscilaciones amortiguadas pueden ocurrir partiendo de dos condiciones, figura 2.13: Elsistemaestticoesafectadoporungolpeyretornaasuposicindeequilibriomediante una oscilacin libre amortiguada. El sistema se encuentra bajo la accin de fuerzas excitadoras estables y al recibir la accin de la fuerza impulsiva aumenta su amplitud hasta un valor mximo para despus regresar a las condiciones de vibraciones forzadas. Enesteltimocasolafuerzaimpulsivaprovocaelmismoefectoqueenlossistemasestticos, peroalretornaralascondicionesinicialeselsistematendrlainfluenciadelasfuerzas excitadoras presentes en el sistema dinmico. Enestarespuestaelamortiguamientotieneunagraninfluencia.Endependenciadelvalor amortiguamiento as ser la magnitud del desplazamiento inicial mximo del sistema. Este hecho puede expresarse mediante la ecuacin de balance energtico una vez que fue aplicada la fuerza impulsiva sobre el sistema Adquisicin de la informacin 56Energacintica= inicial Energapotencial+ inicial Energa disipada 12 0200/ & , , &maxmx k xdx f xx= +|\

|.| (2.52) Si se divide entre la masa se tiene lo siguiente: 12 020200 0/ & , , &maxx xdx f xx= + |\

|. (2.53) O sea, la energa que es entregada al sistema en forma de energa cintica se invierte una parte en energapotencialdebidoaldesplazamientoyotraparteparavencerelefectodel amortiguamiento del sistema. Para una fuerza impulsiva F(t), se puede evaluar el trmino que representa la energa invertida en elamortiguamientoalsercomparadoslosmximosdesplazamientosparaunsistemasin amortiguamientoyconamortiguamientoloscualesvienendadosporlasecuaciones(2.12)y (2.47). Si el sistema no presenta amortiguamiento su desplazamiento mximo tendr un valor dado por la expresin: xImomax =(2.54) y para los sistemas con presencia de amortiguamiento ser xImeotmax. = 021(2.55) Adquisicin de la informacin 57a) b ) Fig. 2.13. Sistemas sometidos a la accin de una fuerza excitadora impulsiva. a) sistema esttico. b) sistema dinmico. Adquisicin de la informacin 58Comparandolasecuaciones(2.54)y(2.55)puedeapreciarsequeeldesplazamientoparaun sistema amortiguado es menor que para los sistemas sin amortiguamiento lo cual significa que el sistemainvirtipartedelaenergainicialenenergaliberadaporelamortiguamientodando comoresultadoundesplazamientomximomenor.Deestaformalaenergaconsumidaporel amortiguamiento ser igual a: Energa potencialmxima sinamortiguamiento -Energa potencialmxima conamortiguamiento =Energa disipada

12121120202202kImkIme m xot |\

|.| |\

|.||=. .(2.56) dondetomaencuentaladisminucin de la energa inicial debido al amortiguamiento y ser igual a: = |\

|.|

11022et(2.57) Sustituyendo en la ecuacin (2.53) se obtendr la expresin general de balance cuando el sistema amortiguado es excitado por una fuerza impulsiva. 1212110202022020x xdxexxt. .max. = + |\

|.|

(2.58) En la figura 2.14 se muestra la dependencia de la amplitud mxima de desplazamiento respecto al valor de la razn de amortiguamiento. Para valores pequeos de los valores de xx0 son ms Adquisicin de la informacin 59cercanosporquelasfuerzasrecuperadoraselsticassuperannotablementealasfuerzas disipativas.Enlamedidaqueaumentalarelacin xx0sevahaciendomenorporqueyava disminuyendo la influencia de la componente elstica del sistema. Fig. 2.14. Relacin entre el desplazamiento mximo y la razn deamortiguamiento . Enlarespuestatransitoriadelsistemanosloinfluyeelamortiguamiento,sinotambinla magnitud de la fuerza impulsiva. En dependencia de esto la respuesta del sistema puede reflejar un comportamiento complejo como se muestra en la figura 2.15 (b). a) Excitada la frecuencia fundamental y otras frecuencias mayores a la fundamental Adquisicin de la informacin 60

