LA MATEMÁTICA Y SU DESARROLLO

Dr. Luis Campistrous Pérez. 10 de enero de 1999.

INTRODUCCION.

La Matemática ocupa un lugar especial en el sistema de las ciencias, por una parte junto con la

Lógica constituye el grupo de las llamadas ciencias formales o exactas y, por otra parte, es utili -

zada para modelar fenómenos y hechos de las llamadas ciencias empíricas. Esta doble situación

hace que muchas veces se la considere como algo que es producto del intelecto humano y que no

tiene relación con la realidad objetiva y por tanto, tienen una validez independiente de la expe-

riencia particular de cada ser humano.

Es claro que la Matemática tiene validez independientemente de nuestra subjetividad, pero debi-

do a que los conceptos fundamentales de la Matemática, como número y figura, tienen su origen

en el mundo exterior y no han brotado en nuestra cabeza por obra del pensamiento puro. Sobre

este aspecto, Engels en el Anti-Düring señala que las matemáticas puras versan sobre las relacio-

nes del espacio y las relaciones cuantitativas del mundo real. Por una parte esto significa que al

investigar cualquier objeto o fenómeno con los recursos de las matemáticas, se hace necesario

abstraerse de todas sus cualidades particulares, excepto de aquellas que caracterizan directamen-

te la cantidad o la forma, y por otra parte que estos conceptos matemáticos tienen su origen en la

realidad objetiva.

Así, es de entenderse que el desarrollo de la Matemática tenga como base el desarrollo de las

fuerzas productivas y con ello al desarrollo de la sociedad en los diferentes pueblos, en este tra-

bajo pretendemos realizar un análisis somero de este desarrollo. Para hacerlo vamos a utilizar la

periodización establecida por el académico A. N. Kolmogorov en su artículo sobre Matemática

en la Enciclopedia Soviética en el que se consideran las etapas siguientes:

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I. Surgimiento de la Matemática (Hasta el siglo VI a.n.e.)

II. Matemática elemental (Desde el siglo VI a.n.e. hasta el siglo XVI)

III. Matemática de las magnitudes variables (Desde el siglo XVII hasta el siglo XIX)

IV. Matemática contemporánea (A partir de 1870 aproximadamente).

I) Surgimiento de la Matemática

En este primer período se forman las primeras representaciones de carácter matemático que ser-

virían de base para el desarrollo de la ciencia matemática en etapas posteriores, estas representa-

ciones surgen (según las evidencias históricas de que disponemos) en estrecha relación con las

necesidades prácticas.

Así, por ejemplo, el concepto de número, surgió como consecuencia de la necesidad práctica de

contar los objetos, y cuantificar en general las primitivas necesidades de nuestros ancestros; la

necesidad de registrar esta cuantificación conduce a la creación de símbolos adaptados a ese fin,

la necesidad de utilizar adecuadamente estos símbolos como modelos del aspecto cuantitativo de

la realidad favorece el desarrollo de sistemas de numeración, ya sean sistemas jeroglíficos no

posicionales, como el egipcio, chino antiguo, hindú antiguo, fenicio y azteca; sistemas de nume-

ración alfabética, como el griego-jónico, eslavo antiguo, el hebreo y el romano; sistemas posi-

cionales no decimales, como el babilonio, el maya de Yucatán, hindú y finalmente el sistema

posicional decimal que utilizamos en la actualidad y que está ligado al hecho de que el hombre

cuenta con diez dedos en sus manos para contar. Este último hecho relaciona la base del sistema

de numeración con la práctica social y las condiciones materiales de vida del hombre; esto se re-

fuerza si analizamos que el sistema mesopotámico tenía base sexagesimal lo que está ligado a

sus necesidades en la medición del tiempo y que las actuales computadoras utilizan un sistema

binario, lo que está ligado al hecho de que sus circuitos se basan en dispositivos con sólo dos po-

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siciones.

De la misma forma las necesidades de la agricultura y de la medición de la tierra y productos

como el grano, originó conceptos matemáticos espaciales, como área, volumen y estimuló el es-

tudio de otras propiedades espaciales de los objetos dando origen a la Geometría. No es de extra-

ñar que los primeros conocimientos geométricos se remonten a Egipto en el que las inundaciones

borraban la delimitación de los terrenos y obligaban a disponer de métodos adecuados para reha-

cer la parcelación.

