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EJERCICIO 9C-22

Una lmina de latn 70/30 se lamina hasta una dureza 06; por definicin, esto se obtiene

a travs de una reduccin del 50%. Calcula la TS esperada y comprela con el valor dado

en el ejemplo 8-7. (Sugerencia: como los esfuerzos de ingeniera y real no son muy

diferentes en un material altamente endurecido por deformacin, la TS se puede tomar

como el esfuerzo de fluencia del material despus del trabajo en frio. La deformacin en

el ensayo de tensin se deber agregar a la deformacin por laminacin).

Variables de entrada

K = Coeficiente de resistencia [N/n = factor de endurecimiento

= Deformacion unitaria ingenieril (mm/mm)

= Esfuerzo de fluencia (MPa)TS = Esfuerzo de Traccin (MPa)

DESARROLLO

Segn el ejemplo propuesto 8 7, el valor correspondiente para el TS es de 595 MPa

correspondiente a una reduccin del 50 %. Bajo la consideracin del ejercicio, para

determinar el TS esperado debemos determinar el esfuerzo de fluencia para dicha

condicin.

Mediante la tabla 8 2, determinamos el coeficiente de resistencia (K) y el factor de

endurecimiento (n) del latn 70/30:

K = 500 [N/n = 0,41

La tabla 8 2 propone una reduccin en el rea de salida del 75 %. Bajo esas condiciones

podemos establecer el rea final en funcin del rea inicial, y de esta manera determinar

la deformacin unitaria ingenieril:

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Para determinar la deformacin se tiene que:

Teniendo este valor para la deformacin unitaria, se procede a determinar el esfuerzo de

fluencia:

Al considerar el esfuerzo de fluencia igual al TS, se puede afirmar que el TS esperado

corresponde a 571,65 MPa.

Comparando este valor con el del ejemplo 8 7, se puede ver por inspeccin de que su

resultado no vara mucho.

R=/:

Se concluye que si se quiere lograr una dureza 06 en una lmina 70/30 se puede aplicar

una laminacin con una reduccin del 50 % con una alta confiabilidad de obtener la

dureza requerida.

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EJERCICIO 9C-27

Explore el efecto del dimetro del rodillo sobre la fuerza y la potencia de laminado para la

ltima pasada (1.0 a 0.7 mm) del problema 9C-26, al laminar en un molino de dos rodillos

(D= 800 mm), de cuatro (D= 300 mm) y en uno Sendzimir (D= 30 mm).

El anlisis de este problema y su posterior resolucin implica la utilizacin de los datosobtenidos como solucin en los problemas 9C24, 9C24 y 9C26.

Primeramente, se tiene en cuenta de que el problema establece tres condiciones:

Utilizando un molino de dos rodillos:

Utilizando un molino de cuatro rodillos:

Figura 1. Molino de dos rodillos

Figura 2. Molino de cuatro rodillos

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Utilizando un molino Sendzimir (20 rodillos):

Partiendo de la resolucin del ejercicio 9C26, se establece que la problemtica involucra

un proceso de laminado en el cual para efectos de lograr una mayor productividad, se

colocan varios molinos en lnea o conocidos como molinos en tndem o continuos,mostrado en la figura 4.

Figura 3. Molino Sendzimir

Figura 4. Molino en tndem

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Declaracin de variables

= rea final bastidor uno [mm2]= rea final bastidor dos [mm2]

= rea final [mm2]

= rea inicial [mm2] = Dimetro Molino de cuatro rodillos [mm] = Dimetro Molino de dos rodillos [mm]= Dimetro Molino Sendzimir [mm]= Fuerza Molino de cuatro rodillos [N]= Fuerza Molino de dos rodillos [N]= Fuerza Molino Sendzimir [N]= Mxima reduccin [mm]= Espesor inicial [mm]= Espesor final [mm]K = Coeficiente de resistencia [N/mm