b) Excitada la frecuencia fundamental y una baja frecuencia. Fig. 2.15. Respuesta del sistema bajo la accin de una fuerza impulsivade elevada magnitud Adquisicin de la informacin 61Enestecasolamagnituddelafuerzaimpulsivaprovoclaexcitacindeotrasfrecuencias correspondientes a otros elementos estructurales, por lo que la trayectoria resultante adquiere la forma de una onda compleja a diferencia de la figura 2.15 (a) que slo presenta a la frecuencia fundamental del sistema. Adems,paradeterminadosvaloresdelafuerzaimpulsiva,laenergaqueellaleimprimeal sistema puede provocar desplazamientos que slo pueden ser descritos por expresiones donde la constante de rigidez y la constante de amortiguamiento son proporcionales al desplazamiento del sistema, de esta forma el sistema ya no podr ser descrito por las ecuaciones que resultan de la solucindelossistemaslineales.Enestoscasoslaecuacindelmovimientodebeserresuelta tomandoencuentaelefectoqueestpresenteyporlotantoelmtodomatemticoms convenienteparalasolucindelasecuacionesdiferencialesnolinealesquedescribanla trayectoria del sistema. Fig. 2.16. Trayectoria descrita por el comportamiento no lineal de un sistema mecnico Adquisicin de la informacin 62Unadelasformasquepuedetomarlaecuacindelmovimientonolinealvienedadaporla siguiente expresin: ( )m c k x xx x && &+ + = 0(2.59) m c kxxx x && ( ) & + + = 0 donde:( )k x; representa la dependencia del coeficiente de rigidez del desplazamientox. ( )c x; representa la dependencia del amortiguamiento del desplazamiento del sistema Estas dos ecuaciones pueden ser ejemplificadas por las siguientes expresiones: a) Para la constante de rigidez mx senxx &&+|\