Así mismo es en Mesopotamia, en la que se produce un gran desarrollo astronómico, donde se

produce el nacimiento de la trigonometría y donde los conocimientos aritméticos evolucionan

en los rudimentos de los primeros conocimientos algebraicos.

Sin embargo, en todas estas civilizaciones las necesidades están muy ligadas a la subsistencia del

hombre y el aseguramiento de la vida (tanto la real como la supuesta después de la muerte) y los

problemas y conocimientos matemáticos se mantienen muy ligados a casos particulares y situa-

ciones concretas, no hay atisbos del desarrollo de una concepción teórica que permitiera la for-

mación de una Matemática científica. Esto no significa que fueran conocimientos que puedan

menospreciarse, en muchos casos representan verdaderas joyas de creación matemática como es

el caso del cálculo del volumen de un tronco de pirámide (llama la atención que este logro este

relacionado con la pirámide que tanto significado tiene en el culto funerario de los egipcios), que

el matemático Eric T. Bell ha llamado la gran pirámide egipcia ya que para la deducción y fun-

damentación de estos cálculos se requieren desarrollos matemáticos que no estarían plenamente

logrados sino más de 30 siglos después.

Al igual que en Mesopotamia y Egipto, en China, India y América precolombina existen eviden-

cias de conocimientos matemáticos desarrollados y compilados de una u otra forma. En China

por ejemplo, existen evidencias de conocimientos geométricos desarrollados y de su capacidad

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para resolver sistemas de ecuaciones lineales, mientras que la India aportó lo que con el tiempo

llegaría a ser nuestro sistema de numeración y los mayas poseían un sistema de numeración en el

que disponían de un símbolo para el cero que sólo se incorporó a la cultura occidental después

del primer milenio.

En fin, la matemática surgió y se formó como ciencia en muchos lugares, frecuentemente muy

alejados unos de otros y al parecer no relacionados entre si, pero siempre revelándose leyes ge-

nerales: la procedencia de las matemáticas a partir de la actividad práctica de les hombres; ex-

tracción de las abstracciones numéricas y geométricas en calidad de ramas independientes del

conocimiento;

II) Matemática Elemental

Sólo después de la acumulación de una gran cantidad de material concreto en forma de conoci -

mientos independientes, aislados métodos de cálculo aritmético y recetas para el cálculo geomé-

trico, es que se crean las condiciones para el surgimiento de la Matemática como ciencia. Este

proceso que se inicia en Mesopotamia y Egipto se consolida en la Grecia antigua. Es en esta últi -

ma en la que las condiciones del desarrollo de las fuerzas productivas crea una clase capaz de de-

dicarse a la sistematización de los conocimientos adquiridos con anterioridad y el desarrollo de

conceptos y métodos de carácter general.

El nivel teórico de la Matemática griega superaría con creces las necesidades de la práctica en

esa época y durante muchos siglos posteriores, hasta pasada la Edad Media. Se pone de mani-

fiesto así, por primera vez algo que caracterizará el desarrollo de la Matemática hasta nuestros

días: a pesar de su origen práctico y su relación con la satisfacción de las necesidades materiales

del hombre, la coherencia interna de la Matemática proporciona un modelo que es capaz de inde-

pendizarse de la práctica, aunque será esta última la que actuará como criterio de verdad, sepa-

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rando aquellos desarrollos que no conduzcan en cierto momento a la resolución de problemas li -

gados a las necesidades sociales.

Este primer período de la "Matemática científica" también es llamado de las magnitudes constan-

tes y se caracteriza porque proporciona los elementos para modelar fenómenos que no están liga-

dos al cambio y que tienen un carácter finito, corresponderá a períodos posteriores el proveer los

medios para estudiar procesos de cambio y comprender el infinito.

El principal logro del inicio de este período es el surgimiento y desarrollo de la demostración co-

mo forma de aseguramiento cognoscitivo en la ciencia matemática, así como la sistematización y

generalidad que esto aporta al pensamiento matemático.