2

]= Longitud Molino de cuatro rodillos [mm]= Longitud Molino de dos rodillos [mm]= Longitud Molino Sendzimir [mm]n = Exponente de endurecimiento= Potencia Molino de cuatro rodillos [W]= Potencia Molino de dos rodillos [W]= Potencia Molino Sendzimir [W]= Factor intensificador de presin = Radio Molino de cuatro rodillos [mm]

= Radio Molino de dos rodillos [mm]

= Radio Molino Sendzimir [mm]= Velocidad final bastidor uno [m/s]= Velocidad final bastidor dos [m/s]= Velocidad final [m/s]= Velocidad inicial [m/s]w = Ancho [mm]= Limite de deformacin unitaria inicial [mm/ mm]= Limite de deformacin unitaria inicial [mm/ mm]= Esfuerzo de fluencia medio [N/mm2]= Coeficiente de friccin

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Datos de entrada

= 200 mm = 800 mm= 30 mm= 1,0 mm= 0,7 mmK = 380 MPaw = 800 mm= 0,05Para la aleacin AL 2017n = 0,15

Consideraciones y ecuaciones

Mediante el enunciado del problema, se determina que es una laminacin en frio y queanteriormente el material se endureci debido a deformacin por trabajo en fro, porlo que se considera un proceso en estado estable. Esto implica el uso del esfuerzo defluencia medio que se calcula a partir de la siguiente ecuacin:

[

]

Debemos tener en cuenta que para la reduccin mxima de espesor, usamos lasiguiente ecuacin:

( ) De la misma manera para determinar la longitud de contacto, utilizamos estaecuacin:

( )Es necesario conocer la deformacin real unitaria, calculada con la siguiente ecuacin:

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Se conoce que el flujo volumtrico de material entrante es el mismo flujo volumtrico a la

salida. Sabiendo que el producto del rea de seccin por la velocidad en dicho punto es el

flujo volumtrico, se establece la relacin entre la entrada y la salida, por lo tanto para el

clculo de velocidades se tiene la siguiente ecuacin:

Para el calculo de la fuerza del rodillo debemos tener en cuenta la razn h/L, ya que si esta

relacin se encuentra por encima de la unidad se debe tener en cuenta el factor de

multiplicacin de presin (Qi); mientras que si la relacin se encuentra por debajo de la

unidad se debe tener cuenta el factor de intensificacin de la presin (QP). Para tales

casos, se tiene que:

h/L > 1 h/L < 1 La potencia requerida toma en cuenta la fuerza del rodillo, como tambin la velocidad y la

longitud de contacto. Por lo tanto se determina as:

Desarrollo y solucin del problema

La solucin del problema, se dividir en tres divisiones, determinadas por cada tipo de

molino.

MOLINO DE DOS RODILLOS

Se establecen los datos de dimetro y radio respectivos:

= 800 mm = 400 mmNecesitamos encontrar la deformacin por endurecimiento de la lmina, el que recibien el molino tndem indicado en el ejercicio 9C 26. Para ello necesitamos lasdeformaciones unitarias reales en el primer rodillo () y en el tercer rodillo ():

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Mediante datos tabulados, se estable que el valor del coeficiente de resistencia para elmaterial es de K = 380 N/mm2. Teniendo estos datos se procede a determinar elesfuerzo de fluencia medio.

[

]

[

] Ahora, se procede a determinar la reduccin mxima del espesor que pueden realizar los

rodillos de la siguiente manera:

Teniendo cuenta los datos del problema, se analiza la reduccin en el espesor.

Claramente, el rodillo abarca ese espesor. Esto significa que se esta usando el rodillo

adecuado.

Para definir la fuerza ejercida por los rodillos, primero determinaremos la longitud decontacto:

Para este caso de dos rodillos, establecemos la relacin h/L:

Al ser menor que la unidad esta relacin, trabajaremos con el intensificador de la presin

QPpara el cual necesitaremos la relacin L/H:

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Mediante la siguiente grafica, determinaremos el QPcorrespondiente para una relacin de

L/H = 10,95.