|.|=20 b)paralaconstantedeamortiguamiento( )&& & x x x x + = u 1 02(ecuacindeVander Pols) La figura 2.16 corresponde a la seal en el tiempo de un sistema en el cualel comportamiento no lineal se debe a las caractersticas no lineales de la constante de rigidez. 2.4 Vibraciones Forzadas Lassealesdeterminsticasperidicasestudiadasanteriormente,sonuncasohipotticode comportamientodeunsistemamecnico,porqueningnsistemarealpuedemantenerel movimiento por s slo una vez que cesa la excitacin. Adquisicin de la informacin 63Los sistemas mecnicos para trabajar normalmente precisan de la accin de un agente externo. Si lossistemasestnperfectamentealineadosybalanceadosnosurgirnfuerzasexcitadorasypor lotantonohabrvibracin.Peroestascondicionessonmuydifcilesdelograrporloquese establecencriteriosdecontroldeesosparmetrosquedancomoresultadoqueelsistema funcione bajo los efectos de las vibraciones forzadas. Cuando el sistema est sometido a vibraciones forzadas su respuesta ser a la frecuencia que le fueimpuestaporlafuerzaexcitadora.Luego,es imprescindible conocer la relacin que guarda esta frecuencia con la frecuencia natural del sistema y cul es su comportamiento en esos casos. Paraobtenerlascaractersticasfundamentalesdelossistemasconoscilacionesforzadas, inicialmente se considerar un sistema forzado sin amortiguamiento de donde sern extradas las conclusiones ms generales que servirn de base al anlisis de sistemas ms complejos. 2.4.1 Vibraciones Forzadas no amortiguadas Lasfuerzasexcitadoraspuedenserdediversasnaturalezainfluyendoestacaractersticaenel comportamientodelsistemasobreelcualacta.Porejemplo,lasmquinasrotatoriascomolas turbinas, bombas hidrulicas, etc., estn sometidas a una frecuencia de rotacin de acuerdo a su diseo.Siexisteciertodesplazamientodelcentrodemasarespectoalcentrodegiro,sobreel rotor surgir una fuerza excitadora que ser proporcional a la frecuencia de rotacin. En la figura 2.16 se muestra una rueda unida a un rotor con una frecuencia de rotacin igual a . Enlamisma,elcentrodemasa(b)yelcentrogeomtrico(a)seencuentrandesplazadosdel centrodegiro(o)entreotrascausasporcurvaturadeleje..Estasituacinprovocarqueenel centro de masa surja una fuerzaFeque tratar de sacar al sistema de su posicin de equilibrio, porloquesurgirotrafuerza,ensentidocontrarioaplicadasobreelcentrogeomtrico,que tratar de retornarlo a su posicin inicial. Adquisicin de la informacin 64Las condiciones a la que esta sometido ese sistema puede ser llevado al modelo simplificado de masaresorteconungradodelibertad,figura(2.2)alqueseleaadelaaccindelafuerza excitadoraFe.Estemodelo,elcualprescindedelamortiguamiento,permitirdeterminarlas propiedades fundamentales de los sistemas mecnicos con vibraciones forzadas. Fig. 2.16. Sistema con vibracin forzada Aplicando la segunda ley de Newton, de la figura 2.16 se tendr lo siguiente: ( )( )mddtx ab t kxm x ab t kx222+ = = . cos .cos ... de donde dividiendo por la masa del sistema se tendr: xkmxabmt...cos . + =2 x x F t..cos . + = 020(2.61) Adquisicin de la informacin 65Comoseapreciadelaecuacin(2.61)ahoraestnpresentesdosfrecuencias,lapropiadel sistemaylaimpuestaporlafuerzaexcitadora.Luego,delarelacinqueguardenestas frecuenciasentresdependerelcomportamientodelsistemabajolaaccindelafuerza excitadoraF t0cos . . Enotraspalabraselmovimientoresultante depender de la relacin entre la frecuencia natural 0 y de la frecuencia de la fuerza excitadora. A partir de la ecuacin (2.61) sern analizados tres casos. a)Sisecumpleque >0 entonces la fuerza de inercia es mayor que la fuerza elstica del sistemaporloqueestesemoverconunagranaceleracinyenfaseopuestaalafuerza impulsora. x t F t ( ) cos . = 02 c)Sisecumpleque 0 = lasamplitudesdeoscilacinsehacenmuygrandes, denominndose este fenmeno resonancia. Para demostrar este planteamiento se determinar la amplitud del sistema. Si se considera que la solucin de la ecuacin diferencial de segundo orden (2.61) es igual a: x t A t ( ) cos . =1entonces, derivando y sustituyendo en la ecuacin (2.61) se tiene lo siguiente: ( ) cos . cos . + = m A kA t F t 21 1 0(2.62) Adquisicin de la informacin 66 simplificando y despejando la amplitudA1 se obtiene el siguiente resultado: AFk m102= de donde finalmente la amplitud del sistema con vibraciones forzadas no amortiguadas ser igual a: ( )AF mAF k1002 2 10021= = (2.63) Aplicandoellmitealaecuacin(2.54)seobservaquelaamplituddelaoscilacintiendeal infinito cuando se cumple que: a) para 0limA10 = (2.65) Analizandoestecomportamientosepuedeconcluirqueelfenmenodelaresonanciaest presentebajolascondicionesplanteadasenlasecuaciones(2.64y2.65)yquecoincideconel planteamientohechoenelinciso(c).Sinembargo,paraqueesteresultadorespondaal comportamientodelossistemasreales,esnecesariointroducirelngulodefaseparaquela amplitud sea siempre positiva, o seaA A =1. De esta forma la respuesta del sistema ser igual a: ( )x t A t ( ) cos . = + (2.66) Adquisicin de la informacin 67As para el caso en que se cumpla que 0elsistemaylafuerzaexcitadoraestarndesfasados 180 y = . Enlossistemasfsicosrealesnotienesentidoelvalorinfinitodelaamplitud,yaquenoes posible la ausencia del amortiguamiento, pero conocido el comportamiento de este sistema ideal esposibleinferircomosecomportarunsistemaconamortiguamientobajolaaccindeuna fuerza excitadora. 2.4.2 Vibraciones forzadas amortiguadas Paraelestudiodeestossistemassertomadocomomodeloelsistemamasaresortecon amortiguamiento mostrado en la figura (2.9) al que se le aplicar una fuerza externa excitadora. Deestaformalaecuacinquecaracterizaelcomportamientodinmicodelsistemaestardada por una ecuacin diferencial de segundo grado no homognea como sigue: xcmxkmx F t.. .cos . + + =0 (2.67) de donde se tiene que: x x x F to.. .. cos . + + = 20(2.68) donde =cm ; es el coeficiente de amortiguamiento del sistema con vibraciones forzadas. Delaecuacin(2.68)seapreciaqueelmovimientodelsistemaeselresultadodedos oscilaciones superpuestas: - uno transitorio, la oscilacin libre amortiguada (solucin de la ecuacin homognea 2.36). ###- otro estable, la excitacin continua (solucin no homognea) Adquisicin de la informacin 68 x t transitorio estable ( ) = + El efecto del amortiguamiento provoca que la oscilacin propia del sistema se anule despus de ciertoperododetiempoquedandoslolaaccindelafuerzaexcitadoraestable.Eltrmino transitoriotendruncomportamientocaracterizadoporlarelacinentrelasfuerzaselsticasy las fuerzas amortiguadoras del sistema, como ya es conocido. Deestaformalaecuacin(2.68)serresueltaconsiderandolasdospartesquelaintegran.La partehomogneaquedarigualalaecuacincaractersticadelossistemasconoscilaciones libresamortiguadasylasolucinparticulardelano-homogneaestablecereltermino peridico. Lasolucindelaecuacinnohomogneapuedeobtenersesuponiendoquelarespuestadel sistema y la fuerza excitadora tienen las siguientes expresiones. x Xei t=.y ( )F Fei t=0 .