Por desgracia, no existen evidencias históricas del surgimiento del método deductivo, la historia

de la matemática registra a Tales de Mileto (aproximadamente 640 - 545 a.n.e.) como el primer

geómetra griego, uno de los siete sabios de Grecia y el primero en demostrar algunos resultados

como el teorema del ángulo inscrito en una semicircunferencia y la igualdad de los ángulos de la

base en un triángulo isósceles. Estos resultados no fueron descubiertos por Tales, no se atribuyen

a él, se le atribuye su demostración de alguna forma que no ha llegado hasta nosotros y, lo que es

mucho más importante, la idea de la necesidad de la demostración.

Para decirlo de otra forma, en la práctica se utilizaban y comprobaban estos resultados, en cada

triángulo isósceles particular se puede comprobar que los ángulos de la base son iguales y eso es

lo que se necesita en los problemas concretos con los que tropieza el hombre. Enunciar un teore -

ma general y demostrarlo significa construir un modelo abstracto y asegurar que en él se cum-

plen esas condiciones, esto representa un escalón superior del conocimiento y el inicio del pensa-

miento teórico, ahora el hombre sabe que en cualquier caso concreto puede disponer de ese mé-

todo. Ahora tiene la seguridad por adelantado de que puede resolver los problemas que se le pre-

senten y no sólo resolver los problemas concretos que tiene ante sí.

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Al mismo tiempo, con esta creación se da paso a uno de los problemas más candentes de la Filo-

sofía de la Matemática: ¿Qué son los objetos matemáticos? ¿existen independientemente del su-

jeto?. En efecto antes de alcanzar este grado de generalidad el hombre consideraba triángulos

particulares, no existía algo que pudiera ser considerado un triángulo general, pero el triángulo

de la demostración no es un triángulo particular, es un triángulo general que no depende de la

posición, que no requiere estar dibujado y para el que no importan las dimensiones de sus lados,

¿qué es? ¿existe?.

La respuesta usual para los matemáticos de esta época es la Platónica, que se corresponde con la

posición idealista objetiva de Platón, los objetos matemáticos tienen una existencia independien-

te del hombre, están ahí y no se relacionan con la realidad material o social son así de una vez y

para siempre en una cultura o en otra. Esta posición, con una u otra variación, puede encontrarse

hasta la actualidad y por eso se habla de "descubrir" resultados matemáticos, están en algún lugar

esperando quien los descubra del mismo modo que Colón descubrió América.

Este método deductivo fue desarrollado posteriormente por Pitágoras y su escuela desde media-

dos del siglo VI hasta mediados del siglo V a.n.e. En particular se atribuye a esta escuela la de-

mostración del teorema sobre los triángulos rectángulos que hasta hoy lleva el nombre de Pitágo-

ras; los pitagóricos constituyeron una secta cerrada en la que dieron un carácter místico a sus co-

nocimientos matemáticos.

Esta secta refleja muy claramente la posición idealista objetiva respecto a los objetos matemáti-

cos, tan es así que ellos convirtieron al número (en esa época el número natural) en la esencia de

todas las cosas. Llegaron a afirmar que todo es número, lo que significaba que todo podía ser re-

ducido a los números naturales y que las restantes cualidades se obtenían a partir de esta esencia.

Estas creencias generaron la primera gran crisis de la Matemática cuando los propios pitagóricos

descubrieron que la diagonal del cuadrado es inconmensurable con respecto al lado, lo que signi-

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fica que no puede ser reducida a un número natural o a una razón de números naturales. Este

descubrimiento conmovió las bases de la cosmovisión de los pitagóricos y fue, por tanto, un se-

creto celosamente guardado (incluso, la leyenda afirma que Hipassos fue lanzado al mar por re-

velarlo). Esto fue aún más grave ya que la inconmensurabilidad aparece en el símbolo mítico de

los pitagóricos, el pentagrama o estrella de cinco puntas, puesto que la diagonal del pentágono

regular es inconmensurable con respecto al lado. Incluso en la actualidad hay versiones que su-

ponen que ese descubrimiento debe ser anterior al del cuadrado puesto que su demostración es

más simple con los recursos usuales de los matemáticos griegos.