Por inspeccin el factor de intensificacin de la presin es igual a QP= 1,31.

Sabiendo este dato se procede a determinar la fuerza ejercida por los dos rodillos:

Mediante la ecuacin del flujo volumtrico, se procede a determinar la velocidad a lasalida del molino tndem:

Despejando la velocidad de salida en el tercer rodillo, tenemos que:

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Inicialmente el espesor de la placa es de 2,0 mm y al final del molino registra un espesor

de 0,7 mm. Las variaciones en el ancho w se desprecian por lo que se asume un valor

constante de 800 mm.

La velocidad inicial en el primer rodillo corresponde a 120 m/min = 2 m/s.

Sabiendo esta informacin, se determina la velocidad a la salida del tercer rodillo:

Esa velocidad a la salida del tercer rodillo del molino tndem propuesto en el ejercicio

9C 26 ser la velocidad de salida para el molino de dos rodillos correspondiente al

primer inciso del ejercicio 9C 27.

Como ultima variable, se determinara la potencia del molino con los dos rodillos. Por lo

tanto:

La potencia requerida en el molino de dos rodillos es de 661,24 kW.

MOLINO DE CUATRO RODILLOS


= 300 mm = 150 mmLas deformaciones son las mismas que en el inciso del molino de dos rodillos, debido aque la placa inicialmente se endureci en un molino tndem. Esta consideracin seTendr en cuenta para el molino Sendzimir.

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De la misma manera el esfuerzo de fluencia medio es el medio es el mismo:

Ahora, se procede a determinar la reduccin mxima del espesor que pueden realizar los


Teniendo cuenta los datos del problema, se analiza la reduccin en el espesor.

Claramente, el rodillo abarca ese espesor aunque casi llegando al lmite. De igual manera

esto significa que se esta usando el rodillo adecuado.

Determinaremos la longitud de contacto:

Para este caso de dos rodillos, establecemos la relacin h/L:

Al ser menor que la unidad esta relacin, trabajaremos con el intensificador de la presin

QPpara el cual necesitaremos la relacin L/H:

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Mediante la siguiente grafica, determinaremos el QPcorrespondiente para una relacin de

L/H = 6,71.

Por inspeccin el factor de intensificacin de la presin es igual a QP= 1,15.

Sabiendo este dato se procede a determinar la fuerza ejercida por los dos rodillos:

La velocidad sigue siendo la misma a la salida del tercer rodillo, que ser la misma al salir

del molino de cuatro rodillos:

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Como ultima variable, se determinara la potencia del molino con los dos rodillos. Por lo

tanto:

La potencia requerida en el molino de dos rodillos es de 581,26 kW.

MOLINO SENDZIMIR


= 30 mm= 15 mmLas deformaciones son las mismas que en el inciso del molino de dos rodillos, debido aque la placa inicialmente se endureci en un molino tndem. Esta consideracin setendr en cuenta para el molino Sendzimir.

De la misma manera el esfuerzo de fluencia medio es el medio es el mismo:

Ahora, se procede a determinar la reduccin mxima del espesor que pueden realizar los


Teniendo cuenta los datos del problema, se analiza la reduccin en el espesor. Como se puede observar, la mxima reduccin del espesor provocada por el rodillo es

mucho menor que la establecida por el problema. Claramente este rodillo no es apto para

la laminacin de esta placa.

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R=/:

Se evaluaron tres condiciones distintas para el laminado de una tira con una reduccin de 2 mm a

0,7 mm.

Para la primera condicin, es decir un molino de dos rodillos, la fuerza necesaria y la potencia de

laminado fueron y respectivamente.Para la segunda condicin, es decir un molino de cuatro rodillos, la fuerza necesaria y la potencia

de laminado fueron y respectivamente.La ltima condicin propuso la utilizacin de un molino Sendzimir. Al momento de calcular

la mxima reduccin en el grosor de la placa, pudimos observar que no satisfaca la

reduccin propuesta por el ejercicio. Por lo tanto, se considera que el molino no es apto

para el laminado.