Sustituyendo las igualdades anteriores en la ecuacin (2.68) se obtiene el siguiente resultado: ( )( ) + + =+ 20m i c k Xe Fei t i t.. .(2.69) despejando la amplitud de la ecuacin (2.69) se tendr que: ( )( )( ) ( )( )XFmeii= +002 2 .;(2.70) donde representa el ngulo de fase entre la respuesta del sistema y la fuerza excitadora, e igual a: Adquisicin de la informacin 69 ( )( ) =tan1 00221(2.71) As la solucin de la parte no homognea de la ecuacin diferencial quedar expresada mediante la siguiente ecuacin: ( )( )xkFei t =|\

|.| + |\

|.||\

|.|112022020..(2.72) Laecuacin(2.70)representadaenundiagramafasorial,comolomuestralafigura(2.17), permite entender con mayor facilidad el resultado obtenido. Fig. 2.17. Representacin en forma compleja del movimiento armnico forzado Si se divide la respuesta del sistema respecto al trmino que representa a la fuerza excitadora, la expresinqueseobtienecorresponderaladelafuncinrespuestadelsistemaendondela fuerza excitadora es considerada unitaria. En este caso la amplitud toma caractersticas de factor de ganancia o de magnificacin. Adquisicin de la informacin 70 ( )( )( )HxF= ; ( )H =|\

|.| + |\

|.||\

|.|11202202(2.73) Luego la solucin de la ecuacin del movimiento para los sistemas amortiguados con vibracin forzada, dada por la ecuacin diferencial de segundo orden no homognea (2.68), ser igual a: ( )( )( )x t Ae sen tF keti t( ) ..= + +|\

|.| + |\

|.| 011 22000202(2.74) Como ya fue planteado anteriormente, el comportamiento transitorio tiene un tiempo de duracin muy corto, por lo que el sistema se comporta de forma estable ante la excitacin provocada por la fuerzaF t0cos . . Por esta razn, tomando como base la ecuacin (2.73) se puede conocer la dependencia de la amplitud respecto a la relacin de las frecuencias y el amortiguamiento en los sistemas con vibracin forzada y amortiguamiento. En la tabla I son mostradas las relaciones entre la frecuencia, la razn de amortiguamiento y la amplitud del sistema Tabla I Valores de amplitud y fase para diferentes relaciones o y Adquisicin de la informacin 71 ( )H para o= 0 ( )H para o < 1 ( )H para o = 1 ( )H para o > 1 = 1 F k0 F k0 ( ) 050. F k