Si bien el proyecto pitagórico era demasiado ambicioso (reducirlo todo a números) desde el pun-

to de vista matemático refleja una necesidad científica, la unificación de la Matemática y sus mé-

todos. El fracaso de la secta pitagórica representa la imposibilidad de realizar esta unificación so-

bre la base del número natural y esto determinó que los matemáticos griegos buscaran ese princi-

pio unificador en la Geometría; como consecuencia se desarrolló el "Algebra Geométrica" en la

que los cálculos algebraicos se reducían a relaciones geométricas. Esto tuvo serias consecuencias

para la Matemática griega y de toda la antigüedad (hasta los tiempos modernos), en primer lugar

la preeminencia en el desarrollo de la Geometría que alcanzaría estándares no superados por más

de 20 siglos y, en segundo lugar, el retraso de la aritmética, en particular del trabajo con números

irracionales y con las ideas relacionadas con el infinito.

Un papel principal en el desarrollo de la Matemática como ciencia lo desempeñó la elaboración

por Euclides de Alejandría, alrededor del año 325 a.n.e., de Los Elementos, obra que consta de

trece libros, en los que sistematizó los conocimientos matemáticos de su época y los estructuró

en forma deductiva creando un modelo de exposición que perduró hasta nuestro siglo, pues sola-

mente ha sido superado por los trabajos de los más notables matemáticos de este siglo. La gran-

deza de la obra de Euclides se revela en el hecho de que durante dos milenios se dedicaron innu-

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merables obras a comentar su trabajo.

La concepción griega de la existencia de los objetos matemáticos, independientemente de nues-

tros deseos, trajo también la concepción de que la realidad era una copia de estos objetos (los ob-

jetos de la realidad son un reflejo de los entes del "mundo de las ideas de Platón") por lo que se

consideraba que el contenido geométrico de los Elementos representaba la realidad y las relacio-

nes y axiomas geométricos eran una verdad absoluta y necesaria; esta creencia va a engendrar en

etapas posteriores nuevas crisis de la Matemática.

La formulación de los axiomas en la Geometría de Euclides se vio influenciada por la disputa

entre los partidarios y los opositores del atomismo. La aplicación del atomismo a ultranza en la

Geometría significa que existen porciones de los entes geométricos (por ejemplo, la recta) que

no pueden ser divididas, en particular de aquí resulta que cualquier par de segmentos son con-

mensurables lo que contradice los resultados que ya habían sido obtenidos por los pitagóricos.

La posición asumida en los axiomas consiste en suponer que los segmentos no tienen partes indi-

visibles, sino que todo segmento puede ser dividido nuevamente.

Esto constituye una solución de los problemas que enfrentaba la posición atomista en la Geome-

tría que había sido cuestionada en las paradojas de Zenón. En efecto la existencia de "indivisi-

bles" permitió a Zenón demostrar que una flecha no podría alcanzar nunca el blanco o que Aqui-

les no podría alcanzar a la tortuga. En estas paradojas se mezcla la falsación de la posición ato-

mística y del incorrecto tratamiento del concepto de infinito. También con respecto a esto último

el trabajo de Euclides incluye la solución que alcanzó la Matemática griega, si bien se trató siem-

pre del infinito potencial (como la infinitud del conjunto de los números primos, que significa

que siempre se puede encontrar un número primo mayor que otro dado, pero no la consideración

simultánea de los infinitos números primos), ya que la Matemática griega nunca pudo superar el

"horror al infinito" y no llegaron al concepto de infinito actual.

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Por esta razón (el "horror al infinito") es que los matemáticos griegos, incluido Arquímedes,

quien abrió el camino para definir el número irracional y se adelantó en más de un milenio a al-

gunos resultados del cálculo infinitesimal, obtuvieron fórmulas para el cálculo de áreas y volú-

menes sin utilizar el concepto de límite, mediante razonamientos complejos de reducción al ab-

surdo (los métodos apagógico y de exhaución de Arquímedes).

Después de Grecia el centro de la Matemática se trasladó al Oriente, en particular a la India, Chi-

na y, especialmente, Arabia. Fueron los árabes quienes introdujeron el cero, los números negati-

vos y, dieron lugar al nacimiento de una nueva ciencia: el Algebra. Estos desarrollos que no en-

contraron lugar dentro de las concepciones teóricas de los griegos surgieron en relación con las

necesidades prácticas, en particular las necesidades de los mercaderes, que representaban una

parte importante de la población en Arabia.