EJERCICIO 9C-28Una tira se lamina en fro en un molino tndem. Las reducciones ocurren en cuatrobastidores, desde 0.6 a 0.45 a 0.3 a 0.2 y a 0.14 mm. (a) Calcule la deformacin deingeniera y la natural para cada pasada. (b) Obtenga la deformacin en una sola pasade 0.6 a 0.14 mm. (c) Sume las deformaciones de ingeniera del inciso (a) y compare elresultado con la deformacin calculada en el inciso (b); repita esta operacin paradeformaciones naturales. (d) Se pueden sumar las deformaciones de ingeniera?(e) y las deformaciones naturales?

DECLARACION DE VARIABLES

= Grosor inicial (mm)= Grosor final (mm)= Deformacin unitaria natural (mm/mm)= Deformacin unitaria ingenieril (mm/mm)

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Una posible representacin grfica de la situacin problema se muestra a continuacin:

La lmina sufre un proceso de laminacin en cuatro etapas. Se proceder a determinar cada una

de las deformaciones unitarias naturales e ingenieriles .

a) Al tener cuatro rodillos, tendremos cuatro deformaciones unitarias tanto ingenieriles como

naturales.

Para la deformacin unitaria ingenieriles utilizaremos la siguiente ecuacin:

Para la deformacin unitaria natural utilizaremos la siguiente ecuacin:

Deformaciones unitarias:

y Primera pasada

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y Segunda pasada

y Tercera pasada

y Cuarta pasada

R=/:

Para la primera pasada se tiene una deformacin unitaria ingenieril de

y una

deformacin unitaria natural de .En la segunda y tercera pasada se obtuvieron las mismas deformaciones unitarias tanto ingenieril

como natural correspondientes a y respectivamente.En la cuarta y ultima pasada se tiene una deformacin unitaria ingenieril de y unadeformacin unitaria natural de .b)Se asume una sola etapa en que la lamina pasa de 0,6 mm directamente a 0,14. Se proceder a

determinar las respectivas deformaciones.

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Ingenieril:

Natural:

R=/:

Para una pasada de 0,6 mm reducida hasta 0,14 mm, se obtuvo una deformacin unitaria

ingenieril de ; y se obtuvo una deformacin unitaria natural de .c)Analizaremos la suma de cada deformacin calculada en el inciso a)

Ingenieriles:

Naturales:

R=/:

Sumando las deformaciones en cada pasada se obtuvo una deformacin unitaria ingenieril total de

y una deformacin unitaria natural total de .d) Para el caso de las deformaciones naturales se puede ver que sumado cada una de lasdeformaciones en cada pasada, este valor esta muy lejos del valor calculado asumiendo una sola

pasada. Calculando el error porcentualmente se tiene:

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Claramente se puede apreciar un error con alto grado de imperfeccin. Si se tienen varias pasadas

de una lmina en varios rodillos, calcular una deformacin asumiendo una sola pasada generar

una desviacin del valor real en un ndice muy grande. Factores que pueden ocasionar este

fenmeno pueden ser que como se trata de un trabajo en frio, la acritud tiene grandes

implicaciones en el resultado.

R=/:

Si se pueden sumar las deformaciones unitarias naturales, pero no se puede calcular la

deformacin asumiendo una sola pasada.

e) Para el caso de las deformaciones unitarias ingenieriles, claramente podemos ver de que el

mismo valor calculado en la suma de cada pasada es el mismo tal como si se asumiera una sola

pasada.

R=/:

Si se pueden sumar las deformaciones unitarias ingenieriles. Su valor ser el mismo si se asume

una sola pasada.

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EJERCICIO 9C-31

Retome el problema 9C 27. Calcule la fuerza del rodillo si se somete una tensin trasera

igual a la mitad del esfuerzo de fluencia de entrada, y a una tensin frontal igual a la mitad

del esfuerzo de fluencia de salida.