En el siglo XIII la iniciativa matemática regresa a Europa con un renacer de la Aritmética y nue-

vos desarrollos en Algebra y Geometría. Sin embargo, no es hasta el siglo XVI que se obtienen

resultados científicamente relevantes con la resolución de las ecuaciones de tercero y cuarto gra-

dos, la introducción de las primeras notaciones plenamente simbólicas para el Algebra (Vieta) y

la ampliación del concepto de número llegando hasta los números complejos.

Otro desarrollo importante del siglo XVI fue la formación de la trigonometría como ciencia par-

ticular registrada en la obra 'Cinco Libros sobre triángulos de cualquier género" del matemático

alemán Johannes Müller, más conocido bajo el nombre de Regiomontano (latinización derivada

del nombre de la ciudad de donde nació: Königsberg)

Es importante notar que aunque la resolución de las ecuaciones tiene un significado práctico y

los números negativos y fraccionarios proceden directamente del trabajo práctico, se retoma en

este siglo con fuerza el desarrollo independiente de los conocimientos matemáticos que se pone

de manifiesto en la introducción de los números complejos que surgen como un medio en la re-

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solución de un problema netamente matemático (la resolución de la ecuación cúbica en el caso

irreducible). Estos desarrollos dejan libre el camino para el inicio de una nueva etapa en la Histo-

ria de la Matemática.

III) Matemática de las magnitudes variables.

"La magnitud variable de Descartes - señala Engels en Dialéctica de la naturaleza - constituyó un

punto de viraje en la Matemática. Gracias a esto, el movimiento se introdujo en la Matemática y

con él, la Dialéctica, y gracias a esto también resultó, inmediatamente necesario, el cálculo dife-

rencial e integral..."

Como hemos vista antes, a fines del siglo XVI se había producido un desarrollo considerable del

Algebra, la Trigonometría y la Geometría, lo que unido al desarrollo de los métodos de cálculo

permitieron acumular gran cantidad de conocimientos que dieron lugar al salto cualitativo que se

produce en este siglo y que es, quizás el más importante de la Historia de la Matemática.

Durante este período se produce la exitosa formulación y revelación de las leyes naturales por

métodos matemáticos lo que condujo a la creación de un sistema de ciencias sobre la naturaleza,

las ciencias exactas. Esto conllevó que, con el objeto de abarcar las relaciones cuantitativas entre

los fenómenos, se convirtiera la dependencia entre las magnitudes en objeto de estudio y esto lle-

va a primer plano el concepto de función.

La matemática de las magnitudes variables y su dependencia representa el reflejo matemático de

un problema fundamental: el movimiento. La palabra movimiento se utiliza aquí en un sentido

abarcador, tanto a cuestiones centrales de las ciencias naturales como problemas de la mecánica

práctica de aquella época.

La primera consecuencia notable desde el punto de vista matemático es la generalidad de los re-

sultados y las dependencias obtenidas, para lograr estos resultados se produjo a lo largo de los si-

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glos XVI y XVII la acumulación de muchos resultados particulares que sufrirían una transforma-

ción cualitativa como consecuencia de su acumulación. Así la acumulación de la cuadratura de

numerosos cuerpos particulares y de métodos particulares (comenzando con los que se remontan

a Arquímedes) condujo a la creación del cálculo integral y la acumulación de conocimientos pro-

ducidos por la solución del problema de las tangentes en casos particulares condujo al cálculo di-

ferencial.

También en la Geometría se produjo un desarrollo considerable con la introducción del movi-

miento y transformación de figuras. La geometría comienza a estudiar el movimiento y la trans-

formación en sí; surgen de esta forma la Geometría Proyectiva y, más tarde con la aplicación de

los métodos infinitesimales, la Geometría Diferencial.

Estimulada por las necesidades de las ciencias naturales se produce en los siglos XVII y XVIII

una verdadera fiebre de creación en la Matemática, como resultado se multiplican los conoci-

mientos en forma exponencial y, en consecuencia, pasan a un segundo plano las preocupaciones

por el rigor lógico y la fundamentación que habían aportado los griegos.

Las necesidades de las ciencias naturales que estimularon el desarrollo de la Matemática fueron,

principalmente, hasta inicios del siglo XIX la mecánica y la óptica; entonces se añadieron otros

nuevos como la electrodinámica, el magnetismo y la termodinámica. Poco después se sumó el

desarrollo de importantes resultados de la mecánica de los medios continuos y crecieron las exi-

gencias de la técnica. Estas nuevas necesidades provocaron el surgimiento de nuevos campos de

la Matemática: ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, series trigonométricas y ecuacio-

nes integrales.

A su vez los nuevos campos y los resultados obtenidos plantean mayores requisitos a la matema-

tización de las magnitudes variables y, por tanto, provocan el perfeccionamiento del concepto de

función. En particular la teoría de las ecuaciones y las series de Fourier (necesarias para la teoría

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del calor) provocaron la introducción de funciones que no podían ser expresadas mediante fór-

mulas analíticas como las funciones elementales y dieron inicio a la formulación del concepto de

función en la forma tan general en que lo conocemos hoy.

Después de dos siglos de crecimiento incontrolado, los matemáticos comenzaron a percibir fallas

en el edificio que habían venido construyendo, surgieron contradicciones como resultado de la

falta de preocupación por el rigor y la fundamentación lógica. Esto provocó que a principios del

siglo XIX se prestara atención nuevamente a estos fundamentos lo que dio lugar a la monumen-

tal obra sistematizadora de A. Cauchy.

En las manos de Cauchy el cálculo, cuya principal preocupación había sido la resolución de pro-

blemas ligados a la práctica y al desarrollo de las ciencias naturales, se convierte definitivamente

en una disciplina matemática de elevado rigor: El Análisis Matemático. Aquí encontramos nue-

vamente a la Matemática actuando como motor impulsor de su desarrollo, a partir de este mo-

mento esto caracterizará el desarrollo del Análisis, así la mayor parte de la primera mitad siglo

XIX lo llena prácticamente el estudio de la teoría de las funciones de variable compleja. No obs -

tante el hecho de que las funciones de variable compleja se desarrollan por requerimientos inter-

nos de la matemática, encontraron numerosas aplicaciones en la práctica en problemas que ni si-

quiera existían en la época de su desarrollo como el diseño de aviones.

Algo semejante ocurre con el Algebra y la Geometría en las que el estímulo fundamental para el

desarrollo proviene de la misma Matemática. Así un problema tan propiamente matemático co-

mo la no solubilidad por radicales de las ecuaciones de grado superior al cuarto condujo a desa-

rrollos insospechados para el Algebra que comienzan con los trabajos de Evariste Galois un jo-

ven francés muerto en un duelo a la edad de 21 años y que en su última noche dotaría a la poste -

ridad con una nueva concepción de esta ciencia a partir de la noción de grupo.

En lo que respecta a la Geometría el estímulo proviene de algo tan conocido como la axiomática

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de Euclides. De acuerdo con las concepciones griegas, la geometría de Euclides era el único mo-

delo del espacio físico y sus axiomas deberían ser "evidentes en sí mismos"; desde la antigüedad

los matemáticos encontraron que estos axiomas eran en realidad evidentes menos uno de ellos: el

axioma de las paralelas.

Desde el inicio, constituyó un reto para los matemáticos demostrar que este axioma tan poco evi-

dente era consecuencia de los otros y muchos de los mejores matemáticos de diferentes épocas

se dieron a esta tarea, inútilmente. No fue hasta el siglo XIX con los trabajos de Gauss, Bolyai y

Lobachevskii que se resolvió el problema de una manera inesperada: el axioma de las paralelas

no es consecuencia de los anteriores y si se cambia se obtienen nuevas geometrías tan consisten-

tes como la de Euclides.

Esto por supuesto representa una crisis de las concepciones sobre la Matemática y sus objetos ya

que de acuerdo con la concepción predominante la Geometría Euclídea era el único modelo del

espacio físico como ya hemos dicho. Tan es así que Gauss que fue el primero en obtener el resul-

tado no lo publicó nunca, pues trataba de comprobar que la Geometría que había obtenido al ne-

gar el axioma de las paralelas constituía el modelo del espacio físico y como no pudo obtener

evidencias no llegó a publicar su resultado.

Esta "crisis" y los desarrollos abstractos del Algebra y el Análisis al pasar la mitad del siglo XIX

dieron paso a la siguiente y última etapa del desarrollo de la Matemática.

IV) Matemática contemporánea.