Como se esta tomando como base el ejercicio 9C

27, de manera general se trabajarandos molinos, el de dos rodillos y el de cuatro rodillos. No se tendr en cuenta el molino

Sendzimir porque como se demostr anteriormente, la mxima reduccin del espesor no

admite la que propone el ejercicio.

DECLARACION DE VARIABLES

= Espesor inicial [mm]= Espesor final [mm]= Longitud Molino de cuatro rodillos [mm]

= Longitud Molino de dos rodillos [mm]

= Esfuerzo de fluencia medio [N/mm2]= Esfuerzo de fluencia a la entrada [N/mm2]= Esfuerzo de fluencia a la salida [N/mm2]= Deformacin unitaria a la entrada [mm/ mm]= Deformacin unitaria a la salida [mm/ mm]= Factor intensificador de presin= Fuerza Molino de cuatro rodillos [N]= Fuerza Molino de dos rodillos [N]DESARROLLO

En mi primer lugar procederemos a calcular los esfuerzos de fluencia tanto en la entrada

como en la salida. Previamente a esto, debemos calcular las deformaciones unitarias

ingenieriles. Por lo tanto se tiene:

Para la entrada se parte de que la lamina pasa de un grosor de 2,0 mm a 1,5 mm, por lo

tanto:

Determinando la deformacin, se tiene:

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Mediante la tabla 8 3 (Procesos de manufactura Jhon A. Schey) se establecen los

valores del coeficiente de resistencia (K) y el exponente de endurecimiento (n) para el

material de aleacin Al 2017:

Ahora se procede a calcular el respectivo esfuerzo de fluencia en la entrada, y sigue asi:

Para la salida se parte de que la lamina pasa de un grosor de 1,0 mm a 0,7 mm, por lo

tanto:

Determinando la deformacin, se tiene:

Ahora se procede a calcular el respectivo esfuerzo de fluencia en la salida, y sigue asi:

Inicialmente piden calcular la fuerza del rodillo asumiendo la mitad del esfuerzo de

fluencia entrante, por lo tanto:

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Del ejercicio 9C 27, se establecio que para los dos molinos, se iba a trabajar con el

intensificador de potencia , y tambin tendiendo la consideracin de que el ancho w novaria.

Tanto el intensificador de potencia como la longitud de contacto se determinaron

anteriormente para un molino de dos rodillos, por lo tanto se tiene que:

Ahora, se procede a determinar la fuerza necesaria para este molino de dos rodillos:

Para el molino de cuatro rodillos, se tienen valores distintos correspondientes alintensificador de potencia y la longitud de contacto: Ahora, se procede a determinar la fuerza necesaria para este molino de cuatro rodillos:

Como segundo tem piden calcular la fuerza del rodillo asumiendo la mitad del esfuerzo de

fluencia de salida, por lo tanto:

Del ejercicio 9C 27, se establecio que para los dos molinos, se iba a trabajar con el

intensificador de potencia , y tambin tendiendo la consideracin de que el ancho w novaria.

Tanto el intensificador de potencia como la longitud de contacto se determinaron

anteriormente para un molino de dos rodillos, por lo tanto se tiene que:

8/11/2019 Laminacion 9c22 9c27 9c28 9c31

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Ahora, se procede a determinar la fuerza necesaria para este molino de dos rodillos:

Para el molino de cuatro rodillos, se tienen valores distintos correspondientes al

intensificador de potencia y la longitud de contacto:

Ahora, se procede a determinar la fuerza necesaria para este molino de cuatro rodillos:

R=/:

La fuerza de un rodillo sometido a una tensin trasera igual a la mitad del esfuezo de

fluencia de entrada corresponde a para un molino de dos rodillos; y para unmolino de cuatro rodillos es de La fuerza de un rodillo sometido a una tensin frontal igual a la mitad del esfuezo de

fluencia de salida corresponde a para un molino de dos rodillos; y para unmolino de cuatro rodillos es de

laminacion 9c22 9c27 9c28 9c31

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