Esta última etapa comienza después de mediado el siglo XIX y se caracteriza porque los conoci-

mientos matemáticos alcanzan su mayor grado de generalidad y su carácter más abstracto lo que

hace posible ampliar de manera extraordinaria la gama de las aplicaciones de la Matemática,

también la ampliación del contenido del objeto de la Matemática, la complejidad de su estructura

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y el fortalecimiento de las exigencias del rigor lógico. Esta ampliación del contenido y objeto de

la Matemática es subrayada en el artículo de Kolmogorov citado antes:

"En la continua relación con las exigencias de técnica y el saber científico el cúmulo de relacio-

nes cuantitativas y formas espaciales estudiadas por la Matemática se amplia continuamente, así

que la definición general de Matemática dada por Engels se rellena con un contenido cada vez

más rico".

Una de las formas en que se manifestó esta ampliación del objeto de la Matemática es en el he-

cho de que las operaciones comenzaron a aplicarse no sólo a números, sino a objetos matemáti-

cos más complejos como vectores, tensores, matrices, proposiciones lógicas, funciones y otros

aún más complejos como series y sucesiones de funciones.

Esta ampliación revolucionó no sólo al Álgebra sino también al análisis, en este último se produ-

jo una transformación radical cuando lo que hasta entonces habían sido objetos complejos (fun-

ciones) se convierten en puntos de nuevos espacios en los que a su vez se definen funciones y se

aplican los conceptos fundamentales del análisis como límite, derivada e integral.

Cuando hablamos de la etapa contemporánea de la Matemática estamos teniendo en cuenta que

todos estos desarrollos han transformado radicalmente el objeto y los métodos de la Matemática

y han favorecido la aparición de nuevas concepciones filosóficas sobre lo que es la Matemática y

cuál es su objeto.

Baste destacar que durante el último siglo han perdido terreno las concepciones del idealismo

objetivo (aunque aún están presentes, sino en forma ortodoxa al menos como concepciones neo-

platónicas) y en su lugar han cobrado fuerza concepciones ligadas al nominalismo y al construc-

tivismo que en la Matemática adoptan la forma de formalismo e intuicionismo.

En forma resumida podemos decir que para los formalistas los objetos matemáticos no tienen

existencia real, lo importante es el desarrollo formal, la construcción de todos los resultados ma-

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temáticos a partir de un conjunto de supuestos básicos y unas reglas de deducción preestableci-

das. Esto equivale a considerar la Matemática como un juego con reglas conocidas y con signos

convencionales.

De la misma forma podemos resumir la posición de los intuicionistas diciendo que sólo conce-

den existencia real a los objetos que pueden construir en un número finito de pasos. De esta for-

ma toda la Matemática que descansa en procesos infinitos o en la reducción al absurdo no es re-

conocida por ellos. Esta es una posición radicalmente opuesta al platonismo para el que la no

contradicción es la única condición de existencia de los objetos matemáticos.

También en este siglo se ha desarrollado la concepción Marxista que considera a los objetos ma-

temáticos como reflejos, más o menos mediatos, de la realidad y cuyo objeto se recoge en las ci-

tas de Engels y Kolmogorov hechas antes en este trabajo.

Otra transformación fundamental de la Matemática en la segunda mitad de este siglo se debe al

desarrollo acelerado de las técnicas de cómputo lo que ha permitido ampliar de manera extraor-

dinaria el campo de aplicación de la Matemática ya que debido a la potencia y velocidad de las

computadoras se pueden realizar en segundos cálculos que hace medio siglo hubieran demorado

años o décadas. Además de lo anterior, hay que destacar que las computadoras inciden sobre la

misma concepción de la Matemática pues hacen posible realizar demostraciones que no están al

alcance de un ser humano. Así, por ejemplo, el teorema de los cuatro colores fue demostrado uti-

lizando un programa de computación realizando operaciones que no pueden ser seguidas por el

hombre.

Esto despertó grandes discusiones (que no han terminado todavía) sobre qué es una demostra-

ción y que tan aceptable es que una demostración sea realizada por una computadora. De todas

formas no cabe duda de que los nuevos instrumentos de cálculo amplían de manera extraordina-

ria las posibilidades matemáticas del hombre y que una vez más hay que replantear el problema

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del objeto y los métodos de la Matemática.

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